OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.
|
|
- Kelebek Ünal
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya başlanan olasılık, uygulamalı matematiğin bir dalı olarak gelişim göstermiş ve istatistiksel yorumlamada önemli uygulama alanı bulmuştur. n sonlu bir sayı olmak üzere n adet elemandan oluşan bir örnek grubu içinde belirli bir A özelliğe sahip olan eleman sayısı ise eşit şanslı ve tamamıyla tesadüfi seçilmek şartı ile bir elemanın A özelliğini taşıması (A olayının ortaya çıkma olasılığı P(A)) P(A) = şeklinde ifade edilir. n 1
2 Olasılığın iki temel özelliği; 1.Bir olayın olasılığı daima 0 ile 1 arasında değerler alır ( ). İmkansız olayın olasılığı 0, kesin olayın olasılığı 1 dir. 2. Örneklem uzayındaki örneklem noktalarının olasılıkları toplamı 1 dir. P(E) 1 2
3 Bir deneyin tüm olası sonuçlarının oluşturduğu kümeye örneklem uzayı denir ve S harfi ile gösterilir. Bu örnek uzaydaki her bir elemana örneklem noktası denir. Örneklem uzayın, her bir alt kümesine de olay denir. Para atma deneyi için; Örneklem uzayı: S = { Yazı, Tura } Yazı ve Tura örneklem noktalarıdır. Zar atma deneyi için; S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Belirsizliğin bir ölçüsü olarak düşünülen olasılıkta kesinlikten çok tesadüfilik (rassallık) söz konusudur. Birden fazla basit olayın bir araya getirilmesi suretiyle «bileşik olay» meydana gelir. Bunun için birleşim, kesişim ve tamamlayıcı kümelerden faydalanılır. Örneğin; verilen 100 ampulden sağlamların ayrılması istenirse, her deneyin sağlam veya bozuk olma gibi iki sonucu yani basit olayı vardır. Bunlara A ve B denilirse, örneklem uzayı şöyle tanımlanabilir; S = {A, B}, gözlem sayısı 100 dür. Örneklem uzay «sınırlı» veya «sınırsız» olabildiği gibi «sürekli» veya «süreksiz» de olabilir. Sınırlı veya sınırsız olmakla birlikte sayılabilir sayıda olay içeren örneklem uzay süreksizdir. Örneklem uzaydaki olaylar 3 sayılamayacak kadar olursa, sürekli örneklem uzayı olarak adlandırılır.
4 Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir? A: Çekilen bir bilyenin sarı olması n(s): Örnek uzayı eleman sayısı = 15 n(a): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı = 5 n( A) 5 P( A) n( S)
5 Rassal Deney Belirsizliğin bir ölçüsü olarak düşünülen olasılıkta kesinlikten çok rassallık (tesadüfilik) söz konusudur. Rassal deney şartları: Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak, Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. İstatistikte bir rassal deneyin sonuçlarını gerçek sayılarla ilişkilendiren fonksiyona «rassal değişken» adı verilir. Rassal değişkenler sürekli veya kesikli olabilirler. Eğer iki rassal değişken değeri arasına sonsuz sayıda değişken yerleştirilebiliyorsa bu rassal değişken sürekli, aksi taktirde kesiklidir. 5
6 Toplam ve Çarpım Olasılıkları Toplam kanunu: A veya B aynı anda olamayan iki bağımsız olay ise A veya B nin meydana gelme olasılığı P( A B) P( A) P( B) P( A B) Çarpım kanunu: A ve B gibi iki bağımsız olayın aynı anda meydana gelme olasılığı P( A B) P( A). P( B) 6
7 Objektif Olasılık Tekrarlanabilen rastgele bir deneye bağlıdır. Örnek: Rus ruletinin döndürülmesi, zar atılması gibi. Subjektif Olasılık Kişisel inançlara ve deneyimlere dayanmaktadır. (Tekrar edilemeyen bir deneye bağlıdır). Örnek: Geçmiş meteoroloji verilerine dayanarak yarın yağmur yağma ihtimalinin tahmini subjektif olasılık değerlerini sunan bir deneydir. 7
8 Marjinal Olasılık Başka bir olayı göz önüne almaksızın hesaplanan, tek bir olayın hesabıdır. Marjinal olaya ayrıca «basit olasılık» da denir. 8
9 9
10 10
11 11
12 Örnek : Büyük bir firmaya iş başvurusu yapan 20 kişi ile ilgili bilgiler: Devlet üniversitesi mezunu Özel üniversite mezunu Toplam Erkek Kız Toplam a) Seçilen kişinin erkek olma olasılığı b) Seçilen kişinin kız olma olasılığı c) Seçilen kişinin devlet üniversitesi mezunu olma olasılığı d) Seçilen kişinin özel üniversite mezunu olma olasılığı e) Seçilen kişinin erkek ve devlet üniversite mezunu olma olasılığı f) Seçilen kişinin erkek ve özel üniversite mezunu olma olasılığı g) Seçilen kişinin kız ve devlet üniversite mezunu olma olasılığı h) Seçilen kişinin kız ve özel üniversite mezunu olma olasılığı i) Bileşik ve marjinal olasılıkları bir tabloda gösteriniz. 12
13 13 0, (E) P 4 0, 20 8 (E) P 0, (E) P 25 0, 20 5 (E) P 0, (E) P 1 0, 20 2 (E) P 0, (E) P 15 0, 20 3 (E) P a)- c)- e)- g)- b)- d)- f)- h)-
14 i)- Devlet üniversitesi mezunu Özel üniversite mezunu Marjinal olasılık Erkek 0,5 0,1 0,6 Kız 0,25 0,15 0,4 Marjinal olasılık 0,75 0,
15 15 Diğer bir olayın gerçekleştiğini bildiğimizde bir olayın gerçekleşme olasılığına koşullu olasılık denir. E, S örnek uzayda bir olaydır. E den sonra A nın olma olasılığı şeklinde ifade edilebilir. P(A)0, P(B)0 A ve B örneklem uzayında iki olay ve olasılıkları 0 dan farklı ise bunlarla ilgili koşullu olasılığı, şeklinde yazılır. ) ( ) ( ) / ( E P E A P E A P ) ( ) ( ) / ( A P B A P A B P ) ( ) ( ) / ( B P B A P B A P Koşullu (Şartlı) Olasılık
16 Örnek: filmlerin 16
17 Eğer bir deneyde A ve B olayları birbirlerini engellemeyen türden olaylar ise A veya B olaylarının ortaya çıkış olasılığı: P(A veya B)= P(A) + P(B) - P(AB) Örnek: Örnek: 17
18 Örnek Uzayı ve Olay Sayısının Büyük Olduğu Durumlar Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu durumlarda kullanılan sayma yöntemleri; Permütasyon Kombinasyon 18
19 Permütasyon Eğer bir kümenin elemanlarının bir kısmı veya hepsi belli bir düzen içerisinde sıralanıyorsa buna permütasyon denir. Yani n elemanlı bir kümeden r eleman çekilerek sıra önemli olmak kaydıyla sıralanırsa buna permütasyon adı verilir. Permütasyon bir olaylar topluluğunun belirli bir sıraya göre dizilmiş şeklidir. n farklı eleman içeren bir gruptan seçilme sırasını da dikkate alarak seçilen r adet elemandan oluşan grup sayısını aşağıdaki formülle buluruz: P(n,r) = n! n r! 19
20 Permütasyon birçok probleme uygulanabilmekle birlikte, uygulamada dikkat edilmesi gereken bazı durumlar vardır. Eğer bir problemde şu üç şart gerçekleşiyorsa permütasyon uygulamak mümkündür: 1- Kümedeki bütün elemanlar birbirinden farklı olmalıdır, 2- Herhangi bir eleman için hiçbir kısıtlama olmamalıdır, 3- Hiçbir eleman bir defadan fazla kullanılmamalıdır. Kullanıldığı durumlar İadesiz örnekleme Örneğe çıkış sırası önemli 20
21 Örnek: 20 kişinin katıldığı bir yarışmada ilk üç dereceye girenler farklı şekillerde ödüllendirileceklerdir. Yarışma kaç değişik şekilde sonuçlanabilir? Çözüm: Örnekte sıra önemli olduğuna göre permütasyon uygulanması gerekir. 20! 20! ! 20P (20 3)! 17! 17!
22 Tekrarlı Permütasyon: Bir küme içindeki elemanlardan bazıları tekrarlanıyorsa permütasyonu direk olarak hesaplamak yanlış olur. İSTATİSTİK kelimesinin permütasyonunu bulmak için toplam permütasyon sayısını tekrar edilen (İ, T ve S) harflerin permütasyonuna bölmek gerekir. İ = 3, T = 3, S = 2 defa tekrar edilmiş n = 7 olduğuna göre bulunur. 7! 72 3!3!2! 22
23 Kombinasyon n adet nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyon sayısı nc x ile gösterilir. Sıralama önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak ifade edilir. Bu sayı şu şekilde hesaplanır: n! n C x n x! x! Kullanıldığı durumlar; İadesiz örnekleme Örneğe çıkış sırası önemsiz 23
24 Kombinasyon, n elemanı olan bir kümeden her biri r eleman içeren birbirinden farklı alt kümelerin kaç farklı şekilde seçilebileceğini gösteren sayıdır ve bu sayı; n r n! ( n r)! r! ncr = = C(n,r)= formülü ile hesaplanır. Bu kombinasyon sayısına aynı zamanda binom katsayısı adı da verilmektedir. 24
25 25
26 Örnek: 50 transistörden 40 ı sağlam 10 u bozuktur. Bunlar içinden 3 ü sağlam 2 si bozuk toplam 5 transistör kaç değişik şekilde seçilebilir? Çözüm: 40 3 x ! 10! x (40 3)!3! (10 2)!2! ! ! x 37!3! 8!2!
27 Örnek: 1,2,3,4 rakamlarını kullanarak yapılacak 3 lü permütasyon ve kombinasyonları hesaplayınız? P(n,r) = n! n r! = 4!! n! C(n,r) = = 4!!. 3! n r!.r!
28 OLASILIK DAĞILIMLARI Olayın veya değişkenin taşıdığı şartlara bağlı olarak olasılık hesaplanması için teorik olasılık dağılımları veya kısaca olasılık dağılımları olarak adlandırılan matematiksel kalıplar kullanılabilmektedir. Teorik dağılımlar rassal değişkenlerin olasılık dağılımlarıdır ve bu dağılımlar öncelikle kesikli ve sürekli rassal değişkenlere göre iki ana grupta incelenebilir. Kesikli rassal değişkenlerin teorik dağılımlarına örnek olarak, Poisson, Hipergeometrik ve binom dağılımları; sürekli rassal değişkenlere örnek olarak normal dağılım verilebilir. 28
29 Hipergeometrik Dağılım Bu dağılım bir örnek grubunda iadesiz olarak seçim yapılması halinde uygulanır. Seçimler birbirinden bağımsız değildir. Seçim iadesiz yapıldığı için her elemanın seçilme olasılığı kendinden önce seçilenlerin cinsine bağlıdır. N adet bir yığında a adet parça sağlam, b adet bozuk parça bulunsun. N adet bir yığından alınan n adet örnek grubu içinde k adet sağlam parça bulunma olasılığı hipergeometrik dağılımla hesaplanabilir. P(k) h(k,n,b,a) C(a, k).c(b, n C(N, n) k) 29
30 30
31 Örnek: Bir torbada 6 kırmızı 4 beyaz bilye vardır. Torbadan iadesiz olarak 2 bilye çekiliyor. a) Çekilen bilyelerin 2 kırmızı b) Çekilen bilyelerin 2 beyaz c) Çekilen bilyelerin 1 kırmızı, 1 beyaz olma olasılıklarını hesaplayınız. (a=6, b=4, N=10, n=2) a)- C(6,2). C(4,0) P( 2kırmızı ) C(10,2) C(4,2). C(6,0) C(10,2) 0,33 b)- P( 2beyaz ) 0, 133 c)- P( 1kırmızı,1beyaz) C(6,1).C(4,1) C(10,2) 0,533 31
32 Örnek 1: İçinde 10 sağlam ve 4 arızalı mal bulunan bir topluluktan 5 mal alınmıştır. Bunlardan üçünün sağlam çıkma olasılığı nedir? (0,35) Örnek 2: 4 sınıfta 30 erkek 20 kız öğrenci vardır. Bunların arasından 9 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır. a) Komisyonda 2 kız olma olasılığı (0,154) b) En az bir kız olma olasılığı nedir? (0,99) 32
33 Örnek : İş için başvuran her 10 adaydan 6 sının üniversite mezunu olduğu bilinmektedir. Rassal olarak seçilen 4 aday arasından a. Üçünün b. En çok üçünün üniversite mezunu olma olasılığını bulunuz. a. b. P(X 3) = 1-0,071= 0,92 33
34 34
35 denemeden 35
36 36
37 Binom dağılımı ihtimal dağılımları içinde en yaygın olarak kullanılan süreksiz olasılık dağılımlardan biridir. Deneylerin tekrarlandığı durumlarda ve bir örnek grubundan iadeli olarak seçim yapılması halinde uygulanır. Örneğin (n) adetlik bir grup içinden bozuk bir parça seçme olasılığı, 1 Sağlam çekme olasılığı da olsun. Herhangi bir sıraya göre x adet bozuk parça seçme olasılığı binom dağılımını temsil eden b( n, x, n ( ).p x x nx ) C( n, x). (1 ) yada x x q n formülü kullanılır. f (x) p: elverişli hal (başarı olasılığı) x: 0,1,2...n q: elverişsiz hal (başarısızlık olasılığı) x: elverişli hal sayısı n: mümkün hal sayısı n x: elverişsiz hal sayısı p=1-q. 37
38 Binom dağılımının uygulanması bazı şartlara bağlıdır: 1. Olayda bir tek karakterin olumlu ve olumsuz durumu söz konusu olmalıdır. Örneğin, bir mamül hatalıdır veya hatasızdır gibi. 2. Olayda deneme n defa, sonlu sayıda tekrarlanmalıdır. 3. Denemeler (tekrarlar) birbirinden bağımsız olmalıdır (iadeli seçim gibi). 4. Denemelerden sonra olasılık (p) ve ters olasılık (q) değişmemelidir. 5. Binom dağılımında olasılık genellikle 0.05 veya daha büyük olacaktır. P 0.05 Bernoulli dağılımı bir rassal deney yapıldığında yalnızca iyi, kötü, olumluolumsuz, başarılı-başarısız gibi sadece iki sonuç elde edildiğinde kullanılır. Eğer deney bir defa değil, n defa peş peşe birbirinden bağımsız olmak üzere tekrarlandığında yine olumlu veya başarılı sonuçla ilgileniyorsa, Bernoulli dağılımının özel bir genel hali ortaya çıkar ve bu dağılıma Binom dağılımı denir ve kullanım alanı oldukça geniştir. 38
39 Örnek : Bir basketbol oyuncusunun, topu basket yapmasının ortalaması 0,25 tir. Her atışın bir diğerinden bağımsız olduğu varsayımı altında, yapılan bir maçta bu oyuncu dört defa atış yaparsa, a. Bir tanesinde başarılı olma b. En az bir tanesinde başarılı olma olasılıklarını bulunuz. Çözüm : X, topun potaya girme olayını göstersin. P = ¼ ve n = 4 olduğuna göre a. b. 39
40 Örnek : Yazı gelmesi olasılığı 0.48 olan para 6 kere atılıyor. a. 4 yazı gelmesi b. 1 tura gelmesi c. Yazı gelmemesi olasılıklarını hesaplayınız. a) n = 6 p = 0.48 q = 1-p = = 0.52 p(x = 4) = c(6, 4) (0.48) 4 (0.52) 6-4 p(x 4) 6! 4!(6 - x0.48 4)! 4 x(0.52)
41 b) 2 farklı hesaplama yapılabilir. 1 tura gelmesi için 5 yazı gelmelidir. p(x = 5) = c(6, 5) (0.48) 5 (0.52) 1 = yada p(x = 1) = c(6, 1) (0.52) 1 (0.48) 5 = c) p(x = 0) = c(6, 0) (0.48) 0 (0.52) 6 =
42 Örnek: Bir üretim prosesi sonucunda yapılan kontrollerde ürünlerin %5 inin hatalı olduğunu kabul ettiğimizde bu partiden alınan 10 birimlik tesadüfi örnekte, a) Hiç hatalı ürün olmaması b) Bir hatalı ürün olması c) İki hatalı ürün olması d) En fazla iki hatalı ürün olma olasılığını hesaplayınız. (n=10, p=0.05, q=0.95) a) f(0) = C(10,0).(0,05) 0.(0,95) 10-0 = 10!.1.(0,95) 10 0, !.10! b) f(1) = C(10,1).(0,05) 1.(0,95) 10-1 = 0,3151 c) f(2) = C(10,2).(0,05) 2.(0,95) 10-2 = 0,0746 d) P(x 2)=f(0) + f(1) + f(2) = 0,
43 Örnek : Bir işletmenin ürettiği ampullerden %6 sının kusurlu olduğu bilinmektedir. Buna göre rassal olarak seçilen 5 ampulden a) 2 tanesinin kusurlu b) Tamamının kusursuz c) En az iki tanesinin kusurlu olması olasılıklarını hesaplayınız. (n=5, p=0.06, q=0.94) a) b) c) P(2) = C(5,2).(0,06) 2.(0,94) 5-2 = 0, P(0) = C(5,0).(0,06) 0.(0,94) 5 = 0, P(x 2) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) P(x 2) = 0, , , , = 0,
44 Poission Dağılımı En çok kullanılan dağılımlardan birisidir. Küçük olasılıklar dağılımı da denir. Belli ve çok dar bir zaman aralığında az rastlanan olaylar bu tür dağılım gösterirler. Çok fazla incelenecek numune varsa uygulanır. Poission dağılımı binom dağılımının özel bir halidir. b(x,n,) ifadesinde 0 veya n olması durumunda poission dağılımı ifadesi kullanılır. P( x, ) n. p n. x x! e 44
45 Örnek: Bir atölyede imal edilen civataların %3 ü kusurlu çıkmaktadır. Civatalar lik partiler halinde teslim edilmekte ve alıcı firma her bir partiden tesadüfi olarak seçtiği 100 civatayı kontrol ederek parti hakkında karar vermektedir. 3 kusurlu civata bulunma olasılığını hesaplayınız. p = 0,03 λ = n. P = ,03 = 3 n = 100 P(3) P( x, ) 3 3 3! e 3 x! 27 6 x x e e Hiç kusur bulunmama olasılığı; P(0) 0 3 e 0!
46 Örnek: Bir imalat prosesinde hatalı miktarı %0,01 ve çekilen örnek hacmi n=100 ise bu numune hacminde 0 hata olması durumunda partinin kabul edilme olasılığı nedir? P( x, ) n. p n. x x! n.p P(0) e 100. (0,01) 0! 0 0, e 0,01 0,01 0,99 46
47 Örnek: Bir milimetre sıvıdaki bakteri sayısının ortalama olarak 4 olduğu bilinmektedir. Bakterilerin sayısının Poisson dağılımı gösterdiği kabul edilerek 1 milimetrede, a. Hiç bakteri olmaması b. 4 bakteri olması c. 3 den az bakteri olması olasılıklarını bulunuz. 47
48 Ödev 1: Bir tezgahta üretilen parçaların %1 i hatalı olduğuna göre partiden çekilen 200 adetlik örnek grubunda a) Hiç hatalı ürün olmaması (0,135) b) Bir hata olması (0,27) c) En fazla bir hatalı ürün olması (0,4) d) En fazla iki hatalı ürün olması (0,67) e) En fazla üç hatalı ürün olması durumunda partinin kabul görme olasılığını hesaplayınız. (0,85) Ödev 2: Bir avcının atışlarda hedefe isabet kaydetmesi olasılığı %1/5 tir. Bu avcının yaptığı 9 atışta a) 3 defa b) En az 2 defa isabet kaydetmesi olasılığı nedir? Hesaplayınız. 48
49 Ödev 3: İÇİNDE 10 SAĞLAM VE 4 ARIZALI MAL BULUNAN BİR TOPLULUKTAN 5 MAL ALINMIŞTIR. BUNLARDAN ÜÇÜNÜN SAĞLAM ÇIKMA OLASILIĞI NEDİR? (0.3596) Ödev 4: BİR FABRİKADA ÜRETİM YAPAN MAKİNALARDAN BİRİNİN ÜRETTİĞİ ÜRÜNLERİN 0,09 U KUSURLU OLARAK ÜRETİLMİŞ BULUNMAKTADIR. BU ÜRÜNLERDEN 4 ADEDİ RASTGELE SEÇİLMİŞTİR. HİÇ ÖZÜRLÜ ÜRÜN SEÇİLMEMİŞ OLMA OLASILIĞI NEDİR? (0.6857) Ödev 5: BİR FABRİKADA ÜRETİLEN ÜRÜNLER 0,001 OLASLIKLA BOZUKTUR. RASTGELE ÖRNEKLEME İLE 2000 ADET ALINMIŞTIR. 4 ADET ÜRÜNÜN BOZUK OLMA OLASILIĞI NEDİR? (0.09) 49
Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.
DetaylıKesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin
Detaylıİstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik
6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında
DetaylıRASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi
DetaylıKESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı
KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli
DetaylıFaktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,
14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.
DetaylıOlasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıOlasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir.
5.SUNUM Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Günlük hayatta sıklıkla kullanılmakta olan olasılık bir olayın ortaya
DetaylıKESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM
KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda
DetaylıDr. Mehmet AKSARAYLI
Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli
Detaylıkümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1
3. Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları 3.3. Sayma Teknikleri Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın
DetaylıOLASILIĞA GİRİŞ P( )= =
OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması olasılığı %85 dir. Olasılık modelleri; Sıvı içindeki moleküllerin davranışlarını
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıÖrnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.
OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok
Detaylıİstatistik 1. Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları. Ankara Üniversitesi SBF, GYY
İstatistik 1 Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları Bu Bölümde İşlenecek Konular Temel Olasılık Teorisi Örnek uzayı ve olaylar, basit olasılık, birleşik olasılık Koşullu Olasılık İstatistiksel
DetaylıOlasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması
DetaylıYrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 GİRİŞ Olasılık Teorisi: Matematiğin belirsizlik taşıyan
DetaylıTesadüfi Değişken. w ( )
1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık
Detaylı0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart
DetaylıAnkara Üniversitesi, SBF İstatistik 2 Ders Notları Prof. Dr. Onur Özsoy 1
1 Rastgele bir denemede ortaya çıkması olası sonuçların tamamıdır Örnek: bir zar bir kez yuvarlandığında S= Yukarıdaki sonuçlardan biri elde edilecektir. Sonuçların her biri basit olaydır Örnek: Bir deste
DetaylıBİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTTİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. slı SUNER KRKÜLH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim D. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 OLSILIK Olasılık; Tablo
Detaylıkişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150)
PERMÜTASYON KOMBİNASYON. A = {,,,,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? (). 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? (9). A { a, b, c, d, e, f, g, h}
DetaylıTablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01
Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin
DetaylıÖrnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2
Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S
DetaylıİSTATİSTİK DERS NOTLARI
Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü umutokkan@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN Hidrolik Anabilim Dalı Balıkesir Üniversitesi Balıkesir Üniversitesi İnşaat
DetaylıRassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK
Rassal Değişken Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr S örnek uzayı içindeki her bir basit olayı yalnız bir gerçel (reel) değere dönüştüren fonksiyona rassal değişken adı verilir. O halde
DetaylıRastlantı Değişkenleri
Rastlantı Değişkenleri Olasılık Kütle Fonk. Example: A shipment of 8 similar microcomputers to a retail outlet contains 3 that are defective. If a school makes a random purchase of 2 of these computers,
DetaylıBaşarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir.
3.5. Bazı Kesikli Dağılımlar 3.5.1. Bernoulli Dağılımı Bir deneyde başarı ve başarısızlık diye nitelendirilen iki sonuçla ilgilenildiğinde bu deneye (iki sonuçlu) Bernoulli deneyi ya da Bernoulli denemesi
DetaylıDers 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar
Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar
Detaylı3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları
Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı
DetaylıDers 6: Kesikli Olasılık Dağılımları
Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı
DetaylıDers 5: Kesikli Olasılık Dağılımları
Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı
DetaylıDers 5: Kesikli Olasılık Dağılımları
Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı
DetaylıBİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,
BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar
DetaylıProf.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ RANDOM DEĞİŞKEN
SÜREKSİZ (DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI 1 RANDOM DEĞİŞKEN Nümerik olarak ifade edilebilen bir deneyin sonuçlarına rassal (random) değişken denir. Temelde iki çeşit random değişken vardır. ##süreksiz(discrete)
DetaylıDr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK. Ders 3 / 1
Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK Ders 3 / 1 1 0 Kesin İmkansız OLASILIK; Bir olayın gerçekleşme şansının sayısal değeridir. N adet denemede s adet başarı söz konusu ise, da başarının nisbi frekansı lim (s/n)
DetaylıOlasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları
KAVRAMLAR Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir. Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası
DetaylıŞartlı Olasılık. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK
Şartlı Olasılık Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr Şartlı Olasılık ir olayın olasılığından söz edebilmek için bir alt kümeyle temsil edilen bu olayın içinde bulunduğu örnek uzayının
DetaylıOlasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Olasılık Kavramı Mühendislikte İstatistik Metotlar Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği ölümü OLSILIK KVRMI KÜME KVRMI irlikte ele alınan belirli nesneler topluluğuna küme, Kümede içerilen nesnelere
DetaylıPERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:
SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik... 8... Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6 RASTGELE
DetaylıOlasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler.
Bölüm 2 OLASILIK TEORİSİ Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Rasgele değişken, gelecekteki bir gözlemde alacağı
Detaylı3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI
ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6
DetaylıOlasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları
Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı
DetaylıYENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK
YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel
DetaylıSÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI
SÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç.Dr. İrfan Yolcubal Kocaeli Üni. Jeoloji Müh. Random Değişken: Nümerik olarak ifade edilen bir deneyin sonuçları Süreksiz(Discrete) Random Değişken: Randomdeğişken
DetaylıMAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1
MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1 şeklinde tanımlanan dağılımın a) Ortalama ve varyans değerlerini bulunuz b) Moment yaratma fonksiyonunu bularak a-şıkkını tekrar çözünüz. Bir tezgahta üretilen
DetaylıEME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler
EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
Detaylı( B) ( ) PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK
PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK.... n = n! olmak üzere, ( n + )! = 0 n! + n! ise, n kaçtır? (A) ( ) A)0 B) C) D) E). ( n +,) = 6 C olduğuna göre, n kaçtır? (B) A) B)6 C) D)8 E)9. ( n, ). C( n,)
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı
DetaylıOLASILIK OLASILIK. Bireysel belirsizlik ve uzun dönemdeki düzenlilik deneysel bilimlerde de sık sık ortaya çıkar
OLASILIK OLASILIK İstatistiğin temel araçlarından biri olasılıktır 17. yy daşans oyunları ile başlamıştır Her bir denemenin çıktısı belirsizdir Fakat uzun dönemde çıktı kestirimlenebilir Bireysel belirsizlik
DetaylıBAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş
BAYES KURAMI Dr. Cahit Karakuş Deney, Olay, Sonuç Küme Klasik olasılık Bayes teoremi Permütasyon, Kombinasyon Rasgele Değişken; Sürekli olasılık dağılımı Kesikli - Süreksiz olasılık dağılımı Stokastik
DetaylıToplam Olasılık Prensibi
1 Toplam Olasılık Prensibi A 1, A 2,, A n karşılıklı kapsamayan ve birlikte tamamlayan olaylar kümesi olsun: A k A A j 0 = 0 k j j nn j j 1 = 1 B, S içinde herhangi bir olay ise k j AA j = ise S ise Pr[A
DetaylıRastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler
Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde
DetaylıTEMEL SAYMA KURALLARI
TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin
Detaylırasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının
DetaylıCEVAPLAR. n = n 1 + n 2 + n 3 + n 4 + n 5 + n 6 + n 7 = = 11 dir.
T C S D Ü M Ü H E N D İ S L İ K F A K Ü L T E S İ - M A K İ N A M Ü H E N D İ S L İ Ğ İ B Ö L Ü M Ü MAK-307 OTM317 Müh. İstatistik İstatistiği ÖĞRENCİNİN: ADI - SOYADI ÖĞRETİMİ NOSU İMZASI 1.Ö 2.Ö A B
Detaylıİçindekiler. Ön Söz... xiii
İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1
DetaylıÇözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür.
1 Olasılık Örnekler 1. Bir çantada 4 beyaz 8 siyah top vardır. Bir siyah top çekilmesi olasılığı nedir? Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 2.
DetaylıRastgele değişken nedir?
Rastgele değişken nedir? Şİmdiye kadar hep, kümelerden ve bu kümelerin alt kümelerinden (yani olaylar)dan bahsettik Bu kümelerin elemanları sayısal olmak zorunda değildi. Örneğin, yazı tura, kız erkek
DetaylıBİYOİSTATİSTİK OLASILIK
BİYOİSTATİSTİK OLASILIK B Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT *Küme Kavramı: Küme, tek bir isim altında toplanabilen ve benzer özellik gösteren birimlerin meydana getirdiği topluluk olarak tanımlanabilir. Küme içinde
DetaylıÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni
DetaylıTanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.
BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan
DetaylıÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları
ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları. 9 + = 6. A dan B ye 5 farklı şekilde gidebilir. B den C ye 3 farklı şekilde gidebilir. 5.3 = 5. 4.5 = 0 7. 5.3.3.5 5 3. kişi için iki durum
DetaylıOLASILIK (Probability)
OLASILIK (Probability) Olasılık, bir olayın meydana gelme, ortaya çıkma şansını ifade eder ve P ile gösterilir. E i ile gösterilen bir basit olayın olasılığı P (E i ), A bileşik olayının olasılığıysa P
DetaylıALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR
ALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR 1- İlaçla tedavi edilen 7 hastanın ortalama iyileşme süresi 22.6 gün ve standart sapması.360 gündür. Ameliyatla tedavi edilen 9 hasta için
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk
DetaylıOLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık
1-1 Click To Edit Master Title Style OLASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık Yrd.Doç.Dr Doç.Dr.. Pınar YILDIRIM Okan Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü 1-2 GİRİŞ Olasılık,
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ ÖRNEK: GEOMETRİK DAĞILIM
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ KESİKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 GEOMETRİK DAĞILIM Bir Bernoulli deneyi ilk olumlu sonuç elde edilmesine kadar tekrarlansın. X: ilk olumlu sonucun
DetaylıSÜREKLİ OLASILIK DAĞILIMI
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIMI Normal Olasılık Dağılımı Akülerin dayanma süresi, araçların belli bir zamanda aldığı yol, bir koşuya katılanların bitirme süresi gibi sayılamayacak kadar çok değer alabilen sürekli
DetaylıALIŞTIRMALAR. Sayısal Bilginin Özetlenmesi:
İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR Y.Doç.Dr. Hüseyin Taştan AÇIKLAMA: N: P. Newbold, İşletme ve İktisat için İstatistik, 4. basımdan çeviri. Çift sayılı alıştırmalar için kitabın arkasındaki çözümlere bakabilirsiniz.
DetaylıŞartlı Olasılık. Pr[A A ] Pr A A Pr[A ] Bir olayın (A 1 ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa;
Şartlı Olasılık Bir olayın (A ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa; Pr[A A 2 Pr A A Pr A A = Pr[A A 2 2 2 Pr[A Pr[A 2 2 A A 2 S Pr[A A 2 A 2 verildiğinde (gerçekleştiğinde)
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar
DetaylıSÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım
SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin
DetaylıMIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Detaylı2- VERİLERİN TOPLANMASI
2- VERİLERİN TOPLANMASI Bu bölümde yararlanılan kaynaklar: İşletme İstatistiğine Giriş (Prof. Dr. İsmail Hakkı Armutlulu) ve İşletme İstatistiğinin Temelleri (Bowerman, O Connell, Murphree, Orris Editör:
DetaylıKüme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur
Kümeler Kümeler ve küme işlemleri olasılığın temellerini oluşturmak için çok önemlidir Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Sonlu sayıda, sonsuz sayıda, kesikli
Detaylı1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25
1 İçindekiler 1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON)... 5 2. Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON)...13 3. Bölüm: BİNOM AÇILIMI...21 4. Bölüm: OLASILIK...25 5. Bölüm: FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ...37
DetaylıBölüm 13. ÖZEL OLASILIK DAĞILIMLARI
SAKARYA UNIVERSITESI Bölüm 13. ÖZEL OLASILIK DAĞILIMLARI Prof. Dr. Mustafa AKAL 1 İÇİNDEKİLER 1. BERNOULLİ DAĞILIMI 2. BİNOM DAĞILIMI 3. POİSSON DAĞILIMI 4. PASCAL DAĞILIMI 5. GEOMETRİK DAĞILIM 6. HİPERGEOMETRİK
DetaylıÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT Permütasyon. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar. 2. Kazanım : n elemanlı
DetaylıÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları
ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları. 9 + = 6. A dan B ye 5 farklı şekilde gidebilir. B den C ye 3 farklı şekilde gidebilir. 5.3 = 5. 4.5 = 0 7. 5.3.3.5 = 5 3. kişi için iki durum
Detaylıa. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların
Örnek Problem - Sinemada, yan yana koltukta oturan arkadaş, ara verildiğinde kalkıyorlar. Dönüşte, aynı koltuğa rastgele oturduklarına göre; hiçbirinin ilk yerine oturmaması olasılığı Örnek Problem - 4
DetaylıTemel Olasılık {\} /\ Suhap SAHIN
Temel Olasılık 0 {\} /\ Suhap SAHIN Olasılık P(E) : E nin olma olasılıgı n: Deneme sayısı n(e): Denemelerden kaçı E ile sonuçlandı Deneme sayısı sonsuza( ) yaklasırsa P(E) = limn n(e) n Örnek Uzay S: Bir
Detaylı1.58 arasındaki her bir değeri alabileceği için sürekli bir
7.SUNUM Hatırlanacağı gibi, kesikli rassal değişkenler sonlu (örneğin; 0, 1, 2,...,10) veya sayılabilir sonsuzlukta (örneğin; 0, 1, 2,...) değerler alabilmektedir. Fakat birçok uygulamada, rassal değişkenin
DetaylıOLASILIK (İHTİMAL) TEORİSİ. DENEY (experiment),sonuç (outcome), OLAY (event) DENEY:Bir aktivitenin gözlemlenmesi ve ölçüm yapma şekilleridir.
OLASILIK (İHTİMAL) TEORİSİ 1 DENEY (experiment),sonuç (outcome), OLAY (event) DENEY:Bir aktivitenin gözlemlenmesi ve ölçüm yapma şekilleridir. SONUÇ:Deneylerin tamamlanması ile elde edilen verilerdir.
DetaylıNot: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı
LYS Matematik Olasılık Tanım: Bir deneyde çıkabilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın herhangi bir elemanına da örnek nokta denir. Örnek: Bir zarın atılması deneyinde
Detaylı13. Olasılık Dağılımlar
13. Olasılık Dağılımlar Mühendislik alanında karşılaşılan fiziksel yada fiziksel olmayan rasgele değişken büyüklüklerin olasılık dağılımları için model alınabilecek çok sayıda sürekli ve kesikli fonksiyon
Detaylı( ) (, ) Kombinasyon. Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir.
Kombinasyon Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir. n elemanın tüm r li kombinasyonlarının sayısı; (, ) C n r ( ) r n P n, r n!
DetaylıİSTATİSTİK. Hafta 7.2 Kesikli Olasılık Dağılımları Poisson Dağılımı. Yrd. Doç. Dr. H. İbrahim CEBECİ
İSTATİSTİK Hafta 7.2 Kesikli Olasılık Dağılımları Simeon Poisson a atfen isimlendirilen dağılım, bir örnek uzayın belli bir bölgesi veya zamanındaki olayların sayısının incelendiği kesikli bir olasılık
Detaylı10SINIF MATEMATİK. Sayma ve Olasılık Fonksiyonlar
0SINIF MATEMATİK Sayma ve Olasılık Fonksiyonlar YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim
DetaylıÜNİTE. İSTATİSTİĞE GİRİŞ Prof.Dr.Erkan Oktay İÇİNDEKİLER HEDEFLER İHTİMAL TEORİSİ
HEDEFLER İÇİNDEKİLER İHTİMAL TEORİSİ Temel Kavramlar Toplama Kuralı Çarpma Kuralı İhtimal Dağılım Tablosu Beklenen Değer İSTATİSTİĞE GİRİŞ Prof.Dr.Erkan Oktay Bu üniteyi çalıştıktan sonra; İhtimal (olasılık)
DetaylıOlasılık: Klasik Yaklaşım
Olasılık Teorisi Olasılık: Klasik Yaklaşım Olasılık Bir olayın meydana gelme şansına olasılık denir. Örnek Türkiye nin kazanma olasılığı Hava durumu Loto Olayların Olasılığını Belirleme Rastsal (gelişigüzel)
DetaylıCebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006
MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı
DetaylıSÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.
DetaylıDeney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları
Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları Binom dağılım fonksiyonu: Süreksiz olaylarda, sonuçların az sayıda seçenekten oluştuğu durumlarda kullanılır. Bir para atıldığında yazı veya tura gelme olasılığı
DetaylıPERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma
TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşimlerinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir. Bu sayma yöntemine toplama yoluyla
Detaylı