FİBONACCİ-HANKEL VE PELL-HANKEL MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR

Transkript

1 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ FİBONACCİ-HANKEL VE PELL-HANKEL MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR Ali MERT YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR MAYIS - 01

2 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ FİBONACCİ-HANKEL VE PELL-HANKEL MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR Ali MERT YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN: Yrd.Doç.Dr.Şerife BÜYÜKKÖSE KIRŞEHİR MAYIS - 01

3 Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğü ne Bu çalışma jürimiz tarafından MATEMATİK Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Başkan: Yrd.Doç.Dr.Şerife BÜYÜKKÖSE Akademik Ünvanı, Adı-Soyadı Üye: Yrd.Doç.Dr.Baki YAĞBASAN Akademik Ünvanı, Adı-Soyadı Üye: Yrd.Doç.Dr.Yasemin KIYMAZ Akademik Ünvanı, Adı-Soyadı Onay Yukarıdaki imzaların, adı geçen öğretim üyelerine ait olduğunu onaylarım..../.../0.. Doç.Dr.Mahmut YILMAZ Enstitü Müdürü

4 ÖZET Bu çalışmada Fibonacci ve Pell sayılarının özelliklerinden yararlanılarak Fibonacci-Hankel ve Pell-Hankel matrisleri tanımlanmıştır. Ayrıca bu matrislerin normları, bu sayıların özellikleri de dikkate alınarak incelenmiş ve sınırlar bulunmuştur. Anahtar Kelimeler: Vektör normu, Matris normu, Spektral norm, Euclidean norm, Fibonacci-Hankel matrisi, Pell-Hankel matrisi i

5 ABSTRACT In this study, we defined Fibonacci-Hankel matrix and Pell-Hankel matrix by using Fibonacci and Pell numbers. In addition, we found new bounds of norms of these matrices, in accordance with specification these numbers. Keywords: Vector norm, Matrix norm, Spektral norm, Euclid norm, Fibonacci- Hankel matrix, Pell-Hankel matrix ii

6 TEŞEKKÜR Bana araştırma olanağı sağlayan ve çalışmalarımın her safhasında yakın ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren danışman hocam, Sayın Yrd.Doç.Dr Şerife BÜYÜKKÖSE YE, benim bu günlere gelmemi sağlayan değerli aileme, öğrenim hayatım boyunca yanımda olan değerli öğretmenlerime teşekkürlerimi sunarım. Ali MERT iii

7 İÇİNDEKİLER DİZİNİ ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii İÇİNDEKİLER DİZİNİ iv SİMGELER VE KISALTMALAR ÖN BİLGİLER Normlar Vektör Normları Matris Normları Matris Normları Arasındaki Bağıntılar Hadamard Çarpımı Hankel Matrisi Fibonacci Sayıları ve Özellikleri Pell Sayıları ve Özellikleri FİBONACCİ-HANKEL MATRİSLERİ Fibonacci-Hankel Matrisleri Fibonacci Hankel Matrislerinin Normları İçin Sınırlar. 1 3 PELL-HANKEL MATRİSLERİ Pell-Hankel Matrisleri Pell-Hankel Matrislerinin Normları İçin Sınırlar iv

8 KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v

9 SİMGELER VE KISALTMALAR. Norm. Mutlak Değer. 1 Toplam Normu. Spectral Norm. F Frobenius Normu. Maksimum Normu c(a) Maksimum Sütün Normu r(a) Maksimum Satır Normu A H Eşlenik Transpoze 1

10 1 ÖN BİLGİLER 1.1 Normlar R üzerinde tanımlanan mutlak değer fonksiyonu ile; büyüklükleri, dizilerin yakınsaklığı, fonksiyonların sürekliliği, limitleri ve verilen bir reel sayı için bu sayıya en yakın asal ve tamsayıyı bulma gibi yaklaşım problemleri çözülebilir. Aynı şeyler bir vektör uzayı üzerinde tanımlanan bir norm için de geçerlidir. V reel vektör uzayı olmak üzere bu uzayda tanımlanan bir norm ile vektör normlarını karşılaştırabiliriz. Vektör dizilerinin yakınsaklığı irdelenebilir, dönüşümlerin sürek liligi ve limitleri çalışılabilir, verilen bir vektör için V vektör uzayının bir alt uzayı veya bir alt cümlesindeki en yakın elamanı bulmak gibi yaklaşım problemleri düşünülebilir. Bu problemler genellikle analiz, Lie teori, nümerik analiz, diferensiyel denklemlerde, Markov zincirlerinde, ekonometride, biyolojide ve sosyolojide, popülasyon modellemede, fizik ve kimyada denge durumlarında ortaya çıkar. Ayrıca normlar; singüler değer ayrışımında, Ax = b probleminin analizinde ve şart sayısı kavramının tanımlanmasında önemli rol oynarlar. Bu bölümde vektör ve matris normları üzerinde duracağız. Norm fonksiyonu.,. α sembollerinden birisi ile gösterilecektir. α ise normun çeşidini belirten sabittir Vektör Normları Tanım 1.1 [8] V,F(R veya C) cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. Eğer. : V V R fonksiyonu;

11 1. x V için x 0 (pozitif tanımlılık aksiyomu) ;. x V olmak üzere x = 0 olması için gerek ve yeter şart x = 0 olmasıdır; 3. x V ve α F için αx = α x (mutlak homojenlik aksiyomu) ; 4. x, y V için x + y x + y ( üçgen eşitsizliği ) şartlarını sağlıyorsa bu fonksiyona bir vektör normu denir. Yani vektör normu, her x vektörüne karşılık gelen, x şeklinde gösterilen negatif olmayan bir sayıdır. Diğer bir ifade ile x vektörünün pozitif bir sayıya dönüştürülmesi işlemine norm denir. Şimdi de vektör normlarının çeşitlerinden bahsedelim. a) Toplam normu: [8] x bir vektör olmak üzere şeklinde tanımlanır. x 1 = x 1 + x x n = n x i b) Euclid normu (Frobenius normu): [8] x bir vektör olmak üzere, x = ( ( n ) 1 x 1 + x x n ) 1 = x i olarak tanımlanır. c) Maksimum normu : [8] x herhangi bir vektör olmak üzere, x = max 1 i n x i i=1 i=1 3

12 ile tanımlanır. (a) ve (b) de verilen normlar genel olarak 1 p < olmak üzere, x p = ( x 1 p + x p x n p ) 1 p ( n ) 1 p = x i p i=1 (1.1) Hölder normu (l p normu) olarak adlandırılır. (1.1) eşitliği ile verilen Hölder (l p ) normuna p-normu da denir. p- normlarının klasik bir sonucu olarak 1 p + 1 q = 1 olmak üzere (x, y) x p y q ile tanımlanan eşitsizliğe Hölder Eşitsizliği denir. x herhangi bir vektör olmak üzere normlar arasında; a) x x 1 n x p b) x x n x c) x x 1 n x bağıntıları mevcuttur. 4

13 1.1. Matris Normları Tanım 1. [8] M m n (F ) m n matrislerinin kümesini göstermek üzere, M N : M m n (F ) R + şeklinde tanımlanan dönüşüm aşağıdaki şartları sağlarsa o zaman bu dönüşüme matris normu denir ve matris normu A M n (F ) için M N (A) = A şeklinde gösterilir. 1. A M n (F ) için A 0 ise A 0 ve A = 0 A = 0 dır.. A M n (F ) ve α F için αa = α A dır. 3. A, B M n (F ) için A + B A + B dir. 4. A, B M n (F ) için AB A B dir. Eğer sadece (1), () ve (3) aksiyomları sağlanırsa, o zaman bu norma genelleştirilmiş matris normu, (1), (), (3) ve (4) aksiyomlarının hepsi sağlanırsa buna da matris normu denir. Şimdi de kısaca bilinen matris norm çeşitlerini verelim. Tanım 1.3 [8] A = (a ij ) m n bir matris olmak üzere, A 1 = max 1 j n n a ij (1.) i=1 şeklinde tanımlanan norma sütun normu denir. Tanım 1.4 [8] A = (a ij ) m n bir matris olmak üzere, A = max 1 i n n a ij (1.3) j=1 şeklinde tanımlanan norma satır normu denir. 5

14 Tanım 1.5 [8] Herhangi bir A matrisinin A T transpozesini alalım. A T matrisinin elamanlarının her biri ) yerine elemanın kompleks konjugesini alarak elde edilen yeni (A T matrisine A matrisinin hermitian (eşlenik) transpozesi denir ve A H ile gösterilir. Tanım 1.6 [8] A = (a ij ) m n ve A H A nın özdeğerlerinin karaköküne A nın singüler değerleri denir ve A nın singüler değerleri kümesi σ(a) = { λ i : λ i, A H A nın özdeğerleri} dir. Tanım 1.7 [8] A = (a ij ) m n matris ve A H matrisi A matrisinin eşlenik transpozesi olmak üzere A H A çarpım matrisinin mutlak değerce en büyük özdeğerinin kareköküne A matrisinin spektral normu denir ve A ile gösterilir. Yani, A ={λ : λ, A H A nın mutlak değerce en büyük özdeğerinin karekökü} A = λ max (A H A) = σ max (A) olarak tanımlanır. Tanım 1.8 [8] A = (a ij ) m n bir matris olmak üzere, A E = ( m i=1 n j=1 a ij ) 1 = iz(a H A) = = r σi (A) i=1 iz(aa H ) (1.4) ile verilen norma Euclid normu denir. Burada r rankı göstermektedir. Bazen Euclid normu yerine Frobenius normu, Schur norm veya Hilbert-Schmidt normu ifadeleri de kullanılır. 6

15 Tanım 1.9 [8] A = (a ij ) m n matris ve 1 p < olmak üzere; A p = ( n i,j=1 a ij p ) 1 p (1.5) şeklinde tanımlanan norma A matrisinin l p normu denir. Tanım 1.10 [8] A = (a ij ) n n ve x = (x 1, x,..., x n ) vektörü için 1 p < olmak üzere l p operatör normu şeklinde tanımlanır. A p = max{ Ax p : x p = 1} (1.6) Tanım 1.11 [8] A = (a ij ) n n matrisi için 1 p, q < olmak üzere l pq karma normu şeklinde tanımlanır. A pq = ( n n j=1 i=1 a ij p ) q p 1 q (1.7) Hemen belirtelim ki; l pq karma normunda p = q durumunu göz önüne alırsak, o zaman bu norm l p matris normu olur. Tanım 1.1 [8] A = (a ij ) m n matris olsun. A matrisinin bütün satırlarının ve sütünlarının Euclid uzunlukları sırasıyla n r i (A) = a ij i = 1,,..., m (1.8) ve j=1 c j (A) = n a ij j = 1,,..., n (1.9) i=1 7

16 ile gösterilir. Ayrıca maksimum satır normu, r(a) = max a ij i j ve maksimum sütun normu, şeklinde ifade edilir. c(a) = max j a ij i Matris Normları Arasındaki Bağıntılar Matris normlarında. 1,.,. F ve. sırasıyla satır, spectral, Frobenius (Euclid) ve sütun normlarını göstermek üzere, A = (a ij ) m n tipinde bir matris olsun. Bu durumda A matrisinin normları arasında A A F n A A A mn A ( A = max a ij ) A A 1 A 1 A A m A n 1 A 1 A n A 1 m bağıntıları mecvuttur. 8

17 1.1.4 Hadamard Çarpımı [8] A = (a ij ) ve B = (b ij ), m n matrisler olsun. A ve B nin Hadamard çarpımı; C = AoB = (a ij b ij ) şeklinde bir C = (a ij b ij ) m n tipinde matristir ve dir. C r 1 (A)c 1 (B) [4] Hadamard çarpımı için uygun şartlar iki matrisin aynı mertebeye sahip olması gerektiğidir ve bilinen matris toplamında olduğu gibi karşılıklı aynı indisli elemanların çarpımı şeklindedir. Hadamard çarpımı alanındaki ilk sonuçlar Issai Schur tarafından elde edildiği için bu çarpım Schur çarpımı olarak da adlandırılır. Bu alandaki çalışmaların çoğunluğu Hadamard çarpımı altında pozitif yarı tanımlı matrislerin durumu ile alakalıdır. 1. Hankel Matrisi Bir Hankel matrisi; H n = [h ij ] n 1 i,j=0 şeklindedir ve burada h ij = h i+j olarak tanımlanır. Yani h 0 h 1 h... h n 1 h 1 h h 3... h n H n = h h 3 h 4... h n h n 1 h n h n+1... h n şeklindedir. Buradan da görüldüğü gibi Hankel matrisleri simetriktir. 9

18 1.3 Fibonacci Sayıları ve Özellikleri [9] F 0 = 0 ve F 1 = 1 olmak üzere n 0 için F n+ = F n+1 + F n (1.10) şeklinde tanımlanan sayılara Fibonacci sayıları denir. Bu sayılar Pisalı Leonardo Fibonacci tarafından tanımlanmıstır. Bazı Fibonacci sayıları; n F n şeklinde verilebilir. Ayrıca Fibonacci sayılarının negatif indisli terimleri F n = ( 1) n+1 F n olmak üzere; şeklinde tanımlanır. n F n Fibonacci sayıları arasındaki bazı bağıntılar aşağıdaki gibidir.[9] n F i = F n F n+1 (1.11) i=1 F n+1 F n 1 + F n F n 1 = F n+1 F n (1.1) F n+1 + F n = F n+1 (1.13) F n + F n 1 = F n 1 (1.14) F n 1 + F n = F n (1.15) F n+1 F n 1 F n = ( 1) n (1.16) F n+1 F n = F n+ F n 1 (1.17) n+1 i=1 F i F i 1 = F n+1 1 (1.18) 10

19 1.4 Pell Sayıları ve Özellikleri Pell dizisi P 0 = 0, P 1 = 1 başlangıç koşulları ve n 0 için P n+ = P n+1 + P n bağıntısı ile tanımlanır. Bazı Pell sayıları; n P n şeklinde verilebilir. Pell dizisinin negatif indisli terimleri P n = ( 1) n+1 P n olmak üzere, şeklinde tanımlanır. n P n Pell sayıları arasındaki bazı bağıntılar aşağıdaki gibidir.[4] P n+1 = P n + P n+1 (1.19) P n+r = P r P n+1 + P r 1 P n (1.0) P n = P n (P n+1 + P n 1 ) (1.1) ( 1) n = P n+1 P n 1 P n (1.) 1 = P n P n 1 + P n 1 P n (1.3) P n 1 P n = Pn+1 Pn 1 P n P n+1 (1.4) n Pi = P np n+1 (1.5) i=1 P n+1 = P n + P n 1 (1.6) 11

20 FİBONACCİ-HANKEL MATRİSLERİ.1 Fibonacci-Hankel Matrisleri Tanım.1 Fibonacci-Hankel matrisi F = [F ij ] n 1 i,j=0, F ij = F i+j şeklinde tanımlanır ve burada F n, n-inci Fibonacci sayısıdır. Fibonacci-Hankel matrisi; F 0 F 1 F... F n 1 F 1 F F 3... F n F = F F 3 F 4... F n F n 1 F n F n+1... F n şeklindedir.. Fibonacci Hankel Matrislerinin Normları İçin Sınırlar Lemma. F n, n-inci Fibonacci sayısı olmak üzere; F n (F n F n 1 ) 1 ; n tek F 1 F + F F F n F n 1 = F n (F n F n 1 ) ; n çift. İspat. F 1 F + F F F n F n 1 ifadesinin eşitini bulmak için; (1.17) eşitliğinde F n+ yerine F n+ = F n+1 + F n değerini yazarsak, F n+1 F n = (F n+1 + F n ) F n 1 = F n+1 F n 1 + F n F n 1 (.1) 1

21 elde edilir. (.1) eşitliğinde n yerine sırasıyla,3,...,n-1 yazarsak F 3 F = F 3 F 1 + F F 1 F 4 F 3 = F 4 F + F 3 F F 5 F 4 = F 5 F 3 + F 4 F 3. F n F n 3 = F n F n 4 + F n 3 F n 4 F n 1 F n = F n 1 F n 3 + F n F n 3 F n F n 1 = F n F n + F n 1 F n ifadelerini buluruz. Bu ifadeyi taraf tarafa toplarsak; Fn F =F 1 F 3 +F F F n F n +F 1 F +F F F n F }{{ n 1 (.) } x dersek elde ederiz. Bu ifadede x i bulmak için, (1.16) eşitliğinde n yerine sırasıyla, 3,..., n 1 yazıp; F 3 F 1 = ( 1) + F F 4 F = ( 1) 3 + F 3 F 5 F 3 = ( 1) 4 + F 4. F n 1 F n 3 = ( 1) n + F n F n F n = ( 1) n 1 + F n 1 işlemlerini yapar taraf tarafa toplarsak; F 1 F 3 +F F F n F n =F +F F n 1+( 1) +( 1) ( 1) n 1 }{{} y ifadesi elde edilir. Bu eşitliğin (.) de yerine yazılmasıyla; F 1 = 1 olduğundan,. F n F = F + F F n 1 + y + x. F n 1 = F + F F n 1 + y + x F n = 1 + F + F F n 1 + y + x Fn = F1 + F + F Fn 1 +y + x }{{} z 13

22 bulunur. (1.11) eşitliğinden, z = F n 1 F n olarak bulunur. Buradan, Fn = F n 1 F n + y + x olup, bu eşitlikte y değeri ( 1) +( 1) ( 1) n 1 = { 1 ; n tek ise 0 ; n çift ise şeklindedir ve dolayısıyla; F n (F n F n 1 ) 1 ; n tek ise x = F 1 F + F F F n F n 1 = F n (F n F n 1 ) ; n çift ise olarak bulunur. Her n doğal sayısı için n çift sayı olduğundan lemmada verilen eşitlik gereği, F 1 F + F F F n F n 1 = F n (F n F n 1 ) elde edilir. Yine lemmanın ifadesi kullanılarak her n doğal sayısı için n + 1 tek sayı olduğundan, F 1 F + F F F n 1 F n = F n+1 (F n+1 F n ) 1 eşitlikleri doğrudur. Teorem.3 F, n n tipinde bir Fibonacci-Hankel matrisi olmak üzere; 1 n {F n(f n F n 1 ) (F n (F n F n 1 ) 1)} ; n tek ise F (.3) 1 n {F n(f n F n 1 ) (F n (F n F n 1 ))} ; n çift ise şeklindedir. 14

23 İspat. Bir F Fibonacci-Hankel matrisi aşağıdaki şekilde olduğundan F 0 F 1 F... F n 1 F 1 F F 3... F n F = F F 3 F 4... F n F n 1 F n F n+1... F n ve bu matrisin Euclidean normu F E = Fk + n 1 n Fk k=1 n 1 = Fk + Fk = Fk+i i=0 n 1 = n Fk k=n 1 Fk+n 1 (F k + F k F k+n 1) }{{} a k (.4) şeklinde ifade edilebilir. Bu ifade de a k yı bulmak demek (1.11) formülünde sırasıyla n yerine k+n 1 ve n yerine k 1 yazıp aralarındaki farkı almak demektir. Buradan (.4) eşitliği,! F E = F k+n 1 F k+n F k 1 F k = = = n 1 F k 1 F k F k 1 F k k=n n 1 n 1 F k 1 F k F k 1 F k + F k 1 F k F k 1 F k k=n n 1 n 1 F k 1 F k F k 1 F k 15

24 F 0 = 0 olduğundan! F E = F 1 F 0 + F 0 F 1 +F 1 F +F F F n F n 1 (F 1 F 0 +F 0 F 1 +F 1 F +F F F n F n 1 ) F E = F 1 F +F F F n F n 1 (F 1 F +F F F n F n 1 ) şeklindedir. Lemma(.) gereği bu toplam; {F n (F n F n 1 ) (F n (F n F n 1 ) 1)} ; n tek ise F E = {F n (F n F n 1 ) (F n (F n F n 1 ))} ; n çift ise olarak bulunur. Normlar arasında 1 n A E A A E (.5) bağıntısı geçerli olduğundan; F olarak bulunur. 1 n {F n(f n F n 1 ) (F n (F n F n 1 ) 1)} ; n tek ise 1 n {F n(f n F n 1 ) (F n (F n F n 1 ))} ; n çift ise Teorem.4 F, n n tipinde bir Fibonacci-Hankel matrisi olmak üzere; F R(1 + S) (.6) dır. Burada ve şeklindedir. R = F n F n 1 F n F n 1 S = F n 3 F n F n F n 1 16

25 İspat. A ve B matrisleri ve A = [a ij ] = B = [b ij ] = { aij = 1 ; i n 1 a ij = F i+j ; i = n 1 { bij = F i+j ; i n 1 b ij = 1 ; i = n 1 şeklinde tanımlanırsa matris formları A = F n 1 F n... F n ve F 0 F 1... F n 1 F 1 F... F n F F 3... F n+1 B =.... F n F n 1... F n şeklindedir ve [4] F = A B dir. Fibonacci sayılarının özelliklerini kullanarak r 1 (A) max a ij = n F i n+k j k= 1 = Fn 1 + F n + Fn F n n i=1 F i = F n F n+1 eşitliğinde n yerine sırasıyla n ve n yazıp aralarındaki farkı alırsak; buradan r 1 (A) = F n F n 1 F n F n 1 17

26 olarak bulunur. Benzer şekilde n 3 c 1 (B) max b ij = 1 + j i k= 1 = 1 + Fn 1 + F n Fn 3 F n+k n i=1 F i = F n F n+1 eşitliğinde n yerine sırasıyla n 3 ve n yazıp aralarındaki farkı alırsak buradan, olarak bulunur. Böylece olduğundan c 1 (B) = 1 + F n 3 F n F n F n 1 F r 1 (A)c 1 (B) (.7) F R(1 + S) burada R = F n F n 1 F n F n 1 ve S = F n 3 F n F n F n 1 dir. Böylece ispat tamamlanmış olur. 18

27 3 PELL-HANKEL MATRİSLERİ 3.1 Pell-Hankel Matrisleri Tanım 3.1 Pell-Hankel matrisi P = [P ij ] n 1 i,j=0, P ij = P i+j şeklinde tanımlanır ve burada P n, n-inci Pell sayısıdır. Pell-Hankel matrisi; P 0 P 1 P... P n 1 P 1 P P 3... P n P = P P 3 P 4... P n P n 1 P n P n+1... P n şeklindedir. 3. Pell-Hankel Matrislerinin Normları İçin Sınırlar Lemma 3. [4] P n, n-inci Pell sayısı olmak üzere; P 1 P + P P P n 1 P n = P n 1 + P n P n dir. 19

28 İspat. P 1 P + P P P n 1 P n ifadesinin eşitini bulmak için (1.4) eşitliğinde n yerine sırasıyla, 3,..., n 1, n yazıp P 1 P = P 3 P 1 P P 3 P P 3 = P 4 P P 3 P 4 P 3 P 4 = P 5 P 3 P 4 P 5. P n 3 P n = P n 1 P n 3 P n P n 1 P n P n 1 = P n P n P n 1 P n bu ifadeyi taraf tarafa toplarsak; P n 1 P n = P n+1 P n 1 P n P n+1 (P 1 P +P P P n 1 P n )=P n+1+p n P1 P P n P n+1 (P P P n 1 P n ) P 1 P +P 1 P = Pn+1 + Pn P1 P P n P n+1 (P 1 P +P P P n 1 P n )+P 1 P 4(P 1 P + P P P n 1 P n ) =P n+1+p n (1) () P }{{} n P n+1 +(1)() P n+1 (P 1 P + P P P n 1 P n ) = P n+1 P n P n (1.6) eşitliğinindeki P n yerine (1.1) eşitliğinin yazılmasıyla P n+1 = P n P n+1 + P n P n 1 + P n 1 şeklindedir. Bu eşitliğin (3.1) de yerine yazılmasıyla; P 1 P + P P P n 1 P n = P n 1 + P n P n olarak bulunur.. (3.1) Teorem 3.3 P bir Pell-Hankel matrisi olmak üzere; 1 P 8n {P 4n 3 +P n 1 P n P n 3 4P n 1 P n + 1} (3.) 0

29 İspat. Bir P Pell-Hankel matrisi aşağıdaki şekilde olduğundan P 0 P 1 P... P n 1 P 1 P P 3... P n P = P P 3 P 4... P n P n 1 P n P n+1... P n ve bu matrisin Euclidean normu P E = Pk + n 1 n Pk k=1 n 1 = Pk + Pk = Pk+i i=0 n 1 = n Pk k=n 1 Pk+n 1 (P k + P k P k+n 1) }{{} y k (3.3) şeklinde ifade edilebilir. Bu ifade de y k ifadesini bulmak için (1.5) eşitliğinde n yerine k + n 1 ve k 1 yazıp aralarındaki farkı alırsak; (3.3) eşitliği P k+n 1 P k+n P k 1 P k y k = ( = 1 n 1 ) P k+n 1 P k+n P k 1 P k ( = 1 n 1 ) P k 1 P k P k 1 P k k=n ( = 1 n 1 ) P k 1 P k P k 1 P k + P k 1 P k P k 1 P k k=n 1

30 P 0 = 0 olduğundan = 1 ( n 1 ) P k 1 P k P k 1 P k = 1 (P 1P 0 + P 0 P 1 +P 1 P +P P P n P n 1 ) (P 1 P 0 +P 0 P 1 +P 1 P +P P P n P n 1 ) y k = 1 (P 1P +P P P n P n 1 ) (P 1 P +P P P n P n 1 ) şeklindedir. Lemma(3.) gereği bu toplam; P = 1 ( ) ( ) P4n 3 + P n 1 P n 1 Pn 3 + P n 1 P n olarak bulunur. Normlar arasında 1 n A E A A E bağıntısı geçerli olduğundan; 1 P 8n {P 4n 3 +P n 1 P n P n 3 4P n 1 P n + 1} olarak bulunur. Teorem 3.4 P bir Pell-Hankel matrisi olmak üzere; 1 P (1 R + 1 ) S dır. Burada ve şeklindedir. R = P n P n 1 P n P n 1 S = P n 3 P n P n P n 1 (3.4)

31 İspat. A ve B matrislerini şu şekilde tanımlayalım. { aij = 1, i n 1 A = [a ij ] = a ij = P i+j, i = n 1 olup A nın matris formu; A = P n 1 P n... P n ve B = [b ij ] = olup B nın matris formu; B = { bij = P i+j, i n 1 b ij = 1, i = n 1 P 0 P 1... P n 1 P 1 P... P n P P 3... P n P n P n 1... P n şeklindedir ve P = A B dir. Pell sayılarının özelliklerini kullanarak r 1 (A) max a ij = n P i n+k j k= 1 = Pn 1 + P n + Pn P n elde ederiz. (1.5) eşitliğinde n yerine n ve n yazıp aralarındaki farkı alırsak buradan; 1 r 1 (A) = (P n P n 1 P n P n 1 ) 3

32 olarak bulunur. Benzer şekilde n 3 c 1 (B) max b ij = 1 + j i k= 1 = 1 + Pn 1 + P n Pn 3 P n+k (1.5) eşitliğinde n yerine n 3 ve n yazıp aralarındaki farkı alırsak; c 1 (B) = olarak bulunur. Böylece olduğundan (P n 3P n P n P n 1 ) P r 1 (A)c 1 (B) (3.5) elde edilir. Burada P 1 R(1 + 1 S) R = P n P n 1 P n P n 1 ve S = P n 3 P n P n P n 1 dir. Böylece ispat tamamlanmış olur. 4

33 KAYNAKLAR [1] Eylem G., Ateş F., Güngör A.D., Cangül İ.N., Çevik A.S., On The Norms of Teopliz and Hankel Matrices with Pell Numbers, ICNAAM Numerical Analysis and Applied Mathematics, International Conference Vol., 010. [] Horn R.A, Johnson C.R., Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, [3] Horodam, A.F., Pell Identities, Fibonacci Quarterly, 9(3): 45-5 (1971). [4] Kılıc E. and D.Tascı, The Linear Algebra of the Pell Matrix, Bol.Soc.Mat.Mexicana (3), Vol. 11, 005. [5] Mathias R., The Spectral Norm of Nonnegative Matrix, Linear Algebra and Its Appl. 131,69-84, [6] Reams R., Hadamard Inverses, Square Roots and Products of Almost Semidefinite Matrices, Linear Algebra Abd its Appl. 88, 35-43, [7] Solak S., D. Bozkurt, On the spectral norms of Cauchy-Teoplitz and Cauchy-Hankel matrices, Applied Mathematics and Computation 140, 31-38,(003). [8] Taşçı D., Lineer Cebir, Ankara 011. [9] Vajda S., Fibonacci and Lucas Numbers, And the Golden Section Theory and Applications,Ellis Horwood Limited (1989) England. [10] Zielke G., Some Remarks on Matrix Norms, Condition Numbers and Error Estimates for Linear Equations, Linear Algebra and Its Appl. 110, 9-41,

34 ÖZGEÇMİŞ Eğitim Adı ve Soyadı : Ali MERT Doğum Tarihi : Doğum Yeri : Kırşehir Ünvanı : Yüksek Lisans Öğrencisi Anabilim Dalı : Cebir ve Sayılar Teorisi Orta Öğrenimi : Ankara Lisesi Lisans : Ahi Evran Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 006 Yüksek Lisans : 010-6