ROBİNSON PROJEKSİYONU

Transkript

1 ROBİNSON PROJEKSİYONU Cengzhan İPBÜKER ÖZET Tüm yerkürey kapsayan dünya hartalarının yapımı çn, kartografk lteratürde özel br öneme sahp olan Robnson projeksyonu dk koordnatlarının hesabı brçok araştırmacı çn çalışma konusu olmuştur. Robnson un tablo değerler arasında enterpolasyon yöntemler veya bu tablo değerlerne en y yakınsayan farklı algortmalar arayışı bu çalışmaların odağını oluşturmaktadır. Tartışmaların sonucunda en uygun çözümün tüm tablo değerlern çeren br fonksyonla gerçekleştrlebleceğ fade edlmştr. Bu çalışmada Robnson projeksyonu dk koordnatlarının hesabı çn multkuadrk enterpolasyon yöntem önerlmekte ve bu yöntem çeren hesap algortması, uygulama ve sonuçları verlmektedr. ABSTRACT Computaton algorthms for the Robnson projecton, whch has a specal mportance n the cartographc lterature for mappng the whole world, are become therefore often the subject of study of researchers and specalsts. Usng dfferent nterpolaton methods on the Robnson s look-up-table or dervng analytcal functons whch ft suffcently to the projecton are the man problems of these studes. After the controverses, t s outlned that the most sutable soluton must be realzed usng a functon whch nclude all the tabular coordnates. In ths study multquadrc nterpolaton method suggested to calculate Robnson projecton coordnates, and are gven a new computaton algorthm wth applcaton and results.. ROBİNSON PROJEKSİYONU Bu projeksyon Amerka Brleşk Devletler Wsconsn Ünverstes Coğrafya Bölümünden Prof. Dr. Arthur H. Robnson (95- ) tarafından 963 yılında dünya hartaları çn yen br ağ tasarımı olarak gelştrlmş, ortaya çıkışı ve özellkler 974 yılında yayımlanmıştır /0/. Robnson projeksyonu genel anlamda, ne açı ne de alan koruyan, kesntsz, kutupların çzg şeklnde gösterldğ, gerçek anlamda olmayan slndrk (pseudo-slndrk) br projeksyondur. Enlem dareler paralel doğrular şeklnde zdüşürülür. Paraleller 38 kuzey ve güney enlemler arasında eşt aralıklıdır. Bu lmtlern dışında aralıklar büyür. Ekvatorun uzunluğu alanı korunan kürenn çevresnn katıdır. Orta merdyen se ekvatorun katı uzunluğunda düz doğru şeklnde gösterlmektedr. Dğer merdyenler her br paralel üzernde eşt aralıklı, orta merdyene doğru konkav elptk eğrler şeklndedr. Kutuplar ekvatorun 0.53 katı uzunluğunda doğru parçası şeklnde ortaya çıkmaktadır; ekvator ve orta merdyene göre smetrktr. 38 kuzey ve güney enlemler boyunca ölçeğn korunduğu, ayrıca ölçeğn herhang br enlem boyunca sabt ve ters şaretl enlemler çn aynı olduğu söylenmektedr /0,/. Ancak bu konu lteratürde yer alan bazı araştırmalarda tartışılmaktadır /8,9/. 52

2 Bu projeksyonda amaç, kıtaları oldukça doğru br şeklde resmetmektr. Bu nedenle Robnson projeksyonuna doğru görünüşlü anlamına gelen orthophanc projeksyon da denmektedr. İzdüşüm, matematksel olarak tanımlı fonksyonlar le değl Robnson tarafından araştırmalar sonucu amprk olarak belrlenmş, enleme bağımlı A ve B katsayıları olmak üzere k tablo değer le fade edlmektedr (Tablo-). Düzlem koordnat sstemnn y-eksen ekvator, x-eksen doğru şeklnde alınan orta merdyendr. R küre yarıçapı, ϕ coğraf enlem ve λ coğraf boylam olmak üzere zdüşüm eştlkler y = R A λ x =.3523 R B (.a) şeklnde verlmektedr /0/. Burada A ve B katsayıları Tablo- den alınacaktır. Fakat tablo değerler 5 er derece aralıklarla verldğnden ara değerler çn enterpolasyon yapılması gerekmektedr. İzdüşüm eştlklerndek her k sabtnde tablo çnde brlkte değerlendrlmes le buna karşılık gelen A *, B * değerler le zdüşüm eştlkler y = R A * λ x = R B * (.a) (.b) şeklnde de yazılablrler. A * ve B * katsayılarıda Tablo- de verlmektedr. Tablo-: Robnson tarafından amprk olarak bulunan katsayılar ϕ A B A * B * HESAPLAMA ALGORİTMALARI 53

3 Robnson projeksyonu düzlem koordnatlarının hesabında tablo değerler arasında enterpolasyon çn brçok araştırmacı tarafından farklı enterpolasyon veya yakınsama algortmaları kullanılmıştır. John P. Snyder, Strlng formülüne göre tablo değerler arasındak farkların knc haneye kadar alındığı knc dereceden enterpolasyon kullanmaktadır /2/. Frank Canters ve Hugo Declar, katsayıların karesel ortalama le yaklaşım yoluyla çözüldüğü yüksek dereceden polnom kullanmaktadırlar /4/. Böyle br yaklaşım polnomu zorunlu değerlerden sapmaların kareler toplamının mnmum olmasını garant etmesne karşın dayanak değerlernn kends tam olarak bulunamamaktadır /8/. Rchardson, Robnson projeksyonunu Desgn Cad sml br grafk program altında ncelemş ve alan deformasyonu araştırması yaparak sonuçlarını yayımlamıştır. Rchardson bu çalışmasında Prof. Robnson le yaptığı kşsel görüşmelerne yer verrken ayrıca projeksyonun 38 enlemnde değl 43 enlem cvarında ölçek koruduğunu belrtmektedr /9/. Analtk zdüşüm prenspler le bağlantılı olarak Robnson projeksyonunun daha ayrıntılı br araştırmasını Beneke yapmıştır. Yöntem temelde dayanak noktalarında amprk fonksyonların artışının yaklaşık hesabı üzerne dayanmaktadır. Beneke bu çalışmasında Robnson projeksyonu koordnatlarına en y yakınsayan tek anlamlı bast formda br analtk fade yaratma çabası le Yaklaşık Robnson Projeksyonu olarak tanımladığı br formülasyon önermektedr /,2/. Beneke tarafından da fade edldğ gb herşeye rağmen söz konusu hesap yöntemlernn hçbr tam olarak tatmnkar değldr. Dolayısıyla uygulanacak yöntem blgsayar ortamında tüm dayanak noktalarından geçecek ve konstruksyona en uygun br eğrnn kullanılmasıdır /,2/. Bretterbauer, bu görüşler doğrultusunda Robnson projeksyonunu ele alarak kübk splne enterpolasyonunu uygulamıştır /3/. Kübk splne enterpolasyonu le hesap yapıldığında Robnson projeksyonu çn lteratürde belrtlen tüm dğer algortmalara kıyasla çok daha doğru sonuçlar elde edlmektedr /8/. Bu çalışmada se Robnson projeksyonu tablo değerlerne multkuadrk enterpolasyon yöntem uygulanmış, algortma ve sonuçlar aşağıda verlmştr. 3. MULTİKUADRİK ENTERPOLASYON YÖNTEMİ Multkuadrk enterpolasyon yöntemnde tüm dayanak noktaları aynı anda kullanılarak data grubu çn tek br Z=f(x,y) fonksyonu tanımlanır. Fonksyon, katsayıları tanımlanmış tek br cns knc derece denklemlern toplamları olarak fade edlmektedr. Bu yöntem analtk eştlkler le Hardy tarafından topografk yüzeyler gb düzgün olmayan yüzeylern tek br fonksyonla tanımlanması amacıyla önerlmştr /5,6,7/. Yöntem sayısal araz modellernn oluşturulması yanında, dayanak noktalarının tümünü aynı anda kullanarak yüzey tek br fonksyonla fade etmek amacı le farklı problemlern çözümü çnde uygulanmıştır /3,4,5/. Hardy e göre matematksel olarak tanımlanmamış br yüzey, matematk olarak tanımlanmış yüzeylern toplamı le stenlen br doğruluk derecesnde tanımlanablr. Hardy tanımladığı bu yüzeye Multkuadrk yüzey adını vermektedr /7/. Multkuadrk yüzey genel anlamda 54

4 n c q( x, y, x, y)= Z j j j (2) şeklnde fade edlen serler le tanımlanablr. Burada Z sözü edlen tek br cns knc derece yüzeylern toplamı olarak x ve y nn br fonksyonudur. c j blnmeyenler brer katsayı olup knc derece termn cebrk şaretn ve eğmn fade eder. Multkuadrk yüzey n 2 c x x + y y + k = Z (3) [( ) ( ) ] j j j şeklnde k yapraklı daresel hperbolod serlernn toplamı olarak fade edleblr. Burada k sabt br katsayıdır. (3) eştlğnde k=0 alınırsa multkuadrk yüzey n 2 c x x + y y = Z, =,2, L, n (4) [( ) ( ) ] j j j şeklnde n sayıdak dayanak noktalarından daresel dk konlern toplamı olarak fade edlerek n sayıda lneer denklem sstem oluşturulur. Burada nxn boyutlu A katsayılar matrs [( ) ( ) ] x x + y y 2 = a j j j şeklnde blnen elemanlardan oluşur. c j blnmeyen katsayıları T c = [ c c 2 L c n ] (6) şeklnde n boyutlu br c vektörü le ve dayanak noktalarının konumuna bağlı olarak blnen Z değşkenler T Z = [ Z Z2 L Z n ] (7) şeklnde yne n boyutlu br Z vektörü le fade edlrse (5) eştlğ matrs gösterm le, A c = Z (8) olur ve c j blnmeyenler c = A - Z (9) matrs eştlğnden elde edlr. c j katsayılarının belrlenmes le multkuadrk yüzey oluşmuş demektr. Dolayısıyla c j katsayıları ve dayanak noktalarının (x j,y j ) konumları blndğne göre herhang br (x,y ) noktası çn Z değşken (4) eştlğnden hesaplanablr /5,3,5,6/. 0 boylamı ve 5 er derece aralıklı enlem değerler (x j,,y j, ) dayanak noktaları olarak kabul edldğnde ve bunlara karşılık gelen ve Robnson tarafından verlen A * ve B * tablo değerler karşılıklı olarak Z değşkenler olarak ele alındığında benzer şeklde 0 0 p q [( λ λ ) ( ϕ ϕ ) ] 2 * + = A, = 0,,2, L, (0a) j j j [( λ λ ) ( ϕ ϕ ) ] 2 * + = B, = 0,,2, L, (0b) j j j (5) 55

5 yazılablr. p j ve q j blnmeyenler yukarıda verlen algortmaya uygun bçmde bulunduktan sonra Robnson projeksyonu dk koordnatları herhang br () enlem çn y = Rλ p 5j ϕ j x = R q 5j ϕ j (a) (b) eştlklernden hesaplanır. p j ve q j katsayıları hesaplanmış ve Tablo-2 de verlmştr. Tersne br hesap yapılmak stendğnde, yan Robnson projeksyonu (x,y ) dk koordnatları blnyor ken coğraf koordnatlar aranıyor se öncelkle x B * = (2) R eştlğnden B * değer hesaplanır ve buna karşılık gelen A * değer, * * * j j 0 A = R m B B (3) eştlğnden bulunur. λ boylam değer, y λ = * RA (4) eştlğnden kolayca hesaplanır. ϕ enlem değer se, * * * * ( ) ( ) 2 (5) ϕ = n j A j A + B j B 0 eştlğnden bulunur. m j ve n j katsayıları hesaplanmış ve Tablo-2 de verlmştr. Robnson Projeksyonu, multkuadrk enterpolasyon yöntemne göre çıkarılmış eştlkler kullanılarak deformasyonlar açısından ncelenmek stenrse, y = Rλ ϕ y = R λ x = R ϕ j = 0 p ϕ 5 j 2 ( 25 j 0 jϕ ϕ ) j j = 0 + p q j 2 ( 25 j 0 jϕ + ϕ ) ϕ 5 j 2 ( 25 j 0 jϕ ϕ ) j j = 0 + x = 0 λ kısm türevler kullanılmalıdır. Burada p j ve q j katsayıları yne Tablo-2 den alınacaktır. (6) 56

6 Tablo-2: Multkuadrk yüzey katsayıları ϕ p q m n Robnson projeksyonu deformasyonlar açısından ncelendğnde özellkle hang enlem boyunca ölçek koruduğu tartışma konusu olmuştur. Robnson un kend sunduğu değerlern değşk algortmalar le hesaplanarak analz ve karşılaştırılması le tartışmalara sayısal br yaklaşım lteratürde yer almaktadır /8/. (6) eştlkler olarak verlen kısm türevler kullanılarak hesap yapıldığında ana merdyen üzernde alan deformasyonu katsayısının olduğu enlem , maksmum açı deformasyonunun sıfır olduğu enlem değer se olarak bulunmaktadır. Ayrıca br karşılaştırma yapmak amacıyla Robnson tarafından verlen, Rchardson tarafından grafk olarak enterpole edlen, Bretterbauer n kübk splayn enterpolasyonu eştlklernden ve multkuadrk enterpolasyon le türetlen algortmaya göre hesaplanan alan deformasyonu değerler Tablo-3 de toplu halde verlmektedr. Tablo-3: F(%)=(F-)*00 alan deformasyonu değerlernn karşılaştırması (λ=0 ) ϕ Robnson Rchardson Kübk Splayn Multkuadrk

7 Robnson Projeksyonunun coğraf pafta ağı Şekl - de görülmektedr. Şekl-: Robnson Projeksyonu Coğraf Pafta Ağı 4. SONUÇ ve ÖNERİLER Yapılan araştırmalar multkuadrk enterpolasyon yöntemnn hem hesap teknğ hem de fonksyonların çözümü bakımından kolay ve kullanışlı olduğunu göstermektedr /3,4/. Bu çalışmada da, aynı yöntemn br kartografk projeksyona uygulanması anlamında kullanılableceğ gösterlmeye çalışılmıştır. Robnson projeksyonu dk koordnatlarının hesabı çn değşk algortmalar önerlmektedr. Projeksyonun, tüm tablo değerlern çeren br fonksyon le tanımlanmasının en doğru yöntem olacağı açıktır. Kübk splayn enterpolasyonu veya multkuadrk enterpolasyon bu yeteneğe sahp en uygun enterpolasyon yöntemlernden ksdr. Fakat, kübk splayn enterpolasyonu le karşılaştırıldığında () eştlklernn daha bast formda olduğu söyleneblr. Kübk splayn enterpolasyonu çn dört ayrı katsayı grubu kullanılırken multkuadrk enterpolasyonda sadece k grup katsayı le hesap yapılmaktadır. Her k enterpolasyon yöntem çn aynı doğrulukta sonuçlar elde edlmektedr. Her k yöntemn de br mktar hesap yükü getrdğ açıktır. Fakat artık blgsayar ortamında üretm yapıldığı gözönüne alındığında bunun br önem kalmamıştır. Robnson projeksyonu çn söz konusu k yöntem önerlmekte, hangsnn terch edleceğ se uygulayıcıya bırakılmaktadır. KAYNAKLAR // Beneke,D., : Untersuchung zur Robnson-Abbldung und Vorschlag ener analytschen Abbldungsvorschrft, Kartographsche Nachrchten, 99/4. /2/ Beneke,D., : Zur Robnson-Abbldung,Kartographsche Nachrchten, 995/4. /3/ Bretterbauer,K., : En Berechnungsverfahren für de Robnson-Projekton, Kartographsche Nachrchten, 994/6. /4/ Canters,F., Declar,H., : The World n Perspectve, John Wley, NewYork, 989. /5/ Güler,A., : Sayısal Araz Modellernde İnterpolasyon Yöntemler, Harta Dergs Sayı:85,978. /6/ Hardy, R., : Multquadrc Equatons of Topography and Other 58

8 Irregular Surfaces, Journal of Geophyscal Research, 76/8, 97. /7/ Hardy,R., : Geodetc Applcatons of Multquadrc Analyss, AVN Vol.79, 972. /8/ İpbüker,C., : Robnson Projeksyonu ve Eleştrlere Sayısal br Yaklaşım,İTÜ Dergs,997. /9/ Rchardson,R.T., : Area Deformaton on the Robnson Projecton, The Amercan Cartographer, 989. /0/ Robnson,A.H., : A new Map Projecton: Its Development and Characterstcs, Internatonal Yearbook of Cartography, Vol:4, 974. // Snyder,J.P.,Voxland,P.M. : An Album of Map Projectons, U.S. Geologcal Survey Professonal Paper 453, 989. /2/ Snyder, : The Robnson Projecton. A Computaton Algorthm, Cartography and Geographc Informaton Systems, Vol:7, No.4, 990. /3/ Uluğtekn,N., : Kadastro Paftalarının Geometrk Ntelğnn Yükseltlmesnde ve Yenlenmesnde Homojenleştrme Algortmaları,Doktora Tez, İTÜ Fen Blmler Ensttüsü, 993. /4/ Uluğtekn,N., : Sayısallaştırılmış Kadastro Paftalarının Geometrk Ntelğnn Yükseltlmes, İTÜ Dergs, Clt 52, Sayı -2, 994. /5/ Yanalak,M.,İnce,C.D., : GPS le Elde Edlen Elpsod Yükseklklernn Yerel Yükseklk Sstemne Dönüştürülmes, TMMOB Harta ve Kadastro Mühendsler Odası 6.Harta Kurultayı, 997. /6/ Yanalak,M., : Sayısal Araz Modellernde Hacm Hesapları, Doktora Tez, İTÜ Fen Blmler Ensttüsü,