Sistem Dinamiği. Bölüm 4-Mekanik Sistemlerde Yay ve Sönüm Elemanı. Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

Transkript

1 Sistem Dinamiği Bölüm 4-Mekanik Sistemlerde Yay ve Sönüm Elemanı

2 Sunumlarda kullanılan semboller: El notlarına bkz. Yorum Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No Denklem numarası YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 2

3 Bölüm 4 içeriği: Yay elemanları Kütle-Yay sisteminin modellenmesi Enerji Yöntemleri Sönüm (Damping) Elemanları Ek Modelleme Soruları Çarpma ve Impuls Cevapları MATLAB Uygulamaları YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 3

4 Giriş: Bölüm 3 te rijit cisimleri inceledik. Bu bölümde deforme olan veya deforme olmuş bir elemanla diğer cisimlere bağlantı yapılma durumlarını inceleyeceğiz. Deforme olan eleman direnç kuvvetini ortaya çıkarır veya biriktirir. Bu kuvvet yerdeğiştirmenin bir fonksiyonu olarak temsil edilebilir. Bu elemana ise yay veya elastik eleman denir. Deforme olan eleman direnç kuvvetini ortaya çıkarır veya biriktirir. Bu kuvvet hızın bir fonksiyonu olarak temsil edilebilir. Bu elemana ise sönümlenme veya sönüm elemanı denir. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 4

5 4.1. Yay (spring) elemanı: YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 5

6 Elemanın elastik olması yada olmaması(büyük kuvvet etkisi) Birçok uygulamada dönel yaylar kullanılır Amaç kuvvetin depo edilmesidir. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 6

7 Kuvvet-Sıkışma veya sapma (deflection) İlişkisi: Yayın sıkışması veya açılması sapma (deflection) olarak adlandırılır. Bu hareket lineer kuvvet - sapma modeli ile açıklanır. Şekil k: yay katsayısı veya esneklik(stiffness). Her zaman pozitiftir. Birimi: lb(pound)/ft(foot), N/m Hooke Kanunu olarak bilinir. (Robert Hooke, ) n: Sarım sayısı G: Elastiklik kayma modülü d: Kablo çapı R: Sargı yarıçapı YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 7

8 Yay katsayısının analitik belirlenmesi: Yay katsayısı elemanın geometrisi ve malzeme özelliklerinden belirlenir. Bu malzeme mekaniği alanı ile ilgilidir. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 8

9 Tablo Yay katsayıları: 9

10 Torsiyonal (burulma) yay elemanı: Silindirdeki burulma hareketi torsiyon olarak adlandırılır Şekil kt: torsiyonal yay katsayısı (Nm/rad) YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 10

11 11

12 4.1.5.Seri ve paralel yay elemanları: PARALEL YAY Eğer sistem statik dengede ise Eşdeğer sistem şekil (b) Eşdeğer yay katsayısı Şekil Her iki yayda aynı yerdeğiştirmeye maruz kalacak Formül teki gibi genişletilebilir

13 4.1.5.Seri ve paralel yay elemanları: SERİ YAY Eğer yaylar uç uca bağlandı veya seri şekilde bağlandı ise toplam yer değiştirme: Şekil Seri elemanlar aynı tork veya kuvvete, paralel elemanlar aynı yerdeğiştirmeye maruz kalır. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 13

14 Örnek

15 Örnek Çözüm: Şekil Yataydaki yer değiştirmenin yeterince küçük olduğunu kabul ediniz. 15

16 Nonlineer yay elemanı Şekil Şekil

17 Sert ve yumuşak nonlineer yay elemanları a) sertleşen yay elemanı b) yumuşayan yay elemanı Şekil

18 4.2. Kütle-yay sistemlerinin modellenmesi YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 18

19 İdeal ve gerçek yay elemanları Yay elemanları rijit değildir ve kütleleri vardır. Kütle-yay sistem modellemede en büyük problem bir veya daha fazla rijit cisim ile bunun nasıl yapılacağıdır. Buradaki yaklaşımlardan biri yayın kütlesini ihmal etmektir. Ancak buradaki en sağlıklı yaklaşım nesne ve yayın kütlelerinin bilinmesi yolu ile bu ihmalin yapılmasıdır. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 19

20 Geometri ve yayın serbest uzunluğunun etkisi: Şekil

21 Yerçekimi etkisi Şekil :Statik yay sapması 0 21

22 Koordinat referansı olarak denge konumunun seçimi: Şekil (Statik kuvvet terimi eşitlikten çıkarılmamıştır.) 22

23 Kütle-yay sisteminde statik sapma Şekil

24 Kütle-yay modeli için koordinat doğrultusu seçimi Şekil Şekil teki tüm durumlar için YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 24

25 Kütle-yay sisteminin bir harici kuvvet ile modellenmesi: Şekil

26 Hareket eşitliğinin çözümü:

27 Örnek (Kiriş titreşimi) Şekil Sistem doğal frekansını bulunuz. Kiriş kütlesini ihmal ederek ideal yay gibi modelleyiniz. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 27

28 Çözüm

29 Örnek (Torsiyonal yay) Teta açısından hareket eşitliğini bulunuz ve doğal frekansı hesaplayınız. Bağlantı elemanı(çubuk) ataletini ihmal ederek ideal torsiyonal yay olarak kabul ediniz. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 29

30 8b 30

31 Örnek 4.2.3(rampa üzerindeki silindir) x koordinatı açısından hareket eşitliğini bulunuz. Kütle merkezinde silindir ataleti I dır. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 31

32 Çözüm

33 Çözüm

34 4.2.6.Yerdeğiştirmeye neden olan girişler ve yay elemanları Şekil

35 4.2.7.Basit harmonik hareket: Basit harmonik hareket YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 35

36 Basit harmonik hareket için ivme, hız, yerdeğiştirme profili Şekil

37 4.2.8.İki veya daha fazla kütleli sistemler: Örnek Şekil

38 4.3. Enerji Metodları: Bir yay tarafından oluşturulan kuvvet konservatif kuvvettir. Eğer yay lineer ise kuvvet f=-k.x şeklinde verilir. Böylece potansiyel enerji lineer bir yay için; YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 38

39 Eğer bir yay buruldu ise bu torsiyonal yay M kadar bir moment üretir. Eğer yay lineer ise M=k T.Teta dır. Burada teta burulma açısıdır. İş bu yay tarafından yapılır ve yayda depolanan potansiyel enerji: YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 39

40 Yatay düzlem: Enerjinin korunumu yasasından: =Sabit T: Kinetik en. V: Potansiyel en. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 40

41 Düşey düzlem ve yerçekimi etkisi: Vs: yayın potansiyel enerjisi Vg: Yerçekiminden kaynaklı potansiyel enerji Not: y nin yönü aşağıya doğru pozitif olduğundan yer çekimi etkisi negatif olarak alındı 41

42 Örnek 4.3.1(Kuvvet izolasyon sistemi) Maksimum yay sıkışması ve maksimum iletilen kuvveti a)w=64n ve b)w=256n için hesaplayınız. k 1 =10 4 N/m k 2 =1.5x10 4 N/m d=0.1 m Şekil h=0.5 m YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 42

43 43

44 44

45 45

46 Hareket eşitliğinin elde edilmesi: Kütle-yay sisteminde sürtünme ve sönüm ihmal edilerek, sıklıkla enerjinin korunumu prensibi kullanılarak, hareket eşitliği elde edilebilir. Basit harmonik hareket için hareket eşitliği elde edilmeksizin titreşim frekansı bulunabilir. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 46

47 Örnek Kütle-yay sisteminin hareket eşitliği: Enerjinin korunumu prensibinden hareket eşitliğini bulunuz. 47

48 Rayleigh Metodu: Basit harmonik harekette, denge noktası x=0 da, kinetik enerji maksimum potansiyel enerji minimumdur. Yerdeğiştirme maksimum olduğunda potansiyel enerji maksimum, kinetik enerji 0 olur. Enerjinin korunumu yasasından Rayleigh Metodu YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 48

49 49

50 Örnek Rayleigh metodunu kullanarak şekildeki silindirin doğal frekansını bulunuz. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 50

51 Çözüm

52 Çözüm

53 Örnek (Bir süspansiyon sisteminin doğal frekansı) Şekilde bir arabanın ön tekerleğinin süspansiyonu görülmektedir. L1=0,4 m, L2=0.6m, k=3.6x104 N/m, arabanın ağırlığı 3500N dur. Süspansiyonun doğal frekansını yatay hareket için hesaplayınız. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 53

54 Çözüm

55 Elastik elemanların eşdeğer kütlesi: Şekilde görülen sistemde eleman kütleleri ya bağlı olan m kütlesi yanında ihmal edilir yada kütleye dahil edilir. Dahil edilmiş kütleye elemanın eşdeğer kütlesi denir. Şekil (a) Bunu sistemin toplu parametreli bir modelini elde edebilmek için yaparız. Rijit gövdeli cisimler için bunu Bölüm 3 te, kinetik enerji eşitliğini kullanarak yapmış idik. Çünkü kütle enerji eşitliği ile ilgili bir parametre idi. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 55

56 Örnek Eksenel uygulanan kuvvet ile çubuk geriliyor. Çubuğun eşdeğer kütlesini hesaplayınız. Şekil (b) YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 56

57 Çözüm

58 Tablo Ötelemeli sistemler için eşdeğer kütle ve atalet 58

59 Tablo Dönel sistemler için eşdeğer kütle ve atalet 59

60 Örnek Sabitlenmiş kirişin eşdeğer kütlesi Şekil Kiriş iki noktadan sabitlenmiştir. Motor hareketi ile motor dönel hızına eş olarak oluşan bir frekansta motor dengesizliği bir f kuvveti oluşturuyor. Frekans doğal frekansa yaklaşırsa kirişin hareketi aşırı olarak kirişin bozulmasına yol açabilir. Motorkiriş sisteminin doğal frekansını bulunuz. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 60

61 Çözüm

62 Örnek Sabitlenmiş torsiyonal titreşim I 1 ataleti I 2 ataletli iki şafta bağlanmıştır. T 1 kadar bir tork uygulanıyor. a)hareket eşitliğini bulunuz. b)sistemin doğal frekansını I 1 5cm çaplı ve 3 cm uzunluğunda ise, silindir şaftları 2 cm ve çaplı ve 6 cm uzunluğunda ise bulunuz. (Üç silindir için malzeme özellikleri: çelik, G=1.73x10 9 ve yoğunluk=15.2) YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 62

63 Çözüm 4.3.7(a) 63

64 Çözüm (b) 64

65 4.4. Sönüm (damping) elemanları: YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 65

66 Sönüm elemanı hıza karşı direnç gösterir. Damperler, akışkan içeren silindirler örnek olarak verilebilir. Değişken hızda direnç etkisi ortaya çıkar. Şekil YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 66

67 Kapı damperleri: Şekil

68 Dönel damper Şekil Dönel Damper 68

69 4.4.2 Şok emiciler: Hidrolik dikme (oleo strut): geri tepme sıkışma Şekil Şekil Şekil YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 69

70 İdeal Damperler: İdeal damper elemanı kütlesiz kabul edilir. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 70

71 Damper elemanının temsili: Lineer damper modeli: sönüm(damping) katsayısı:ns/m hız Sönüm kuvveti her zaman relatif hızın tersidir YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 71

72 Ötelemeli ve dönel tip sönüm elemanları: genel gösterim torsiyonal tip viskos sürt. meydana gelen rulmanlar torsiyonal sönüm katsayısı açısal hız Nms/rad 72

73 Kütle-sönüm sisteminin modellenmesi: Örnek YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 73

74 74

75 Çözüm

76 Örnek

77 Çözüm

78 Örnek (Kütle-yay-sönüm sistemi) Şekil (a) 78

79 Çözüm Şekil (b) 79

80 Örnek (Sönüm etkisi) Çözüm: YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 80

81 81

82 82

83 Şekil

84 Örnek 4.4.5: (yay ve sönüm bağlantılı sistem) Transfer fonksiyonunu bulunuz ( X(s)/F(s) ) Free body diagram of system 84

85 Çözüm 4.4.5: 85

86 Tartışma: 86

87 Sönüm elemanları ile giriş hareketi Şekil Hız girişli sistem 87

88 Örnek (inceleyiniz) Şekil Hareket eşitliğini bulunuz 88

89 Çözüm

90 14 90

91 Girişin türevi ile basamak cevabı: transfer fonksiyonu: pay dinamikleri direk damper üzerine etki ile yerdeğiştirme varsa ortaya çıkar Şekil YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 91

92 Sabit giriş ile step girişin karşılaştırılması: 92

93 93

94 4.6. Çarpışmalar ve Impuls Cevabı YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 94

95 Impulsif bir girişin gücü o giriş eğrisinin altındaki alan ile hesaplanır. Dirak delta fonksiyonu alanı 1 olan bir fonksiyondur. Kısa süreli ortaya çıkan çarpışmaların için çok kullanışlı bir fonksiyondur. Mesela iki cismin çarpışması gibi. Sistem parametrelerinin deneysel olarak tahmini için kullanılabilir. Ayrıca süreksiz fonksiyonların etkisinin analizi için de etkilidir. YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 95

96 96

97 Başlangıç koşulları ve Impuls Cevabı Impuls momentum prensibi(sabit kütle durumu): integral Mekanik alanında kuvvet-zaman eğrisi altında kalan alan lineer impuls olarak adlandırılır. Lineer impuls, lineer kuvvetin gücüdür. Ancak bir kuvvet lineer impuls üretmek için impulsif olmak zorunda değildir. Eğer ise impulsif kuvvet YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 97

98 Örnek Elastik olmayan çarpışma Şekil

99 Çözüm

100 İnceleyiniz 100

101 101

102 Örnek (Tam elastik çarpışma) İnceleyiniz YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 102

103 Çözüm

104 104

105 4.7. MATLAB Uygulamaları: YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 105

106 Bölüm 4 Özeti: Elastik kütlesiz ideal yay elemanlarının modellenmesi Elastik kütlesiz ideal sönüm elemanlarının modellenmesi Yay ve sönüm elemanı içeren sistemlerin hareket eşitliklerinin elde edilmesi Kütle-yay-sönüm sistemlerinin zorlanmış ve zorlanmamış cevaplarının elde edilmesi. MATLAB Uygulamaları YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 106

107 Gelecek Konu: Bölüm 5. Blok diyagramlar, durumdeğişken modeli ve simülasyon metodları YTÜ-Mekatronik Mühendisliği Bölüm 4 107