1.Gir i 1.1 Ya kla ık çö zü m iht iyacı e k i l A N üme rik ya kınsa ma

Transkript

1 SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ VE BU YÖNTEMİN SINIR DEĞER PROBLEMLERİNE UYGULANMASI HAZIRLAYAN : Dr. Mehmet İREN SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ VE BU YÖNTEMİN SINIR DEĞER PROBLEMLERİNE UYGULANMASI

2 .Giriş Uygulamalı fiziğin ve matematiğin çeşitli alanlarında karşımıza çıkan problemlerin çoğu için analitik çözümler elde etmek zor ve hatta imkansızdır. Analitik bir çözüm, sistemin içindeki herhangi bir noktada aranan bir bilinmeyenin değerini veren matematiksel bir ifadedir ve sistem içinde bulunan sonsuz sayıdaki diğer noktalarda da geçerlidir. Analitik çözümler sadece basitleştirilmiş şartlar için elde edilebilmektedir. Kompleks malzeme özellikleri ve sınır şartları ihtiva eden problemlerde, yaklaşık ve kabul edilebilir sonuçlar veren nümerik hesap metotları kullanılır. Nümerik hesap metotlarında bilinmeyenin yaklaşık değeri, sadece sistem içindeki belirli noktalarda elde edilir. Elektronik kompüterlerin yaygın olarak kullanılmaya başlamasından önce ortaya çıkmış ve geliştirilmiş nümerik hesap metotlarından çoğu bugün bu tür makinalarda kullanılmak üzere adapte edilmişlerdir. Bu nümerik hesap yöntemleri arasında sonlu farklar ve Ritz yöntemlerinden bahsedilebilir. Yukarıda bahsedilen yöntemlerin aksine sonlu elemanlar yöntemi tamamen bilgisayar çağının ürünüdür. Bu yöntem ile non-homoen ve aniztrop malzeme özelliklerine ve kompleks sınır şartlarına sahip ortamların davranışları kolaylıkla belirlenebilir.. Yaklaşık çözüm ihtiyacı Giriş bölümünde, analitik çözümlerin elde edilme güçlüğünden bahsedilmişti. Bu sebeple kabul edilebilir hassaslıkta bir çözüm eğer makul bir zaman harcayarak elde edilebiliyorsa bizce tercih edilmektedir. Mühendisler olarak bizi asıl ilgilendiren, yaklaşık çözümün gerçek çözüme yakınsaklığıdır. Elde edilen sonuçların iyiliğinin, yaklaşım derecesinin arttırılmasına bağlı olduğunu da unutmamalıyız. Şekil A. Mesela bir çember çevresinin ölçülmesi istensin. Eğer bu çemberin çapı birim ise, bu çemberin çevresi tam olarak π = birim olacaktır. Bununla beraber ölçme için cetvel kullanmamız isteniyorsa, yapacağımız şey çemberi bir poligon kabul etmektir. Bu Şekil.'de görülmektedir. Bu şekilde açıkça görüleceği gibi, poligonun kenar sayısı arttıkça çembere yaklaşmaktadır.. Nümerik yakınsa ma Nümerik yakınsamanın temel fikri, sürekli ortama parça parça yaklaşmaktır. Buna diskretizasyon denir. Böylece sonsuz adet olan bilinmeyen sayısı, sonlu hale gelir. Bir önceki bölümde yaptığımız gibi bir çembere poligon olarak yaklaşmak bir diskretizasyondur. a¾x¾b aralığında sürekli y=f(x) fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyonun bu aralıktaki türevinin analitik bir fonksiyonunu elde etmek kolaydır. Ancak biz bu olaya nümerik olarak yaklaşmak isteyebiliriz. Bu taktirde, aralık içerisinde f(x)'in varyasyonu, y = αx + β (. ) şeklinde kabul edilebilir. Bu taktirde fonksiyonun türevi,

3 3 dy dx = α (. ) şeklinde tek bir değer olacaktır. Şekil.'den de görülmektedir ki, gerçek ve kabul edilen fonksiyonlar arasında ve bunların bu aralıkta hesaplanan türevleri arasında ortaya çıkan hata bizce kabul edilebilirse mesele yoktur. Ortaya çıkan hatanın kabul ya da ret edilmesi bir mühendislik yaklaşımıdır. Eğer hata bizce kabul edilemeyecek kadar büyükse yaklaşım iki şekilde modifiye edilir: - Verilen aralıkta diskret noktaların sayısı arttırılır ve bu noktalar arasında fonksiyon lineer kabul edilir ya da, - Diskret noktalar arasındaki fonksiyon için lineer fonksiyon yerine quvadratik, kübik, vb yüksek dereceli polinomlar kullanılır..3 Sonlu elemanlar yönteminin tabiatı ve faydaları.3. Sonlu elemanlar yönteminin tabiatı Şekil.3 te görülen vida anahtarının dizaynında aranılan özellikleri şöyle sıralayabiliriz. - Mümkün mertebe hafif olmalıdır. - Kullanılma esnasında malzemede plastik deformasyonlar meydana gelmemelidir. 3- Anahtarın ağzındaki açılma, kritik bir değeri aşmamalıdır. Şekil. Şekil.3 Bu dizayn için, malzemelerin mukavemetine ait bilgiler bize çok kaba bir yaklaşım verecek ve anahtar arzu edilen kadar hafif olmayacaktır.

4 4 Kesin analitik çözüm için tek yol elastisite teorisini kullanmaktır. Elastisite teorisine göre deplasman alanlarının diferansiyel denklemi vektörel formda, ( ) µ U r + λ + µ grad div U r + F r (. 3) şeklindedir. Bu diferansiyel denklemde r U genel deplasman vektörünü, r F dış kuvvet vektörünü göstermektedir. Ayrıca, E Young modülü olup, µ = E + λ = E ( ν) ( + ν)( ν) şeklindedir. ν ise Poisson oranıdır. Eğer bu diferansiyel denklemi, verilen kuvvet ve deplasman sınır şartları altında çözebilirsek, sürekli ortam içerisindeki çeşitli noktalar için geçerli bir analitik ifade elde ederiz. Elde edeceğimiz bu analitik ifade bize sürekli ortam içindeki noktaların deplasmanlarını verecektir. Artık elde ettiğimiz bu deplasman fonksiyonlarını kullanarak uzama ve gerilme ifadelerini elde edebiliriz. Ama bu boş bir hayaldir. Sonuç olarak şunu söyleyebiliriz. Malzemelerin mukavemetine ait metotlar bize bir çözüm verirler. Ancak bu çözüm gerektiği kadar hassas değildir. Bununla beraber elastisite teorisi ile kesin çözümü nasıl elde edeceğimizi biliyoruz fakat elde edemiyoruz. Ama bir çıkış yolumuz var. Problemi tek bir işlemde ortamın tamamı için çözmek yerine, ortamın küçük elemanları için çözüm elde edebiliriz. Elde edilen bu çözümler kombine edilerek sistemin tamamı için bir sonuç elde etmek mümkündür. Bu sonlu elemanlar yönteminin esas felsefesidir. Bu felsefeyi şöyle özetleyebiliriz: Diferansiyel hesap ebrik denklemler problemi haline getirilirse - Çözüm kesindir - Yaklaşık çözüm geliştirilebilir. - Fakat genellikle - Çözüm daima vardır. çözmek imkansızdır.3. Sonlu elemanlar yönteminin yararları - Düşünce esnekliği sağlar. Mühendislik ya da matematik açıdan ele alınabilir. - Uygulamada verimlidir ve elde edilen sonuçların hassaslığı kontrol edilebilir. 3- Sonlu elemanlar yöntemi belirli şartlar için kullanılabilen bir yöntem değildir. Ortam geometrisinin düzensiz ve heteroen oluşu bu yöntem için bir handikap değildir ve çeşitli tipteki sınır şartlarının probleme dahil edilmesine imkan verir..3.3 Sonlu elemanlar yönteminin dezavantaları Bütün nümerik analiz yöntemleri gibi sonlu elemanlar yöntemi de bilgisayar kullanımı gerektirmektedir. Bilgisayarın temini ve kullanılması için para sarfiyatı gerektiğinden bu sonlu elemanlar yönteminin ekonomik dezavantaıdır. Sonlu elemanlar yöntemi kullanılan esas teori kadar doğrudur. Malzemenin fiziksel datalarının ve eleman datalarının temininde ve bilgisayara yüklenmesinde yapılan hatalar sonuca olumsuz yönde etki edecektir. Daha kesin sonuçlar, daha küçük eleman boyutları ile elde edilecektir. Eleman boyutlarının küçülmesi ise daha büyük bilgisayar hafızası gerektirir. Buna göre bilgisayar hafızasının sınırlı oluşu çözümün hassasiyetine bir tahdit getirecektir..4 Sonlu elemanlar yönteminin uygula ma alanları - Elastik cisimlerin mekaniğine ait problemler,

5 5 - Robotlar (Dinamik problemleri), 3- Isı iletimi problemleri, 4- Nükleer mühendislik problemleri, 5- Toprak mekaniğine ait problemler, 6- Biomekaniğe ait problemler, 7- Elektrik mühendisliğine ait problemler, 8- Akışkanlar mekaniğine ait problemler..5 Sonlu elemanlar yönteminin uygulandığı problem tipleri - Denge problemleri :Gerilme, uzama ve deplasmanların hesabı. - Has değer problemleri :Tabii frekansların ve stabil olmayan modların hesabı. 3- Propagasyon problemleri :Çeşitli alan problemlerinin zamana bağlı çözümlerinin elde edilmesi.. Sonlu elemanlar analizi Sonlu elemanlar yönteminin temel felsefesinin diferansiyel denklemler şeklinde elde edilen sistem denklemlerinin, cebrik denklemlerin çözümü haline getirilip, bu denklemlerin çözülmesi olduğu üzerinde durulmuştu. Bu sonuca şöyle varılır: - Sürekli ortam elemanlara ayrılır. - Eleman denklemleri çıkartılır. 3- Elemanların birleştirilmesi ile bulunan lineer denklem takımı çözülür. Sonlu elemanlar yönteminde, göz önüne alınan sürekli ortamın bir, iki ya da üç boyutlu olmasına göre elemanlar da bir, iki ya da üç boyutlu olurlar. Bu elemanlar büyüklük ve dağılım açısından keyfi olup, amaca bağlı olarak şekilleri de değişebilir.

6 6 3. Sonlu eleman yaklaşımına giriş İlgili ortamın noktalar kümesi alındığı sonlu farklar şemasının tersine sonlu elemanlar yönteminde ortam, küçük eleman parçalarının kümesiyle temsil edilir. Bu eleman parçalarına sonlu elemanlar diyoruz. Her bir eleman içinde u, ÿ ya da T vb. dediğimiz bilinmeyen fonksiyon, interpolasyon fonksiyonu ile temsil edilir. Eleman denklemleri de denen bu interpolasyon fonksiyonları ya da polinomları her bir eleman içinde sürekli olmalıdır. Bu süreklilik bu polinomların istenilen mertebeden türevlerinde de görülmelidir. Genellikle, bu süreklilik özelliği, eleman içinden ziyade, eleman aralarında -interface- daha önemlidir. Bu sebeple alt eleman ya da elemanlar, sonlu elemanlar yönteminde temel inşa bloklarını oluştururlar. Sonlu elemanlar yönteminin arkasındaki metot abstractdır. Diferansiyel denklemleri nümerik olarak çözmek üzere cebrik denklemlere dönüştürme formülasyonu için fonksiyonel analiz ve varyasyonel metotlar kavramlarını vermek gereklidir. Buna ek olarak, her eleman için elde edilen informasyonların assemble -birleştirilme- edilme işlemi başarılması gereken başlı başına bir problemdir. Fonksiyonel analiz metotlarının içinde - Kollokasyon metodu, - Alt alan (subdomen) metodu, 3- Galerkin metodu sayılabilir. Şimdi bu metotları sıra ile görmeden önce eleman denklemlerinin nasıl elde edildiğini görelim. 3. Bir boyutlu orta mlarda eleman denklemlerinin elde edilmesi t = için T = başlangıç şartı ile verilen dt dt + T = (. 4) denklemini t=(,) aralığında kollokasyon metoduyla çözmeye çalışalım. Bunun için t=(,) aralığının t=(,.5) ve (t=.5,) olmak üzere iki alt alana ya da sonlu elemana bölündüğünü kabul edelim. Şekil.4 Verilen sistem iki elemana bölünmüş olup üç düğüm noktalıdır. Her bir eleman ise iki düğüm noktalıdır. Eleman düğüm noktası (EDN) ile sistem düğüm noktası (SDN) arasındaki ilişkiler aşağıdaki gibidir. Eleman (EDN) (SDN) No 3

7 7 Buna göre (SDN) deki T değeri T (SDN) deki T değeri T (SDN) 3 deki T değeri T 3 olur. Bilinmeyen T'nin içindeki A noktasındaki değeri T ve T 'ye bağlı olarak lineer interpolasyonla T = L T + L T (. 5) olarak yazılır. Burada L ve L interpolasyon şekil fonksiyonları olup aynı zamanda t = L t + L t (. 6) ve = L + L (. 7) eşitliklerini de sağlar. Buradan L ve L hesaplanırsa L t = t t t L t t = t t (. 8) olarak bulunur. t = ve t = 5. yazılarak L. 5 t 5 t = t 5 =. =. 5. L t t = t. 5 = 5. = (. 9) elde edilir. Buna göre T, nolu eleman içindeki keyfi bir A noktasında t t t t T = T T t t + t t ( t ) T ( t) T T = + (.) şeklinde yazılır. Aynı şekilde nolu eleman için numaralı elemana yapılan işlemler tekrarlanırsa keyfi bir B noktası için T = L T + L T (.) 3 3 yazılır. L ve L 3 t = L t + L t (. ) = L + L (. 3) denkleminden çözülerek L L t t 3 = t t 3 L t = = t 5. 3 t t = t t 3 L 3 t 5 =. = t. 5 (. 4) (. 5) bulunur. Bulunan L ve L 3 yerlerine yazılarak t3 t T = t t 3 t t T + t t 3 ( ) ( ) T 3 T = t T + t T (.6) 3

8 8 bulunur. (.) ve (.6) denklemleri her bir eleman içinde T fonksiyonunun değişimini düğüm noktalarındaki T, T ve T 3 değerlerine bağlı olarak vermektedir. Şimdi her bir eleman için (. 4) denklemini yazalım: nolu eleman için [(.5) ve (.) nolu denklemlerden dt dl dt = dt T + dl dt T dl = dl = dt t t dt t t dt dt T T = yazılarak, dt + T = dt t t t t T + + t t t t t t t t ( ) ( ) t T + t + T = T = (.7) bulunur. nolu eleman için [(.) ve (.6) nolu denklemlerden] dt dl dl 3 = T + T 3 dt dt dt t L = = t L 5. dl = dl = dt dt dt = T + T 3 dt yazılarak, 3 t 5 =. = t 5. dt + T = dt + t T + + t T = ( ) ( ) ( t) T + ( t + ) T = 3 (.8) bulunur. Her bir eleman için bu denklemler kurulduktan sonra sistem denklemleri elde edilerek problem çözümü aşamasına gelinir. Diferansiyel denklemleri cebrik denklem aşamasına dönüştürme aşaması demek olan bu aşamada takip edilen metotlara gelelim: 3.. Kollokasyon metodu Bu metotta (.7) ve (.8) denklemleri ait oldukları elemanlar içinde kollokasyon noktası denilen noktalarda diferansiyel denklemin sağ tarafına eşit olması istenir. (.7) ve (.8) denklemlerindeki toplam bilinmeyen sayısı üçtür. Bu üç bilinmeyenden biri olan T in değeri başlangıç şartından belli olup T = 'dir. Geriye iki bilinmeyen kalır. Bu da bize iki kollokasyon noktasının bilinmesi gerektiğini bildirir. Bu kollokasyon noktalarından birisi < t <. 5, diğeri 5. < t < aralığında seçilecektir. Deboo ve Swartz (973) a göre daha doğru neticeler için Gauss noktaları seçilmelidir. Buna göre kollokasyon noktaları < t <. 5 aralığı için t = 5., 5. < t < aralığı için t = 75. 'dir. Bu iki değer için (.7) ve (.8) denklemleri,

9 9 t=.5 için ( ) ( ) t T + t + T = 3 5 T + T = t=.75 için ( ) ( ) t=. 5 t=. 5 t T + t + T = T + T = 3 haline gelir. t= için T = olduğu dikkate alınarak elde edilen bu cebrik denklemler matris formunda yazılırsa 3 5 T T = 3 5 T 3 elde edilir. Buradan da; [ T T T ] = [ ] 3 5 bulunur Subdomen metodu Bu metotta (.7) ve (.8) denklemlerinin her iki tarafının söz konusu aralıklardaki integralleri sağlanmalıdır. Bu aralıklar (.7) denklemi için (,.5) aralığı (.8) denklemi için (.5,) aralığı olup, (.7) denklemi ele alınırsa, dt dt + T dt = [( ) ( ) ] t T + t + T dt =. 75T + 5. T = bulunur. (.8) denklemi ele alınırsa aynı prosedür takip edilerek; dt dt + T dt = [( ) ( ) 3] t T + t + T dt =. 75T + 5. T = 3

10 bulunur. t= için T = olduğu dikkate alınarak elde edilen cebrik değerler matris formunda yazılırsa, T T = T 3 elde edilir. Buradan da [ T T T ] = [ ] bulunur Galerkin metodu Bu metot Subdomen metodunun gelişmiş şeklidir. Buna göre (.7) ve (.8) denklemi bir ağırlık fonksiyonu ile çarpılıp aralık içinde aşağıda olduğu gibi integre edilir. Burada ağırlık fonksiyonları interpolasyon fonksiyonu şeklindedir. Buna göre (.7) denklemi, L dt dt + T dt = dl L ( ) dt T dl + T + LT + LT dt dt = dl dl L L T L T dt + dt + dt + = [ ] ( ) ( ) ( ) t + t T + + t T dt = [( ) ( ) ] 4t T + 4t t + T dt = t t T + t t + t T = T + T = T T = ve ikinci denklem,. 5

11 L dt dt + T dt = dl L ( ) dt T dl + T + LT + LT dt = dt dl dl L + L T L T dt + + dt dt = [ ] ( ) ( ) ( ) t + t T + + t T dt = [( ) ( ) ] 4t t T + 4t + 4 T dt = t t T + t + t T = T + T = 3. 46T T =. 5 bulunur. Bulunan bu denklemler matris formunda yazılırsa; T = T 3 elde edilir. (.8) denklemi de; L dt dt + T dt = dl dl3 L T ( ) dt dt T L T L T dt = dl L dt dl3 + L T L T dt dt + = [ 3 ] ( ) ( ) ( ) t + t T + + t T dt = [( ) ( ) 3 ] 4 t 3 4t 4t T + 4t + t + T dt = t 3 7 T + T = T T = 3 T + t t t T =

12 ve ikinci denklem,. 5 L dt 3 dt + T dt = dl dl3 L3 T + T3 + ( LT + L3T3 ) dt = dt dt dl L3 dt dl3 + L T L T dt dt = [ 3 ] ( ) ( ) ( ) t + t T + + t T dt = [( ) ( ) 3 ] 4t + t T + 4t T dt = 4 3 t + t T + T = T T = 3 3 T + t t T 3 = T = T3 3 elde edilir GALERKIN METODUNDA ELEMAN MATRİSLERİNİN BİRLEŞTİRİLMESİ Üç düğüm noktası olduğundan ve her düğüm noktasının bir serbestlik derecesi olduğundan üç tane bilinmeyen vardır ve üç denklem gerektirir. Öyleyse, 7 3 T T 5 7 T + T = 3 3 T 5 T Eleman. Eleman yazılarak süperpoze edilirse T 7 T = T 3 3 bulunur. T = olduğundan, mertebe düşürülerek,

13 3 T 7 5 T = T 3 elde edilir. Bu cebrik denklem çözülürse; [ T T T ] = [ ] olarak elde edilir. Verilen diferansiyel denklemin analitik çözümü; T = e t olduğundan aynı noktalara tekabül eden gerçek çözüm [ T T T ] = [ ] bulunur. 4. BİLGİSAYARA UYARLAMA dt dt + T = denklemini [,] aralığında noktada çözelim.

14 4 Data dosyası ismi KOL.DAT dır. Birinci data satırı sistemin düğüm noktası sayısını, ikinci data satırı sistemin eleman sayısını belirtir. Bunlardan sonra yazılan adet veri gurubu sistem düğüm noktalarının koordinatlarını ve son adet veri gurubu da sistem konnektivite tablosunu belirtir ******************************************************************* * * * dt * * T = DENKLEMININ (,) ARALIGINDA * * dt ADET SONLU ELEMAN UZERINDE KOLLOKASYON * * METODU KULLANARAK OZUMU * * * * * * * * IELSAY:SISTEM ELEMAN SAYISI * * SDNS :SISTEM DUGUM NOKTALARININ SAYISI * * SDNK :SISTEM DUGUM NOKTALARINA AIT KOORDINATLARIN MATRISI * * SKT :SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU * * SISMAT:SISTEM -RIJITLIK- MATRISI *

15 5 * KOLNOK:KOLLOKASYON NOKTASI * * L :ELEMANDA NOLU INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * L :ELEMANDA NOLU INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * T :ELEMANIN NUMARALI DUGUM NOKTASINDAKI BAGIMSIZ DEGISKEN * * T :ELEMANIN NUMARALI DUGUM NOKTASINDAKI BAGIMSIZ DEGISKEN * * * ******************************************************************* DIMENSION SDNK(,),SISMAT(5,5),UNDEF(9),ISORT(9) INTEGER OLUMN,SKT(,),SDNS REAL KOLNOK,L,L L(KOLNOK,T,T)=(T-KOLNOK)/(T-T) L(KOLNOK,T,T)=(KOLNOK-T)/(T-T) DO I=,5 DO J=,5 SISMAT(I,J)= OPEN(5,FILE='KOL.DAT') OPEN(6,FILE='KOL.SON') SISTEM DUGUM NOKTALARININ SAYISINI OKU READ(5,*) SDNS SISTEMDEKI ELEMAN SAYISINI OKU READ(5,*) IELSAY WRITE(6,*)'SISTEM NOD ADEDI...:',SDNS WRITE(6,*)'SISTEM ELEMAN SAYISI...:',IELSAY SISTEMDEKI DUGUM NOKTALARININ KOORDINATLARINI OKU DO I=,SDNS READ(5,*)(SDNK(I,J),J=,) WRITE(6,)I,SDNK(I,) FORMAT(I4,' NUMARALI DUGUM NOKTASI t=',f6.3) WRITE(6,*) WRITE(6,*)'SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU' WRITE(6,*)'===========================' SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSUNU OKU DO I=,IELSAY READ(5,*)(SKT(I,J),J=,) WRITE(6,*)(SKT(I,J),J=,) SISTEM STIFNESS MATRISINI HAZIRLA DO 3 I=,IELSAY T=SDNK(SKT(I,),) T=SDNK(SKT(I,),) KOLNOK=(T+T)/ SISMAT(I+,SKT(I,))=L(KOLNOK,T,T)-/(T-T) 3 SISMAT(I+,SKT(I,))=L(KOLNOK,T,T)+/(T-T) SISTEM SINIR SARTLARINI STIFNESS MATRISI UZERINDE ISLE ************************************************** BASLANGI SARTI ************************************************** BASLANGI=. DO 6 I=,SDNS 6 SISMAT(I,SDNS+)=SISMAT(I,SDNS+)-BASLANGI*SISMAT(I,) DO 65 I=,SDNS

16 SISMAT(I,)=. 65 SISMAT(,I)=. SISMAT(,)=. SISMAT(,SDNS+)=BASLANGI ****************************************************************** ** ** ** GAUSS ELIMINASYON METODU ILE LINEER DENKLEM TAKIMININ OZUMU ** ** ** ****************************************************************** DO 5 IOUNT=,SDNS 5 ISORT(IOUNT)=IOUNT DO 5 I=,SDNS OLUMN=I DO 95 K=I+,SDNS IF(ABS(SISMAT(I,OLUMN)).GE.ABS(SISMAT(I,K))) GOTO 95 OLUMN=K 95 ONTINUE DO 55 IONV=,SDNS TEMPRY=SISMAT(IONV,I) SISMAT(IONV,I)=SISMAT(IONV,OLUMN) 55 SISMAT(IONV,OLUMN)=TEMPRY TEMPRY=ISORT(I) ISORT(I)=ISORT(OLUMN) ISORT(OLUMN)=TEMPRY LINE=I DO 35 K=I+,SDNS IF (ABS(SISMAT(LINE,I)).GE.ABS(SISMAT(K,I))) GOTO 35 LINE=K 35 ONTINUE DO 55 IONV=,SDNS+ TEMPRY=SISMAT(I,IONV) SISMAT(I,IONV)=SISMAT(LINE,IONV) 55 SISMAT(LINE,IONV)=TEMPRY DO 75 IOL=SDNS+,I,- 75 SISMAT(I,IOL)=SISMAT(I,IOL)/SISMAT(I,I) DO 85 LINE=I+,SDNS DO 85 IOL=SDNS+,I,- 85 SISMAT(LINE,IOL)=SISMAT(LINE,IOL)-SISMAT(I,IOL)*SISMAT(LINE,I) 5 ONTINUE UNDEF(SDNS)=SISMAT(SDNS,SDNS+) DO 5 I=SDNS-,,- ADD= DO 5 K=I,SDNS- 5 ADD=ADD+SISMAT(I,K+)*UNDEF(K+) 5 UNDEF(I)=SISMAT(I,SDNS+)-ADD WRITE(6,) FORMAT(///,'t DEGERLERI GEREK DEGERLER HESAPLANMIS DEGERLER F *ARK ',/,'=========== =============== ==================== ==== *=========') DO 35 I=,SDNS GEREK=BASLANGI*EXP(-SDNK(I,)) IFIND=I DO 45 J=I+,SDNS IF(ISORT(IFIND).LE.ISORT(J)) GOTO 45 IFIND=J 45 ONTINUE TEMPRY=ISORT(IFIND) ISORT(IFIND)=ISORT(I) ISORT(I)=TEMPRY TEMPRY=UNDEF(IFIND) UNDEF(IFIND)=UNDEF(I) UNDEF(I)=TEMPRY FARK=GEREK-UNDEF(I) WRITE(6,) SDNK(I,),GEREK,ISORT(I),UNDEF(I),FARK 6

17 7 35 ONTINUE FORMAT(X,F9.3,7X,F9.6,' T(',I3,') = ',F9.6,X,E4.7) STOP END SISTEM NOD ADEDI...: SISTEM ELEMAN SAYISI...: NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 3 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. 4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. 6 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 7 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.3 8 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.35 9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.45 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.55 3 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.6 4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.65 5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.7 6 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.75 7 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.8 8 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.85 9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.95 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU =========================== t DEGERLERI GEREK DEGERLER HESAPLANMIS DEGERLER FARK =========== =============== ==================== =============.. T( ) = E T( ) = E T( 3) = E T( 4) = E T( 5) = E T( 6) = E T( 7) = E-4

18 T( 8) = E T( 9) = E T( ) = E T( ) = E T( ) = E T( 3) = E T( 4) = E T( 5) = E T( 6) = E T( 7) = E T( 8) = E T( 9) = E T( ) = E T( ) = E-4 8

19 9 Aşağıda SUBDOMEN metodu ile söz konusu diferansiyel denklemi çözen fortran dilinde yazılmış bir program ve neticeler görülmektedir. Bu programın data dosyası ismi SUB.DAT dır. Birinci data satırı sistemin düğüm noktası sayısını, ikinci data satırı sistemin eleman sayısını belirtir. Bunlardan sonra yazılan adet veri gurubu sistem düğüm noktalarının koordinatlarını ve son adet veri gurubu da sistem konnektivite tablosunu belirtir. Son altı veri gurubu ise Gauss noktaları ve ağırlık katsayılarından ibarettir E+.7344E E+.7344E+.6693E E E E+.3869E E E E+ ******************************************************************* * *

20 * dt * * T = DENKLEMININ (,) ARALIGINDA * * dt ADET SONLU ELEMAN UZERINDE SUBDOMEN * * METODU KULLANARAK OZUMU * * * * * * * * IELSAY:SISTEM ELEMAN SAYISI * * SDNS :SISTEM DUGUM NOKTALARININ SAYISI * * SDNK :SISTEM DUGUM NOKTALARINA AIT KOORDINATLARIN MATRISI * * SKT :SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU * * SISMAT:SISTEM -RIJITLIK- MATRISI * * GAUSNK:GAUSS NOKTALARININ MATRISI * * WEIGHT:AGIRLIK KATSAYILARI MATRISI * * L :ELEMANDA NOLU INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * L :ELEMANDA NOLU INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * T :ELEMANIN NUMARALI DUGUM NOKTASINDAKI BAGIMSIZ DEGISKEN * * T :ELEMANIN NUMARALI DUGUM NOKTASINDAKI BAGIMSIZ DEGISKEN * * INT :SUBDOMEN IINDE INTEGRALI HESAPLANMIS * * NUMARALI INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * INT :SUBDOMEN IINDE INTEGRALI HESAPLANMIS * * NUMARALI INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * * ******************************************************************* DIMENSION SDNK(,),SISMAT(5,5),UNDEF(9),ISORT(9) DIMENSION GAUSNK(6),WEIGHT(6) INTEGER OLUMN,SKT(,),SDNS REAL GAUSNOK,L,L,INT,INT L(GAUSNOK,T,T)=(T-GAUSNOK)/(T-T) L(GAUSNOK,T,T)=(GAUSNOK-T)/(T-T) DO I=,5 DO J=,5 SISMAT(I,J)= OPEN(5,FILE='SUB.DAT') OPEN(6,FILE='SUB.SON') SISTEM DUGUM NOKTALARININ SAYISINI OKU READ(5,*) SDNS SISTEMDEKI ELEMAN SAYISINI OKU READ(5,*) IELSAY WRITE(6,*)'SISTEM NOD ADEDI...:',SDNS WRITE(6,*)'SISTEM ELEMAN SAYISI...:',IELSAY SISTEMDEKI DUGUM NOKTALARININ KOORDINATLARINI OKU DO I=,SDNS READ(5,*)(SDNK(I,J),J=,) WRITE(6,)I,SDNK(I,) FORMAT(I4,' NUMARALI DUGUM NOKTASI t=',f6.3) WRITE(6,*) WRITE(6,*)'SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU' WRITE(6,*)'===========================' SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSUNU OKU DO I=,IELSAY READ(5,*)(SKT(I,J),J=,) WRITE(6,*)(SKT(I,J),J=,) GAUSS NIKTALARINI VE AGIRLIK KATSAYILARINI OKU

21 DO 8 I=,6 8 READ(5,*) GAUSNK(I),WEIGHT(I) SISTEM STIFNESS MATRISINI HAZIRLA DO 3 I=,IELSAY T=SDNK(SKT(I,),) T=SDNK(SKT(I,),) INT= INT= DO 35 J=,6 GAUSNOK=(T-T)/*GAUSNK(J)+(T+T)/ INT=INT+(T-T)/*WEIGHT(J)*(L(GAUSNOK,T,T)-/(T-T)) 35 INT=INT+(T-T)/*WEIGHT(J)*(L(GAUSNOK,T,T)+/(T-T)) SISMAT(I+,SKT(I,))=INT 3 SISMAT(I+,SKT(I,))=INT SISTEM SINIR SARTLARINI STIFNESS MATRISI UZERINDE ISLE SISMAT(,)=. ************************************************** BASLANGI SARTI ************************************************** BASLANGI= DO 6 I=,SDNS 6 SISMAT(I,SDNS+)=SISMAT(I,SDNS+)-BASLANGI*SISMAT(I,) DO 65 I=,SDNS SISMAT(I,)=. 65 SISMAT(,I)=. SISMAT(,)=. SISMAT(,SDNS+)=BASLANGI ****************************************************************** ** ** ** GAUSS ELIMINASYON METODU ILE LINEER DENKLEM TAKIMININ OZUMU ** ** ** ****************************************************************** DO 5 IOUNT=,SDNS 5 ISORT(IOUNT)=IOUNT DO 5 I=,SDNS OLUMN=I DO 95 K=I+,SDNS IF(ABS(SISMAT(I,OLUMN)).GE.ABS(SISMAT(I,K))) GOTO 95 OLUMN=K 95 ONTINUE DO 55 IONV=,SDNS TEMPRY=SISMAT(IONV,I) SISMAT(IONV,I)=SISMAT(IONV,OLUMN) 55 SISMAT(IONV,OLUMN)=TEMPRY TEMPRY=ISORT(I) ISORT(I)=ISORT(OLUMN) ISORT(OLUMN)=TEMPRY LINE=I DO 35 K=I+,SDNS IF (ABS(SISMAT(LINE,I)).GE.ABS(SISMAT(K,I))) GOTO 35 LINE=K 35 ONTINUE DO 55 IONV=,SDNS+ TEMPRY=SISMAT(I,IONV) SISMAT(I,IONV)=SISMAT(LINE,IONV) 55 SISMAT(LINE,IONV)=TEMPRY DO 75 IOL=SDNS+,I,- 75 SISMAT(I,IOL)=SISMAT(I,IOL)/SISMAT(I,I)

22 DO 85 LINE=I+,SDNS DO 85 IOL=SDNS+,I,- 85 SISMAT(LINE,IOL)=SISMAT(LINE,IOL)-SISMAT(I,IOL)*SISMAT(LINE,I) 5 ONTINUE UNDEF(SDNS)=SISMAT(SDNS,SDNS+) DO 5 I=SDNS-,,- ADD= DO 5 K=I,SDNS- 5 ADD=ADD+SISMAT(I,K+)*UNDEF(K+) 5 UNDEF(I)=SISMAT(I,SDNS+)-ADD WRITE(6,) FORMAT(///,'t DEGERLERI GEREK DEGERLER HESAPLANMIS DEGERLER F *ARK ',/,'=========== =============== ==================== ==== *=========') DO 35 I=,SDNS GEREK=BASLANGI*EXP(-SDNK(I,)) IFIND=I DO 45 J=I+,SDNS IF(ISORT(IFIND).LE.ISORT(J)) GOTO 45 IFIND=J 45 ONTINUE TEMPRY=ISORT(IFIND) ISORT(IFIND)=ISORT(I) ISORT(I)=TEMPRY TEMPRY=UNDEF(IFIND) UNDEF(IFIND)=UNDEF(I) UNDEF(I)=TEMPRY FARK=GEREK-UNDEF(I) WRITE(6,) SDNK(I,),GEREK,ISORT(I),UNDEF(I),FARK 35 ONTINUE FORMAT(X,F9.3,7X,F9.6,' T(',I3,') = ',F9.6,X,E4.7) STOP END SISTEM NOD ADEDI...: SISTEM ELEMAN SAYISI...: NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 3 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. 4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. 6 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 7 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.3 8 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.35 9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.45 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.55 3 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.6 4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.65 5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.7 6 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.75 7 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.8 8 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.85 9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.95 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU =========================== 3 3 4

23 t DEGERLERI GEREK DEGERLER HESAPLANMIS DEGERLER FARK =========== =============== ==================== =============.. T( ) =..E T( ) = E T( 3) = E T( 4) = E T( 5) = E T( 6) = E T( 7) = E T( 8) = E T( 9) = E T( ) = E T( ) = E T( ) = E T( 3) = E T( 4) = E T( 5) = E T( 6) = E T( 7) = E T( 8) = E T( 9) = E T( ) = E T( ) = E-4

24 4 Aşağıda GALERKIN metodu ile söz konusu diferansiyel denklemi çözen fortran dilinde yazılmış bir program ve neticeler görülmektedir. Bu programın data dosyası ismi GALERKIN.DAT dır. Birinci data satırı sistemin düğüm noktası sayısını, ikinci data satırı sistemin eleman sayısını belirtir. Bunlardan sonra yazılan adet veri gurubu sistem düğüm noktalarının koordinatlarını ve son adet veri gurubu da sistem konnektivite tablosunu belirtir. Son altı veri gurubu ise Gauss noktaları ve ağırlık katsayılarından ibarettir E+.7344E E+.7344E+.6693E E E E+.3869E E E E+ ******************************************************************* * *

25 * dt * * T = DENKLEMININ (,) ARALIGINDA * * dt ADET SONLU ELEMAN UZERINDE GALERKIN * * METODU KULLANARAK OZUMU * * * * * * * * IELSAY:SISTEM ELEMAN SAYISI * * SDNS :SISTEM DUGUM NOKTALARININ SAYISI * * SDNK :SISTEM DUGUM NOKTALARINA AIT KOORDINATLARIN MATRISI * * SKT :SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU * * SISMAT:SISTEM -RIJITLIK- MATRISI * * GAUSNK:GAUSS NOKTALARININ MATRISI * * WEIGHT:AGIRLIK KATSAYILARI MATRISI * * L :ELEMANDA NOLU INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * L :ELEMANDA NOLU INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * T :ELEMANIN NUMARALI DUGUM NOKTASINDAKI BAGIMSIZ DEGISKEN * * T :ELEMANIN NUMARALI DUGUM NOKTASINDAKI BAGIMSIZ DEGISKEN * * INT :SUBDOMEN IINDE INTEGRALI HESAPLANMIS * * NUMARALI INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * INT :SUBDOMEN IINDE INTEGRALI HESAPLANMIS * * NUMARALI INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * * ******************************************************************* DIMENSION SDNK(,),SISMAT(5,5),UNDEF(9),ISORT(9) DIMENSION GAUSNK(6),WEIGHT(6) INTEGER OLUMN,SKT(,),SDNS REAL GAUSNOK,L,L,INT,INT L(GAUSNOK,T,T)=(T-GAUSNOK)/(T-T) L(GAUSNOK,T,T)=(GAUSNOK-T)/(T-T) DO I=,5 DO J=,5 SISMAT(I,J)= OPEN(5,FILE='GALERKIN.DAT') OPEN(6,FILE='GALERKIN.SON') SISTEM DUGUM NOKTALARININ SAYISINI OKU READ(5,*) SDNS SISTEMDEKI ELEMAN SAYISINI OKU READ(5,*) IELSAY WRITE(6,*)'SISTEM NOD ADEDI...:',SDNS WRITE(6,*)'SISTEM ELEMAN SAYISI...:',IELSAY SISTEMDEKI DUGUM NOKTALARININ KOORDINATLARINI OKU DO I=,SDNS READ(5,*)(SDNK(I,J),J=,) WRITE(6,)I,SDNK(I,) FORMAT(I4,' NUMARALI DUGUM NOKTASI t=',f6.3) WRITE(6,*) WRITE(6,*)'SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU' WRITE(6,*)'===========================' SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSUNU OKU DO I=,IELSAY READ(5,*)(SKT(I,J),J=,) WRITE(6,*)(SKT(I,J),J=,) GAUSS NIKTALARINI VE AGIRLIK KATSAYILARINI OKU 5

26 6 DO 8 I=,6 8 READ(5,*) GAUSNK(I),WEIGHT(I) SISTEM STIFNESS MATRISINI HAZIRLA DO 3 I=,IELSAY T=SDNK(SKT(I,),) T=SDNK(SKT(I,),) INT= INT= DO 35 J=,6 GAUSNOK=(T-T)/*GAUSNK(J)+(T+T)/ INT=INT+(T-T)/*WEIGHT(J)* (L(GAUSNOK,T,T)*(L(GAUSNOK,T,T)-/(T-T))) 35 INT=INT+(T-T)/*WEIGHT(J)* (L(GAUSNOK,T,T)*(L(GAUSNOK,T,T)+/(T-T))) SISMAT(I,SKT(I,))=SISMAT(I,SKT(I,))+INT SISMAT(I,SKT(I,))=SISMAT(I,SKT(I,))+INT INT= INT= DO 36 J=,6 GAUSNOK=(T-T)/*GAUSNK(J)+(T+T)/ INT=INT+(T-T)/*WEIGHT(J)* (L(GAUSNOK,T,T)*(L(GAUSNOK,T,T)-/(T-T))) 36 INT=INT+(T-T)/*WEIGHT(J)* (L(GAUSNOK,T,T)*(L(GAUSNOK,T,T)+/(T-T))) SISMAT(I+,SKT(I,))=SISMAT(I+,SKT(I,))+INT 3 SISMAT(I+,SKT(I,))=SISMAT(I+,SKT(I,))+INT SISTEM SINIR SARTLARINI STIFNESS MATRISI UZERINDE ISLE ************************************************** BASLANGI SARTI ************************************************** BASLANGI=. DO 6 I=,SDNS 6 SISMAT(I,SDNS+)=SISMAT(I,SDNS+)-BASLANGI*SISMAT(I,) DO 65 I=,SDNS SISMAT(I,)=. 65 SISMAT(,I)=. SISMAT(,)=. SISMAT(,SDNS+)=BASLANGI ****************************************************************** ** ** ** GAUSS ELIMINASYON METODU ILE LINEER DENKLEM TAKIMININ OZUMU ** ** ** ****************************************************************** DO 5 IOUNT=,SDNS 5 ISORT(IOUNT)=IOUNT DO 5 I=,SDNS OLUMN=I DO 95 K=I+,SDNS IF(ABS(SISMAT(I,OLUMN)).GE.ABS(SISMAT(I,K))) GOTO 95 OLUMN=K 95 ONTINUE DO 55 IONV=,SDNS TEMPRY=SISMAT(IONV,I) SISMAT(IONV,I)=SISMAT(IONV,OLUMN) 55 SISMAT(IONV,OLUMN)=TEMPRY TEMPRY=ISORT(I) ISORT(I)=ISORT(OLUMN) ISORT(OLUMN)=TEMPRY

27 7 LINE=I DO 35 K=I+,SDNS IF (ABS(SISMAT(LINE,I)).GE.ABS(SISMAT(K,I))) GOTO 35 LINE=K 35 ONTINUE DO 55 IONV=,SDNS+ TEMPRY=SISMAT(I,IONV) SISMAT(I,IONV)=SISMAT(LINE,IONV) 55 SISMAT(LINE,IONV)=TEMPRY DO 75 IOL=SDNS+,I,- 75 SISMAT(I,IOL)=SISMAT(I,IOL)/SISMAT(I,I) DO 85 LINE=I+,SDNS DO 85 IOL=SDNS+,I,- 85 SISMAT(LINE,IOL)=SISMAT(LINE,IOL)-SISMAT(I,IOL)*SISMAT(LINE,I) 5 ONTINUE UNDEF(SDNS)=SISMAT(SDNS,SDNS+) DO 5 I=SDNS-,,- ADD= DO 5 K=I,SDNS- 5 ADD=ADD+SISMAT(I,K+)*UNDEF(K+) 5 UNDEF(I)=SISMAT(I,SDNS+)-ADD WRITE(6,) FORMAT(///,'t DEGERLERI GEREK DEGERLER HESAPLANMIS DEGERLER F *ARK ',/,'=========== =============== ==================== ==== *=========') DO 35 I=,SDNS GEREK=BASLANGI*EXP(-SDNK(I,)) IFIND=I DO 45 J=I+,SDNS IF(ISORT(IFIND).LE.ISORT(J)) GOTO 45 IFIND=J 45 ONTINUE TEMPRY=ISORT(IFIND) ISORT(IFIND)=ISORT(I) ISORT(I)=TEMPRY TEMPRY=UNDEF(IFIND) UNDEF(IFIND)=UNDEF(I) UNDEF(I)=TEMPRY FARK=GEREK-UNDEF(I) WRITE(6,) SDNK(I,),GEREK,ISORT(I),UNDEF(I),FARK 35 ONTINUE FORMAT(X,F9.3,7X,F9.6,' T(',I3,') = ',F9.6,X,E4.7) STOP END SISTEM NOD ADEDI...: SISTEM ELEMAN SAYISI...: NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 3 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. 4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. 6 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 7 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.3 8 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.35 9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.45 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.55 3 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.6 4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.65 5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.7 6 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.75

28 8 7 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.8 8 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.85 9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.95 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU =========================== t DEGERLERI GEREK DEGERLER HESAPLANMIS DEGERLER FARK =========== =============== ==================== =============.. T( ) =..E T( ) = E T( 3) = E T( 4) = E T( 5) = E T( 6) = E T( 7) = E T( 8) = E T( 9) = E T( ) = E T( ) = E T( ) = E T( 3) = E T( 4) = E T( 5) = E T( 6) = E T( 7) = E T( 8) = E T( 9) = E T( ) = E T( ) = E-4

29 9

30 3 φ φ φ= + = x = için φ= x = için φ= diferansiyel denklemini x ve y aralığında y = için φ= x( x ) y = için φ= x( x ) sınır şartlarında Sonlu Elemanlar Metodu ile çözünüz φ φ φ= + = denklemini sağlayan φ( xy) fonksiyonu φ φ I = + y dxdy integralini stasyoner yapar. Şimdi bunu gösterelim. δ I = + δφ = kısmi integrasyon yaparak, φ φ dxdy φ φ φ φ φ φ ( ) ( ) δ I = + δφ dxdy = δφ dy+ δφdx δφ + δφ dxdy = olur. φ δφ dy = φ δφ dx = φ φ φ φ φ φ ( δφ ) + ( δφ ) dxdy = δ + δ dxdy y φ φ = δ + dxdy = y

31 3 Eleman içindeki herhangi bir P noktasını şekil fonksiyonları cinsinden yazacak olursak, Li xi x xk L = x yi y yk Lk y Yukarıdaki denklem sistemini kısaca, A L = x y [ ]{ } şeklinde özetleyebiliriz. Buradan = y { L} [ A] x [ ] ( ) x yk y xk yk y xk x A = 3 ( xi yk xk yi) yk yi ( xk xi) A xi y x yi ( y yi) x xi L i L = xi x xk x Lk yi y yk y

32 3 ( ) Li x yk y xk yk y xk x L = 3 ( xi yk xk yi) yk yi ( xk xi) x A L k xi y x yi ( y yi) x y xi {( ) ( ) ( ) } Li = x yk y xk + yk y x+ xk x y A { ( ) ( ) ( ) } L = xi yk xk yi + yk yi x+ xk xi y A {( ) ( ) ( ) } Lk = xi y x yi + y yi x+ x xi y A {( )} a = x y y x A i k k { ( ) } b = y y A i k {( )} c = x x A i k a = x y y x A { ( )} i k i k { ( ) } b = yk yi A c = xk xi A { ( )} {( )} ak = xi y y xi A { ( ) } bk = y yi A {( )} ck = x xi A L = a + b x+ c y i i i i L = a + b x+ c y L = a + b x+ c y k k k k Li L Lk = b i = b = b k Li = ci L = c Lk = c k φi φ L L i Lk = φ i + φ + φ k = biφ i + bφ + bkφ k = bi b b k φ x x x x φ k φi φ L L i Lk = φ i + φ + φ k = ciφ i + c φ + ckφ k = ci c c k φ y y y y φ k

33 33 bi φi bibi bib bib k φi φ = φi φ φ k b bi b b k φ = φi φ φ k bbi bb bkb φ b k k bibk bkb bkb φ k φk ci φi cici cic cic k φi φ = φi φ φ k c ci c c k φ = φi φ φ k c ci c c ckc φ y c k k ckci ckc ckc φ k φk bibi + cici bib + cic bibk + cic k φi φ φ + = φ φ φ b b + c c b b + c c b b + c c φ b b + c c b b + c c b b + c c φ i k i i k k k i k i k k k k k k k bibi + cici bib + cic bibk + cic k φi φ φ δ + = δφi δφ δφ k bbi + c ci bb + c c bbk + c ck φ x y bkbi ckci bkb ckc bkbk ckc k φk bibi + cici bib + cic bibk + cic k bbi + c ci bb + c c bbk + c ck bkbi ckci bkb ckc bkbk ckc k matrisine eleman katılık matrisi denir. numaralı eleman için, x =, y = i x =. 5, y = i i x =. 5, y =. 5 i A = i i. 65 {( )}. 5*. 5 *. 5 ai = x yk y xk = = 4 A. 65 { ( ) }. 5 bi = yk y = = 4 A. 65 {( )} ci = xk x = = A. 65 { ( ) } ( *. 5 *. 5) a = { ( xi yk yixk) } = = A b = yk yi 4 A = =. 65 (. 5 ) c = { ( xk xi) } = = 4 A. 65

34 34 {( )} { ( ) } {( )} ( * * ) ak = xi y y xi = = A. 65 ( ) bk = y yi = = A ck = x xi = = 4 A. 65 ( 4)( 4) ( )( ) ( 4)( 4) ( )( 4) ( 4)( ) ( )( 4) ( 4)( 4) ( 4)( ) ( 4)( 4) ( 4)( 4) ( 4)( ) ( 4)( 4) ( )( 4) ( 4)( ) ( )( 4) ( 4)( 4) ( )( ) ( 4)( 4) b ibi cici bib cic bibk cick bbi + c ci bb + c c bbk + c ck = b kbi ckci bkb ckc bkbk ckck Bulunan bu eleman katılık matrisi 6 6 = b ibi + cici bib + cic bibk + cick φi φ φ δ + dxdy = δφ δφ δφ i k bbi + c ci bb + c c bbk + c ck φ dxdy = x φ bkbi ckci bkb ckc bkbk ckck k de yerine konularak, 6 6 φ i δφi δφ δφk φ dxdy 6 6 φ k 6 6 φ i = δφi δφ δφk φ 6 6 φ k dxdy 6 6 φ i = δφi δφ δφk φ S ik 6 6φ k 6 6 φ i. = δφi δφ δφk φ 6 6 φk φ = δφ δφ δφ 5 5 i i k... φ = 5 5 φ... k elde edilir. Elemen katılık matrisi ise, k i =

35 35 olarak elde edilir. Buradan elde edilen sistem katılık matrisi,

36

37 SAĞ TARAF

38 SISTEMDEKI ELEMAN SAYISI... = 3 SISTEMDEKI NOD SAYISI... = 5 KULLANILAN ELEMAN TIPI... : UGEN SISTEM NOD KOORDINATLARI ======================== SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.E+ 3 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.E+ 4 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.E+ 5 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.E+ 6 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.5E+ 7 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.5E+ 8 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.5E+ 9 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.5E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.5E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.5E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.5E+ 3 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.5E+ 4 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.5E+ 5 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.5E+ 6 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.75E+ 7 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.75E+ 8 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.75E+ 9 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.75E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.75E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.E+ 3 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.E+ 4 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.E+ 5 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.E

39 X=.E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.5E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.875E+ X=.5E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.5E+ X=.75E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.875E+ X=.E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.5E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.5E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.5E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.5E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.75E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.75E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.5E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER -.875E+ X=.5E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER -.5E+ X=.75E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER -.875E+ X=.E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+. ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI

40 4 7. ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI

41 4 6. ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI

42 ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI SISTEM KATILIK MATRISI ====================== SINIR SARTLARI ISLENMIS SISTEM KATILIK MATRISI ================= SINIR SARTLARA BAGLI OLARAK HESAPLANAN FONKSIYON DEGERLERI ==

43 DRIHLET PROBLEMI IIN X Y KOORDINATLARINDA SONLU ELEMANLAR METODUNA GORE HESAPLANAN FONKSIYON DEGERLERI. == X Y T DUGUM NOKTASI...E+. DUGUM NOKTASI E+ 3. DUGUM NOKTASI.5..5E+ 4. DUGUM NOKTASI E+ 5. DUGUM NOKTASI...E+ 6. DUGUM NOKTASI..3.E+ 7. DUGUM NOKTASI E- 8. DUGUM NOKTASI E- 9. DUGUM NOKTASI E-. DUGUM NOKTASI..3.E+. DUGUM NOKTASI..5.E+. DUGUM NOKTASI E-8 3. DUGUM NOKTASI E-8 4. DUGUM NOKTASI E-8 5. DUGUM NOKTASI..5.E+ 6. DUGUM NOKTASI..8.E+ 7. DUGUM NOKTASI E- 8. DUGUM NOKTASI E- 9. DUGUM NOKTASI E-. DUGUM NOKTASI..8.E+. DUGUM NOKTASI...E+. DUGUM NOKTASI E+ 3. DUGUM NOKTASI E+ 4. DUGUM NOKTASI E+ 5. DUGUM NOKTASI...E+ 43

44 44 φ φ φ= + = diferansiyel denklemini x ve x = için φ= x = için φ= y = için φ= x( x ) y = için φ= x( x ) sınır şartlarında Sonlu Elemanlar Metodu ile çözünüz y aralığında

45 45 x = a + b s + c t + d st x x x x y = a + b s + c t + d st y y y y x = a + b s + c t + d st = a b c + d x x x x s = x x x x t = x = a + b s + c t + d st = a + b c d x x x x s =+ x x x x t = x = a + b s + c t + d st = a + b + c + d 3 x x x x s =+ x x x x t =+ x = a + b s + c t + d st = a b + c d 4 x x x x s = x x x x t =+ y = a + b s + c t + d st = a b c + d y y y y s = y y y y t = y = a + b s + c t + d st = a + b c d y y y y s =+ y y y y t = y = a + b s + c t + d st = a + b + c + d 3 y y y y s =+ y y y y t =+ y = a + b s + c t + d st = a b + c d 4 y y y y s = y y y y t =+ a + x + x + x + x = = x y b c 4 x + x + x x a + y + y + y + y = = x y 4 x x + x + x b 4 y + y + y y = = x y d 4 + x x + x x c 4 y y + y + y = = x y 4 d 4 + y y + y y 4 ( s )( t ) ( + s )( t ) ( + s )( + t ) ( s )( + t ) x = x + x + x + x ( s )( t ) ( + s )( t ) ( + s )( + t ) ( s )( + t ) y = y + y + y + y N = ( s )( t ) 4 N = ( + s )( t ) 4 N = 3 ( + s )( + t ) 4 N = 4 ( s )( + t ) 4 x = N x + N x + N x + N x y = N y + N y + N y + N y

46 46 x x x 3 x N N N N x = y N N N N y 3 4 y y3 y 4 φ φ φ = N N N N = N φ φ { } 3 4 i i φ3 4 i =,, 3, 4 φ N = i { φ } φ N i = φ φ Ni y i { } i φ N = i { φ } φ N i = φ N φ i { } i i φ φ N N i i + = + { φ i } = Galerkin metoduna göre N N i i N + { φ i } da = A, =,,, i i { i } { i } i 3 4 N N N φ dxdy + N φ dxdy = N N N N N N N φ dy φ dxdy + N φ dx φ dxdy = i i i i { i } { i } { i } { i } N N N N N N N φ θ ds + N φ θ ds φ dxdy φ dxdy = i i i i { } sin( ) { } cos i i ( ) { i } { i } N N i i N { φ } sin( θ ) ds + N { } cos i φ i ( θ ) ds = çevreden yapılan toplam ısı transferine tekabül eder. Kararlı halde sıfırdır. O halde, N N N N φ dxdy + φ dxdy = i i { i } { i } Matris formunda yazılırsa,

47 47 N N N N N N N N φ 3 4 x y φ N N 3 N3 N N3 N 4 φ3 x y y y y y φ 4 dxdy = N4 N 4 N N N N N N N3 N4 φ xy x x x x J φ dsdt = st N3 N N 3 N N3 N 4 φ3 y y y y φ 4 N4 N 4 N N N s t = + s t N N N s t = + s t N N N 3 3 s 3 t = + s t N N N 4 4 s 4 t = + s t N = ( t ) s 4 N3 = ( + t ) s 4 N = ( s ) t 4 N3 = ( + s ) t 4 N = + ( t ) s 4 N4 = ( + t ) s 4 N = ( + s ) t 4 N4 = ( s ) t 4 xy s t b d t c d s x x x x J + + = = st b + d t c + d s y y y y s t s t = ( b + d t x x ) + ( c + d s x x ) s t = ( b + d t y y ) + ( c + d s y y ) s = ( c + d s y y ) xy J st ( b d t y y ) t + = xy J st

48 48 s t = ( b + d t x x ) + ( c + d s x x ) s ( y y ) ( y y ) t = b + d t + c + d s ( c d s ) s + x x = xy J st t = ( b + d t ) x x xy J st ( c + d s y y ) xy J ( c d s y y ) ( b d t N y y ) st + + = ( t ) ( s ) ( t ) ( s + = ) 4 xy 4 xy 4 4 ( b + d t J J y y ) st st xy J st ( c + d s y y ) xy J ( c d s y y ) ( b d t N y y ) st + + = ( t ) ( s ) ( t ) ( s = + + ) 4 xy 4 xy 4 4 ( b + d t J J y y ) st st xy J st ( c + d s y y ) xy J ( c d s y y ) ( b d t N y y ) st = ( t ) ( s ) ( t ) ( s = ) 4 xy 4 xy 4 4 ( b + d t J J y y ) st st xy J st ( c + d s y y ) xy J ( c d s y y ) ( b d t N y y ) st = ( t ) ( s ) ( t ) ( s + + = + + ) 4 xy 4 xy 4 4 ( b + d t J J y y ) st st xy J st ( c d s ) + x x xy J N ( c + d s ) ( b + d t ) st = ( t ) ( s ) ( t ) ( s + = ) 4 xy 4 xy 4 4 ( b + d t x x ) J J st st xy J st x x x x

49 49 ( c d s ) + x x xy J N ( c + d s ) ( b + d t ) st = ( t ) ( s ) ( t ) ( s = + + ) 4 xy 4 xy 4 4 ( b + d t x x ) J J st st xy J st ( c + d s ) x x xy J N ( c d s x x ) ( b d t x x ) st = ( t ) ( s ) ( t ) ( s = ) 4 xy 4 xy 4 4 ( b + d t x x ) J J st st xy J st ( c + d s ) x x xy J N ( c d s x x ) ( b d t x x ) st = ( t ) ( s ) ( t ) ( s = + + ) 4 xy 4 xy 4 4 ( b + d t x x ) J J st st xy J st x x x x

50 5 numaralı eleman numaralı eleman için, x =, y = x =. 5, y = x =. 5, y = x =., y = ax = = bx = = cx = = dx = = ay = = by = = cy = = dy = = 4 ( s )( t ) ( + s )( t ) ( + s )( + t ) ( s )( + t ) x = ( + )( ) ( + )( + ) s t s t x = + + = ( s ) ( s )( t ) ( + s )( t ) ( + s )( + t ) ( s )( + t ) y = ( + )( + ) ( )( + ) s t s t y = + + = ( t )

51 5 xy s t bx + dxt cx + dxs 8 J = = = = st y by + dyt cy + dys 64 s t 8 N = ( t ) s 4 N3 = ( + t ) s 4 N = ( s ) t 4 N3 = ( + s ) t 4 N = + ( t ) s 4 N4 = ( + t ) s 4 N = ( + s ) t 4 N4 = ( s ) t 4 s ( cy + dys ) = = 8 = 8 xy J st 64 ( c d s ) s x + x = = = xy J st 64 ( by dyt ) t + = = = xy J st 64 t ( bx + dxt ) = = 8 = 8 xy J st 64 N = = 4 4 ( t ) 8 ( s ) ( t ) N3 = = ( t ) 8 ( s ) ( t ) N = = 4 4 ( t ) ( s ) 8 ( s ) N3 = = ( t ) ( s ) 8 ( s ) N = + + = 4 4 ( t ) 8 ( s ) ( t ) N4 = + + = ( t ) 8 ( s ) ( t ) N = + + = ( t ) ( s ) 8 ( s ) N4 = + + = 4 4 ( t ) ( s ) ( s ) + t = s = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t s φ xy t s t t t t J φ dsdt = st + t + s s + s + s s φ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 + t s φ 4

52 5 t = s = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( + ) ( s )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) + t t t t t + t t + t s s + s + s s + s s s t t + t t + t + t t + t φ + s + s + + s + s + s + s s + s φ 64 t t t t t t t t dsdt = φ3 + s + s + s + + s + s + + s s φ 4 t + t t + t + t + t + + t + t s s s + s + + s s + s s φ φ = φ φ

53 53 SISTEMDEKI ELEMAN SAYISI... = 6 SISTEMDEKI NOD SAYISI... = 5 KULLANILAN ELEMAN TIPI... : DORTGEN SISTEM NOD KOORDINATLARI ======================== SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.E+ 3 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.E+ 4 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.E+ 5 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.E+ 6 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.5E+ 7 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.5E+ 8 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.5E+ 9 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.5E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.5E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.5E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.5E+ 3 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.5E+ 4 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.5E+ 5 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.5E+ 6 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.75E+ 7 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.75E+ 8 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.75E+ 9 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.75E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.75E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.E+ 3 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.E+ 4 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.E+ 5 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.E X=.E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.5E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.875E+ X=.5E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.5E+ X=.75E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.875E+ X=.E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.5E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.5E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.5E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.5E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.75E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.75E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+

54 54 X=.E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.5E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER -.875E+ X=.5E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER -.5E+ X=.75E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER -.875E+ X=.E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+. ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI

55 ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI

56 SISTEM KATILIK MATRISI ====================== SINIR SARTLARI ISLENMIS SISTEM KATILIK MATRISI ================= SINIR SARTLARA BAGLI OLARAK HESAPLANAN FONKSIYON DEGERLERI == DRIHLET PROBLEMI IIN X Y KOORDINATLARINDA SONLU ELEMANLAR METODUNA GORE HESAPLANAN FONKSIYON DEGERLERI. == X Y T DUGUM NOKTASI...E+. DUGUM NOKTASI E+ 3. DUGUM NOKTASI.5..5E+ 4. DUGUM NOKTASI E+ 5. DUGUM NOKTASI...E+ 6. DUGUM NOKTASI..3.E+ 7. DUGUM NOKTASI E- 8. DUGUM NOKTASI E- 9. DUGUM NOKTASI E-. DUGUM NOKTASI..3.E+. DUGUM NOKTASI..5.E+. DUGUM NOKTASI E-8 3. DUGUM NOKTASI E-8 4. DUGUM NOKTASI E-8 5. DUGUM NOKTASI..5.E+ 6. DUGUM NOKTASI..8.E+ 7. DUGUM NOKTASI E- 8. DUGUM NOKTASI E- 9. DUGUM NOKTASI E-. DUGUM NOKTASI..8.E+. DUGUM NOKTASI...E+. DUGUM NOKTASI E+ 3. DUGUM NOKTASI E+ 4. DUGUM NOKTASI E+ 5. DUGUM NOKTASI...E+

57 57 v v + dx x v v + dy y u u + dy y u u + dx x P noktasının yer değiştirme fonksiyonu u=u(x,y) ve v=v(x,y) dir. P noktasına çok yakın bulunan Q ve R noktalarının yer değiştirmeleri için u=u(x,y) ve v=v(x,y) dir. Burada u=u(x,y) P noktasının yatay yer değiştirme bileşenine ait fonksiyonu, v=v(x,y) ise P noktasının düşey yer değiştirm bileşenine ait fonksiyonu gösterir. Bu fonksiyonlar P noktası civarında seriye açılarak, u v * * u u = u + dx + dy +... v v = v + dx + dy +... elde edilir. Buna göre, Q noktasının P noktasına göre yatay yer değiştirme miktarı, u x = dx düşey yer değiştirme miktarı, v dx olur., R noktasının P noktasına göre yatay yer değiştirme miktarı, u dy

58 58 düşey yer değiştirme miktarı, v y = dx olur. ε ε x y x x = x y y = y olduğundan, x ve y doğrultusundaki strainler, ε ε x y u = v = biçim değişmesine bağlı olarak toplam açı değişimi, γ xy u v = + olarak elde edilir. ÜÇ BOYUTLU HALDE DEFORMASYON σ σ +σ σ σ +σ +σ ( ) E E E E x y z x x y z ε x = ν = +ν ν σ y σ z +σ x σ y σ x +σ y +σ z ε y = ν = ( +ν) ν E E E E σ σ +σ σ σ +σ +σ ( ) E E E E z x y z x y z ε z = ν = +ν ν σ x +σ y +σ z σ x +σ y +σ z σ x +σ y +σ z ε x +ε y +ε z = +ν ν = ν E E E birim hacim değişimi ne e diyerek, e=ε x +ε y +ε z σ +σ +σ p = 3 x y z ( ) 3 ( )

59 59 ( ) 3 e= ν p E E e p = ν 3 E σ x +σ y +σ z E 3p E 3 E e σ x = ε x +ν = ε x +ν = ε x +ν +ν E +ν E +ν E ν 3 E E σ x = ε x +ν( ε x +ε y +ε z) = ν ε x +ν ε y +εz +ν ν +ν ν ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) E E σ y = ε y +ν( ε x +ε y +ε z) = ν ε y +ν ε z +εx +ν ν +ν ν ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) E E σ z = ε z +ν( ε x +ε y +ε z) = ν ε z +ν ε y +εx +ν ν +ν ν elde edilir. Distorsiyon için, τ = Gγ xy xy ( )( ) ( ) ( ) τ = Gγ yz τ = Gγ zx yazılır. yz zx Düzlem gerilme hali için, yani σ z = yazılarak, σ = E ( ν ) ε +νε x x y E σ y = νε x +ε y xy ( ν ) τ = Gγ xy

60 6 σ x ν ε x E σ y = y ν ε ν xy τ ν γ xy u σ x ν dx E v σ y = ν ν dy xy τ ν u v + dy dx bulunur. Hamilton denklemlerine göre denge şart için L= U K minimum olmaıdır. Burada U potansiyel fonksiyonunu, K ise kinetik eneri fonksiyonunu temsil eder. Problem statik olduğuna göre K = dır. σε U = F. x olur denge hali için σε δ LdA=δ UdA=δ Fx da= elde edilir.

61 6 Eleman içindeki herhangi bir noktada deplasman vektörü, u v u L L L3 u = v L L L 3 v u 3 v birim şekil değiştirme vektörü, 3 u L u L L 3 x x x x v ε x v L u L L3 ε y = = y y y y v γ xy u v L L L L L3 L3 u3 + y x y x y x y x v3 gerilme vektörü, σ x E σ y = τ xy u ν L L L u v ν L L L L L L u L L L 3 v 3 ν ν y x y x y x v3 ve herhangi bir noktada iç kuvvetlerin yaptığı iş, σ σ τ ε x ε γ x y xy y xy şeklinde ifade edilir. Bu işi eleman düğüm noktalarındaki deplasmanlar cinsinden ifade edersek,

62 6 ε x σ x σ y τxy ε y γ xy L L L L L L = [ u v u v u3 v3] L L L3 L3 L3 L3 L L L u 3 u ν E L L L3 u3 ν ν v ν L L L L L3 L3 v y x y x y x v3 elde edilir. Dış kuvvetlerin yaptığı iş, [ u v u v u3 v3] F x F y F x F y F 3x F 3y olur Hamilton denklemlerinde yarine konursa,

63 63 L L L L L L ν E L L ν ν ν L3 L3 [ u v u v u3 v3] δ dxdy = A L3 L3 L L L u F x 3 u F y L L L u F 3 3 x v F y L L L L F L3 L3v 3x x y x v F 3 3 y bulunur. eleman denklemi b c c b F x F y ν b b b3 b c E F x c c c 3 A c b ν = F ν y νc b c b c3 b3 b 3 c F 3 3x c F 3 b3 3y olarak elde edilir. b c c b ν b b b3 b c E i = 3 c b ν ν νc b c b c3 b 3 b 3 c 3 K c c c A c b 3 3 eleman katılık matrisi adını alır.

64 64 Şekildeki sistemde uzunlukları mm alarak her bir düğüm noktası için deplasmanları ve eleman içindeki gerilmeleri hesaplayınız. 7 Elastisite modülü: E =. N/mm Poisson oranı: ν=. 3

65 65 *** IELSAY :SISTEMDEKI ELEMAN SAYISI... = 6 *** *** ISISNO :SISTEMDEKI NOD SAYISI... = 5 *** *** ELASTISITE MODULU... =.E+8 dan/mm *** *** POISSON ORANI... =.3 *** MAZLZEME MATRISI S I S T E M N O D K O O R D I N A T L A R I SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.E+ mm. Y=.E+ mm. SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.E+ mm. Y=.E+ mm. 3 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.4E+ mm. Y=.E+ mm. 4 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.6E+ mm. Y=.E+ mm. 5 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.8E+ mm. Y=.E+ mm. 6 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.E+ mm. Y=.E+ mm. 7 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.3E+ mm. Y=.E+ mm. 8 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.5E+ mm. Y=.E+ mm. 9 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.7E+ mm. Y=.E+ mm. SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.E+ mm. Y=.4E+ mm. SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.4E+ mm. Y=.4E+ mm. SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.6E+ mm. Y=.4E+ mm. 3 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.3E+ mm. Y=.6E+ mm. 4 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.5E+ mm. Y=.6E+ mm. 5 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.4E+ mm. Y=.8E+ mm. VERILEN DEPLASMAN SINIR SARTLARI VE TEKABUL EDEN NODUN KOORDINATLARI X=.E+ mm. Y=.E+ mm..e+ mm x dog. X=.E+ mm. Y=.E+ mm..e+ mm y dog. X=.8E+ mm. Y=.E+ mm..e+ mm x dog. X=.8E+ mm. Y=.E+ mm..e+ mm y dog. VERILEN YUK SINIR SARTLARI VE TEKABUL EDEN NOD KOOOORDINATLARI Yuk Turu: NOKTASAL Noktasal Yuklerin Bulundugu Sistem Dugum Numaralari ================ 5 Numarali Dugum Noktasinda Y Dogrultusunda Noktasal Yuk =-.E+4 dan NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 3 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 4 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 5 NUMARALI ELEMANIN MATRISI

66 E+7.E+ -.93E E E E+7.E E E E E E E E E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E+7 6 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.43846E+7.E+ -.93E E E E+7.E E E E E E E E E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E+7 7 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.43846E+7.E+ -.93E E E E+7.E E E E E E E E E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E+7 8 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 9 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.43846E+7.E+ -.93E E E E+7.E E E E E E E E E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E+7 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.43846E+7.E+ -.93E E E E+7.E E E E E E E E E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E+7 3 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 4 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7

67 67.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 5 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.43846E+7.E+ -.93E E E E+7.E E E E E E E E E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E+7 6 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 NOD DEPLASMANLARI; U :X DOGRULTUSUNDAKI DEPLASMANLARI V :Y DOGRULTUSUNDAKI DEPLASMANLARI GOSTERIR U( )=.E+ mm. V( )=.E+ mm. U( )= E-5 mm. V( )= E-4 mm. U( 3)= E- mm. V( 3)=-.894E-3 mm. U( 4)=.83346E-5 mm. V( 4)= E-4 mm. U( 5)=.E+ mm. V( 5)=.E+ mm. U( 6)=.5587E-4 mm. V( 6)= E-4 mm. U( 7)=.38565E-5 mm. V( 7)=-.493E-3 mm. U( 8)= E-5 mm. V( 8)=-.493E-3 mm. U( 9)=-.5587E-4 mm. V( 9)= E-4 mm. U( )= E-6 mm. V( )=-.5967E-3 mm. U( )= E-9 mm. V( )= E-3 mm. U( )= E-6 mm. V( )=-.5967E-3 mm. U( 3)= E-5 mm. V( 3)= E-3 mm. U( 4)= E-5 mm. V( 4)= E-3 mm. U( 5)= E-8 mm. V( 5)=-.456E-3 mm SISTEM GERILME GERILME GERILME MAXIMUM MINIMUM ASAL NOD NO X Y XY GERILME GERILME DOGRULTU (dan/mm) (dan/mm) (dan/mm) (dan/mm) (dan/mm) DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE

68 68

69 69 Nod numarası x y Nod numarası x y

70 7 Nod numarası x y

71 7 Eleman konnektivite tablosu Eleman no Eleman no Eleman no Eleman no

72 Eleman no

73 σ x gerilmelerinin dağılımı σ y gerilmelerinin dağılımı

74 74 τ xy gerilmelerinin dağılımı DELİK MERKEZİNDEN SX UZAKLIK