II ) O ÇIKARTIMI A) TARİHSEL GELİŞİM B) İNTEGRAL BİÇİMLER C) DİFERANSİYEL BİÇİMLER D) MAXWELL KATKISI E) POTANSİYELLER, AYARLAR, ELEKTROMAGNETOSTATİK

Transkript

1 6 II ) J O ÇIKRTIMI ) TRİHSEL GELİŞİM B) İNTEGRL BİÇİMLER C) DİFERNSİYEL BİÇİMLER D) MXWELL KTKISI E) POTNSİYELLER, YRLR, ELEKTROMGNETOSTTİK F) ELEKTRODİNMİK G) RELTİVİSTİK YZILIM H) ÖZET TBLO I) UZY-ZMN TERSİNMELERİ J) MEKNİK

2 7 ) TRİHSEL GELİŞİM En terik bir Elektrmagnetik Teri (EMT) dersi bile knuya temel deneysel gözlemlerle girmek zrundadır. Elektrik yükün: Varlığı, İki ins luşu, Krunumu ve Kuantizasynu, antik çağlarda başlayıp, 0. Yüzyıl başlarına kadar süren gözlemlerle saptanmıştır. Terinin bir kanadı elektrmagnetik alanların yükleri nasıl etkilediğini belirleyen Lrentz kuvveti : F q E v B, diğer kanadı ise alanların birbirleri ve uzay-zaman ile ilişkilerini açıklayan Maxwell denklemleridir. EMT ve nun Kuantum Terisine yansıyan biçimi lan Kuantum ElektrDİnamiği ( KEDİ ) fiziğin en güvenilir terisi lup, 0 mertebesinde hassas ölçümlere izin verir. Bilim tarihi birleşmelerin tarihidir: Newtn'un astrnmi ile dinamiği, Daniel Bernulli'nin ısı layları ile dinamiği, dlayısıyla akustik bilimini birleştirmelerinden snra Maxwell attığı büyük bir adımla elektrik ve magnetik layları, dlayısıyla ptik başta lmak üzere tüm elektrmagnetik ışımaları birleştirmiş ldu. Bir snraki birleşme için (elektr-zayıf etkileşme) 00 yıl beklemek gerekeekti. B) İNTEGRL BİÇİMLER Maxwell denklemlerinin tarihsel gelişiminde öne Culmb yasası (787) : (0,0,0) nktasındaki bir Q yükünün r ( x, y, z) nktasındaki q yükü üzerinde Qq luşturduğu kuvveti F rˆ 4 r ile verir. Karmaşık görünümlü 4 katsayısı ileride Maxwell denklemlerinin estetiği uğruna yapılan bir fedakarlıktır. Bu kuvveti q yükü ile, Q yükünün yarattığı elektrik alanının çarpımı larak yazmak istersek E Q rˆ r buluruz. İki tarafın da yüzey elemanı ds ile skalar çarpımı, 4 ˆr ds d katı açı tanımı ile r E ds Q d verir. Bunun da Q yükünü 4 içeren bir kapalı yüzey üzerinden integrali alınarak Q iç E ds dv Gauss yasası elde edilir. Bu denklemin terik önemi bir yana, pratik prblemlerde pek yararı

3 8 yktur. Yararlı bir snuç için kapalı yüzeyimizin sadee 3 tip yüzeyden luşması gerekir : S : E 0 lan yüzeyler, S : E ds lan yüzeyler, S : hem E sabit, hem de E ds lan yüzeyler. Bu durumda S ve S terimlerinden katkı gelmez ve E Q iç snuuna ulaşılır. Bu çk özel durumun geçerli S lduğu birkaç prblemin çözümü zaten giriş düzeyinde elektrik derslerinde yapılır. Bu nktada tarihsel larak gerilere gidip 7. Yüzyıl başlarında İngiliz kraliçesi. Elizabeth'in dktru Gilbert'in magnetik yük ayrıştırma çabalarının snuçsuz kalması hatırlanmalıdır. Günümüzde bile süren ama hala snuçsuz kalan bu çabanın negatif snuu Gauss yasası frmatında B ds 0 larak ifade edilir. Zamanda tekrar ileri giderek 9. Yüzyıl başlarında elektrik akımının pusulaları etkilediği gözleminin matematik ifadesi mpere tarafından B d Iiç larak verildi (80). Snsuz sayılabileek uzunluktaki bir dğru parçasından geçen sabit akımın yarattığı magnetik alanı ineleyen deneyler, s, akımdan uzaklığı göstermek üzere B I, ; Bˆ ˆ snuunu verir. s B I ˆ, d ds sˆ s d ˆ dz zˆ ifadelerinin skalar çarpımının akımın s içinden geçtiği bir kapalı yl üzerinden integralini alarak da B d I d B d I J ds snuuna erişilir. mpere'in deneylerinin sabit akım kullanılarak yapılmasının sakınaları ileride gündeme geleektir. Bu arada çk önemli bir gözlem : terinin iki evrensel sabitinin bir başka evrensel sabit ile ilintisi lmuştur. Değişen magnetik alan, dlayısıyla magnetik akıların elektrik akımı yaratması gözleminin de matematik ifadesi ile verildi ve Faraday yasası larak adlandırıldı (835). Maxwell önesi Maxwell denklemlerinin integral biçimleri : d E d B ds dt

4 9 E ds dv ; d E d B ds dt B ds 0 ; B d J ds larak özetlenir. C) DİFERNSİYEL BİÇİMLER W ds W dv ; W d W ds vektör özdeşlikleri ile : E ds E dv dv E 0 0 B ds B dv B d B E d E ds B ds E dt t B d B ds J ds B J d bulunur. Elektrik yükün krunumu ise J ds dv dt larak yazılabilir. t Bu da J ds J dv dv J 0 diferansiyel biçimine dönüşür. t E, E B t B 0, B J

5 0 denklemlerinin J 0 t W 0 yük krunumu denklemi ile tutarlı lmaması, vektör özdeşliğinin B J mpere denklemine uygulanmasının B 0 J 0 snuunu vermesi iddi bir tutarsızlıktır. D) MXWELL KTKISI Maxwell bu tutarsızlığı, deneyler alternatif akımla yapılmadığı için eksik kalan mpere yasasını düzelterek çözdü. B J X J X 0 X 0 t 0 E E E X X X t t t çözümü ile mpere yasasının eksiksiz biçimi B J E t lur. Yük krunumu denklemini ayrıa yazmak gereksizdir, zira artık J 0 t bağıntısı B J E t ve E denklemleri içinde gizlenmiş larak mevuttur. E) POTNSİYELLER, YRLR, ELEKTROMGNETOSTTİK İki tanesinin vektör karakteri göz önüne alınına tplam 8 tane lan Maxwell denklemleri girift (upled) ldukları için dğrudan çözümleri çk zrdur. Bir alıştırma larak zamandan bağımsız, statik özel durumu inelersek E r r, Er 0 ; Br 0, Br J r denklemlerinin girift lmaktan kurtulup, elektrik ve magnetik larak ayrıştığını görürüz.

6 Elektrstatik için 0 vektör özdeşliğinin Er 0 denklemine uygulanması bize V r : Elektrik Ptansiyeli lmak üzere E r V r lduğunu ima eder; bunun da E r r r denklemine yerleştirilmesi snuu V r Kaynak Terimli Laplae (veya Pissn) denklemine ulaşılır. Magnetstatik için ise W 0 vektör özdeşliğinin Br 0 uygulanması, Vektör Ptansiyel larak adlandırılan lduğunu ima eder. Burada prblem r denklemine r insinden Br r fnksiynunun tek lmayışıdır; keyfi bir r fnksiynu ile yapılan r r r dönüşümü Br alanını değiştirmez. Zira bir vektörü tanımlamak için sadee W snuunu bilmek yeterli lmaz; W snuunu da bilmek gerekir. Helmhltz teremi larak bilinen bu ilkenin ispatına yönelik bir yaklaşım prblem larak verileektir. Elektrdinamikte seçimi "yar" larak adlandırılır. İnelediğimiz statik durumda bu seçim ebirsel klaylık açısından 0 larak yapılaaktır (Culmb yarı). Br r ifadesinin B r J r denklemine yerleştirilmesi snuu W W + W özdeşliği yardımı ile gene bir Pissn denklemi r J r elde edilir. F) ELEKTRODİNMİK Dinamik durum dğal larak daha karmaşıktır. En klay denklemden başlayarak B 0 B snuunun B E denklemine yerleştirilmesi t E t 0 verir. Statik terübemizden yararlanarak, bundan da

7 E t ara snuuna ulaşırız. Burada Skalar Ptensiyel ile Vektör Ptansiyel 'nın aynı byuta sahip lması için kullanılmıştır. E t alanının J E denklemine yerleştirilmesi t J veya J t snuunu verir. E lanları ptansiyeller insinden veren ifadeleri B J denklemine t + J t t yerleştirerek de edilir. Bu denklemleri en basit biçime skaak ayar seçiminin t elde 0 (Lrentz yarı) lduğu görülür. Bu seçimle t J ve t J biçimini alan 4 denklem Kaynak Terimli Dalga Denklemi larak adlandırılır. G) RELTİVİSTİK YZILIM Culmb ayarının Lrentz ayarının relativistik lmayan özel hali lduğu da görülmektedir. t (D'lambertian) diferansiyel peratörü tanımı ile, 0,,,3 lmak üzere J denklemleri ve F q E v B Lrentz kuvveti, elektrmagnetik terinin temelini luşturur. 4-Vektörleri W W, W gösterip, Minkwski skalar çarpımlarını larak

8 3,, X X Y Y X Y X Y X Y larak tanımlayıp, t,,,, J J, J kullanarak; Yük Krunumu : J 0, Lrentz yarı : 0 Kaynaklı Dalga Denklemi : J, yazabiliriz. H) ÖZET TBLO Temel dalga denklemi ve özel durumları bir tabl larak özetlenir. DİNMİK STTİK KYNKLI J r J r (Kaynaklı Dalga) (Pissn) KYNKSIZ 0 0 (Dalga) (Laplae) Bunların tüm uzay-zamanda çözümü klaydır; asıl zr lan uzayın belli bir bölgesinde ve belli sınır şartlarına uyan çözümler luşturmaktır.

9 4 I) UZY-ZMN TERSİNMELERİ yrık simetri işlemleri altında dönüşümler de tüm terilerin temelleri arasında yer almalıdır. : Uzay Tersinmesi ve : Zaman Tersinmesi altında işaret değişimleri, temel değişkenler ve temel sabitler için : r t i larak özetlenir. Lineer bir işlem lmayan zaman tersinmesinin sanal sayılarla antikmütatif ilişkisi çarpıı bir özelliktir. Bu tabldaki veriler, fiziksel değişkenlerin tanımları ve içinde yer aldıkları denklemler inelenerek genel bir sınıflandırma : p, J,, i t E, d L, B, p, J,, i tablsu ile özetlenir.

10 5 J) MEKNİK EMT 'nin klasik mekaniğe yansıması: Dış etkilerin ykluğunda mmentum krunumunu veren bir Serbest Lagrange fnksiynu ve elektrmagnetik etkileşmeyi veren L v d mv 0 dt v m d U U q E v B dt v r k k k bir U dt v k r k rk t d U U k genelleştirilmiş ptansiyel ile sağlanır. q v k t denkleminde v v d dt özdeşliği yardımıyla U q v, dlayısıyla L m v q v bulunur. Bilinen mettlarla hız'ın yerine mmentum geçirerek elde edilen Hamiltn fnksiynu H p, p q p q m denklemini sağlar. Relativistik lmayan limitte bu p q H q biçimine dönüşür. m PROBLEMLER P.) Klasik fiziğin 4 temel Byutu : T : Zaman, L : Uzunluk, M : Kütle, Q : Yük ile verilir.,,, E, B, E B, V,,, J analizini yapın. sabit ve değişkenlerin byut

11 6 P.) Eğer dğada ˆ B r g g r ve J g 0 4 r t sağlayan magnetik yükler mevut lsaydı, Maxwell denklemlerinin ve Lrentz kuvvetinin nasıl genelleşeeklerini bulun. P.3) Keyfi bir fnksiynu kullanan veya kısaa bıraktığını gösterin. t, dönüşümünün E ve B alanlarını aynı P.4) Baker-Hausdrff Lemma'sını kullanarak dönüşümünün, yar dönüşümüne eşdeğer lduğunu gösterin. exp( i) p q exp( i ) benzerlik P.5) Lrentz yar şartını sağlamayıp t e sağlayan bir fnksiynu araılığı ile y e veya kısaa y e e veren bir 4-Ptansiyel y e t biçiminde dönüştürülüne,, yeni 4-Ptansiyelin y t y 0 Lrentz yar şartını sağladığını gösterin.