Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi

Transkript

1 Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 6 (06) 0330 ( ) AKU J Sci Eng 6 (06) 0330 ( ) DOI: 05578/fmbd7766 Araştırma Makalesi / Research Article Uyumlu Kesir Mertebeden Chebyshev Diferensiyel Denklemleri ve Kesirsel Chebyshev Polinomları Emrah Ünal, Ahmet Gökdoğan Artvin Çoruh Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Temel Eğitim Bölümü, Artvin Gümüşhane Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Matematik Mühendisliği Bölümü, Gümüşhane e-posta: emrahunal@artvinedutr, gokdogan@gumushaneedutr Geliş Tarihi: ; Kabul Tarihi: 0706 Anahtar kelimeler Uyumlu Kesir Merteben Diferensiyel Denklemler; Uyumlu Kesir Merteben Chebyshev Diferensiyel Denklemleri; Kesirsel Chebyshev Polinomları Özet Bu çalışmada, x 0 - adi noktası civarında uyumlu kesir mertebeden birinci ve ikinci tip Chebyshev Diferensiyel denklemlerin kesirsel seri çözümlerini verdik Bu çözümlerden yararlanarak birinci ve ikinci tip kesirsel Chebyshev polinomlarını ifade ettik Son olarak, elde edilen bu kesirsel Chebysev polinomların bazı özelliklerini sunduk Conformable Fractional Chebyshev Equations and Fractional Chebyshev Polynomials Keywords Conformable Fractional Differential Equations; Conformable fractional Chebyshev Differential Equations; Fractional Chebyshev Polynomials Abstract In this work, we give the fractional power series solutions around x 0 -ordinary point of conformable fractional first and second kind Chebyshev differential equations We present first and second kind fractional Chebyshev polynomials using by these solutions Finally, we present certain property of fractional first and second kind Chebyshev polynomials Afyon Kocatepe Üniversitesi Giriş 695 yılında L Hospital tarafından Leibniz e gönderilen bir mektupta türev mertebesinin kesirli olmasının anlamının sorulmasıyla matematik literatürüne giren kesirli diferensiyel denklemler, günümüzde pek çok alanda kendini göstermektedir Tarihsel gelişim süreci içerisinde Liouville, Riemann, Weyl, Fourier, Laplace, Lagrange, Euler, Abel, Lacroix, Grünwald ve Letnikov gibi birçok ünlü matematikçi kesirli türevin tanımı ve kesirli diferensiyel denklemler üzerine çalışmalar yapmıştır O günden bu güne kesirli diferensiyel denklemler kendine birçok uygulama alanı bulmuştur Bunlardan bazıları iletim hatları teorisi, sıvıların kimyasal analizi, ısı transferi, difüzyon, Schrödinger denklemi, malzeme bilimi, akışkanlar, elektrokimya, fraktal süreçler gibi uygulama alanlarıdır (Bayın, 004) Kesirli türevin literatürde birçok farklı tanımı vardır Bu tanımların en popüler olanları Riemann-Liouville ve Caputo tanımlarıdır Bu tanımlar sırasıyla aşağıdaki gibidirler: Riemann-Liouville tanımı: D x f(x) ( d Γ(n ) dx )n (x t) n f(t)dt, 0 n < n Caputo tanımı: x D x f(x) Γ(n ) (x t)n f (n) (t)dt, 0 x n < n

2 Uyumlu kesir mertebeden chebyshev denklemleri ve kesirsel chebyshev polinomları, Ünal vd Riemann-Liouville, Caputo ve diğer kesirli türev tanımları için Kilbas ve ark (006), Miller (993) ve Podlubny (999) referanslarına bakılabilir Son zamanlarda Khalil ve arkadaşları tarafından kesirli türev ve kesirli integralin yeni bir tanımı yapıldı Bu yeni tanım klasik türevin tanımındaki gibi bir limit formundan yararlanır Onlar çalışmalarında, bu yeni kesirli türev tanımı için lineerlik şartını, çarpım kuralını, bölüm kuralını, kesirsel Rolle teoremini ve kesirsel ortalama değer teoremlerini sundular (Khalil, 04) Abdeljawad bu yeni teoriyi geliştirdi Sol ve sağ uyumlu kesirli türev tanımlarını, > için yüksek mertebeden kesirli integral tanımını, kesirsel Gronwall eşitsizliğini, uyumlu kesirli türevler için zincir kuralını ve kısmi integrasyon formüllerini, kesirsel kuvvet seri açılımını ve laplace dönüşümünü verdi (Abdeljawad, 04) Kısa zamanda bu yeni kesirli türevle alakalı bir çok çalışma yapıldı Kesirsel fourier serileri (Khalil, 04), uyumlu kesirli Legendre diferensiyel denklemi ve kesirsel Legender polinomları (Abu Hammad and Khalil 04) uyumlu kesir mertebeden dizisel lineer diferensiyel denklemlerin varlık ve teklik teoremleri (Gökdoğan et al 06), uyumlu kesir merteben Bessel denklemi ve kesirsel Bessel polinomları (Gökdoğan et al 05) bu çalışmalardan bazılarıdır Bu çalışmada, uyumlu kesir merteben birinci ve ikinci tip Chebyshev Diferensiyel denklemlerini çözülüp birinci ve ikinci tip kesirsel Chebyshev polinomlarını elde edilecektir Buna ek olarak birinci ve ikinci tip kesirsel Chebyshev polinomlarının bazı özellikleri sunulacaktır Materyal ve Metot Uyumlu kesirli türev analizi Tanım f: [a, ) R fonksiyonu verilsin f fonksiyonunun bütün x > a ve (0,] için mertebeden sol uyumlu kesirli türevi (T a f(x + ε(x a) ) f(x) f)(x) lim ε 0 ε olarak tanımlanır Burada a 0 olduğu zaman, notasyon T olarak yazılır Eğer (T a f)(x) (a, b) aralığında oluşursa o zaman (T a f)(a) lim x a +(T a f)(x) dır Tanım f: (, b] R fonksiyonu verilsin f fonksiyonunun bütün x < b ve (0,] için mertebeden sağ uyumlu kesirli türevi ( b f(x + ε(b x) ) f(x) Tf)(x) lim ε 0 ε olarak tanımlanır Eğer ( b Tf)(x) (a, b) aralığında oluşursa o zaman ( b Tf)(b) lim x b ( b Tf)(x) dır Teorem (0,] and f, g bir x > 0 noktasında -diferensiyellenebilen iki fonksiyon olsun O zaman () d (af + bg) a d f + b d g dx dx dx, a, b R () d dx (xp ) px p, p R (3) Bütün sabit f(x) λ için d (λ) dx 0 dir (4) d d d (fg) dx f (g) dx + g (f) dx d d (f) f (5) d g dx dx (f/g) dx (g) g (6) Eğer f diferensiyellenebilen bir fonksiyon ise o zaman d df dx (f(x)) x dx (x) dır Teorem f fonksiyonu bazı 0 < için bir x 0 noktasının komşuluğunda sonsuz diferensiyellenebilen bir fonksiyon olsun O zaman f fonksiyonu aşağıdaki gibi bir kesirsel kuvvet seri açılımına sahiptir: f(x) ( (k) T x 0 (k) f)(x 0 )(x x 0 ) k k, x k! 0 < x < x 0 + R /, R > 0 x Burada, ( T 0 f) (x 0 ) k kez f fonksiyonunun uyumlu kesir türevinin alınması manasınadır Uyumlu kesirli diferansiyel denklemler ve adi nokta civarında çözümleri Bu bölümde, Ünal ve ark (05) tarafından yapılan bazı tanım ve teoremler verilecektir En genel dizisel lineer homojen uyumlu kesirli diferansiyel denklem AKÜ FEMÜBİD 6 (06)

3 Uyumlu kesir mertebeden chebyshev denklemleri ve kesirsel chebyshev polinomları, Ünal vd (n) T a (n ) y + a n (x) T a y+ +a (x)t a y + a 0 (x)y 0 () şeklinde yazılabilir Burada (n) T a y, y fonksiyonuna art arda n kez uyumlu kesir mertebeden türevin uygulanması manasınadır Tanım 3 (0,], f(x), [a, b] aralığında tanımlı reel değerli bir fonksiyon ve x 0 [a, b] olsun Bu durumda N(x 0 ), x 0 ın bir komşuluğu olmak üzere x N(x 0 ) için f(x) fonksiyonu, (x x 0 ) nın doğal kuvvetlerinin bir serisi olarak yazılabiliyorsa f(x) fonksiyonuna x 0 noktasında - analitiktir denir Yani f(x), c k (x x 0 ) k (c k R) olarak yazılabilir ve x x 0 < δ (δ > 0) için bu seri mutlak yakınsaktır Burada δ, serinin yakınsaklık yarıçapıdır Tanım 4 (0,], x 0 [a, b] ve k 0,,,, n için a k (x) fonksiyonları x 0 [a, b] noktasında -analitik olsun Bu durumda, x 0 [a, b] noktasına () denkleminin bir -adi noktası denir Eğer x 0 [a, b] bir -adi noktası değilse, o zaman bu noktaya singüler nokta denir Örnek a) Aşağıdaki uyumlu kesir mertebeden diferansiyel denklemleri göz önüne alalım T y x y 0 T y x y 0 x T y x T y + x y 0 Herhangi bir x x 0 > 0 noktası yukarıdaki denklemlerin -adi noktasıdır b) (x ) T y y 0 (x ) T y (x ) T y + (x ) y 0 Bu denklemler için, herhangi bir x x 0 > noktası adi noktadır Teorem 3 (0,] ve x 0 [a, b] T x 0 T x 0 y + p(x)t x 0 y + q(x)y 0 () denkleminin bir -adi noktası olsun O zaman c 0 y(x 0 ), c T y(x 0 ) başlangıç şartları ile verilen () denkleminin x (x 0, x 0 + ρ) için aşağıdaki gibi bir çözümü vardır: y c k (x x 0 ) k burada ρ min {δ, δ } dir Burada x 0, () denkleminin bir -adi noktası olduğu için, Tanım 3 ve Tanım 3 den dolayı p(x) p k (x x 0 ) k ve q(x) q k (x x 0 ) k dir 3 Bulgular (x [x 0, x 0 + δ ]; δ > 0) (x [x 0, x 0 + δ ]; δ > 0) 3 Uyumlu kesir mertebeden birinci tip Chebyshev diferensiyel denklemi ve kesirsel Chebyshev polinomları Aşağıdaki uyumlu kesir mertebeden birinci tip Chebyshev diferensiyel denklemini göz önüne alalım: ( x () ) T y x T y + p y 0 (3) Burada (0,] ve p bir sabittir Eğer olursa, o zaman (3) denklemi klasik birinci tip Chebyshev diferensiyel denklemine dönüşür x 0 noktası (3) denkleminin bir -adi noktasıdır Şimdi Teorem 3 gereğince (3) denkleminin aşağıdaki gibi çözümlerini araştıralım: y n0 c n x n (4) (4) denklemi ve (4) denkleminin uyumlu mertebeden kesirli türevleri (3) denkleminde yerine yazılacak olursa c + 6 c 3 x c x + p c 0 + p c x + [(n + )(n + ) c n+ n + (p n ) c n ]x n 0 sonucu elde edilir Bu durumda c + p c 0 0 AKÜ FEMÜBİD 6 (06)

4 Uyumlu kesir mertebeden chebyshev denklemleri ve kesirsel chebyshev polinomları, Ünal vd c n 6 c 3 + (p )c 0 (n + )(n + ) c n+ + (p n ) c n 0 c p c! 0 c 4 p ( p ) c 4! 0 c 6 p ( p )(4 p ) p ( p )(4 p ) ((n ) p ) (n)! yazılır n tek ise c n+ 6! c 0 c 3 p c 3! c 5 ( p )(3 p ) c c 7 ( p )(3 p )(5 p ) ( p )(3 p )(5 p ) ((n ) p ) (n + )! elde edilir Böylece (3) denkleminin çözümü y(x) c 0 + c 0 p ( p )(4 p ) ((n ) p ) (n)! n + c x 7! c x n + c ( p )(3 p )(5 p ) ((n ) p ) (n + )! c 0 c x (n+) n olarak bulunur Burada c 0 ve c keyfi sayılardır c 0 ve c 0 için (3) denkleminin çözümüne F(x) denirse F(x) + p x + p ( p ) x 4! 4! + p ( p )(4 p ) x 6 6! + yazılabilir Benzer olarak c 0 0 ve c için (3) denkleminin çözümüne G(x) denirse yazılabilir Böylece c n katsayıları için n çift olmak üzere G(x) x + p x 3 + ( p )(3 p ) x 5 + 3! ( p )(3 p )(5 p ) 7! x 7 + şeklinde ifade edilir p bir tamsayı olduğu zaman, bu iki fonksiyondan birisi sınırlı sayıda terim içerir Örneğin, Eğer p çift bir tamsayı ise F(x) fonksiyonu sınırlı sayıda terimden oluşur Tersine p tek bir tamsayı ise o zaman G(x) fonksiyonu sınırlı sayıda terim içerir Bu durumda, elde edilen fonksiyon p dereceden kesirsel polinom olacaktır Elde edilen bu kesirsel polinomlar yardımıyla p dereceden kesirsel Chebyshev polinomu; p çift ise (Ђ ) p (x) ( ) p F(x) p tek ise (Ђ ) p (x) ( ) (p ) pg(x) olarak tanımlanır Birinci tip ilk birkaç kesirsel Chebyshev polinomu (Ђ ) 0 (x) (Ђ ) (x) x (Ђ ) (x) + x (Ђ ) 3 (x) 3x + 4x 3 (Ђ ) 4 (x) 8x + 8x 4 (Ђ ) 5 (x) 5x 0x 3 + 6x 5 (Ђ ) 6 (x) + 8x 48x 4 + 3x 6 şeklindedir Sonuç 3 Ђ p (x) klasik Chebyshev polinomu olsun O zaman (Ђ ) p (x) Ђ p (x ) dir Özellik 3 (Ђ ) p (x) x (Ђ ) p (x) (Ђ ) p (x), p,3, p için (Ђ ) p (x) deki x p nın katsayısı p dir 3 0 x için (Ђ ) p (x) cos(p arccos(x )) dir AKÜ FEMÜBİD 6 (06)

5 Uyumlu kesir mertebeden chebyshev denklemleri ve kesirsel chebyshev polinomları, Ünal vd 4 p,3, için (Ђ ) p (x) ((Ђ ) (x)) (T T ((Ђ ) p (x)) ) p 5 (Ђ ) m (x)(ђ ) n (x) (Ђ ) m+n (x) + (Ђ ) m n (x) 6 Eğer p çift ise (Ђ ) p (x), 0 x aralığına p farklı köke sahiptir ve kökler k,, p için x k [cos ( (k )π )] p şeklindedir 7 Eğer p tek ise (Ђ ) p (x), 0 x aralığında k,, şeklindedir farklı köke sahiptir Kökler için x k [cos ( (k )π )] p 8 Eğer j, l N için 0 < l+ j+ ise (Ђ ) p (x) x aralığında p tane farklı köke sahiptir Kökler k,, p için x k [cos ( (k )π )] p şeklindedir İspat: ) Eğer p bir çift sayı ise p tek ve p çift sayı olur Buna göre x (Ђ ) p (x) (Ђ ) p (x) x (p )( ) (p ) G(x) ( ) (p ) F(x) ( ) p ( + p! x + p ( p ) x 4 + ) 4! ( ) p F(x) (Ђ ) p (x) olduğu görülür Eğer p bir tek sayı ise p çift ve p tek sayı olur Buna göre x (Ђ ) p (x) (Ђ ) p (x) x ( ) (p ) F(x) ( ) (p 3) (p )G(x) ( ) (p ) p( p )(3 p ) (Ђ ) p (x) (px + p( p ) x 3 + 3! x 5 + ) ( ) (p ) pg(x) olduğu görülür ) Bu özellik Özellikteki rekürsif bağıntı aracılığıyla görülür (Ђ ) p (x) nin x ile çarpıldığı düşünülecek olursa verilen özellik ispatlanabilir 3) Bu özelliğin ispatı için cos(pθ) cos(θ)cos((p )θ) sin((p )θ) trigonometrik açılımından faydalanmalıyız cos(θ) cos (θ) ve cos(θ) yukarıdaki denklemde yerine yazılacak olursa cos(pθ) cos(θ) (cos(θ)cos((p )θ)) sin((p )θ) cos((p )θ) elde edilir Bu ifade sadeleştirilecek olursa cos(pθ) cos(θ)cos((p )θ) cos((p )θ) elde edilir Son olarak, θ arccos(x ) yazılırsa 0 x için x cos((p )arccos(x )) cos((p )arccos(x )) cos(p arccos(x )) (5) elde edilir Eğer j N için 0 < j+ ise o zaman x için x cos((p )arccos(x )) cos((p )arccos(x )) cos(p arccos(x )) elde edilir İlk iki birinci tip Chebyshev polinomları için (Ђ ) 0 (x) cos(0 arccos(x )) ve (Ђ ) (x) cos( arccos(x )) x olup özellik sağlanır Şimdi k,3, p için (Ђ ) k (x) cos(k arccos(x )) olduğunu varsayalım (5) denklemi ile Özelliği beraber düşünürsek 0 x için (Ђ ) p (x) x (Ђ ) p (x) (Ђ ) p (x) x cos((p )arccos(x )) cos((p )arccos(x )) cos(p arccos(x )) yazılır Eğer j N için 0 < j+ ise o zaman x (Ђ ) p (x) cos(p arccos(x )) yazılabilir 4) θ arccos(x ) olmak üzere T ((Ђ ) (x)) sin((p )θ) sinθ sin(()θ) sinθ ve T ((Ђ ) p (x)) p AKÜ FEMÜBİD 6 (06)

6 Uyumlu kesir mertebeden chebyshev denklemleri ve kesirsel chebyshev polinomları, Ünal vd dir ((Ђ ) (x)) (T (sin(()θ) sinθ T ((Ђ ) p (x)) ) p sin((p )θ) ) cospθ (Ђ sinθ ) p (x) elde edilir Bu da ispatı tamamlar 5) cosmθcosnθ cos((m + n)θ) + cos((m n)θ) yardımıyla sonuç görülür 6) (Ђ ) p (x) cos(p arccos(x )) 0 p arccos(x (k )π ) arccos(x (k )π ) p x (k )π cos ( ) p (k )π x (cos ( )) p elde edilir Eğer p çift ise, k,, p için (k )π cos ( ) 0 p olur Böylece, 0 x aralığında p tane farklı kök vardır 7) Eğer p tek ise, k,, için (k )π cos ( ) 0 p olur Böylece, 0 x aralığında tane farklı kök vardır 8) Eğer j, l N için 0 < l+ ise, j+ k,, p için (k )π cos ( ) p olup x aralığında p tane farklı kök oluşur 3 Uyumlu kesir mertebeden ikinci tip Chebyshev diferensiyel denklemi ve kesirsel Chebyshev polinomları Aşağıdaki uyumlu kesir mertebeden ikinci tip Chebyshev diferensiyel denklemini göz önüne alalım: ( x () ) T y 3x T y + p(p + )y 0 (6) Burada (0,] ve p bir sabittir Eğer olursa, o zaman (6) denklemi klasik ikinci tip Chebyshev diferensiyel denklemine dönüşür x 0 noktası (6) denkleminin bir -adi noktasıdır Şimdi Teorem 3 gereğince (6) denkleminin (4) deki gibi çözümlerini araştıralım (4) denklemi ve (4) denkleminin uyumlu mertebeden kesirli türevleri (6) denkleminde yerine yazılacak olursa c + 6 c 3 x 3 c x + p(p + )c 0 + p(p + )c x + [(n + )(n + ) c n+ n + (p(p + ) n(n + )) c n ]x n 0 sonucu elde edilir Bu durumda c + p(p + )c c 3 + (p + 3)(p )c 0 (n + )(n + ) c n+ + (p(p + ) n(n + )) c n 0 yazılabilir Böylece c n katsayıları için n çift olmak üzere p(p + ) c c! 0 p(p + )(4 p(p + )) c 4 c 4! 0 c 6 p(p + )(4 p(p + ))(46 p(p + )) 6! c n p(p + )(4 p(p + ))(46 p(p + )) ((n )n p(p + )) c (n)! 0 yazılır n tek ise c 7 (3 p(p + )) c 3 c 3! (3 p(p + ))(35 p(p + )) c 5 c (3 p(p + ))(35 p(p + ))(57 p(p + )) 7! c n+ (3 p(p + ))(35 p(p + ))(57 p(p + )) ((n )(n + ) p(p + )) c (n + )! c 0 c AKÜ FEMÜBİD 6 (06)

7 Uyumlu kesir mertebeden chebyshev denklemleri ve kesirsel chebyshev polinomları, Ünal vd elde edilir Böylece (5) denkleminin çözümü y(x) c 0 + c 0 c x + c p(p+)(4 p(p+))(46 p(p+)) ((n )n p(p+)) n x n + (n)! (3 p(p+))(35 p(p+))(57 p(p+)) ((n )(n+) p(p+)) n x (n+) (n+)! olarak bulunur Burada c 0 ve c keyfi sayılardır c 0 ve c 0 için (6) denkleminin çözümüne F(x) denirse F(x) p(p + ) + x! p(p + )(4 p(p + )) + x 4 4! p(p + )(4 p(p + ))(46 p(p + )) + x 6 6! + yazılabilir Benzer olarak c 0 0 ve c için (6) denkleminin çözümüne G(x) denirse G(x) (3 p(p + )) x + x 3 3! (3 p(p + ))(35 p(p + )) + x 5 (3 p(p + ))(35 p(p + ))(57 p(p + )) + 7! + şeklinde ifade edilir p bir tamsayı olduğu zaman, bu iki fonksiyondan birisi sınırlı sayıda terim içerir Örneğin, Eğer p çift bir tamsayı ise F(x) fonksiyonu sınırlı sayıda terimden oluşur Tersine p tek bir tamsayı ise o zaman G(x) fonksiyonu sınırlı sayıda terim içerir Bu durumda, elde edilen fonksiyon p dereceden kesirsel polinom olacaktır Elde edilen bu kesirsel polinomlar yardımıyla p dereceden kesirsel ikinci tip Chebyshev polinomu; p çift ise (U ) p (x) ( ) p F(x) p tek ise (U ) p (x) ( ) (p ) ( ) G(x) olarak tanımlanır İkinci tip ilk birkaç kesirsel Chebyshev polinomu (U ) 0 (x) (U ) (x) x (U ) (x) + 4x (U ) 3 (x) 4x + 8x 3 (U ) 4 (x) x + 6x 4 (U ) 5 (x) 6x 3x 3 + 3x 5 (U ) 6 (x) + 4x 80x x 6 x 7 şeklindedir Sonuç 3 U p (x) klasik ikinci tip Chebyshev polinomu olsun O zaman (U ) p (x) U p (x ) dir Özellik 3 p,3, için (U ) p (x) x (U ) p (x) (U ) p (x), 0 x için θ arccosx olmak üzere (U ) p (x) sin(()θ) dır 3 p,,3, için (Ђ ) (x) x (Ђ ) p (x) ( x )(U ) p (x) 4 p,,3, için T ((Ђ ) p (x)) p(u ) p (x) 5 p,,3, için (Ђ ) p (x) (U ) p (x) x (U ) p (x) 6 p,3, için (Ђ ) p (x) ((U ) p (x) (U ) p (x)) 7 Eğer p çift ise (U ) p (x), 0 x aralığına p farklı köke sahiptir ve kökler k,, p için x k [cos ( kπ )] şeklindedir 8 Eğer p tek ise (U ) p (x), 0 x aralığında k,, şeklindedir farklı köke sahiptir Kökler için x k [cos ( kπ )] 9 Eğer j, l N için 0 < l+ j+ ise (U ) p (x) x aralığında p tane farklı köke sahiptir Kökler k,, p için x k [cos ( kπ )] şeklindedir İspat: ) Özellik 4 in şıkkının ispatında yapılanlara benzer olarak ispatlanabilir ) Bu özelliğin ispatı için AKÜ FEMÜBİD 6 (06)

8 Uyumlu kesir mertebeden chebyshev denklemleri ve kesirsel chebyshev polinomları, Ünal vd sin((p + )θ) cos(θ)sin(pθ) sin((p )θ) trigonometrik açılımından faydalanılır Her iki tarafı ile bölünürse sin((p + )θ) cos(θ) sin(pθ) sin((p )θ) olur Son olarak θ arccos(x ) yerine yazılırsa 0 x için sin((p + )arccos(x )) x sin(parccos(x )) sin((p )arccos(x )) elde edilir Eğer j N için 0 < j+ ise o zaman x için sin((p + )arccos(x )) x sin(parccos(x )) sin((p )arccos(x )) yazılabilir İlk iki ikinci tip Chebyshev polinomları için (U ) 0 (x) ve (U ) (x) x olup özellik sağlanır Şimdi k,3, p için (U ) k (x) cos(k arccos(x )) olduğunu varsayılsın (9) denklemi ile Özelliği beraber düşünülürse 0 x için (U ) p (x) x (U ) k (x) (U ) k (x) sin(pθ) x sin((p )θ) cos(θ) sin(pθ) sin((p )θ) sin((p + )θ) yazılır Eğer j N için 0 < ise o j+ zaman x yazılabilir (U ) p (x) sin((p + )θ) 3) θ arccos(x ) için (Ђ ) p (x) cos(pθ), (U ) p (x) sin(pθ) ve x sin (θ) dir Bu sonuçlar için x (Ђ ) p (x) ( x )(U ) p (x) cos(θ)cos(pθ) sin(pθ) cos((p + )θ) (Ђ ) (x) olur Bu da ispatı tamamlar 4) θ arccos(x ) olmak üzere T (Ђ p (x)) p sin(pθ) p(u ) p (x) olur Böylece ispat tamamlanır 5) Trigonometric formüllere göre yazılabilir cos(pθ) sin((p + )θ) + cos((p + )θ)cos(θ) cos((p + )θ) cos(pθ) cos(θ) sin(pθ) açılımı yardımıyla cos(pθ) sin((p + )θ) sin(pθ)cos(θ) + cos(pθ)cos (θ) yazılır Buradan da cos(pθ) sin(()θ) sin(pθ) cos(θ) (7) olduğu görülür cos(θ) x olduğu da göz önüne alınırsa (Ђ ) p (x) (U ) p (x) x (U ) p (x) sonucuna ulaşılır 6) 5 Özellikteki (7) denkleminde sin(pθ)cos(θ) ifadesi için trigonometrik çarpım formülünden yararlanılarak ispat tamamlanır 7) (U ) p (x) sin((p + )arccos(x )) (p + )arccos(x ) kπ arccos(x ) kπ p + x cos ( kπ p + ) x (cos ( kπ p + )) elde edilir Eğer p çift ise, k,, p için 0 AKÜ FEMÜBİD 6 (06)

9 Uyumlu kesir mertebeden chebyshev denklemleri ve kesirsel chebyshev polinomları, Ünal vd cos ( kπ p + ) 0 olur Böylece, 0 x aralığında p tane farklı kök vardır 8) Eğer p tek ise, k,, için cos ( kπ p + ) 0 olur Böylece, 0 x aralığında tane farklı kök vardır 9) Eğer j, l N için 0 < l+ ise, j+ k 0,,, p için cos ( kπ p + ) olup x aralığında p tane farklı kök oluşur 4 Tartışma ve Sonuç Bu çalışmada, uyumlu kesir mertebeli birinci ve ikinci tip Chebyshev diferensiyel denklemleri çözülerek birinci ve ikinci tip kesirsel Chebyshev polinomları elde edilmiştir Buna ek olarak birinci ve ikinci tip kesirsel Chebyshev polinomlarının bazı özellikleri sunulmuştur Bu çalışmada uyumlu kesir mertebeden türev yardımıyla elde edilen sonuçların klasik türev yardımıyla elde edilen sonuçlarla uyumlu olduğu görülmüştür Abdeljawad, T, 05 On conformable fractional calculus, J Comput Appl Math, 79, Khalil, R, 04 Fractional Fourier Series with Applications, American Journal of Computational and Applied Mathematics, 46, 87-9 Khalil, R and Abu Hammad, M, 04 Legendre fractional differential equation and Legendre fractional polynomials, International Journal of Applied Mathematical Research, 33, 4-9 Gökdoğan, A, Ünal, E and Çelik, E, 06 Existence and Uniqueness Theorems for Sequential Linear Conformable Fractional Differential Equations, to appear, Miskolc Mathematical Notes Gökdoğan, A, Ünal, E and Çelik, E, 05 Conformable Fractional Bessel Equation and Bessel Functions, arxiv preprint arxiv: Ünal, E, Gökdoğan, A and Çelik, E, 05 Solutions of Sequential Conformable Fractional Differential Equations around an Ordinary Point and Conformable Fractional Hermite Differential Equation, British Journal of Applied Science & Technology, 0(), - Kaynaklar Bayın, Ş S, 004 Fen ve Mühendislik Bilimlerinde Matematik Yöntemler, Ders Kitapları AŞ Kilbas, A, Srivastava, H and Trujillo, J, 006 Theory and Applications of Fractional Differential Equations, North-Holland, New York Miller, KS, 993 An Introduction to Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, J Wiley and Sons, New York Podlubny, I, 999 Fractional Differential Equations, Academic Press, USA Khalil, R, Al Horani, M, Yousef, A and Sababheh, M, 04 A new Definition of Fractional Derivative, J Comput Appl Math, 64, AKÜ FEMÜBİD 6 (06)