İSTATİSTİKTE BİLGİSAYAR UYGULAMALARI II DERS NOTLARI

Transkript

1 İSTATİSTİKTE BİLGİSAYAR UYGULAMALARI II DERS NOTLARI İST207.2 Dr. Öğr. Üyesi Melis ZEYBEK Ege Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü melis.zeybek@ege.edu.tr

2 NOKTA- ARALIK TAHMİNİ TAHMİN : Nokta Tahmin ve Aralık Tahmin Kitle Ortalaması için Aralık Tahmin : a. 2 biliniyor ise Z Testi b. 2 bilinmiyorsa fakat n>30 ise (Büyük Örneklem) Z Testi c. 2 bilinmiyorsa ve n<30 ise (Küçük örneklem) t Testi a. 2 biliniyor ise için % (1 α)100 lük güven aralığı: N birimlik bir kitle X i N(, 2 ) olsun. Bu kitleden rasgele seçilen n birimlik örneklemin ortalaması : X = n i=1 X i n. Kitle ortalamasının tahmin edicisi örneklem ortalamasıdır. Örneklem Ortalamaları Dağılımı X i N (, 2 n ). x 'ı standartlaştırmak için, Z = X dönüşümü kullanılır ve Z N(0,1). 2 n α hata payı ve 1 α Güven düzeyi (güven katsayısı) : P ( Zα 2 < Z < Zα) = 1 α 2 X = x gözlenen örneklem ortalaması, için % (1-α)100 lük güven aralığı tahmini, (x Zα 2 σ n ; x + Zα 2 σ n ) Alt sınır: x Zα 2 σ n Üst sınır: x + Zα 2 σ n b. 2 bilinmiyor ve n>30 ise için % (1 α)100 lük güven aralığı: n > 30 olduğunda 2 = S 2 için % (1-α)100 lük güven aralığı tahmini, (x Zα 2 s n ; x + Zα 2 s n ) c. 2 bilinmiyor ve n<30 ise için % (1 α)100 lük güven aralığı: için % (1 α)100 lük güven aralığı tahmini, s (x tα 2,n 1 n ; x + s tα 2,n 1 n ) 2

3 EXCEL de Aralık Tahmini (Tek örneklem) fx GÜVENİLİRLİK.NORM(alfa, standart_sapma, boyut) : Zα 2 Örnek 1: 2 = 4 olan kitleden elde edilen 9 büyüklüğündeki örneklem değerleri: Ardışık sinyal değerleri: X i : için %95 lik güven aralığını oluşturunuz. σ n değerini verir Örnek 2: σ = 28 olan bir mum imalathanesinin ürettiği mumlardan rasgele seçilen 12 tanesinin dakika olarak yanma süreleri aşağıda verilmiştir. X i : Mumların yanma süreleri ile ilgili olarak kitle ortalaması için %99 luk güven düzeyinde aralık tahmini yapınız. ( ; ) aralığı %99 güven düzeyinde kitle ortalaması µ'yü kapsar. 3

4 Örnek 3: Sağlıklı bireylerde açlık kan şekeri düzeyleri için %95 güven düzeyinde kitle ortalaması için güven aralığını elde ediniz. X i : (78.58; 85.43) aralığı %95 güven düzeyinde kitle ortalaması µ'yü kapsar. Örnek 4. a: Mikro dalga fırın üretimi yapan bir fabrikada, üretim sürecinde kullandığı bazı makineleri yenilemiştir. Yenileme sonunda rasgele örnekleme yöntemi ile belirlenen 16 farklı gün için günlük mikro dalga fırın sayıları aşağıdaki gibi belirlenmiştir. %95 güven düzeyinde kitle ortalaması µ için güven aralığını hesaplayınız. X i :

5 (1083,03; 1210,72) aralığı %95 güven düzeyinde kitle ortalaması µ'yü kapsar. Örnek 4 b. Dosya--> Seçenekler-->Eklentiler-->Excel Eklentileri Çözümleme Araç Takımı Çözümleme Araç Takımı-VBA Veri--> Veri Çözümleme --> Tanımlayıcı İstatistik Özet İstatistikler Ortalamanın Güvenirlik Düzeyi : %95 5

6 PSPP DE Aralık Tahmini (Tek örneklem) σ 2 bilinmiyor ve n<30 (küçük örneklem) ise µ için güven aralığı Analyze Compare Means One Sample T Test Test Value 0 alınır, Options 95% Örnek 4.c: Mikro dalga fırın üretimi yapan bir fabrikada, üretim sürecinde kullandığı bazı makineleri yenilemiştir. Yenileme sonunda rasgele örnekleme yöntemi ile belirlenen 16 farklı gün için fabrikada yeni makinelerin ürettiği günlük mikro dalga fırın sayıları sırasıyla aşağıdaki gibi belirlenmiştir. %95 güven düzeyinde kitle ortalaması µ için güven aralığını hesaplayınız. X i : PSPP: Önce değişken tanımlanır Variable View Sonra veri girilir Data View 6

7 Analyze Compare Means One Sample T Test, Test Value 0, Options 95% %95 güven düzeyinde kitle ortalaması için güven aralığı: Ve ya Analyze Descriptive Statistics Explore, Statistics Descriptive seçilirse 7

8 EXCEL ve PSPP de Aralık Tahmini (Bağımsız İki örneklem) Kitle varyansları biliniyor: (x 1 x ) 2 ± z 1 α/2 σ σ 2 2 n 1 n 2 Kitle varyansları bilinmiyor, eşit kabul ediliyor: (x 1 x ) 2 ± t α/2,(n1 +n 2 2)s p 1 + 1, s 2 n 1 n p = (n 1 1)s 2 1 +(n 2 1)s2 2 2 n 1 +n 2 2 Kitle varyansları bilinmiyor, eşit kabul edilmiyor: (x 1 x ) 2 ± t α/2,m s s 2 2 n 1 n 2, m = ( s 1 2 n1 +s 2 2 n2 ) 2 ( s n1 ) s2 2 ( n1 1 + n2 ) n2 1 Örnek 1: (Kitle varyansları biliniyor) Ankara daki çalışanların haftalık ulaşım harcamalarına ilişkin dağılımın normal ve varyansının 100 olduğu bilinmektedir. İstanbul daki çalışanların haftalık ulaşım harcamalarına ilişkin dağılımın normal ve varyansının 144 olduğu bilinmektedir. Her iki ildeki çalışanlardan 8 birimlik örneklem seçilerek haftalık ulaşım harcamaları saptanmıştır. α = 0.05 anlamlılık düzeyinde μ 1 μ 2 parametresi için güven aralığı oluşturunuz. Ankara x 1 : İstanbul x 2 :

9 Örnek 2: (Kitle varyansları bilinmiyor, eşit kabul ediliyor) Bir hastalığa yakalanmış hastalardan rasgele seçilen 8 hasta cerrahi yöntemle ve aynı hastalar içinden rasgele seçilen 9 hasta da ilaçla tedavi edilmiştir. İyileşme süreleri aşağıda verilmiştir. Kitle varyanslarının bilinmediği ancak eşit olduğu varsayımı atında, α = 0.05 anlamlılık düzeyinde μ 1 μ 2 parametresi için güven aralığı oluşturunuz. Cerrahi x 1 : İlaçla x 2 : Excell ile çözüm: Örnek 3: (Kitle varyansları bilinmiyor, eşit kabul edilmiyor) Bir hastalığa yakalanmış hastalardan rasgele seçilen 8 hasta cerrahi yöntemle ve aynı hastalar içinden rasgele seçilen 9 hasta da ilaçla tedavi edilmiştir. İyileşme süreleri aşağıda verilmiştir. Kitle varyanslarının bilinmediği ve eşit olmadığı bilindiği varsayımı atında, α = 0.05 anlamlılık düzeyinde μ 1 μ 2 parametresi için güven aralığı oluşturunuz. Cerrahi x 1 : İlaçla x 2 :

10 Excell ile çözüm: PSPP ile çözüm: Analyze Compare Means Independent t-test 10

11 EXCEL ve PSPP de Aralık Tahmini (Bağımlı İki örneklem) Örnek 1: Aynı hastalığa yakalanmış hastaların tedavisinde iki farklı yöntem uygulanmaktadır. Bu tedavi yöntemlerinin hastaları iyileştirmedeki etkinliklerinin farklı olduğu iddia edilmektedir. 7 ayrı yaş grubunun her birinden birer eş rasgele seçilmiştir. Bu eşlerin her birindeki 2 hastadan biri 1. Gruba diğeri 2. Gruba rasgele atanmıştır. Tedavi yöntemleri uygulanarak iyileştikleri güne kadar geçen süreler saptanmıştır. μ 1 μ 2 parametresine ilişkin %95 lik güven aralığını bulunuz Cerrahi-gün İlaç-gün di(cer-ilaç) Excell ile çözüm: d tα 2 (n 1) s d n < μ d < d + tα 2 (n 1) s d n i=1, s n d 2 = (d i d ) 2 n 1 Bu aralığın μ 1 μ 2 parametresini kapsama olasılığı 0.95 olur. Aralık sıfır değerinin içermiyor. 11

12 PSPP ile çözüm: Analyze Compare Means Paired Sample t-test options: %95 Örnek 2: Bir araştırmada elde edilen ve heyecanlanmanın kan basıncına olan etkisini araştırmak için rasgele seçilen 12 öğrencinin sınav öncesi ve sınav sonrası kan basıncı değerleri aşağıda verilmiştir. μ Ö μ s parametresine ilişkin %95 lik güven aralığını bulunuz Sınav öncesi Sınav sonrası PSPP ile çözüm: Analyze Compare Means Paired Sample t-test options: %95 12

13 HİPOTEZ TESTLERİ Hipotez Testleri - Bir Kitlenin Parametreleri ile İlgili Hipotez Testleri Ortalamaya İlişkin Hipotez Testleri Kitle Varyansı σ 2 Biliniyor Z-Testi Kitle Varyansı σ 2 Bilinmiyor ancak n>30 Z-Testi Kitle Varyansı σ 2 Bilinmiyor ve n<30 t-testi Orana İlişkin Hipotez Testleri Z-Testi Varyansa İlişkin Hipotez Testleri Khi-Kare Testi - İki Kitle Parametreleriyle İlgili Hipotez Testleri Bağımsız Örnekler İle İki Ortalama Farkına İlişkin Hipotez Testleri Kitle Varyansları σ1 2, σ2 2 Biliniyor Z-Testi Kitle Varyansları σ1 2, σ2 2 Bilinmiyor, n1 ve n2 <30 Varyans Homojenliği Varsayımı altında t-testi Varyans Homojenliği Varsayımı altında t-testi Bağımlı Örnekler ile Ortalama Farkına İlişkin Hipotez Testleri-Eşleme İki OranFarkı İçin Hipotez Testi Z-Testi İki Varyansa İlişkin Hipotez Testleri F-Testi 13

14 A. Bir Kitlenin Parametreleri ile İlgili Hipotez Testleri: 1. Z Testi: Kitle varyansı 2 biliniyor: Kitle Normal dağılım gösteriyor. p değeri : p-değeri örnekten uç veya daha ileri değer elde etme ihtimal istatistiğidir. p değeri=sol alan p değeri=sağ alan p değeri=pr(z - ZH) p değeri=pr(z ZH ) p değeri=2*pr(z ZH ) Eğer Z h negatif ise, Eğer Z h pozitif ise, sola dayalı alanın sağa dayalı alanın iki katı alınır. 14

15 2. t-testi: Kitle varyansı 2 bilinmiyor ve n < 30 : Kitle Normal dağılım gösteriyor. Testin Önemlilik Düzeyleri: Önemlilik p-değeri derecesi Sonuç Karar p>0,05 n.s Önemsiz Ho hip. red edilemez (Ho kabul) p<0,05 * Önemli Ho hip. red edilir. (H1 kabul) p<0,01 ** Çok önemli Ho hip. red edilir. (H1 kabul) p<0,05 *** İleri düzeyde önemli Ho hip. red edilir. (H1 kabul) 15

16 EXCEL: Z Testi: Kitle Varyansı σ 2 Biliniyor Z-Testi Kitle Varyansı σ 2 Bilinmiyor ancak n>30 Z-Testi için EXCEL de menüler: fx Z.TEST(Dizi; X; sigma) fonksiyonu Tek yönlü p değerini verir. Eğer p < ise Ho red edilir. H1 : µ >µ0 ise, p değeri ile karşılaştırılır. H1 : µ < µ0 H1 : µ µ0 ise, p değeri = 1-p ile hesaplanır. ise p değeri = 2*p ile hesaplanır. t -Testi: fx T.TERS(olasılık; serb_derecesi) T.TERS( ; n-1) PSPP : t -Testi: 2 bilinmiyor ve n<30 ise Analyze Compare Means One-Sample T Test Test Value: µ0 Option Confidance interval: 95.00% Z-Testi yok. 16

17 Örnek 5: (Excel Z-Testi) Kitlede bireylerin kan pıhtılaşma zamanı, ortalaması 10 dak., standart sapması 2 dak. olan Normal Dağılım göstermektedir. Dağlık bir bölge olan A bölgesinde oturan bireylerden rasgele seçilen 16 kişilik bir grubun kan pıhtılaşma zamanları aşağıdaki gibi saptanmıştır. Seçilen örneklem kitleden farklı mıdır? İnceleyiniz. (α = 0.05 önem düzeyinde test ediniz.) ve µ için %95 lik güven aralığı oluşturunuz. Kan pıhtılaşma zamanları (dak.): Xi : 6.3, 7.2, 9.6, 12.7, 10, 7.5, 16.2, 8.6, 9, 12, 10.1, 8.6, 13.8, 11, 14.9, 15 Çözüm: 1. Hipotezler: H0 : µ = 10 dak. H1 : µ 10 dak., σ=2 dak., n=16, α= Test İstatistiği ve dağılımı, Z = x μ σ/ n N(0,1) 3. Red Bölgesi: Kritik değer: Zα/2 = Z0.025 = 1.96 Kritik değer: - Zα/2 =- Z0.025 = Test İstatistiğinin Hesap Değeri : x = = dk. Z h = / 16 = Sonuç: Zhesap= 1.56 < Ztablo = 1.96 H0 hipotezi red edilemez. Sonuç önemsizdir, anlamsızdır. (α=0.05) 6. Yorum: Örneklem kitleden farklı değildir. (α=0.05) yada Ortalamanın 10 dak. dan farklı olduğuna dair yeterli kanıt bulunamamıştır. p değeri: (p, H0 rın doğru olma olasılığı) p değeri = 2*Pr (Z Zh )=2*Pr(Z 1,56)=2*(0,5-0,4406)=2*0,0594=0,1188 bulunur. p=0,1188> α=0,05 H0 hipotezi red edilemez, örneklem kitleden farklı değildir. 17

18 EXCEL ile çözüm: PSPP ile çözüm: Yok Örnek 6: (Excel Z-Testi) E.Ü. A bölümü öğrencilerinin İstatistik dersinden final sınav sonuçlarına göre not ortalamasının 65 den az olduğu iddia edilmektedir. Rasgele seçilen 10 öğrencinin aldıkları notlar aşağıda verilmektedir. σ 2 =36 ve α=0,05 olduğuna göre yukarıdaki iddianın geçerli olup olmadığını test ediniz. Xi : Ho: μ = 65 puan H1: μ < 65 puan Notlar 65 in altındadır. 18

19 Örnek 7: (Excel Z-Testi) Sağlıklı 30 bireye ilişkin açlık kan şekeri değerleri aşağıda verilmektedir. Kitle parametreleri µ=80, σ=10 dur. Elimizdeki örneklem bu kitleden mi gelmektedir? Xi : H0 : µ = 80 H1 : µ 80, σ=10, α=0.05, n=30 büyük örneklem Örnek-8: (Excel Z-Testi) Bir fabrikada üretilen boruların ağırlıkları Normal Dağılım göstermektedir ve ortalaması 300 kg, standart sapması 24 kg olarak hesaplanmıştır. Yeni geliştirilen bir üretim tekniğiyle üretilen boruların arasından rasgele 15 boru seçilmiş ve ağırlıkları aşağıda verilmiştir. α =0.01 önem düzeyinde yeni üretim tekniğinin boruların ağırlıklarını arttırdığı yönündeki iddiayı test ediniz. Kitle ortalamasına ilişkin %99 güven düzeyinde güven aralığını elde ediniz. Xi=306, 298, 332, 261, 316, 327, 324, 320, 307, 322, 320, 300, 297, 299,

20 Hipotezler: H0 : µ = 300 H1 : µ > 300, σ=24, n=15, α=0.01 Örnek-9: (Excel-PSSP t-testi) 9 kalp hastasının verilen bir ilacın belirli bir süre sonra kan basıncında meydana getirdiği azalmalar aşağıdır. α =0.05, ilacın meydana getirdiği azalmanın 12 den az olduğunu test ediniz. µ için %95 güven düzeyinde güven aralığını bulunuz. Xi=11, 8, 9, 13, 8, 12, 10, 9, 10 Hipotezler: H0 : µ = 12 H1 : µ < 12 σ bilinmiyor ve n < 30. Bu nedenle, test İstatistiği X 0 t t α ; (n-1) dağılımı S n 20

21 EXCEL ile çözüm: Veri Çözümleme--> Tanımlayıcı İstatistikler PSPP ile çözüm: Analyze Compare Means One-Sample T Test Test Value: 12 Option Confidance interval: 95.00% thesap =3.46 > ttablo = t0.05,8 =1.860 Ho hip. red edilir. PSPP iki yönlü alternatif hipotez için p yi verir. p=0.01 idi. Tek yönlü için p değeri 2 ye bölünür. p=( )/2 = olur. p=0.005 < alfa=0.05 Ho hip.red edilir 21

22 %95 güven düzeyinde kitle ortalaması için güven aralığı: Analyze Compare Means One-Sample T Test Test Value: 0 Option Confidance interval: 95.00% ( ) aralığı µ=12 yi kapsamaz. Ho hip. red edilir. Kitle ortalamasına ilişkin %95 güven düzeyinde güven aralığı ( ) bulunur. Veya Analyze Descriptive Statistics Explore Dependent List : X Statistics Confidence Interval:95% Kitle ortalamasına ilişkin %95 güven düzeyinde güven aralığı ( ) bulunur. 22

23 B. İki Kitle Parametreleriyle İlgili Hipotez Testleri: 1. Bağımsız Örnekler İle İki Ortalama Farkına İlişkin Hipotez Testleri: Z-Testi: Kitle Varyansları σ1 2, σ2 2 biliniyor. EXCEL: Veri Data Analysis z-test: Ortalamalar İçin İki Örnek 23

24 t-testi: Kitle Varyansları σ 1 2, σ 2 2 Bilinmiyor, n 1 ve n 2 <30 Varyans Homojenliği Varsayımı altında t-testi EXCEL: Veri Data Analysis t-test Eşit Varyanslar Varsayarak İki Örnek Veya fx PSPP : 24

25 Kitle Varyansları σ 1 2, σ 2 2 Bilinmiyor, n 1 ve n 2 < 30 Farklı Varyanslar ile t-testi EXCEL: Veri Data Anaysis t-test Farklı Varyanslar Varsayarak İki Örnek (t-test:two Sample Assuming Unequal Variances) Veya fx PSPP : 25

26 2. Bağımlı Örnekler ile Ortalama Farkına İlişkin Hipotez Testleri-Eşleme Kitle Varyansları σ1 2, σ2 2 Bilinmiyor, n1 ve n2 <30 t-testi EXCEL: Veri Data Anaysis t-test :Ortalamalar İçin İki Örnek (t-test:paired Two Sample for Means) Veya fx T.TEST( ) fonksiyonu ile PSPP : 26

27 3. İki Varyansa İlişkin Hipotez Testleri F-Testi EXCEL: fx F.TEST( ) fonksiyonu ile Veya Veri Data Anaysis F-Test Varyanslar İçin İki Örnek (F-Test Two Sample for Variances) 27

28 Örnek 10: Bağımsız iki kitle, varyanslar biliniyor Ankara daki çalışanların aylık ortalama kültürel harcamasının İstanbul daki çalışanların aylık ortalama kültürel harcamasından büyük olduğu iddia edilmektedir. Ankara ve İstanbul da 6 şar çalışan rasgele seçilerek aylık kültürel harcamaları (TL) saptanmıştır. X1 (Ankara) : 30, 40, 45, 70, 60, 45 X2 (İstanbul) : 35, 30, 40, 60, 40, 45 Kitlelere ilişkin varyanslar σ1 2 = 25, σ2 2 = 16 ve dağılımlar normal dağılım ise α=0,05 önem düzeyinde test sonucu ne olur? (n1 =6, n2 = 6) Ho: µ1-µ2 = 0 H1:µ1-µ2 > 0 EXCEL ile çözüm: Veri Veri Çözümleme (Data Analysis) z-test: Ortalamalar İçin İki Örnek 28

29 Ankara daki çalışanların aylık ortalama kültürel harcamasının İstanbul daki çalışanların aylık ortalama kültürel harcamasından büyük tür. PSPP de yok Örnek 11: Bağımsız iki kitle, varyanslar bilinmiyor, eşit kabul ediliyor Yabancı dil eğitimi veren iki dershaneden birincisinin daha iyi olduğu iddia edilmektedir. Birinci dershanenin programını tamamlayan 7 öğrenci ve ikinci dershanenin programını tamamlayanlardan 8 öğrenci rasgele seçilerek bir ortak testte tabi tutulmuştur. Değerlendirme sonucunda alınan puanlar aşağıdadır. X1 : 70, 74, 76, 60, 70, 55, 85 X2 : 50, 55, 60, 45, 60, 60, 40, 70 Anlamlılık düzeyi α=0,05 iken, bilinmeyen kitle varyanslarının aynı olduğu varsayımı altında test sonucu ne olur? 29

30 Ho: µ1-µ2 = 0 H1:µ1-µ2 > 0 µ1 : Birinci dershaneyi bitirenler kitlesine ilişkin ortalama başarı notu µ2 : İkinci dershaneyi bitirenler kitlesine ilişkin ortalama başarı notu n1=7, n2=8 EXCEL ile çözüm: fx T.TEST( ) fonksiyonu 30

31 Veya Veri Data Analysis t-test Eşit Varyanslar Varsayarak İki Örnek (t-test:two Sample Assuming Equal Variances) Yabancı dil eğitimi veren iki dershaneden birincisinin daha iyi eğitim vermektedir. 31

32 PSPP ile Çözüm: Veri girişi: Bilinmeyen kitle varyanslarının aynı olduğu varsayımı altında test; 32

33 Ho: Varyanslar eşittir. H1: Varyanslar eşit değildir. Levene Testi p değeri (Sig.)=0,91>α=0,05 Ho hip. Red edilemez. Varyanslar eşittir. Birinci satır yorumlanırsa; Thesap = 2,95, serbestlik derecesi=v=13, p değeri(iki yönlü için)=0,01 Tek yönlü p=0,01/2=0,005 < α=0,05 olduğundan Ho hipotezi red edilir. Yabancı dil eğitimi veren iki dershaneden birincisinin daha iyi eğitim vermektedir. Tablodaki Mean Difference sütunu örnek ortalamaları arasındaki farkı verir 70-55=15 Fark istatistiğine ilişkin standart hata 5,09 dur. 33

34 Örnek 12: Ankara ve İzmir şehirlerinde yaş arası gençlerin hafta sonunda ev dışında geçirdikleri ortalama sürenin farklı olduğu iddia edilmektedir. Rasgele Ankara dan 6 ve İzmir den 7 hacimli birer örnek seçilerek hafta sonunda harcanan süreler aşağıdaki gibi bulunmuştur. X1: 10, 4, 16, 10, 8, 12 X2 : 8, 3, 13, 9, 7, 10, 6 İki kitlenin de dağılımlarını normal dağılım ve bilinmeyen varyanslarının aynı olduğu varsayımı altında ve α=0,05 anlamlılık (önem) düzeyinde iki şehirde hafta sonunda ev dışında harcanan ortalama süreler farklı mıdır? Ho: µ1-µ2 = 0 H1:µ1-µ2 0 EXCEL ile çözüm: fx T.TEST( ) fonksiyonu 34

35 Ankara ve İzmir şehirlerinde yaş arası gençlerin hafta sonunda ev dışında geçirdikleri ortalama süreler arasında fark yoktur. Veya Veri Data Analysis t-test Eşit Varyanslar Varsayarak İki Örnek 35

36 PSPP ile Çözüm: Analyze Compare Means Independent T Test Varyanslar eşittir. (Varyans homojenliği varsayımı geçerlidir.) Birinci satır yorumlanırsa, İki yönlü p=0,34> α=0,05 Ho hipotezi red edilemez. Serbestlik derecesi=11, thesap=1,01 Ankara ve İzmir de yaş grubunda hafta sonunda ev dışında geçirdikleri ortalama süreler arasında fark yoktur. 36

37 Örnek 13: Ankara da çalışanların aylık ortalama sosyal amaçlı harcamalarının İstanbul daki çalışanların aylık ortalama sosyal amaçlı harcamalarından daha fazla olduğu iddia edilmektedir. Ankara dan 7 ve İstanbul dan da 11 çalışan rasgele seçilerek aylık sosyal amaçlı harcamaları aşağıdaki gibi belirlenmiştir. X1 (Ankara) : 30, 32, 32, 26, 30, X2 (İstanbul) : 15, 25, 35, 10, 40, 10, 40, 12, 38, 15, 35 Kitlelere ilişkin dağılımlar normal dağılım ve bilinmeyen varyanslar birbirinden farklıdır. Buna göre α=0,05 anlamlılık (önem) düzeyinde test sonucu ne olur? Ho: µ1-µ2 = 0 H1:µ1-µ2 > 0 EXCEL ile çözüm: fx T.TEST( ) fonksiyonu 37

38 İki Varyansa İlişkin Hipotez Testleri F-Testi 38

39 Veya Farklı Varyanslar ile t-testi Veri Data Analysis t-test:farklı Varyanslar Varsayarak İki Örnek Ankara da çalışanların aylık ortalama sosyal amaçlı harcamalarının İstanbul daki çalışanların aylık ortalama sosyal amaçlı harcamalarından daha fazla olduğuna dair yeterli delil bulunamamıştır. 39

40 PSSP ile çözüm: Analyze Compare Means 40

41 Ho: Varyanslar eşittir. H1: Varyanslar eşit değildir. Levene Testi p değeri (Sig.)=0,00<α=0,05 Ho hip. Red edilir. Varyanslar eşit değildir. İkinci satır yorumlanırsa; Thesap=1,27 ; serbestlik derecesi=10,82 İki yönlü p değeri=0,23 Tek yönlü p değeri=0,23/2=0,115> α=0,05 olduğundan Ho hipotezi red edilemez. Ankara da çalışanların aylık ortalama sosyal amaçlı harcamalarının İstanbul daki çalışanların aylık ortalama sosyal amaçlı harcamalarından farkı bulunmamaktadır. Örnek 14: (Bağımlı İki Örneklem- paired) Sigara içenler arasında rasgele seçilen 10 kişinin günde ne kadar sigara içtikleri saptanmıştır. Sonra aynı kişilere bir sağlık uzmanı, sigaranın sağlık üzerine olan olumsuz etkilerini konu edilen bir seminer vermiştir. Seminerden sonra aynı kişileri günde ne kadar sigara içtikleri yine saptanmıştır. X1 (Adet): 30, 25, 25, 20, 20, 18, 17, 17, 15, 13 X2 (Adet): 28, 25, 25, 18, 17, 18, 16, 16, 15, 12 Bu iki bağımlı örneğin normal dağılımdan geldiği biliniyorken α=0,05 önem düzeyinde seminerin etkili olduğu söylenebilir mi? 41

42 H0: µ1 - µ2 =0 n=10, α=0,05, İşlem Öncesi-İşlem Sonrası H1: µ1 - µ2 >0 d=x1 - X2 H0: µd =0 H1: µd >0 Test İst t-testi EXCEL ile Çözüm: Veri Veri Çözümleme t Test: Ortalamalar için iki örnek (t-test:paired Two Sample for Means) İçilen sigara miktarı seminerden sonra azalmıştır. 42

43 Veya fx T.TEST() fonksiyonu fx--> T.TEST() fonk ile p: 0, <alfa=0,05 Ho hipotezi red edilir. PSPP ile çözüm: Analyze Compare Means Paired-Sample T Test 43

44 Korelasyon katsayısı=0,98 ; önce ölçümleri ve sonra ölçümleri arasında korelasyon istatistiksel olarak anlamlıdır. Farklara ilişkin ortalama=1, farklara ilişkin standart sapma=1,05, farklara ilişkin standart hata=0,33 Thesap=3, serbestlik derecesi=9 İki yönlü p=0,01 Tek yönlü p=0,01/2=0,005< α=0,05 Ho hipotezi red edilir. Seminer etkili olmuştur. 44

45 KHİ-KARE BAĞIMSIZLIK TESTİ Sayım yolu ile elde edilen verilerin analizinde kullanılır. Özellik-2 Özellik Özellik-1 Gruplar Ho: İki özellik bağımsızdır. Ho: Özellik açısından gruplar arasında fark yoktur. H1: İki özellik bağımlıdır. H1: Özellik açısından gruplar arasında fark vardır. Test İstatistiği ve dağılımı Khi-Kare Testi ve Khi-Kare dağılımı r c X 2 = (G ij B ij ) 2 i=1 j=1 B ij 2 ~ X (r 1)(c 1),α Örnek 17: X hastalığına karşı korunmak için D ve E firmalarının ürettiği aşılar bulunmaktadır. Bu aşıların koruyuculuk etkilerini değerlendirmek için yapılan aşılama uygulamasında rasgele seçilen 200 kişi yine rasgele D ve E aşıları ile aşılanmışlar ve bir yıl X hastalık belirtileri yönünden sağlık kontrolünden geçirilmiştir. Araştırma sonucu aşağıdaki tabloda verilmiştir. Hangi aşı X e karşı korumada daha etkilidir? Test ediniz. (α=0,05) 2x2 lik Çapraz Tablo K o r u m a Aşı Cinsi Var(+) Yok(-) Toplam D E Toplam Ho: Aşılar arasında koruma bakımından fark yoktur. H1: Aşılar arasında koruma bakımından fark vardır. 45

46 EXCEL ile Çözüm: Önce Beklenen frekanslar hesaplatılır. fx KİKARE.TEST( ) p=0,062954>α=0,05 olduğundan Ho hipotezi red edilemez. Aşılar arasında koruma bakımından önemli bir fark yoktur. 46

47 PSPP ile Çözüm: Veri girişi: Data Weight Cases BIRIM_SAYISI Weight cases by Frequency Variable kısmına geçirilir OK Analyze Descriptive Statistics Crosstabs 47

48 X 2 hesap = 3,46, s.d=1 ((r-1)(c-1)), p=0,06>α=0,05 olduğundan Ho hipotezi red edilemez. Aşılar arasında koruma bakımından önemli bir fark yoktur. Not: Tablo gözelerindeki beklenen frekansların(teorik değerlerin) 5 den küçük olmaması istenir. Eğer minimum beklenen değer 5^den küçük ise (Bi <5 ) Fisher s Exact test kullanılır. Eğer 5<Bi<25 ise Contingency Correction (Yates Testi) satırı uygun test sonucudur. Eğer Bi >25 ise Pearson Chi-Square satırı uygun analiz sonuçlarıdır. Eğer gözlenen frekanslar (Gi ) birbirinden çok farklı ise Likelihood Ratio satırındaki sonuç uygun sonuç olacaktır. 48

49 Örnek 18: Bir bölgede yaşayan 220 kişiye sigara içip içmedikleri ve sağlığından şikayetçi olup olmadığı birlikte sorulmuş, alınan yanıtlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Sigara içmek ile sağlığından şikayetçi olmak arasında bir ilişki var mıdır? α=0,05 2x2 lik Çapraz Tablo Sigara içer misiniz? Sağlığınızdan şikayetçi misiniz? Evet Hayır Toplam Evet (Şikayetçi) Hayır (Şikayetçi değil) Toplam Ho: Sigara içmek ile sağlığından şikayetçi olmak birbirinden bağımsızdır. (Aralarında ilişki yoktur.) H1: Sigara içmek ile sağlığından şikayetçi olmak birbirine bağımlıdır. (İki özellik bağımlıdır, aralarında ilişki vardır.) EXCEL ile Çözüm: Beklenen frekanslar hesaplatılır. Sonra fx-->kikare.test()--> 49

50 Ondalık azaltırsak p value: olduğunu görürüz. %5 önem düzeyinde, sigara içmek ile sağlığından şikayetçi olmak bağımlıdır yani birbiri ile ilişkilidir. Veya Khi-Kare tablo değeri fx KİKARE.TERS.SAĞK(0,05;1)=3,84 (Sağ kuyruğu verir) df=(r-1)(c-1)=(2-1)*(2-1)=1 PSPP ile Çözüm: Veri girişi: 50

51 Data Weight Cases BIRIM_SAYISI Weight cses by Frequency Variable kısmına geçirilir OK Analyze Descriptive Statistics Crosstabs X 2 hesap = 44,26 (Pearson Chi-Square), s.d=1 ((r-1)(c-1), df), p=0,00<α=0,05 olduğundan Ho hipotezi red edilir. 51

52 Örnek 19: İlköğretim çocukları üzerinde yürütülen bir araştırmada, çocukların beslenme düzeyleri ile diş sağlığı durumları saptanarak aşağıdaki iki boyutlu çapraz tabloda verilmektedir. Diş sağlığının beslenme düzeyi ile önemli bir ilişkisi olup olmadığını test ediniz. (α=0,05) 3x3 lük Çapraz Tablo Beslenme Düzeyi Diş Sağlığı Durumu Çok Kötü Kötü İyi Toplam Yeterli ve Dengeli Yeterli ama Dengesiz Yetersiz Toplam Ho: Dış sağlığının beslenme düzeyi ile önemli bir ilişkisi yoktur. (İki özellik birbirinden bağımsızdır.) H1: Dış sağlığının beslenme düzeyi ile önemli bir ilişkisi vardır. (İki özellik bağımlıdır.) PSPP ile Çözüm: Veri girişi: 52

53 Data Weight Cases BIRIM_SAYISI Weight cses by Frequency Variable kısmına geçirilir OK Analyze Descriptive Statistics Crosstabs X 2 hesap = 40 (Pearson Chi-Square), s.d=4 ((r-1)(c-1), df), p=0,00<α=0,05 olduğundan Ho hipotezi red edilir. %5 önem düzeyinde, beslenme düzeyi ile dış sağlığı arasında önemli bir ilişki vardır yani birbiri ile ilişkilidir. 53

54 EXCEL ile Çözüm: Beklenen frekanlar hesaplatılır. Sonra KİKARE.TEST() fonksiyonu kullanılır. fx EĞER( ) Örnek 20: Çapraz tablo oluşturma ve Khi-Kare analizi Tıp Fakültesine yeni kayıt yaptıran öğrencilerden rasgele seçilen 25 öğrencinin mezun olduğu lise türü, yabancı dil, anne eğitimi, baba eğitimi, oturduğu yerleşim yeri bilgileri aşağıda verilmektedir. Lise Türü : 1=Klasik Lise, 2=Anadolu Lisesi, 3=Fen Lisesi Yabancı Dil: 1=Fransızca, 2=İngilizce, 3=Diğer Anne Eğitimi: 1=<Lise, 2=Lise, 3=Fakülte Baba Eğitimi: 1=<Lise, 2=Lise, 3=Fakülte Oturduğu Yer: 1=Kırsal, 2=İlçe, 3=İl Veriyi PSPP ye giriniz, özellikler arasında ilişki var mı? inceleyiniz. 54

55 PSPP veri girişi: Variable View Data View Ho: Anne Eğitimi düzeyi ile Baba Eğitim düzeyi arasında ilişki yoktur. H1: ilişki vardır. 55

56 Analyze Decriptive Statistics Crosstabs Beklenen frekans değerleri 5 ten küçüktür. Örneklem büyüklüğü arttırılmalıdır. ( p=0,04<alfa=0,05 olduğundan Ho hipotezi red edilir. Anne ve babanın eğitim düzeyleri arasında ilişki vardır. 56

57 Value Labels tıklandığında veri aşağıdaki gibi görüntülenecektir. 57

58 Örnek: Üç farklı bölgedeki kişilerin sigara içme alışkanlıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Sigara içme alışkanlığı açısından bölgeler arasında fark olup olmadığını araştırınız. (α=0,05) 3x4 Çapraz Tablosu (İki Boyutlu Tablo-Olağanlık Tablosu) İ ç i l e n S i g a r a S a y ı s ı Toplam 1.Bölge Bölge Bölge Toplam Ho: Bölgeler arasında sigara içme açısından fark yoktur. H 1: Bölgeler arasında sigara içme açısından fark vardır. α=0,05 (G ij B ij ) 2 Test İstatistiği ve dağılımı Khi-Kare Testi X 2 = i=1 j=1 ~ X (r 1)(c 1),α PSPP ile Çözüm: r c B ij 2 58

59 Data Weight Cases Goz_Frekans Weight cses by Frequency Variable kısmına geçirilir OK Analyze Descriptive Statistics Crosstabs Pearson Chi-Square Xhesap = 14,65 59

60 Ser.Der. (df)=6 ( (r-1)(c-1)=(3-1)(4-1)=6) p=0,02 < α=0,05 Ho hip. Red edilir. (p< 0,05) Yorum: α=0,05 önem düzeyinde bölgeler arasında sigara içme açısından fark vardır. EXCEL ile Çözüm: Giriş ile beklenen frekanlar virgülden sonra 2 haneli görüntülensin. Hangi bölge diğerlerinden sigara içme sayısı açısından farklıdır? Her bölge için ayrı ayrı X 2 hesap değerleri hesaplanır. 60

61 Khi-Kare tablo değerini buldurma: fx KİKARE.TERS.SAĞK(0,05; 6) 12, Khi-Kare tablo değerini buldurma fx KİKARE.TERS.SAĞK(0,05; 3) 7,

62 Örnek: Aynı hastalığa yakalananlar içinden 200 hasta rasgele seçilmiş ve daha sonra yine rasgele 50 şerli 4 gruba ayrılmıştır. Gruptaki hastalara farklı tedavi yöntemleri uygulanmış ve tedavi süresi sonunda hastalar için iyileşti ya da iyileşmedi diye rapor hazırlanmıştır. Tedavi tekniği ve hastaların tedavi sonrası durumlarına göre oluşturulan çapraz tablo aşağıdadır. Hastanın durumu Tedavi tekniği A B C D Toplam İyileşti İyileşmedi Toplam α = 0.05 iken bu değişkenler arasında ilişki olduğu söylenebilir mi? Ho= tedavi tekniği ve tedavi sonrası durum arasında ilişki yoktur. (v=0) H1= tedavi tekniği ve tedavi sonrası durum arasında ilişki vardır. (v 0) Hastanın durumu İyileşti (Beklenen frekanslar) İyileşmedi (Beklenen frekanslar) Tedavi tekniği A B C D Toplam 25 (50*118/200)=29.50) 25 (82*50/200=20.50) 30 (29.50) 20 (20.50) 40 (29.50) 10 (20.50) 23 (29.50) 27 (20.50) Toplam Serbestlık derecesi = (4-1)*(2-1)=3 (c =4, r =2 ) 62

63 Excel ile çözüm: Tablo=7.815 < ho red. Test sonucuna göre %95 güven düzeyinde tedavi tekniği ve tedavi sonrası hastanın durumu arasında ilişki vardır. İlişki katsayısı tahmini: v = 200 min ((4 1), (2 1)) = Bu sonuca göre değişkenler arasında zayıf bir ilişki vardır. 63

64 PSPP ile çözüm: 64

65 Khi-Kare Uygunluk Testi Gözlenen değerlerin belirli bir dağılıma uygun olup olmadığının sınanmasına khikare uygunluk testi denir. Ho: Veri teorik dağılıma uyar. H1: Veri teorik dağılıma uymaz. χ 2 k = (G i B i ) 2 i=1 B i χ2,v, Serbestlik derecesi v=(k-1) m Tahmin edilen parametre sayısı Örnek: Bir market zincirinde beş ayrı deterjan markasının ürünleri satılmaktadır. Bir örnekleme ile 56 kişiye tercihleri sorulmuş ve aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Bu verilere göre her markanın eşit tercih edildiği söylenebilir mi (Düzgün dağılım)? Marka A B C D E Toplam Tercih eden sayısı Bu soruda dağılımın kesikli düzgün dağılım olup-olmadığı sorgulanmaktadır. Ho: Tercih dağılımı düzgün dağılımdır. (Veri düzgün dağılıma uyar) H1: Tercih dağılımı düzgün dağılım değildir. (Veri düzgün dağılıma uymaz.) =0,05 Ho hipotezinin doğruluğu varsayılarak, beklenen sıklıkların (frekansların) toplam sıklığın 5 e bölümü ile elde edilecektir. (Burada herhangi bir parametrenin tahmin edilmesi gerekmez.) Serbestlik derecesi sınıf sayısının bir eksiği olacaktır. v=k-1= 5-1= 4 Bi = 56/5 = 11,2 Beklenen sıklıklar olacaktır. Marka A B C D E Toplam Gözlenen tercih eden sayısı Beklenen tercih eden sayısı 11,2 11,2 11,2 11,2 11,2 56 χ 2 k hesap = (G i B i ) 2 = 4,536 χ 2 hesap=4,536<9,49 olduğundan Ho hipotezi red i=1 B i edilemez. χ 2 tablo = χ 2, v=4 = 9,49 Veri düzgün dağılıma uyar. 65

66 PSPP ile çözüm: Analyze Non-Parametric Statistics Chi-Square Data Weight Cases gozlenen Analyze Non-Parametric Statistics Chi-Square Test Variables: gozlenen Expected Values: All categories equal 66

67 Chi-Square = 4,54 χ 2 hesap = 4,54 Serbestlik derecesi (df) v=k-1= 4 p=0,34 > =0,05 olduğundan Ho hipotezi red edilemez. Veri düzgün dağılıma uyar. veya χ 2 tablo = χ 2, v=4 = 9,49 χ 2 hesap=4,54 < 9,49 olduğundan Ho hipotezi red edilemez. Veri düzgün dağılıma uyar. 67

68 EXCEL ile çözüm: fx kullanılır. fx KİKARE.TEST( ) fonksiyonu 68

69 Örnek: Bir ülkedeki yaşlıların bir yılda kaç kez hastane tedavi gördüklerine ilişkin yüzde değerler aşağıda verilmektedir. Tedavi sayısı, pi Toplam Yaşlı yüzdesi(%) Belli bir bölgedeki yaşlı insanlar içinde aynı oranların mevcut olup olmadığını test etmek amacıyla o bölgeden 400 yaşlı insan rasgele seçilmiş ve aşağıdaki veri elde edilmiştir. Tedavi sayısı Toplam Yaşlı sayısı(fi) Buna göre %5 önem düzeyinde test yaparak sonucu belirleyiniz. 69

70 Ho: İlgili bölgede yaşlıların bir yıl içindeki tedavi sayıları ülke genelindeki orana uygundur. H1: Gözlenen tedavi sayıları, ülke genelinde oranları yansıtmamaktadır. Beklenen frekanslar =N*pi = 400*pi ile Bi değerleri bulunur. EXCEL ile çözüm: Khi-Kare tablo değerini buldurma: fx KİKARE.TERS.SAĞK(0,05; 6) 12,592 Test istatistiğinin p değeri: fx KİKARE.TEST(Etkin_erim; Beklenen_erim) p: 0.00 < alfa=0,05 Ho hipotezi red edilir. 70

71 PSPP ile çözüm: Weight Cases Gozlenen_f Analyze Non-Parametric Statistics Chi-Square 71

72 Çıktı: Khi-Kare Hesap=21,01 df=6 (Serbestlik derecesi, k-1=7-1=6) p=0,0 < alfa=0,05 Ho hipotezi red edilir. İstenirse, EXCEL ile tablo değeri buldurularak X 2 hesap ve X 2 tablo değerleri karşılaştırılır. Khi-Kare tablo(alfa=0,05, v=6)=12,59 (fx KİKARE.TERS.SAĞK(0,05; 6)) Khi-Kare Hesap=21,01 > 12,59 Ho hipotezi red edilir. Binom Dağılımına Uygunluk Testi Örnek: 5 çocuklu 280 ailenin çocuklarının cinsiyetlerine göre frekans tablosu aşağıda verilmektedir. Kitlede erkek ve kız çocuk doğum olasılıkları; PE = PK = 0,50 Binom dağılımı varsayımına göre, ailelerin sahip oldukları kız çocuk sayılarına göre frekans dağılımı; X: Kız çocuk sayıları Kız B(X; 5; 0,50) parametreli Binom Dağılımına uygunluk gösterir mi? Test ediniz. 72

73 Kız Çocuk Sayısı (X): Toplam Aile Sayısı (f) P(X=x)= ( n x ) px q n-x, n=5, p=q=0,50, N=280 Teorik aile sayısı: Ti =pi * N ile elde edilir. Ho : Veri Binom Dağılımına uyar. H 1 : Veri Binom Dağılımına uymaz. = 0,05 Test İstatistiği ve dağılımı Khi-Kare Testi χ 2 k = (G i B i ) 2 i=1 B i χ2,v, Serbestlik derecesi v=(k-1) m EXCEL ile Çözüm: Tahmin edilen parametre sayısı P(X=x) değerlerini hesaplamada, fx BİNOM.DAĞ( ) fonksiyonu kullanılır. 73

74 74

75 PSPP ile Çözüm: Data Weight Cases Aile-Sayisi Analyze Nonparametric Tests Chi-Square Test Variables X geçirilir ve beklenen frekanslar Value kısmına girilir. 75

76 Khi-Kare Hesap Chi-Square=3,11 Ser. Derecesi (df) =5 Asymp.Sig.--> p=0,68 > α=0,05 Ho hipotezi red edilemez. Veri Binom Dağılımı gösterir. 76

77 VARYANS ANALİZİ (ANOVA ANalysis Of VAriance) Varyans analizi, k gruptan elde edilen veri setinde Normal dağılım gösteren Y değişkeninin genel değişiminin (genel varyans), bu değişime etkide bulunan faktörlere (değişim kaynağı, source of variation) göre ayırarak analiz etmeyi sağlayan bir yöntemdir. Araştırmalarda, genel olarak, değişkenler birbirlerini etkileme ve açıklama bakımından bağımlı değişken ve bağımsız değişken(ler) olmak üzere iki gruba ayrılır. Bağımlı değişken, bağımsız değişken(ler) tarafından açıklanmaya çalışılan değişkendir. Varyans analizinin amacı, bağımlı değişkendeki varyansın kaynağını araştırmaktır. Öğrencilerin sosyal etkinliklere ayırdıkları süreler niçin farklıdır? Gerçekte öğrencilerin sosyal etkinliklere ayırdıkları süreler aynı değildir. Bu nedenle sosyal etkinliklere ayrılan süre değişkenine ilişkin bir varyans olduğu açıktır. Bu varyansın nedeni (kaynağı) nedir? Araştırmalarda bu sorunun yanıtı aranır. Bu değişkendeki değişimin (varyansın) kaynağı annenin eğitim düzeyi, cinsiyet, oturulan semt, olabilir. Buradaki sosyal etkinliklere ayrılan süre bağımlı değişkendir. Bağımsız değişkenler ise annenin eğitim düzeyi, cinsiyet, oturulan semt olabilir. Dekar başına alınan verim(kg) bağımlı değişken olarak alındığında, bağımsız değişkenler toprak çeşidi ya da kullanılan kimyevi gübre olabilir. Dekar başına alınan verim her dekarda aynı değilse bunun kaynağı hangi bağımsız değişkendir? Örneklerdeki bağımlı değişkenler, sosyal etkinliklere ayrılan süre, verim oranlama düzeyinde ölçülen değişkenlerdir. Bağımsız değişkenler için verilen örneklerde sınıflama ve sıralama düzeyinde ölçülebilen değişkenlerdir. Oturulan semt, toprak çeşidi, kimyevi gübre türü sınıflama düzeyinde ölçülen değişkenlerdir. Annenin eğitim durumu sıralama ölçme düzeyinde ölçülen değişkendir. Varyans analizinde 77

78 bağımlı değişken eşit aralıklı ya da oranlama, bağımsız değişken(ler) de sınıflama ya da sıralama düzeyinde ölçülür. Varyans analizinde bağımsız değişkenlere faktör ve bağımsız değişkenlerin aldığı değerlere de faktör düzeyleri denir. Oturulan semt faktör olarak alınırsa Göztepe, Balçova, Konak vb faktörün düzeyleri olacaktır. Tek faktörlü varyans analizinde bir faktörün bağımlı değişken üzerinde etkili olup olmadığı ortaya çıkarılmaya çalışılır. Tek Yönlü Varyans Analizi ( k Bağımsız Örneklem Varyans Analizi) k kitleden n hacimli k tane rasgele örneklem alındığında k kitle µ1, µ2,,µk ortalamalıve σ 2 ortak varyanslı Normal dağılım göstermektedir. Ho: Ortalamalar arasında fark yoktur. (Ho: µ1= µ2= =µk ) H1: En azından bir ortalama diğerlerinden farklıdır. Doğrusal model: (Tek yönlü: Tesadüf+ 1 faktör) Bağımlı değişken değeri Yij = µ + ai + eij Genel Tesadüf etkisinin katkı payı ortalama a faktörünün katkı payı KARAR: Fhesap > Ftablo veya p< ise Ho hipotezi red edilir. 78

79 Örnek: Aynı coğrafi bölge ve aynı toprak çeşidinden rasgele 24 parsel belirlemiştir. Bu 24 parselden 6 parsele nitrat, 6 parsele potasyum, 6 parsele fosfat ve dördüncü gruptaki 6 parsele amonyum kimyevi gübreleri kullanılmış ve hasat mevsimi sonunda alınan buğday verimi (kg) aşağıdaki gibi elde edilmiştir. Tek yönlü varyans analizi uygulayarak gübre türlerinin verim üzerine etkilerinin aynı olup olmadığını inceleyiniz. Gübre Türleri Nitrat Potasyum Fosfat Amonyum Ho: Ortalamalar arasında fark yoktur. (Ho: µ1= µ2=µ3=µ4 ) H1: En azından bir ortalama diğerlerinden farklıdır. Veya Ho: Gübre türlerinin verim üzerine etkileri aynıdır. H1: Gübre türlerinin verim üzerine etkileri farklıdır. α=0,05 PSPP ile Çözüm: 79

80 Analyze Compare Mean One-Way ANOVA Fhesap = 6,85 (Significance) p=0,00< α=0,05 olduğundan Ho hipotezi red edilir. Yorum: α=0,05 önem düzeyinde kimyevi gübre türlerinden en az birinin etkisi diğerlerinden farklıdır. Tanımlayıcı istatistikleri görmek için: Analyze Compare Mean One-Way ANOVA 80

81 Varyans homojenliği testi için, Ho: Varyans homojenliği varsayımı geçerlidir. H1: Varyans homojenliği varsayımı geçerli değildir. Levene Statistics =1,43, Significance p=0,26> α=0,05 olduğundan Ho hipotezi red edilemez. Varyans homojenliği varsayımı geçerlidir. 81

82 EXCEL ile Çözüm: Veri--> Data Anaysis -->Anova:Tek Etken (Anova: Single Factor) Ftablo değeri fx F.TERS.SAĞK(alfa; (j-1); (n-j)) F.TERS.SAĞK(0,05; 3; 20) =3,10 (j-1=4-1=3) ; (n-j=24-4=20) 82

83 REGRESYON ANALİZİ Basit Doğrusal Regresyon ve Korelasyon Değişkenler arasındaki ilişkinin incelenmesinde kullanılan tekniklerdendir. Basit doğrusal regresyon analizinde bir değişkenin (rasgele olan veya rasgele olmayıp matematiksel olabilen değişkenin) verilen değeri yardımı ile diğer değişkenin değerini hesaplamamıza veya kestirmemize yarayan eşitliğin belirlenmesi sağlanır. Basit doğrusal regresyon iki değişkenle ilgilidir. Bu değişkenlerden biri (bağımlı olan) rasgele değişken, diğeri (bağımsız olan) ise matematiksel değişkendir. Basit doğrusal regresyonda kestirimi yapılan eşitlik bir doğrunun ifadesidir. Eşitliğin kestirimi gözlem değerleri ile sağlanır. Basit korelasyon analizinde ise iki rasgele değişken arasında ilişki olup olmadığı araştırılır. Değişkenlerden birinin değeri artarken (veya azalırken) diğerinin değerinin artıp artmadığı araştırılır. Korelasyon katsayısı r ile gösterilir ve -1 r +1 aralığında değişir. + pozitif ilişkiyi, - negatif ilişkiyi ifade eder. Aralarında korelasyon olan değişkenler arasında sebep sonuç ilişkisi olmayabilir. İki değişken arasında sebep sonuç ilişkisi veya fonksiyon olabilen bağıntı regresyon analizinde incelenir. Değişkenler arasında Sebep Sonuç ilişkisi X Bağımsız değişken Independent variable Açıklayıcı değişken Predictor variable Y Bağımlı değişken Dependent variable Cevap değişkeni Response variable 83

84 Örneğin hava sıcaklığı (X) ile kullanılan yakıt miktarı (Y) arasındaki ilişki Gözlem değerleri X Y.... Y= α + β X + ε Y = a + b X En Küçük Kareler Yöntemi En Küçük Kareler Yöntemi: Y = a + b X sağlamalıdır: olarak tanımlanan bu doğru iki koşulu Birincisi ( Xi, Yi ) çiftlerine karşı gelen noktalar ile bu noktaların En Küçük Kareler Yöntemiyle elde edilen doğru üzerindeki dik izdüşümleri arasındaki farklar (hatalaratıklar) toplamı sıfır olmalıdır. Buna göre i. Birimin bağımlı değişken ölçüm değeri Yi ve bağımlı değişken tahmin değeri Y i olmak üzere i. Birim için hata (artık) terimi ei = Yi - Y i olarak tanımlanır. İkincisi ise bu hataların (artıkların) karelerinin toplamı minimum olmalıdır. min e 2 i = (Yi Y i ) 2 b = X iy i X i Y i n X i 2 ( X i )2 n a = Y b X Y = a + b X modeli elde edilir. Model Testi: Ho: Model anlamlı değildir. Ho: = 0 H1: Model anlamlıdır. H1: 0 belirlenir Test İstatistiği ve Dağılımı: F Testi ve F dağılımı (Ftablo = F, 1, (n-1) ) ANOVA tablosundaki F değeri p < ise Ho hipotezi red edilir veya Fdeğeri > Ftablo = F, 1, (n-2) Ho hipotezi red edilir. Yorum: Model anlamlıdır, önemlidir. Y = a + b X denklemi kullanularak X in bir değeri için için Y değeri tahmin edilebilir. 84

85 Örnek: On bireyin günlük içtikleri sigara sayısı ve sistolik kan basınçları cm/hg olarak aşağıdaki tabloda verilmektedir. Sigara sayısı (X) ile sistolik kan basıncı (Y) arasındaki bağıntı denklemini yazınız. Model testi sonucu nedir? İki değişken arasındaki ilişki düzeyini hesaplayınız. Günlük içilen Sigara sayısı (X) Sistolik kan basıncı (Y) EXCEL ile Çözüm Gözlem değerlerinin grafiği Yatay eksende X, düşey eksende Y Ekle Grafik kısmından Veri girişi: A B X Y şeklinde girilir. Veri seçilir Ekle Dağıtım (Serpme Grafiği) 85

86 86

87 Noktalar seçili iken Sağ tuş Eğilim Çizgisi Ekle 87

88 Regresyon Analizi: Veri girişi Veri data Analysis Regression 88

89 Hat Uyumu Çizimi Line Fit Plots Ho: Model önemli değildir (anlamlı değildir) H1: Model önemlidir (anlamlıdır) 89

90 Y = 10, ,206 X p= 0, < α=0,05 Ho hipotezi red edilir. Model anlamlıdır. X bir birim artarken Y 0,206 birim artar. Bu denklem kullanılarak X in değerleri için Y bulunabilir. EXCEL de tablo değerini buldurma: Ftablo = F =0,05 ; 1 ; 8 = 5,32 Fhesap değeri = 45,72835 > Ftablo = 5,32 Ho hipotezi red edilir. 90

91 Korelasyon Katsayısı Correlation 91

92 r = 0,92 güçlü, pozitif bir ilişki var. Biri artarken diğeride artar. PSPP ile Çözüm Analyze Linear Regression 92

93 p=0,00<α=0,05 Y = 10,46 + 0,21X Model önemlidir, anlamlıdır. Korelasyon katsayısı: 93

94 r= 0,92 X ve Y arasındaki korelasyon, ilişki katsayısı Güçlü ve pozitif bir ilişki mevcut, biri artarken diğeri de artar. Örnek: n=9 çaplı örnekte Y ve X değişkenlerinin aldıkları değerler: y x Uygun modelin Y = β 0 + β 1 X olduğu varsayım altında modelin parametrelerini tahmin ediniz. (alpha:0.05) EXCEL ile Çözüm Veri seçilir Ekle Dağıtım (Serpme Grafiği) 94

95 Regresyon Analizi: Veri girişi Veri data Analysis Regression 95

96 Ho: Model önemli değildir (anlamlı değildir) H1: Model önemlidir (anlamlıdır) Y = X p= 0,000 < α=0,05 Ho hipotezi red edilir. Model anlamlıdır. X bir birim artarken Y birim artar. Bu denklem kullanılarak X in değerleri için Y bulunabilir. 96

97 EXCEL de tablo değerini buldurma: Ftablo = F =0,05 ; 1 ; 7 = 5,5914 Fhesap değeri = > Ftablo = 5,5914 Ho hipotezi red edilir. Korelasyon Katsayısı Correlation r = 0,9873 (çoklu R) güçlü, pozitif bir ilişki var. Biri artarken diğeri de artar. R 2 = (Determinasyon kat sayısı) Y deki değişkenliğin %9748 i X ile açıklanabilir. PSPP ile Çözüm 97

98 Analyze Linear Regression p=0,00<α=0,05 Y = X Model önemlidir, anlamlıdır. 98

99 Korelasyon katsayısı: r= 0,99 X ve Y arasındaki korelasyon, ilişki katsayısı Güçlü ve pozitif bir ilişki mevcut, biri artarken diğeri de artar. 99