CO RAF B LG S STEMLER Ç N TEMEL STAT ST K

Transkript

1 T.C. ANADOLU ÜN VERS TES YAYINI NO: 36 AÇIKÖ RET M FAKÜLTES YAYINI NO: 133 CO RAF B LG S STEMLER Ç N TEMEL STAT ST K Yazar Prof.Dr. Adnan KONUK (Üniteler 1-8) Editör Yrd.Doç.Dr. Hakan UYGUÇG L ANADOLU ÜN VERS TES

2 Bu kitab n bas m, yay m ve sat fl haklar Anadolu Üniversitesine aittir. Uzaktan Ö retim tekni ine uygun olarak haz rlanan bu kitab n bütün haklar sakl d r. lgili kurulufltan izin almadan kitab n tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kay t veya baflka flekillerde ço alt lamaz, bas lamaz ve da t lamaz. Copyright 011 by Anadolu University All rights reserved No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic, tape or otherwise, without permission in writing from the University. UZAKTAN Ö RET M TASARIM B R M Genel Koordinatör Prof.Dr. Levend K l ç Genel Koordinatör Yard mc s Doç.Dr. Müjgan Bozkaya Ö retim Tasar mc s Arfl.Gör.Dr. Mestan Küçük Grafik Tasar m Yönetmenleri Prof. Tevfik Fikret Uçar Ö r.gör. Cemalettin Y ld z Ö r.gör. Nilgün Salur Ölçme De erlendirme Sorumlusu Ö r.gör. H. Reha Akgün Grafikerler Ayflegül Dibek, Ufuk Önce, Hazal Y ld r m, Adnan Çamur Kitap Koordinasyon Birimi Yrd.Doç.Dr. Feyyaz Bodur Uzm. Nermin Özgür Kapak Düzeni Prof. Tevfik Fikret Uçar Dizgi Aç kö retim Fakültesi Dizgi Ekibi Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik ISBN Bask Bu kitap ANADOLU ÜN VERS TES Web-Ofset Tesislerinde 50 adet bas lm flt r. ESK fieh R, Eylül 011

3 çindekiler iii çindekiler Önsöz... vii Temel statistik Kavramlar... ÖRNEKLEME KAVRAMLARI... 3 statistiksel Kütle Türleri... 3 Ana Kütle ve Örnek Kütle... 4 Örnekleme Yöntemleri... 4 Rassal Olmayan Örnekleme... 5 Rassal Örnekleme... 5 VER LER N TOPLANMASI VE SER LER HAL NDE DÜZENLENMES... 8 Zaman ve Mekan Serileri... 8 Nitel (Kalitatif) Seriler Nicel Seriler VER LER N SUNULMASI Zaman Serilerinin Grafiksel Gösterimi (Kartezyen Grafik) Nitel Serilerin Grafiksel Gösterimi (Pasta Grafi i) Nicel Serilerin Grafiksel Gösterimi Özet Kendimizi S nayal m Kendimizi S nayal m Yan t Anahtar... 0 S ra Sizde Yan t Anahtar... 0 Yararlan lan Kaynaklar... 0 Merkezi E ilim ve Da l m Ölçüleri... MERKEZ E L M ÖLÇÜLER... 3 Aritmetik Ortalama... 3 A rl kl Ortalama... 8 Geometrik Ortalama... 9 Harmonik Ortalama Kareli Ortalama... 3 Medyan Mod DA ILIM ÖLÇÜLER De iflkenlik Aral Varyans ve Standart Sapma De iflkenlik Katsay s Özet Kendimizi S nayal m... 4 Kendimizi S nayal m Yan t Anahtar S ra Sizde Yan t Anahtar Yararlan lan Kaynaklar Olas l k Da l m Modelleri OLASILIK DA ILIMLARINA GENEL BAKIfi BAZI KES KL OLASILIK DA ILIM MODELLER Binom Da l m ÜN TE. ÜN TE 3. ÜN TE

4 iv çindekiler Poisson Da l m BAZI SÜREKL OLASILIK DA ILIM MODELLER... 5 Normal Da l m... 5 Standart Normal Da l m Çarp kl k ve Bas kl k Katsay s Normal Olas l k E risinin Alt nda Kalan Alanlar n Hesaplanmas Lognormal Da l m Özet Kendimizi S nayal m Kendimizi S nayal m Yan t Anahtar S ra Sizde Yan t Anahtar Yararlan lan Kaynaklar ÜN TE 5. ÜN TE Güven Aral Tahminleri STAT ST KTE TAHM NLEME Nokta Tahmini Güven Aral ve S n rlar ANA KÜTLE ORTALAMASI Ç N GÜVEN ARALI I Ortalaman n Standart Hatas... 7 Büyük Örneklemelerde Ana Kütle Ortalamas n n Güven Aral... 7 Küçük Örneklemelerde Ana Kütle Ortalamas n n Güven Aral ANA KÜTLE ORANI Ç N GÜVEN ARALI I Oran Ortalamas n n Standart Hatas Büyük Örneklemelerde Ana Kütle Oran Ortalamas n n Güven Aral Küçük Örneklemelerde Ana Kütle Oran Ortalamas n n Güven Aral K ANA KÜTLE ORTALAMASI ARASINDAK FARKIN GÜVEN ARALI I ki Ana Kütle Ortalamas Aras Fark n Standart Hatas Büyük Örneklemelerde ki Ana Kütle Ortalamas Aras ndaki Fark n Güven Aral Küçük Örneklemelerde ki Ana Kütle Ortalamas Aras ndaki Fark n Güven Aral K ANA KÜTLE ORANI ARASINDAK FARKIN GÜVEN ARALI I ki Ana Kütle Oranlar Aras ndaki Farklar n Standart Hatas Büyük Örneklemelerde ki Ana Kütle Oran Aras ndaki Fark n Güven Aral... 8 Küçük Örneklemelerde ki Ana Kütle Oran Farklar n n Güven Aral... 8 VARYANS Ç N GÜVEN ARALI I Özet Kendimizi S nayal m Kendimizi S nayal m Yan t Anahtar S ra Sizde Yan t Anahtar Yararlan lan Kaynaklar statistiksel Karar Vermede Hipotez Testleri H POTEZ N KURULMASI VE TEST Hipotezlerin Kurulmas... 9 Red Bölgesinin Tan mlanmas... 9 Test statisti ini Hesaplanmas ve Karar Verme ANA KÜTLE ORTALAMASINA L fik N TESTLER... 94

5 çindekiler v Büyük Örneklemelerde Ortalamalar n Testi Küçük Örneklemelerde Ortalamalar n Testi ANA KÜTLE ORANINA L fik N TESTLER Büyük Örneklemelerde Oranlar n Testi Küçük Örneklemelerde Oranlar n Testi ANA KÜTLE ORTALAMALARI ARASINDAK FARKLARIN TEST Büyük Örneklemelerde Ana Kütle Ortalamalar Aras ndaki Farklar n Testi Küçük Örneklemelerde Ortalamalar Aras ndaki Farklar n Testi VARYANSLARIN TEST Özet Kendimizi S nayal m Kendimizi S nayal m Yan t Anahtar S ra Sizde Yan t Anahtar Yararlan lan Kaynaklar Regresyon ve Korelasyon DE fikenler ARASI L fik LER Belirleyici ve Deneysel liflkiler Ba ml ve Ba ms z De iflkenler De iflkenler Aras liflkinin Yönü ve Derecesi BAS T DO RUSAL REGRESYON VE KORELASYON Serpilme Diyagram En Küçük Kareler Yöntemi Standart Hata ve Tahminlerin Güven Aral Korelasyon Katsay s Korelasyon Katsay s n n Test Edilmesi E R SEL (ÜSTEL) REGRESYON VE BEL RL L K KATSAYISI Üstel Regresyon Belirlilik Katsay s ve Standart hata Özet Kendimizi S nayal m Kendimizi S nayal m Yan t Anahtar S ra Sizde Yan t Anahtar Yararlan lan Kaynaklar Jeoistatistiksel Kavramlar BÖLGESELLEfiM fi DE fikenler Yersellik (Lokalizasyon) Devaml l k Yönsel De iflim (Anizotropi) Geçifller VAR OGRAM VE SEM -VAR OGRAM Deneysel Semi-Variogram Parametreleri Külçe Varyans (C0) Eflik De er (C0+C) Külçe Etki Oran (e) Etki Mesafesi (a) Yönsel Etki Mesafesi Oran (Anisotropi Oran ) ÜN TE 7. ÜN TE

6 vi çindekiler Semi-Variogram n Yönsel De iflimi (Anizotropi) Semi-Variogram Fonksiyonunun Orijine Yak n Davran fl KURAMSAL SEM -VAR OGRAM MODELLER Küresel (Spherical) Model Üstel (Eksponansiyel) Model Do rusal Model Özet Kendimizi S nayal m Kendimizi S nayal m Yan t Anahtar S ra Sizde Yan t Anahtar Yararlan lan Kaynaklar ÜN TE Konumsal Tahmin ( nterpolasyon) ve Kriging UZAKLI A BA LI TAHM N YÖNTEMLER KLAS K KONUMSAL TAHM N YÖNTEMLER En Yak n Komflu Yöntemi Yüzey Trend Analizi Uzakl n Tersi le A rl kland rma Yöntemi KR G NG TAHM N YÖNTEM Nokta Kriging Özet Kendimizi S nayal m Kendimizi S nayal m Yan t Anahtar S ra Sizde Yan t Anahtar Yararlan lan Kaynaklar Ki Kare Tablosu T Tablosu Z Tablosu... 19

7 Önsöz vii Önsöz Günümüzde sosyal, ekonomik, tar msal, çevresel vb. sorunlara yönelik konumsal verilerin toplanmas, saklanmas ve sunulmas ifllevlerini gerçeklefltiren Co rafi Bilgi Sistemleri nin kullan m gün geçtikçe yayg nlaflmaktad r. Co rafi Bilgi Sistemleri (CBS) ile konumsal gözlem veya araflt rma yapan personelin ise toplanan büyük hacimli verileri istatistik yöntemlerle de erlendirerek yorumlanmas ve karar verme çal flmalar nda istatistik bilgisine sahip olmas gerekmektedir. Co rafi Bilgi Sistemlerinin üretti i bilgileri kullanan yöneticilerin de, gözlemlenen veya araflt r lan konumsal verilerden sonuç elde ederek süreçleri gelifltirebilmeleri, tahmin yapabilmeleri ve karar verebilmeleri için istatistik yöntemleri ve modelleri kullanabilmeleri gerekmektedir. Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik ad alt nda haz rlanm fl olan bu kitapla, Co rafi Bilgi Sistemlerini kullanan personel ve karar verici konumundaki yöneticilere temel düzeyde ilgili istatistiksel problemleri çözebilecek istatistik bilgisini kazand rmak amaçlanm flt r. Kitap, yayg n olarak kullan lan temel konular n örnek uygulamalarla ele al nd sekiz üniteden oluflmaktad r. Kitapta birinci ünitede verilen temel istatistik kavramlar n ard ndan, ikinci ünitede merkezi e ilim ve da l m ölçüleri, üçüncü ünitede baz kesikli ve sürekli olas l k da l m modelleri, dördüncü ünitede güven aral tahmin yöntemleri, beflinci ünitede istatistiksel karar vermede kullan lan hipotez testi yöntemleri, alt nc ünitede regresyon ve korelasyon analizleri, yedinci ünitede jeoistatistiksel kavramlar ve sekizinci ünitede konumsal tahminde kullan lan klasik istatistik ve jeoistatistik yöntemler ele al nm flt r. Her ünitede konularla ilgili örneklere yer verilmifl, s ra sizde sorular ile ö renilen konular n pekifltirilmesi ve kendimizi s nayal m bafll alt nda verilen soru ve yan tlarla kendinizi s naman z hedeflenmifltir. Temel istatistik bilgilerini kavrad kça ve uygulamalarda kulland kça, toplad - n z verileri daha iyi derledi inizi, yorumlad n z ve veriler yard m yla tahminler yap p karar verebildi inizi göreceksiniz. Kitab n, Co rafi Bilgi Sistemleri konusunda çal flan ö renci, araflt rmac ve yöneticilere yararl olmas dileklerimle Editör Yrd.Doç.Dr. Hakan UYGUÇG L

8 1CO RAF B LG S STEMLER Ç N TEMEL STAT ST K Amaçlar m z Bu üniteyi tamamlad ktan sonra; Örnekleme kavramlar n ö renerek örnekleme yöntemi seçimini yapabilecek, statistiksel verilerin toplanmas ve düzenlenmesi çal flmalar n temel anlamda gerçeklefltirebilecek, statistiksel verileri sunabilecek bilgi ve becerilere sahip olacaks n z. Anahtar Kavramlar Ana kütle Örnek kütle Örnekleme statistik Seriler statistik Grafikler Rassal Örnekleme Küme Örnekleme Tabakal Örnekleme Dilim Örnekleme Kota Örneklemesi çindekiler Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Temel statistik Kavramlar ÖRNEKLEME KAVRAMLARI VER LER N TOPLANMASI VE SER LER HAL NDE DÜZENLENMES VER LER N SUNULMASI

9 Temel statistik Kavramlar ÖRNEKLEME KAVRAMLARI statistiksel araflt rmalarda genellikle belirli bir ana kütle de iflken ve parametreleri hakk nda bilgi üretilmeye çal fl l r. Ana kütle parametre ve de iflkenleri hakk nda tam ve do ru bilgi üretebilmek için tüm ana kütlenin ele al nmas gerekir. Ancak, tüm ana kütlenin ele al nmas süreci hem çok zaman al c hem de pahal oldu undan, genellikle ana kütleyi temsil edebilecek say da örnek alarak, bu örnek kütle yard m yla ana kütle parametreleri hakk nda bilgi üretilmeye çal fl r. Sorun, ana kütleyi temsil edecek düzeyde örnekleme yapmak ve örnek kütlenin boyutu hakk nda karar vermektir. statistiksel Kütle Türleri statistikse anlamda kütleler, oluflum flekline göre gerçek ya da varsay msal, sonlu ya da sonsuz ve sürekli ya da süreksiz olufluna göre s n fland r labilmektedir. Gerçek birimlerden oluflan kütleye gerçek kütle, gelecekte oluflturulabilecek birimlerden oluflan kütleye varsay msal kütle denir. Örne in, bir toplu konut projesinde inflaat tamamlanm fl konutlar gerçek kütleyi olufltururken, gelecek y llarda tamamlanacak konutlar varsay msal kütleyi oluflturur. Bir kütledeki birimler tam olarak say labiliyorsa bu tür kütlelere sonlu kütle, kütleyi oluflturan birimler say labiliyor olmakla birlikte tamam n sayabilmek mümkün de il ise bu tür kütlelere sonsuz kütle denilir. Örne in, Çanakkale Bo az n- DÜfiÜNEL M dan bir ayda geçen gemileri sayabilmek mümkün iken, bal klar sonlu say da saymak mümkün SORU de ildir. DÜfiÜNEL M SORU Baz kütleler sonlu olmakla birlikte, tam say m yap ld nda zarar görme D KKAT veya yok olmas sözkonusu olur. Bu gibi kütleleri de sonsuz kütle olarak kabul etmek gerekir. Örne in, D KKAT bir binan n beton sa laml n test etmek için tüm kolonlar örnekledi imizde, binan n göçmesi sözkonusudur. Bu durumda, bina kolonlar betonunu sonsuz kütle kabul etmek gerekir. AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ Do al birimlerden oluflan, parçaland klar ya da birlefltirildiklerinde niteliklerini kaybeden kütlelere süreksiz kütle; do al olmayan birimlerden oluflan, parçaland klar ve birlefltirildiklerinde niteliklerini kaybetmeyen kütlelere K Tise A sürekli P kütle K T A P denir. Örne in, cam bardak ve porselen tabak süreksiz kütleyi oluflturur. Bununla TELEV ZYON TELEV ZYON NTERNET NTERNET

10 4 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik birlikte, cam bardak yap m nda kullan lan silis kumu veya porselen tabak yap m nda kullan lan kil madeni sürekli kütleyi oluflturur. 1 Bir bölgede SIRA bulunan S ZDEa aç türleri üzerine araflt rma yap lmaktad r. A aç türleri kütlesi, sonlu kütle mi yoksa sonsuz kütle midir? DÜfiÜNEL M SORU D KKAT Ana Kütle DÜfiÜNEL M ve Örnek Kütle AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ K T A P Sonlu veya sonsuz say da birimden oluflan canl ya da cans z toplulu un tamam - na ana kütle S denir. ORU Ana kütlenin ne oldu u hakk nda karar verirken, ana kütleyi oluflturan birimlerin ayn nedenlerin etkisi alt nda kalmas na, ayn özelliklere sahip olmas na veya baz ortak özelliklerinin olmas na dikkat etmemiz gerekmektedir. D KKAT Ana kütle birim say s n n çok büyük olmad, mekansal olarak çok genifl bir alana yay lmad, araflt rma için ayr lan bütçenin ve sürenin k s tl olmad ve araflt rma s ras nda birimlerin zarar görme olas l n n olmad durumlarda ana kütle birimlerinin tamam hakk nda bilgi elde edilme yoluna gidilir. Böyle bir çal flmaya tam say m denilmektedir (Orhunbilge, 000). Örne in, bir s n ftaki ö rencilerin belirli bir dersteki not ortalamas n belirlemek için tüm ö rencilerin notlar ele al n r. Ancak, bir binan n beton kalitesini belirlemek için binaya zarar vermeden tüm kolonlar n n K T A P beton sa laml n test etmek mümkün de ildir. TELEV ZYON Türkiye de otoyol ar zalar n n trafik kazalar na etkilerinin araflt r ld bir çal flmada, tam say m yapmak mümkün müdür? Nedenlerini aç klay n z. TELEV ZYON DÜfiÜNEL M Ana kütlenin DÜfiÜNEL M sonsuz veya sonlu fakat çok say da birimden olufltu u, tam say m için bütçenin yetersiz ve fazla zaman n olmad veya birimlerin tamam n n say m NTERNET SORU s ras nda ana NTERNET SORU kütlenin zarar görme olas l oldu u durumlarda, ana kütleyi temsil edecek say da birim seçilerek araflt rmalar sürdürülür. Ana kütleyi temsil edecek say da birimden oluflan kütleye örnek kütle denilir. Örne in, bir akarsuyun kirlili- D KKAT D KKAT ini belirlemek için belirli zaman aral klar nda al nan su örnekleriyle, su kirlili i hakk nda fikir edinilebilir. Ana kütle SIRA birimleri S ZDE say s n n tamam na ana kütle hacmi veya boyutu denilmekte olup, N ile simgelenir. N birimlik ana kütleden elde edilen örnek kütlelerin birim say s na ise örnek hacmi veya örnek boyutu denilir ve n simgesi ile gösterilir. Örnek AMAÇLARIMIZ kütle, ana kütleden elde edilen bir alt kütle oldu una göre, n<n olur AMAÇLARIMIZ (Serper, 000). Örnekleme K T Aboyutunu, P statistiksel K T araflt rma A P çal flmalar nda, ana kütleden elde edilen örnek kütle ile örneklemeden beklenen hata ana kütle parametrelerini tahmin etmek mümkündür. Ancak, gerçe e yak n ve tam boyutuna ba l olarak belirleyebiliriz. Bu kitab n 4. say m de erlerine yak n sonuçlar elde edilebilmesi için örnek kütle birim say s n n ünitesinde, güven aral mümkün oldu unca büyük (çok say da) olmas gerekmektedir. Örnek boyutu (birim say s ) artt kça, örnek kütle parametreleriyle ana kütle parametrelerinin tahmi- TELEV ZYON tahminleri ele al n rken TELEV ZYON örnekleme boyutu hakk nda da bilgi sahibi olaca z. nindeki hata büyüklü ü de o derecede azal r. NTERNET Örnekleme NTERNET Yöntemleri Ana kütle birimlerinin belirli bir k sm n n gözlemlenmesi anlam na gelen örneklemenin do ru yap lmas, ana kütlenin do ru tan mlanmas na ve amaca uygun olarak seçilen örnekleme yöntemine ba l olarak de iflir. Ana kütleyi kapsayan birimlerin s n rland r lmas ifllemi çerçevenin belirlenmesi ile gerçeklefltirilir. Örne in, fosil yak tlar n çevre kirlili i üzerindeki etkilerini araflt ran bir araflt rma yap lacak-

11 1. Ünite - Temel statistik Kavramlar 5 sa, öncelikle sobalarda yak lanlar n m yoksa termik santralin mi etkilerinin araflt - r laca na karar vermek gerekir. Ancak, her zaman çerçevenin belirlenmesi kolay olmaz veya çerçevenin tan mlanmas mümkün olmayabilir (Cula ve Muluk, 006). Örnekleme yöntemleri, ana kütle birimlerinin yap s na ve örnekleme amac na göre belirlenebilmektedir. Ana kütledeki birimlerin her birinin örnek kitleye girme olas l na göre örnekleme yöntemlerini afla daki gibi s n flamak mümkündür. Rassal Olmayan Örnekleme Ana kütleden örnek seçiminin rassal olarak yap lmad, araflt rmac n n kendi takdiri veya iradesi ile seçti i birimlerden oluflan örnekleme rassal olmayan örneklemedir. Ana kütleden yap lan bu tür örneklemelerde, araflt rmac n n ana kütle hakk ndaki bilgisi, uzmanl ve yans zl önemlidir. Araflt rmac n n bilgisinin yetersiz veya yanl olmas durumunda, ana kütleden seçilecek örneklerin afl r küçük veya büyük olmas ve örnek kütle ile yap lacak de erlendirmelerin büyük hatalar içermesi söz konusu olabilir. Bu sak ncalar nedeniyle, rassal olmayan örnekleme istatistiksel çal flmalarda tercih edilmemektedir. Bununla birlikte, baz zorunlu durumlarda rassal olmayan örneklemeye baflvurmak gerekli olabilmektedir. Ana kütleyi oluflturan birimler çok genifl bir alana yay lm fl ise, tüm co rafik alanlardan örnekleme yapmak zaman ve bütçe aç s ndan mümkün olmayabilir. Bu durumda, ana kütleyi tüm özellikleriyle temsil edebilecek dar bir alandan örnekleme yap lmas gerekebilir. Bu tür örneklemelere rassal olmayan dilim örneklemesi denilmektedir (Cula ve Muluk, 006). Örne in, Türkiye genelinde yap lacak bir araflt rmada stanbul un örnek flehir olarak seçilmesi yeterli olabilir. Ana kütlenin s n fland r lmas halinde farkl k s mlardan veya bölümlerden olufltu u biliniyorsa, örneklemenin tüm k s mlar temsil etmesi amac yla her bir k sma belirli oranlarda kota konularak örnek al nmas tercih edilebilir. Bu tür örneklemelere kota örneklemesi denilmektedir (Orhunbilge, 000). Örne in, belirli bir konuda bir üniversitede yap lacak anket çal flmas için fakültelerin toplam ö renci say lar ile orant l ö renci say lar belirlenerek, anket uygulamas n n tüm fakültelerin ö rencilerini temsil etmesi sa lanabilir. malat sanayinde çal flan iflçilerin ifl kazas geçirme olas l klar n n SIRA araflt r ld S ZDE bir çal flmada, imalat sanayi iflletmelerinin makine, otomotiv, kimya, seramik, çimento gibi ayr ayr de erlendirildi i durumda, her ifl kolunda faaliyet gösteren iflletmelerin %10 undan örnekleme yap l rsa, bu örnekleme ne tür örnekleme olur? DÜfiÜNEL M Rassal Örnekleme SORU Ana kütle birimlerinin her birine belirli ve s f rdan büyük bir olas l kla örnek kütleye seçilme flans n n verildi i örneklemelere rassal örnekleme denilir. Rassal örneklemenin en önemli özelli i, ana kütledeki her birimin örne e dahil olma olas - D KKAT l n n ayn olmas d r. Ana kütlenin yap s na göre rassal örneklemeler farkl flekillerde yap labilmektedir. 3 DÜfiÜNEL M SORU D KKAT Basit Rassal Örnekleme N birimlik ana kütleden, her birine eflit seçilme flans verilmesi ile n birimlik örnek seçilmesi ifllemine basit rassal örnekleme denilir. Bu tür örnekleme genellikle sonlu bir ana kütleden yap lmakta olup, N birimlik ana kütledeki ilk birimin seçilme AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ K T A P K T A P TELEV ZYON TELEV ZYON NTERNET NTERNET

12 6 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Bir çok istatistik kitab n n ekinde rassal (tesadüfi veya rastgele) say lar çizelgesi bulunabilir. Bu çizelgeler, dört veya befl basamakl rassal ifllemlerle elde edilmifl say lardan oluflabilece i gibi, s f r ile bir aras say lardan da oluflabilmektedir. Örne in, Neyran Orhunbilge nin Tan msal statistik Olas l k ve Olas l k Da mlar (Avc ol Bas m Yay n, stanbul, 000) isimli kitab n n ekinde verilen rassal say lar çizelgesi befl basamakl say lardan oluflmaktad r. Bu çizelgeyi 100 adet rassal örnekleme için kullanmak istersek, verilen befl basamakl say lar n ilk iki basama n, 1000 adet rassal örnekleme için ise ilk üç basama n dikkate alarak elde edece imiz rassal say lar kullanabiliriz. Bilgisayar programlar nda var olan RND fonksiyonu ise 0 ile 1 aras say lardan olufltu undan, bu say lar ise rassal örnek say s ile çarparak kullan r z. flans 1/N dir. Ancak, i=1 den N e kadar daha sonraki seçimlerde, daha önceki örne in seçilme flans olmad ndan, örneklerin seçilme flans 1/(N-i) olur. Basit rassal örneklemede, sonlu say daki N birimlik ana kütleden rassal örnek seçimi, kura yöntemi, rassal say lar çizelgesi veya bilgisayar programlar n n rassal say üreteci (RND fonksiyonu) kullan labilir. Ana kütle birim say s n n çok küçük oldu u durumlarda genellikle kura yöntemine baflvurulur (Orhunbilge, 000). Örne in, 100 kifli çal flan bir iflletmede çal flan memnuniyetini belirlemek için yap lacak anket çal flmas için 30 kiflinin seçilmesi gerekmektedir. Bu seçim iflleminde öncelikle, 100 kifli 1 den 100 e kadar numaraland r l r. Sonra rassal say lar çizelgesinden 30 adet say belirlenir ve bu say lara karfl l k gelen çal flanlara anket uygulan r. Basit rassal örnekleme yöntemi kullanman n yararl yönleri; Ana kütledeki her birimin eflit seçilme flans vard r Ana kütle çok büyük ve karmafl k de ilse seçme ifllemi kolayd r Örnek kütle ile yap lan istatistiksel ifllemlerde a rl kland rma yapmaya gerek olmaz. Basit rassal örnekleme yöntemi kullanman n sak ncalar ise; Ana kütlenin çok büyük oldu u durumlarda, ana kütleyi s ralamak ve ana kütleden seçmek güçtür. Araflt r lan özellik, ana kütle birimlerinde baz de ifliklikler gösterebilir. Örnekleme seçilecek birimler mekansal olarak çok genifl bir alana da lm fl olabilir. Sistematik Rassal Örnekleme Sistematik rassal örnekleme yöntemi, ana kütle birimlerinin seri olarak numaraland r labildi i ya da kay t alt na al nabildi i durumlar için uygulan r. Bu yöntem, ana kütle birim say s n n (N) sonlu ve birimlerin belirli bir s rada dizildi i, örnek kütle say s n n (n) da belirli oldu u durumlarda uygulanabilir. Yöntemin uygulanmas nda, öncelikle anakütle 1 den N e kadar numaralan r. Daha sonra büyütme faktörü k=n/n ifllemi ile hesaplan r. Bu ifllemler tamamland ktan sonra s ralanm fl ana kütlenin ilk k tane birimi aras ndan bir tanesi rassal olarak seçilir. Rassal olarak bafllang ç noktas n n seçilmesinden sonra, ana kütlenin her k nc birimi örnek kütleye seçilir. Ana kütleden, sistematik olarak k eklenerek seçim ifllemi, örnek kütle birey say s na (n) ulafl ncaya kadar devam edilir. ÖRNEK 1 DÜfiÜNEL M 4 Bir belediye, 1000 hane bulunan bir mahallede 50 haneyi örnek seçerek baz uygulamalar ile ilgili görüfllerini almak istemektedir. Bu durumda, k = 1000 / 50 = 0 olarak hesaplan r ve her 0 hanede bir örnekleme yap lmas gerekecektir. Bafllang ç say s rassal say lar çizelgesinde 1 ile 0 aras nda bir say seçilerek bulunur. Örne in seçilen say 1 ise önce 1 inci hanenin görüflleri örnek olarak al n r, sonra her 0 hanede bir hanenin görüflü al n r. Örneklenen n adet hanenin numaralar 1, 3, 5, 7,...99 olacakt r. Bir sanayi bölgesinde bulunan 100 tekstil fabrikas ndan 0 tanesi seçilerek verimlilik analizleri yap lmak istenmektedir. Rassal say lar çizelgesinden seçilen say, büyütme faktörü say s na eflit oldu una göre, hangi nolu fabrikalar sistematik olarak rassal örnekleyebiliriz? DÜfiÜNEL M SORU SORU D KKAT D KKAT

13 1. Ünite - Temel statistik Kavramlar 7 Mekansal (konumsal) ya da zamansal ana kütle birimlerinden eflit aral klarla örnekleme yapmada da sistematik örnekleme yöntemi kullan labilmektedir. Özellikle çevresel de iflimlerin ve maden yataklar nda rezerv-tenör belirleme çal flmalar - n n yap ld yerlerde sistematik örnekleme oldukça kullan fll bir yöntemdir. Ancak, örnekleme yap lan alan büyüdükçe sistematik örnekleme zorlafl r ve baz yönsel sürekli de iflimlerin oldu u alanlarda, örnekleme rassall ktan uzaklaflabilir. Örne in, ekolojik de iflimin araflt r ld bir alanda, belirlenen hatlar boyunca 10 m aral klarla sistematik rassal bitki örnekleri al nabilir. Ancak, bir maden yata nda tenör de iflimini belirlemek amac yla 100 m aral klarla örnekler al nd nda, örnekleme hatt na ba l olarak tenör de iflimlerinin yönsel farkl l klar gösterdi i de gözlenebilir. Küme Örnekleme Ana kütlenin küme ad verilen gruplara ayr ld ve kümelerden örneklerin al nd - yönteme küme örnekleme denilmektedir. Bu yöntemde N birimlik ana kütle M adet kümeye ayr lmakta ve her kümeden rassal olarak m birimlik rassal örnek kütle seçilmektedir. Ana kütleyi oluflturan birimlerin listelenemedi i durumlarda veya co rafi olarak genifl bir alana yay lm fl birimler hakk nda araflt rma yap ld durumlarda maliyetleri azaltmak amac yla küme örneklemesinden yararlan l r. Küme örneklemeden yararlanarak ana kütle hakk nda tahminde bulunurken, küme birimlerinin birbirinin benzeri oldu u durumlarda hata ihtimali de artabilmektedir. Maden iflletmelerinde ifl kazalar n n araflt r ld bir durumda, maden iflletmeleri kömür, metal, endüstriyel hammaddeler ve tafl-kum-m c r iflletmeleri olarak kümelere ayr labilir. Bu durumda, üretim yöntemleri farkl (örne in kömür madencili- inde yer alt ocak iflletmecili i yayg nken tafl-kum-m c r iflletmelerinin tamam nda yerüstü ocak iflletmecili i uygulan r) ve çal flan iflçi say lar farkl olan kümelerden eflit say larda m birimlik örnek al n p ana kütle hakk nda tahmin yap lmas büyük hatalara neden olacakt r. ÖRNEK Küme örnekleme kademeli olarak ta yap labilir. E er her bir kümeden m birimlik örnekler al n rsa, bu örnekleme türüne tek kademeli basit küme örneklemesi denilir. Ancak, her kümedeki m adet birimden ayr ca rassal örnekleme yap l rsa, bu örneklemeye ise ikinci kademe küme örneklemesi denilir. Tabakal Örnekleme Ana kütledeki birimlerin özelliklerinin önemli farkl l klar gösterdi i durumlarda, bu birimleri tabaka ad verilen homojen alt gruplara ay rmak gerekmektedir. Ana kütlenin tabakalara ayr lmas sonras nda her bir tabakadan rassal örnekleme yap - l r ve elde edilen sonuçlar birlefltirilirse tabakal örnekleme yap lm fl olur (Serper, 000). Tabakal örnekleme, sonlu say da birime sahip ana kütlelerde alt tabakalar veya alt birim gruplar n n var oldu u durumlarda kullan l r. Tabakal örneklemede, tabakalar n do ru oluflturulmas gereklidir. Tabakal örneklemeden iyi sonuç alabilmek için, tabakalar n kendi içinde homojen olmas ve tabakalar aras nda gerçek bir farkl l k bulunmas gerekir. Tabakal örneklemelerde her tabakan n birim say s n n her zaman eflit olmas n sa lamak olanaks zd r. Bu durumda, iki farkl yöntemle örnek seçimi yap l r. Birincisinde, tabakalardaki birim say s dikkate al nmadan her tabakadan eflit say da ör-

14 8 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik nekleme yap l r. Orant s z seçim denilen bu yöntem sonucunda istatistiksel de- erlendirmeler yap l rken, tabakalar n birim say lar ile a rl kl hesaplamalar yapmak gerekir. kincisinde ise, tabakalardaki birim say lar yla orant l olarak örnekleme yap l r. Orant l seçim denilen bu yöntem sonucunda istatistiksel de erlendirmeler yap l rken aritmetik ortalama a rl ks z hesaplan r. Tabakal örnekleme kullan m n n yararlar ; Tabakalanma iyi yap l r ise daha do ru bilgi elde etme olana vard r. Her tabakadan al nan örneklemin kendi tabakas n temsil yetene i oldu undan her tabaka için ayr sonuç elde etme olana da sa lar. Tabakal örnekleme kullanman n sak ncalar ise; Örnekleme hatas n hesaplamak zor olabilir. Tabakalar n birim say lar düflük olursa, tabakalara ba l araflt rma sonucu elde edilecek bilginin do rulu u azal r. ÖRNEK 3 Bir yerleflim biriminin y ll k ortalama hava s cakl de iflimlerinin ölçülmek istendi i bir durumda, s cakl n aylara ba l de iflimi dikkate al nmadan örnekleme yap l rsa, elde edilecek sonuçlar gerçe i yans tmayabilir. Bunun için önce aylara göre tabakalama yap lmal ve her tabakadan basit rassal örnekleme yöntemiyle belirli say da örnek ölçümler yap l rsa, sonuç daha anlaml olacakt r. VER LER N TOPLANMASI VE SER LER HAL NDE DÜZENLENMES statiksel veriler ya haz r veri kaynaklar ndan elde edilir ya da araflt rmac lar taraf ndan anket, gözlem veya deney çal flmalar ile toplan rlar. Elde edilen bu veriler genellikle ham veri fleklindedir. Ham verilerin istatistiksel analize uygun hale getirilmesi için düzenlenmesi gerekir. Veriler, örneklenen birimlerin zaman ve mekan özelliklerine, nitel ve nicel özellikleriyle da lma flekillerine göre seriler fleklinde düzenlenebilirler. Zaman serileri, kullan c n n veya araflt rmac n n amac na göre birden farkl zaman birimi ile de gösterilebilmektedir. ÖRNEK 4 Zaman ve Mekan Serileri Örneklenen veya gözlemlenen verilerin çeflitli özelliklerinin saat, gün, ay ve y l gibi bir zaman birimine göre s ralamas veya da l m oluflturulursa, bu seriye zaman serisi denilir. Özellikle ülkelerin sosyal ve ekonomik geliflim göstergeleri, iflletmelerde verimlilik ve kalite verileri, hava s cakl ve ya fllar, trafik yo unlu u ile baz deneysel veriler zamana ba l olarak iki sütunlu seriler fleklinde gösterilirler. Türkiye statistik Kurumu enflasyon oranlar n n de iflimini ayl k ve y ll k zaman birimlerine göre ayr ayr zaman serileri fleklinde yay nlamaktad r. Tüketici fiyat endeksi (TÜFE) ile hesaplanan enflasyon oranlar çizelgesinden de görüldü ü gibi, enflasyon oranlar 010 y l Ocak ay nda %1,85 ve Haziran ay nda -%0,56 olarak yay nlanm fl olmakla birlikte, 010 y l Ocak-Aral k aylar aras y ll k enflasyon oran %6,4 olarak gerçekleflmifltir.

15 1. Ünite - Temel statistik Kavramlar 9 Tüketici Fiyat Endeksi (TÜFE) ile Hesaplanan Enflasyon Oranlar Y ll k TÜFE Enflasyon Oranlar Y ll k TÜFE Enflasyon Oranlar Y llar Oran (%) Aylar Oran (%) 00 9,7 Ocak 1, ,4 fiubat 1, ,3 Mart 0, ,7 Nisan 0, ,7 May s - 0, ,4 Haziran - 0, ,1 Temmuz - 0, ,5 A ustos 0, ,4 Eylül 1,3 Kaynak: TÜ K ( Örneklenen veya gözlemlenen verilerin çeflitli özelliklerinin köy, flehir, bölge, ülke ve k ta gibi bir mekan (yerleflim) birimine göre s ralamas veya da l m oluflturulursa, bu seriye mekan serisi veya yerleflim serisi denilir. Genellikle ülkelerin sosyal ve ekonomik göstergelerinin de iflimi, hava s cakl ve ya fllar n de iflimi, çevresel ve ekolojik de iflimler, trafik yo unlu u ile hammadde kaynaklar n n da- l mlar iki sütunlu mekansal seriler fleklinde gösterilirler. Türkiye statistik Kurumu (TÜ K) hava kalitesi veri taban nda kent merkezlerinin hava kirlili i, havadaki kükürtdioksit miktarlar (µg/m 3 ) ölçüm sonuçlar n n ayl k ortalamalar al narak yay nlanmaktad r. Belirli bir kent merkezi için ayl k veriler dikkate al nd nda bu seri zaman serisidir. Ancak, afla daki çizelgede verildi i flekliyle sadece 010 y l ocak ay rakamlar n n farkl kent merkezleri için yay nlanmas halinde ise bu seri mekan serisi olmaktad r. ÖRNEK Y l Ocak Ay Hava Kirlili i (Kükürtdioksit) Ortalamalar En Fazla Hava Kirlili i Yerleflim Merkezi Kükürtdioksit (µg/m 3 ) En Az Hava Kirlili i Yerleflim Merkezi Kükürtdioksit (µg/m 3 ) fi rnak 336 Eskiflehir 3 Tekirda 9 Adana 4 Bitlis 185 Kahramanmarafl 6 K r kkale 185 Osmaniye 7 Hakkari 179 stanbul 9 Kaynak: TÜ K Hava Kalitesi Veri Taban

16 10 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik ki sütunlu olarak oluflturulan bu serilerde, birinci sütunda nitel özelli in s n flar, di er sütunda ise bu s n flara giren birimlerin say lar gösterilmektedir. ÖRNEK 6 Nitel (Kalitatif) Seriler Say sal olarak ifade edilemeyen, özellik bak m ndan do al olarak s n fland r lm fl ve kesin hatlarla birbirinden ayr lan serilere nitel seriler denilir. Nitel serilerde s - n flar do al olarak oluflmufl oldu undan, araflt rmac sadece her s n fa düflen gözlem say lar n belirler. Nitel seriler iki sütunlu serilerdir. Nitel seriler düzenlenirken de iflkenin kaç s n ftan olufltu unun bilinmesi gerekir. Ancak, nitel de iflkenin hangi s n fta yer ald belirlenemiyorsa, s n f belirlenemeyen veriler için bilinmeyen sat r oluflturulabilir (Orhunbilge, 000). Verilerin bu flekilde seri haline getirilmesi ile nitel özellikler için frekans çizelgeleri oluflturulmufl olmaktad r. nsanlar n cinsiyet, sosyal, kültürel ve ekonomik faaliyet durumlar, bitki ve a aç türleri, tar m ve hayvanc l k hakk nda oluflturulacak seriler nitel seri türündedir. TÜ K Hayvanc l k statistikleri veri taban ndan 009 y l için elde edilen büyükbafl hayvan say lar iki sütunlu nitel seri olarak afla daki gibi düzenlenebilir. Birinci sütunda veriler özellikleri bak m ndan do al olarak s n flan rken, ikinci sütunda say sal olarak frekanslar verilmifltir. 009 Y l Büyükbafl Hayvan Say lar Ad Say s S r-yerli S -Kültür S r-melez Manda Deve Kaynak: TÜ K Hayvanc l k statistikler Veri Taban DÜfiÜNEL M SORU D KKAT 5 Köyden kente SIRA göçlerin S ZDE ve flehirleflmenin araflt r ld bir çal flmada, nüfus verileri hangi özelliklerine göre do al s n flara ayr labilir? Nicel Seriler DÜfiÜNEL M Say sal olarak adet, uzunluk, a rl k, alan ve hacim gibi çeflitli ölçü birimleriyle ifade edilebilen SORU özelliklere göre s ralanm fl, s n fland r lm fl veya grupland r lm fl serilere nicel seriler denilir. Nicel verilerde s n fland rma veya grupland rma do al olarak oluflmad ndan, araflt rmac her s n fa veya gruba düflen gözlem say s n (frekans ) kendisi belirler. D KKAT Belirli bir ana kütleden rassal olarak yap lan örneklemeler sonucunda elde edilen nicel SIRA veriler S ZDEbasit, s n fland r lm fl veya grupland r lm fl seriler olarak oluflturulabilirler. AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ K T A P TELEV ZYON Basit Seri Örneklemelerle elde edilen ham verilerin, elde edildikleri ya da gözlendikleri s ra ile veya küçükten K T A büyü e P ya da büyükten küçü e s ralanmas ile oluflturulan serilerdir. Genellikle örneklenen birim say s n n çok az oldu u durumlarda kullan lan ve tek sütundan oluflan serilerdir. Basit serilerde, örnekleme boyutu n ile ve örneklenen her i inci birim Xi ile gösterilir. TELEV ZYON NTERNET NTERNET

17 1. Ünite - Temel statistik Kavramlar 11 Bir derse kay tl 30 ö rencinin derslere devams zl k saatlerinin say lar belirlenmifl olup, devams zl k saatleri afla daki gibi verilmifltir. ÖRNEK Ö renci numaralar na göre elde edildi i s ra ile sunulan bu verileri pratik olarak kullanabilmek zordur. Örne in, derse 1 saatten fazla devams zl olan ö rencilerin devams zl ktan dolay dersten baflar s z olacaklar n n bilindi i bir durumda, kaç ö rencinin baflar s z oldu unu belirlemek istedi imizde, seriyi elde edildi i flekliyle kullanamay z. Seriyi, devams zl k say lar na göre küçükten büyü e s ralad m zda ise, devams zl ktan kalacak ö renci say s n kolay bir flekilde bulabiliriz S n fland r lm fl Seri Ana kütleden örneklenmifl verilerin küçükten büyü e ya da büyükten küçü e do ru s ralan p, tekrarlanan verilerin tekrarlanma say lar n n (frekanslar n n) bulunmas ile elde edilen serilere s n fland r lm fl seri veya frekans serisi denilir. Örnek kütle boyutu artt kça basit seriler çok fazla yer kaplad ndan ve çal flma zorluklar ortaya ç kt ndan, çal flma kolayl aç s ndan s n fland r lm fl serilerin kullan m daha uygun olmaktad r. S n fland r lm fl seri iki sütundan oluflur. Birinci sütunda örneklenen de iflkenin ald farkl de erler (X i ) yer al rken, ikinci sütunda de iflkenin ald de erlerin frekanslar (f i ) gösterilir. Basit seriyi olufltururken ele ald m z örnek verileri, tekrarlanma say lar n da dikkate alarak s n fland rd m z da, afla daki frekans serisini elde ederiz. S n fland r lm fl seri ile istedi imiz de erin alt ndaki veya üstündeki verilerin say lar - n, basit serilere göre daha kolay bulabiliriz. Örneklenen veri say m z n=30 iken, yapm fl oldu umuz s n fland rma sonucunda m=9 adet s n f elde ederiz. ÖRNEK 8 Devams zl k (Saat) X i Frekanslar f i S n fland r lm fl serilerde örnek boyutu, frekanslar toplam na eflit (n = f i ) olmak zorundad r.

18 1 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Genel olarak grup say s n n 4 den az olmamas 15 den de fazla olmamas tercih edilmektedir. Grup say s 4 den az oldu unda baz da l m testlerini yapmak mümkün olamamaktad r. Örne in, da l m tipinin normal da l ma uygun olup olmad n test etmede kullan lan Ki-kare testinin yap labilmesi için grup say s n n en az 4 olmas gerekir. DÜfiÜNEL M SORU Grupland r lm fl Seri Ana kütleden örneklenen veri say s n n çok fazla olmas durumunda, verilerin belirli aral klarla grupland r l p ve her bir gruba düflen frekans de erlerinin belirlenmesi ile grupland r lm fl seriler elde edilebilir. Örneklenen verilerin grupland r larak sunulmas sayesinde serinin yorumlanmas ndaki karmafla önlenece inden, örneklenen kütle kolayca kavranabilir ve ifllemlerde zamandan büyük tasarruf sa lan r. Bununla birlikte, gruplama sonucunda örnekleme ile toplanan bilgilerin bir k sm kaybolabilir ve homojen olmayan birimlerin bir araya toplanmas da söz konusu olabilir. Grupland rma iflleminde öncelikle, örneklenen veya gözlemlenen veri say s na ve araflt rmac n n amac na ba l olarak grup say s (K) belirlenir. Grup say s n n çok fazla olmas halinde veriler iyi bir flekilde özetlenmemifl, grup say s n n çok az olmas durumunda ise bilgi kay plar olabilir. Grup say s n (K), örneklenen veri say s na (n) ba l olarak Sturges Kural ile afla daki eflitlik DÜfiÜNEL M yard m yla hesaplayabiliriz (Ohunbilge, 000; Gürtan, 198). K = 1 + 3,3. Log(n) SORU D KKAT Grup say s daima D KKAT tam say olarak kullan l r. Grup say s hesaplama sonucu ondal kl bir say olursa, ondal k say n n alt veya üstünde bulunan tam say lardan birisi grup say s olarak kullan l r. Grup say s n n belirlenmesinden sonra, verilerin en büyük (X enb ) ve en küçük AMAÇLARIMIZ (X enk ) de erleri aras ndaki farkla hesaplanan de iflim geniflli i (DG) dikkate al narak grup aral n (GA) hesaplar z. AMAÇLARIMIZ DÜfiÜNEL M DÜfiÜNEL M K T A P DG = XK T enb X A P enk SORU GA = DG SORU / K TELEV ZYON TELEV ZYON D KKAT Hesaplanan grup D KKAT aral, verilerin tam say lardan olufltu u durumlarda bir üst tam say ya veya verilerin 1 den küçük ondal k de erlerden olufltu u durumlarda ise ondal kl üst de- ere tamamlan r. NTERNET NTERNET Baz örneklemelerde, Grup aral klar n n genellikle tüm gruplarda birbirine eflit al nmas tercih edilir. AMAÇLARIMIZ örnekleme yönteminin ve Grupland r lm fl serilerde grupland rmalar n eflit aral klarla yap lmas, seride bir düzenin sa lanmas, eflit grup aral klar na düflen frekanslar aras nda karfl laflt rmalar verilerin özelliklerine uygun AMAÇLARIMIZ olarak de iflik aral kl gruplar n oluflturulmas da yap labilmesi ve matematiksel ifllemleri kolaylaflt rmas aç s ndan tercih edilmekle gerekebilmektedir. Örne in, K T A P birlikte, grupland rmalar n K T A P parça boyutu elek analizi eflit aral kl yap lmas flart de ildir. verilerinin Grup aral klar n n belirlenmesinden sonra grup s n rlar n belirleriz. Grup s n rlar n n belirlenmesi ifllemine öncelikle ilk grubun alt ve üst s n rlar n n belirlenme- grupland r lmas nda, elek serisi aral klar n n dikkate TELEV ZYON al nmas gerekebilmektedir siyle bafllan r. TELEV ZYON lk grubun alt s n r, gözlemlenen veriler içerisinde yer alan en küçük (X enk ) de erden büyük olmayacak flekilde; ilk grubun üst s n r ise ilk grubun (Konuk ve Önder, 1999). alt s n r na grup aral n n eklenmesiyle belirlenir. Di er gruplar n alt ve üst s n rlar, bir önceki gruplar n alt ve üst s n rlar na grup aral n n eklenmesiyle belirlenir. Grupland r lm fl serinin son grubu, mutlaka gözlem de erlerinin en büyü ünü NTERNET NTERNET (X enb ) içermelidir.

19 DÜfiÜNEL M DÜfiÜNEL M 1. Ünite - Temel statistik Kavramlar S ORU SORU 13 Verilerin grupland r lmas iflleminde önemli olan en küçük de erin ilk D KKAT grupta ve en büyük de erin de son gurupta yer almas d r. D KKAT Grup s n rlar n belirledikten sonra, örneklenen ham verilerin grup aral klar na düflen verilerinin tekrarlanma say lar n (frekanslar ) belirleriz. Frekanslar n belirlenmesinde, sayma veya tarama yöntemi kullan labilmektedir. AMAÇLARIMIZ Herhangi bir i inci grupta yer alan frekans say s, fi ile gösterilir. Her bir gruba düflen frekanslar n AMAÇLARIMIZ toplam, toplam gözlem say s na eflittir (f i = n). Örneklenen verilerin grupland r lmas nda uygulanan ifllemler K Tafla daki A P örnek K T A P temel al narak gösterilecektir. Bir bölge havzas nda taflk n riskini belirleme çal flmalar için TELEV ZYON y ll k pik ak m ve ortalama pik ak m miktarlar n belirlemek amac yla, bölge akarsular na kurulan istasyonlarda 40 adet ölçüm gerçeklefltirilmifltir. Ölçümler sonucu elde edilen veriler afla daki gibidir. NTERNET ÖRNEK TELEV ZYON 9 NTERNET Ölçüm No Ak m (m 3 /s) Ölçüm No Ak m (m 3 /s) Ölçüm No Ak m (m 3 /s) Ölçüm No Ak m (m 3 /s) Grup say s K= 1 + 3,3. Log (n) eflitli inden, K= 1 + 3,3. Log (40) = 6,9 olarak bulunur. Bu durumda, gruplama yapt m zda, grup say s n n 6 dan az ve 7 den fazla olmamas gerekmektedir. Örneklenen veriler içerisinde en büyük de er X enb = 68 ve en küçük de er X enk = 6 oldu undan, grup aral GA = (X enb X enk ) / K eflitli inden, GA= ( 68-6 ) / 6,9 = 9,86 olarak bulunur. Verilerin tam say olmas nedeniyle, GA = 10 alabiliriz. lk grupta en küçük verinin ve son grupta en büyük verinin yer almas na, grup say s n n 6 dan az ve 7 den fazla olmamas na ve grup aral n n 10 olmas na dikkat ederek grup s n rlar n farkl biçimlerde oluflturabiliriz. Afla da, üç farkl flekilde oluflturulan grup s n rlar görülmektedir.

20 14 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Grup S n rlar Grup S n rlar Grup S n rlar Alt Üst Alt Üst Alt Üst Tarama sütunu, ham verilerin girdi i grup aral n n iflaretlenmesi ve daha sonra say larak frekanslar n belirlenmesi için kullan lmaktad r. DÜfiÜNEL M SORU Grup s n rlar ndan herhangi birini tercih ederek ve tarama sütunu da oluflturarak, her bir grubun frekans n belirleyebiliriz. Alt Grup S n rlar Tarama Sütunu Frekanslar f i Üst (den az) 0 10 /// ///// / ///// // ///// ///// // ///// /// 8 50 DÜfiÜNEL M 60 /// / 1 SORU D KKAT Grup frekanslar n n D KKATbelirlenmesi s ras nda, ya alt s n rda yada üst s n rda yer alan de eri kapsam d fl nda b rak r z. VER LER N SUNULMASI Örneklemeler sonucunda elde edilen zaman serileri, nitel seriler ve nicel seriler- AMAÇLARIMIZ den s n fland r lm fl ve grupland r lm fl seriler çeflitli grafikler halinde sunulurlar. AMAÇLARIMIZ K T A P TELEV ZYON ÖRNEK 10 NTERNET Zaman Serilerinin Grafiksel Gösterimi (Kartezyen Grafik) ki de iflkenli K olan T A Pzaman serileri genellikle X ekseninde zaman birimi ve Y ekseninde örneklenen birim say lar olmak üzere kartezyen grafikleri halinde gösterilirler. TELEV ZYON Türkiye statistik Kurumu nun (TÜ K) y llar için yay nlad Tüketici Fiyat Endeksine dayal enflasyon oranlar n n de iflimi afla daki flekildeki gibi gösterilebilir. NTERNET

21 1. Ünite - Temel statistik Kavramlar TÜFE Enflasyon Oranlar fiekil 1.1 Tüketici Fiyat Endeksleri ile Hesaplanan Enflasyon Oranlar Enflasyon Oran (%) Y llar Kaynak: Nitel Serilerin Grafiksel Gösterimi (Pasta Grafi i) Nitel verilerden elde edilen serilerin sunulmas nda pasta grafi i kullan l r. Pasta grafi i, daire fleklindeki bir pastan n her bir dilimi, nitel de iflkenin ilgili s n f n n frekans n temsil edecek flekilde dilimlere ayr larak haz rlanmaktad r. Pasta grafi i, veriler toplam n n s n f kategorilerine göre da l fl n ve s n flar n veri say lar aras ndaki ba l farklar göstermesi aç s ndan oldukça kullan fll d r. Türkiye statistik Kurumu nun 009 y l için yay nlam fl oldu u Hayvanc l k statistiklerinden elde edilen büyükbafl hayvan say lar ve bunlar n oranlar, afla daki gibi iki farkl flekille gösterilebilir. Pasta grafi i üzerinde, nitel s n flar farkl renklerle ve birim say s na göre dilim büyüklü ü ile gösterilebilece i gibi, nitel s n flardaki birimlerin yüzdeleri ile de gösterilebilirler. ÖRNEK 11 fiekil Y l Verileri ile Büyükbafl Hayvan Say lar n n Pasta Diyagramla Sunumu 009 Y l Büyükbafl Hayvan Say lar 009 Y l Büyükbafl Hayvan Say lar S r-yerli S -Kültür S r-melez Manda Deve S r-melez 41% Manda 10% S r-yerli 4% S r-kültür 34% Kaynak: TÜ K Hayvanc l k statistikler Veri Taban

22 16 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Nicel Serilerin Grafiksel Gösterimi S n fland r lm fl seriler, noktasal veya çizgisel olarak, s n f say lar n n ve frekanslar n de erlerini dikkate alacak flekilde koordinat sisteminde gösterilmektedirler. S - n fland r lm fl serinin de erleri ba ms z de iflken olarak X ekseninde, frekanslar ise ba ml de iflken olarak Y koordinat ekseninde gösterilmektedirler. Bu nedenle s n fland r lm fl frekans serisinin grafi i koordinat sistemi üzerinde sütun veya çubuk fleklinde görülürler. ÖRNEK 1 A dersinden devams zl olan ö rencilerin devams zl k süreleri afla daki sütunçubuk diyagramdaki gibi gösterilebilir. Veri olmayan s n flar için çubuk diyagramda boflluk b rak labilece i gibi, bu de erler dikkate al nmadan da diyagram, örnekteki gibi çizilebilir. fiekil 1.3 Ö rencilerin Bir Dersteki Devams zl klar n n Sütun-Çubuk Gösterimi. 6 5 Ö rencilerin A Dersindeki Devams zl klar Ö renci Say s Devams zl k (Saat) Grupland r lm fl seriler ise genellikle histogram fleklinde veya histogram orta noktalar ndan geçen grafikler halinde gösterilebilmektedir. Histogram grafikleri de sütun-çubuk grafi ine benzerler, ancak sütunlar aras nda boflluk yoktur. Sütun grafiklerde sütunlar belirli bir de erin frekans n gösterirken, histogram grafikler belli aral ktaki de erlerin frekans n temsil eder. Histogram grafikleri ço unlukla verilerin da l m fleklini incelemek için kullan l rlar. S n fland r lm fl ve grupland - r lm fl seriler, kümülatif (toplam) frekanslar halinde de gösterilebilirler. ÖRNEK 13 Bir bölge havzas nda taflk n riskini belirleme çal flmalar için bölge akarsular nda kurulan istasyonlarda yap lan 40 adet ak m (m 3 /s) ölçüm sonuçlar n n grup aral klar na giren normal frekanslar ve toplam frekanslar gösterir histogramlar afla- daki gibidir.

23 1. Ünite - Temel statistik Kavramlar 17 Frekans Akarsu Ak m Ölçüm Sonuçlar Ak m (m 3 /s) (a) Toplam Frekanslar Akarsu Ak m Ölçüm Sonuçlar fiekil 1.4 Bölge Akasular n n Ak m Ölçüm Sonuçlar, a: Normal Frekanslar, b: Toplam Frekanslar Ak m (m 3 /s) (b)

24 18 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Özet A MAÇ 1 Örnekleme kavramlar n ö renerek örnekleme yöntemi seçimini yapmak. statistikte kütleler, oluflum flekline göre gerçek ya da varsay msal, sonlu ya da sonsuz ve sürekli ya da süreksiz olarak s n fland r labilmektedir. Sonlu veya sonsuz say da birimden oluflan canl yada cans z toplulu un tamam na ana kütle denilmekte olup, tam say m için bütçenin yetersiz ve fazla zaman n olmad veya birimlerin tamam n n say m s ras nda ana kütlenin zarar görme olas l oldu u durumlarda, ana kütleyi temsil edecek say da birimden oluflan örnek kütle elde edilir. Ana kütleden örnek seçimi, araflt rmac n n kendi takdiri veya iradesi ile seçti i birimlerden olufluyorsa bu tür örneklemelere rassal olmayan örnekleme denilmektedir. Genellikle istatistiksel çal flmalarda rassal olmayan örnekleme tercih edilmemektedir. Dilim örnekleme ve kota örneklemesi rassal olmayan örnekleme yöntemleridir. Ana kütle birimlerinin her birine belirli ve s f rdan büyük bir olas l kla örnek kütleye seçilme flans n n verildi i örneklemelere rassal örnekleme denilmektedir. Ana kütlenin yap s na göre rassal örnekleme basit, sistematik, küme veya tabakal yöntemlerle yap labilmektedir. A MAÇ A MAÇ 3 statistiksel verilerin toplanmas ve düzenlenmesi çal flmalar n temel anlamda gerçeklefltirmek. statistiksel çal flmalarla toplanan ham verilerin analize uygun hale getirilmesi için düzenlenmesi gerekir. Veriler, örneklenen birimlerin zaman ve mekan özelliklerine, nitel ve nicel özellikleriyle da lma flekillerine göre seriler fleklinde düzenlenebilmektedirler. Verilerin çeflitli özellikleri saat, gün, ay ve y l gibi bir zaman birimine göre s ralan yor veya da - l m oluflturuyorsa, iki sütunlu bu serilere zaman serisi denilir. Verilerin çeflitli özelliklerinin köy, flehir, bölge, ülke ve k ta gibi bir mekan (yerleflim) birimine göre s ralan yor veya da l m oluflturuluyorsa, iki sütunlu bu serilere ise mekan serisi denilir. Say sal olarak ifade edilemeyen ve s - n flar n do al olarak olufltu u serilere de nitel seri denilir. Say sal olarak adet, uzunluk, a rl k, alan ve hacim gibi çeflitli ölçü birimleriyle ifade edilebilen özelliklere göre ifade edilen nicel veriler ise s ralanarak, s n fland r larak veya grupland r larak serilere dönüfltürülebilmektedirler. statistiksel verileri sunmak. Zaman serilerine ait veriler kartezyen grafik, nitel veriler pasta grafi i, nicel veriler ise sütun-çubuk veya histogram grafikleri fleklinde sunulabilmektedir.

25 1. Ünite - Temel statistik Kavramlar 19 Kendimizi S nayal m 1. Ana kütleden örneklenmifl verilerin küçükten büyü- e ya da büyükten küçü e do ru s ralan p, tekrarlanan verilerin tekrarlanma say lar n n (frekanslar n n) bulunmas ile elde edilen serilere ne ad verilir? a. Basit seri b. Grupland r lm fl seri c. S n fland r lm fl seri d. Bileflik seri e. Karmafl k seri. Örneklenen verilerin çeflitli özellikleri köy, flehir, bölge, ülke ve k ta gibi bir birime göre s ralanmas yla veya da l m n n oluflturulmas yla elde edilen seriye ne ad verilir? a. Zaman serisi b. Mekân serisi c. Nitel seri d. Bileflik seri e. Basit seri 3. Serilerle ilgili afla daki ifadelerden hangisi do rudur? a. Saat 8 ile 0 aras her saat bafl na bir bulvardan geçen araç say s n gösteren iki sütunlu seriye basit seri denir. b. Bir sütunda a aç türlerinin ve di er sütunda say lar n n verildi i seriye mekân serisi denir. c. Örneklenen birim say s n n çok az oldu u durumlarda kullan lan ve tek sütundan oluflan serilere zaman serisi denir. d. Bir sütunda yaban hayat n gelifltirme bölgesinde yaflayan hayvan türlerinin isimlerinin ve di- er sütunda say lar n n verildi i seriye nitel serisi denir. e. Bir sütunda bölge ismi ve di er sütunda kömür rezerv miktar n n verildi i seriye s n fland r lm fl seri denir. 4. Örneklenen veri say s 40 oldu unda, Sturges Kural ile veriler grupland r lmak istendi inde, grup say s (K) kaç olabilir? (log40=1,6 d r) a. 3 b. 5 c. 7 d. 9 e Hava kirlili i üzerine yap lan bir istatistiksel araflt rmada, 40 adet ölçüm yap ld nda havadaki kükürtdioksit oran n n en büyük de erinin 49 µg/m 3 ve en küçük de erinin 5 µg/m 3 oldu u belirlenmifltir. Sturges Kural ile bu veriler grupland r lmak istendi inde, grup aral (GA) kaç olabilir? (GA= DG/K DG = X enb X enk K = 1 + 3,3. Log(n) ve log(40) = 1,6 d r) a. 3 b. 5 c. 7 d. 9 e Afla dakilerden hangisi sonsuz kütledir? a. Bir dersten yap lan s navda ö rencilerin ald klar notlar b. Metalik paralar n metal içeri i c. Merkez Bankas n n döviz rezervi d. Bir hafta içerisinde bir banka flubesine gelen günlük müflteri say s e. Bankalar n mevduata uygulad faiz oranlar 7. N birimlik bir ana kütleden, her birine eflit seçilme flans verilmesi ile n birimlik örnek seçilmesi ifllemine ne ad verilir? a. Basit rassal örnekleme b. Sistematik örnekleme c. Kota örnekleme d. Dilim örneklemesi c. Kümeli örnekleme 8. Nitel verilerden elde edilen serilerin sunulmas nda kullan lan ve nitel de iflkenin ilgili s n f n n frekans n temsil edecek flekilde dilimlere ayr lmas yla haz rlanan grafi e ne ad verilir? a. Kartezyen grafi i b. Çubuk grafi i c. Sütun grafi i d. Pasta grafi i e. Histogram

26 0 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik S ra Sizde Yan t Anahtar 9. Belirli aral klarla grupland r lm fl serilerin sunulmas nda afla daki grafik yöntemlerinden hangisi kullan l r? a. Kartezyen grafi i b. Çubuk grafi i c. Sütun grafi i d. Pasta grafi i e. Histogram 10. Birinci sütunda örneklenen de iflkenin ald farkl de erler (X i ) yer al rken, ikinci sütunda de iflkenin ald de erlerin frekanslar n n (f i ) gösterildi i serilere ne ad verilir? a. Zaman serisi b. S n fland r lm fl seri c. Nitel seri d. Grupland r lm fl seri e. Basit seri Kendimizi S nayal m Yan t Anahtar 1. c Yan t n z yanl fl ise, Verilerin Toplanmas ve Seriler Halinde Düzenlenmesi konusunu gözden geçiriniz.. b Yan t n z yanl fl ise, Verilerin Toplanmas ve Seriler Halinde Düzenlenmesi konusunu gözden geçiriniz. 3. d Yan t n z yanl fl ise, Verilerin Toplanmas ve Seriler Halinde Düzenlenmesi konusunu gözden geçiriniz. 4. c Yan t n z yanl fl ise, Grupland r lm fl Seriler konusunu gözden geçiriniz. 5. c Yan t n z yanl fl ise, Grupland r lm fl Seriler konusunu gözden geçiriniz. 6. d Yan t n z yanl fl ise, statistiksel Kütle Türleri konusunu gözden geçiriniz. 7. a Yan t n z yanl fl ise, Rassal Örnekleme konusunu gözden geçiriniz. 8. d Yan t n z yanl fl ise, Verilerin Sunulmas konusunu gözden geçiriniz. 9. e Yan t n z yanl fl ise, Verilerin Sunulmas konusunu gözden geçiriniz. 10. b Yan t n z yanl fl ise, Verilerin Toplanmas ve Seriler Halinde Düzenlenmesi konusunu gözden geçiriniz. S ra Sizde 1 A aç türleri say labilir oldu undan sonlu kütledir. S ra Sizde Türkiye de tüm otoyollarda ar zalar n trafik kazalar na etkilerini araflt rmak için tam say m yapmak mümkün de ildir. Çünkü, Türkiye otoyollar çok genifl bir co rafyaya yay lm fl oldu undan, tam say m yap lmas hem çok büyük maliyetli hem de çok fazla zaman gerektirir. S ra Sizde 3 Bu tür örneklemelere kota örneklemesi denilmektedir. S ra Sizde 4 Büyütme faktörü k=100/0=5 ve rassal say da 5 oldu- undan 5, 10, 15, 0, 5, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95 ve 100 üncü s radaki iflletmeler örneklenir. S ra Sizde 5 Köyden kente göçlerin ve flehirleflmenin araflt r ld bir çal flmada, nüfus verileri il, ilçe, belde ve köy olmak üzere idari özelliklerine göre do al s n flara ayr labilir. Yararlan lan Kaynaklar Cula, S. & Muluk, Z. (006). Temel statistik Yöntemleri. Ankara: Baflkent Üniversitesi. Gürtan, K. (198). statistik ve Araflt rma Metodlar. No:941. stanbul: stanbul Üniversitesi. Konuk, A. & Önder, S. (1999). Maden statisti i. Mühendislik Mimarl k Fakültesi Maden Mühendisli i Bölümü. Eskiflehir: Eskiflehir Osmangazi Üniversitesi. Orhunbilge, N. (000). Tan msal statistik Olas l k ve Olas l k Da l mlar. flletme Fakültesi Yay n No: 79. stanbul: stanbul Üniversitesi Serper, Ö. (000). Uygulamal statistik II. Bursa: Ezgi. Ünver, Ö. & Gamgam, H. (006). Uygulamal Temel statistik Yöntemler. Ankara: Seçkin.

27

28 CO RAF B LG S STEMLER Ç N TEMEL STAT ST K Amaçlar m z Bu üniteyi tamamlad ktan sonra; Merkezi e ilim ölçülerini hesaplay p kullanabilecek, Da l m ölçülerini hesaplay p kullanabilecek bilgi ve becerilere sahip olacaks n z. Anahtar Kavramlar Ana kütle Örnek kütle Örnekleme statistik Seriler Merkezi e ilim ölçüleri Da l m ölçüleri Ortalamalar Medyan Mod Varyans Standart sapma De iflkenlik katsay s çindekiler Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Merkezi E ilim ve Da l m Ölçüleri MERKEZ E L M ÖLÇÜLER DA ILIM ÖLÇÜLER

29 Merkezi E ilim ve Da l m Ölçüleri MERKEZ E L M ÖLÇÜLER Ana kütleden örneklenen verilerin düzenlenerek çizelgelerle ve grafiklerle sunulmas sonras nda, verileri tan mlamak, karfl laflt rmak, yorumlamak veya ana kütle parametreleri hakk nda genellemeler yapabilmek için baz ölçülere gereksinim duyulur. Merkezi e ilim ölçüleri, verileri tan mlamak için kullan lan ve verileri özetlemeye yarayan ölçülerdir. Merkezi e ilim ölçüleri, verilerin tümünü temsil eden ve merkez noktas na yak n bir de er oldu undan, ortalamalar olarak da tan mlanmaktad r. Bir örnekleme sonucunda toplanan verilerin hangi de er etraf nda topland - n gösteren ve verilerin oluflturdu u seriyi temsil eden rakama ortalama denilir. Bu nedenle ortalama, serideki en küçük ve en büyük de erler aras nda bulunur. Ortalama, örneklenen verilerin normal de erlerini göstermesi, kolayl kla ak lda tutulabilme özelli ine sahip olmas ve örneklenen farkl serilerin karfl laflt r lmas nda kolayl kla kullan labilmesi nedenleriyle istatistiksel analizlerde yayg n bir flekilde kullan lmaktad r. Örneklenen verilerin herhangi birinde meydana gelecek de er de iflikli i, ortalaman n de erinde de de iflikli e yol aç yorsa, ortalaman n hesaplanmas nda tüm örneklenen verileri dikkate alan duyarl ortalama yöntemlerini kullanmak gerekir. Ancak, örneklenen verilerin baz lar nda meydana gelecek de iflim ortalaman n de erini etkilemiyorsa, verilerin tümünü dikkate almayan duyars z ortalama yöntemleri kullan labilir. Bu ünitede, merkezi e ilim ölçüleri olarak duyarl ortalamalardan aritmetik, a rl kl, geometrik, harmonik ve kareli ortalama, duyars z ortalamalardan ise mod ve medyan ortalama yöntemlerinin hesaplanmas ve uygulamada kullan m koflullar incelenecektir. Duyarl ortalamalara basit aritmetik, a rl kl aritmetik, geometrik, harmonik ve kareli ortalamalar örnek olarak verilebiliriz. Duyars z ortalamalara ise kartil ortalamalar ile mod ve medyan ortalamay örnek olarak verebiliriz. Bu ünitede, kartil ortalamalar kapsam d fl nda tutulmufltur. Kartil ortalamalar için ayr nt l bilgilere Necmi Gürsakal n Bilgisayar Uygulamal statistik I (Alfa Yay nlar No: 109, stanbul, 001) isimli kitaptan ulaflabilirsiniz. Aritmetik Ortalama Ana kütleden elde edilen nicel örnekleme verileri toplam n n veri say s na oran na aritmetik ortalama denilmektedir. Aritmetik ortalama, seri türüne göre afla daki eflitliklerle hesaplanabilmektedir. Basit serilerde: X = X n i

30 4 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik S n flanm fl serilerde: Gruplanm fl serilerde: X = X = X.f i f i m.f i f i i i Burada; X = aritmetik ortalama, X i = i inci s n f n de eri, n = Toplam örnek say s, f i = i inci s n f n veya grubun frekans, m i = i inci grubun ortalamas d r. ÖRNEK 1 Afla daki basit serinin aritmetik ortalamas n hesaplay n z. X ve veri say s n=5 oldu un- Çözüm: Örneklenen verilerin toplam dan, aritmetik ortalamay ; X X = = 145 n 5 = 9 olarak hesaplar z. X = Örneklenen SIRA verilerin S ZDEtoplam 180 ve aritmetik ortalama 9 oldu una göre, örneklenen veri say s kaçt r? DÜfiÜNEL M ÖRNEK SORU D KKAT Afla da verilen DÜfiÜNEL M s n fland r lm fl serinin aritmetik ortalamas n hesaplay n z. X f 0 SORU D KKAT Çözüm: S n fland r lm fl serilerde aritmetik ortalamay hesaplayabilmek için öncelikle seri de erleri ile frekanslar çarp p toplamlar n bulmam z gerekmektedir. AMAÇLARIMIZ K T A P X f X.f K T A P TELEV ZYON 34 TELEV ZYON NTERNET NTERNET

31 . Ünite - Merkezi E ilim ve Da l m Ölçüleri 5 Hesaplad m z X.f = 600 ve frekanslar toplam f = 0 oldu una göre, aritmetik ortalamay ; X.f X = = 600 f 0 = 30 olarak hesaplar z. Bir bölge havzas nda taflk n riskini belirleme çal flmalar için y ll k pik ak m ve ortalama pik ak m miktarlar n belirlemek amac yla, bölge akarsular na kurulan 40 adet istasyonda yap lan ak m ölçümü verilerinin grupland r lm fl seri halindeki flekli afla daki gibidir. Bu grupland r lm fl seride, öncelikle grup ortalamalar n bulur ve daha sonra aritmetik ortalamay hesaplayabiliriz. ÖRNEK 3 Grup S n rlar (m 3 /s) Frekanslar Grup Ortalamalar Alt Üst (den az) f i m i f i x m i f ve f i. mi = 190 i = 40 olarak hesapland ndan, grupland r lm fl serinin aritmetik ortalamas ; X = m i. f f X = 3,5 m 3 /s bulunur. Aritmetik ortalaman n hesaplanmas nda, verilerin çok fazla ve büyük de erlerden oluflmas durumunda, verilerin aritmetik ortalamadan sapmalar n n cebirsel toplam n n s f ra eflit olma özelli inden faydalanarak, aritmetik ortalamay k sa yoldan hesaplamak mümkün olmaktad r. Aritmetik ortalaman n k sa yoldan hesaplanmas yöntemi, özellikle grupland r lm fl serilerde kullan lmaktad r. Bunun için öncelikle, aritmetik ortalamaya en yak n oldu u düflünülen bir grup ortalamas (genellikle en büyük frekansa sahip grubun ortalamas ), geçici ortalama olarak seçilir (m 0 ). Daha sonra, her bir grup ortalamas ndan geçici ortalaman n (m 0 ) sapmalar - n n grup aral na (A) oran ile küçültülmüfl de erlerden oluflan grup ortalamalar (u i ) elde edilir. u = m i - m 0 i A i i = = 3, 5 m / s Küçültülmüfl de erlerden oluflan serisinin aritmetik ortalamas ; 3

32 6 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik u = u.f i f i i Eflitli i ile hesapland ktan sonra, X = m 0 + ( u. A) Eflitli i yard m yla aritmetik ortalama hesaplan r. ÖRNEK 4 Örnek 1 deki verileri kullanarak küçültülmüfl de erlerle aritmetik ortalamay hesaplay n z. Çözüm: Geçici ortalama olarak, en büyük frekansa sahip grubun ortalamas n (m 0 = 35) alabiliriz. Grup aral da A = 10 oldu una göre, bu durumda küçültülmüfl grup ortalamalar n ; u i = m i eflitli i ile hesaplar z. Grup S n rlar (m 3 /s) Frekanslar Grup Ortalamalar Küçültülmüfl Grup Ort. Alt Üst (den az) f i m i u i ve oldu undan, u = 11 f i = 40 = 0, 75 olarak hesap- 40 u. f = -11 i i lar z. Aritmetik ortalama; X = m 0 + ( u. A) = 35 + (-0,75.10) = 3,5 m 3 /s bulunur. Afla da verilen SIRA grupland r lm fl S ZDE serinin aritmetik ortalamas n küçültülmüfl de erlerle hesaplay n z. DÜfiÜNEL M DÜfiÜNEL M Grup S n rlar Frekanslar Alt Üst f i SORU SORU D KKAT D KKAT Aritmetik ortalama baz matematiksel özelliklere sahip oldu undan, birçok istatistiksel analiz yönteminde kullan labilmektedir. Aritmetik ortalaman n baz matematiksel özellikleri AMAÇLARIMIZ flunlard r: K T A P K T A P TELEV ZYON TELEV ZYON

33 . Ünite - Merkezi E ilim ve Da l m Ölçüleri 7 a. Örneklenen verilerin aritmetik ortalamadan sapmalar n n cebirsel toplam s f rd r. ( X i - X ) = 0 b. Örneklenen verilerin aritmetik ortalamadan sapmalar n n kareleri toplam, herhangi bir de erden farklar n n kareleri toplam na göre en küçüktür. ( X i - X ) = En küçük c. Bir serinin de erleri ayn s radaki iki seri de erlerinin toplam na eflitse, aritmetik ortalamas da bu iki serinin aritmetik ortalamalar toplam na eflittir. X i = Y i + Z i ise X = Y +Z dir. d. Aritmetik ortalama, serideki afl r de erlerden oldukça fazla etkilenen hassas bir ortalamad r. Afla daki basit seride, verilerin aritmetik ortalamadan sapmalar n n toplam n bulunuz. X ÖRNEK 5 Çözüm: Aritmetik ortalama: X = = 0 X X - X X = 100 X - X = 0 ( ) Afla da verilen basit seri de erlerinden aritmetik ortalama, en küçük de er ve en büyük de erleri ç kararak, bulaca n z farklar n kareleri toplamlar n karfl laflt r n z. X ÖRNEK 6

34 8 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Çözüm: Serinin aritmetik ortalamas : X X = i = 50 n 5 = 10 Örneklenen verilerin aritmetik ortalamadan sapmalar n cebirsel toplam n n s f r ve aritmetik ortalamadan sapmalar n kareleri toplam n n ek küçük olma özelli i, regresyonkorelasyon analizlerinin temelini oluflturmaktad r. X (X - 10) (X - 6) (X - 15) X = 50 ( X - 10 ) = 60 ( X - 6 ) = 140 ( X - 15 ) = 185 Seri de erlerinin aritmetik ortalamadan sapmalar n n kareleri toplam, serinin en küçük ve en büyük de erden farklar n n kareleri toplam na göre en küçüktür. A rl kl Ortalama Aritmetik ortalama, her verinin a l klar n n (önem derecelerinin) birbirine eflit oldu u durumlarda kullan l r. Örneklenen verilerin önem derecesinin farkl oldu u durumlarda ise, bu önem derecelerinin de hesaplamalara dahil edilmesi gerekir. Seri türlerine göre a rl kl ortalaman n hesaplanmas afla daki gibi yap lmaktad r: Basit serilerde: S n flanm fl serilerde: X = X = a i.x a a.x.f a.f i i i a Gruplanm fl serilerde: X = i.m i.fi a i.fi Burada, a i = i inci örne in önem veya a rl d r. i i i i ÖRNEK 7 Bir maden iflletmecisi, maden yata nda yapm fl oldu u 5 adet sondaj sonucunda, sondajlar n kesti i maden damar kal nl klar n n afla daki gibi oldu unu belirlemifltir. Sondajlar n etki alanlar farkl oldu una göre, maden yata n n etki alan ile a rl kl ortalama damar kal nl nedir? Sondaj No Damar Kal nl (m)- X i Etki Alan (m )- a i Çözüm: Elde edilen veriler basit seri fleklinde oldu undan, etki alan yla a rl kl ortalamay afla daki gibi hesaplayabiliriz. a i = ve a i.x i = a rl kl ortalamas ; olarak hesapland ndan, basit serinin

35 . Ünite - Merkezi E ilim ve Da l m Ölçüleri 9 X = a.x i a i i = = 9,7m bulunur. Bir firma flehir içinde çeflitli semtlerde bulunan 5 ma azas nda ayn SIRA ürünü S ZDE promosyon uygulamas nedeniyle farkl fiyatlardan satmaktad r. Afla da firman n ma azalar nda sat lan ürünlerin miktarlar ve birim sat fl fiyatlar verilmifltir. Firma ürünlerini ortalama hangi fiyattan satm flt r? DÜfiÜNEL M 3 DÜfiÜNEL M Ma aza Ad Birim Sat fl Fiyat (TL/adet) Sat lan Ürün SORU Miktar (Adet) A B 40 D KKAT 350 C D E S ORU D KKAT AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ Geometrik Ortalama Örneklenen verilerin oranlar ve yüzdelerden olufltu u durumlarda aritmetik ortalama uygun bir ortalama de ildir. Verilerin ani ve anormal farkl l klar K T A gösterdi i P ya da yüzde ve oranlarla ifade edildi i durumlarda geometrik ortalama daha kullan fll d r. Aritmetik ortalama aritmetik dizi, geometrik ortalama ise geometrik dizi fleklindeki serilere uygun ortalama tipidir. TELEV ZYON Geometrik ortalama iki farkl flekilde hesaplanabilir. a. Bir veri setinde bulunan n adet birimin çarp m n n n inci dereceden kökünün al nmas yla elde edilen de er geometrik ortalamay verir. NTERNET n G = X 1.X.X 3.X 4...Xn b. Verilerin logaritmalar al narak bulunacak logaritmik aritmetik ortalaman n eksponansiyeli (anti logaritmas ) hesaplanarak geometrik ortalama elde edilir. Seri türlerine göre geometrik ortalama afla daki eflitliklerle hesaplanabilir. K T A P TELEV ZYON NTERNET Basit serilerde: In G = In X i n S n flanm fl serilerde: Gruplanm fl serilerde: In G = In G = In X.f f In m.f f i i i i i i DÜfiÜNEL M DÜfiÜNEL M G = exp(in G) SORU SORU Veri de erlerinin herhangi birinin s f r veya s f rdan küçük olmas durumunda D KKAT geometrik ortalaman n hesaplanmas mümkün olamamaktad r. D KKAT AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ K T A P K T A P

36 30 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik ÖRNEK 8 Afla daki basit serinin geometrik ortalamas n hesaplay n z. X (%) Çözüm: Basit serilerde geometrik ortalamay iki farkl yöntemle hesaplayabiliriz. a. Veri setinde bulunan n adet birimin çarp m n n n inci dereceden kökünün al nmas : n = 5 n G = X 1.X.X 3.X 4...Xn 5 G = = 37 b. Verilerin logaritmalar al narak aritmetik ortalaman n hesaplanmas : DÜfiÜNEL M SORU D KKAT ÖRNEK 9 X Ln X (%) 0, , , , ,007 X = 195 LnX = 18,054 DÜfiÜNEL M LnX Ln G = = 18,054 = 3,611 n 5 G = e 3,611 SORU = 37 Geometrik ortalama D KKAThesaplamada, n inci dereceden kök alma zorlu u nedeniyle genellikle verilerin logaritmalar al narak hesaplama yöntemi tercih edilmektedir. Afla da verilen grupland r lm fl seri için geometrik ortalamay hesaplay n z. AMAÇLARIMIZ Grup Aral klar f i m i ln m AMAÇLARIMIZ i ,773 K T A P 18- K T A P 7 0, , ,33 TELEV ZYON TELEV ZYON ,466 NTERNET NTERNET

37 . Ünite - Merkezi E ilim ve Da l m Ölçüleri 31 Çözüm: Geometrik ortalamay hesaplayabilmek için öncelikle grup ortalamalar n n (m i ) logaritmalar n (ln m i ) buluruz. Logaritmik grup ortalamalar ile frekanslar çarparak toplad m zda; In m.f = 94,34 i i elde ederiz. Bu durumda geometrik ortalamay ; In G = G = 3,13 In m.f f i i i = 94, = 3,141 olarak buluruz. Harmonik Ortalama Harmonik ortalama bir serideki gözlem de erlerinin terslerinin aritmetik ortalamas n n tersine eflittir. Seri türlerine göre harmonik ortalaman n hesaplanmas afla - daki eflitliklerdeki gibi yap lmaktad r. Basit serilerde: S n flanm fl serilerde: H = H = Gruplanm fl serilerde: H = n 1 X i fi fi Xi fi fi mi Oran, yüzde ve bölme fleklinde ifade edilen seri de erlerinin ortalamas n hesaplamada aritmetik ortalama uygun bir ortalama olmay p, bu gibi durumlarda harmonik ortalaman n kullan m tercih edilir. Örne in, belirli bir zamanda al nan yol ile hesaplanan h z, belirli bir zamanda üretilen miktar ile hesaplanan verim ve belirli bir miktar için ödenen fiyat gibi de iflkenlerin ortalamas n n hesaplanmas nda harmonik ortalaman n kullan m daha uygun olmaktad r. Borsada ifllem gören bir hisse senedinin bir haftal k günlük ifllem fiyatlar afla daki gibi gerçekleflmifltir. Hisse senedinin haftal k ortalama fiyat n aritmetik ortalama ve harmonik ortalama yöntemleriyle hesaplay n z. ÖRNEK 10 Günler Fiyat (TL/Hisse) Pazartesi 4,64 Sal 4,97 Çarflamba 5, Perflembe 5,9 Cuma 5,40

38 3 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Çözüm: Aritmetik Ortalama: X X = i = 6,15 = 5,3 TL n 5 Harmonik Ortalama: H = n 1 = 5 = 5,0 TL 0,964 X i Örne in çözümünden de görüldü ü gibi, fiyatla ifade edilen hisse senedi serisinin ortalamas n aritmetik ortalama ile hesaplasayd k, hisse bafl na ortalama 0,03 TL daha yüksek hesaplayacakt k. DÜfiÜNEL M SORU D KKAT 4 Türkiye de faaliyet gösteren bir Banka, tafl t kredilerine uygulad faiz oranlar n y l içerisinde ekonomik geliflmelere ba l olarak üç ayda bir olmak üzere 4 kez de ifltirmifltir. Y l içinde uygulanan faiz oranlar afla daki gibi oldu una göre ortalama ayl k faiz oran nedir? DÜfiÜNEL M SORU Dönemler Ayl k FaizOran (%) 1. Üç ay 1,05 D KKAT. Üç ay 1,5 3. Üç ay 1,39 4. Üç ay 0,99 Kareli Ortalama AMAÇLARIMIZ Serideki de erlerin AMAÇLARIMIZ karelerinin aritmetik ortalamas n n kareköküne kareli ortalama denilir. Seri türlerine göre kareli ortalaman n hesaplanmas afla daki eflitliklerdeki gibi yap lmaktad r: K T A P K T A P X Basit serilerde: K = i n TELEV ZYON TELEV ZYON Bir seri de erinden aritmetik ortalaman n ç kar lmas ile elde edilen sapmalar serisinin NTERNET toplam daima s f ra eflittir ( ( X i - X ) = 0 ). Bu nedenle, sapmalar serisinin ortalamas n n hesaplanmas nda da kareli ortalama kullan l r. S n flanm fl serilerde: NTERNET K = Gruplanm fl serilerde: K = f i.xi fi f i.mi fi Bir seride s f r ve/veya farkl iflaretli (negatif veya pozitif) de erler varsa geometrik ve harmonik ortalamalar hesaplanamaz. Bu gibi serilerde, aritmetik ortalaman n da mant kl sonuçlar vermedi inden kuflkulan l yorsa, kareli ortalaman n kullan m tercih edilmektedir. Kareli ortalama, genellikle bir seride s f rdan küçük terimlerin bulundu u veya terimler toplam s f ra eflit olan serilerde kullan lmaktad r. ÖRNEK 11 Bir madencilik flirketinin y l n ilk 6 ay ndaki faaliyet kar/zararlar afla daki gibidir. fiirketin ayl k ortalama karl l nedir?

39 . Ünite - Merkezi E ilim ve Da l m Ölçüleri 33 Aylar Faaliyet Kar/Zarar (TL) Ocak fiubat Mart 000 Nisan 4000 May s 7000 Haziran 9000 eflitli i ile orta- Çözüm: Kar/zarar verileri basit seri oldu undan, K = lama karl l hesaplayabiliriz. Xi n n=6 ve X i = oldu undan ayl k ortalama karl l ; X K = i = n = 6110,1 TL olarak hesaplar z. Bir kent merkezinde Ocak ay nda ölçülen günlük en yüksek hava s cakl klar afla da grupland r lm fl seri olarak verilmifltir. Ocak ay günlük ortalama hava s cakl n hesaplay n z. DÜfiÜNEL M Grup Aral klar f i Alt Üst SORU D KKAT DÜfiÜNEL M SORU1 5 DÜfiÜNEL M SORU D KKAT DÜfiÜNEL M SORU AMAÇLARIMIZ Normal bir seride ortalamalar aras nda afla daki gibi bir büyüklük iliflkisi vard r. AMAÇLARIMIZ D KKAT D KKAT Kareli > Aritmetik > Geometrik > Harmonik Ortalama K > X > G > H K SIRA TS ZDE A P K SIRA TS ZDE A P Medyan Serideki de erler küçükten büyü e s raland nda tam ortaya AMAÇLARIMIZ düflen ve seriyi iki TELEV ZYON eflit parçaya bölen de ere medyan (ortanca) denilir. Medyan, veri de erleri TELEV ZYON AMAÇLARIMIZ içindeki afl r küçük ve afl r büyük de erlerden etkilenmedi inden, aritmetik ortalamaya göre daha güvenlidir. Ancak medyan, basit bir s ralama ile hesapland ndan K T A P hassas bir ortalama de ildir. NTERNET NTERNET K T A P S ralanm fl veri de erleri içerisindeki en küçük veya en büyük de erlerin, di erlerinden çok daha fazla uzaklaflmas ile simetrik olmayan çarp k TELEV ZYON da l mlar ortaya TELEV ZYON ç kmaktad r. Örneklenen verilerin da l m n n çarp k oldu u veya seride afl r küçük/büyük de erlerin bulundu u durumlarda, merkezi e ilim ölçüsü olarak medyan n kullan m tercih edilebilmektedir. NTERNET NTERNET Basit serilerde medyan bulabilmek için öncelikle veriler küçükten büyü e do ru s ralan rlar. Daha sonra serideki veri say s n n tek veya çift say da olup olmad na göre medyan belirlenir.

40 34 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Burada; L m = medyan grubunun alt s n r n, S m = medyan grubunun aral n, ( f i / ) = toplam frekanslar n yar s n, m-1 f i = medyan i=1 grubundan bir önceki grubun toplam frekans n, fm = medyan grubunun frekans n ifade etmektedir. ÖRNEK 1 n + 1 Veri say s tek ise; gözlem de eri medyand r. 'inci n n Veri say s çift ise; gözlem de erlerinin aritmetik ortalamas ve + 1'inci medyand r. S n flanm fl serilerde medyan, (( f i ) + 1 )/ 'inci frekans içeren terimdir. Tam ortaya düflen bu terimi bulabilmek için frekanslar, kümülatif (toplam) frekanslar haline dönüfltürülür. Kümülasyon ifllemi genellikle küçükten büyü e yap l r. Grupland r lm fl serilerde öncelikle medyan grubunun belirlenmesi gerekir. Medyan grubunun belirlenebilmesi için de öncelikle ayr bir sütunda toplam frekanslar f i / ifllemi ile medyan grubunun s ra de eri belirlenir. Toplam frekanslar n yar s na karfl l k bu de eri içeren grup, medyan grubudur. Medyan grubunun de erleri ele al narak, afla daki eflitlikle medyan hesaplan r. M e = L m + S m. f m-1 i - f i i=1 f m Afla daki basit serinin medyan n hesaplay n z. X i n + 1 Çözüm: Basit serinin veri say s (n = 5) tek oldu undan, = = 3'üncü gözlem de eri olan 19 medyand r. Bu durumda, seriyi tam ortadan ikiye bölen medyan de eri; M e = 19 olmaktad r. ÖRNEK 13 Afla daki basit serinin medyan n hesaplay n z. X i n Çözüm: Basit serinin veri say s (n=6) çift oldu undan, ve n gözlem de erlerinin aritmetik ortalamas medyan olacakt r. + 1 = = 4'üncü = 6 = 3 3 üncü gözlem de eri 19 ve 4 üncü gözlem de eri 3 oldu una göre medyan ; M e = = 1 olarak hesaplar z.

41 . Ünite - Merkezi E ilim ve Da l m Ölçüleri 35 Afla da verilen s n fland r lm fl serinin medyan n hesaplay n z. X i f i ÖRNEK 14 Çözüm: S n flanm fl serilerde medyan, f i + 1 / 'inci frekans içeren terim oldu undan, öncelikle her bir grubun kümülatif frekanslar bulunur. X f f i (( ) ) f i + 1 = = 15,5'inci kümülatif frekans içeren de er 0 oldu undan; M e = 4 bulunur. Mermer iflletmelerinde çal flan iflçi say lar ile ilgili yap lan bir araflt rmada afla - daki grupland r lm fl seri elde edilmifltir. Buna göre mermer iflletmelerinde çal flan iflçi say s n n medyan ortalamas nedir? Grup Aral klar f i (Çal flan Say s ) (iflletme Say s ) ÖRNEK 15 Çözüm: Grupland r lm fl serinin medyan n bulabilmek için öncelikle, her bir grubun kümülatif frekans n buluruz. Grup Aral klar f i (Çal flan Say s ) (iflletme Say s ) f i f Medyan grubunun frekans = i = 5 = 6 Medyan grubunun frekans (6), toplam frekanslar n 8 ile 8 oldu u aral kta yer ald ndan, medyan grubu grubudur. Bu durumda;

42 36 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik L m = 30, S m = 10, m-1 f i / = 6, f i = 8 i=1 ( ) f m-1 i - f i i=1 M e = L m + S m. f m ve f m = 0 oldu undan, 6 M = e = 39 0 M e = 39 kifli olarak hesaplan r. Bir hastanede SIRA sigara S ZDE kullananlar n büyük tansiyonlar ölçüldü ünde afla daki da l m elde edilmifltir. Sigara kullananlar n büyük tansiyonlar n n medyan ortalamas kaçt r? DÜfiÜNEL M DÜfiÜNEL M Grup Aral klar Frekanslar SORU D KKAT Alt Üst f i SORU D KKAT SIRA 160S ZDE TELEV ZYON NTERNET Mod AMAÇLARIMIZ Basit seriler AMAÇLARIMIZ s n fland r lmam fl olduklar ndan, en çok tekrarlanan K T A de eri P bulmak söz konusu olamaz. Bu nedenle de, basit seriler için mod bulunamaz. Bir seride en çok gözlenen (tekrarlanan) de ere veya frekans en büyük olan de- ere mod denilir. Mod, serideki frekanslar n önemli bir k sm n içerdi inden, ortalamalar aras nda en temsili olan d r. Ayr ca mod, anormal afl r de erlerin etkisi alt nda kalmaz. Bununla birlikte mod, tüm veri de erlerini göz önünde bulundurma- K T A P d için tutarl olmayan bir merkezi e ilim ölçüsüdür. S n fland r lm fl ve grupland r lm fl seriler için mod hesaplanabilir. TELEV ZYON S n flanm fl serilerde, frekanslar içeren sütunda en yüksek frekans saptand ktan sonra, buna karfl l k gelen de er araflt r larak mod bulunabilir. Grupland r lm fl serilerde mod de eri hesaplan rken öncelikle, frekans en büyük olan mod NTERNET grubu belirlenir. Mod grubu belirlendikten sonra, bu grup içerisinde yer alan modun de eri, grup frekans ile bundan bir önceki ve bir sonraki gruplar n frekanslar dikkate al narak hesaplan r. Gruplanm fl serilerde mod, afla daki eflitlikle hesaplan r. M o = L mo + S. mo 1 = f mo - f mo = f mo - f mo+1 Burada, L mo = mod grubunun alt s n r, S mo = mod grubunun aral, f mo = mod grubunun frekans, f mo-1 = mod grubundan önceki grubun frekans ve f mo+1 = mod grubundan bir sonraki grubun frekans d r.

43 . Ünite - Merkezi E ilim ve Da l m Ölçüleri 37 Bir kent merkezinde hane halk büyüklü ünün mod ortalamas n araflt rmak üzere çal flma yap lm fl olup, afla daki grupland r lm fl seri elde edilmifltir. Hane halk büyüklü ünün mod ortalamas n hesaplay n z. ÖRNEK 16 Grup Aral klar f i (Hane Halk -Kifli) (Hane Say s -%) Çözüm: En büyük frekans (4) içeren mod grubu 4-6 grubu oldu undan, mod grubu dikkate al narak afla daki de erler belirlenir. f mo = 4, f mo-1 = 7, f mo+1 = 13, L mo = 4, S mo = 1 = f mo - f mo-1 = 4-7 = 15 =f mo - f mo+1 = 4-13 = 9 M o = L mo + S mo M o = = 4,7 M o = 4,7 kifli. DA ILIM ÖLÇÜLER Ortalamalar, rassal örneklenmifl verilerin merkezi e ilim ölçülerini SIRA göstermekle S ZDE birlikte, bu de er çevresindeki yay l m n büyüklü ü hakk nda bir bilgi vermez. Rassal örneklenen veri seti için bulunan merkezi e ilim ölçüsünü yorumlamak DÜfiÜNEL M ve birden fazla veri seti için verilerin da l mlar aras nda karfl laflt rmalar yapabilmek amac yla baz da l m ölçüleri kullan labilmektedir. Da l m ölçüleri olarak ço unlukla de- SORU iflkenlik aral, varyans, standart sapma ve de iflkenlik katsay s kullan lmaktad r. Da l m ölçüsü, seriyi oluflturan verilere sabit bir say eklendi inde D KKAT veya ç kar ld nda de eri de iflmeyen ölçüdür. Örneklenen verilerin da l mlar n n yay lmalar n n nas l oldu u da önemlidir. Örne in, iki ayr kent merkezinin ocak ay hava kirlili i (kükürt) aritmetik ortalamas 40 µg/m 3 olarak ölçüldü ünde, her iki kentin hava kirlili inin ayn oldu unu söylenebilir. Ancak, bir kent merkezinde hava kirlili i bir ay içerisinde µg/m 3 aras nda de ifliyor iken di er kent merkezinde 5-75 µg/m 3 aras nda de ifliyorsa, bu durumda her iki kentin hava kirlili i düzeylerinin farkl oldu u; DÜfiÜNEL M aritmetik ortalamalar n da hava kirlili i düzeyini aç klamakta pek yeterli olmad anlafl lacakt r. SORU D KKAT De iflkenlik Aral Örneklemeler sonucu elde edilen veriler aras nda var olan en küçük ve en büyük de er aras ndaki fark de iflkenlik aral (R) olarak tan mlan r. AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ R = X enb - X enk Da l m ölçüleri içinde hesaplan fl en kolay olan fakat en kaba K Tölçüt A P de iflkenlik aral d r. De iflkenlik aral, özellikle veri say s n n çok oldu u durumlarda güvenilir de ildir. TELEV ZYON K T A P TELEV ZYON NTERNET NTERNET

44 38 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Varyans ve Standart Sapma Verilerin da l m n veya yay l m n n büyüklü ünü ölçmek için en çok kullan lan parametre varyanst r. Varyans, rassal örneklenmifl verilerin aritmetik ortalamaya göre farklar n n karelerinin toplam n n ortalamas olup, verilerin ortalamadan sapmas n ve ortalamaya göre yay lman n büyüklü ünü gösteren bir ölçüdür. Basit serilerde varyans, afla daki eflitlikle hesaplanabilir. DÜfiÜNEL M SORU D KKAT S = n ( X i - X) i=1 DÜfiÜNEL M n Burada; S = da l m n varyans, X i = i inci rassal örneklenmifl de iflkenin de eri, X S ORU = da l m n örnek kütle aritmetik ortalamas, n = kütlenin örnek say s d r. Basit serilerde D KKAT e er n<30 ise, varyans hesaplamada payda n-1 olur. S n fland r lm fl serilerde ise varyans; AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ k S = i=1 ( ) X i - X.fi k fi i=1 K T A P TELEV ZYON NTERNET eflitli i ile K hesaplanabilir. T A P Burada, k = s n f say s, f i = i inci s n f n frekans d r. TELEV ZYON Grupland r lm fl serilerde de varyans; S = i=1 ( ) m i - X.fi l fi i=1 eflitli i NTERNET ile hesaplanabilir. Burada, l = grup say s n, m i = i inci grubun ortalamas n, f i = i inci grubun frekans n göstermektedir. Varyans n büyük olmas, de iflkenin ortalama çevresindeki yay l m n n büyük oldu unu gösterir. fiekil.1. deki A 1 ve A de iflkenlerinin ortalamalar ayn olmakla birlikte A 1 in varyans daha büyüktür. Bu nedenle, A 1 in ortalamadan uzak de erler alma olas l n n daha büyük oldu unu söylemek mümkündür. Varyans n boyutu, rassal de iflkenin boyutunun karesi gibidir. Bu nedenle ço- u zaman, varyans n karekökü olan standart sapma kullan l r. l fiekil.1 Varyanslar farkl iki de iflkenin frekans da l fl f (x) A σa σ 1 A A 1

45 . Ünite - Merkezi E ilim ve Da l m Ölçüleri 39 De iflkenlik Katsay s Ortalamalar birbirinden farkl olan örnek kütlelerden hangisinin yay l m n n büyük oldu unu anlamak için de, boyutsuz bir katsay olan de iflkenlik (varyasyon) katsay s ndan yararlan l r. De iflkenlik katsay s afla daki gibi hesaplan r. C=σ / X De iflkenlik katsay s, ortalamaya göre yay l m n büyüklü ünü gösteren bir katsay d r. çme suyu temin edilmesi tasarlanan iki akarsuda (A ve B) su kalitesini belirlemek amac yla ask daki at k maddeler (mg/l) analiz edilmifl olup, elde edilen veriler afla daki gibidir. çme suyunda ask daki at k madde miktar n n mümkün oldu unca az olmas istendi ine göre, aritmetik ortalama, standart sapma ve de iflkenlik katsay lar dikkate al nd nda, hangi akarsu içme suyu temini için tercih edilmelidir? ÖRNEK 17 A (mg/l) B (mg/l) 1,8 5,6 3,9 5, 5,5 4,7 6,6 9,4 9,8 9,1 4,7 4,4 1,4 8, 7,6 7,8 6,7 6,3 8,3 5,8 7, 9,6 4,9 6,7 Basit serinin aritmetik ortalamas na göre; X = n X i X A = 79,4 / 1 = 6,6 mg/l X B = 8,8 / 1 = 6,9 mg/l X A < X B oldu undan A akarsuyu tercih edilir. Standart sapmalar; S = ( ) X i - X n - 1 S A = 86, =,8 mg / l S B = 38, = 1,9 mg / l

46 40 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik S B < S A oldu undan B akarsuyu tercih edilmelidir. Aritmetik ortalama ve standart sapman n farkl seçenekleri en iyiledi i durumlarda, mutlaka de iflkenlik katsay s n da hesaplayarak karar vermek gerekir. De iflkenlik katsay lar ; C = S X =,8 1,9 CA = 0,44 CB = 6,6 6, 9 = 0,75 C B < C A oldu undan B akarsuyu içme suyu temini için tercih edilir. A akarsuyunda ask daki at k madde miktar ortalama olarak daha az olmakla birlikte, de iflkenlik daha fazlad r.

47 . Ünite - Merkezi E ilim ve Da l m Ölçüleri 41 Özet A MAÇ 1 Merkezi e ilim ölçülerini hesaplay p kullanmak. Verileri tan mlamaya ve özetlemeye yarayan merkezi e ilim ölçüleri, verilerin tümünü temsil eden ve merkez noktas na yak n bir de er oldu undan, ortalamalar olarak da tan mlanmaktad r. Her verinin a l klar n n (önem derecelerinin) birbirine eflit oldu u durumlarda basit aritmetik ortalama, farkl oldu u durumlarda ise a rl k ortalama kullan lmaktad r. Verilerin ani ve anormal farkl - l klar gösterdi i ya da yüzde ve oranlarla ifade edildi i durumlarda geometrik ortalama kullan lmaktad r. Oran, yüzde ve bölme fleklinde ifade edilen seri de erlerinin ortalamas n hesaplamada harmonik ortalaman n kullan m tercih edilmektedir. Bir seride s f r ve/veya farkl iflaretli (negatif veya pozitif) de erler varsa, kareli ortalaman n kullan m tercih edilmektedir. Merkezi e ilim ölçüleri serinin basit, s n fland r lm fl veya grupland r lm fl olma flekillerine göre farkl yöntemlerle hesaplanabilmektedir. Serideki de erlerin tam ortas na düflen ve seriyi iki eflit parçaya bölen medyan (ortanca), veri de- erleri içindeki afl r küçük ve afl r büyük de erlerden etkilenmez. Ancak medyan, basit bir s ralama ile hesapland ndan hassas bir ortalama de ildir. Bir seride en çok gözlenen (tekrarlanan) de ere veya frekans en büyük olan de er olan mod ise, ortalamalar aras nda en temsili olan d r. A MAÇ Merkezi e ilim ve da l m ölçülerini hesaplay p kullanmak. Rassal örneklenen veriler için bulunan merkezi e ilim ölçüsünü yorumlamak ve birden fazla veri seti için verilerin da l mlar aras karfl laflt rmalar yapabilmek amac yla de iflkenlik aral, varyans, standart sapma ve de iflkenlik katsay s kullan lmaktad r. Örneklenen verilerin en küçük ve en büyük de- eri aras ndaki farka de iflkenlik aral (R) denilmektedir. Örneklenen verilerin aritmetik ortalamaya göre farklar n karelerinin toplam n n ortalamas na varyans denilmekte olup, varyans ortalamaya göre yay lman n büyüklü ünü gösterir. Varyans n kareköküne de standart sapma denilir. Standart sapman n ortalamaya bölünmesiyle elde edilen ölçüte ise de iflkenlik katsay s denilmektedir.

48 4 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Kendimizi S nayal m 1. Örneklenen 10 adet veri ile oluflturulan seride, gözlem de erleri toplam X = 80 oldu una göre, serinin aritmetik ortalamas kaçt r? a. b. 4 c. 6 d. 8 e. 10. Grup Aral klar - f i Yukar daki grupland r lm fl serinin medyan kaçt r? a. 4,5 b. 5, c. 6,4 d. 7,4 e. 10,1 3. Grup Aral klar - f i Yukar daki grupland r lm fl serinin modu kaçt r? a. 34 b. 44 c. 46 d. 48 e Aritmetik ortalamas 0 ve de iflkenlik katsay s 0,4 olan bir da l m n standart sapmas kaçt r? a. 4 b. 8 c. 16 d. 18 e Grup Aral klar - f i Yukar daki grupland r lm fl serinin aritmetik ortalamas 10 oldu una göre, da l m n varyans kaçt r? a. 4,5 b. 0,3 c. 10,4 d. 16,8 e. 8,8 6. X Yukar daki basit serinin harmonik ortalamas kaçt r? a.,05 b.,5 c.,44 d. 4,10 e. 4,40 7. Örneklenen veri say s n=5 ve verilerin kareleri toplam X i = 8000 olan, serinin kareli ortalamas kaçt r? a. 10 b. 0 c. 5 d. 35 e , -4,, 0, -6, 8, 1, 15 Yukar daki basit serinin kareli ortalamas kaçt r? a. 0 b. 4 c. 8 d. 10 e. 1

49 . Ünite - Merkezi E ilim ve Da l m Ölçüleri 43 Kendimizi S nayal m Yan t Anahtar 9. 6, 8, 8, 6, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 4, 7, 5, 6 Yukar daki basit serisinin modu kaçt r? a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e X Yukar daki basit serinin de iflim aral kaçt r? a. 4 b. 6 c. 10 d. 14 e d Yan t n z yanl fl ise, Aritmetik Ortalama konusunu gözden geçiriniz.. d Yan t n z yanl fl ise, Medyan konusunu gözden geçiriniz. 3. b Yan t n z yanl fl ise, Mod konusunu gözden geçiriniz. 4. b Yan t n z yanl fl ise, De iflkenlik Katsay s konusunu gözden geçiriniz. 5. a Yan t n z yanl fl ise, Varyans ve Standart Sapma konusunu gözden geçiriniz. 6. c Yan t n z yanl fl ise, Harmonik Ortalama konusunu gözden geçiriniz. 7. e Yan t n z yanl fl ise, Kareli Ortalama konusunu gözden geçiriniz. 8. c Yan t n z yanl fl ise, Kareli Ortalama konusunu gözden 9. c Yan t n z yanl fl ise, Mod konusunu gözden geçiriniz. 10. e Yan t n z yanl fl ise, De iflkenlik Aral konusunu gözden geçiriniz.

50 44 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik S ra Sizde Yan t Anahtar S ra Sizde 1 X = 9 ve X i = 180 olarak verilmifl olup n =? X X X = i n = i = 180 n X 9 = 0 H = n X i S ra Sizde 5 1 = 4 3, 48 = 1,15 % Grup Aral klar S ra Sizde f i m i m i Alt Üst m 0 = 500 ve A = 1000 oldu una göre, bu durumda küçültülmüfl grup ortalamalar n ; m u i i = eflitli i ile hesaplar z Grup S n rlar Frekanslar Grup Küçültülmüfl Ortalamalar Grup Ort. Alt Üst (den az) f i m i u i f i = 31 ve f i.mi = 988 oldu undan; f.m K = i i = C fi 31 = 5, hesaplan r S ra Sizde 6 7 u.f f oldu undan, u = = 0, i i = 7 ve i = Grup S n rlar Frekanslar olarak hesaplar z. f i Aritmetik ortalama; X = m 0 + (u Alt Üst f i.a) = (0,.1000) = 700 bulunur S ra Sizde a.x X = i i = ai 1100 = 50,9 S ra Sizde 4 X i a i Dönemler X i Ayl k Faiz Oran (%) 1. Üç ay 1,05. Üç ay 1,5 3. Üç ay 1,39 4. Üç ay 0, ( ) f i Medyan grubunun frekans = = 60 = 30 Medyan grubu grubudur. m-1 L m = 140, S m = 10, ( f i / ) = 30, f i = 17 ve f m = 18 oldu undan, i= M e = = 147, 18

51 . Ünite - Merkezi E ilim ve Da l m Ölçüleri 45 Yararlan lan Kaynaklar Çömlekçi, N. (1989). Temel statistik lke ve Teknikleri. stanbul: Bilim Teknik. Gürsakal, N. (001). Bilgisayar Uygulamal statistik I. No:109. stanbul: Alfa. Gürtan, K. (198). statistik ve Araflt rma Metodlar. No:941. stanbul: stanbul Üniversitesi. Konuk, A. & Önder, S. (1999). Maden statisti i. Mühendislik Mimarl k Fakültesi Maden Mühendisli i Bölümü. Eskiflehir: Eskiflehir Osmangazi Üniversitesi. Orhunbilge, N. (000). Tan msal statistik Olas l k ve Olas l k Da l mlar. flletme Fakültesi Yay n No: 79. stanbul: stanbul Üniversitesi. Ünver, Ö. & Gamgam, H. (006). Uygulamal Temel statistik Yöntemler. Ankara: Seçkin. Yüzer, A.F. (Ed.) (009). statistik. Aç k Ö retim Fakültesi Yay n No: 771. Eskiflehir: Anadolu Üniversitesi.

52 3CO RAF B LG S STEMLER Ç N TEMEL STAT ST K Amaçlar m z Bu üniteyi tamamlad ktan sonra; Kesikli ve sürekli rassal de iflken kavram n ö renerek verilerin uygun da - l m modelini seçebilecek, Kesikli rassal de iflkenlerin da l m modellerinin (Binom ve Poission) parametrelerini hesaplay p, spesifik uygulamalarda da l m parametrelerini kullanabilecek, Sürekli rassal de iflkenlerin da l m modellerinin (Normal ve Lognormal) parametrelerini hesaplay p, spesifik uygulamalarda da l m parametrelerini kullanabilecek bilgi ve becerilere sahip olacaks n z. Anahtar Kavramlar Kesikli Da l m Sürekli Da l m Binom Da l m Poisson Da l m Normal Da l m Lognormal Da l m Standart Normal Da l m Çarp kl k Katsay s Bas kl k Katsay s Varyans Standart Sapma Ortalama çindekiler Co rafi Bilgi Sistemleri için Temel statistik Olas l k Da l m Modelleri OLASILIK DA ILIMLARINA GENEL BAKIfi BAZI KES KL (B NOM VE POISSON) OLASILIK DA ILIM MODELLER BAZI SÜREKL (NORMAL VE LOGNORMAL) OLASILIK DA ILIM MODELLER

53 Olas l k Da l m Modelleri OLASILIK DA ILIMLARINA GENEL BAKIfi Rassal de iflkenlerin tüm mümkün sonuçlar n n olas l klar n n say sal veya grafiksel sunumuna olas l k da l mlar denilmektedir. Rassal örneklenen de iflkenlerin ald de erlerin olas l k da l m flekli kesikli veya sürekli olabilmektedir. Rassal örneklenen verilerin ald de erler bir eksen üzerinde kesintisiz bir flekilde s ralanabiliyorsa ve bir aral ktaki bütün de erleri alabiliyorsa, bu de iflkenler sürekli de iflkenler olarak tan mlanmaktad r. Sürekli de iflkenlerde, iki de iflken de eri aras na sonsuz say da de er yerlefltirmek mümkündür. Buna karfl l k, rassal örneklenen bir de iflken sadece belirli say da de erler alabiliyor ve yaln zca say labilir say da de erler al yorsa, bu de iflken kesikli de iflken olarak tan mlanmaktad r. Kesikli de iflkenlerde, iki de iflken aras nda sonlu say da de er bulunmaktad r. Örne in, Üniversite ö rencilerinin bir dersten alm fl olduklar harf notlar n n katsay lar n s n fland rarak sundu umuzda, elde edece imiz da l m kesikli olur. Ö rencilerin bir dersten alaca harf notunun katsay s 1,, 3 veya 4 olabilir. Buna karfl l k, s n ftaki ö rencilerin genel not ortalamalar n grupland rarak sundu umuzda elde edece imiz da l m ise sürekli olur. Ö rencilerin tüm derslerden ald klar harf notlar n n genel ortalamas 1.,.6,.9 veya 3.4 gibi ara de erleri de alabilece inden, genel not ortalamalar da l m sürekli olur. Kesikli de iflkenlerde, belirli de erlerin noktasal olarak gerçekleflme olas l klar belirlenebilir. Ancak, sürekli rassal de iflkenlerde belirli de erlere olas l klar verilemez. Örne in, kesikli bir de iflken olarak hava s cakl n n 0 C olma olas l hesaplanabilir. Ancak, sürekli de iflken olarak hava s cakl n n tan mlanmas halinde, hava s cakl n n belirli aral (örne in 18- C) için gerçekleflme olas l hesaplanabilir. Kesikli veya sürekli de iflkenlerin olas l k da l m n, matematiksel modellerle ifade etmek mümkündür. BAZI KES KL OLASILIK DA ILIM MODELLER Co rafi bilgi sitemleri kapsam nda örneklenen birçok kesikli da lm fl de iflkenler için Binom ve Poisson da l m modeli kullan labilmektedir. Bu nedenle, bu bölümde kesikli da l mlardan sadece Binom ve Poisson da l m modellerinin hesaplanmas n ve bu parametrelerin uygulamada kullan m n ele alaca z.

54 48 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik X rassal de iflkeninin baflar için 1 ve baflar s zl k için 0 de erini ald durumda, X rassal de iflkeninin olas l k fonksiyonunun P(X=1)=p ve P(X=0)=1-p=q veya P(X=x)= p x (1-p) 1-x oldu u da l mlara Bernoulli da l m denilmektedir. Binom deneydeki her tekrara, Bernoulli denemesi ya da s namas denilmektedir. Binom Da l m Rassal koflullarda gerçeklefltirilen Bernoulli deneyleri sonucunda biri baflar di eri baflar s zl k olmak üzere iki farkl sonuç ortaya ç kar. Örne in, bir fabrika üretim hatt ndan ç kan ürünün kusursuz veya kusurlu olmas, yere at lan cam barda n k - r lmas veya k r lmamas, üzerine bas nç uygulanan beton örne inin k r lmas veya sa lam kalmas gibi baz deneylerde iki farkl sonuç vard r. Rassal olarak yap lan n tekrarl bir deneyde her tekrarda iki farkl (kesikli) sonuçtan birinin gelmesi söz konusu ise, istenen sonucun gelme olas l klar n n bulunmas amac yla Binom olas l k da l m kullan lmaktad r. Örne in bir seramik fabrikas nda üretilen fayanslar n kusurlu olma olas l % 1 ise, üretim band ndan rassal olarak örneklenen 10 adet fayans n içinden bir tanesinin kusurlu olma olas l n Binom olas l k da l m n kullanarak belirleyebiliriz. Bernoulli deneylerinin n kez tekrarlanmas halinde, bu deneylerdeki baflar l sonuçlar n toplam olan X rassal de iflkeni için afla daki koflullar gerçeklefliyorsa, bu rassal de iflken Binom rassal de iflkeni olarak tan mlan r. Deneyde, baflar l olma olas l p ve baflar s z olma olas l (1-p) olmak üzere iki sonuç olmal d r. Deneylerin tümü (n), ayn koflullar alt nda gerçeklefltirilmelidir. Her deneme sonucunda baflar l olma olas l p ve baflar s zl k olas l q ayn d r. Denemeler birbirinden ba ms z olmal ve deney süresince n sabit kalmal d r. Bir ana kütlede sonucun baflar l olma olas l p ve baflar s z olma olas l q=1-p ise, bu ana kütleden çekilecek n adet örnek kütle içerisinden rassal ve iadeli olarak x adet birim çekildi inde, x adet birimin de baflar l gelme olas l afla daki Binom aç l m ile hesaplanabilir. n x n x PX ( = x) =! p q x! n x!.. ( ), x= 0,1,,3,...,n Faktöriyel, (!) sembolü ile gösterilir. n!, 1 den n e kadar olan say lar n n yan yana yaz l p çarp m demektir. Örne in, 5! demek 0 dan 5 e kadar say lar n yan yana yaz l p çarp m olup, 5!=10 dir. ÖRNEK 1 Burada,!: lgili birimin faktöriyelini göstermektedir. Binom da l m eflitli i ile belirli bir baflar say s na karfl l k gelen olas l k de eri bulunabildi i gibi, belirli bir aral a düflen baflar say s n n olas l n da bulmak mümkündür. Belirli bir aral a düflen baflar say s n n olas l, o aral ktaki bütün baflar say lar olas l klar n n toplam na eflittir. Bir mermer oca ndan üretilen blok mermerlerin çatlaks z olarak sat labilme olas l n n %30 oldu u bilinmektedir. Mermer oca üretim sürecinde örnek olarak al nacak 5 adet blok içinden hiçbirinin çatlaks z (hepsinin çatlakl ) ve 1,, 3, 4 ve 5 inin çatlaks z olma olas l klar n hesaplayarak olas l k çizelgesini haz rlay n z. Çözüm: Ele ald m z örnekte; Çatlaks z ürün olas l : p= 0,3 (%30) Çatlakl ürün olas l : q= 1- p = 1-0,3 = 0,7 (%70) Örnek kütle say s : n= 5 Oldu una göre, her bir X için baflar (çatlaks z blok) olas l klar n afla daki gibi hesaplar z.

55 3. Ünite - Olas l k Da l m Modelleri 49 n! x n x P( X = x) = p q x! n x! ( ) n=5 adet bloktan hiçbirinin çatlaks z (x=0) olma olas l ; PX ( =! ) = 5!.!., 0., = , 1681 ( ) n=5 adet bloktan 1 inin çatlaks z (x=1) olma olas l ; PX ( =! ) = 5 1.,., =, 1!. 5 1! ( ) n=5 adet bloktan sinin çatlaks z (x=) olma olas l ; PX ( =! ) = , 07 = 03087,!. 5! ( ) n=5 adet bloktan 3 ünün çatlaks z (x=3) olma olas l ; PX ( =! ) = 5 3.,., =, 3!. 5 3! ( ) n=5 adet bloktan 4 ünün çatlaks z (x=4) olma olas l ; PX ( =! ) = , 07 = 0084, 4!. 5 4! ( ) n=5 adet bloktan 5 inin (hepsinin) çatlaks z (x=5) olma olas l ; PX ( =! ) = , 07 = 0004, 5!. 5 5! ( ) x P(X=x) 0,1681 0,360 0,3087 0,133 0,084 0,004 Örnek 1 deki verileri ve olas l k çizelgesini ele alarak mermer oca üretim sürecinde örnek olarak al nacak 5 adet blok içinden; a) ile 3 ünün çatlaks z olma olas l n, b) En çok birinin çatlaks z olma olas l n, c) En az birinin çatlaks z olma olas l n hesaplay n z. ÖRNEK Çözüm: a) ile 3 ünün çatlaks z olma olas l ; P( X 3) = P(X=) + P(X=3) = 0, ,133 = 0,441 b) En çok 1 inin çatlaks z olma olas l, P(X 1) = P(X=0) + P(X=1) = 0, ,360 = 0,583 c) En az 1 inin çatlaks z olma olas l, P(X 1) = 1-P(X=0) =1-0,1681=0,8319

56 50 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik DÜfiÜNEL M SORU D KKAT 1 Elektronik ürünler pazarlayan bir ma azay gezen müflterilerin %0 sinin ürün sat n ald - bilinmektedir. Bir saat içinde ma azay gezen 6 müflterinin sinin ürün sat n alma olas l nedir? DÜfiÜNEL M Binom da l m n n ortalamas ; SORU X = E(x)= np Binom da l m n n varyans ve standart sapmas ; D KKAT S x = E(x - X ) = npq S = npq x ÖRNEK 3 Tekstil sektöründe kot tafllama iflinde 5 y l çal flan iflçilerin sikoza (tafl tozu hastal na yakalanma AMAÇLARIMIZ ihtimali nedeniyle) yaflama ihtimali %85 tir. Tekstil ürünleri AMAÇLARIMIZ üreten bir fabrikada kot tafllama iflinde 10 iflçi çal fl yorsa, bu iflçilerin yaflama ihtimali ortalamas, K T A varyans P ve standart sapmas n hesaplay n z. K T A P n= 10, p=0,85, q=0,15, x=0,1,,3,4,5,6,7,8,9,10 TELEV ZYON Ortalama TELEV ZYON : X = E(x) = np = 10.0,85 = 8,5 kifli NTERNET Varyans : S x = E(x - X ) = npq = 10.0,85.0,15 = 1,8 NTERNET kifli Standart Sapma : S = npq = x 10.0,85.0,15 = 1,13 kifli DÜfiÜNEL M SORU D KKAT Poisson Da l m Örnek kütle boyutunun (n nin) çok büyük ve beklenen bir olay n meydana gelme olas l n n (p) s f ra çok yak n oldu u nadir meydana gelen olaylarda, hesaplama zorluklar nedeniyle Binom da l m kullan lamaz. Bununla birlikte, belirli bir zaman aral nda, bir alanda ya da hacimde nadir rastlanan olaylar n olas l k da l mlar, Poisson DÜfiÜNEL M da l m ile daha kolay aç klanabilmektedir. Örne in, bir y l içinde meydana gelen trafik ve ifl kazalar, fabrikalarda kusurlu ürün üretme, insanlar n az rastlanan hastal klara yakalanmas, matbaada bas lan kitab n sayfalar n bask hatalar bulunmas nadir rastlanan SORU olaylard r. Genellikle n>0 D KKAT ve p<0,10 oldu u durumlarda, Poisson da l m n n kullan m tercih edilmektedir. X rassal de iflkeninin Poisson olas l k fonksiyonu, AMAÇLARIMIZ λ.e P(X = AMAÇLARIMIZ x) = x! K T A P TELEV ZYON x -λ olarak tan mlan r. Burada, e=,7188, x= birim zaman içinde ilgilenilen olay say s, λ=birim K zaman T A P içinde ilgilenilen olay n ortalama olufl say s d r. Poisson da l m n n ortalamas, E(X)= µ = λ TELEV ZYON NTERNET NTERNET

57 3. Ünite - Olas l k Da l m Modelleri 51 Da l m n n varyans ve standart sapmas, σ = λ σ = λ Türkiye de a r ve tehlikeli ifller s n f nda çal flan iflletmelerde her y l ortalama olarak 1000 iflçiden bir tanesi hayat n kaybetmektedir iflçinin çal flt bir iflletmede bir y l içinde; a) Hiçbir iflçinin hayat n kaybetmemesi, b) 5 iflçinin hayat n kaybetmesi, c) den fazla iflçinin hayat n kaybetmesi olas l klar n bulunuz. ÖRNEK 4 Çözüm: a) n=4000 ve p=1/1000= 0,001 oldu undan λ=n.p=4000.0,001=4 olur. Hiçbir iflçinin hayat n kaybetmemesi durumu x=0 oldu udan, hiçbir iflçinin hayat n kaybetmemesi olas l ; λ P(X = 0 )= Olarak hesaplan r. b) flletmede 5 iflçinin hayat n kaybetmesi (X=5) olas l ; λ P(X = 5) = c) flletmede den fazla iflçinin hayat n kaybetmesi (X>) olas l ; P(X>) = 1-P(X ) = 1-[P(X=0) + P(X=1) + P(X=)] = 1-0, e e = 1-[ 0, , ,1465] 1!! = 0,7619 x x.e x!.e x! -λ =.e 0! -λ =.e 5! = 0,0183 = 0,1563 Bir otobüs dura ndan 30 dakikada ortalama belediye otobüsü geçmektedir. a) 30 dakika içerisinde 1 belediye otobüsü geçme olas l n, b) Bir saat içerisinde den fazla otobüs geçme olas l n hesaplay n z. ÖRNEK 5 Çözüm: a) 30 dakikada ortalama otobüs geçme say s λ= oldu undan, 1 otobüs geçme olas l ; x -λ 1 - λ. e P(X = 1) = =. e x! 1! = 0,707 (%7, 07) b) 30 dakikada otobüs geçiyorsa, bir saatte 4 otobüs geçer. Bu durumda λ=4 olur. Bir saatte den fazla otobüs geçme olas l ; PX ( > ) = 1- PX ( ) = 1- PX ( = 0) + PX ( = 1) + PX ( = ) 1-4. e + 4. e + 4. e 0! 1!! = 1-0, , ,1465 = 0,7619 (%76, 19)

58 5 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik DÜfiÜNEL M Bir bölge orman nda yap lan gözlemlere göre e er yeni dikimler yap lmazsa y ll k ormanl k alan kayb n n 1000 Hektarl k alana karfl l k 1 Hektar oldu u bilinmektedir. Toplam orman alan 3000 Hektar oldu una göre, yeni dikim yap lmad takdirde bir y l içerisinde hektarl k ormanl k DÜfiÜNEL M kayb olas l nedir? SORU D KKAT BAZI SÜREKL SORU OLASILIK DA ILIM MODELLER Co rafi bilgi sitemleri kapsam nda yap lan bilimsel araflt rmalarda ço u kez karfl - lafl lan de iflkenler, say lamayacak kadar çok de erler alabilen de iflkenlerdir. Sürekli de iflkenler olarak da tan mlanan bu rassal de iflkenlerin büyük ço unlu u- D KKAT nun frekans da l fl, normal veya lognormal olas l k da l m ad verilen bir fonksiyonla ifade SIRA edilmektedir. S ZDE Bu nedenle, bu bölümde sürekli da l mlardan sadece Normal ve Lognormal da l m modellerinin hesaplanmas n ve bu parametrelerin uygulamada kullan m n ele alaca z. AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ Carl Friedrich Gauss (30 K T A P Nisan fiubat 1855), Alman kökenli matematikçi ve bilim adam d r. Katk da TELEV ZYON bulundu u alanlardan baz lar ; say lar kuram, analiz, diferansiyel geometri, jeodezi, elektrik, manyetizma, astronomi ve optiktir. NTERNET Antik ça lardan beri yaflam fl en büyük matematikçi olarak da bilinen Gauss, 1918 y l nda Hannover de yapt yüzey ölçümleri s ras nda, ölçüm hatalar n n istatistiksel da l m n veren (ve daha önce astronomi araflt rmalar nda da kulland ) normal da l m fikrini kafas nda iyice belirginlefltirmifltir ( nternet Kaynak: Carl_Friedrich_Gauss) Normal da l m, parametreleri aritmetik ortalama ve standart sapma olan iki parametreli bir da l md r. Birinci ünitede de ele ald m z gibi, grupland r lm fl serilerde aritmetik ortalama ve standart sapmay flu flekilde hesaplayabiliriz. m.f i i X= f i n m -X.f i i i=1 σ = n f i i=1 σ = σ ( ) Normal Da l m Sürekli de iflkenlerden K T A P frekans da l m yaklafl k olarak çan e risi fleklinde olan da l mlara normal da l m denilmektedir. 19. yüzy l n bafllar nda C.F. Gauss isimli araflt rmac n n astronomi alan nda yapt çal flmalar s ras nda gelifltirdi i normal da l m n TELEV ZYON ilk uygulamalar, do ada gerçekleflen olaylar n yorumlanmas na büyük bir uyum göstermifltir. Bu nedenle, normal da l m olas l k fonksiyonunun flekline Gauss e risi de denilmektedir. Normal da l m n yayg n kullan m n n en önemli nedeni de sürekli de iflkenlere uygulanabilirli inin yan nda baz kesikli de iflkenlerinde normal NTERNET da l fla yaklaflabilmesidir. Günlük hayat m zda karfl lafl lan birçok de iflken normal da l fl gösterir. Örne- in, insanlar n kan bas nc (tansiyon) ve kan ndaki fleker miktar n n da l m, ö rencilerin bir dersten ald klar notlar n da l m, ilkö retimde okuyan çocuklar n boy ve kilolar, bir fabrikan n günlük üretim miktarlar da l m, ampul ve pillerin ömrünün da l m genellikle normal kabul edilir. Sürekli bir X de iflkeninin normal da l m olas l k fonksiyonu afla daki eflitlikte verildi i gibidir. fx ( x )= 1 - (x-x).e σ - < x < için σ. π Burada; x =rassal örneklenmifl de iflkeni, X= da l m n ortalamas n ve σ = da- l m n standart sapmas n (σ = varyans ) göstermektedir. Da l m n ortalamas merkezi e ilim ölçüsünü verirken, varyans da ortalaman n iki yan ndaki yayvanl n bir ölçüsüdür. Bu nedenle, X ve σ parametrelerinin alaca de erlere göre olas l k yo unluk fonksiyonunun flekli de de iflir. Örne in, fiekil 3.1 de görüldü ü gibi A kütlesinin ortalamas B kütlesininkinden küçük iken, B kütlesinin varyans da A kütlesininkinden daha küçüktür. Bu örnekte, A kütlesinin olas l k yo- unluk fonksiyonunun B kütlesininkinden daha yayvan oldu unu söyleyebiliriz. X rassal de iflkeninin - ve + aral de erleri için normal da l m olas l k fonksiyonunun integralini ald m zda, normal e ri alt nda kalan toplam alan 1,0 olarak bulabiliriz. P(- x + ) = f(x).dx = 1,0 -

59 3. Ünite - Olas l k Da l m Modelleri 53 Bu nedenle, normal frekans da l m n n e risinin (fiekil 3.) alt nda kalan alan olas l klar verdi inden, e rinin kaplad toplam alan 1 e eflittir. fiekil 3.1 Normal da l m gösteren iki rassal de iflkenin olas l k yo unluk fonksiyonlar fiekil 3. Normal da l m frekans (çan) e risi Frekans (f) De erler (X i ) Standart normal e rilerde X ekseni üzerinde, aritmetik ortalaman n her iki yan nda -σ ile +σ mesafeleri ile normal e ri aras nda kalan alan, tüm e ri alan n n %68,3 ünü kapsar (fiekil 3.3). Aritmetik ortalaman n iki yan nda -σ ile +σ noktalar aras nda kalan alan, tüm e ri alan n n %95,5 ini kapsar. -3σ ile +3σ mesafeleri aras nda kalan alan ise, bütün alan n %99,7 sini kapsamaktad r (fiekil 3.3). Farkl uygulamalar için olas l k da l m fonksiyonu e risi alt nda kalan alanlar n bulunabilmesi için integral al nmas zor oldu undan, normal da l m fonksiyonunun standart normal da l m fonksiyonuna dönüfltürülmesi tercih edilmektedir.

60 54 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik fiekil 3.3 Normal e ri alt nda kalan alanlar n standart sapmaya ba l de iflimi -3σ -σ -σ -σ +σ +3σ Standart Normal Da l m Normal da l m fonksiyonunda, Z= (X- X)/σ dönüfltürmesi yap larak standart normal da l m elde edilebilir. Bu durumda standart normal da l m n fonksiyonu, f(z) = 1 π.e- Z fleklinde olup, aritmetik ortalamas 0 ve varyans 1 dir. Z rassal de iflkeninin - ve + aral için standart normal da l m fonksiyonunun integralini ald m zda da, e ri alt nda kalan toplam alan 1,0 olarak bulabiliriz (fiekil 3.4.). Ayr ca simetrik olan standart normal e rinin sa nda kalan (- ile 0 aral ndaki) ve solunda kalan (0 ile + aral ndaki) yar m alanlar da 0.5 e eflittir (fiekil 3.5). P(- z + ) = f(z).dz = 1,0-0 P(- z 0) = f(z).dz = 0,5 - P(0 z + ) = f(z).dz = 0,5 0

61 3. Ünite - Olas l k Da l m Modelleri 55 fiekil 3.4 Standart normal e ri alt nda kalan alan - f(z) 0,5 0,5 f(z) fiekil 3.5 Standart normal e rinin sa nda ve solunda kalan alanlar - - Çarp kl k ve Bas kl k Katsay s Normal da l m olas l k fonksiyonunun flekli, ortalama ve standart sapman n alaca- de erlere göre de iflebilmektedir. Normal da l m fonksiyonu fleklinin sa a veya sola çarp kl n belirlemede çarp kl k katsay s, sivri veya bas k olup olmad - n n belirlenmesinde ise bas kl k katsay s kullan lmaktad r. Standart normal da l m teorik olarak simetrik bir e riye sahiptir. Bu nedenle normal da l m n teorik çarp kl k katsay s, α 3 = 0 d r. Sa a e ik serilerde α 3 > 0 (fiekil 3.6.a) ve sola e ik serilerde α 3 < 0 d r (fiekil 3.6.b). Grupland r lm fl serilerde da l m n çarp kl k katsay s afla daki gibi hesaplan r. α 3 µ = 3 µ 3 3 = σ f.(m - X) i i f i 3 Z nin çeflitli de erlerine ait standart normal e ri alt nda kalan alanlar bulabilmek için integral alma ifllemi yapmak pratik bir ifllem olmad ndan, standart normal e ri alt nda kalan alanlar istatistik kitaplar n n ekinde çizelgeler fleklinde sunulmaktad r (Bu kitab n ekindeki çizelgelere bak n z). f x (x) f x (x) 3 >0 3 =0 3 =0 3 <0 fiekil 3.6 Standart normal da l mda çarp kl k (a) Sa a çarp k e ri X (b) Sola çarp k e ri X

62 56 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Bir serinin normal olabilmesi için hem simetrik olmas hem de normal bir yüksekli e sahip olmas gerekir. Bir serinin normal olup olmad n ortaya koyan bas kl k ölçüsü (α 4 ), normal bir seride α 4 = 3, sivri bir seride α 4 > 3 (fiekil 3.7.a) ve bas k bir seride α 4 < 3 dür (fiekil 3.7.b). Grupland r lm fl serilerde da l m n bas kl k katsay s afla daki gibi hesaplan r. α 4 µ = 4 µ 4 4 = σ f.(m - X) i i f i 4 fiekil 3.7 Standart normal da l mda bas kl k f x (x) 4 >3 4 =3 f x (x) 4 =3 4 3 (a) Sivri e ri X (a) Bas k e ri X ÖRNEK 6 Kent merkezinde bulunan bir inflaat flantiyesinde ifl makinelerinin yaratt gürültü seviyesini belirlemek amac yla 4 ölçüm yap lm fl ve afla daki grupland r lm fl serideki frekans de erleri elde edilmifltir. a) Aritmetik ortalama ve standart sapmay hesaplay n z. b) Da l m n çarp kl k ve bas kl k katsay lar n hesaplayarak, da l m n fleklini yorumlay n z. Grup S n rlar (Gürültü-dBA) Frekanslar Grup Ortalamalar Alt Üst (den az) f i m i Çözüm: a) Aritmetik ortalama ve standart sapmay afla daki eflitliklerle hesaplar z. mi - X.fi m.f X = = f i i σ i=1 σ = l i f l ( ) i=1 i σ m. f = 1040 f = 4 ( m -X). f = 13333,4 i i i i i X = = 43,3 dba σ = 13333,4 4 = 3,6 dba

63 3. Ünite - Olas l k Da l m Modelleri 57 b) Çarp kl k katsay s n afla daki eflitlikle hesaplar z. α 3 µ 3 f i.(m = i - X) µ 3 3 = σ f i 3 fi.( mi -X) = ,1 f i = 4 σ = 3,6 3 µ = ,1 3 = 4796,3 α = 4796,3 4 3 = 0,365 3 (3,6) α 3 = 0,365 > 0oldu undan, e ri tam simetrik da l ma göre sa a çarp kt r. Bas kl k katsay s n da afla daki eflitlikle hesaplayabiliriz. µ α 4 4 = µ 4 4 = σ f.(m - X) i i f i 4 4 fi.( mi -X) = µ = = 69693,1 = 69693,1 4 α4 =,5 4 4 (3,6) α 4 =,5 < 3,0 oldu undan, e ri tam simetrik da l ma göre bas kt r. Bir iflyerinde çal flan 50 personelin yafl gruplar na göre da l m afla daki gibidir. Personelin ortalama yafl n ve standart sapmas n, da l m n çarp kl k ve bas kl k katsay lar n hesaplayarak da l m fleklini yorumlay n z. DÜfiÜNEL M Yafl Gruplar SORU Personel Say s DÜfiÜNEL M SORU D KKAT Normal Olas l k E risinin Alt nda Kalan Alanlar n Hesaplanmas Belirli bir de iflken de erlerine karfl l k gelen normal olas l k e risinin alt nda kalan alanlar n hesaplanmas nda standart normal da l m n özelliklerinden yararlan labilmektedir. Bunun için X de iflken de erleri öncelikle standart normal de ere dönüfltürülmekte ve daha sonra standart normal da l m fonksiyonu yard m yla integral alma ifllemi ile e ri alt nda kalan alan hesaplanmaktad r. Ancak, integral alma ifllemleri zaman al c olmas ve pratik olmamas nedenleriyle genellikle daha önceden haz rlanm fl çizelgelerden yararlan lmas tercih edilmektedir. K T A P Standart normal da l m simetrik bir da l m oldu u için, e ri alt nda kalan toplam alan 1 e, ortalaman n sa nda ve solunda kalan yar m alanlar da 0.5 e eflittir. Ortalaman n solunda kalan alan ile sa ndaki alan birbirine eflittir. Bu nedenle de, TELEV ZYON standart normal e ri alt ndaki alanlar gösteren integral çizelgeleri (Z çizelgesi) yar m alan çizelgeleridir. Bu yüzden, ortalaman n solunda kalan ve negatif Z de erlerine karfl l k gelen alan, Z lerin pozitifmifl gibi düflünülmesiyle bulunabilmektedir. Standart normal da l m çizelgesinin kullan m ile ilgili örnekler NTERNET afla da verilmifltir. D KKAT AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ K T A P TELEV ZYON NTERNET

64 58 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik ÖRNEK 7 Bir bölgede GPS (Global Positioning System) ile yap lan konum belirleme çal flmalar nda, ölçüm hatalar ortalamas n n 7,8 m ve standart sapmas n n m oldu u hesaplanm flt r. a) Ölçümlerde 5 m den daha az hata yapma olas l nedir? b) Ölçümlerde 10 m den daha az hata yapma olas l nedir? c) Ölçümlerde 10 m den daha fazla hata yapma olas l nedir? d) Ölçümlerde 5 m ile 10 m aras hata yapma olas l nedir? Çözüm: Örne imizde X = 7,8 m ve σ =,0 olarak verilmifltir. a) X=5 m için Z = ( X -X) / σ = (5,0-7,8) /,0 = -1,4 olarak bulunur. Ölçümlerde 5 m de daha az hata yapma olas l hesaplanmak istendi ine göre P(X<5)=P(Z<-1,4) olas l n bulmam z gerekmektedir. Bu olas l k de erini Z çizelgesini kullanarak bulabiliriz. Z çizelgesinde Z=1,4 de erine karfl l k gelen de er A=0,419 dur. Ayn de er Z=-1,4 için de geçerlidir. Afla da verilen flekilden de görüldü ü gibi, taral alan A=0,419 dur. Bu durumda, standart normal e rinin sol taraf ndaki yar m alan 0,5 e eflit oldu undan, ölçümlerde 5 m den daha az hata yapma olas l n ; P(X<5)=P(Z<-1,4)=0,5-0,419=0,081 olarak buluruz. f(z) b) X=10 m için Z = ( X -X) / σ = (10,0-7,8) /,0 = 1,1 olarak bulunur. P(X<10)=P(Z<1.1) olas l n bulmam z gerekmektedir. Z çizelgesinden Z=1,1 de erine karfl l k gelen A=0,364 de erini buluruz. Standart normal e rinin sol taraf ndaki yar m alan (=0,5) ile A alan n toplad - m zda, ölçümlerde 10 m den daha az hata yapma olas l n ; P(X<5)=P(Z<-1,4)=0,5+0,364=0,864 olarak buluruz. 0,5 0, ,1 Z

65 3. Ünite - Olas l k Da l m Modelleri 59 c) X=10 m için Z=1,1 ve A=0,364 olarak bulunmufltu. P(X>10)=P(Z>1,1) olas l n bulmam z gerekmektedir. Standart normal e rinin sa taraf ndaki yar m alandan (=0,5) A alan n ç kard - m zda, ölçümlerde 10 m den daha fazla hata yapma olas l n ; P(X>10)=P(Z>1,1)=0,5-0,364=0,136 olarak buluruz. f(x) 0,364 0, ,1 Z d) X 1 =5 m için Z 1 =-1,4 ve A 1 =0,419 X =10 m için Z =1,1 ve A =0,364 olarak bulunmufltu. P(5<X<10)=P(-1,4<Z<1,1) olas l n bulmam z gerekmektedir. Standart normal e rinin solunda kalan A 1 ve sa nda kalan A alanlar n toplad m zda, ölçümlerde 5 m ile 10 m aras hata yapma olas l n ; P(5<X<10)=P(-1,4<Z<1,1)=0,419+0,364=0,783 olarak buluruz. f(x) 0,419 0,364-1,4 0 1,1 Z Bir otomobil fabrikas n n üretti i ürünlere talep ortalamas 800 adet SIRA ve S ZDE standart sapmas 00 adettir. Sat fllar n en fazla 1000 adet olma olas l nedir? 4 DÜfiÜNEL M Bir il merkezinde bulunan meteoroloji istasyonunda yap lan ölçümlerde ilin Nisan ay toplam ya fl miktar ortalamas n n 900 mm ve standart sapmas n n 00 mm oldu u hesaplanm flt r. %95 olas l kla ilin toplam ya fl miktar SORU en düflük ve en yüksek ne kadar olur? DÜfiÜNEL M ÖRNEK 8 SORU D KKAT D KKAT Çözüm: En düflük ve en yüksek ya fl miktarlar n %95 olas l kla bulaca m za göre, öncelikle standart normal e ri alt nda %95 olas l k de erine karfl l k gelen Z de erini bulmam z gerekmektedir. Standart normal e ri, tam SIRA simetrik S ZDEbir e ri ve e rinin her iki taraf nda kalan yar m alanlar birbirine eflit oldu undan, Z çizelgesinden P=0,95/=0,475 de erine karfl l k gelen de erin Z=1,96 oldu unu buluruz. AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ K T A P K T A P

66 60 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik En düflük ya fl miktar n Z=-1,96 ve en büyük ya fl miktar n Z=+1,96 de erlerini kullanarak bulabiliriz. x-x Z = ve x = X + ( Z. σ) oldu undan σ En düflük ya fl miktar : x = X + ( Z. σ) = (-1,96.00) = 508 mm En yüksek ya fl miktar : olarak bulunur. x = X + ( Z. σ) = (-1,96.00) = 19 mm Negatif de erlerin logaritmas tan mlanmad ndan (al namad ndan), lognormal da l m sadece rassal örneklenmifl pozitif de erli de iflkenler için kullan labilir. Lognormal Da l m Standart normal da l m n özelliklerini, afl r çarp k da lm fl rassal de iflkenler için kulland m zda, çok önemli boyutlarda hatalar yapabiliriz. Bununla birlikte normal da l fl göstermeyen (çarp k da l ml ) de iflkenler için baz dönüflümler yaparak normal da l ma uydurmak mümkündür. Genellikle de çarp k da l fl gösteren de iflkenlerin normallefltirilmesinde, ifllem kolayl nedeniyle e taban na göre logaritmik dönüflüm (y=lnx) tercih edilmektedir. Rassal örneklenmifl X verilerinin do al logaritmalar al nd nda, logaritmik (lnx) de erlerin da l m normal da l ma uyuyorsa, bu da l ma lognormal da - l m denilmektedir. Genifl aral klar için grupland r lm fl de iflkenlerin da l m, genellikle lognormal da l ma uymaktad r. Lognormal da l m n olas l k yo unluk e risi, bu da l m n parametreleri olan logaritmik ortalama (α) ve logaritmik standart sapma (β) n n fonksiyonu olup, bu fonksiyon afla daki eflitlikle ifade edilebilir. x - (ln - ) α 1 f x(x) = e x x.. π. β β 0 < < + için Burada; x=rassal örneklenmifl de iflkeni, x de iflkeninin olas l k yo unluk fonksiyonunu, α= da l m n logaritmik ortalamas n ve β= da l m n logaritmik standart sapmas n göstermektedir. Lognormal da l m n parametreleri olan logaritmik ortalama ve logaritmik standart sapma iki yöntemle hesaplanabilmektedir. Bu yöntemler afla da s ra ile verilmektedir. 1) Örnek de erlerinin normal aritmetik ortalamas ( X) ve standart sapmas (σ) hesaplanarak, de iflkenlik katsay s (C ) belirlenir. C= X σ ) De iflkenlik katsay s n n 1, ye eflit ya da küçük olmas durumunda afla- daki eflitlikler kullan larak logaritmik ortalama (α) ve standart sapma (β) hesaplan r. α = lnx - 1 β σ β = ln +1 X β = β

67 3. Ünite - Olas l k Da l m Modelleri 61 3) De iflkenlik katsay s n n 1, den büyük olmas durumunda, rassal örneklenmifl X de erlerinin logaritmik dönüflümleri (lnx) yap larak, normal da l mda oldu u gibi aritmetik ortalama (α) ve standart sapma (β) hesaplan r. Daha sonra, afla daki eflitlikler kullan larak logaritmik ortalama ve standart sapma normal de erlere dönüfltürülür. X=e α + 1 β σ = X. e -1 Örnekleme de erlerinin do al logaritmalar için yap lan ifllemlerde normal da- l m n tüm özellikleri geçerlidir. Örne in, lognormal da lm fl X rassal de iflkeni için standart normal de erin bulunmas nda; Z= LnX - α β eflitli i kullan l r. β ( ) Kent merkezinde bulunan bir inflaat flantiyesinde zemin kaz k çakma makinelerinin yaratt kesikli titreflim seviyesini belirlemek amac yla 0 ölçüm yap lm fl ve afla daki grupland r lm fl serideki frekans de erleri elde edilmifltir. Da l m n lognormal oldu u bilindi ine göre; a) Logaritmik ortalama ve standart sapmay hesaplay n z. b) Kesikli titreflim seviyesinin 10 mm/s nin üzerinde olma olas l n bulunuz. Lognormal da lm fl X rassal de iflkeni için standart de erin bulunmas nda, e er normal de erlerle hesaplanm fl ortalama ve standart sapma kullan l rsa, bu standart normal de erle yap lacak olas l k tahminleri önemli derecede hata içerir. ÖRNEK 9 Grup S n rlar (Titreflim:mm/s) Frekanslar Grup Ortalamalar Alt Üst (den az) f i m i , , , , ,5 Çözüm: a) Normal de erler için aritmetik ortalama ve standart sapmay afla daki eflitliklerle hesaplar z. m.f X= f i i i n ( mi - X ).fi σ = i=1 n fi i=1 fi = 0 m i.fi = 117 ( mi - X ).fi = 188, 5 5 X= ,55 = 5,85 mm / s σ = = 3,07 mm/s 0

68 6 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik σ De iflkenlik katsay s C = = 3,07 = 0,55 < 1, oldu undan, seri de erlerinin logaritmalar n almaya gerek olmadan logaritmik ortalama ve standart sapma- X 5,85 y afla daki eflitliklerle hesaplayabiliriz. σ α = lnx - 1 β β = ln +1 β = β X = ln( 3,07 β + 1) = 0,433 β = 0, ln(mm / s) 5,85 α = ln(5,85) - ( 1.0,433) = 1,6447 ln ( mm / s) b) X= 10 mm/s α= 1,6447 ln(mm/s) β= 0,4933 ln(mm/s) X Ln Z = ln - a (10) -1,6447 = = 1,33 β 0, 4933 Z çizelgesinden Z=1,33 de erine karfl l k gelen alan A=0,408 Kesikli titreflim seviyesinin 10 mm/s nin üzerinde olma olas l ; P(Z>1,33)=0,5-0,408=0,09 (%9,) dir. E er da l m n lognormal oldu unu göz önüne almadan kesikli titreflim seviyesinin 10 mm/s nin üzerinde olma olas l n hesaplarsak; X-X Z = = σ 10-5,85 3,07 = 1,35 ve A=0,411 oldu undan, P(Z>1,35)=0,5-0,411=0,089 (%8,9) olarak buluruz. Görüldü ü gibi, lognormal da lma sahip rassal de iflkenler için bu da l fl göz ard edersek hatal de erlendirme yapmam z söz konusu olmaktad r. Özellikle, afl r çarp k da l mlarda, bu hata oran daha da artabilmektedir. DÜfiÜNEL M 5 Bir küçük sanayi bölgesinde bulunan 00 ifl yerinde yap lan gürültü ölçümleri sonucu yap lan grupland rmada afla daki veriler elde edilmifltir. Da l m n lognormal oldu unu varsayarak logaritmik aritmetik ortalamay ve standart sapmay hesaplay p, s n r de er olan 70 db in DÜfiÜNEL M üzerinde kaç ifl yerinin çal flt n bulunuz. SORU D KKAT SORU Gürültü (db) flyeri Say s D KKAT AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ K T A P K T A P TELEV ZYON TELEV ZYON NTERNET NTERNET

69 3. Ünite - Olas l k Da l m Modelleri 63 Özet A MAÇ 1 A MAÇ Kesikli ve sürekli rassal de iflken kavram n ö renerek verilere uygun da l m modelini seçmek. Rassal örneklenen veriler kesintisiz bir flekilde s - ralanabiliyor ve bir aral ktaki bütün de erleri alabiliyorsa, bu de iflkenlere sürekli de iflkenler denilmektedir. Rassal örneklenen bir de iflken sadece belirli say da de erler alabiliyor ve yaln zca say labilir say da de erler al yorsa da, bu de iflkenlere kesikli de iflken denilmektedir. Kesikli de iflkenler için belirli de erlerin noktasal olarak gerçekleflme olas l klar hesaplanabilirken, sürekli rassal de iflkenler de ise belirli aral klardaki de erler için gerçekleflme olas l klar hesaplanabilmektedir. Kesikli rassal de iflkenlerin da l m modellerinin (Binom ve Poission) parametrelerini hesaplay p, spesifik uygulamalarda da l m parametrelerini kullanmak. Bir ana kütlede sonucun baflar l olma olas l p ve baflar s z olma olas l q=1-p ise, bu ana kütleden çekilecek n adet örnek kütle içerisinden rassal ve iadeli olarak x adet birim çekildi inde, x adet birimin de baflar l gelme olas l Binom aç l m ile hesaplanabilmektedir. Binom da l m eflitli i ile belirli bir baflar say s na karfl l k gelen olas l k de eri bulunabildi i gibi, belirli bir aral - a düflen baflar say s n n olas l n da, bütün baflar say lar olas l klar n n toplam ile bulmak mümkün olabilmektedir. Örnek kütle boyutunun (n nin) çok büyük ve beklenen bir olay n meydana gelme olas l n n (p) s f ra çok yak n oldu u nadir meydana gelen olaylarda ise, Poisson da l m daha kolay kullan labilmektedir. Genellikle n>0 ve p<0,10 oldu- u durumlarda, Poisson da l m n n kullan m tercih edilmektedir. A MAÇ 3 Sürekli rassal de iflkenlerin da l m modellerinin (Normal ve Lognormal) parametrelerini hesaplay p, spesifik uygulamalarda da l m parametrelerini kullanmak. Sürekli de iflkenlerden frekans da l m yaklafl k olarak çan e risi fleklinde olan da l mlara normal da l m denilmektedir. Normal da l m iki parametreli bir da l m olup, da l m n ortalamas merkezi e ilim ölçüsünü verirken, varyans da da l m n yayvanl n n bir ölçüsüdür. Normal frekans da l m e risinin kaplad toplam alan 1 e eflittir. Normal da l m fonksiyonunda, Z= (X- X)/σ dönüfltürmesi yap ld nda, aritmetik ortalamas 0 ve varyans 1 olan standart normal da l m elde edilebilmektedir. Belirli bir de iflken de- erlerine karfl l k gelen normal olas l k e risinin alt nda kalan alanlar n hesaplanmas nda standart normal da l m çizelgelerinden yararlan labilmektedir. Normal da l m fonksiyonu fleklini aç klamada çarp kl k katsay s ve bas kl k katsay s kullan lmaktad r. Tam simetrik normal da l m n teorik çarp kl k katsay s, α 3 = 0 olup, sa a e ik serilerde α 3 > 0 ve sola e ik serilerde α 3 < 0 d r. Tam simetrik normal da l mda bas kl k katsay - s α 4 = 3 olup, sivri bir e ride α 4 > 3 ve bas k bir e ride α 4 < 3 dür. Rassal örneklenmifl X verilerinin do al logaritmalar al nd nda, logaritmik (lnx) de erlerin da l m normal da l ma uyuyorsa, bu da l ma lognormal da l m denilmektedir. Genifl aral klar için grupland r lm fl de iflkenlerin da l m, genellikle lognormal da l ma uymaktad r. Lognormal da l m n parametreleri logaritmik ortalama (α) ve logaritmik standart sapma (β) d r. Lognormal da lm fl X rassal de iflkeni için standart normal de erin bulunmas nda Z= (LnX - α)/β eflitli i kullan l r.

70 64 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Kendimizi S nayal m 1. 6! 4!.(6-4)! iflleminin sonucu kaçt r? a. 3 b. 5 c. 15 d. 0 e. 30. Bir hastanede yap lan kalp ameliyatlar nda hastan n yaflama ihtimalinin %80 oldu u bilinmektedir. Hastanede bir günde 4 kalp hastas ameliyat edildi ine göre, yaln z hastan n yaflama ihtimali kaçt r? a. 0,0013 b. 0,056 c. 0,1536 d. 0,4096 e. 1, Afla daki çizelgede kusurlu ürün üretme say lar ve olas l klar verilmifltir. x P(X=x) 0,3 0,4 0,1 0,04 0,01 Bu çizelgeye göre, seçilecek bir ürünün kusurlu olmama olas l kaçt r? a. 0,4 b. 0,3 c. 0,1 d. 0,04 e. 0,01 4. Bir iflletmede çal flan iflçilerin bir y l içerisinde ifl kazas geçirme olas l %0, (p=0,00) dir. flletmede 000 iflçi çal flt na göre (λ=4), bir y l içinde 1 ifl kazas olma olas l kaçt r? (e -4 =0,018) a. 0,00 b. 0,004 c. 0,018 d. 0,07 e. 0, Normal da l ma sahip grupland r lm fl bir serinin sola çarp k oldu u belirlenmifltir. Buna göre, bu serinin çarp kl k katsay s (α 3 ) afla dakilerden hangisi olabilir? a. -0,4 b. 0 c. 0,4 d. 1 e. 6. X, normal da lm fl sürekli bir de iflken, X = 16 ve σ = 4 oldu una göre, P(1<X<0) olas l kaçt r? a. 0,9500 b. 0,686 c. 0,4750 d. 0,3413 e. 0, X, n = 67 ve p = 0,40 olmak üzere binom da lm fl bir rassal de iflkendir. Buna göre, X in standart sapmas kaçt r? a. 3 b. 3,4 c. 3,76 d. 4,01 e. 4,88 8. Standart sapmas 6 olan bir normal da l mda, X=4 de eri Z=- standart de erine dönüflüyorsa aritmetik ortalamas kaçt r? a. 6 b. 6,9 c. 1,8 d. 16 e X, ortalamas 0 ve standart sapmas 5 olan bir normal da l m göstermektedir. Buna göre, X=,5 de eri hangi standart Z de erine dönüflür? a. -1 b. -0,5 c. 0,5 d. 1 e. 1,5 10. X, ortalamas 6 ve standart sapmas 4 olan bir lognormal da l m göstermektedir. Buna göre, da l m n logaritmik varyans kaçt r? a. 1,603 b. 0,967 c. 0,846 d. 0,607 e. 0,368

71 3. Ünite - Olas l k Da l m Modelleri 65 Kendimizi S nayal m Yan t Anahtar 1. a Yan t n z yanl fl ise, Binom Da l m konusuna bak n z.. c Yan t n z yanl fl ise, Binom Da l m konusuna bak n z. 3. b Yan t n z yanl fl ise, Binom Da l m konusuna bak n z. 4. d Yan t n z yanl fl ise, Poission Da l m konusuna bak n z. 5. a Yan t n z yanl fl ise, Normal Da l m konusuna bak n z. 6. b Yan t n z yanl fl ise, Normal Da l m konusuna bak n z. 7. d Yan t n z yanl fl ise, Binom Da l m konusuna bak n z. 8. e Yan t n z yanl fl ise, Normal Da l m konusuna bak n z. 9. c Yan t n z yanl fl ise, Normal Da l m konusuna bak n z 10. e Yan t n z yanl fl ise, Lognormal Da l m konusuna bak n z S ra Sizde 3 m i.f i = 030 f i = 50 ( m i -X). f i = 563 X Grup S n rlar (Yafl) Frekanslar Grup Ortalamalar Alt Üst (den az) f i m i = = 40, 6 σ = 50 = 10,6 f.( - ) 3 i m i X = 0601,6 S ra Sizde Yan t Anahtar S ra Sizde 1 Ürün sat n alma olas l : p= 0, (%0) Ürün sat n almama olas l : q= 1- p = 1-0, = 0,8 (%80) Örnek kütle say s : n= 6 Müflterinin sinin (x=) ürün sat n alma olas l ; µ 3 = 0601, 6 = α 3 = 41 (10, 6) 3 = 0,356 α 3 =0,356>0 oldu undan, e ri sa a çarp kt r. f i.( m i X ) 4 = n! P(X = x) =!( - )! p x q nx - x n x 6! P(X = ) =!.(6 - )!.0,. 0,8 6- = 0, 458 S ra Sizde Bir y lda ormanl k alan kayb 1000 Hektar da 1 Hektar (p=1/1000=0,001) d r. P<0,1 oldu undan, bu soruyu poisson da l m yard m yla çözebiliriz. n=3000 Hektar ve p=0,001 oldu una göre λ= ,001=3 dür. µ = = 3099, 7 50 α 4 =,455<3,0 oldu undan, e ri bas kt r. S ra Sizde 4 X=800 adet ve σ=00 adet. X=1000 adet için olarak bulunur. 3099, 7 α 4 =, ( 10, 6) 4 = 455 Z = ( X -X) / σ = ( ) / 00 = 1, 0 P(X 1000)=P(Z 1,0) = 0,5 + 0,3413 = 0,8413 Hektarl k (x=) ormanl k alan kayb olasl ; λ x. e λ 3. e 3 P( X = ) = = = 0, 4(%, 4) x!!

72 66 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Yararlan lan Kaynaklar S ra Sizde 5 Grup S n rlar Grup Frekanslar (Gürültü-dB) Ortalamalar Alt Üst (den az) f i m i f i = 00 m i.f i = ( m i -X). f i = 3378 Cula, S. & Muluk, Z. (006). Temel statistik Yöntemleri. Ankara: Baflkent Üniversitesi. Gürsakal, N. (001). Bilgisayar Uygulamal statistik I. No:109. stanbul: Alfa. Konuk, A. & Önder, S. (1999). Maden statisti i. Mühendislik Mimarl k Fakültesi Maden Mühendisli i Bölümü. Eskiflehir: Eskiflehir Osmangazi Üniversitesi. Newbold, P. (005). flletme ve ktisat çin statsitik. Ümit fienesen (Çev.). stanbul: Literatür. Orhunbilge, N. (000). Tan msal statistik Olas l k ve Olas l k Da l mlar. flletme Fakültesi Yay n No: 79. stanbul: stanbul Üniversitesi. Ünver, Ö. & Gamgam, H. (006). Uygulamal Temel statistik Yöntemler. Ankara: Seçkin X = = 69, 4 db σ = = 40,8 db σ C= = 40,8 = 0,59 < 1, X 69,4 = lnx - 1 α = ln β β σ X +1 β = β 40,8 β = ln( + 1) = 0, 969 β = 0,545 ln(db) 69, 4 α = ln(69, 4) - ( 1.0, 969) = 4, 091 X = 70 db Z= l nx -α Ln(70) - 4,091 = = 0, 9 β 0,545 Z çizelgesinden Z=0,9 de erine karfl l k gelen alan A=0,1141 Gürültü seviyesinin 70 db nin üzerinde olma olas l ; P(Z>0,9)=0,5-0,1141=0,3859 dir. flyeri say s = 00 x 0,3859 = 77

73

74 4CO RAF B LG S STEMLER Ç N TEMEL STAT ST K Amaçlar m z Bu üniteyi tamamlad ktan sonra; Nokta ve güven aral tahmini aras ndaki fark belirleyebilecek, Ana kütle ortalamas ve oran için güven aral n tahmin edebilecek, ki ana kütle ortalamas ve oran aras ndaki farklar n güven aral n tahmin edebilecek, Ana kütle varyans için güven aral n tahmin edebilecek bilgi ve becerilere sahip olacaks n z. Anahtar Kavramlar Güven Aral Büyük Örnekleme Küçük Örnekleme Z Da l fl Student t da l fl Khi-kare da l fl Ortalamalar n Güven Aral Oranlar n Güven Aral Varyans n Güven Aral Farklar n Güven Aral Nokta Tahmini Standart Hata çindekiler Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Güven Aral Tahminleri STAT ST KTE TAHM NLEME ANA KÜTLE ORTALAMASI Ç N GÜVEN ARALI I ANA KÜTLE ORANI Ç N GÜVEN ARALI I K ANA KÜTLE ORTALAMASI ARASINDAK FARKIN GÜVEN ARALI I K ANA KÜTLE ORANI ARASINDAK FARKIN GÜVEN ARALI I VARYANS Ç N GÜVEN ARALI I

75 Güven Aral Tahminleri STAT ST KTE TAHM NLEME Araflt rma çal flmalar nda, araflt rma maliyetlerini azaltmak ve zaman etkin kullanabilmek amac yla, örneklemelerle elde edilen verilerle ana kütle hakk nda bilgiler edinmeye, tahminlerde bulunmaya veya karar vermeye u rafl r z. Örneklenen verilerin da l m parametrelerini hesaplay p da l m fleklini belirledikten sonra, ana kütle parametrelerini tahmin etmeye ve tahminlerin güvenilirli i konusunda karar vermeye çal fl r z. Örneklemenin amac ana kütle hakk nda tahminleme yapmakt r. Taminleme, ana kütleden al nan örnek veriler yard m yla ana kütlenin bir veya birkaç parametresini araflt rmakt r. Tahmin edilen parametre, ana kütlenin bilinmeyen ortalamas, varyans veya oran olabilir. Tahminleme ile ana kütlenin tamam n n örneklenmesini (tam say m n ) gerektiren ifllemlere gerek olmaks z n ana kütle hakk nda yorumlamalar yapabiliriz. statistikte tahminleme nokta veya aral k tahmini olmak üzere iki yöntemle yap labilmektedir. Nokta tahmini, ana kütle parametrelerinin bilinmedi i hallerde örneklerden elde edilmifl verilerle tek bir tahmin yapmakt r. Aral k tahmini ise, ana kütleye ait herhangi bir bilinmeyen parametrenin, belirli bir hata pay ile alt ve üst s n r de erleri verilerek tahmin edilmesidir. Nokta Tahmini Tek bir örnekleme ile hesaplanan parametreler yard m yla ana kütle parametrelerini noktasal olarak tahmin etmek, tek bir at flta hedefe tam isabet ettirmek gibidir. Örne in, bir kent merkezi için Ocak ay n n 15 inci günün 30 y ll k ya an kar kal nl verilerini ele alarak ortalama kal nl 15 cm buldu umuz durumda, noktasal tahmin yaparsak, Ocak ay 15 inci günü kar kal nl n 15 cm olarak genellememiz gerekir. Böyle bir noktasal tahminin sonucuna ne kadar güvenebilece imiz belirsizdir. Nokta tahminlerinin güvenilir sonuçlar verebilmesi için afla da verilen baz özelliklere sahip olmas gerekir. a) Sapmas zl k: Ana kütleden çekilecek örnek kütlelerin parametrelerinin beklenen de erinin ana kütle parametresine eflit olmas na sapmas zl k denilir. Örne in, N birimlik ana kütleden her seferinde tekrarl olarak n er birimlik m adet örnekleme yap p, her seferinde aritmetik ortalamay (X ) belirleyerek ortalamalar n da l m n n beklenen de erini hesaplad m zda, beklenen de erin ana kütle aritmetik ortalamas na eflit olmas gerekir.

76 70 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik E (X ) = µ Ancak böyle bir durumda, ortalamalar n da l m n n standart sapmas n n (standart hatan n) s f r olmas gerekir. Standart hatan n s f rdan büyük oldu- u durumlarda (ço unlukla böyle olur), tahminin sapmas z veya yans z oldu unu söylemek mümkün de ildir. b) Tutarl l k: Nokta tahmin hatas n n s f r olmas durumuna tutarl l k denilir. Böyle bir durum ise, örnek kütle boyutunun ana kütle boyutuna yaklaflmas ve hatta tam say m yap lmas demektir. c) Etkinlik: Ana kütle parametrelerinin tahmininde, da l m standart sapmas en küçük olan örnekleme parametresi kullan ld nda, daha etkin bir tahmin yap lmas na etkinlik denilir. Bu durumda, etkinli i artt rmak için ana kütleden tekrarl örneklemeler yap p, standart sapmas en küçük olan belirlemeye çal flmak gerekir. d) Yeterlilik: Örnek kütledeki bilgilerin tamam n ele alan parametrelerin kullan lmas yla yap lacak tahminler yeterli, kullanm yorsa yetersiz kabul edilmektedir. Örne in, ana kütle aritmetik ortalamas n n tahmininde, örnek kütle verilerinin ele al nmas yla hesaplanan aritmetik ortalaman n kullan lmas yeterlidir, ancak en çok tekrarlanan frekanslar dikkate alarak hesaplanan mod ile yap lacak tahmin yeterli de ildir. Bir ana kütleden çekilmifl örnek kütle ile yap lacak nokta tahminlerinin sapmas z, tutarl ve etkin olmas n beklemek mümkün de ildir. Bu arada, nokta tahminlerin hata pay n belirlemek ve güvenilir tahminler yapmak da mümkün olamamaktad r. Bu nedenle, bu ünitede ana kütle ortalamas, oranlar ve varyanslar ile iki ayr ana kütle ortalamalar aras farklar n aral k tahmini konusu genifl bir flekilde örneklerle ele al nacakt r. Tahminlerin güvenilirli inin belirlenmesinde uygulanan hipotez testi konusu ise 5. ünitede ele al nacakt r. Güven Aral ve S n rlar Bilinmeyen bir ana kütle parametresi, bu ana kütleden elde edilen örnek kütle bilgisine dayanarak belirli bir aral k dahilinde tahmin edilebilir. Bilinmeyen ana kütle parametresinin θ, alt güven s n r n n A ve üst güven s n r n n B oldu u durumda, θ parametresi belirli bir güven seviyesi (1 - α) için A ve B aral nda tahmin edilebilir. PA ( < θ< B) = 1 α Burada α : güven efli i olup, 0 ile 1 aras nda herhangi bir say, (1- α): güven aral için belirlenen güven seviyesidir. Örne in, belirli bir örnek kütle verileriyle %90 güvenilirlikle (1 - α = 0,90) alt güven s n r a y ve üst güven s n r b yi belirledi imizde, a ile b aral, bilinmeyen parametresinin güven aral olur. Normal da l ma sahip örnek kütleler için ana kütle güven aral gösterimi fiekil 4.1 de verildi i gibidir.

77 4. Ünite - Güven Aral Tahminleri 71 fiekil 4.1 Normal da l m için güven aral ve s n rlar 1 α α/ α/ a Θ b Güven aral n n s n rlar, ana kütleden al nacak n birimlik her örnek kütle için de iflebilir. Ancak, bulunacak her güven aral s n rlar içerisinde (1- α) olas l kla ana kütle parametresinin (θ) bulunmas mümkündür. Bununla birlikte, belirli bir α olas l yla da ana kütle parametresinin (θ) güven aral s n rlar içerisinde bulunmamas mümkündür. Güven aral ne kadar dar olursa, tahmin ana kütle parametresine o kadar yak n olur. Güven aral n n daralmas, örnek kütle için hesaplanacak standart hatan n küçük olmas na veya güven seviyesinin küçük seçilmesine ba l d r. Standart hatay küçültmek için mümkün oldu unca örnek kütle boyutunu büyük seçmek gerekir. ANA KÜTLE ORTALAMASI Ç N GÜVEN ARALI I Ana kütleden yap lacak n bireylik örnekleme ile hesaplanacak örnek kütle aritmetik ortalamas n kullanarak, ana kütle ortalamas n belirli güven s n rlar içerisinde tahmin edebiliriz. Bu durumda, ana kütle ortalamas alt ve üst güven s n rlar içerisinde yer alacakt r. Bilinmeyen ana kütle ortalamas n n güven aral n n belirlenmesi, ana kütle varyans n n bilinmesi veya bilinmemesi durumlar için iki farkl flekilde yap lmaktad r. Burada, ana kütle ortalamas n n bilinmedi i bir durumda varyans n nas l bilinebilece i sorusu ak la gelmektedir. Asl nda, ana kütle ortalamas n n bilinmedi i bir durumda varyans n bilinmesi bir varsay md r. Genellikle büyük örnek kütleleri-büyük örneklemeler (n 30) için hesaplanan varyans n (S ), ana kütle varyans na (σ ) eflit olaca (S = σ ) varsay lmaktad r. Ancak, küçük örnek kütleleri-küçük örneklemeler (n < 30) için S σ oldu u kabul edildi inden, ana kütle varyans n n bilinmedi i varsay l r. Ortalamas µ ve varyans σ bilinmeyen bir ana kütleden her seferinde n birey içerecek flekilde örneklemeler yaparak, her örnek kütlenin aritmetik ortalamas n hesapland m zda ve ortalamalar n da l m n araflt r ld m zda, büyük örneklemelerde (n 30) da l fl n normal da l ma ve küçük örneklemelerde (n < 30) ise da l fl n normal da l mdan daha yayvan olan Student t da l m na uydu unu görürüz. Bu nedenle, ana kütle ortalamas için güven aral tahmininde, varyans n bilindi i varsay lan büyük örneklemeler için normal da l m n özelliklerinden ve varyans n bilinmedi i küçük örneklemeler için Student t da l m n n özelliklerinden yararlanaca z. Uygulamada birçok araflt rmac güven seviyesi olarak %99 veya %95 tercihinde bulunmaktad r. Güven seviyesi %99 dan %95 e düfltü ünde, güven aral daral r. Özer Serper Uygulamal statistik II adl kitab nda bu seçimin arkas nda herhangi bir teori veya mant k aramamak gerekti ini ve tercihin al flkanl klardan kaynakland n belirtmektedir(özer Serper, Ezgi Kitabevi, Bursa, 000, s.36) Ortalamas µ olan normal da lm fl bir ana kütleden elde edilmifl n<30 bireyli örnek kütlenin ortalamas X ve standart sapmas S iken hesaplanacak; X t = µ S / n rassal de iflkeni, v=n-1 serbestlik derecesi ile Student t da l m na uyar. Standart normal da l mda (Z da l m ) oldu u gibi, Student t da l m n n da ortalamas 0 ve standart sapmas 1 dir. Ancak, Student t da l m n n olas l k yo unluk fonksiyonu, standart normal da l mdan daha yayvand r. adesiz yap lan küçük örneklemelerde, ilk yap lan örneklemelerden sonra sona kalan örne in serbest olamayaca kabul edilerek, serbestlik derecesi v=n-1 al n r.

78 7 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Ortalaman n Standart Hatas Ortalamas µ ve varyans σ olan bir ana kütleden her seferinde n birey içerecek flekilde yap lan büyük örneklemelerde, örnek kütlelerin aritmetik ortalamalar da- l m n n standart sapmas hesapland nda bulunan de ere standart hata denir. Ana kütle aritmetik ortalamalar n n standart hatas ; σ X σ =. n N - n N -1 Olup, burada, N= ana kütle toplam birey say s, n= örnek kütlelerin birey say - s ve σ = ana kütle standart sapmas d r. Genellikle N, n den çok büyük oldu u için yaklafl k olarak; N - n N olur. Bu durumda eflitli i; Standart hata ( σ veya S ) x x örnek kütle boyutundan oldukça fazla etkilenmektedir. n büyüdükçe, X n n tahminlenmek istenen ana kütle ortalamas na yaklaflmas beklendi inden, standart hata küçülmektedir. σ X = σ n fleklinde yaz labilir. Küçük örneklemelerde (n < 30) S σ oldu undan, standart hata; S S x = n eflitli i ile hesaplan r. Ana kütle aritmetik ortalamalar n n standart hatas ( σ veya S ) x x ana kütle de- iflkenli inin göstergesi olan ana kütle/örnek kütle standart sapmas na ve örnek kütlenin büyüklü üne (n) ba l d r. Standart hata, ana kütle/örnek kütle standart sapmas ile do ru orant l iken örnek kütle büyüklü ü ile ters orant l d r. Standart sapma artarken standart hata büyür, azal rken de standart hata küçülür. Buna karfl l k, örnek say s küçüldükçe standart hata büyürken, örnek say s büyüdükçe standart hata küçülür. Standart hatay küçültebilmenin tek yolu örnek say s n artt rmakt r. Bununla birlikte, standart hata eflitli inin paydas nda örnek büyüklü ü n ile de iflti inden, örnek büyüklü ünü artt rman n etkisi de az olmaktad r. Bunun için, örnek büyüklü ü hakk nda karar verirken, gerçe e yak n tahminlerin sa layaca faydalar ile çok say da örnek alman n gerektirdi i maliyetlerin dikkatli analiz edilmesi gerekmektedir. Büyük Örneklemelerde Ana Kütle Ortalamas n n Güven Aral Büyük örneklemelerde (n 30) ana kütle aritmetik ortalamas n n (µ) güven aral - n, örnek kütle aritmetik ortalamas (X ) ve standart hata ( σ x ) yard m yla belirli bir (1 - α) güven seviyesi için afla daki eflitlikle hesaplayabiliriz. σ X Z α /. n

79 4. Ünite - Güven Aral Tahminleri 73 Bu eflitlikten de, ana kütle ortalamas n alt güven s n r (AGS) ve üst güven s - n r n (ÜGS) afla daki eflitliklerle hesaplayabiliriz. AGS = X Z. α / ÜGS = X + Z. α / σ n σ n Burada, Z α/ de eri, standart normal olas l k da l m ndaki P(Z > Z α/ ) = α / koflulunu sa layan Z de eridir. Güven seviyesi (1 - α) için güven aral n belirlerken, standart normal da l m n her iki ucunda kalan α / kadarl k k s mlar güven s n rlar d fl nda b rak lmaktad r. Belirli bir (1 - α) güven seviyesi için standart normal da l m (Z) çizelgesinden bulabilmek için öncelikle α / de erini belirleriz. Daha sonra, P(Z > Z α/ )=α / olas l na karfl l k gelen Z α/ de erini Z çizelgesinden belirleriz. %95 güven seviyesi için (1 - α) = 0,95, α = 0,05 ve α / =0,05 oldu una göre, ÖRNEK 1 P(Z > Z α/ ) = 0,05 olas l na karfl l k gelen Z α/ =Z 0,05 = 1,96 d r. %90 güven seviyesi için (1 - α) = 0,90, α = 0,10 ve α / = 0,05 oldu una göre, P(Z > Z α/ ) = 0,05 olas l na karfl l k gelen Z α/ =Z 0,05 = 1,645 dir. Katsay Z α/ AGS ÜGS 0,90 1,645 X - 1,645. σ x X + 1,645. σ x 0,95 1,960 X - 1,960. σ x X + 1,960. σ x 0,99,575 X -,575. σ x X +,575. σ x Bu de erin bulunmas nda Z çizelgesini kullan rken, Z çizelgesinin yar m alan çizelgesi oldu unu unutmadan öncelikle A=0,5-0,05=0,475 olas l k de erine hesaplay p, daha sonra bu A alan na karfl l k gelen Z de erini bulmak gerekir. Bu konu detayl olarak 3. ünitede ele al nm flt. Uygulamada en çok kullan lan güven seviyeleri için alt (AGS) ve üst (ÜGS) güven s n rlar yandaki gibidir. Bir araç bak m servisinde müflteri memnuniyetini belirlemek amac yla yap lan ankette, rassal olarak örneklenen 54 müflteriden, Servis hizmetinde yap lan bak m-onar mlar hakk nda tam ve eksiksiz bilgi verildi görüflünü 1 (kesinlikle kat lm yorum) ile 5 (kesinlikle kat l yorum) aras bir ölçekte de erlendirmeleri istenmifltir. Yan tlar n örneklem ortalamas 3.81 ve standart sapmas 1.34 hesaplanm flt r. Yan tlar n ana kütle ortalamas n n %90 güven aral n hesaplay n z. ÖRNEK Çözüm: Örneklemden elde edilen veriler; X 1 = 3,81, S = 1,34 ve n = 54 dür.

80 74 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Ana kütle standart sapmas bilinmemekle birlikte, n = 54 > 30 oldu undan, σ = S = 1,34 al nabilir. (1 - α) = 0,90, α = 0,10 ve α / = 0,05 oldu undan Z α/ =Z 0,05 = 1,645 dir. Güven s n rlar n ; X 1, 645. AGS = 3,81-1,645. 1,34 54 = 3,51 σ n eflitli i ile afla daki gibi hesaplayabiliriz. ÜGS = 3,81+ 1,645. 1,34 54 = 4,11 DÜfiÜNEL M SORU D KKAT 1 Normal da l ml bir ana kütleden rassal olarak elde edilmifl 36 bireyli örnek kütle verileri yard m yla oluflturulan ana kütle ortalamas µ nün güven aral < µ < 0.7 fleklinde ise örneklem ortalamas (µ) kaçt r? DÜfiÜNEL M Küçük Örneklemelerde Ana Kütle Ortalamas n n Güven Aral SORU Ana kütle ortalamas n n ve varyans n n bilinmedi i veya di er bir tan mlamayla küçük örneklemelerde D KKAT (n < 30), örneklerin ortalamalar n n da l m Student t da- l m na uydu undan, t da l m n n özelliklerinden yararlan larak ana kütle ortalamas n n güven aral, belirli bir (1 - α) güven seviyesi ve v = n - 1 serbestlik derecesi için afla daki eflitlikle hesaplan r. AMAÇLARIMIZ X ± t α /,n.s X AMAÇLARIMIZ K T A P TELEV ZYON NTERNET Burada, S K : Örnek ortalamalar da l m n n standart hatas, n =S T x A P t α/,v : v = n - 1 serbestlik derecesi ile α / güven seviyesi için t de eri olup, Student da l m TELEV ZYON t çizelgesinden belirlenmektedir. Belirli bir (1 - α) güven seviyesi ve v = n - 1 serbestlik seviyesi için Student da- l m (t) çizelgesinden t α/,v yi bulabilmek için öncelikle α / ve V = n - 1 de erini belirleriz. Daha sonra, NTERNET P(t > t α/,v )=α / olas l na karfl l k gelen t α/,v de erini t çizelgesinden belirleriz. ÖRNEK 3 Bir tu la fabrikas üretimi sürecinden rassal olarak al nan 15 tu lan n a rl k ortalamas 4,04 kg ve standart sapmas 0.1 kg olarak belirlenmifltir. Bugün üretilen bütün tu lalar n ortalama a rl n n güven aral n, %95 güven seviyesi için bulunuz. Çözüm: Örneklemden elde edilen veriler; X 1 = 4,04 kg, S = 0,1 kg ve n = 15 dir.

81 4. Ünite - Güven Aral Tahminleri 75 Küçük örnekleme (n = 15 < 30) söz konusu oldu undan; X ± t.s α /,v X eflitli i ile güven aral hesaplan r. (1 - α) = 0,95, α = 0,05 ve α / = 0,05 ve serbestlik derecesi v = n - 1 = 15-1=14 oldu undan Student t çizelgesinden t α/,v =t 0.05,14 =,145 elde ederiz. Ana kütle ortalamas n n %95 güven seviyesi için alt (AGS) ve üst (ÜGS) güven s n rlar n afla daki gibi hesaplayabiliriz. AGS = 4,04 -,145. 0,1 = 3,97 kg 15 ÜGS = 4,04 +,145. 0,1 15 = 4,11 Bir ana kütleden çekilen 15 bireylik örnek kütlenin ortalamas 40 SIRA ve standart S ZDE sapmas 10 dur. Seçilen bu örne e göre %90 güvenirlik seviyesi için ortalaman n alt güven s n r nedir? DÜfiÜNEL M ANA KÜTLE ORANI Ç N GÜVEN ARALI I Baz araflt rmalarda ana kütle içindeki birimlerin belirli bir özelli e SORU sahip olanlar - SORU n n oran ile ilgileniriz. Örne in, bir ifl makinesinin performans n fiili olarak çal flt süre/toplam çal flmas gereken süre fleklinde ifade ederiz. fl makinesi toplam D KKAT D KKAT sürenin tamam nda çal flt nda bu oran 1 iken, çal flmad nda 0 olacakt r. N adet birimden oluflan ana kütlede belirli özelli in gerçekleflme oran n n ortalamas π ise gerçekleflememe oran ortalamas (1 - π) dir. Örne in, bir üniversitede ö rencilerin derslere devam oran ortalamas %80 ise devams zl k oran da %0 dir. N adet bireyden oluflan ana kütlede belirli bir w özelli inin gerçekleflme oran AMAÇLARIMIZ aritmetik ortalamas ve standart sapmas, normal da l ma benzer flekilde hesaplanmakta olup, hesaplamalar sonucunda afla daki eflitlikler elde AMAÇLARIMIZ edilmektedir. Ana kütle oran ortalamas : µ w = π K T A P DÜfiÜNEL M K T A P Ana kütle oran standart sapmas : σ w = Oran Ortalamas n n Standart Hatas Belirli bir özelli in gerçekleflme oran ortalamas π ve varyans π (1 - π) olan bir ana kütleden her seferinde n birey içerecek flekilde yap lan iadesiz büyük örneklemelerde, örnek kütlelerin oranlar n n aritmetik ortalamalar (P) da l m n n stan- NTERNET dart sapmas hesapland nda bulunan de ere standart hata denir. Oranlar n ortalamas n n standart hatas (σ p ); π.(1- π) N - n σ P =. n N -1 π.(1-π) TELEV ZYON TELEV ZYON Genellikle N, n den çok büyük oldu u için yaklafl k olarak; NTERNET N-n 1 N-1 olur. Bu durumda eflitli i; σ P = π.(1- π) n fleklinde yaz labiliriz. olup, burada, N = ana kütle birey say s, n = örnek kütlelerin birey say s ve π = belirli bir özelli in gerçekleflme oran (1 - π) = ve belirli bir özelli in gerçekleflmeme oran d r.

82 76 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Büyük örneklemelerde (n 30), örnek kütle ile hesaplanan varyans n ana kütle varyans na eflit oldu u kabul edildi inden, ana kütle varyans n n bilinmedi i durumlarda da; π.(1- π) P.(1- P) σ P = = n n alabiliriz. Burada P = örnek kütle için belirli bir özelli in gerçekleflme oran ve (1 - P) = örnek kütle için belirli bir özelli in gerçekleflmeme oran d r. Küçük örneklemelerde ise oranlar n standart hatas n ; P.(1- P) S p = n eflitli i ile hesaplar z. Büyük Örneklemelerde Ana Kütle Oran Ortalamas n n Güven Aral Büyük örneklemelerde (n 30) ana kütle oran aritmetik ortalamas n n (π) güven aral n, örnek kütle oran aritmetik ortalamas (P) ve standart hata (σ p ) yard m yla belirli bir (1 - α) güven seviyesi için afla daki eflitlikle hesaplayabiliriz. P + Z α/. σ p π π P P SP =.(1- ).(1- ) = n n Ana kütle oran ortalamas n n alt (AGS) ve üst (ÜGS) güven s n rlar n ; AGS = P - Z α/.σ p ÜGS = P + Z α/.σ p Burada, Z α/ de eri, standart normal olas l k da l m ndaki P(Z > Z α/ ) = α / koflulunu sa layan Z de eridir. Örne in, %99 güven düzeyi için ana kütle oran ortalamas π nin güven aral afla daki gibi ifade olunacakt r. eflitlikleriyle hesaplayabiliriz. P -,58. P.(1- P) P.(1- P) < π < P +,58. n n ÖRNEK 4 Bir havayolu flirketi uçufllarda koltuklar n doluluk oran n araflt rmak için 60 uçufla ait örnekleme yapm fl ve doluluk oran ortalamas n %80 olarak bulmufltur. Hava yolu flirketi uçaklar n n doluluk oran için %95 güvenilirlikle güven aral s n rlar n bulunuz. Çözüm: Örneklemden elde edilen veriler; n = 60, P = 0,8 ve (1 - P) = 1-0, 8 = 0,0 dir. Ana kütle varyans bilinmemekle birlikte, n = 60 > 30 oldu undan, ana kütle oran standart sapmas n afla daki gibi hesaplayabiliriz. σ P = π.(1- π) P.(1- P) 0,8.0, = = = 0,05 n n 60 (1 - α) = 0,95, α = 0,05 ve α / = 0,05 oldu undan Z α/ =Z 0,05 = 1,96 d r.

83 4. Ünite - Güven Aral Tahminleri 77 Güven s n rlar n ; P + 1,96. σ p eflitli i ile afla daki gibi hesaplayabiliriz. AGS = 0,80 - (1,96.0,05) = 0,698 AGS = 0,80 + (1,96.0,05) = 0,90 Hava yolu flirketi uçaklar n n doluluk oran %95 güvenilirlikle, %69,8 ile %90, aral nda de iflecektir. Bir televizyon flirketi tüm gün izlenme oran n n %0 ye ulaflt n iddia etmektedir. Bunu kan tlamak için bir örnekleme yap lacakt r. Örnek oran n n gerçek ana kütle oran ndan ± 0,05 (%5) uzakl kta olaca ndan (ana kütle oran n n tahmininde %5 hata yap laca ndan), %99 güvenirlikle emin olabilmek için ne büyüklükte örnekleme yapmak gerekecektir? ÖRNEK 5 Çözüm: Ana kütle oran π = 0,0 ve tahmin hatas e = 0,05 olup, tahmin hatas n afla daki eflitlikle hesaplayabiliriz. e = 0,05 = Z. σ = Z. α/ p α/ π.(1 - π) n %99 güven seviyesi için, (1 - α) = 0,99, α = 0,01 ve α / = 0,005 oldu undan Z α/ = Z 0,005 =,58 dir. Bu durumda, örnek kütle büyüklü ünü afla daki gibi hesaplayabiliriz. 0,05 =,58. 0,.(1-0,) n n = 0 n = 400 Bir banka müflterilerinin %15 inin internet üzerinden bankac l k ifllemi SIRA yapt n S ZDE iddia etmektedir. Bunu kan tlamak için bir örnekleme yap lacakt r. Örnek oran n n gerçek ana kütle oran ndan ± 0,10 (%10) uzakl kta olaca ndan (ana kütle oran n n tahmininde %10 DÜfiÜNEL M hata yap laca ndan), %95 güvenirlikle emin olabilmek için ne büyüklükte örnekleme yapmak gerekecektir? SORU Küçük Örneklemelerde Ana Kütle Oran Ortalamas n n Güven Aral D KKAT Küçük örneklemelerde (n < 30) ana kütle oran aritmetik ortalamas n n (π) güven aral n, örnek kütle oran aritmetik ortalamas (P) ve standart hata (S p ) yard m yla belirli bir (1 - α) güven seviyesi için afla daki eflitlikle hesaplayabiliriz. 3 DÜfiÜNEL M SORU D KKAT P + t α/,v. S p P P SP =.(1- ) n AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ K T A P K T A P Bu eflitlikten de, ana kütle oran ortalamas n n alt (AGS) ve üst (ÜGS) güven s - n rlar n afla daki eflitliklerle hesaplayabiliriz. TELEV ZYON TELEV ZYON NTERNET NTERNET

84 78 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik AGS = P - t α/,v. S p ÜGS = P + t α/,v. S p Buradaki t α/,v de erini, α / güven efli i ve v = n - 1 serbestlik derecesi için Student t da l m çizelgesinden belirleriz. ÖRNEK 6 Bir sektörde faaliyet gösteren flirketlerin karl l k oranlar n araflt rmak üzere 10 flirketin y ll k kar ve sat fl gelirleri incelendi inde, karl l k oran ortalamas n n %10 oldu u belirlenmifltir. lgili sektörde faaliyet gösteren flirketlerin; a) Karl l k oranlar ortalamas n n güven aral n %90 güven seviyesi için belirleyiniz. b) Karl l k oranlar ortalamas %99 güvenilirlikle en fazla ne olabilir? Çözüm: Veriler n = 10, P = 0,1 ve (1 - P) = 0,9 dur. n < 30 oldu undan küçük örnekleme yap lm flt r. a) (1 - α) = 0,90, α = 0,10 ve α / = 0,05 ve serbestlik derecesi v = n - 1 = 10-1 = 9 oldu undan Student t çizelgesinden t α/,v = t 0.05,9 = 1,833 elde ederiz. Standart hatay, P P SP =.(1- ) 0,1.0,9 = n 10 = 0,095 olarak hesaplar z. Güven aral n P + t α/,v. S p eflitli inden; 0,10 + (1,833. 0,095) 0,10 + 0,174-0,074 < π < 0,74 Bu örnekte alt güven s n r n n iflareti negatif (-) oldu undan, %90 ihtimalle baz flirketlerin zarar etmesi beklenebilir. b) Karl l k oranlar ortalamas n n %99 güvenilirlikle en fazla ne oldu unu bulmak için, güven aral n n üst s n r de erini bulmam z yeterlidir. (1 - α) = 0,99, α = 0,01 ve α / = 0,005ve serbestlik derecesi v = n - 1 = 10-1 = 9 oldu undan Student t çizelgesinden t α/,v = t 0.005,9 = 3,5 elde ederiz. Standart hatay, S p = 0,095 olarak hesaplam flt k. ÜGS = P + t α/,v. S p Karl l k oranlar ortalamas n n %99 güvenilirlikle en fazla; ÜGS = 0,10 + (3,5. 0,095) = 0,409 (%40,9) olmas beklenmektedir. K ANA KÜTLE ORTALAMASI ARASINDAK FARKIN GÜVEN ARALI I Baz araflt rmalarda normal da l m gösteren iki ana kütlenin merkezi e ilim ölçülerinden ortalamalar n karfl laflt rmas yap larak, birbirleri aras ndaki farklar n bilinmesi önemli olabilmektedir. Örne in, kalibrasyonu yap lm fl ve yap lmam fl iki ayr elektronik terazinin a rl k ölçüm sonuçlar aras nda farklar bulunup bulunmad n araflt rabiliriz. ki ayr ana kütlenin birincisinin aritmetik ortalamas µ 1 ve ikincisininki µ ise, iki ana kütle ortalamalar aras ndaki farklar n iflaretini dikkate alarak;

85 4. Ünite - Güven Aral Tahminleri 79 µ 1 - µ =+ise birinci ana kütlenin ortalamas n n ikinciden büyük oldu u, µ 1 - µ =-ise birinci ana kütlenin ortalamas n n ikinciden küçük oldu u, µ 1 - µ =0ise birinci ana kütlenin ortalamas ile ikinci aras nda fark olmad, Yorumlar n yapabiliriz. Ancak, ana kütle ortalamalar n n bilinmedi i ve sadece iki ayr ana kütleden yap lm fl örneklemelerin oldu u durumda ise bu gibi yorumlar, örnek kütle büyüklü üne ba l olarak belirleyebilece imiz standart hatalar yard m yla güven aral ile yapabiliriz. ki Ana Kütle Ortalamas Aras Fark n Standart Hatas Ana kütle boyutlar N 1 ve N, bilinmeyen aritmetik ortalamalar µ 1 ve µ, standart sapmalar σ 1 ve σ olan iki ayr ana kütlenin birincisinden n 1 ve ikincisinden n bireylik rassal örnek al n rsa, bu örneklerden, X 1,S 1 ve, X,S hesaplanabilir. Her iki ana kütleden her seferinde n 1 ve n bireyin bulundu u tekrarlamal örnek al - n rsa ve her seferinde (X 1 -X ) hesaplan rsa, hesaplanan bu de erler için bir olas l k da l m elde edilebilir. Büyük örneklemeler (n 1 ve n 30) için (X 1 -X ) farklar n n da l m yaklafl k olarak normal da l fl gösterir. Normal da lan (X 1 -X ) farklar n n aritmetik ortalamas µ ve standart hatas olur. (X (X σ 1 -X ) 1 -X ) (X 1 -X ) farklar olas l k da l m n n standart hatas ; σ σ σ(x - X ) = n1 n eflitli i ile hesaplanabilir. σ 1 ve σ nin bilinmedi i ve (n 1 ve n 30) oldu u durumlarda σ 1 =S 1 ve σ =S al nabilir. Küçük örneklemeler (n 1 ve n <30) için ise (X 1 -X ) farklar olas l k da l m - n n standart hatas afla daki eflitlikle hesaplan r. S S S(X - X ) = n1 n Büyük Örneklemelerde ki Ana Kütle Ortalamas Aras ndaki Fark n Güven Aral Büyük örneklemelerde (n 1 ve n 30) iki ana kütle ortalamas aras ndaki fark n (µ 1 - µ ) güven aral n, örnek kütlelerin ortalama farklar (X 1 -X ) ve standart hata σ yard m yla, belirli bir (1 - α) güven seviyesi için afla daki eflitlikle hesaplayabiliriz. (X1-X ) (X1 - X ) ± Z α/. σ(x -X ) 1 Bu eflitlikten de, iki ana kütle ortalamas farklar n n alt (AGS) ve üst (ÜGS) güven s n rlar n afla daki eflitliklerle hesaplayabiliriz. AGS = ( X - X ) - Z. 1 a/ σ ( X - X ) 1 ÜGS = ( X - X )+ Z. 1 α / σ ( X - X ) 1

86 80 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik ki ayr ana kütle ortalamalar aras ndaki farklar n alt ve üst güven s n rlar n n iflaretlerini dikkate alarak afla daki yorumlar yapabiliriz. AGS = + ve ÜGS = + ise birinci ana kütlenin ortalamas n n ikinciden büyüktür. AGS = - ve ÜGS = - ise birinci ana kütlenin ortalamas n n ikinciden küçüktür. AGS = - ve ÜGS = + ise birinci ana kütlenin ortalamas ile ikinci aras nda önemli bir fark yoktur. ÖRNEK 7 ki ayr mermer fabrikas n n üretti i mermer plakalar ndan al nan 60 ar adet (n 1 = n = 60) örnek üzerinde yap lan afl nma direnci (cm 3 /50 cm ) deneyleri sonucunda ortalama ve standart sapmalar afla daki gibi belirlenmifltir. %90 güvenilirlikle ana kütle ortalamas farklar n n güven aral n bulunuz. Güven aral n inceleyerek iki fabrikan n üretti i mermer plakalar n ortalama afl nma dirençleri aras farklar yorumlay n z. X 1 = 3 cm3 /50 cm X = 9 cm3 /50 cm S 1 = 1 cm 3 /50 cm S = 9 cm 3 /50 cm Çözüm: Büyük örnekleme (n 1 = n = 60 > 30) yap ld ndan iki ana kütle ortalamas farklar n güven aral n (1 - α) güvenirlikle bulmak için afla daki eflitli i kullan r z. (X1 - X ) ± Z α/. σ(x -X ) 1 σ σ σ(x - X ) = n1 n ki mermer fabrikas plakalar n n afl nma direnci ana kütle standart sapmalar bilinmemekle birlikte, büyük örnekleme yap ld için σ yerine 1 ve σ S 1 ve S kullanabiliriz. (1 - α) = 0,90, α = 0,10 ve α / = 0,05 oldu undan Z α/ = Z 0,05 = 1,645 elde ederiz. ki ana kütle ortalamas farklar n n %90 güven seviyesi için alt (AGS) ve üst (ÜGS) güven s n rlar n afla daki gibi hesaplayabiliriz. AGS = (X - X ) - Z. 1 α/ = (3-9) -1,645. ÜGS = (X - X ) + Z 1 α / = (3-9) + 1,645.. S n + S n S 1 1 n + S n = -0, cm / 50 cm = 6, cm 3 / 50 cm

87 4. Ünite - Güven Aral Tahminleri 81 Bu sonuç bize iki mermer fabrikas plakalar ortalama afl nma dirençleri farklar n n %90 n n -0, ile 6, (cm 3 /50 cm ) aras nda olabilece ini göstermektedir. Alt güven s n r negatif ve üst güven s n r pozitif iflaretli oldu undan, iki mermer fabrikas ürünlerinin afl nma dirençleri aras nda önemli bir fark olmad n söyleyebiliriz. Küçük Örneklemelerde ki Ana Kütle Ortalamas Aras ndaki Fark n Güven Aral Küçük örneklemeler (n 1 ve n < 30) için ise iki ana kütle ortalamas aras ndaki fark n (µ 1 - µ ) güven aral ; ( X - X ) ± t.s 1 α/,v ( X1- X) eflitli i ile hesaplanabilmektedir. Bu eflitlikten de, iki ana kütle ortalamas farklar - n n alt (AGS) ve üst (ÜGS) güven s n rlar n afla daki eflitliklerle hesaplayabiliriz. AGS = ( X - X ) - t.s 1 α /,v ( X - X ) ÜGS = ( X - X )+ t.s 1 1 α /,v ( X - X ) 1 K ANA KÜTLE ORANI ARASINDAK FARKIN GÜVEN ARALI I Baz araflt rmalarda normal da l m gösteren iki ana kütle oranlar aras ndaki farklar n karfl laflt rmas n n yap lmas gerekebilmektedir. N 1 adet birimden oluflan birinci ana kütlede belirli özelli in gerçekleflme oran n n ortalamas π 1 ve gerçekleflmeme oran ortalamas (1 - π 1 ), N adet birimden oluflan ikinci ana kütlede belirli özelli in gerçekleflme oran n n ortalamas π ve gerçekleflmeme oran ortalamas ise (1 - π ) oldu u durumda, iki ayr ana kütle için belirli özelli in gerçekleflme oran farklar n n (π 1 - π ) karfl laflt r lmas nda güven aral mant kullan labilmektedir. ki Ana Kütle Oranlar Aras ndaki Farklar n Standart Hatas Ana kütle boyutlar N 1 ve N, belirli özelli in gerçekleflme oran π 1 ve π olan iki ayr ana kütlenin birincisinden n 1 ve ikincisinden n bireylik rassal örnek al n rsa, bu örneklerden P 1 ve P hesaplanabilir. Her iki ana kütleden her seferinde n 1 ve n bireyin bulundu u tekrarlamal örnek al n rsa ve her seferinde (P 1 - P ) hesaplan rsa, hesaplanan bu de erler için bir olas l k da l m elde edilebilir. Büyük örneklemeler (n 1 ve n 30) için (P 1 - P ) farklar n n da l m yaklafl k olarak normal da l fl gösterir. Normal da lan (P 1 - P ) farklar n n aritmetik ortalamas ve standart hatas σ (P -P ) olur. (P 1 - P ) farklar olas l k da l m n n standart hatas ; 1 σ (P - P ) 1 = P.(1- P) P.(1- P ) n 1 n eflitli i ile hesaplanabilir. Küçük örneklemeler (n 1 ve n <30) için de S (P - P ) = σ(p - P ) kabul edilerek standart hata hesaplanabilir. 1 1

88 8 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Büyük Örneklemelerde ki Ana Kütle Oran Aras ndaki Fark n Güven Aral Büyük örneklemelerde (n 1 ve n 30) iki ana kütle oran aras ndaki fark n (π 1 - π ) güven aral n, örnek kütlelerin oran farklar (P 1 - P ) ve standart hata σ (P yard m yla, belirli bir (1 - α) güven seviyesi için afla daki eflitlikle 1 -P ) hesaplayabiliriz. (P1 - P ) ± Z α /. σ(p - P ) 1 Bu eflitlikten de, iki ana kütle oranlar aras ndaki farklar n alt (AGS) ve üst (ÜGS) güven s n rlar n afla daki eflitliklerle hesaplayabiliriz. AGS = (P1 - P ) - Z α /. σ(p - P ) 1 ÜGS = (P1 - P )+ Z α /. σ(p - P ) 1 ÖRNEK 8 ki ayr ifl makinesinin günlük fiili çal flma rand manlar n karfl laflt rmak üzere yap lan örneklemeler sonucunda afla daki veriler elde edilmifltir. n 1 = 40 gün P 1 = 0,70 (%70) n = 50 gün P = 0,64(%64) %90 güven seviyesi için iki ifl makinesinin fiili çal flma rand man (oran) farklar - n n güven aral n bulunuz. Çözüm: Büyük örnekleme (n 1 ve n > 30) yap ld ndan iki ana kütle oran farklar n n güven aral n (1 - α) güvenilirlikle bulmak için afla daki eflitlikleri kullan r z. (P1 - P ) ± Z α /. σ(p - P ) 1 σ (P - P ) 1 = P.(1- P) P.(1- P ) n 1 n (1 - α) = 0,90, α = 0,10 ve α / = 0,05 oldu undan Z α/ = Z 0,05 = 1,645 elde ederiz. ki ana kütle oran farklar n n %90 güven seviyesi için güven aral n afla daki gibi hesaplayabiliriz. (0,70-0,64) 1,645. 0,70.(1-0,70) 40 0,64.(1-0,64 ) + 50 (0,70-0,64) 0,163 AGS = -0,103 ve ÜGS = 0,3 DÜfiÜNEL M SORU D KKAT 4 ki ayr ifl makinesinin günlük fiili çal flma rand manlar (oranlar ) aras ndaki fark %90 güven seviyesi için yorumlay n z. Küçük Örneklemelerde DÜfiÜNEL M ki Ana Kütle Oran Farklar n n Güven Aral Küçük örneklemelerde SORU (n 1 ve n < 30), iki ana kütle oranlar aras ndaki farklar n (π 1 - π ) güven aral n, örnek kütlelerin oran farklar (P 1 - P ) ve standart hata S (P - P ) 1 yard m yla, belirli bir (1 - α) güven seviyesi için afla daki eflitlikle hesaplayabiliriz. D KKAT AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ

89 4. Ünite - Güven Aral Tahminleri 83 (P1 - P ) ± t α /,v.s(p - P ) 1 Bu eflitlikten de, iki ana kütle oranlar aras ndaki farklar n alt (AGS) ve üst (ÜGS) güven s n rlar n afla daki eflitliklerle hesaplayabiliriz. AGS = (P1 - P ) - t α /,v.s(p - P ) 1 ÜGS = (P1 - P )+ t α /,v.s( P -P ) 1 VARYANS Ç N GÜVEN ARALI I Ana kütle ortalamas n n (µ) ve varyans n n (σ ) bilinmemesine ra men, ana kütle varyans n n büyüklü ünün önemli oldu u bir araflt rmada, bu ana kütleden elde edilecek n birimlik X i örnekleri ile örnek kütlenin ortalama ve varyans hesaplanarak varyans n büyüklü ü hakk nda yorum yap labilmektedir. Büyük örneklemelerde (n 30), örnek kütle varyans ile ana kütle varyans birbirine birbirine eflit (σ = S ) kabul edilebildiklerinden, örnek kütle varyans yard m yla ana kütle varyans n yorumlamak mümkündür. Ancak küçük örneklemelerde ise, örnek kütle varyans yard m yla ana kütle varyans n n büyüklü ünü yorumlamak mümkün de ildir. Küçük örneklemelerde varyans ; S = ( X-X) n-1 = 1 n-1 ( X-X) eflitli i ile hesaplayabilmekteyiz. Varyans eflitli ini; ( n-1). S = ( X-X) fleklinde yazd ktan sonra, eflitli in her iki taraf n ana kütle varyans na (σ ) bölersek; ( n-1). S ( X-X) = σ σ eflitli i ile ifade edilen (n - 1) serbestlik dereceli Khi-kare (χ ) da l m n elde ederiz. χ da l m, 0 ile + aral nda tan ml olup, n < 30 oldu u sürece simetrik bir da l m de ildir. Serbestlik derecesi v = n - 1 olan Khi-kare da l m n ; χ yazabiliriz. Bu eflitlikten de, ana kütle varyans n ; σ n S = ( -1). σ v n S = ( -1). χ v elde ederiz.

90 84 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik fiekil 4. Khi-kare da l m nda alt ve üst güven s n rlar χ da l m nda, ana kütle varyans n (σ ) belirli bir güven düzeyinde (1 - α) içine alacak iki χ de eri vard r (Cula ve Muluk, 006). fiekil 4. den de görüldü ü gibi, Khi-kare da l m nda alt ve üst s n ra karfl l k gelen Khi-kare de erleri; χ A = χ (1- α/ ),v ve χ χ Ü = ( α/ ),v olup, χ çizelgelerinden elde edilebilmektedir. Khi-kare da l m kullan larak, v = n - 1 serbestlik derecesi ve belirli bir (1 - α) güven seviyesi için, örnek kütle varyans kullan larak ana kütle varyans n n güven aral n belirleyebiliriz. (n -1).S (n -1).S AGS = ÜGS = χ A χ Ü α/ 1 α α/ K 1 α/,v K α/,v K ÖRNEK 9 Bir bakliyat paketleme üretim hatt ndan rassal örneklenen 10 paketin a rl klar - n n standart sapmas 1 gr ç km flt r. Bu paketleme ana kütlesindeki varyans n % 90 güven aral kaçt r? Çözüm: n = 10, S = 1, S = 144 (1 - α) = 0,90, α = 0,10, α / = 0,05, n = 10 v = n - 1 = 10-1 = 9 α / = 0,05 ve v = 9 için Khi-kare çizelgesinden; χ A = χ (1- α / ),v = χ (1-0,05),9 = 16,9 χ χ Ü = ( α / ),v = χ (0,05),9 = 3,33 de erlerini elde ederiz. Bu de erleri kullanarak varyans n güven aral s n rlar n bulabiliriz. AGS = (n -1).S = χ A (10-1) ,9 = 76,6 gr (n -1).S (10-1).144 ÜGS = = = 389, gr 3,33 χ Ü

91 4. Ünite - Güven Aral Tahminleri 85 Özet A MAÇ 1 Nokta ve güven aral tahmini aras ndaki fark belirlemek. Örneklemenin amac, ana kütlenin bilinmeyen parametreleri hakk nda tahminler yapmakt r. Tahminleme ile ana kütlenin tamam n n örneklenmesini (tam say m n ) gerektiren ifllemlere gerek kalmamaktad r. statistikte tahminleme nokta veya aral k tahmini olmak üzere iki yöntemle yap labilmektedir. Nokta tahmini, ana kütle parametrelerinin bilinmedi i hallerde örneklerden elde edilmifl verilerle tek bir tahmin yapmakt r. Nokta tahminleri ile sapmas z, tutarl ve etkin tahminler yap lamamakta, hata pay belirlenememekte ve güvenilirlik azalmaktad r. Aral k tahmini ile ise, ana kütleye ait herhangi bir bilinmeyen parametrenin belirli bir hata pay ile alt ve üst s n r de erleri verilerek tahmin edilmesi mümkün olabilmektedir. Ana kütle ortalamas ve oran için güven aral - n tahmin etmek. Ana kütle aritmetik ortalamas n n (µ) güven aral, belirli bir (1 - α) güven seviyesi için; Büyük örneklemelerde (n 30), standart normal de iflkeni (Z α/ ) kullanarak, örnek kütle aritmetik ortalamas (X ) ve standart hata ( σ ) yard - x m yla X Z α eflitli iyle, /. σ X Küçük örneklemelerde (n < 30), v = n - 1 serbestlik derecesi ile belirlenen Student t de erini (t α/,v ) kullanarak, örnek kütle aritmetik ortalamas (X ) ve standart hata ( S ) yard m yla X ± t X α /,n.s eflitli iyle, tahmin edilebilmektedir. X Ana kütle oran n n (π) güven aral, belirli bir (1 - α) güven seviyesi için; Büyük örneklemelerde (n 30), standart normal de iflkeni (Z α/ ) kullanarak, örnek kütle oran (P) ve standart hata (σ p )yard m yla P + Z α/.σ p eflitli iyle, Küçük örneklemelerde (n < 30), v = n - 1 serbestlik derecesi ile belirlenen Student t de erini (t α/,v ) kullanarak, örnek kütle oran (P) ve standart hata (S p ) yard m yla eflitli iyle, P + t α/.s p tahmin edilebilmektedir. A MAÇ ki ana kütle ortalamas ve oran aras ndaki farklar n 3 güven aral n tahmin etmek. ki ana kütle ortalamas aras ndaki fark n (µ 1 µ ) güven aral, belirli bir (1 - α) güven seviyesi için; Büyük örneklemelerde (n 1 ve n 30), standart normal de iflkeni (Z α/ ) kullanarak, örnek kütlelerin ortalama farklar (X 1 - X ) ve standart hata σ (X1-X yard m yla ( X - X )±Z. 1 α/ σ ) ( X1- X eflitli- ) iyle, A MAÇ A MAÇ 4 Küçük örneklemelerde (n 1 ve n < 30), v = n - 1 serbestlik derecesi ile belirlenen Student t de erini (t α/,v ) kullanarak, örnek kütlelerin ortalama farklar (X 1 - X ) ve standart hata S yard - ( X1-X ) m yla ( X - X ) ± t.s 1 α/,v ( X eflitli iyle, tahmin 1- X ) edilebilmektedir. ki ana kütle oran aras ndaki fark n (π 1 - π ) güven aral, belirli bir (1 - α) güven seviyesi için; Büyük örneklemelerde (n 1 ve n 30), standart normal de iflkeni (Z α/ ) kullanarak, örnek kütlelerin oran farklar (P 1 -P ) ve standart hata σ (P 1 -P ) yard m yla (P1 - P ) ± Z α /. σ(p - P ) eflitli iyle, 1 Küçük örneklemelerde (n 1 ve n < 30), v = n - 1 serbestlik derecesi ile belirlenen Student t de erini (t α/,v ) kullanarak, örnek kütlelerin oran farklar (P 1 -P ) ve standart hata S (P - P ) yard m yla 1 (P1 - P ) ± t α /,v.s(p - P ) eflitli iyle, tahmin edilebilmektedir. 1 Ana kütle varyans için güven aral n tahmin etmek. Ana kütle varyans n n (σ )güven aral, v = n - 1 serbestlik derecesi ve belirli bir (1 - α) güven seviyesi için, Khi-kare de eri (χ ) ve örnek kütle varyans (S ) yard m yla belirlenebilmektedir. (n -1).S (n -1).S AGS = ÜGS = χ A χ Ü χ A = χ (1- α/ ),v ve χ χ Ü = ( α/ ),v

92 86 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Kendimizi S nayal m 1. Bir klinikte hastalara zay flama rejimi uygulanmaktad r. Rassal olarak örneklenen 30 hasta, rejimin sonunda ortalama olarak 0 kilogram zay flam flt r. Örneklenen kütlenin standart sapmas 5 kilogram ise ana kütle ortalamas için % 90 güven aral afla dakilerden hangisidir? a. 19,5 < µ < 0,5 b. 19,1 < µ < 0,9 c. 18,5 < µ < 1,5 d. 18, < µ < 1,8 e. 17,3 < µ <,7. Bir ana kütleden çekilen 5 bireylik örnek kütlenin ortalamas 50 ve standart sapmas 10 dur. Seçilen bu örne e göre, %95 güvenirlik seviyesi için ortalaman n güven aral afla dakilerden hangisidir? a. 43,55 < µ < 5,45 b. 44,84 < µ < 55,16 c < µ < 54,13 d < µ < 56,83 e. 48,44 < µ < 54,63 3. Bir GPS ile yap lan konumsal ölçümlerin hassasiyetini belirlemek amac yla teodolit ile yap lan 40 noktal k ölçüm sonuçlar karfl laflt r ld nda hata oran ortalamas %10 olarak bulunmufltur. Buna göre, %90 güven seviyesi için ana kütle oran n n alt güven s n r yüzde kaçt r? a. 17,8 b. 8,4 c. 4,8 d., e. 1,8 4. Son ekonomik krizin seramik fabrikalar n n kapasite kullan m oranlar n nas l etkiledi ini belirlemek için yap lan çal flmada 10 farikada kapasite kullan m oran - n n %30 azald tespit edilmifltir. Buna göre, %99 güvenilirlikle ana kütle oran n güven aral n n üst s n r yüzde kaçt r? a. 77 b. 66 c. 47 d. 7 e ki ayr demir madeni iflletmesinden al nan 36 flar (n 1 = n = 36) örnekler üzerinde yap lan tenör (%Fe) analizleri sonucunda afla daki veriler elde edilmifltir. X 1 = 4 %Fe X = 34 %Fe S 1 = 16 %Fe S = 1 %Fe Bu bilgilere göre, %90 güvenilirlikle ana kütle ortalamas farklar güven aral n n alt s n r kaç %Fe dir? a. 1,36 b.,5 c. 6,4 d. 8,66 e. 13,48 6. Küçük ölçekli bir tekstil iflletmesinde çal flanlar aras nda ücret ödemelerinde cinsiyete göre farkl l k olup olmad n belirlemek amac yla yap lan araflt rmada, iflletmede çal flan 0 erkek çal flan n ücretlerinin ortalamas 1550 TL ve standart sapmas 50 TL iken, 0 kad n çal flan n ücretleri ortalamas n n 1450 TL ve standart sapmas n n 350 TL oldu u belirlenmifltir. Erkek ve kad n çal flanlar n ücretleri aras nda farklar n güven aral n %90 güven seviyesi için afla dakilerden hangisidir? a. 33 < (µ 1 - µ ) < 33 b. 66 < (µ 1 - µ ) < 134 c. -66 < (µ 1 - µ ) < 66 d < (µ 1 - µ ) < -66 e < (µ 1 - µ ) < Normal bir da l mdan rassal olarak seçilmifl 16 bireyli örnek kütlenin varyans 49 olarak hesaplanm flt r. Buna göre, ana kütle varyans n n üst güven s n r %90 güvenirlikle kaçt r? a. 36,4 b. 4,6 c. 69,5 d. 101, e. 03,7

93 4. Ünite - Güven Aral Tahminleri 87 Kendimizi S nayal m Yan t Anahtar 8. Standart sapmas 7 olan normal bir da l mdan çekilmifl 36 gözlemli rassal bir örneklem verilerinden oluflturulan ana kütle ortalamas µ nün (1 - α) güven aral 43,7 < µ < 56,3 fleklinde ise, µ % kaçt r? a. 5 b. 8 c. 1,01 d. 16,16 e. 18,36 9. Ana kütle ortalamas n n güven aral belirlenirken örneklem hacmi 17 ise, serbestlik say s kaçt r? a. 15 b. 16 c. 17 d. 18 e Normal da l ml bir ana kütleden rassal olarak çekilmifl 49 bireyden oluflan örneklem verileri ile ana kütle ortalamas µ nün % 90 güven aral 143,4 < µ < 156,58 fleklinde belirlenmifltir. Buna göre ana kütle standart sapmas µ kaçt r? a. 8 b. 18 c. 8 d. 38 e c Yan t n z yanl fl ise, Büyük Örneklemelerde Ana Kütle Ortalamas Güven Aral konusunu yeniden gözden geçiriniz.. c Yan t n z yanl fl ise, Küçük Örneklemelerde Ana Kütle Ortalamas Güven Aral konusunu yeniden gözden geçiriniz. 3. d Yan t n z yanl fl ise, Büyük Örneklemelerde Ana Kütle Oran Ortalamas n n Güven Aral konusunu yeniden gözden geçiriniz. 4. a Yan t n z yanl fl ise, Küçük Örneklemelerde Ana Kütle Oran Ortalamas n n Güven Aral konusunu yeniden gözden geçiriniz. 5. b Yan t n z yanl fl ise, Büyük Örneklemelerde ki Ana Kütle Ortalamas Farklar n n Güven Aral - konusunu yeniden gözden geçiriniz. 6. c Yan t n z yanl fl ise, Küçük Örneklemelerde ki Ana Kütle Ortalamas Farklar n n Güven Aral - konusunu yeniden gözden geçiriniz. 7. d Yan t n z yanl fl ise, Varyans çin Güven Aral - konusunu yeniden gözden geçiriniz. 8. d Yan t n z yanl fl ise, Büyük Örneklemelerde Ana Kütle Ortalamas Güven Aral konusunu yeniden gözden geçiriniz. 9. b Yan t n z yanl fl ise, Küçük Örneklemelerde Ana Kütle Ortalamas Güven Aral konusunu yeniden gözden geçiriniz. 10. c Yan t n z yanl fl ise, Büyük Örneklemelerde Ana Kütle Ortalamas Güven Aral konusunu yeniden gözden geçiriniz.

94 88 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik S ra Sizde Yan t Anahtar S ra Sizde 1 n = 36 oldu una göre, büyük örnekleme yap lm flt r. Güven aral ; 19,33 < µ < 0,7 oldu una göre, alt ve üst güven s n rlar aras ndaki fark; ÜGS - AGS =.(Z α /. σ ) X.( Z α/. σ ) = 0, 7-19,33 = 0,94 Z. = 0,94 / = 0, 4 X α/ σ 7 X AGS = X - (Z α /. σ ) 19,33 = X - 0, 47 X = 19,8 X S ra Sizde n = 16 oldu una göre, küçük örnekleme yap lm flt r. X = 40 ve S = 10 dur. (1 - α) = 0,90, α = 0,10 ve α /= 0,05 serbestlik derecesi v = n - 1 = 16-1 = 15 oldu undan Student t çizelgesinden t α/,v.=t 0.05,15 = 1,753 elde ederiz. AGS = X - t.s S = S n = α /,v X X =,5 Yararlan lan Kaynaklar Cula, S. & Muluk, Z. (006). Temel statistik Yöntemleri. Ankara: Baflkent Üniversitesi. Gürtan, K. (198). statistik ve Araflt rma Metodlar. No: 941. stanbul: stanbul Üniversitesi. Konuk, A. & Önder, S. (1999). Maden statisti i. Mühendislik Mimarl k Fakültesi Maden Mühendisli i Bölümü. Eskiflehir: Eskiflehir Osmangazi Üniversitesi. Montgomery, D.C. & Runger G.C. (003). Applied Statistics and Probability for Engineers. USA: John Wiley & Sons. Newbold, P. (005). flletme ve ktisat çin statsitik. Ümit fienesen (Çev.). stanbul: Literatür. Püskülcü, H. & kiz, F. (1989). statisti e Girifl. zmir: Bilgehan. Serper, Ö. (000). Uygulamal statistik II. Bursa: Ezgi. Ünver, Ö. & Gamgam, H. (006). Uygulamal Temel statistik Yöntemler. Ankara: Seçkin. Yüzer, A.F. (Ed.) (009). statistik. Aç k Ö retim Fakültesi Yay n No: 771, Eskiflehir: Anadolu Üniversitesi. AGS = 40 - (1,753.,5) = 35,6 S ra Sizde 3 Ana kütle oran π =0,15 ve tahmin hatas e = 0,10 olup, tahmin hatas n afla daki eflitlikle hesaplayabiliriz. e= 0,10 =Z α/. σ p =Z α/. π. (1- π) n %95 güven seviyesi için, (1 - α) =0,95, α = 0,05 ve α / = 0,05 oldu undan Z α/ =Z 0,05 = 1,96 d r. Bu durumda, örnek kütle büyüklü ünü afla daki gibi hesaplayabiliriz. 0,10 = 1,96. 0,15.(1-0,15) n n = 7 n = 49 S ra Sizde 4 AGS = -0,103 ve ÜGS = 0,3 oldu undan iki ayr ifl makinesinin günlük fiili çal flma rand manlar (oranlar ) aras nda %90 güvenirlikle önemli bir fark olmad n söyleyebiliriz.

95

96 5CO RAF B LG S STEMLER Ç N TEMEL STAT ST K Amaçlar m z Bu üniteyi tamamlad ktan sonra; statistiksel hipotez testi kavramlar n aç klayabilecek, test sürecinin aflamalar n ve yap lacak ifllemleri s ralayabilecek, Ana kütle ortalamas, oran ve varyans ile iki ana kütle ortalamalar aras farklar n hipotez testi uygulamalar n yapabilecek bilgi ve becerilere sahip olacaks n z. Anahtar Kavramlar S f r Hipotezi Karfl t Hipotez Red Bölgesi Tek Tarafl Test Çift Tarafl Test Test statisti i Büyük Örnekleme Küçük Örnekleme Ortalamalar n Testi Oranlar n Testi Ortalama Farklar n Testi Varyanslar n Testi çindekiler Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik statistiksel Karar Vermede Hipotez Testleri H POTEZ N KURULMASI VE TEST ANA KÜTLE ORTALAMASINA L fik N TESTLER ANA KÜTLE ORANINA L fik N TESTLER ANA KÜTLE ORTALAMALARI ARASINDAK FARKLARIN TEST VARYANSLARIN TEST

97 statistiksel Karar Vermede Hipotez Testleri H POTEZ N KURULMASI VE TEST Örnek kütleden elde etti imiz parametre bilgilerini kullanarak ana kütle hakk nda, belirli bir güven aral nda tahminler yapabiliriz. Ancak, birçok araflt rmada örnek kütleden elde etti imiz veriler yard m yla ana kütle hakk nda karar vermek de isteriz. Örne in, yeni bir sulama sisteminin tar mda ürün verimlili ini artt rd iddia ediliyorsa, eski ile yeni sistemin verimliliklerini ayn bitki için ayn arazi koflullar nda karfl laflt r p karar vermeye çal fl r z. Bununla birlikte, yeni sulama sisteminin verimi art rd karar n verebilmek için, yeni sulama sisteminin eskisine göre verimi önemli oranda artt rmas n ve verim oranlar aras nda önemli farklar n bulunmas n bekleriz. Yeni cihaz veya yöntemin fark yaratmas yla birlikte, bu fark n büyüklü ü ve anlaml l da önemlidir. Örne in, bir fabrikaya sat n al nan yeni paketleme makinesinin iflgücü verimlili ini artt r p artt rmad n belirlemeye yönelik bir araflt rmada, yeni makinenin iflgücü bafl na düflen paketleme miktar n 10 adet artt rm fl oldu unu saptam fl olal m. Paketleme veriminin 10 adet artm fl olmas, yeni makinenin verim art fl sa lad n söyleyebilmemiz için yeterlimidir? Acaba aradaki bu art fl, sat n al - nan yeni makinenin üretim sürecine girmesinin mi bir sonucu, yoksa tamamen rassal örnekleme hatalar ndan m kaynaklanmaktad r? Rassal örnekleme hatalar n n etkilerini devre d fl b rakabilmek için, fark n ne kadar büyüklükte olmas gereklidir? Uygulanacak yeni bir yöntem veya kullan lacak yeni bir makinenin/cihaz n eskisine göre süreçte veya üretimde önemli büyüklükte farkl l k yaratmas ndan çok, bu farkl l n istatistiksel aç dan ne kadar anlaml oldu u önemlidir. Bir baflka deyiflle, bu farklar n gerçekten mi yoksa rassal örnekleme hatalar ndan m meydana geldi inin incelenerek istatistiksel karar n verilmesi gerekmektedir. Ana kütle de erlerinin bilindi i bir durumda, uygulanan teknolojide veya yöntemde yap lan bir de ifliklik sonras nda elde edilen örnek kütle de erlerinin farkl olmas nda, gerçek veya rassal de iflimden hangisinin etkili oldu una karar vermede, hipotez testleri kullan labilmektedir. Bu ünitede, öncelikle istatistiksel hipotezin kurulmas ve testi sürecinin aflamalar aç klanacak, daha sonra ana kütle ortalamas, oran ve varyans ile ana kütle ortalamalar aras ndaki farklar n testi konular ele al nacakt r. Ana kütle parametreleri hakk nda ileri sürülen hipotezin do rulu unu kan tlaman n en kesin yöntemi, ana kütlenin tam say m n yapmakt r. Ancak, zaman yetersizli i, maliyetinin yüksekli i ve yok edici etkileri dikkate al nd nda, ileri sürü- Genel olarak hipotezler, bir durum hakk nda ileri sürülen varsay mlard r. statistiksel anlamda hipotezler ise ana kütlenin durumu hakk nda ileri sürülen iddialar n, örnek kütle olas l k da l m modeline göre araflt r lmas d r. Hipotez testinde, örnekten elde edilen bilgilere ba l olarak belirli bir güvenirlik seviyesinde, ileri sürülen hipotezin do ru olup olmad test edilir.

98 9 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik len hipotezi kan tlamak için tam say m yerine örnek kütle parametrelerinden yararlanmak gerekmektedir. Hipotez testi, ana kütle parametresi hakk nda yap lacak araflt rmaya uygun olarak hipotezlerin kurulmas, red veya kabul koflullar n n belirlenmesi, olas l k da l m modeline uygun test istatisti inin hesaplanmas ve karar verme aflamalar ndan oluflur. S f r hipotezi eskiden beri bilinen ve geçerli kabul edilen görüflü yans t rken, karfl t hipotez yeni bir görüfltür. ÖRNEK S f r hipotezi do ru oldu u halde test sonucunda rededilirse, bir hata ifllenir ve buna I. Tip Hata denilmektedir. S f r hipotezi yanl fl oldu u halde kabul ediliyorsa da bir hata ifllenmifl olur ve bu hataya da II. Tip Hata denilmektedir. Birinci tip ve ikinci tip hatalarla ilgili olarak Özer SERPER in Uygulamal statistik II (Ezgi Kitapevi, 000, Bursa) kitab ndan daha ayr nt l bilgi edinebilirsiniz. Hipotezlerin Kurulmas Hipotez testinde, örnek kütleden elde edilen parametrelerin ana kütle parametreleriyle uyumlu oldu unu iddia eden s f r hipotezi (H 0 hipotezi) ve uyumlu olmad - n iddia eden karfl t hipotez (H 1 hipotezi) kurulur. S f r hipotezine istatistiksel hipotez, karfl t hipoteze de araflt rma hipotezi de denilmektedir. H 0 hipotezi, ana kütlenin bilinen veya varsay lan parametre de eri ile örnek kütleden elde edilen aras nda önemli (anlaml ) bir fark olmad kabulü ön flart n içerir. Örnek kütleden elde edilen veriler H 0 hipotezini çürütmedi i sürece, H 0 hipotezi geçerlidir. H 0 hipotezi geçerli oldu u sürece, örnek kütle ile ana kütle parametreleri aras ndaki farkl l n, rassal örnekleme hatalar ndan (örnekleme yönteminin yanl fl seçilmesinden veya örneklerin yetersizli inden) meydana geldi i kabul edilir. Ana kütlenin bilinen veya varsay lan parametre de eri ile örnek kütleden elde edilen aras nda önemli (anlaml ) bir fark oldu unu ileri süren hipoteze ise karfl t (alternatif) hipotez (H 1 ) denilir. Bu hipotez genellikle, örnek kütle verileriyle hesaplanan parametrenin ana kütle parametresinden farkl (büyük, küçük veya eflit de il) oldu u fleklindedir. Eskiflehir kent merkezinden geçen Porsuk çay nda a r metallerden olan kurflun miktar n n 5 mg/kg n alt nda oldu u bilinmektedir. Ancak, çevre araflt rmac lar, Eskiflehir kent merkezi giriflinde ve ç k fl nda Porsuk çay ndaki kurflun miktar - n n de iflti ini iddia etmektedirler. Bu durumda, Porsuk nehrinden örnekleme yapmadan önce, kurflun miktar ortalamas ile ilgili hipotezlerin flu flekilde kurulmas gerekecektir. Bilinen ana kütle de eri ile örnek kütle de eri aras nda fark olmad varsay - m na dayanan s f r hipotezi afla daki gibi kurulur. H 0 : mg/kg Bilinen ana kütle de eri ile örnek kütle de eri aras nda fark oldu u iddias na dayanan karfl t hipotez, üç farkl flekilde kurulabilecektir. H 1 : H 1 : H 1 : X = µ =5 X > µ = 5 X < µ = 5 X µ =5 mg/kg mg/kg mg/kg Karfl t hipotezi kurarken, üç karfl t hipotezden birine karar vermek gerekir. Red Bölgesinin Tan mlanmas S f r hipotezinin red edilebilece i bölgeyi tan mlamadan önce testin anlaml l k düzeyini belirlememiz gerekir. S f r hipotezi do ru oldu u halde red edilebilme hatas n (I. Tip Hata) iflleyebilece imiz en büyük olas l k de erine anlaml l k düzeyi (α )

99 5. Ünite - statistiksel Karar Vermede Hipotez Testleri veya anlaml l k seviyesi denilmektedir. Araflt rmalarda hata yapmamak, yanl fl bir iddiada bulunmamak ve s f r hipotezini korumak için anlaml l k düzeyini küçük tutar z. H 0 hipotezinin do ru oldu u halde red edilmesi riskli ise ve örnek say s n artt rmak pahal ya mal oluyorsa, α anlaml l k düzeyi çok küçük bir de er (%0,1 ile %5 aras ) al nmal d r. Buna karfl l k, H 0 hipotezinin yanl fl oldu u halde kabul edilmesi tehlikeli olacaksa α anlaml l k düzeyi %5 den büyük tutulmal d r (Konuk ve Önder, 1999). Anlaml l k düzeyi dikkate al narak s f r hipotezinin kabulü için tan mlanan bölgeye kabul bölgesi ve reddi için tan mlanan bölgeye ise red bölgesi denilmektedir. Güven düzeyinin belirlenmesinden sonra, örnek kütle da l m modeline uygun olarak red ve kabul bölgelerinin tan mlanmas gerekir. E er hesaplanacak test istatisti i de eri kabul bölgesinin içinde kal rsa H 0 hipotezi kabul edilir, tersi durumda ise H 0 hipotezi red edilir. H 1 hipotezindeki iddiaya göre, red bölgesi tek tarafl veya çift tarafl olarak tan mlanabilmektedir. Örnek kütle parametresinin ana kütle parametresinden küçük veya büyük oldu u iddias varsa, red bölgesi tek tarafl olarak belirlenmekte ve bu gibi durumlarda yap lan testlere tek tarafl test denilmektedir. Örnek kütle parametresinin ana kütle parametresine eflit olmad iddias n n bulundu u (büyük veya küçük oldu unu bilmedi imizde) durumda, red bölgesi iki tarafl olarak belirlenmekte ve çift tarafl test denilmektedir. Örne in, ortalamalar n testinde örnek kütle ortalamas n n ( X) ana kütle ortalamas ndan (μ ) büyük (H 1 : X > µ ) veya küçük (H 1 : X < µ ) oldu- u durumlarda tek tarafl red bölgesi tan mlan rken, birbirine eflit olmad (H 1 : X µ ) durum için ise çift tarafl red bölgesi tan mlanmaktad r (fiekil 5.1). 93 Mühendislik ve e itim bilimlerinde güven seviyesi genellikle %5 olarak al n rken, sa l k bilimlerinde %1 ve sosyal bilimlerde %10 olarak al nabilmektedir. Kabul ve red bölgeleri aras s n r tan mlayan teorik test istatisti i, belirli bir α anlaml l k düzeyi (olas l ) ve örnek büyüklü üne ba l olarak, örnek kütle da l m modeline göre seçilen çizelgelerden belirlenebilmektedir. fiekil 5.1 Tek ve çift tarafl red bölgeleri α α / α / Kabul bölgesi Red bölgesi Red bölgesi Kabul bölgesi Red bölgesi a) Tek tarafl red bölgesi b) Çift tarafl red bölgesi Test statisti ini Hesaplanmas ve Karar Verme Örnek kütle ve ana kütle parametreleri aras ndaki fark n standart hataya oran na test istatisti i denilmekte olup, örnek kütleden elde edilmifl ortalama, oran, varyans gibi parametrelere ve örnekleme büyüklü üne göre hesaplanmaktad r. Test istatistiklerinin hesaplanmas, afla daki bölümlerde ayr nt l olarak ele al nacakt r. Hesaplanan test istatisti inin red bölgesinde kalmas durumunda H 0 hipotezi red edilir ve H 1 hipotezinde ileri sürülen iddian n do ru oldu u karar verilir. Test istatisti inin kabul bölgesinde kalmas durumunda ise, H 0 hipotezi kabul edilir ve H 1 hipotezinde ileri sürülen iddian n yanl fl oldu una karar verilir.

100 94 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik ANA KÜTLE ORTALAMASINA L fik N TESTLER Yeni bir teknoloji veya yöntem uygulanmas sonras yap lan örnekleme sonucunda hesaplanan örnek kütle ortalamas ( X ) ile teorik olarak veya geçmifl gözlemlere göre belirlenen veya bilinen ana kütle kütle ortalamas (μ ) aras ndaki farkl l - n anlaml l test edilebilir. Genellikle ana kütle ortalamas bilinmemekle birlikte, bilindi i varsay larak testler yap l r. Ana kütle ortalamas n n test edilmesinde H 0 hipotezi; H 0 : X = μ fleklinde kurulur. Uygulanan yeni teknoloji veya yöntemin ana kütle ortalamas n de ifltirmedi i kabulüne dayanan H 0 hipotezine karfl t olarak ise H 1 hipotezi üç farkl flekilde oluflturulabilir. H 1 : X μ (Çift tarafl test) H 1 : X > μ (Tek tarafl test) H 1 : X < μ (Tek tarafl test) ÖRNEK Bir yap kimyasallar üretimi yapan firman n üretti i 50 kg l k torbalara paketlenen seramik yap flt r c lar n n a rl klar n n 50 kg dan az oldu u iddia ediliyorsa, H 0 ve H 1 hipotezleri nas l kurulur? Çözüm : Ana kütle ortalamas μ = 50 kg olarak bilindi ine göre H 0 hipotezi, iddiay araflt ran firma taraf ndan, iddian n yanl fl oldu u ve örnek kütle ortalamas - n n ( X ) ana kütle ortalamas na eflit olaca fleklinde kurulur. H 0 : X = μ = 50 kg Buna karfl l k, müflterilerin iddias olan H 1 hipotezi ise, iddian n do ru oldu u fleklinde kurulur. H 1 : X < μ = 50 kg ÖRNEK Örnek kütledeki veri say s 30 dan büyük (n 30) oldu unda (büyük örnekleme) normal da l m n özelliklerinden yararlanarak, 30 dan küçük (n<30) oldu unda (küçük örnekleme) ise Student t da l m n n özelliklerinden yararlanarak red bölgesi tan mlamas yap l r ve test istatisti i hesaplan r. Bir madencilik firmas alt n oldu u iddia edilen bir bölgeden ald örnekleri analiz ettirdi inde, sahada ortalama olarak 1 gr/ton alt n oldu unu tespit etmifltir. Bu durumda hipotezleri nas l kurars n z? Çözüm : Daha önceden ana kütle ortalamas bilinmedi ine göre, ana kütle ortalamas n μ =0 kabul edebiliriz. Bu durumda H 0 hipotezini, örnekleme sonucu bulunan de erin rassal olarak bulundu u, örneklemeye devam edilirse, asl nda ortalaman n s f r olaca fleklinde kurar z. H 0 : X = μ = 0 ddia ise sahada alt n oldu u ve eskiden bilinenin yanl fl oldu u fleklinde oldu- undan, H 1 hipotezi afla daki gibi kurulur. H 1 : X > μ = 0 Hipotezleri oluflturduktan sonra, s ras yla anlamal l k düzeyinin seçimi, red bölgesinin tan mlanmas, test istatisti inin hesaplanmas ve karar verme ifllemleri uygulan r. Red bölgesinin belirlenmesi ve test istatisti inin hesaplanmas ndan önce

101 5. Ünite - statistiksel Karar Vermede Hipotez Testleri 95 örnek büyüklü ünü dikkate alarak, örneklemenin büyük veya küçük örnekleme olup olmad n incelemek gerekir. Büyük Örneklemelerde Ortalamalar n Testi Örnek kütlede bulunan örnek say s n n 30 dan büyük oldu u (n 30) ve örneklerin normal da l m gösterdi i durumlarda red bölgesinin tan mlanmas nda ve test istatisti inin hesaplanmas nda normal da l m n özelliklerinden yararlan l r. Red bölgesini tan mlayabilmek için öncelikle belirli bir α anlaml l k düzeyi için standart normal da l m (Z) çizelgelerinden, red bölgesi s n r n ifade eden teorik test istatisti i de eri belirlenir. H 1 hipotezinin tek tarafl veya çift tarafl olmas na göre ; Tek tarafl test için Z α Çift tarafl test için Z α / belirlendikten sonra ise red bölgesi tan mlan r. Ana kütle varyans n n ve standart sapmas n n bilindi i bir durumda, ana kütleden yap lacak n er bireylik büyük örneklemeler sonucunda, her seferinde ana kütle ortalamas ile örnek kütle ortalamalar aras farklar hesaplar ve bu farklar n da- l m n araflt r rsak, ortalamalar aras farklar n da l m normal da l m gösterir. Bu nedenle, büyük örneklemeler için ortalamalar n testinde, test istatisti ini afla daki standart normal de er (Z h ) eflitli i yard m yla hesaplayabiliriz. X Zh = µ σ X Burada, σ : ana kütle ve örnek kütle ortalamalar aras ndaki farklar n da l - X m n n standart hatas (standart sapmas ) olup, ana kütle birey say s n n çok büyük oldu u durumlarda; σ σx = n Ana kütle standart sapmas n n (σ ) bilinmedi i, fakat örnek kütlenin standart sapmas n n (S) bilindi i büyük örneklemelerde, σ = S kabul edilebilmektedir. kabul edilebilmektedir. Bu eflitlikte ise, σ : ana kütlenin standart sapmas ve n: örnek kütlenin birey say s d r. Teorik test istatisti inin belirlenmesi ve test istatisti inin hesaplanmas sonras nda; Z h > Z α veya Z α / ise, Z h red bölgesinde kalaca ndan H 0 hipotezi red edilir. Z h < Z α veya Z α / ise, Z h kabul bölgesinde kalaca ndan H 0 hipotezi kabul edilir ve H 1 red edilir. Bir yap kimyasallar üretimi yapan firman n üretti i seramik yap flt r c torbalar n n üzerinde a rl n n 50 kg ve standart sapmas n 1 kg oldu u yazmaktad r. Bir müflteri seramik yap flt r c torbalar a rl klar n n 50 kg dan az oldu unu iddia etmektedir. Bu idday test etmek amac yla 3 torba örnek tart lm fl ve örnek torbalar n ortalama a rl 48 kg olarak bulunmufltur. Müflterinin iddias n %5 anlaml l k düzeyine göre test ediniz. Müflterinin iddias do rumudur? ÖRNEK Çözüm : Veriler; μ = 50 kg, σ = 1 kg, n=3 ve X = 48 kg Hipotezler; H 0 : X = μ = 50 kg H 1 : X < μ = 50 kg (Tek tarafl test)

102 96 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Anlaml l k düzeyine göre teorik test istatisti i; α =0,05 için Z çizelgesinden 0,45 olas l na karfl l k gelen Z α = Z 0.05 = 1,645 de erini buluruz. (Kitab n sonundaki Z tablosuna bak n z). Red Bölgesini; Z h > Z α ise H 0 red edilir, H 1 kabul edilir fleklinde tan mlar z. Test istatisti i; X Zh = µ σ X σ 1 σ = = = X n 3 0, 177 Z h = 48 SIRA 50 S ZDE = 11, 3 0, 177 DÜfiÜNEL M SORU D KKAT DÜfiÜNEL M Karar : Z h > Z α oldu undan H 0 hipotezi reddedilir, H 1 hipotezi kabul edilir. Müflterinin iddias do rudur. Seramik yap flt r c torbalar na 50 kg dan daha az malzeme doldurulmaktad r. SORU Karar aflamas nda, D KKAT hesaplanan test istatisti i teorik istatisti in pozitif de eri ile karfl laflt - r ld ndan, örnek kütle ortalamas n n ana kütle ortalamas ndan küçük oldu u durumlarda, test istatisti ini hesaplarken bulunan de erin mutlak de erini almak gerekmektedir. AMAÇLARIMIZ ÖRNEK Bir kent merkezine kullanma suyu sa layan göletin kurflun içeri i ortalamas n n AMAÇLARIMIZ 3 mg/kg oldu u bilinmektedir. Göletin kurflun içeri inde de iflim olup olmad hususunda yap lan bir araflt rma kapsam nda, göletten al nan 40 örne in analizleri yap ld nda K T Akurflun P içeri ortalamas n n 3,4 mg/kg ve standart sapmas n n 1,5 K T A P mg/kg oldu u belirlenmifltir. %5 anlaml l k düzeyine göre göletin kurflun içeri i ortalamas nda de iflim olmufl mudur? TELEV ZYON TELEV ZYON Çözüm : Veriler; μ = 3mg/kg, n=40, X =5 mg/kg ve S= 1,5 mg/kg d r. Ana kütle standart sapmas (σ ) bilinmemekle birlikte, n>30 oldu undan σ =S=1,5 mg/kg alabiliriz. NTERNET NTERNET Hipotezler; H 0 : X = μ = 3 mg/kg H 1 : X μ= 3 mg/kg (Çift tarafl test) Anlaml l k düzeyine göre teorik test istatisti i; α =0,05 oldu undan α /=0,05 için Z çizelgesinden 0,475 olas l na karfl l k gelen Z α / = Z 0.05 = 1,96 de erini buluruz. Z tablosuna bak n z). Red Bölgesini; Z h > Z α / ise H 0 red edilir, H 1 kabul edilir fleklinde tan mlar z.

103 5. Ünite - statistiksel Karar Vermede Hipotez Testleri 97 Test istatisti i; X Zh = µ σ X σ X σ 1, 5 = = = 0, 37 n 40 Z h = 34, 3 = 1, 69 0, 37 Karar : Z h < Z α / oldu undan H 0 hipotezi kabul edilir, H 1 hipotezi red edilir. %95 olas l kla gölet suyu kurflun kirlili i ortalamas nda de iflim olmam flt r. Farkl - l k rassal olarak, örnekleme hatalar ndan meydana gelmifl olabilir. Günlük ortalama üretimi 880 ton olan bir kömür iflletmesinde, yeni bir SIRA yöntemin S ZDE üretimi artt rd ileri sürülmektedir. ddiay incelemek üzere arda arda 50 günün üretimi ele al narak yap lan hesaplamalar sonucunda ortalama üretimin 89 ton ve standart sapman n 1 ton oldu u DÜfiÜNEL M bulunmufltur. Üretimin gerçekten art p artmad n %5 anlaml l k düzeyine göre test ediniz. 1 DÜfiÜNEL M Küçük Örneklemelerde Ortalamalar n Testi SORU SORU Örnek say s n n 30 dan fazla oldu u büyük örneklemelerde, örneklerin istatistiksel t da l fl n n varyans normal da l fl n varyans ndan da l m normal olabilmektedir. Ancak, araflt rmaya ayr lan para, zaman ve materyalin k s tl oldu u durumlarda büyük örnekleme (n>30) yapma olana olmaya- derecesi büyüdükçe aradaki D KKAT büyük olup, serbestlik D KKAT bilmektedir. Örnek say s n n 30 dan küçük oldu u durumlarda ise örneklerin da- fark azal r. Serbestlik derecesi (n-1) SIRA > 30 S ZDE l fl normal da l m göstermez. Ayr ca, örnek say s az oldu unda (n<30), σ yerine S kullan lamaz. Örnek büyüklü ünün 30 dan az oldu u küçük örneklerde, red da l fla çok yaklafl r. oldu unda t da l fl Z Örne in, 30 serbestlik bölgesinin tan mlanmas nda ve test istatisti inin hesaplanmas nda AMAÇLARIMIZ Student (t) da - derecesi ile α l fl n n özelliklerinden yararlan l r. AMAÇLARIMIZ = 0,05 için t o, 05, 30 = 1, 697 iken Student t da l fl simetrik bir da l fl olup, ortalamas s f rd r. Normal da l fla Z = 1, 645 dir. göre daha yayvan bir flekil gösterir. Student t da l fl n n serbestlik K Tderecesi A P (v) denilen bir tane parametresi vard r ve v=n-1 ile ifade edilir. K T A P Küçük örneklemelerde red bölgesinin tan mlanmas nda, öncelikle belirli bir anlaml l k düzeyi ve v = n-1 serbestlik derecesi için Student TELEV ZYON t da l m çizelgelerinden, red bölgesi s n r n ifade eden teorik test istatisti i de eri belirlenir. H 1 hi- TELEV ZYON potezinin tek tarafl veya çift tarafl olmas na göre ; Tek tarafl test için t α,v Çift tarafl test için t NTERNET NTERNET α /,v belirlendikten sonra ise red bölgesi tan mlan r. Küçük örneklemeler için ortalamalar n testinde, test istatisti ini afla daki eflitlik yard m yla hesaplayabiliriz. t h = X µ S X Burada, S X : ana kütle ve örnek kütle ortalamalar aras ndaki farklar n da l - m n n standart hatas (standart sapmas ) olup, afla daki eflitlikle hesaplan r. S X = S n

104 98 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Teorik test istatisti inin belirlenmesi ve test istatisti inin hesaplanmas sonras nda afla daki kararlar verebiliriz. t h > t α, v veya t α /,v ise, t h red bölgesinde kalaca ndan H 0 hipotezi red edilir ve H 1 kabul edilir. t h < t α /v veya t α /,v ise, t h kabul bölgesinde kalaca ndan H 0 hipotezi kabul edilir ve H 1 red edilir. ÖRNEK Bir kent merkezinde bulunan bulvarda, araçlar n h z s n rlamas na uymamalar nedeniyle ortalama her ay 5 trafik kazas meydana gelmektedir. Bulvar girifllerine yap lan h z kesiciler sonras nda, 6 ay boyunca meydana gelen ayl k trafik kazalar araflt r ld nda, ayl k trafik kazas ortalamas n n 4,7 ve standart sapmas n n 0,7 oldu u belirlenmifltir. %5 anlaml l k düzeyi için trafik kazalar nda azalma meydana gelip gelmedi ini test ediniz. Çözüm : Veriler; μ = 5 kaza/ay, n=6, X = 4,7 kaza/ay ve S= 0,7 kaza/ay d r. Hipotezler; H 0 : H 1 : X X = μ = 5 kaza/ay < μ = 5 kaza/ay (Tek tarafl test) Anlaml l k düzeyine göre teorik test istatisti i; α =0,05 ve v=n-1=6-1=5 oldu undan, t çizelgesinden t α,v = t 0.05,5 =,015 de e rini buluruz. (Kitab n sonundaki t tablosuna bak n z). Red Bölgesini; t h >t α,v ise H 0 red edilir, H 1 kabul edilir fleklinde tan mlar z. Test istatisti i; t h = S X t h = X µ S X S 07, = = = 0, 86 n 6 47, 5 = 1, 049 0, 86 Karar : t h < t α,v oldu undan H 0 hipotezi kabul edilir, H 1 hipotezi red edilir. %95 olas l kla h z kesiciler trafik kazalar nda azalma sa lamam flt r. Farkl l k rassal olarak, örnekleme hatalar ndan meydana gelmifl olabilir. ÖRNEK Bir kepçeli yükleyicinin yükleme, kepçeyi doldurma, 0 m tafl ma, yükü boflaltma ve geri dönüfl için geçecek süre hakk nda katalo unda verilen ortalama süre 00 saniyedir. fl yerinde çal flma s ras nda yap lan 1 adet zaman etüdü sonucunda, süre ortalamas 60 sn ve standart sapmas 45 sn olarak bulunmufltur. Bu zaman etüdü sonucuna göre, katalogda verilen sürelerin her iflletme koflullar için de kullan l p kullan lmayaca n %1 anlaml l k düzeyi için test ediniz.

105 5. Ünite - statistiksel Karar Vermede Hipotez Testleri 99 Çözüm : Veriler; μ = 00 sn, n=1, X =60 sn ve S= 45 sn dir. Hipotezler; H 0 : X = μ = 00 sn H 1 : X μ = 00 sn (Çift tarafl test) Anlaml l k düzeyine göre teorik test istatisti i; α =0,01 ve α / = 0,005, v=n-1=1-1=11 oldu undan, t çizelgesinden t α /.v = t 0.005,11 = 3,106 de erini buluruz. Red Bölgesini; t h >t α/, v ise H 0 red edilir, H 1 kabul edilir fleklinde tan mlar z. Test istatisti i; t h = S X X µ S X S 45 = = = 1, 99 n 1 t h = , 99 = 4, 6 Karar : t h > t α/, v oldu undan H 0 hipotezi red, H 1 hipotezi kabul edilir. %99 olas l kla katalogdaki de erler her iflletme koflulu için uygun de ildir. Bir bölgede erozyon nedeniyle y lda 1 km lik alandan ortalama 50 ton SIRA topra n S ZDEakarsuya kar flt bilinmektedir. Erozyonu önlemek amac yla yap lan a açland rma çal flmalar sonras nda 5 y l boyunca akarsuya kar flan toprak miktar araflt r lm fl ve toprak kar flma miktar ortalamas n n y ll k 35 ton ve standart sapmas n n 15 ton oldu u belirlenmifltir. %5 anlaml l k dü- DÜfiÜNEL M zeyine göre a açland rma çal flmalar n n erozyon miktar n azalt p azaltmad n test ediniz. SORU ANA KÜTLE ORANINA L fik N TESTLER DÜfiÜNEL M SORU Baz araflt rmalarda belirli bir olay n meydana gelme olas l veya belirli bir birim D KKAT D KKAT içindeki oran önemli olabilmektedir. Oranlarla ifade edilen bu gibi istatistiksel olaylarda, ana kütleden çekilecek n birimlik örneklerin oranlar hesaplanarak, ana kütle oran hakk nda karar vermek mümkün olabilmektedir. Ana kütle oran n n (π) bilindi i bir durumda, ana kütleden elde edilen n birimlik örnek kütle oran n n (P) ana kütle oran ile ne derecede uyumlu olup olmad - AMAÇLARIMIZ n test etmede H 0 hipotezini; AMAÇLARIMIZ H 0 : P = π K T A P fleklinde kurar z. Örnek kütle oran ile ana kütle oran n n birbirine eflit oldu u kabulüne dayanan H 0 hipotezine karfl t olarak ise H 1 hipotezi üç farkl flekilde kurabiliriz. TELEV ZYON H 1 : P π (Çift tarafl test) K T A P TELEV ZYON H 1 : P > π (Tek tarafl test) H 1 : P <π (Tek tarafl test) NTERNET NTERNET

106 100 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Büyük Örneklemelerde Oranlar n Testi Büyük örneklemelerde oranlar n testinde de, belirli bir anlaml l k düzeyi için red bölgesinin tan mlanmas ve teorik test istatisti inin belirlenmesi, ortalamalar n testindekinin benzeri flekilde yap l r. Daha sonra ise, test istatisti inin hesaplanmas na geçilir. Ana kütleden yap lacak n er bireylik büyük örneklemeler sonucunda, her seferinde ana kütle oran (π) ile örnek kütle oranlar (P) aras farklar hesaplar ve bu farklar n da l m n araflt r rsak, oranlar aras farklar n da l m normal da l m gösterir. Bu nedenle, büyük örneklemeler için oranlar n testinde, test istatisti ini afla- daki standart normal de er (Z h ) eflitli i yard m yla hesaplayabiliriz. Zh = P π σ π Burada, σ π : ana kütle ve örnek kütle oranlar aras ndaki farklar n da l m n n standart hatas (standart sapmas ) olup, afla daki eflitlikle hesaplan r. Ana kütle oran varyans n n bilinmedi i, fakat örnek kütle oran varyans n n [P.(1-P)] bilindi i büyük örneklemelerde, π.(1-π )=P.(1-P) kabul edilebilmektedir. ÖRNEK π π σπ =.( 1 ) n Bu eflitlikte ise, π.(1-π) : ana kütle oran n n varyans ve n: örnek kütlenin birey say s d r. Teorik test istatisti inin belirlenmesi ve test istatisti inin hesaplanmas sonras nda, hipotezlerin kabulü veya red edilmesi karar da, ortalamalar n testi yöntemindekine benzer flekilde yap l r. Bir karayolu ulafl m flirketi flehirler aras yolculuklarda koltuklar n günlük doluluk oran ortalamas n n %60 oldu unu tahmin etmektedir. Ancak, son reklam kampanyas sonras nda doluluk oran ortalamas n n art n iddia etmektedir. Bu amaçla 60 günlük verilerin ortalamas n hesaplad nda doluluk oran ortalamas n n %75 oldu unu hesaplam flt r. Ulafl m flirketi günlük koltuk doluluk oran ortalamas n n art p artmad n %5 anlaml l k düzeyi için test ediniz. Çözüm : Veriler; π=0,60, n=60, P=0,75 dir. Hipotezler; H 0 : P = π = 0,60 H 1 : P > π = 0,60 (Tek tarafl test) Anlaml l k düzeyine göre teorik test istatisti i; α =0,05 oldu undan Z çizelgesinden 0,45 olas l na karfl l k gelen Z α = Z 0.05 = 1,645 de erini buluruz. Red Bölgesini; Z h > Z α ise H 0 red edilir, H 1 kabul edilir fleklinde tan mlar z. Test istatisti i; Zh = P π σ π

107 5. Ünite - statistiksel Karar Vermede Hipotez Testleri 101 π π σπ =.( 1 ) 0, 60.( 1 0, 60) = = 0, 063 n 60 0, 75 0, 60 Z h = =, 38 0, 063 Karar : Z h > Z α oldu undan H 0 hipotezi red, H 1 hipotezi kabul edilir. %95 olas - l kla reklam kampanyas ile ulafl m flirketinin günlük koltuk doluluk oran artm flt r. Maden iflletmelerinde kullan lan kaz makinelerinin fiili çal flma/ teorik SIRA çal flma S ZDEzaman oran n n %60 oldu u bilinmektedir. Bir araflt rmac ise kömür iflletmelerinde 00 adet kaz c makine çal flma oranlar n araflt rd nda %70 oldu unu tesbit etmifltir. Acaba kömür iflletmelerinde kaz c makine çal flma oranlar daha m yüksektir? %1 anlaml l k DÜfiÜNEL M düzeyi için test ediniz. 3 DÜfiÜNEL M Küçük Örneklemelerde Oranlar n Testi SORU SORU Küçük örneklemeler için oranlar n testinde, test istatisti ini afla daki eflitlik yard - m yla hesaplayabiliriz. P th = π D KKAT D KKAT SP Burada, S p : ana kütle ve örnek kütle ortalamalar aras ndaki farklar n da l m - n n standart hatas (standart sapmas ) olup, afla daki eflitlikle hesaplan r. AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ P P SP =.( 1 ) n K T A P K T A P Teorik test istatisti inin belirlenmesi ve test istatisti inin hesaplanmas sonras nda, hipotezlerin kabulü veya red edilmesi karar da, küçük örneklemeler için ortalamalar n testi yöntemindekine benzer flekilde yap l r. TELEV ZYON TELEV ZYON Üniversite s navlar na haz rl k dershanelerinden birisi, üniversite girifl s navlar nda ö rencilerinin %70 inden fazlas n n dört y ll k lisans programlar na yerleflebil- ÖRNEK di ini iddia etmektedir. 010 y l nda rassal olarak seçilen 16 NTERNET ö rencinin 10 u lisans programlar na yerleflmifltir. %1 anlaml l k düzeyine göre iddian n do ru olup NTERNET olmad n test ediniz. Çözüm : Veriler; π = 0,70, n=16, P = 10/16 = 0,65 dir. Hipotezler; H 0 : P = π = 0,70 H 1 : P > π = 0,70 (Tek tarafl test) Anlaml l k düzeyine göre teorik test istatisti i; α =0,01 ve v=n-1=16-1=15 oldu undan, t çizelgesinden t α. v = t 0.01,15 =,60 de erini buluruz. Red Bölgesini; t h >t α, v ise H 0 red edilir, H 1 kabul edilir fleklinde tan mlar z.

108 10 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Test istatisti i; P th = π SP P P SP =.( 1 ) 0, 65.( 1 0, 65) = = 0, 11 n , 07, t h = = 0, 6 0, 11 Karar : t h < t α, v oldu undan H 0 hipotezi kabul, H 1 hipotezi red edilir. %99 olas l kla dershanenin iddias yanl flt r. ANA KÜTLE ORTALAMALARI ARASINDAK FARKLARIN TEST Ana kütle ortalamalar aras ndaki farklar n testinde amaç, iki ayr ana kütle ortalamas aras nda fark olup olmad na hipotez testi yöntemi ile karar vermektir. ki ana kütle ortalamalar aras ndaki farklar test ederken, her iki ana kütlenin de normal da l ma sahip olmas ve örneklem seçimlerinin birbirinden ba ms z olmas gerekir. Ayr ca, ana kütle birey say lar n n da sonsuz büyüklükte olmas gerekir. Ana kütle ortalamalar n n μ 1 ve μ oldu u bilinen veya tahmin edilen iki ayr ana kütleden n 1 ve n birimlik örnekler al r ve örnek kütlelerin ortalamalar - n ( X 1 ve X ) ve standart sapmalar n (S 1 ve S ) hesaplarsak, bu örnek kütle ortalamalar yard m yla ana kütle ortalamalar aras nda anlaml bir fark olup olmad na hipotez testi yöntemiyle karar verebiliriz. Hipotez testinde, ana kütle ortalamalar aras nda fark olmad n ifade eden H 0 hipotezini afla daki gibi kurar z. H 0 : ( X 1 - X ) = (μ 1 μ ) = 0 Örnek kütle ortalamalar aras ndaki farklara göre, ana kütle ortalamalar aras nda da fark oldu u iddias ile H 1 hipotezini de; H 1 : ( X 1 - X ) > (μ 1 -μ ) = 0 (Tek tarafl test) H 1 : ( X 1 - X ) < (μ 1 -μ ) = 0 (Tek tarafl test) H 1 : ( X 1 - X ) (μ 1 -μ ) = 0 (Çift tarafl test) olarak üç farkl flekilde oluflturabiliriz. Büyük Örneklemelerde Ana Kütle Ortalamalar Aras ndaki Farklar n Testi Büyük örneklemelerde ana kütle ortalamalar aras ndaki farklar n testinde test istatisti i (Z h ); ( X X Zh = 1 ) ( µ 1 µ ) σ X X 1 eflitli i ile hesaplanmaktad r. Burada, σ X : ortalama farklar da l m n n standart hatas olup, afla daki eflitlikle 1 X hesaplanabilir.

109 σ σ σ 1 X -X = + 1 n 1 n 5. Ünite - statistiksel Karar Vermede Hipotez Testleri Burada da, σ 1 ve σ : iki ayr ana kütlenin standart sapmas d r. Teorik test istatisti inin belirlenmesi ve test istatisti inin hesaplanmas sonras nda, hipotezlerin kabulü veya red edilmesi karar da, ortalamalar n testi yöntemindekine benzer flekilde yap l r. Bir kömür havzas nda bulunan iki ayr kömür madeni oca ndan al nan örnekler üzerinde yap lan s l de er (kilokalori/kilogram) analizleri sonucunda afla - daki veriler elde edilmifltir. Bu analiz sonuçlar na göre iki kömür madeni oca - n n ortalama s l de erleri aras nda önemli bir fark var m d r? %95 güven seviyesine göre test ediniz. Ana kütlelerin standart sapmalar n n bilinmedi i (σ 1 ve σ ), fakat örnek kütlelerin standart sapmalar n n (S 1 ve S ) hesapland büyük örneklemelerde (n 1 ve n >30), σ 1 = S 1 ve σ = S kabul edilebilmektedir. 103 ÖRNEK Kömür Oca No n Örnek Büyüklü ü X Ortalama (kcal/kg) S Std. Sapma (kcal/kg) Çözüm : Veriler; μ 1 - μ = 0 kcal/kg, n 1 = 30 ve n = 40, X 1 = 3600 kcal/kg ve X =300 kcal/kg, S 1 =900 kcal/kg ve S =700 kcal/kg d r. Ana kütlelerin standart sapmalar (σ 1 ve σ ) bilinmemekle birlikte, n 1 ve n >30 oldu undan σ 1 = S 1 ve σ = S kabul edebiliriz. Hipotezler; H 0 : ( X 1 - X ) = (μ 1 μ ) = 0 H 1 : ( X 1 - X ) (μ 1 μ ) = 0 (Çift tarafl test) Anlaml l k düzeyine göre teorik test istatisti i; α =0,05 oldu undan α /=0,05 için Z tablosundan 0,475 olas l na karfl l k gelen Z α / = Z 0.05 = 1,96 de erini buluruz. Red Bölgesini; Z h > Z α / ise H 0 red edilir, H 1 kabul edilir fleklinde tan mlar z. Test istatisti i; X X Zh = ( 1 - )-( µ 1 - µ ) σ X -X 1 σ σ σx -X = 1 + = 900 kcal/kg 1 n 1 n =198,1 Z h = ( )-0 =,0 198,1 Karar : Z h > Z α / oldu undan H 0 hipotezi red, H 1 hipotezi kabul edilir. %95 olas l kla iki kömür madeni oca n n s l de er ortalamalar aras nda önemli ve anlaml farklar vard r.

110 104 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Küçük Örneklemelerde Ortalamalar Aras ndaki Farklar n Testi Küçük örneklemelerde ana kütle ortalamalar aras ndaki farklar için test istatisti i (t h ); X X th = ( 1 - )-( µ 1 - µ ) S X -X 1 eflitli i ile hesaplanmaktad r. Burada, : iki örnek kütle ortalama farklar da l m n n standart hatas olup, afla daki eflitlikle hesaplanabilir (Serper, 000). DÜfiÜNEL M SORU D KKAT SX -X 1 n S n S = ( 1. 1 )+(. ) n 1+ n- n1 n Burada, S 1 ve S : iki ayr örnek kütlenin standart sapmas ; n 1 ve n : iki ayr örnek kütlenin birey say lar d r. DÜfiÜNEL M Küçük örneklemelerde teorik test istatisti inin (t α veya t α / ) belirlenmesinde, serbestlik derecesi SORU v = n 1 +n - olarak al n r (Serper, 000). Küçük örneklemelerde D KKAT her iki ana kütleden al nan örneklerin toplam 30 dan küçük olmal d r. ÖRNEK ki ayr firma taraf ndan üretilen dizüstü bilgisayarlar n n pillerinin flarj olduktan sonraki dayan m sürelerinin farkl oldu u iddia edilmektedir. Bu iddiay kan tlamak amac yla firmalar n bilgisayarlar ndan örnekler al nm fl ve dayan m AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ süreleri test edildi inde afla daki veriler elde edilmifltir. Bu analiz sonuçlar na göre iki bilgisayar firmas ürünlerinin ortalama pil dayan m süreleri aras nda önemli ve anlaml K bir T Afark P var m d r? %1 anlaml l k düzeyine göre test K T A P ediniz. TELEV ZYON NTERNET Bilgisayar n X S TELEV ZYON Firma No Örnek Büyüklü ü Ortalama (Saat) Std. Sapma (Saat) 1 5 6, 0,9 NTERNET 6 5,4 0,7 Çözüm : Veriler; μ 1 μ = 0Saat, n 1 = 5 ve n = 6, X 1 =6, Saat ve X =5,4 Saat, S1=0,9 Saat ve S =0,7 Saat dir. Hipotezler; H 0 : ( X 1 - X ) = (μ 1 μ ) = 0 H 1 : ( X 1 - X ) (μ 1 μ ) = 0 (Çift tarafl test) Anlaml l k düzeyine göre teorik test istatisti i; α =0,01 ve α/ = 0,005, v=n 1 + n - = = 9 oldu undan, t tablosundan t α /.v = t 0.005,9 = 3,50 de erini buluruz. Red Bölgesini; t h >t α /,v ise H 0 red edilir, H 1 kabul edilir fleklinde tan mlar z.

111 5. Ünite - statistiksel Karar Vermede Hipotez Testleri 105 Test istatisti i; X X th = ( 1 - )-( µ 1 - µ ) S X -X 1 SX -X 1 n S n S = ( 1. 1 )+(. ) 1 1 (5.6, )+ (6.5,4 ). + =. n1+ n- n1 n = 3,87 t h = (6,-5,4)-0 3,87 = 0,1 Karar : t h < t α/,v oldu undan H 0 hipotezi kabul, H 1 hipotezi red edilir. %99 olas l kla bilgisayar firmalar n n ürünlerinin ortalama pil ömürleri aras nda anlamal bir fark yoktur. Bir ilaç firmas eski A ilac na göre yeni gelifltirdi i B ilac n n ayn hastal a yakalanm fl kiflilerin ortalama iyileflme sürelerini daha da k saltt n iddia etmektedir. Bu amaçla ayn hastal a yakalanm fl iki farkl hasta grubuna ilaçlar verilmifl ve afla daki veriler elde edilmifltir. %5 anlaml l k düzeyine göre yeni gelifltirilen ilaç iyileflme süresini DÜfiÜNEL M azaltm fl m d r? 4 DÜfiÜNEL M laç Ad n Örnek Büyüklü ü X Ortalama Süre (Saat) SORU S Std. Sapma D KKAT (Saat) A B SORU D KKAT VARYANSLARIN TEST Normal da l ml ve varyans bilinen bir ana kütleden n bireylik örnekleme yaparak bu örnek kütlenin varyans n (S ) hesaplarsak, S nin ana kütle varyans ndan (σ K T A P ) farkl oldu u konusundaki bir iddiay hipotez testi yöntemiyle test edebiliriz. Büyük örneklemelerde (n 30), örnek kütle varyans ile ana kütle varyans birbirine birbirine eflit (σ = S ) kabul edilebildiklerinden, örnek kütle varyans yard - TELEV ZYON m yla ana kütle varyans hakk nda karar vermek mümkündür. Bu nedenle, varyanslar n testi genellikle küçük örneklemeler için yap lmaktat r. Ana kütle varyans n n test edilmesinde H 0 hipotezi; H 0 : S = σ NTERNET fleklinde kurulur. Uygulanan yeni teknoloji veya yöntemin ana kütle varyans n de- ifltirmedi i kabulüne dayanan H 0 hipotezine karfl t olarak ise H 1 hipotezi üç farkl flekilde oluflturulabilir. H 1 :S σ (Çift tarafl test) AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ K T A P TELEV ZYON NTERNET H 1 :S > σ H 1 :S < σ (Tek tarafl test) (Tek tarafl test)

112 106 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik H 1 hipotezinin tek tarafl veya çift tarafl olmas na göre red bölgesini tan mlamada kullan lan teorik test istatisti i de eri afla daki flekilde belirlenir. -Tek tarafl test için χ a,v -Çift tarafl test için χ a/,v Varyanslar n testinde red bölgesinin tan mlanmas nda ve test istatisti inin hesaplanmas nda Khi-kare (χ ) da l fl ndan yararlan lmaktad r. Red bölgesinin tan mlanmas nda, öncelikle belirli bir α anlaml l k düzeyi ve v=n-1 serbestlik derecesi için χ da l m çizelgelerinden, red bölgesi s n r n ifade eden teorik test istatisti i de eri belirlenir. Varyanslar n testinde, test istatisti ini afla daki eflitlik yard m yla hesaplayabiliriz. χ h (n -1).S = σ Burada, S = örnek kütle varyans n, σ = ana kütle varyans n ve n= örnek kütle birey say s n göstermektedir. Teorik test istatisti inin belirlenmesi ve test istatisti inin hesaplanmas sonras nda afla daki kararlar verilebiliriz. χh > χa,v veya χ a/,v ise, χ h red bölgesinde kalaca ndan H 0 hipotezi red edilir ve H 1 kabul edilir. χh > χa,v veya χ a/,v ise, χ h kabul bölgesinde kalaca ndan H 0 hipotezi kabul edilir ve H 1 red edilir. ÖRNEK Bir çelik halat fabrikas n n üretti i 0 mm çapl halatlar n en küçük kopma mukavemetlerinin 5 kn ve standart sapmas n n 5 kn oldu u bilinmektedir. Ancak bir asansör imalatç s firma, çelik halat fabrikas ndan sat n ald 0 mm çapl 10 adet halattan ald numuneler üzerinde yapt deneyler sonucunda kopma mukavemeti ortalamas n n 50 kn ve standart sapmas n 35 kn bulmufltur. Bunun üzerine, çelik halatlar n kopma mukavemeti standart sapmas n n 5 kn dan fazla oldu unu iddia etmeye bafllam flt r. %5 anlaml l k düzeyi için asansör firmas - n n iddias n test edininiz. Çözüm : Veriler; σ = 5 kn ve σ = 65 (kn), n = 10, S=35 kn ve S =15 (kn) dur. Hipotezler; H 0 : S = σ = 65 (kn) H 1 : S > σ = 65 (kn) (Tek tarafl test) Anlaml l k düzeyine göre teorik test istatisti i; α =0,05 ve v=n-1=10-1=9 oldu undan, χ tablosundan χ a,v = χ 0.05,9 = 16,919 de erini buluruz. (Kitab n sonundaki χ tablosuna bak n z). Red Bölgesini; χ h > χ a,v ise H 0 red, H 1 kabul edilir fleklinde tan mlar z. Test istatisti i; χ h = (n -1).S = (10-1).15 =17,64 σ 65

113 5. Ünite - statistiksel Karar Vermede Hipotez Testleri 107 Karar : χ h > χ a,v oldu undan H 0 hipotezi red, H 1 hipotezi kabul edilir. %95 olas l kla asansör firmas n n iddias do rudur. Çelik halat fabrikas n n ürün standartlar n iyilefltirmesi gerekmektedir. Bir çimento fabrikas n n üretti i çimentodan yap lan betonlar n sa laml n n standart sapmas n n 10 kg/cm den fazla oldu u iddia edilmektedir. ddiay test etmek amac ile 16 beton örne i al nm fl ve bu örneklerin sa laml klar n n ortalamas X= 30 kg/cm ve standart sapmas S= 14 kg/cm DÜfiÜNEL M olarak bulunmufltur. %5 anlaml l k düzeyine göre iddiay test ediniz. 5 DÜfiÜNEL M SORU SORU D KKAT D KKAT AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ K T A P K T A P TELEV ZYON TELEV ZYON NTERNET NTERNET

114 108 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Özet A MAÇ 1 statistiksel hipotez testi kavramlar n aç klayabilmek, test sürecinin aflamalar n ve yap lacak ifllemleri s ralamak. Hipotez testinde öncelikle, örnek kütleden elde edilen parametrelerin ana kütle parametreleriyle uyumlu oldu unu iddia eden s f r hipotezi (H o hipotezi) ve uyumlu olmad n iddia eden karfl t hipotez (H 1 hipotezi) kurulmaktad r. Daha sonra, belirli bir güven düzeyi belirlenerek, örnek kütle da l m modeline uygun olarak red ve kabul bölgeleri tan mlanmaktad r. Örnek kütle parametresinin ana kütle parametresinden küçük veya büyük oldu u iddias varsa, red bölgesi tek tarafl olarak; örnek kütle parametresinin ana kütle parametresine eflit olmad iddias varsa da red bölgesi çift tarafl olarak belirlenmektedir. Örnek kütle ve ana kütle parametreleri aras ndaki fark n standart hataya oran na test istatisti i denilmekte olup, örnek kütleden elde edilmifl ortalama, oran, varyans gibi parametrelere ve örnekleme büyüklü üne göre hesaplanmaktad r. Hesaplanan test istatisti i de eri kabul bölgesinin içinde kal rsa H 0 hipotezi kabul edilmekte, tersi durumda ise H 0 hipotezi red edilmektedir. A MAÇ Ana kütle ortalamas, oran ve varyans ile iki ana kütle ortalamalar aras farklar n hipotez testi uygulamalar n yapmak. Ana kütle ortalamas, oran ve iki ana kütle ortalamalar aras farklar n hipotez testinde, örnek kütlede bulunan örnek say s n n 30 dan büyük oldu u (n 30) ve örneklerin normal da l m gösterdi i durumlarda, belirli bir α anlaml l k düzeyinde red bölgesinin s n r n ifade eden teorik test istatisti i de eri standart normal da l m (Z) çizelgelerinden belirlenmektedir. Ana kütle ortalamas, oran ve iki ana kütle ortalamalar aras farklar n hipotez testinde, örnek büyüklü ünün 30 dan az oldu u küçük örneklerde, belirli bir α anlaml l k düzeyinde red bölgesinin s n r n ifade eden teorik test istatisti i de eri Student (t) çizelgelerinden belirlenmektedir.varyanslar n testinde ise red bölgesinin tan mlanmas nda ve test istatisti inin hesaplanmas nda Khikare (χ ) da l fl ndan yararlan lmaktad r.

115 5. Ünite - statistiksel Karar Vermede Hipotez Testleri 109 Kendimizi S nayal m 1. Bir içme suyu dolum tesisinde üretilen suyun ortalama ph n n 7 den büyük oldu u iddias n test etmek amac yla 30 damacanadan örnekleme yap lm flt r. Bu testte, s f r hipotezi nas l kurulur? a. b. c. d. e.. Bir içme suyu dolum tesisinde üretilen suyun ortalama ph n n 7 den büyük oldu u iddias n test etmek amac yla 30 damacanadan örnekleme yap lm fl ve örnek kütle ortalamas 7,5 ve standart sapmas 0,5 olarak bulunmufltur. Bu testte, karfl t hipotez nas l kurulur? a. b. c. d. e. X > µ =7 X = µ =7 X = µ = 30 X > µ = 30 X< µ =7 X > µ = 7,5 X µ =7 X> µ =7 X > µ = 30 X < µ = 7,5 3. Ana kütle ortalamas n n 50 den büyük olup olmad - n %5 anlaml l k düzeyi için test edilmesi amac yla 36 bireylik örnek al nd nda, örnek kütle ortalamas 54 ve standart sapmas 1 olarak belirlenmifltir. Bu durumda test istatisti inin de eri ne olur? a. 1,05 b. 1,50 c. 1,75 d.,00 e. 4,50 4. Ana kütle ortalamas n n 36 dan farkl olup olmad - n test etmek amac yla 16 bireylik örnekleme yap lm fl olup, örnek kütlenin ortalamas 3 ve standart sapmas 8 olarak bulunmufltur. Bu verilerle, teorik test istatisti i,131 ve hesaplanan test istatisti i,0 bulundu una göre, ana kütle ortalamas hakk nda ne karar verilebilir? a. Ana kütle ortalamas 36 dan büyüktür. b. Ana kütle ortalamas 36 dan küçüktür. c. Ana kütle ortalamas 3 ye eflittir. d. Ana kütle ortalamas 3 den küçüktür. e. Ana kütle ortalamas 36 ya eflittir. 5. Bir ilaç pazarlama flirketi piyasaya yeni ç kard klar bir ilac n 3 günlük dozunun solunum yolu enfeksiyonlar nda %80 oran ndan daha fazla etkili oldu unu iddia etmektedir. Bir sa l k kuruluflunda ilgili ilaç 6 hastada kullan lm fl olup %90 oran nda iyileflme saptanm flt r. %5 anlaml l k düzeyinde teorik test istatisti i 1,645 oldu una göre, yeni ilac n solunum yolu enfeksiyonlar nda %80 oran ndan daha fazla etkili oldu u iddias hakk nda ne karar verilebilir? (Ana kütle ve örnek kütle oranlar aras ndaki farklar n da l m n n standart hatas σ p =0,05 dir) a. Yeni ilaç %80 oran ndan daha fazla etkilidir. b. Yeni ilaç %80 oran ndan daha az etkilidir. c. Yeni ilac n etkili olup olmad belirsizdir. d. Yeni ilaç %90 oran ndan fazla etkilidir. e. Yeni ilaç hiç etkili de ildir. 6. Bir iflyerinde çal flan bayan personelin %50 den fazlas n n sürücü ehliyeti olmad iddas n test etmek amac yla, rassal olarak yap lan örnekleme sonucunda 15 bayan personelin 6 s n n ehliyetinin olmad belirlenmifltir. Ana kütle ve örnek kütle ortalamalar aras ndaki farklar n da l m n n standart hatas S p = 0,15 oldu una göre test istatisti i (t h ) kaç olur? a. 0,5 b. 0,6 c. 0,8 d. 1, e.,0 7. Ayn motor gücüne ve a rl klara sahip iki farkl model binek arac n n 100 km de tükettikleri yak t ortalamalar aras nda fark olmad iddia edilmektedir. ddiay test etmek amac yla her iki model binek arac ndan rassal olarak seçilen 10 ar arac n yak t tüketimi ortalamalar araflt r lm fl ve %5 anlaml l k seviyesi için hipotez testi yap lm flt r. Bu durumda teorik test istataisti i olarak afla dakilerden hangisi kullan l r? a. Z α =Z 0.05 = 1,645 b. c. d. Z α / =Z 0.05 = 1,96 t α,v =t 0.05,9 = 1,833 t α/,v =t 0.05,9 =,6 e. t /,n =t 0.05,10 =,8 α

116 110 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Kendimizi S nayal m Yan t Anahtar 8. Uygulanan yeni teknoloji veya yöntemin ana kütle varyans n de ifltirmedi i iddias çift tarafl olarak test edilmek istendi inde, belirli bir α anlaml l k seviyesi için hangi teorik test istatisti i kullan l r? a. b. c. Z α χ α,v d. Z α / e. t α,v χ α/,v 9. Ana kütle standart sapmas 4 olan bir ana kütleden rassal olarak 17 örnek al narak örnek kütle varyans hesapland nda 0 oldu u belirlenmifltir. Ana kütle varyans nda de iflim olup olmad hakk nda karar vermek amac yla yap lan hipotez testinde test istatisti i ne olur? a. 16 b. 17 c. 18 d. 19 e Ana kütle varyans n n 5 den büyük oldu u iddias - n test etmek amac yla 16 bireylik örnekleme yap lm fl olup, örnek kütlenin standart sapmas 6 olarak bulunmufltur. Bu verilerle, teorik test istatisti i 5,0 ve hesaplanan test istatisti i 1,6 bulundu una göre, ana kütle varyans hakk nda ne karar verilebilir? a. Ana kütle varyans 5 den büyük de ildir. b. Ana Kütle varyans 5 den büyüktür. c. Ana kütle varyans 5 den küçüktür. d. Ana kütle varyans 6 dan küçüktür. e. Ana kütle varyans 6 dan büyük de ildir. 1. b Yan t n z yanl fl ise, Hipotezlerin Kurulmas konusuna bak n z.. c Yan t n z yanl fl ise, Hipotezlerin Kurulmas konusuna bak n z. 3. d Yan t n z yanl fl ise, Büyük Örneklemelerde Ortalamalar n Testi konusuna bak n z. 4. e Yan t n z yanl fl ise, Küçük Örneklemelerde Ortalamalar n Testi konusuna bak n z. 5. a Yan t n z yanl fl ise, Büyük Örneklemelerde Oranlar n Testi konusuna bak n z. 6. c Yan t n z yanl fl ise, Küçük Örneklemelerde Oranlar n Testi konusuna bak n z. 7. d Yan t n z yanl fl ise, Küçük Örneklemelerde Ortalamalar Aras ndaki Farklar n Testi konusuna bak n z. 8. b Yan t n z yanl fl ise, Varyanslar n Testi konusuna bak n z. 9. e Yan t n z yanl fl ise, Varyanslar n Testi konusuna bak n z. 10. a Yan t n z yanl fl ise, Varyanslar n Testi konusuna bak n z. S ra Sizde Yan t Anahtar S ra Sizde 1 Veriler; μ = 880 ton/gün, n=50, X = 89 ton/gün ve S=1 ton/gün dür. Ana kütle standart sapmas (σ ) bilinmemekle birlikte, n>30 oldu undan σ =S=1 ton/gün alabiliriz. Hipotezler; H 0 : X = μ = 880 ton/gün H 1 : X > μ = 880 ton/gün (Tek tarafl test) Anlaml l k düzeyine göre teorik test istatisti i; α =0,05 oldu undan Z çizelgesinden 0,45 olas l na karfl l k gelen Z α =Z 0.05 =1,645 de erini buluruz. Red Bölgesini; Z h > Z α ise H 0 red edilir, H 1 kabul edilir fleklinde tan mlar z. Test istatisti i; Z h = X σ X σ X = σ =,97 n 50

117 5. Ünite - statistiksel Karar Vermede Hipotez Testleri Z h = = 4,04,97 Karar : Z h >Z α / oldu undan H 0 hipotezi red, H 1 hipotezi kabul edilir. %95 olas l kla uygulanan yeni yöntem üretimi artt rm flt r. S ra Sizde Veriler; μ = 50 ton/km, n=5, X = 35 ton/km ve S=15 ton/km d r. Hipotezler; Z h P = - π σ π π π σ π =.(1- ) 0,60.(1-0,60) = = 0,035 n 00 0,70-0,60 Z h = =,86 0,035 Karar : Z h > Z α oldu undan H 0 hipotezi red, H 1 hipotezi kabul edilir. %95 olas l kla kömür iflletmelerinde kaz c makinelerin çal flma oranlar daha yüksektir. H 0 : X = μ = 50 ton/km H 1 : X < μ = 50 ton/km (Tek tarafl test) Anlaml l k düzeyine göre teorik test istatisti i; α =0,05 ve v=n-1=5-1=4 oldu undan, t çizelgesinden t α.v = t 0.05,4 =,13 de erini buluruz. S ra Sizde 4 Veriler; μ 1 μ = 0Saat, n 1 = 10 ve n = 1, X ve X =38 Saat, S 1 =1 Saat ve S =10 Saat dir. Hipotezler; H 0 : ( X 1 - X ) = (μ 1 μ ) = 0 1 =48 Saat Red Bölgesini; t h > t α,v edilir fleklinde tan mlar z. Test istatisti i; t h = X- S X µ S X = S = 15 = 6,71 n 5 t h = ,71 =,4 ise H 0 red edilir, H 1 kabul Karar : t h > t α,v oldu undan H 0 hipotezi red, H 1 hipotezi kabul edilir. %95 olas l kla a açland rma çal flmalar erezyonu azaltm flt r. S ra Sizde 3 Veriler; π = 0,60, n=00, P = 0,70 dir. Hipotezler; H 0 : P = π = 0,60 H 1 : P > π = 0,60 (Tek tarafl test) Anlaml l k düzeyine göre teorik test istatisti i; α =0,01 oldu undan Z çizelgesinden 0,49 olas l na karfl l k gelen Z α =Z 0.01 =,33 de erini buluruz. Red Bölgesini; Z h > Z α ise H 0 red edilir, H 1 kabul edilir fleklinde tan mlar z. Test istatisti i; H 1 : ( X 1 - X ) < (μ 1 μ ) = 0 (Tek tarafl test) Anlaml l k düzeyine göre teorik test istatisti i; α =0,05 ve v=n 1 + n - = = 0 oldu undan, t çizelgesinden t α.v =t 0.05,0 = 1,75 de erini buluruz. Red Bölgesini; ise H 0 red edilir, H 1 kabul edilir fleklinde tan mlar z. Test istatisti i; X X t h = ( 1 - )-( µ 1 - µ ) S X 1 - X n S n S S X 1 -X = ( 1. 1 )+(. ) n 1 + n - n 1 n = (10.1 ) + (1.10 ) t h = (48-38)-0 4,9 =, = 4,9 Karar : t h > t α,v oldu undan H 0 hipotezi red, H 1 hipotezi kabul edilir. %95 olas l kla yeni ilaç hastal k iyileflme süresinde azalma yaratmaktad r. S ra Sizde 5 Veriler; σ = 10kg/cm ve σ = 100 (kg/cm ), n = 16, S=14 kg/cm ve S =196 (kg/cm ) dir. Hipotezler;

118 11 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik H 0 : S = σ = 100 H 1 : S > σ = 100 (Tek tarafl test) Anlaml l k düzeyine göre teorik test istatisti i; α =0,05 ve v=n-1=16-1=15 oldu undan, χ çizelgesin den = = 5,0 de erini buluruz. χ α,v ise H 0 red, H 1 kabul edilir flek- Red Bölgesini; linde tan mlar z. Test istatisti i; (n -1).S (16-1).196 χ h = = = 9,4 σ 100 Karar : > χ α,v oldu undan H 0 hipotezi red, H 1 hipotezi kabul edilir. %95 olas l kla çimento fabrikas - n n üretti i çimentodan yap lan betonlar n sa laml - n n standart sapmas 10 kg/cm den fazlad r. χ h χ 0.05,15 χ h > χ α,v Yararlan lan Kaynaklar Cula, S. & Muluk, Z. (006). Temel statistik Yöntemleri. Ankara: Baflkent Üniversitesi. Konuk, A. & Önder, S. (1999). Maden statisti i. Mühendislik Mimarl k Fakültesi Maden Mühendisli i Bölümü. Eskiflehir: Eskiflehir Osmangazi Üniversitesi. Montgomery, D.C. & Runger G.C. (003). Applied Statistics and Probability for Engineers. USA: John Wiley & Sons. Newbold, P. (005). flletme ve ktisat çin statistik. Ümit fienesen (Çev.). stanbul: Literatür. Püskülcü, H. & kiz, Fw. (1989). statisti e Girifl. zmir: Bilgehan. Serper, Ö. (000). Uygulamal statistik II. Bursa: Ezgi. Ünver, Ö. & Gamgam, H. (006). Uygulamal Temel statistik Yöntemler. Ankara: Seçkin. Yüzer, A.F. (Ed.) (009). statistik. Aç k Ö retim Fakültesi Yay n No: 771, Eskiflehir: Anadolu Üniversitesi.

119

120 6CO RAF B LG S STEMLER Ç N TEMEL STAT ST K Amaçlar m z Bu üniteyi tamamlad ktan sonra; De iflkenler aras iliflkilerde ba ml l k olmas durumunda, bu iliflkinin fonksiyonunu, yönünü ve derecesini belirlemede kullan lan yöntemleri aç klayabilecek, De iflkenler aras iliflkilerin do rusal oldu u durumlar için regresyon modeli parametrelerini hesaplayabilecek, korelasyon katsay s n hesaplay p test edebilecek ve regresyon model parametrelerini tahminlerde kullanabilecek, De iflkenler aras iliflkilerin e risel (üstel) oldu u durumlar için regresyon modeli parametrelerini hesaplayabilecek, belirlilik katsay s n hesaplay p regresyon modelinin gözlem de erlerini ne derecede aç klayabildi ini yorumlayabilecek bilgi ve becerilere sahip olacaks n z. Anahtar Kavramlar Deneysel liflki Ba ml De iflken Ba ms z De iflken Regresyon Korelasyon Katsay s Serpilme Diyagram Do rusal Regresyon En Küçük Kareler Yöntemi Normal Denklemler Standart Hata Üstel Regresyon Belirlilik Katsay s çindekiler Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Regresyon ve Korelasyon DE fikenler ARASI L fik LER DO RUSAL REGRESYON VE KORELASYON E R SEL (ÜSTEL) REGRESYON VE BEL RL L K KATSAYISI

121 Regresyon ve Korelasyon DE fikenler ARASI L fik LER Günlük hayat m zda ve bilimsel çal flmalarda karfl laflt m z sorunlar n ço unlu unun çözümü için, iki veya daha fazla say da de iflken aras nda bir iliflki olup olmad n araflt r r z. De iflkenler aras nda bir iliflki bulunup bulunmad n belirlemede ve e er varsa bu iliflkinin derecesini saptamada, istatistiksel yöntemlerden regresyon-korelasyon analizlerini kullan r z. Regresyon-korelasyon analizleriyle de- iflkenler aras nda anlaml bir fonksiyonel iliflkinin varl n n belirlenmesinden sonra, bu fonksiyon yard m yla bir de iflken de eri için di er de iflkenin alabilece i de erin tahminini yap labiliriz. statistiksel anlamda de iflkenler aras ndaki iliflki, bunlar n kendi aralar nda neden-sonuç iliflkisinin bulunmas ve de erlerinin karfl l kl de iflimleri aras nda bir ba l l k olmas fleklinde anlafl l r. Örne in, kiflilerin geliri ile harcamalar ve çocuklarda yafl ile boy aras nda bir neden-sonuç iliflkisi bulunmakta olup, kiflilerin gelirleri de ifltikçe harcamalar ve çocuklar n yafllar de ifltikçe boylar da de iflmektedir. Bu durumda, kiflilerin geliri ile harcamalar aras nda ve çocuklar n yafllar ile boylar aras nda bir iliflki bulundu u söylenebilir. Neden niteli indeki de iflken ile sonuç niteli indeki de iflken aras ndaki fonksiyonel iliflkinin belirlenmesinde regresyon, iliflkinin güçlü olup olmad n belirlemede ise korelasyon analizlerinden yararlanabiliriz. Belirleyici ve Deneysel liflkiler Baz de iflkenlerin aras nda belirli bir teoriye dayanan ve kesin bir matematik bir fonksiyonla ifade edilen iliflkiler vard r. Belirleyici (deterministik) iliflkiler olarak da isimlendirilen bu iliflkilerin günümüzde geçerlili i teorik olarak ispatlanm flt r. Örne in, bir borunun kesit alan F (m ) ve borudan geçen suyun h z V (m/sn) ise, borunun kesit alan, suyun h z ve borudan bir saniyede geçen su miktar Q (m 3 /sn) aras nda kesin olarak Q = FV bilinen fonsiyonel iliflkisi vard r. Bu gibi teorik olarak matematiksel fonksiyonu bilinen de iflkenler aras iliflkiler için tekrar regresyon analizleriyle fonksiyonel iliflki araflt r lmas na gerek yoktur. Günlük hayatta karfl lafl lan baz olaylar hakk nda teorik iliflkiler bilinmez. Bu durumda, de iflkenler için gözlemler yap ld ktan sonra öncelikle de iflkenler aras iliflkinin matematiksel modeli belirlenir ve daha sonra bu model parametrelerinin hesaplanmas nda da regresyon analizleri kullan l r. Deneysel (ampirik) iliflkiler olarak isimlendirilen bu tür iliflkilerden elde edilebilecek regresyon denklemi ise, Bununla birlikte, regresyonkorelasyon analizlerinin hangi tip de iflkenler aras ndaki fonksiyonel iliflkinin araflt r lmas nda kullan labilece ini belirlemek için de iflkenler aras iliflki türlerini de bilmek gerekir. Baz de iflkenler aras iliflkiler teorik olarak bilinmekle birlikte, matematik eflitli in baz parametrelerinin deneysel olarak saptanmas gerekebilmektedir. Bu tip de iflkenler aras iliflkilere yar belirleyici iliflkiler denilmektedir. Örne in, ideal gaz kanununda gaz hacmi (V) ile gaz bas nc (P) aras nda P.V γ = Sabit fleklinde matematiksel bir iliflki var olup, buradaki γ parametresinin deneysel olarak tahmin edilmesi gerekmektedir (Püskülcü ve kiz, 1989).

122 116 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik daha sonraki tahminlerde kullan labilir. Örne in, ifl kazalar na ifl yerlerinin fiziksel faktörlerinin etkileri hakk nda kesin bilinen bir teorik iliflki olmamakla birlikte, derlenecek istatistiksel verilerin regresyon analizi ile tahmin amaçl bir model gelifltirilebilir. Bir araflt rmada ba ml de iflken, güvenilir bir flekilde ölçülebilir olmal d r. Ayr ca, ba ml de iflken olarak ölçülen sonucun basit ve karmafl kl ktan uzak olmas tercih edilir. ki adet de er aras nda ancak bir do rusal iliflkinin var oldu u söylenebilirken, veri say s artt kça ba ml ve ba ms z de iflkenler aras nda do rusal olmayan iliflkiler de görülebilir. Ba ml ve Ba ms z De iflkenler De iflkenler aras ndaki neden-sonuç iliflkisinde neden ba ms z, sonuç ise ba- ml de iflkendir. Matematiksel olarak ba ml ve ba ms z de iflken aras ndaki iliflki Y= f(x) olarak gösterilir. Burada, X: Ba ms z de iflken ve Y: Ba ml de iflken olarak tan mlan r. Ba ms z de iflkenlerin de erlerini biz ya arzumuza göre düzenleriz veya kontrol etmeden ald klar de erleri gözleriz. Ba ml de iflkenler ise ba ms z de iflkenlerin ald de ere göre de er al rlar. Ba ms z de iflkenin ayr de erler ya da durumlar almas, araflt rmac n n yapaca ayarlamalarla sa lan r. Bununla birlikte, ba ms z de iflkenin alaca de erler ya da durumlar gerçek hayatta anlam olmal ve aralar nda yeterince fark olmal d r. Örne in, çal flma süresinin verimlili e etkilerinin araflt r ld bir durumda, çal flma süresini dakikalarla ifade etmenin bir anlam yoktur. Ayr ca, ba m z de iflkenin alaca de er ya da durumlar n say s, iliflkinin fonksiyonel fleklinin belirlenebilmesi için üçten fazla (n>3) olmal d r. De iflkenler aras iliflkinin matematiksel fonksiyonu do rusal, üssel, e risel veya çoklu bir model olabilmektedir. Afla daki bölümlerde, do rusal regresyon modelinin parametrelerinin hesaplanmas detayl bir flekilde ele al nmakta ve daha sonra üstel model parametrelerini hesaplanma yöntemleri hakk nda bilgiler verilmektedir. De iflkenler Aras liflkinin Yönü ve Derecesi De iflkenler aras iliflkide, de iflkenlerin ayn yönde mi yoksa ters yönlerde mi de- ifltikleri önemlidir. Örne in iki de iflken aras iliflkide, iki de iflken ayn yönde de ifliyorsa yani ba ms z de iflken artarken ba ml de iflken de art yorsa, bu iliflkinin fonksiyonu artan bir fonksiyondur. Buna karfl l k, ba ms z de iflken artarken ba ml de iflken azal yorsa, bu iliflkinin fonksiyonu ise azalan bir fonksiyonel e riye sahiptir. ki de iflken aras ndaki ba l l n kuvvetine, iliflkinin derecesi denilmektedir. Baz gözlemlenen de iflkenler aras nda çok kuvvetli fonksiyonel iliflkiler elde edilebilirken, baz lar nda ise oldukça zay f bir iliflki elde edilebilmektedir. De iflkenler aras nda hiçbir iliflkinin olmamas da söz konusu olabilmektedir De iflkenler aras iliflkinin derecesinin belirlenmesinde korelasyon katsay s kullan lmaktad r. BAS T DO RUSAL REGRESYON VE KORELASYON Basit do rusal regresyon analizinde, tek bir ba ms z de iflken (X) ile ba ml de- iflken (Y) aras ndaki iliflki do rusal fonksiyonla ifade edilir. Basit do rusal regresyonda, do runun denklemi; Y = a + bx fleklindedir (fiekil 6.1). Burada; a do runun sabiti olup, X= 0 oldu unda do runun Y ekseninde kesti i de eri gösterir. b ise do runun e imi olup, X deki bir birimlik de iflmenin Y de yapt de iflikli i gösterir. a ve b katsay lar na regresyon katsay lar denilmektedir.

123 6. Ünite - Regresyon ve Korelasyon 117 fiekil 6.1 Basit do rusal regresyon denklemi Serpilme Diyagram ki de iflken aras ndaki iliflkinin do rusal fonksiyona uyup uymad n belirlemek için regresyon analizine, serpilme diyagram çizilerek bafllan r. Serpilme diyagram, kartezyen koordinatl bir grafik üzerinde X ve Y de erlerine sahip verilerin noktasal gösterimidir (fiekil 6.). Serpilme diyagram nda noktalar n oluflturdu u flekli inceleyerek, de iflkenler aras nda do rusal fonksiyonla ifade edilebilecek iliflki olup olmad n, iliflkinin yönünü ve yaklafl k derecesini tahmin edebiliriz. fiekil 6. Ba ms z (X) ve ba ml (Y) de iflken verilerinin serpilme diyagram ndaki görünümü. De iflkenler aras iliflkide, her iki de iflken birlikte art yor veya azal yorsa iliflkinin yönü pozitif olup, bu durumda de iflkenler aras nda artan bir iliflki oldu unu söyleyebiliriz (fiekil 6.3.a). Bununla birlikte, de iflkenlerden biri artarken di eri azal yorsa iliflkinin yönü negatif olup, bu durumda da de iflkenler aras nda azalan bir iliflki oldu unu söyleyebiliriz (fiekil 6.3.b). Serpilme diyagram nda iflaretlenen noktalar ayn çizgi üzerinde bulunuyorsa, de iflkenler aras nda kesin veya güçlü bir iliflki vard r (fiekil 6.4.a). Serpilme diyag- Basit do rusal regresyonda do runun e imi (b katsay s ), iliflkinin yönü hakk nda bize önemli bilgiler verir. E er, b nin iflareti pozitif (+) ise de iflkenler aras nda aratan, negatif (-) ise azalan bir iliflki oldu unu anlar z.

124 118 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik fiekil 6.3 De iflkenler aras nda artan ve azalan do rusal iliflki ram nda noktalar n da l m herhangi bir yönde de iflim e ilimi göstermeyecek flekilde da n kl k gösteriyorsa da, de iflkenler aras nda iliflki olmad n ya da iliflkinin derecesinin zay f oldu unu söyleyebiliriz (fiekil 6.4.b). fiekil 6.4 De iflkenler aras nda güçlü ve zay f do rusal iliflki Hata teriminin baz önemli özellikleri flunlard r; - Hata terimi e rassal bir de iflken olup, hata terimlerinin ortalamas s f ra eflittir. - Hata teriminin varyans sabit olup, kendi ortalamalar etraf nda ayn de iflkenli e sahiptir. - Hata terimleri kendi ortalamalar etraf nda simetrik bir normal da l fl gösterirler. Ana kütleden yap lan gözlem de erleri genellikle bir do ru üzerinde s ralanmay p, rassall a ba l olarak do rudan sapmalar gösterirler. Bu durumda, de iflkenler aras ndaki do rusal iliflkinin denklemi; Y = a + bx + e fleklinde, e hata terimini de içerir (fiekil 6.5).

125 6. Ünite - Regresyon ve Korelasyon 119 fiekil 6.5 Regresyon do rusunun hata terimleri En Küçük Kareler Yöntemi Serpilme diyagram nda X de erleri ile Y de erlerinin çak flt gözlem noktalar n n görünüflü do rusal bir e ilim gösteriyorsa, X ile Y aras ndaki fonksiyonel iliflkinin yaklafl k olarak do rusal olabilece i kanaatine var r z. Bununla birlikte, gözlem noktalar aras ndan çok say da do ru geçirebiliriz. Önemli olan, X de erlerine karfl l k Y de erlerini en küçük hata ile tahmin etmeye yarayacak do ruyu (Y ) geçirmektir. Serpilme diyagram nda oluflan n adet nokta aras ndan en küçük hata ile bir do ru geçirmede en küçük kareler yöntemi kullan lmaktad r. X i de erlerine karfl l k Y i gözlem de erleri ile do rusal regresyon denkleminden tahmin edilen teorik Y i de erler aras farklarla hata terimlerini afla daki gibi hesaplayabiliriz (fiekil 6.5). e i = Y i - Y i En küçük kareler yönteminde, gözlem verileri aras ndan geçirilen do ru ile gözlem verileri aras ndaki hatalar n (gözlemlerin do rudan olan uzakl klar n n) karelerin toplam en küçük olmaktad r. Bu yöntemde, X de erlerine karfl l k gelen do ru üzerindeki Y tahmin de eri ile Y gözlem de eri aras ndaki farklar n (hatalar n) toplam da s f r olmaktad r. Y i = a + bx i e i = Y i - a - bx i Hata terimlerinin her iki taraf n n karesini al p, bütün n gözlem için toplarsak; n n i i= 1 i= 1 E = e = ( Y a bx ) i i ifadesini elde ederiz. Hata kareleri toplam n en küçük yapabilmek için, E eflitli inin a ve b katsay lar na göre k smi türevlerini al p, elde edece imiz eflitlikleri s f - ra eflitlememiz gerekir. E =.( Yi a bxi ).( a 1) = 0 E =.( Yi b a bxi ).( Xi ) = 0

126 10 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik K smi türevi al n p s f ra eflitlenen bu eflitlikleri afla daki gibi sadelefltirebiliriz. Bu eflitliklerde de, negatif iflaretli terimleri eflitli in sa taraf na geçirir ve eflitlikleri yeniden düzenlersek, normal denklemler denilen afla daki eflitlikleri elde ederiz. Bu iki bilinmeyenli (a ve b) iki eflitlik sisteminde, bilinenler olan Yi, Xi Xi ve XY i itoplam de erleri hesaplanarak yerine konulduktan sonra, eflitlik sisteminin çözümü ile bilinmeyen a ve b katsay lar hesaplanabilir. Seri de erlerinin ortalamadan farklar n ; x = X X ve y = Y Y eflitliklerinde oldu u gibi hesaplayabiliriz. Normal denklemleri, seri de erlerinin ortalamadan farklar cinsinden yeniden küçültülmüfl de erlerle yazarsak; eflitliklerini elde ederiz. Seri de erlerinin ortalamadan farklar toplam s f rd r. Bu durumda, küçültülmüfl de erlerle yaz lan ikinci eflitlikten geriye xy i i = x ieflitli i kal r ve bu eflitlikten de do runun e imi olan b katsay s - n afla daki gibi hesaplayabiliriz. b i i i i Birinci normal denklemin her iki taraf n n örnek say s na (n) bölünmesiyle elde edece imiz eflitlik yard m yla da; ( Yi + a + bxi ) = 0 ( XiYi + axi + bxi ) = 0 Yi = na. + b Xi XY i i= a Xi+ b Xi yi = na. + b xi xy i i = a xi + b xi xi = ( Xi X ) = 0 yi = ( Yi Y ) = 0 xy i i = x i Yi n n n a b X = + i n Y = a + bx a = Y bx do rusal regresyon eflitli inin sabiti olan a parametresini hesaplar z.

127 6. Ünite - Regresyon ve Korelasyon Do rusal regresyon modelinin parametrelerinin grafiksel görünümü fiekil 6.6 da verildi i gibidir. fiekil 6.6 dan da görüldü ü gibi, a : do runun sabitini ve b : do runun e imini göstermektedir. Regresyon do rusunun e imi olan b parametresinin iflareti, de iflkenler aras iliflkinin yönünün bir göstergesidir. E er X ba ms z de iflkeni artarken Y de art yorsa b parametresinin iflareti pozitif (+), X ba ms z de iflkeni artarken Y azal yorsa b parametresinin iflareti ise negatif (-) olur. fiekil Regresyon do rusunun grafiksel görünümü Örnek 6.1: nflaat zemin kaz s nda, kaz lan malzemenin kuvars içeri i ile kaz makinesi keski ucu afl nma miktar aras ndaki iliflkiyi araflt rmak üzere yap lan deneyler sonucunda afla daki veriler elde edilmifltir. Kuvars içeri i ile afl nma miktar aras nda do rusal iliflki varoldu u bilindi ine göre, regresyon parametrelerini, a) Normal denklemleri oluflturarak, b) Seri de erlerinin ortalamadan farklar n kullanarak hesaplay n z. Çözüm: a) Normal denklemler; Kuvars Oran (%) Afl nma Miktar (mg) Yi = na. + b Xi XY i i= a Xi+ b Xi oldu undan, öncelikle denklemin bilinenlerini hesaplar z. Ancak, regresyon parametrelerini hesaplamada, ba ml ve ba ms z de iflkenin belirlenmesi oldukça önemlidir. Ele ald m z örnekte, kuvars oran n n afl nma miktar n etkileme ihtimali söz konusu oldu undan, bu durumda ba ms z de iflken (X) kuvars oran ve ba ml de iflken (Y) afl nma miktar olacakt r. Veri say s n=5 dir.

128 1 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik X Kuvars Oran (%) Y Afl nma Miktar (mg) X XY X = 5 Y = 30 X = 1375 XY = 1405 Hesaplanan bu de erler normal denklemlerde yerine konulursa; Yi = na. + b Xi XY i i = a Xi+ b Xi 30 = 5.a + 5.b 1405 = 5.a b eflitlik sistemi elde edilir. Bu eflitlik sistemini dengelemek için; = a b ifllemi yap ld nda, afla daki dengelenmifl eflitlik sistemi elde edilir = 5.a b 1405 = 5.a b Bu iki eflitli i birbirinden ç kar rsak ve b parametresini yaln z b rak rsak, b= 1,633 de erini elde ederiz. Daha sonra b parametresini herhangi bir normal denklemde yerine koyarak a parametresini a= -7,5 olarak hesaplar z. Bu hesaplamalar sonras nda ise regresyon do rusunu elde ederiz. a = -7,5 ve b = 1,633 Ŷ = -7,5 + 1,633.X (mg) b) Seri de erlerinin ortalamadan farklar n al rsak, afla daki küçültülmüfl de- erleri elde ederiz. X X Kuvars Oran (%) Y Afl nma Miktar (mg) x= X X y= Y Y x xy X = 5 Y = 30 x =0 y = 0 x = 50 xy = 3675 = 5 5 = 45 Y = 30 5 = 46

129 6. Ünite - Regresyon ve Korelasyon 13 Regresyon do rusunun e imi; x y b i i 3675 = = = x 1, i Regresyon do rusunun sabiti; a = Y bx = 46 ( 1, ) = 7, 5 Regresyon do rusu; Y ' = 7, 5 + 1, 633.X (mg) Gözlem noktalar aras ndan geçen do ru afla daki flekildeki gibidir. fiekil 6.7 Bir kimyasal deneyde kar flt rma h z na ba l olarak afla daki ürün SIRA verim S ZDE de erleri elde edilmifltir. Kar flt rma h z ile verim aras ndaki iliflkinin do rusal oldu unu göz önüne alarak regresyon parametrelerini hesaplay n z. DÜfiÜNEL M Kar flt rma H z (devir/dakika) Verim (%) 5 65 SORU D KKAT DÜfiÜNEL M SORU D KKAT AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ K T A P K T A P TELEV ZYON TELEV ZYON NTERNET NTERNET

130 14 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Standart Hata ve Tahminlerin Güven Aral Araflt rma veya deneysel çal flmalarda, gözlenen her X de erine karfl l k gözlenmifl Y de erleri vard r. Regresyon analizi ile elde edilen do ru denklemi yard m yla ise gözlenen her X de erine karfl l k Y tahminlerini yapabiliriz. En küçük kareler yöntemiyle regresyon denklemini elde ederken, gözlem de erleri ile tahmin de erleri aras ndaki farklar n (hatalar n) kareleri toplam n ( Y Y ' ) = en küçük yapt - m zdan, en küçük de olsa bir tahmin hatas vard r. Gözlem de erler ile tahmin de- erlerinin toplam birbirine eflit olmakla birlikte, de erler tek tek karfl laflt r ld nda aralar nda az ya da çok farklar olabilmektedir. Bu tahmin hatalar n n genel ve ortalama ölçüsüne tahminlerin standart hatas denilir. Basit do rusal regresyonda tahminlerin standart hatas, büyük örneklemelerde (n 30) ; Sy = Y Y n ( ) küçük örneklemelerde (n < 30) ise; Sy = Y Y ( ) n-k Basit do rusal regresyon denkleminin a ve b olmak üzere iki parametresi oldu undan, basit do rusal regresyon için k= dir. Standart hata büyüdükçe tahminlerin güvenilirli i azal r, küçüldükçe ise artar. Standart hatan n s f r (0) olmas durumunda, gözlem noktalar regresyon do rusu üzerinde yer al r. eflitlikleriyle hesaplan r. Burada, S y = tahminlerin standart hatas, n= gözlem say s ve k= regresyon do rusundaki parametre say s d r. Da lma diyagram nda noktalar n regresyon do rusu etraf ndaki da l mlar n n ortalama bir ölçüsü olan standart hata, yap lan tahminlerde gerçe e nazaran ne kadar sapma (hata pay ) beklenildi ini gösterir. Büyük örneklemelerde, regresyon do rusuna göre tahmin hatalar n n da l m normal oldu undan, herhangi bir X de iflken de eri için yap lacak Y noktasal tahmininin güven aral n da, belirli bir güven düzeyi (α) için standart normal de er (Z α/ ) yard m yla belirleyebiliriz. ' Y Z α /. S y Küçük örneklemelerde ise regresyon do rusuna göre tahmin hatalar n n da - l m, verilerin azl nedeniyle normal da l ma göre daha yayvan oldu undan, herhangi bir X de iflken de eri için yap lacak Y noktasal tahmininin güven aral - n, belirli bir güven düzeyi (α) ve v=n- serbestlik derecesi için Student t da l fl de eri (t a/, v ) yard m yla belirleyebiliriz. ' Y t α /, V. Sy Örnek 6.: Bir tu la-kiremit fabrikas nda kullan lan kil malzemesinin %Al O 3 içeri i ile kusurlu ürün oran aras ndaki iliflki araflt r ld nda, afla daki veriler için Y ' = 3,84-0,165.X regresyon denklemi elde edilmifltir. a) Regresyon denklemi ile yap lacak tahminlerin standart hatas n bulunuz. b) Kil malzemesinin %Al O 3 içeri i 15 oldu unda, %90 güvenirlikle (α = 0,10) kusurlu ürün oran (%) güven aral ne olur?

131 6. Ünite - Regresyon ve Korelasyon 15 Çözüm: a) Y = 3,84-0,165.X regresyon denklemini kullanarak, gözlemlenen her bir X de eri için tahmin de erlerini hesaplayabiliriz. X=1 için Y = 3,84-0,165, X = 3,84-0,165.1 = 1,86 X Al O 3 içeri i (%) Al O 3 içeri i (%) Kusurlu Ürün Oran (%) 1 1,8 14 1,6 16 1, 18 0,9 0 0,5 Y Kusurlu Ürün Oran (%) Y' (%) Y-Y' (%) (Y-Y' ) 1 1,8 1,86-0,06 0, ,6 1,53 0,07 0, , 1, ,9 0,87 0,03 0, ,5 0,54-0,04 0,0016 ' ( Y Y ) = 0, 011 Küçük örnekleme (n<30) yap ld ndan tahminlerin standart hatas n afla daki eflitlikle hesaplar z. ( ) Y Y Sy = n- ' ( Y Y ) = 0, 011 ve n = 5 oldu undan standart hatay 0, 011 S olarak hesaplar z. y = = 0, b) X=15 %Al O 3 için kusurlu ürün oran n n nokta tahmini; Y ' = 3, 84 0, 165. X = 3, 84 0, = 1, 36% olarak buluruz. Serbestlik derecesi v = n - k = 5 - = 3 dür %90 güvenirlik seviyesinde α = 0,10 ve α/ = 0,05 dir. n<30 oldu undan Student çizelgesinden t = t =,353 elde ederiz. α/, v 0.05,3 ' Güven aral n Y t α /, V. Sy 1,36 (,353.0,061) eflitli inden; AGS= 1, ve ÜGS= 1,50 buluruz.

132 16 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik DÜfiÜNEL M Bir deneysel SIRA çal flmada S ZDE 36 adet gözleme dayanan X ve Y de iflkenleri aras nda Y' = 5 + 0,.X do rusal iliflkisi elde edilmifltir. Regresyon denklemiyle yap lacak tahminlerin standart hatas 0,06 oldu una göre, X=1,4 de eri için %90 güvenirlikle (α = 0,10) tahmin edilen de erin DÜfiÜNEL M güven aral ne olur? Korelasyon SORU Katsay s S ORU Korelasyon katsay s n n (r) iflareti yard m yla de iflkenler D KKAT aras iliflkinin yönünü de belirlemek mümkündür. Ba ms z de iflken X artarken ba ml de iflken Y de art yorsa korelasyon katsay s n n iflareti pozitif (+), X artarken Y azal yorsa korelasyon AMAÇLARIMIZ katsay s n n iflareti negatif AMAÇLARIMIZ (-) olmaktad r. Ayr ca, regresyon do rusunun iflareti ile korelasyon K T A P katsay s n n iflareti de ayn yönde olmaktad r. TELEV ZYON NTERNET Regresyon denkleminden elde edilen tahmin de erleri ile gözlem de erleri aras nda fark yoksa ve gözlem de erleri regresyon do rusu üzerinde yer al yorsa, regresyon denkleminin gözlem de erlerini tam olarak aç klayabildi ini ve iki de ifl- D KKAT ken aras ndaki iliflkinin tam oldu unu söyleyebiliriz. Buna karfl l k, X de erleri için regresyon denklemi ile yap lacak tahminlerde belirli bir standart hata hesaplanabiliyorsa, de iflkenler aras ndaki iliflkinin derecesi standart hatan n büyüklü üne göre de iflmektedir. ki de iflken aras ndaki do rusal regresyon denkleminin gözlenen de erleri ne derecede aç klad n incelemede ve de iflkenler aras iliflkinin derecesinin belirlenmesinde korelasyon K T A P katsay s kullan l r. Korelasyon katsay s, ba ms z de iflken X in ba ml de iflken Y üzerindeki do rusal etkisinin derecesini göstermektedir. Korelasyon katsay s n n (r) hesaplanmas nda afla daki eflitliklerden birisi kullan labilir. TELEV ZYON r= r= (X-X).(Y-Y) (X-X). (Y- Y) NTERNET x.y x. y Korelasyon katsay s na güvenirli in artt r lmas ve rassal nedenlerin etkilerinin azalt labilmesi için gözlem say s mümkün oldu unca artt r lmal d r. Korelasyon katsay s n n testi konusunda da görülece i gibi, ana kütleden yap lacak örnekleme boyutu (gözlem say s ) artt kça korelasyon katsay s n n standart hatas azalmaktad r. ki de iflkenin birlikte de iflim ölçüsü olarak da tan mlanan korelasyon katsay s -1 ile +1 aras nda de erler alabilmektedir. Korelasyon katsay s n n; r = 1 olmas, de iflkenler aras iliflkinin tam oldu unu, r = 0 olmas ise de iflkenler aras nda hiçbir iliflkinin olmad n gösterir. Ayr ca, korelasyon katsay s 1 e yaklaflt kça de iflkenler aras iliflkinin güçlendi ini ve s f ra yaklaflt kça ise zay flad n söyleyebiliriz. Bununla birlikte, korelasyon katsay s büyüklü ünün anlaml l de erlendirilirken, de iflken gözlem say lar da dikkate al nmal d r. Örnek 6.3: Örnek 6.1 deki verilere kullanarak de iflkenler aras korelasyon katsay s n hesaplay n z. Çözüm: Gözlem verilerini kullanarak X ve Y de iflkenlerinin ortalamalar n afla daki gibi hesaplar z. Y = 30 X = Y = = 46 X = =

133 6. Ünite - Regresyon ve Korelasyon 17 De iflkenlerin ortalamalar yard m yla, seri de erlerinin ortalamadan farklar olan küçültülmüfl x ve y de erleri ile bunlara ba l olarak da x, y ve xy de erlerini afla daki çizelgede oldu u gibi hesaplar z. X (%) Y (mg) x= X X y = Y Y x y xy x =0 y = 0 x = 50 y = 6170 xy = 3675 Korelasyon katsay s n ; xy r = = = 0, 973 x. y olarak hesaplar z. S ra Sizde 1 sorusundaki verileri kullanarak korelasyon katsay s n hesaplay n z. Korelasyon Katsay s n n Test Edilmesi Korelasyon katsay s n n testinde red bölgesinin tan mlanmas nda teorik test istatisti i, gözlem say s n 30 ise Z da l fl ndan ve n < 30 ise t da l fl ndan yararlan larak belirlenir. TELEV ZYON Red bölgesi : n 30 oldu unda Z h >Z α/ ise H 0 hipotezi red, H 1 kabul edilir. n<30 oldu unda t h > t α/,v ise H 0 hipotezi red, H 1 kabul edilir. Test istatisti i Z h veya t h, ana kütleden örneklemelerle hesaplanacak NTERNET r lerin da- l m n n standart hatas na (S v ) ba l olarak afla daki eflitlik yard m yla hesaplan r. r Z h = t h = Sv r Sv = 1 n 3 DÜfiÜNEL M DÜfiÜNEL M Korelasyon katsay s n n test edilmesi de hipotez testleri bölümünde aç klanan ifllemlerin benzeri bir flekilde gerçeklefltirilmektedir. Korelasyon katsay s n n, ana SORU SORU kütleden örneklenen de iflken de erleri ile hesapland göz önüne al narak hipotezler oluflturulmaktad r. Daha önceden ana kütle de iflkenleri hakk nda her hangi bir iliflki bilinmedi inden, H 0 hipotezi ana kütle de iflkenleri aras D KKAT korelasyonun D KKAT s f r oldu u ve örnek kütleler aras nda hesaplanan korelasyonun da s f ra eflit olmas gerekti i fleklinde oluflturulur. Karfl t hipotez H 1 ise örnek SIRA kütleler S ZDE aras nda hesaplanan korelasyon katsay s n n rassal olarak hesaplanmad, gerçekte de iflkenler aras nda anlaml bir iliflki var oldu u, dolay s yla s f ra eflit olmamas gerekti i fleklinde oluflturulur. AMAÇLARIMIZ eflitli inin iki Do rusal regresyon AMAÇLARIMIZ adet parametresi (a ve b) oldu undan, t da l fl n n H 0 : r = ρ = 0 serbestlik derecesi v = n - H 1 : r ρ= 0 K T A P olur. K T A P TELEV ZYON NTERNET

134 18 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik (Z h veya t h ) > (Z α/ veya t α/,v ) ise H 0 red edilir ve iki de iflken aras nda anlaml bir do rusal iliflki vard r karar na var l r. Bu durumda, X ve Y de iflkenleri aras nda gözlem de erleri ile elde edilen regresyon denklemi ile anlaml ve güvenilir tahminler yap labilir. (Z h veya t h ) < (Z α/ veya t α/,v ) ise H 0 kabul edilir ve iki de iflken aras nda iliflki yoktur karar na var l r. Bu durumda, X ve Y de iflkenleri aras nda gözlem de erleri ile elde edilen regresyon denklemi ile güvenilir tahminler yap lamaz. Örnek 6.4 : Örnek 6.3 de hesaplanan korelasyon katsay s n n anlaml l n ve dolay s yla elde edilen regresyon denklemi ile yap lacak tahminlerin güvenilir olup olmad n α=0,05 güven (anlaml l k) düzeyi için test ediniz. Çözüm : Veriler; n=5, r=0,973 ve α=0,05 dir. Hipotezler; H 0 : r = ρ= 0 H 1 : r ρ= 0 (Çift tarafl test) Gözlem say s n<30 oldu undan küçük örnekleme yap lm flt r. Bu durumda, teorik test istatisti ini; α/ =0,05 ve v=n-=5-=3 oldu undan, t çizelgesinden t α/.v = t 0.05,3 = 3,18 olarak elde ederiz. Red Bölgesini; t h >t α/,v ise H 0 red edilir, H 1 kabul edilir fleklinde tan mlar z. Test istatisti i; 1 r Sv = n 1 Sv = ( 0, 973) = 0, r 0, 973 th = = = 7, 316 S v 01, 3 3 Karar : t h = 7,316 > t /,v = 3,18 oldu undan H 0 hipotezi red, H 1 kabul edilir. Korelasyon katsay s anlaml d r ve tu la-kiremit fabrikas nda kullan lan kil malzemesinin %Al O 3 içeri i ile kusurlu ürün oran aras nda gözlem de erleri ile elde edilen regresyon denklemiyle yap lacak tahminler %95 olas l kla güvenilir olacakt r. DÜfiÜNEL M SORU D KKAT 4 Bir araflt rma SIRA çal flmas nda S ZDE 10 adet gözleme dayal X ve Y de iflkenleri aras ndaki iliflkinin korelasyon katsay s r=0,89 elde edilmifltir. %5 güven düzeyi için korelasyon katsay s n n anlaml l n test ediniz. DÜfiÜNEL M Örnek 6.5 : Bir kent merkezinde SORU s nma döneminde (Ekim-Nisan aylar ) ayl k ortalama hava s cakl klar ve do algaz tüketimlerinin afla daki gibi oldu u belirlenmifltir. Ayl k ortalama hava s cakl ile do algaz tüketimi aras ndaki iliflkinin do rusal oldu- D KKAT u tahmin edilmektedir. AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ K T A P K T A P

135 6. Ünite - Regresyon ve Korelasyon 19 Ortalama Hava S cakl ( C) Ort. Günlük Tüketim (1000 m 3 ) a) Basit do rusal regresyon denklemini bulunuz. b) Korelasyon katsay s ve standart hatay hesaplay n z c) Korelasyon katsay s n test ederek, regresyon denkleminin anlaml ve güvenilir olup olmad n yorumlay n z (α=0.05). d) Hava s cakl n n 1 C olmas durumunda günlük do al gaz tüketiminin güven aral n %95 güvenirlikle tahmin ediniz. Çözüm : Ele ald m z örnekte, ortalama hava s cakl n n günlük do algaz tüketimini etkileme ihtimali söz konusu oldu undan, bu durumda ortalama hava s cakl ba- ms z de iflken (X) ve günlük do al gaz tüketim miktar ba ml de iflken (Y) olacakt r. Veri say s n=7 dir. a) Regresyon denklemini; b= eflitliklerinden hesaplayabiliriz. Y = 798 = 114 X = 77 = xy b = = 171 = 6, xy x a = Y-bX Y X y x y x x.y Y=798 X=77 y=0 x=0 y =8610 x =00 x.y= -171 x a = Y-bX =114-(-6, )=183,905 Y = 183, 905 6, 355.X

136 130 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Regresyon denkleminden de görüldü ü gibi, hava s cakl (X) artarken günlük do al gaz tüketimi azalmaktad r. Regresyon denklemi e iminin iflareti negatiftir (-). b) Korelasyon katsay s n ; xy r = = 171 = 0, 9686 x. y olarak hesaplar z. Tahminlerin standart hatas ; Sy = ( ) Y Y n eflitli inden hesaplan r. Bunun için öncelikle, regresyon denklemini ( Y = 183, 905 6, 355.X) kullanarak her bir X de eri için Y' de erlerini tahmin ederiz. Daha sonra, gözlem ile tahmin de erleri aras farklar n karelerinin toplam n buluruz. X Y Y' Y-Y' (Y-Y') ,805 5,195 6, ,935-1,935 3, ,065 4,935 4, ,13 1,87 478, ,4-7,4 55, ,355-4,355 18, ,5 5,775 33,351 ( Y Y ) = 640, 756 Sy = ( ) Y Y 640, 756 = = 11, 3 n 7 c) Korelasyon katsay s n n testi : Veriler; n=7, r=-0,9686 ve α=0,05dir. Hipotezler; H 0 : r = ρ= 0 H 1 : r ρ = 0 (Çift tarafl test) Gözlem say s n<30 oldu undan küçük örnekleme yap lm flt r. Bu durumda, teorik test istatisti ini; / =0,05 ve v=n-=7-=5 oldu undan, t çizelgesinden t α/.v = t 0.05,5 =,571 olarak elde ederiz. Red Bölgesini; t h >t α/,v ise H 0 red edilir, H 1 kabul edilir fleklinde tan mlar z.

137 6. Ünite - Regresyon ve Korelasyon 131 Test istatisti i; 1 r Sv = n 1 Sv = ( 0, 9686) = 0, r th = = 0, 9686 = 8, 76 S v 0, 111 Karar : t h = 8,76 > t /,v =,571 oldu undan H 0 hipotezi red, H 1 kabul edilir. Korelasyon katsay s anlaml d r ve hava s cakl ile günlük do al gaz tüketim miktar aras nda gözlem de erleri ile elde edilen regresyon denklemiyle yap lacak tahminler, %95 olas l kla güvenilir olacakt r. d) Hava s cakl n n X=1 C olmas durumunda günlük do al gaz tüketiminin %95 güvenirlikle tahmini; Y'=183,905-6,355.X X=1 C için nokta tahmini; Y'=183,905-(6,355.1)=107,645 (1000 m 3 ) = 0,05, α/=0,05 ve v=n-=7-=5 oldu undan t çizelgesinden; t α/,v = t 0.05,5 =,571 elde ederiz. AGS = Y'-t α/,v.s y =107,645 - (,571.11,3)=78,541 (1000 m 3 ) ÜGS = Y'+t α/,v.sy=107,645+(,571.11,3)=136,749 (1000 m 3 ) Hava s cakl n n X=1 C olmas durumunda %95 ihtimalle en az m 3 ve en fazla da m 3 günlük do al gaz tüketiminin olaca tahmin edilmektedir. E R SEL (ÜSTEL) REGRESYON VE BEL RL L K KATSAYISI Gözlem verilerinin serpilme diyagram ndaki flekli do rusal olmayan bir e ri biçimi gösteriyorsa, gözlem de erleri aras ndan üstel bir e ri geçirilebilece i tahmin edilebilir. Üstel fonksiyonlar tek tarafl veya çift tarafl logaritmik dönüflümler yap larak do rusallaflt r l p, do rusal regresyon kurallar uygulanarak regresyon parametreleri belirlenebilir. Üstel regresyon denklemi e risel bir flekle sahip oldu undan, X ve Y de iflkenleri aras ndaki regresyon denkleminin gözlem de erlerini tam olarak aç klay p aç klayamad n ve iki de iflken aras ndaki iliflkinin derecesini belirlemede korelasyon katsay s ( r ) kullan lamaz. Üstel regresyon denkleminin gözlenen de erleri ne derece aç klay p aç klamad n anlamada belirlilik katsay s (R ) kullan l r. Üstel Regresyon Ba ms z X ile ba ml Y de iflkeni aras ndaki fonksiyonel iliflkinin fiekil 6.8 deki gibi e risel olmas durumunda, gözlem de erleri aras ndan y=ax b fleklinde bir üs-

138 13 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik fiekil 6.8 tel bir e ri geçirebiliriz. X ve Y de iflkenlerinin her ikisinin de logaritmas n al r ve serpilme diyagram n tekrar çizersek, üstel fleklin do rusallaflt n gözlemleriz (fiekil 6.9). Gözlem de erlerinin üstel görünüflü fiekil 6.9 Logaritmik gözlem de erlerinin do rusal görünüflü 1,5 1 0,5 LnY 0-0,5-1 -1,5 - -1, ,5 0 0,5 LnX Üstel fonsiyonun logaritmik dönüflümle do rusallaflmas ; Y=aX b InY=lna+b.lnX eflitli indeki gibi olur. Logaritmik dönüflüm sonras nda Z=lnY, A=lna, B=b ve V=lnX atamalar yap ld nda; Z=A+BV fleklinde do rusal regresyon denklemi elde edilebilir. Bu flekilde do rusallaflt r lan üssel iliflki için, do rusal regresyon yönteminde uygulanan yöntemlerle regresyon parametreleri hesaplanabilir. Do rusallaflt r lan üstel regresyon denklemi için elde edilecek afla daki normal denklemlerden A ve B parametreleri hesaplanabilir.

139 6. Ünite - Regresyon ve Korelasyon 133 Zi = na. + B Vi VZ i i = A Vi+ b Vi Z ve V logaritmik de iflkenleri için yapt m zda da A ve B parametrelerini; vz B = v A= Z BV. küçültme ifllemleri eflitliklerinden hesaplayabiliriz. Hesaplanan A parametresi için a=e A ve b=b dönüflümlerini yaparak da üstel regresyon denklemini elde ederiz. Y ' = ax b Belirlilik Katsay s ve Standart hata Do rusal regresyonda iki de iflken aras nda iliflki olup olmad n veya regresyon do rusunun gözlem de erlerini aç klay p aç klamad n anlamada korelasyon katsay s kullan lmaktad r. Korelasyon katsay s n n iflareti, daima do runun e iminin iflaretiyle uyumludur. Üstel regresyon denklemi ise e risel oldu undan, bu e rinin birden fazla e imi söz konusudur. Bu durumda, üstel regresyon denklemi için korelasyon katsay s n kullanamay z. Bu nedenle, üstel regresyon denkleminin gözlem de erlerini ne derece aç klay p aç klamad n anlamada belirlilik katsay s (R ) kullan l r. Belirlilik katsay s afla daki eflitlikle hesaplanabilir. R =1- S y σy z= Z Zvev= V V Burada, R : belirlilik katsay s n, Sy : regresyon denklemiyle yap lacak tahminlerin standart hatas n ve σ y : ba ml de iflken Y nin standart sapmas n göstermektedir. Belirlilik katsay s 0 ie 1 aras nda de erler al r. Belirlilik katsay s n n s f r (R =0) olmas durumunda de iflkenler aras nda hiçbir iliflki olmad, bir (R =1) olmas durumunda ise de iflkenler aras nda tam bir iliflki oldu u karar na var r z. R nin de eri 1,0 a yaklaflt kça belirlilik artar ve de iflkenler aras iliflki güçlenir, 0 a yaklaflt kça ise belirsizlik artar ve de iflkenler aras iliflki zay flar. Üstel regresyon denklemi ile yap lacak tahminlerde de standart hata; Sy = ( ) Y Y n k Belirlilik katsay s R nin 0,5 den büyük olmas (R >0,5) durumunda, regresyon denkleminin gözlem de erlerinin %50 den fazlas yla uyumlu oldu u ve %50 den fazlas n aç klayabildi ini söyleyebiliriz. Ayr ca, R >0,5 olmas durumunda, de iflkenler aras nda güçlü bir iliflki oldu u söylenebilir. eflitli i ile hesaplan r. Burada, k = üstel regresyon denklemi parametre say s d r (Üstel regresyon denkleminin a ve b parametresi oldu undan k = dir).

140 134 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Ba ml de iflken Y nin standart sapmas ise afla daki eflitliklerle hesaplan r. n 30 için ( Y Y) σ y = n DÜfiÜNEL M SORU ( Y Y) n<30 için σ y = n 1 Üstel regresyon e risine göre tahmin hatalar n n da l m normal oldu undan, herhangi bir X de iflken de eri için yap lacak Y noktasal tahmininin güven aral - n da, gözlem say s na göre belirli bir güven düzeyi (α) için standart normal de- er (Z α/ ) veya Student t istatistik de eri (t α/,v ) ile do rusal regresyonda oldu u gibi belirleriz. Korelasyon katsay s n n testinde, red bölgesi tan mlama ve test istatisti i hesaplamada kullan lan DÜfiÜNEL M yöntem, belirlilik katsay s n n test edilmesinde kullan lamaz. Ancak, X ve Y de iflkenlerinin logaritmik gözlem de erleriyle hesaplanacak korelasyon katsay s n n testi için, do rusal korelasyon katsay s testindeki yöntem uygulanabilir. SORU D KKAT E risel ve iki D KKAT den fazla de iflkenli regresyon analizlerinde, regresyon denkleminin gözlem de erlerini aç klay p aç klamad nda kullan lan belirlilik katsay s n n testinde, F testi (varyans analizi) uygulanmaktad r. F testi bu ünitenin kapsam d fl nda tutulmufltur. F testi hakk nda ayr nt l bilgiyi Neyran Orhunbilge nin Uygulamal Regresyon ve Korelasyon Analizi ( stanbul Üniversitesi, flletme Fakültesi Yay nlar No:67) kitab ndan elde edebilirsiniz. AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ K T A P TELEV ZYON NTERNET Örnek : Türkiye K Madencilik T A P Sektöründe son befl y lda meydana gelen ifl kazalar ile sabit sermaye yat r mlar aras nda afla daki veriler elde edilmifltir. Sabit Sermaye TELEV ZYON Yat r m fl Kazas Say s (Milyon TL) NTERNET a) Sabit sermaye yat r mlar ile ifl kazalar aras ndaki fonksiyonel iliflkiyi serpilme diyagram nda inceleyerek, iliflkinin do rusal veya üstel olup olmad na karar veriniz. b) Regresyon denklemini bulunuz. c) Regresyon denklemiyle yap lacak tahminlerin standart hatas n ve belirlilik katsay s n hesaplay n z. Belirlilik katsay s n ele alarak, elde edilen regresyon denkleminin gözlem de erlerini ne derecede aç klayabildi ini yorumlay n z. Çözüm : a) Mant ksal olarak, sabit sermaye yat r mlar ifl kazalar n etkiledi inden, sabit sermaye yat r mlar ba ms z de iflken (X) ve ifl kazalar say s ba ml de iflken

141 6. Ünite - Regresyon ve Korelasyon 135 (Y) dir. X ve Y aras ndaki fonksiyonel iliflkinin serpilme diyagram ndaki görünüflü afla daki gibidir. Serpilme diyagram ndan da görüldü ü gibi, sabit sermaye yat r mlar artt kça ifl kazalar say s e risel olarak azalmaktad r. Bu durumda, X ile Y aras nda üstel bir regresyon iliflkisi oldu unu söyleyebiliriz. b) Üstel regresyon denklemini elde edebilmek için öncelikle X ve Y de iflkenleri de erlerine logaritmik dönüflümler uygular z ve daha sonra regresyon parametrelerini hesaplar z. X Y V (LnX) Z (LnY) ,377 9, ,578 9, ,763 9, ,771 8, ,949 8,863 V 103, 438 Z 45, 845 V = = = 0, 688 Z = = = 9, 169 n 5 n 5 V = 103, 438 Z = 45, 845 V Z v= V V z= Z Z v z vz 0,377 9,618-0,311 0,449 0,0967 0,016-0,1396 0,578 9,306-0,109 0,137 0,0119 0,0188-0,0149 0,763 9,088 0,076-0,081 0,0058 0,0066-0,006 0,771 8,969 0,083-0,00 0,0069 0,0400-0,0166 0,949 8,863 0,61-0,306 0,0681 0,0936-0,0799 v = 0, 1894 z = 0, 3606 vz = 0, 57 Do rusallaflt r lm fl üstel regresyon parametreleri; vz B = = 0, 57 = v 1, 358 0, 1894

142 136 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik A= Z BV. = 9, 169 ( 1, , 688) = 37, 63 Üstel regresyon parametreleri ve denklemi; b=b=-1,358 a=e A =e 37,63 =1544, Y'=1544, X -1,358 c) Tahminlerin standart hatas n afla daki eflitlikle hesaplayabilmek için öncelikle her bir X de eri ile Y' de erlerini tahmin ederiz. X (10 6 TL) Y Y' Y-Y' (Y-Y') ( Y Y') = S y = ' ( Y Y ) n = = 56, 7 5 Belirlilik katsay s n ; S y R = 1 σ eflitli inden hesaplar z. Ancak bunun için öncelikle Y de iflkeninin standart sapmas n (σ y ) hesaplamam z gerekmektedir. ( Y Y) σ y = n 1 y Y Y Y ( Y Y) Y = Y = = ( Y Y) =

143 6. Ünite - Regresyon ve Korelasyon 137 σ y = ( Y Y) n 1 = S y ( 56, 7) R = 1 = 1 σ ( 3198, 6) y = 3198, = 0, 973 Elde edilen üstel regresyon denklemi, gözlem de erlerinin %97,3 ünü aç klayabilmektedir. R = 0, 973> 0, 5 oldu undan, de iflkenler aras nda oldukça güçlü bir iliflkinin var oldu unu söyleyebiliriz. Ayn deprem büyüklü ünde bir kent merkezindeki dolgu zeminde SIRA uzakl a S ZDEba l olarak ölçülen en büyük (maksimum) h zlar afla daki gibidir. a) Uzakl k ile h z aras ndaki fonksiyonel iliflkiyi serpilme diyagram nda inceleyerek, iliflkinin do rusal veya üstel olup olmad na karar veriniz. DÜfiÜNEL M b) Regresyon denklemini bulunuz. Uzakl k(km) SORU H z(cm/sn) 5 40 D KKAT DÜfiÜNEL M SORU D KKAT 5 8 AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ 5 K T A P K T A P TELEV ZYON TELEV ZYON NTERNET NTERNET

144 138 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Özet A MAÇ 1 A MAÇ De iflkenler aras iliflkilerde ba ml l k olmas durumunda, bu iliflkinin fonksiyonunu, yönünü ve derecesini belirlemede kullan labilecek yöntemleri aç klamak. De iflkenler aras ndaki iliflki, bunlar n kendi aralar nda neden-sonuç iliflkisinin bulunmas ve de- erlerinin karfl l kl de iflimleri aras nda bir ba l l k olmas fleklinde anlafl l r. De iflkenler aras ndaki neden-sonuç iliflkisinde neden ba ms z (X), sonuç ise ba ml de iflkendir (Y). De iflkenler aras ndaki fonksiyonel iliflkinin belirlenmesinde regresyon, iliflkinin güçlü olup olmad n belirlemede ise korelasyon analizlerinden yararlanabiliriz. De iflkenler aras iliflkinin regresyon modeli parametrelerini belirler ve daha sonraki tahminlerde kullan labiliriz. De iflkenler aras iliflkinin fonksiyonu artan veya azalan olabilir. Baz gözlemlenen de iflkenler aras nda çok kuvvetli fonksiyonel iliflkiler elde edilebilirken, baz lar nda ise oldukça zay f bir iliflki elde edilebilmektedir. De iflkenler aras nda hiçbir iliflkinin olmamas da söz konusu olabilmektedir De iflkenler aras iliflkinin derecesinin belirlenmesinde korelasyon katsay s kullan lmaktad r. De iflkenler aras iliflkilerin do rusal oldu u durumlar için regresyon modeli parametrelerini hesaplamak, korelasyon katsay s n hesaplay p test etmek, ve regresyon model parametrelerini tahminlerde kullanmak. Bir ba ms z de iflken (X) ile ba ml de iflken (Y) aras ndaki iliflkinin serpilme diyagram nda Y = a + bx fleklinde basit do rusal görünüme sahip oldu u durumlarda, regresyon denkleminin parametrelerini en küçük kareler yöntemi ile hesaplayabiliriz. En küçük kareler yöntemiyle elde etti imiz normal denklemler veya küçültülmüfl de erlerden regresyon parametrelerini (a ve b) hesaplayabilmekteyiz. En küçük kareler yöntemi, gözlem de erleri aras ndan hata kareleri toplam n en küçükleyecek do ru geçirilmesini garanti etmekle birlikte, elde etti imiz basit regresyon modeli ile yap lacak tahminlerde, tahmin hatalar da gözlenebilir. Bu tahmin hatalar n n genel ve ortalama ölçüsüne tahminlerin standart A MAÇ 3 hatas denilmektedir. Regresyon denklemi ile yap lacak tahminlerin güven aral n belirlemede, tahminlerin standart hatas kullan maktad r. ki de iflken aras ndaki do rusal regresyon denkleminin gözlenen de erleri ne derecede aç klad - n incelemede ve de iflkenler aras iliflkinin derecesinin belirlenmesinde korelasyon katsay s (r) kullan lmaktad r. Korelasyon katsay s 1 e yaklaflt kça de iflkenler aras iliflkinin güçlendi ini ve s f ra yaklaflt kça ise zay flad n söyleyebilmekteyiz. Korelasyon katsay s n n anlaml l - n n test edilmesinde, hipotez testleri bölümünde aç klanan ifllemlerin benzeri yöntemler uygulanmaktad r. De iflkenler aras iliflkilerin e risel (üstel) oldu u durumlar için regresyon modeli parametrelerini hesaplamak belirlilik katsay s n hesaplay p regresyon modelinin gözlem de erlerini ne derecede aç klayabildi ini yorumlamak. Gözlem verilerinin serpilme diyagram ndaki flekli üstel bir e ri görünümünde ise gözlem de erlerine logaritmik dönüflümler yap larak do rusallaflt r l p, do rusal regresyon kurallar uygulanarak regresyon parametreleri hesaplanabilmektedir. Üstel regresyon denkleminin gözlenen de- erleri ne derece aç klay p aç klamad n anlamada belirlilik katsay s (R ) kullan lmaktad r.

145 6. Ünite - Regresyon ve Korelasyon 139 Kendimizi S nayal m 1. Serpilme diyagram nda basit do rusal iliflki gözlenen de iflkenler aras nda normal denklemler 0=5a+40b ve 40=40a+360b oldu una göre do runun e imi (b) ne olur? a. 1 b. c. 3 d. 6 e. 1. ki de iflken aras nda azalan bir do rusal iliflki varsa, afla dakilerden hangisi regresyon denkleminin e imi olabilir? a. + 0,9 b. + 1, c. +,5 d. -1, e ki de iflken aras nda herhangi bir iliflki yoksa, korelasyon katsay s ne olabilir? a. 1 b. 0,9 c. -0,9 d. 0,8 e Korelasyon katsay s hangi de erler aras nda bulunur? a. -1 r +1 b. 0 r +1 c. -1 r 0 d. -0,5 r +0,5 e. -0,1 r +0,1 5. Bir araflt rmada n=36 adet gözlem de eri aras ndan Y'=3-6.X fleklinde do rusal regresyon denklemi geçirilmifltir. Tahminlerin standart hatas S Y = hesaplanm fl ve α=0,10 güven düzeyi için standart normal de erin Z α/ =1,96 oldu u belirlenmifltir. Bu durumda, X= için tahminlerin alt güven s n r (AGS) ne olur? a. 0 b. 3,9 c. 16,08 d. 1 e. 3,9 6. Eskiflehir de son befl y ll k ya fl miktar (X) ile bu day verimi (Y) aras ndaki iliflki araflt r ld nda do rusal bir regresyon iliflkisinin var oldu u belirlenmifltir. Regresyon denklemi tahminleri ile gözlem de erleri farklar n n kareleri toplam ( Y Y') = 1875 oldu una göre, tahminlerin standart hatas nedir? a. 5 b. 5 c. 375 d. 65 e Eskiflehir de son befl y ll k ya fl miktar (X) ile bu day verimi (Y) aras nda araflt r lan do rusal bir regresyon denklemi için korelasy n katsay s n n r=0,96 ve korelasyon katsay s n n standart hatas n n S v =0,16 oldu u belirlenmifltir. Bu durumda test istatisti inin de eri ne olur? a. Z h = b. t h = c. Z h =6 d. t h =6 e. t h =1 8. Bir araflt rmada elde edilen üstel regresyon denklemi ile yap lan tahminlerin standart hatas S y =4 ve ba- ml Y de iflkeninin standart sapmas σ y =0 olarak elde edilmifltir. Belirlilik katsay s hesaplanarak elde edilen regresyon denkleminin gözlem de erleri hakk nda ne söylenebilir. a. %4 ünü aç klayabilmektedir. b. %0 sini aç klayabilmektedir. c. %56 s n aç klayabilmektedir. d. %90 n aç klayabilmektedir. e. %96 s n aç klayabilmektedir. 9. Afla daki belirlilik katsay s de erlerinden hangisinde, tahminlerin standart hatas en küçüktür? a. 0,0 b. 0,50 c. 0,75 d. 0,80 e. 0,95

146 140 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Kendimizi S nayal m Yan t Anahtar 10. Bir madencilik firmas n n y ll k üretim kapasitesi (X) ile karl l (Y) aras nda Y'=100.X 0,5 fleklinde üstel regresyon denklemi elde edilmifltir. Firman n y ll k üretim kapasitesi X=40000 ton oldu unda, y ll k karl l ne olur? a TL b TL c TL d TL e TL 1. b Yan t n z yanl fl ise, En Küçük Kareler Yöntemi konusuna bak n z.. d Yan t n z yanl fl ise, Korelasyon Katsay s konusuna bak n z. 3. e Yan t n z yanl fl ise, Korelasyon Katsay s konusuna bak n z. 4. a Yan t n z yanl fl ise, Korelasyon Katsay s konusuna bak n z. 5. c Yan t n z yanl fl ise, Standart Hata ve Tahminlerin Güven Aral konusuna bak n z. 6.b Yan t n z yanl fl ise, Standart Hata ve Tahminlerin Güven Aral konusuna bak n z. 7. d Yan t n z yanl fl ise, Korelasyon Katsay s n n Test Edilmesi konusuna bak n z. 8. e Yan t n z yanl fl ise, Belirlilik Katsay s ve Standart Hata konusuna bak n z. 9. e Yan t n z yanl fl ise, Belirlilik Katsay s ve Standart Hata konusuna bak n z. 10. b Yan t n z yanl fl ise, Üstel Regresyon konusuna bak n z.

147 6. Ünite - Regresyon ve Korelasyon 141 S ra Sizde Yan t Anahtar S ra Sizde 1 X Kar flt rma H z (devir/dakika) Regresyon do rusunun e imi; xy b i i 75 = = = x 0, , 5 i Y Verim (%) x= X X y= Y Y x xy , ,5 11, ,5-4 56, ,5 0 6, ,5 1 6,5, ,5 4 56, , ,5 100 X = 5 Y = 444 x = 0 y = 0 x = 437, 5 xy = 75 5 X = = 37, Y = = 74 6 Regresyon do rusunun sabiti; a = Y bx = 74 ( 0, , 5) = 50, 4 Regresyon do rusu; ' Y = 50, 4 + 0, 63. X (%) S ra Sizde X=1,4 için nokta tahmini; ' Y = 5+ 0,. X = 5+ ( 0,. 1, 4) = 5, 8 % olarak buluruz. Y ' ± Z /. S y %90 güvenirlik seviyesinde α=0,10 ve α/=0,05 dir. n>30 oldu undan Z çizelgesinden Z α/ =Ζ 0,05 =1,645 elde ederiz. Güven aral n Y ' ± Z /. S y eflitli inden; 5, 8 (, , 06) AGS=5,18 ve ÜGS=5,38 buluruz. S ra Sizde 3 X Y x y x y xy , , , ,5-4 56, ,5 0 6, ,5 1 6,5 1, ,5 4 56, , , x = 437, 5 y = 178 xy = 75

148 14 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Korelasyon katsay s n ; xy. 75 r = = = 0, 9854 x. y 437, olarak hesaplar z. S ra Sizde 4 Veriler; n=10, r=0,89 ve α=0,05 dir. Hipotezler; H 0 : r = = 0 H1 : r ρ = 0 (Çift tarafl test) Gözlem say s n< 30 oldu undan küçük örnekleme yap lm flt r. Bu durumda, teorik test istatisti ini; α/ =0,05 ve v=n-=10-=8 oldu undan, t çizelgesinden t α/.v = t 0.05,8 =,306 olarak elde ederiz. Red Bölgesini; th > t α/, v ise H 0 red edilir, H 1 kabul edilir fleklinde tan mlar z. Test istatisti i; 1 r Sv = n 1 Sv = ( 0, 89) = 0, r 0, 89 th = = = 5, 53 S v 0, 161 Karar : t h = 5,53 > t α/,v =,306 oldu undan H 0 hipotezi red, H 1 kabul edilir. Korelasyon katsay s anlaml d r. S ra Sizde 5 Mant ksal olarak, uzakl k deprem dalgas yay l m h z n etkiledi inden, uzakl k ba ms z de iflken (X) ve h z ba ml de iflken (Y) dir. X ve Y aras ndaki fonksiyonel iliflkinin serpilme diyagram ndaki görünüflü incelendi- inde, X ve Y ara snda üstel fonksiyonel iliflkinin oldu- u tahmin edilmektedir. Üstel regresyon denklemini elde edebilmek için öncelikle X ve Y de iflkenleri de erlerine logaritmik dönüflümler uygular z ve daha sonra regresyon parametrelerini hesaplar z. X Y V (LnX) Z (LnY) ,609 3, ,303 3, ,708 3, ,996 3, ,19 3,33 V = 1, 835 Z = 17, 351 V 1, 835 Z 17, 351 V = = =, 567 Z = = = 3, 470 n 5 n 5 V Z v= V V z= Z Z v vz 1,609 3,689-0,958 0,19 0,917-0,10,303 3,497-0,64 0,07 0,070-0,007,708 3,466 0,141-0,004 0,00-0,001,996 3,367 0,49-0,103 0,184-0,044 3,19 3,33 0,65-0,138 0,45-0,090 v = 1, 615 vz = 0, 351 Do rusallaflt r lm fl üstel regresyon parametreleri; vz B = = 0, 351 = v 0, 17 1, 615 A= Z BV. = 3, 47 ( 0, 17., 567) = 4, 08 Üstel regresyon parametreleri ve denklemi; b=b=-0,17 a=e A =e 4,08 =5 6,15 1,615-0,351 Y ' 0 = 56, 15. X, 17

149 6. Ünite - Regresyon ve Korelasyon 143 Yararlan lan Kaynaklar Akdeniz, F. (007). Olas l k ve statistik. Adana: Nobel. Cula, S. & Muluk, Z. (006). Temel statistik Yöntemleri. Ankara: Baflkent Üniversitesi. Çömlekçi, N. (1989). Temel statistik lke ve Teknikleri. stanbul: Bilim Teknik. Konuk, A. & Önder, S. (1999). Maden statisti i. Mühendislik Mimarl k Fakültesi Maden Mühendisli i Bölümü. Eskiflehir: Eskiflehir Osmangazi Üniversitesi. Navidi, W. (008). Statistics for Engineers and Scientists. New York, NY: McGraw-Hill. Newbold, P. (005). flletme ve ktisat çin statistik. Ümit fienesen (Çev.). stanbul: Literatür. Orhunbilge, N. (1996). Uygulamal Regresyon ve Korelasyon Analizi. flletme Fakültesi Yay n No: 67. stanbul: stanbul Üniversitesi. Püskülcü, H. & kiz, F. (1989). statisti e Girifl. zmir: Bilgehan. Serper, Ö. (000). Uygulamal statistik II. Bursa: Ezgi. Ünver, Ö. & Gamgam, H. (006). Uygulamal Temel statistik Yöntemler. Ankara: Seçkin. Yüzer, A.F. (Ed.) (009). statistik. Aç k Ö retim Fakültesi Yay n No: 771, Eskiflehir: Anadolu Üniversitesi.

150 7CO RAF B LG S STEMLER Ç N TEMEL STAT ST K Amaçlar m z Bu üniteyi tamamlad ktan sonra; Bölgesel de iflkenlerin özelliklerini aç klayabilecek, Semi-variogram fonksiyonunun özelliklerini aç klayabilecek, Kuramsal semi-variogram model (küresel, üstel ve do rusal) parametrelerini hesaplayabilecek ve temel uygulamalarda kullanabilecek bilgi ve becerilere sahip olacaks n z. Anahtar Kavramlar Jeoistatistik Bölgeselleflmifl de iflken Yönsel de iflim (anizotropi) Variogram Semi-variogram Külçe varyans (nugget) Eflik de er (sill) Etki mesafesi Külçe etki oran Anizotropi oran Örnek çiftleri Küresel model çindekiler Co rafi Bilgi Sistemleri çintemel statistik Jeoistatistiksel Kavramlar BÖLGESELLEfiM fi DE fikenler VAR OGRAM VE SEM -VAR OGRAM KURAMSAL SEM -VAR OGRAM MODELLER

151 Jeoistatistiksel Kavramlar BÖLGESELLEfiM fi DE fikenler Klasik istatistikte, örneklerin birbirinden ba ms z ve say sal bir de ere sahip bireyler olduklar kabul edilir. Buna karfl l k, konumsal veya mekansal örnekler ise belirli bir co rafi bölge içerisinde birbirleri aras nda ba ml l ve alansal, hacimsel veya a rl ksal de erleri olan örneklerdir. Bu gibi örneklerin klasik istatistiksel yöntemlerle analizinin yap lmas, önemli belirsizliklere ve hatalara yol açabilmektedir. Örne in, çevre, ya fl, bitki örtüsü, toprak, jeolojik yap ve madenlerin de iflkenli i bölgesel olarak farkl l klar içerebilmekte ve al nan örnekler, al nd konum koordinatlar yla ve al nd miktarla (hacimsel ve a rl ksal) ifade edilebilmektedir. Klasik istatistik yöntemler, al nan örneklerin yerlerini (konumlar n ), birbirlerini ne flekilde takip ettiklerini, örneklerin etki alanlar n n ne oldu unu ve bu etki alan n n yönsel de ifliminin nas l oldu unu dikkate almayan yöntemlerdir. Bu nedenle, klasik istatistik yöntemleri kullanan enterpolasyon yöntemleriyle yap lacak tahminlerde, hata büyüklü ü artmakta ve tahminlerin güvenilirli i azalmaktad r. George Matheron taraf ndan 1963 y l ndan itibaren gelifltirilmeye bafllanm fl olan jeoistatistik, farkl nicelikte ve duyarl l ktaki veri örneklerinin birbiri aras ndaki konumsal iliflkisini göz önünde bulunduran uygulamal istatistik bilim dal d r. Jeoistatistik yöntemler, bölgeselleflmifl de iflkenler olarak bilinen, bulunduklar yerlere göre konumsal farkl l k gösteren ve birçok özelli in tan mlanmas nda kullan - lan yöntemlerin genel ad d r. Jeoistatisti in ilk uygulamalar, maden yataklar ndan al nan bölgesel de iflkenlik gösteren tenör, kalori ve kal nl k gibi örnek de erleri ile örneklenmemifl noktalar n de erlerinin kestirilmesi ve maden yataklar nda rezerv tahmini yap lmas çal flmalar ndan oluflmufltur. Ancak, daha sonra güçlü matematiksel temelleri olmas nedeniyle jeoistatistik, demografik de iflimler, çevre ve iklim de iflimlerinin izlenmesi, ya fllar n tahmini, tar msal hasat tahmini, bitki, orman, zemin ve toprak alanlar ndaki de iflimlerin izlenmesi ve haritalanmas çal flmalar nda kullan lmaya bafllanm flt r. Belirli bir bölgeye özgü de erler alan ve konumlar koordinatlarla tan mlanan örneklenmifl de iflkenlere, bölgeselleflmifl de iflkenler denilir. Bölgeselleflmifl de iflkenler, rassal örneklenmifl de iflkenler olmad klar ndan, örnekleme yap lmam fl noktalar n bilinmeyen de erlerinin tahmininde, rassal örnekleme kurallar n kullanamay z. Matematiksel bir bak fl aç s yla incelendi imizde, bölgeselleflmifl de iflkenin de erini bulundu u konumun bir fonksiyonu olarak ifade edebiliriz. Co rafi anlamda bölgesel farkl l klar gösteren, birbirleriyle belirli bir mesafe içerisinde ba ml olan ve miktarsal ölçülerle al nan örnekler yard m yla tahminde, klasik istatistik yöntemler yerine jeoistatistiksel yöntemler uygulamam z gerekmektedir. Rassal olarak seçilen ölçme noktalar ndaki de iflken de erleri yersel olarak ba ms zken, seçildikleri alan bir bölge oluflturuyorsa bölgesel anlamda birbirleri ile iliflkilidir.

152 146 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik De iflkenin konumsal ba ml l n ifade etmek için, x bir noktan n koordinat - n ifade edecek flekilde, Z(x) gösterimi kullan lmaktad r. x noktas nda ölçülmüfl z örnek de erini Z(x) rassal de iflkeni fleklinde ifade edebiliriz. Böylece Z(x) rassal de iflkeni farkl olas l ksal da l mla her x örnek noktas nda farkl z ölçüm de erine sahip olabilmektedir. Asl nda bu karars z ve düzensiz yap n n ard nda, birbirine yak n olanlar, birbirine uzak olanlardan daha fazla benzerlik e ilimi göstermektedir. Bu karakteristik davran fl veya yap, bölgeselleflmifl de iflkenin konumsal tutarl l n göstermektedir. Bu durum bölgeselleflmifl de iflkenin iki karakteristik yap s n vurgulamaktad r; Do al bir oluflumun rassal veya karars z de erleri yersel özellikler gösterebilir. Do al bir oluflumun yap s bölgesel anlamda genel da l m ile iliflkili olabilir. Olas l ksal yorumlama bu iki karakteristik yap y, rassal fonksiyonlar n içinde göz önünde bulundurmaktad r (Journel and Huijbregts, 1978). x noktas nda Z(x) yersel olarak bir rassal de iflkendir. Bölgesel olarak incelendi inde Z(x) ve Z(x+h), h uzakl na ba l olarak her ölçüm noktas nda ba ms z de ildir ve konumsal otokorelasyonla birbirleri aras nda bir iliflki söz konusudur (Journel and Huijbregts, 1978). Bölgeselleflmifl de iflkenlerin özelliklerini afla daki gibi özetleyebiliriz. Yersellik (Lokalizasyon) Bölgesel de iflkenlerin de erleri, belirli bir geometrik alan (veya üç boyutlu olarak hacim) s n rlar içinde birbirine ba ml de iflimler gösterir. Do adan elde edilen birbirine yak n mesafedeki veriler benzer özellikler gösterirken, aralar ndaki uzakl k artt kça bu benzerlik azalmaktad r. Bu durum yersellik (lokalizasyon) kavram ile aç klanmaktad r. Yersellik, belirli konumsal noktalardan al nan örnek de erlerinin, konumlar na ba l olarak sistematik bir iliflki içinde olmas n ifade etmektedir. Belirli bir bölgenin herhangi bir noktas ndaki de iflken de eri, o noktadan al - nacak örne in flekli, boyutlar ve do rultusu ile de aç klan r. Bunlardan herhangi birinde yap lacak de ifliklikle, yeni bir bölgeselleflmifl de iflken elde edilir. Örne in, ayn yerden 1 kg l k ve 10 kg l k iki örnek al nd m zda, iki örne ide ayn yerden almam za ra men, iki ayr bölgeselleflmifl de iflken elde ederiz. Örnek büyüklükleri birbirinden farkl oldu undan, örneklerin ortalama de erleri de farkl laflacakt r. Devaml l k Konumsal olarak al nan baz örnekler aras nda belirli bir mesafe içerisinde sürekli veya devaml bir iliflki gözlenirken, belirli bir mesafeden sonra ise gözlenmez. Birbirine komflu baz konumsal örnekler aras nda ise hiçbir devaml l k gözlenmez. Örne in, sedimanter orijinli cevherler hidrotermal orijinli cevherlerden, genellikle çok daha iyi devaml l k gösterirler. Bununla birlikte, baz nadir metalik maden (alt n, platin gibi) yataklar nda ise belirli bir devaml l k görülmez ve maden yata ndaki cevher da l m rassald r. Yönsel De iflim (Anizotropi) Bir bölgeselleflmifl de iflken için al nan konumsal örne in etki alan bütün yönlerde ayn uzan m göstermeyebilmektedir. Belirli bir yönde, belirli bir mesafe içerisinde süreklilik gözlenmesine karfl l k, bir baflka yönde süreksiz ve düzensiz de i-

153 7. Ünite - Jeoistatistiksel Kavramlar 147 fliklikler görülebilmektedir. Bölgeselleflmifl bir de iflken örnekleri aras nda belirli bir mesafe içerisinde devaml l n yönsel farkl l klar göstermesi, ilgili de iflkenin anizotropik bir de iflken oldu unu ifade eder. Geçifller Konumsal olarak al nan baz örnekler aras nda belirli aral klarla devaml l k gözlenirken, baz mesafe aral klar nda ise devaml l k gözlenmeyebilir. Bu olay geçifller halinde devam eder. VAR OGRAM VE SEM -VAR OGRAM Jeoistatistiksel yöntemlerde, konumsal de iflkenler aras nda belirli bir uzakl a ve yöne ba l bir bölgeselleflmifl iliflkinin var oldu u ve bu iliflkinin variogram fonksiyonu ile ifade edilebilece i aç klanmaktad r. Variogram fonksiyonu yard m yla de- iflkenlerin yap sal özellikleri belirlenebilmekte ve bilinmeyen noktalar n de erlerinin tahmininde, bu özellikler kullan labilmektedir. Bölgeselleflmifl de iflkenin de erleri aras ndaki farklar [z(x 1 )-z(x )] de iflkenin benzerlik derecesini ortaya koydu undan, uzakl a ba l iliflkiyi incelemede önemlidir. Bölgeselleflmifl de iflkenlerden al nan iki örnek de eri aras ndaki fark, bu örneklerin hacmine ve aralar ndaki uzakl a ba l olarak de iflir. Bölgeselleflmifl ana kütleden düzenli aral klarla yap lan örneklemeler sonucunda, aralar nda uzakl klara ba l olarak oluflan örnek çiftleri aras farklar n kareleri toplam n n örnek çifti say s na oran na variogram denilmekte olup, bu fonksiyon afla daki gibidir. Variogram hesaplamalar nda, örnek çiftlerinin say s n n 30 dan az olmamas tercih edilir. Örnek çiftlerinin say s azald kça, semi-variogram de erlerinde afl r sapmalar görülmeye bafllamaktad r. * (h) = 1 c z(x)- z(x+ h) n Burada, γ * (h) = h uzakl k fark na göre hesaplanan deneysel variogram, n = örnek çiftlerinin say s, z(x) = x noktas ndan al nan örne in de iflken de eri, z(x+h) = x noktas ndan h uzakl kta al nan örne in de eridir. Variogram n yar s semi-variogram verir ve afla daki fonksiyonla ifade edilir. Deneysel Semi-Variogram Parametreleri Örneklenen veri çiftleri de iflken de erleri aras ndaki aras ndaki farklar n kareleri toplam n n uzakl a ba l de iflimi ile elde edilen deneysel semi-variogram n gec * (h) = 1 z(x)- z(x+ h) n Örneklenen de iflken de erleri ile elde edilen semi-variogram de erlerine, deneysel semi-variogram de erleri denilmektedir. Deneysel semi-variogram de erlerini hesaplamaya bafllamadan önce, örneklenen de iflken de erlerinin da l m modelinin belirlenmesi gerekmektedir. Konumsal de iflkenlerin da l m, normal, lognormal veya üstel (eksponansiyel olabilmektedir. E er, da l m modeli araflt r lmadan deneysel semi-variogram hesaplamalar yap l rsa, elde edilen de erlere model uyarlamak mümkün olamayabilir. Örne in, lognormal da l ma sahip bir de iflken için deneysel semi-variogram hesaplamalar n, de iflkenin logaritmik de erleri ile yapmazsak, elde edilen de erlere uyan model ya hatal olacakt r, ya da uygun bir model bulmak mümkün olamayacakt r. Semi-variogram, genel anlamda h n n artan bir fonksiyonudur. ki ayr noktadan al nan de erler, bu noktalar birbirinden uzaklaflt oranda farkl olmaktad r.

154 148 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik nel olarak külçe varyans (nugget), eflik de er (sill) ve etki mesafesi olmak üzere üç önemli parametresi vard r. Bu parametrelerin de iflken yap s n aç klamadaki önemi afla da s ra ile aç klanm flt r. Külçe varyans, örneklenen de iflkenin bölgesel homojenli ini gösterir. Yüksek de erdeki külçe varyans, de iflkenin çok zay f flekilde genifl bir alana yay ld n veya örnekleme ve analiz hatalar n n yap ld n gösterir. Düflük de erdeki külçe varyans ise de iflkenin en k sa mesafede bile devaml l a ve süreklili e sahip oldu unu gösterir. Eflik de er, genellikle külçe varyans (C 0 ) ve yap sal varyans n (C) toplam na eflittir (C 0 +C). Külçe etkisi görülmeyen de iflkenlerin semi-variogram de erleri için eflik de er sadece yap sal varyanstan oluflur. Pratikte eflik de er, variogram hesaplamak için kullan lan tüm bölgesel de iflken de erlerinin varyans na eflittir ( C 0 +C= σ ). Külçe Varyans (C 0 ) Teorik olarak semi-variogram fonksiyonunun orijin civar ndaki de eri s f r 0 olmal d r. Ancak, baz de iflkenler için elde edilen semi-variogram fonksiyonunda orijinde de süreksizlikler görülebilir ve bu durum da, de iflkenin de ifliminde külçe (nugget) varyans n n etkisi gözlemlenir (fiekil 7.1). Semi-variogram n orjindeki süreksizli ini gösteren külçe varyans, örnekleme ve ölçüm hatalar ndan veya de- iflkenin yap s ndan kaynaklanmaktad r. Örne in, alt n madeni yataklar nda kayalar içerisinde çökelmifl serpinti halinde alt nlar olabilece i gibi, yer yer külçe halinde alt n oluflumlar na da rastlanabilmektedir. Eflik De er (C 0 +C) Deneysel semi-variogram de erlerindeki düzenli flekildeki art fl n sona ermesi ve belirli bir tepe noktas na (eflik de ere) ulaflmas ndan sonra, semi-variogram de erleri sabit kal r. Semi-variogram de erlerinin ulaflt en üst de ere, eflik de er (sill) denilir. Bu noktadan sonra iki örne in de erlerinin ortalama varyasyonu aralar ndaki uzakl a ba l olmamakta, z(x) ve z(x+h) aras nda hiçbir iliflki kalmamaktad r. γ * (h) n n sabit oldu u a uzakl ndan sonra, jeoistatistikle elde edilen sonuç klasik istatistikle elde edilen sonucun ayn s olmaktad r (fiekil 7.1). Külçe Etki Oran (ε) Deneysel semi-variogram de erlerinden külçe etkisinin (C 0 ), yap sal varyansa (C) oran na külçe etki oran (ε = C 0 /C) denilir. Jeoistatistiksel yöntemlerle yap lacak tahminlerde, külçe etki oran (ε) ile orant l olarak tahmin de erlerinde düzeltme yap l r. Külçe etki oran (külçe etki), de iflekenin rassal de ifliminin büyüklü ünü gösterir. Etki Mesafesi (a) Bölgesel de iflkenin iki örnek de eri aras nda, uzakl a ba l iliflkinin bulundu u en büyük mesafeye etki mesafesi denir. Deneysel semi-variogram de erlerindeki γ * (h) daki art fl, etki uzakl ad verilen belirli bir a uzakl n n ötesinde genellikle de iflmemekte ve sabit kalmaktad r. Etki mesafesinden daha uzak mesafedeki örnek de iflken de erleri birbirinden ba ms z kabul edilir. Etki mesafesine yap - sal uzakl k da denilmektedir. Yönsel Etki Mesafesi Oran (Anisotropi Oran ) Deneysel semi-variogram analizlerinde, bölgeselleflmifl de iflkenin de erlerinde uzakl a ba l yönsel geliflimler olup olmad da araflt r l r. Deneysel semi-variogram de erlerinin yönsel de iflim gösterdi i durumlarda, araflt r lan her bir yön için etki mesafesi hesaplan r. Yönsel semi-variogram de erleri aras ndan en büyük etki mesafesinin (a max ), en küçük etki mesafesine (a min ) oran na, yönsel etki meafesi oran veya anizotropi oran denilir. Yönsel etki mesafesi oran, jeoistatistiksel tahminlerde kullan lacak elipsoidal etki alan n belirlemede kullan l r.

155 7. Ünite - Jeoistatistiksel Kavramlar 149 γ (h) Deneysel variogram fiekil 7.1 Semi-Variogram Fonksiyonunun Parametreleri Eflik C 0 +C Variogram modeli Külçe C 0 Etki Uzakl (a) Semi-Variogram n Yönsel De iflimi (Anizotropi) Deneysel semi-variogram n inceledi i de iflken, eflyönlü (izotrop) bir yap gösteriyorsa, di er bir de iflle yönsel bir da l m göstermiyorsa ve do rultudan ba ms z ise bu tür semivariogramlara ortalama semi-variogram ad verilir. Ortalama semivariogram yönden ba ms z olarak, olanakl tüm veri çiftlerini deneysel semi-variogram de erleriyle hesaplan r. Bununla birlikte, semi-variogram fonksiyonunun ayn eflik (sill) de erine, farkl yönlerde farkl etki mesafelerinde ulaflmas halinde, de iflkenin uzakl a ba l de ifliminin anizotropik oldu u söylenebilir. Örne in, jeolojik katmansal yap larda yatay ve düfley yönde görülen etki uzakl n n de iflmesi, en belirgin anizotropidir. Düfley semivariogram yatay semivariograma k yasla daha k sa uzakl klarda eflik (sill) de erine ulafl r. Dere yataklar na dik veya paralel tortul (sedimanter) kayaçlarda ise yansal anizotropi göze çarpmaktad r. γ * (h) fonksiyonunun yönsel geliflimini belirleyebilmek için, de iflik yönler boyunca elde edilen örnek çiftleriyle ayr ayr semi-variogram hesaplanmal d r. Yön de ifltikçe hesaplanacak γ * (h) lardaki de iflikliklerin araflt r lmas, mümkün anizotropi durumlar n, yani de iflken de erindeki yönsel de iflkenli i ortaya ç karmaktad r. Semi-Variogram Fonksiyonunun Orijine Yak n Davran fl Semi-variogram fonksiyonunun orijin civar ndaki flekli, bölgeselleflmifl de iflkenlerin önemli özelliklerini aç klar. Semi-variogram fonksiyonunun bafllang ç noktas ile bölgeselleflme olay n n devaml l aras nda önemli bir ba lant vard r. Semi-variogram n bafllang ç noktas civar nda gösterdi i davran fl genel olarak üç tip olmaktad r. Parabolik davran fl (devaml tip): Semi-variogram, bafllang ç noktas civar nda paraboliktir (fiekil 7..a). De iflkenin tam anlam yla düzenli oldu unu ve devaml l n gösterir. Do rusal davran fl (do rusal tip): Semi-variogram, bafllang ç noktas civar nda do rusal bir flekilde sürekli art yor ya da azal yorsa, bu durum bölgeselleflmifl de iflkenin belirli bir mesafe içinde devaml l n ifade eder (fiekil 7..b). Orijinde süreksizlik (külçe tip): Bafllang ç noktas civar nda devaml l n görülmedi i bu duruma külçe (nugget) etkisi denilir (fiekil 7..c). Bölgeselleflmifl de iflkenin devaml l n n çok zay f oldu unu ifade eden bu tip davran fl, genellikle nadir metal (alt n, gümüfl, platin vd.) maden yataklar nda gözlemlenir.

156 150 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik fiekil 7. Semi-Variogram Davran fllar (Tercan ve Saraç, 1998) ÖRNEK Afla daki fiekil 7.3 de, bir mangan cevheri yata nda 100m aral klarla yap lan sondajlardan elde edilen ortalama tenör (%Mn) de erleri görülmektedir. Bu sondaj verilerini ele alarak, do u-bat yönünde ve kuzey-güney yönünde deneysel semi-variogram de erlerini hesaplay p, grafiksel olarak gösteriniz. Mangan maden yata n n tenör (%Mn) de iflminde yönsel de iflim farkl l olup olmad n yorumlay n z. fiekil 7.3 Deneysel semivariogram n hesaplanmas için kullan lan mangan cevheri yata sondaj sonuçlar Çözüm: Öncelikle do u-bat yönü ele al narak, birbirine 100 m uzakl kl örnek çiftleri aras deneysel semi-variogram afla da hesaplanm flt r. fiekil 7.4 de örnek çiftleri aras iliflkiler görülmektedir. c * 1 (h) = z(x) z(x + h) n

157 7. Ünite - Jeoistatistiksel Kavramlar 151 c 1 (100) = ( 35 37) + ( 37 35) + ( 35 34) +...+( 4 5) + ( 5 7). 36 c 1 (100) = γ * (100) = 1,39 (%) Do u-bat yönünde 00 m aral kl örnek çiftleri aras iliflkiler fiekil 7.5 de görüldü ü gibi olup, bu durum için, c 1 (00) = ( 39 35) + ( 35 35) + ( 35 3) ( 5 4) + ( 4 7). 33 c (00) 1 = = 85, (%). semi-variogram de eri hesaplanm flt r. fiekil 7.4 Do u-bat yönünde 100 m aral kl örnek çiftleri aras iliflki fiekil 7.5 Do u-bat yönünde 00 m aral kl örnek çiftleri aras iliflki

158 15 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Do u-bat yönünde 100 m, 00 m, 300 m ve 400 m aral klarla, kuzey-güney yönünde 100 m, 00 m ve 300 m aral klarla örnek çiftleri aras nda hesaplanm fl deneysel semi-variogram de erleri Çizelge 7.1 de verildi i gibidir. Bu semi-variogram de erleri, örnekler aras mesafenin fonksiyonu olarak fiekil 7.6 daki gibi de gösterilebilir. Çizelge 7.1 Mangan cevheri sondaj örnekleri için iki ana yönde hesaplanm fl deneysel semivariogram de erleri Yön Do u-bat Örnekler Aras Mesafeler (ft) Deneysel Semi Örnek Çiftleri Variogram (%) Say s 1,39,85 3,39 5, Kuzey-Güney ,86 8,94 15, fiekil 7.6 Mangan cevheri sondaj örnekleri için iki ana yönde hesaplanm fl deneysel semivariogram de erleri grafi i Do u-bat Kuzey-Güney Örnek Çiftleri Aras Mesafe (m) fiekil 7.6 dan da görüldü ü gibi her iki yöndeki yap da önemli farklar vard r. Kuzey-güney semi-variogram do u-bat dan daha dik olarak yükselmektedir. Bu durumda do u-bat yönünde daha büyük bir devaml l n oldu unu söylemek mümkündür. Bir kent merkezinde bulunan 680 m uzunluklu ana bulvarda, eksoz gaz yay l m n n konumsal de iflmini belirlemek amac yla 0 m aral klarla karbon monoksit ölçümleri yap l- 1 m fl olup, bulvar bafl ndan bafllayarak bulvar sonuna kadar yap lan ölçümlerin sonuçlar DÜfiÜNEL M DÜfiÜNEL M afla da verildi i gibidir. Bulvar boyunca yap lan karbonmonoksit ölçümleri için 0 m ve 40 m için semi-variogram de erlerini hesaplay n z. SORU SORU Ölçüm CO Ölçüm CO Ölçüm CO Ölçüm CO Ölçüm CO Yeri (m) (ppm) Yeri (m) (ppm) Yeri (m) (ppm) Yeri (m) (ppm) Yeri (m) (ppm) D KKAT D KKAT AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ K T A P K T A P TELEV ZYON TELEV ZYON

159 7. Ünite - Jeoistatistiksel Kavramlar 153 KURAMSAL SEM -VAR OGRAM MODELLER Bölgeselleflmifl de iflkenin özelliklerinin belirlenmesi ve daha sonra örneklenmemifl noktalar n kestiriminde kullanmak üzere, araziden al nan örneklerle hesaplanan deneysel semi-variogram de erlerinin modellenmesi (uygun e ri tipinin bulunmas ) gerekir. Deneysel semi-variogram de erlerine model uyarlama konusunda birçok çal flma yap lm fl olup, bu modellerin fonksiyonlar afla da tan t lmaktad r. Küresel (Spherical) Model Matheron un önerdi i bu küresel modelde, semivariogram fonksiyonu orijine yak nlaflt kça do rusal özellik göstermektedir (fiekil 7.7). Modelde, orijinden çizilen te et etki uzakl n n (a) /3 ünde eflik de er (sill - C) ile kesiflmektedir. Küresel model afla daki gibi tan mlanmaktad r. 3 3h h c(h) = C h a oldu u zaman a 3 a Külçe etkisi görülmeyen küresel modellerde, semivariogram fonksiyonunun yap sal varyans (C) ayn zamanda modelin eflik de eri olarak da tan mlan r. γ(h) = C h a oldu u zaman Burada γ(h) = kuramsal semi-variogram fonksiyonunu, h = örnek çiftleri aras uzakl, C = semi-variogram fonksiyonunun ulaflt en büyük yüksekli i (yap sal varyans ), a = örneklerin birbirinden ba ms z oldu u uzakl (etki mesafesini) göstermektedir. fiekil 7.7 Küresel Semi- Variogram Model Baz semi-variogram fonksiyonlar külçe (nugget) etki nedeniyle orijinden bafllamayabilir. Bu durumda külçe etkili küresel model için, γ(o) = C 0 3 3h h c(h) = C + 0 C h a oldu u zaman a 3 a γ(h) = C 0 + C h a oldu u zaman

160 154 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik fiekil 7.8 fleklinde bir fonksiyon kullan labilir (fiekil 7.8). Külçe Etkili Bir Küresel Model ÖRNEK Küresel semi-variogram parametreleri a=100 m, C 0 =,5 (%Zn) ve C=10,5 (%Zn) olan bir maden yata nda, konumsal olarak aralar nda 50 m mesafe bulunan iki nokta aras ndaki ortalama semi-variogram hesaplay n z. Çözüm: Örnek verileri inceledi imizde, külçe varyans n n (C 0 ) varl nedeniyle, küresel modelin külçe etkili bir model oldu unu belirlemekteyiz. ki nokta aras ndaki mesafe h=50 m oldu una göre, ortalama semi-variogram afla daki gibi hesaplar z. 3 3h h c(h) = C + 0 C a 3 a 3 3*50 (50) c(50) = 5, + 105, * *100 3 *(100) γ(50) = 9,7 (%Zn) DÜfiÜNEL M SORU D KKAT Bir kömür madeni iflletmesinde sodaj yap larak elde edilen kal nl k verileri ile variogram analizi yap lm fl ve kal nl k de ifliminin afla daki küresel semi-variogram modeli parametreleri ile ifade edilebilece i belirlenmifltir. Aralar nda 150 m mesafe bulunan iki nokta aras ndaki ortalama semi-variogram hesaplay n z. DÜfiÜNEL M Küresel model parametreleri : a=400 m ve C=90 (m) SORU Üstel (Eksponansiyel) Model Eksponansiyel modelin fonksiyonel flekli de orijinden bafllar, yavafl yavafl yükselir D KKAT ve eflik de ere (sill e) tamamen ulaflamaz. Uygulamada eflik de erinin (sill -C) %95 ine ulafl ld nda etki uzakl (range -a) de eri bulunur. Eksponansiyel modelin fonksiyonu SIRA afla daki S ZDE gibidir. γ(h) = C [1 - exp(-h/a)] AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ K T A P K T A P

161 7. Ünite - Jeoistatistiksel Kavramlar 155 Küresel ve eksponansiyel modeller fiekil 7.9 da karfl laflt r lmaktad r. fiekil 7.9 Küresel ve eksponansiyel semivariogram fonksiyonlar n n karfl laflt r lmas Bir bölgede topraktan al nan örneklerin arsenik (As) içeri i (ppm) için yap lan variogram analizleri sonucunda, afla da parametreleri verilen üstel (eksponansiyel) semi-variogram modeli elde edilmifltir. Ölçüm yap lamayan ve aralar nda 100 m mesafe bulunan iki nokta aras nda ortalama semi-variogram ne olur? Üstel (eksponansiyel) model parametreleri : a= 50 m ve C=600 (ppm) As ÖRNEK Çözüm: ki nokta aras mesafe h=100 m oldu una göre, üstel model ile iki nokta aras ortalama semi-variogram afla daki gibi hesaplar z. γ(h) = C [1 - exp(-h/a)] c(100) = 1- e * 50 γ(100) = 197,8 (ppm) As Do rusal Model Semi-variogram fonksiyonunun orijinden bafllayarak do rusal olarak sürekli art fl gösterdi i ve herhangi bir eflik de erine ulaflamad durumlarda, afla daki gibi do rusal modeller kullan labilir (fiekil 7.10). γ(h) = p.h λ Burada, p = do runun e imini, λ = do runun üssel art fl katsay s n göstermektedir. Semi-variogram fonksiyonunun tam do rusal olmas halinde λ = 0 d r. Genellikle λ, 0 ile aras nda de erler al r ( ye eflit olmamal d r).

162 156 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik fiekil 7.10 Do rusal model ÖRNEK Bir demir madeni yata ndan al nan örneklerin %Fe tenör içeri i için yap lan variogram analizleri sonucunda, verilerin γ(h) = 0,06.h (%) Fe fleklinde do rusal semi-variogram modeline uygun davran fl gösterdikleri belirlenmifltir. Bu durumda, aralar nda 50 m mesafe bulunan iki nokta aras nda ortalama semi-variogram de eri ne olur? Çözüm : ki nokta aras ndaki mesafe h=50 m oldu una göre, ortalama do rusal semivariogram de erini afla daki gibi hesaplar z. γ(h) = 0,06.h γ(50) = 0,06 * 50 = 15 (%) Fe Erozyonla mücadele alan ilan edilen bir bölgede, erozyon duyarl l k faktörü (K faktörü) 3 ölçümü amaçl örneklemeler yap lm flt r. K faktörü için yap lan variogram analizleri sonucunda, verilerin γ(h) =.10-5.h fleklinde do rusal semi-variogram modeline uygun davran fl DÜfiÜNEL M gösterdikleri belirlenmifltir. Bu durumda, aralar nda 00 m mesafe bulunan iki nokta DÜfiÜNEL M aras nda ortalama semi-variogram de eri ne olur? SORU SORU ÖRNEK D KKAT Ortalama tenörü %38 Fe ve standart sapmas %10 Fe olan bir demir madeni yata- nda aç lan sondajlardan elde edilen örnek çiftleriyle hesaplanan deneysel semivariogram de erleri afla da verildi i gibidir. Deneysel semi-variogram de erlerini D KKAT dikkate alarak kuramsal küresel semi-variogram modeli parametrelerini bulunuz. Örnek Çiftleri Deneysel Semi-Var. Aras Mesafe (m) (%) Fe AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ K T A P K T A P TELEV ZYON TELEV ZYON NTERNET NTERNET

163 7. Ünite - Jeoistatistiksel Kavramlar 157 Çözüm : Öncelikle mesafeye ba l olarak deneysel semi-variogram de erlerini kartezyen koordinat nda haz rlanm fl grafi e afla daki fiekil 7.11 deki gibi aktar r z. Küresel modelde külçe etkisi (C 0 ) ve eflik de eri (C) toplam varyansa (σ ) eflit (C 0 + C = σ = 100) oldu undan, grafik üzerinde varyans gösteren bir çizgi çizeriz. Deneysel semi-variogram de erlerinin ilk iki veya üçünden geçen bir do ru çizerek, varyans çizgisini kestiririz. Bu kesiflim noktas ndan uzakl k eksenine inilen bir dikme ise a etki mesafesinin üçte ikisine eflit olacakt r. fiekil 7.11 de görüldü ü gibi, varyans (σ ) çizgisini kesen noktadan inilen dikme h=00 m de uzakl k eksenini kesmektedir. Bu durumda; 3 a = 00 m oldu undan, a=300 m olacakt r. fiekil 7.11 Demir madeni yata verileri ile elde edilen deneysel semi-variogram modeli lk iki veya üç noktadan çizilen do ru, semi-variogram γ * (h) eksenini 0 de erinde kesmektedir. Bu durumda, küresel model külçe etkisi (C 0 ) içermektedir ve külçe etkisinin de eri C 0 =0 (%) Fe dir. Külçe etkisi (C 0 ) ve eflik de eri (C) toplam C 0 + C = σ = 100 oldu undan, bu durumda eflik de eri; C = σ - C 0 = = 80 (%) Fe olarak bulunur. Elde edilen parametrelere göre küresel modeli afla daki gibi yazabiliriz. c( h) C C h 3 h = + 0 h a a 3 3 a γ (h) = C 0 + C h a

164 158 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik 3 h h c( h) = γ (h) = h 300 m h 300 m DÜfiÜNEL M 4 Organik madde SIRA (OM) S ZDE içeri i ortalamas %5 ve standart sapmas % olan bir ormanl k alanda, topraktan al nan örnek çiftleriyle hesaplanan deneysel semi-variogram de erleri afla da verildi i gibidir. Deneysel semi-variogram de erlerini dikkate alarak kuramsal DÜfiÜNEL M küresel semi-variogram modeli parametrelerini bulunuz. SORU D KKAT SORU Örnek Çiftleri Aras Mesafe (m) D KKAT AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ K T A P K T A P Deneysel Semi- Var. (%) OM 50 1,9 100, ,6 00 3,8 50 4, 300 3,9 ÖRNEK TELEV ZYON NTERNET Bir gümüfl madeni iflletmesinde 10 m aral klarla basamaklarda aç lan patlatma deliklerinden TELEV ZYON al nan k r nt örneklerinin analizi ile elde edilen verilerle hesaplanan deneysel semi-variogram verileri afla da verildi i gibidir. Örnekleme yap lan basamak patlatma delikleri ortalama tenörü 0 gr/ton ve varyans (gr/ton) oldu una göre, NTERNET a) Ortalama semi-variogram model (küresel) parametrelerini bulunuz. b) Yönsel semi-variogram model parametrelerini bularak, anizotropinin güçlü oldu u yönü ve anizotropi oran n belirleyiniz. Örnekler Aras Mesafeh - (m) Deneysel Semi-Variogram De erleri γ * (h) (gr/ton) Ortalama Kuzey-Güney Do u-bat

165 7. Ünite - Jeoistatistiksel Kavramlar 159 Çözüm : a) Küresel model parametreleri; a = 45 m C = (gr/ton) b) Anizotropi Yönü : Kuzey-güney Anizotropi Oran : (a max /a min =,5)

166 160 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Özet A MAÇ 1 A MAÇ Bölgesel de iflkenlerin özelliklerini aç klamak. Belirli bir bölgeye özgü de erler alan ve konumlar koordinatlarla tan mlanan örneklenmifl de iflkenlere, bölgeselleflmifl de iflkenler denilir. Bölgeselleflmifl de iflkenlerin belirli bir geometrik alan (veya üç boyutlu olarak hacim) s n rlar içinde birbirine ba ml de iflimler göstermesi yersellik (lokalizasyon) kavram ile aç klanmaktad r. Bölgeselleflmifl de iflken örnekleri aras nda belirli bir mesafe içerisinde devaml l k ve devaml l kta yönsel farkl l klar (anizotropi) görülebilmektedir. Semi-variogram fonksiyonunun özelliklerini aç klamak. Bölgeselleflmifl de iflken için yap lan örneklemeler sonucunda, aralar nda uzakl klara ba l olarak oluflan örnek çiftleri aras farklar n kareleri toplam n n örnek çifti say s na oran na variogram, variogram n yar s na da semi-variogram denilmektedir. Örneklenen de iflken de erleri ile elde edilen semi-variogram de erlerine, deneysel semi-variogram de erleri denilmektedir. Deneysel semi-variogram de erlerinin orjindeki süreksizli ini külçe varyans (nugget), ulaflt en üst de ere eflik de- er (sill) ve ulaflt en büyük mesafeye etki mesafesi denilmektedir. Yönsel olarak de iflen semivariogram de erleri analiz edilerek, en büyük etki mesafesinin (a max ) ve en küçük etki mesafesinin (a min ) gözlendi i yönlerin bulunmas ve yönsel etki mesafesi oran n n hesaplanmas, jeoistatistiksel tahminlerde kullan lacak elipsoidal etki alan n belirlemede önemli olmaktad r. Bölgeselleflmifl de iflkenin devaml l na ba l olarak semi-variogram fonksiyonu, bafllang ç noktas civar nda devaml, do rusal veya külçe etkili davran fl gösterebilmektedir. A MAÇ 3 Kuramsal semi-variogram model (küresel, üstel ve do rusal) parametrelerini hesaplamak ve temel uygulamalarda kullanmak. Örneklenen de iflken de erleri ile hesaplanan deneysel semi-variogram de erleri, bafllang ç noktas civar nda do rusal ve etki mesafesinden sonra varyansa yak n bir görünüfle sahipse küresel modeli uyarlayabiliriz. Küresel model külçe etkili veya etkisiz olabilir. Deneysel semi-variogram de erlerine üstel (ekponansiyel) veya do rusal model de uyarlayabiliriz. Kuramsal semivariogram parametrelerini kullanarak, ölçüm yap lmam fl noktalar aras ndaki ortalama semi-variogram de erlerini hesaplayabilmek mümkün olmaktad r.

167 7. Ünite - Jeoistatistiksel Kavramlar 161 Kendimizi S nayal m 1. Do adan elde edilen birbirine yak n mesafedeki veriler benzer özellikler gösterirken, aralar ndaki uzakl k artt kça bu benzerli in azalmas hangi kavramla aç klan r? a. Devaml l k b. Yönsellik c. Rassall k d. Yersellik e. Geçifller. Belirli bir bölgeye özgü de erler alan ve konumlar koordinatlarla tan mlanan örneklenmifl de iflkenlere ne ad verilir? a. Ba ml de iflken b. Ba ms z de iflken c. Rassal de iflken d. Zaman de iflkeni e. Bölgeselleflmifl de iflken 3. Semi-variogram fonksiyonunun orijininde süreksizliklerin görülmesi durumunda, de iflkenin de ifliminde ne tür bir etki görülür? a. Eflik de er b. Külçe varyans c. Yap sal varyans d. Yönsel de iflim e. Etki mesafesi 4. Arazide bir hat boyunca 10 m aral klarla 8 adet örnek al nm flt r. Örneklerin de iflken de erleri afla daki gibi oldu una göre, h=10 m için semi-variogram n de eri nedir? Örnek Yeri (m) De iflken De eri a. 3 b. 5 c. 7 d. 8 e Arazide bir hat boyunca 10 m aral klarla 10 adet örnek al nm flt r. Örneklerin de iflken de erleri afla daki gibi oldu una göre, h=0 m için kaç adet örnek çifti oluflur? Örnek Yeri (m) De iflken De eri a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e Küresel semi-variogram parametreleri a=30 m ve C=10 olan bir de iflken için, konumsal olarak aralar nda 10 m mesafe bulunan iki nokta aras ndaki ortalama semi-variogram de eri ne olur? a. 0,48 b. 4,8 c. 0,5 d. 5,0 e. 8,0 7. Küresel semi-variogram parametreleri a=50 m, C 0 =10 ve C=40 olan bir de iflken için, konumsal olarak aralar nda 300 m mesafe bulunan iki nokta aras ndaki ortalama semi-variogram de eri ne olur? a. 10 b. 0 c. 30 d. 40 e Bir variogram analizi sonucunda, verilerin γ(h) = h fleklinde do rusal semi-variogram modeline uygun davran fl gösterdikleri belirlenmifltir. Bu durumda, aralar nda 100 m mesafe bulunan iki nokta aras nda ortalama semi-variogram de eri ne olur? a. 0,005 b. 0,05 c. 0,5 d. 5,0 e. 50,0

168 16 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Kendimizi S nayal m Yan t Anahtar 9. Bir semi-variogram modeli parametrelerini belirleme çal flmas nda, deneysel semi-variogram de erlerinin ilk ikisinden geçen do ru ile varyans çizgisini kesmifl ve bu kesiflimden inilen bir dikme h=50 m de uzakl k eksenini kesmifltir. Bu durumda modelin etki mesafesi kaç m olur? a. 5 b. 50 c. 75 d. 100 e Bir yönsel variogram analizi çal flmas nda, etki mesafesi do u-bat yönünde 00 m ve kuzey-güney yönünde 50 m bulunmufltur. Anizotropi oran nedir? a. 4,0 b. 3,0 c.,0 d. 1,0 e. 0,5 1. d Yan t n z yanl fl ise, Bölgeselleflmifl De iflkenler konusuna bak n z.. e Yan t n z yanl fl ise, Bölgeselleflmifl De iflkenler konusuna bak n z. 3. b Yan t n z yanl fl ise, Deneysel Semi-Variogram Parametreleri konusuna bak n z. 4. a Yan t n z yanl fl ise, Variogram ve Semi- Variogram konusuna bak n z. 5. c Yan t n z yanl fl ise, Variogram ve Semi- Variogram konusuna bak n z. 6. b Yan t n z yanl fl ise, Küresel Model konusuna bak n z. 7. e Yan t n z yanl fl ise, Küresel Model konusuna bak n z. 8. c Yan t n z yanl fl ise, Do rusal Model konusuna bak n z. 9. c Yan t n z yanl fl ise, Kuramsal Semi-Variogram Modelleri konusuna bak n z. 10.a Yan t n z yanl fl ise, Deneysel Semi-Variogram Parametreleri konusuna bak n z.

169 7. Ünite - Jeoistatistiksel Kavramlar 163 S ra Sizde Yan t Anahtar S ra Sizde 1 c * 1 (h) = z(x) z(x + h) n c 1 (0) = ( 0 ) + ( 8) + ( 8 6) ( 9 4) + ( 4 8). 34 c (0) 1 = = 7, 38. c 1 (40) = ( 0 8) + ( 6) + ( 8 33) ( 7 4) + ( 9 8). 33 c (0) 1 = = 9, 97. S ra Sizde Veriler : a=400 m, C=90 (m) ve h=150 Küresel model külçe etkisizdir. 3 3h h c(h) = C a 3 a 3 3*150 (150) c(150) = 90 * * *(400) S ra Sizde 4 σ = % σ = 4 (%) Örnek Çiftleri Aras Mesafe (m) Deneysel SemiVar. (%) OM 50 1,9 100, ,6 00 3,8 50 4, 300 3,9 γ (150) = 48,5 (m) S ra Sizde 3 h=00 m oldu una göre, ortalama do rusal semi-variogram de erini afla daki gibi hesaplar z. γ (h) =.10-5.h γ (00) =.10-5 * 00 = 0,004 a = 166 a= 49 m 3 C 0 =1,0 (%) ve C=3,0 (%) olarak elde ederiz.

170 164 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Yararlan lan Kaynaklar Clark, I. (1979). Practical Geostatistics. London: Applied Science. Journel, A.G. & Huijbregts, CH.J. (1978). Mining Geostatistics. San Diego: Academic. Konuk, A. & Önder, S. (1999). Maden statisti i. Mühendislik Mimarl k Fakültesi Maden Mühendisli i Bölümü. Eskiflehir: Eskiflehir Osmangazi Üniversitesi. Olea, R. A. (1999). Geostatistics for Engineers and Earth Scientists. Boston: Kluwer Academic. Pekin, A. (1999). Aç k flletme Basamak Tenörlerinin Kriging Tahminlerinde statistiksel Da l m Modellerinin Etkileri. (Yay mlanmam fl doktora tezi). Eskiflehir Osmangazi Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü, Eskiflehir. Tercan, A.E. & Saraç, C. (1998). Maden Yataklar n n De erlendirilmesinde Jeoistatistiksel Yöntemler. Ankara: Jeoloji Mühendisleri Odas. Tüysüz, N. & Yaylal, G. (005). Jeoistatististik - Kavramlar ve Bilgisayarl Uygulamalar. Trabzon: Karadeniz Teknik Üniversitesi Uyguçgil, H. (007). Çok De iflkenli Maden Yataklar nda Rezerv Tenör Tahmininde Jeoistatistik ve Co rafi Bilgi Sistemleri Tekniklerinin Kullan m. (Yay mlanmam fl doktora tezi). Eskiflehir Osmangazi Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü, Eskiflehir.

171

172 8CO RAF B LG S STEMLER Ç N TEMEL STAT ST K Amaçlar m z Bu üniteyi tamamlad ktan sonra; Konumsal tahminde kullan lan klasik istatistik ve jeoistatistik yöntemler aras ndaki fark belirleyebilecek, Konumsal tahminde en yak n komflu, yüzey trend analizi ve uzakl n tersiyle a rl kland rma yöntemlerini kullanabilecek, Konumsal tahmininde Kriging yöntemini aç klayabilecek ve farkl semi-variogram modelleri ile noktasal tahmin uygulamalar yapabilecek bilgi ve becerilere sahip olacaks n z. Anahtar Kavramlar Uzakl n Tersi En yak n komflu Yüzey trend analizi Konumsal Tahmin Öklid Uzakl A rl k Katsay lar Kriging Eflitli i Nokta Kriging Arama kapsama alan Hariç tutma aç s Kriging tahmin varyans nterpolasyon çindekiler Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Konumsal Tahmin ( nterpolasyon) ve Kriging UZAKLI A BA LI TAHM N YÖNTEMLER KLAS K KONUMSAL TAHM N YÖNTEMLER KR G NG TAHM N YÖNTEM

173 Konumsal Tahmin ( nterpolasyon) ve Kriging UZAKLI A BA LI TAHM N YÖNTEMLER Konumsal örneklemeler sonras nda, örnek noktalar de erleri yard m yla örnek al nmam fl noktalar, alanlar veya hacimsel bloklar için tahminler yapmaya çal fl r z. Bu tahminlerde, klasik istatistik yöntemleri kullanan uzakl n tersiyle a rl kland rma, en yak n komfluluk ve yüzey trend analizi gibi interpolasyon (tahmin) yöntemleri kullan labilmektedir. Bu yöntemlerden uzakl n tersiyle a rl kland rmada örnek nokta de erlerinin a rl klar uzakl a ba l olarak de iflmekte, en yak n komfluluk yönteminde sadece en yak n örnek noktas dikkate al nmakta ve yüzey trend analizi yönteminde ise tüm örnek noktalar n n a rl klar ortalama bir polinom ile ifade edilmektedir. Klasik konumsal tahmin yöntemler, al nan örneklerin birbirlerini ne flekilde takip ettiklerini, örneklerin etki alanlar n n ne oldu unu ve bu etki alan n n yönsel de ifliminin nas l oldu unu dikkate almayan yöntemlerdir. Klasik yöntemler kullanarak yap lacak konumsal tahminlerde, hata büyüklü ü artmakta ve tahminlerin güvenilirli i azalmaktad r. Bu nedenlerle de, co rafi anlamda bölgesel farkl l klar gösteren, birbirleriyle belirli bir mesafe içerisinde ba ml olan ve miktarsal ölçülerle al nan örnekler yard m yla tahminde, klasik yöntemler yerine jeoistatistiksel kriging yöntemlerini uygulamam z gerekmektedir. smini Güney Afrikal araflt rmac D.G. Krige den alan jeoistatistiksel Kriging yönteminde, örneklerin düzensiz ve süreklili in yönsel olarak de iflti i durumlarda, bir noktan n veya blo un ortalama de erini en küçük hata ile yans z olarak tahmin etmede variogram fonksiyonu kullan lmaktad r. Kriging yöntemi, tahmin hatalar n n varyans n en küçükleyen ve yans z tahminler yapmam z sa layan bir yöntemdir. Kriging yönteminde, nokta veya blok çevresindeki örnek de erlerinin blok de erine etkisini aç klayan a rl k katsay lar, semi-variogram fonksiyonu yard m yla bulunmaya çal fl lmaktad r. Bu a rl k katsay lar, tahmin varyans n en küçükleyecek bir kombinasyonu içerir. Bu ünitede, klasik konumsal tahmin yöntemleri karfl s nda kriging yönteminin önemi aç klanacakt r. Kriging yöntemi oldukça kapsaml ve farkl de iflken yap lar için gelifltirilmifl birçok yöntemi kapsamaktad r. Ancak bu ünitede, konunun önemini belirtme ve temel kavramlar ö renme amac yla, sadece nokta tahmininde kullan lan kriging yöntemi basit örneklerle ele al nm flt r. Jeoistatisti in öncüsü olan Güney Afrikal maden mühendisi Daniel G. Krige, 1951 y l nda bölgeselleflmifl de iflkenler teorisi ve variogram fonksiyonunu temel alan uygulamalar alt n maden yataklar nda kullanm flt r y l nda da Frans z mühendis Georges Matheron, D.G Krige nin çal flmas na sayg gere i, maden yataklar n n rezerv tahimin için gelifltirdi i yönteme Kriging yöntemi ad n vermifltir.

174 168 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik KLAS K KONUMSAL TAHM N YÖNTEMLER statistik yöntemler temelinde gelifltirilen interpolasyon (ara de er bulma) yöntemlerinin ortak noktas, her yöntemin örnek noktalar n n konumsal bilgisini kullan - yor olmas d r. Konumsal interpolasyon yöntemleriyle de iflken de eri bilinmeyen noktalar için tahmin yapabilmede, tamini yap lacak nokta çevresindeki örnek nokta de erlerinin a rl kland r lm fl do rusal bileflenine gereksinim duyulmaktad r. Örne in, de iflken de eri bilinmeyen x 0 noktas çevresinde bulunan n adet x i noktas ndan örneklenen Z (x i ) de iflken de erleri ile Z* (x 0 ) de iflken de erini afla - daki eflitlik yard m yla tahmin edebiliriz. Z * ( x ) = WZx. ( ) 0 n i= 1 i i Burada, Z*(x 0 ) : x 0 noktas için tahmin edilen de iflken de erini, Z(x i ) : x i noktas ndaki örnek noktas de iflken de erini, W i : i inci örnek de iflken de erlerinin a rl n, n:örneklenen nokta say s n ifade etmektedir. Milat dan önce y llar nda yaflam fl olan skenderiyeli (M s rl ) bir matematikçi olan Öklid in geometri alan nda gelifltirdi i aksiyom ve yöntemler 19. yüzy l n bafllar na kadar rakipsiz kalm flt r. Elementler isimli 13 ciltlik kitab nda bafll ca, düzlem geometrisi, aritmetik, say lar teorisi, irrasyonel say lar ve kat cisim geometrisi konular n ele alm flt r. Konumsal olarak örneklenen de iflken de erlerinin a rl k de erleri (W i ), tahmin için kullan lan klasik istatististik temelli yönteme göre farkl l k göstermektedir. Afla daki bölümlerde örneklenen de iflken de erlerini a rl kland rmada kullan - lan uzakl n tersiyle a rl kland rma, en yak n komfluluk ve yüzey trend analizi interpolasyon yöntemleri tan t lacakt r. En Yak n Komflu Yöntemi Genellikle s n fland rma ve kümeleme çal flmalar nda kullan lan en yak n komflu yönteminde, örnekleme yap lmam fl herhangi bir noktan n de iflken de erini tahmin etmede, örnek noktalar aras nda en yak n olan noktan n de iflken de eri belirlenerek, tahmin edilecek noktaya atamas yap lmaktad r. En yak n komflu yöntemiyle tahminde öncelikle, örnek noktalar ile tahmin yap lacak nokta aras ndaki uzakl klar n hesaplanmas gerekir. Konumsal noktalar aras uzakl klar n hesaplanmas nda ise genellikle Öklid yöntemi kullan lmaktad r. Herhangi iki noktan n konumu iki boyutlu düzlemde veya üç boyutlu uzayda ifade edilmesine göre, noktalar aras Öklid uzakl klar afla daki gibi hesaplan r. ki boyutta uzakl k: ki boyutlu bir düzlemde (x 1, y 1 ) koordinatlar nda yer alan P 1 noktas ile (x, y ) koordinatlar nda yer alan P noktas aras ndaki Öklid uzakl n flu flekilde hesaplar z. d( P1, P ) = ( x1 x ) + ( y1 y ) Üç boyutta uzakl k: Üç boyutlu uzayda (x 1, y 1, z 1 ) koordinatlar nda yer alan P 1 noktas ile (x, y, z ) koordinatlar nda yer alan P noktas aras ndaki Öklid uzakl n flu flekilde hesaplar z.

175 8. Ünite - Konumsal Tahmin ( nterpolasyon) ve Kriging 169 d( P1, P ) = ( x1 x ) + ( y1 y ) + ( z1 z ) Örnekleme yap lmam fl noktan n de iflken de erini en yak n komfluluk yöntemiyle tahmin etmede, öncelikle örnek noktalar aras ndan en küçük d(i, j) uzakl - ndaki örnek noktas veya k say da örnek noktalar belirlenmektedir. Bir komflu nokta ile tahmin yap ld durumda, en yak n komflu örnek noktas de iflken de- erleri, örnekleme yap lmam fl noktaya atanmakta ve de iflken de eri tahmin edilmektedir. Örnekleme yap lmam fl S A noktas na en yak n k adet komflu S i noktas de iflken de erlerinin Z(S i ) oldu u durumda, uzakl kla a rl kland r lm fl ortalama de iflken de eri Z*(S A ) afla daki gibi hesaplan r. Birden fazla (k adet) en yak n komflu nokta ile tahmin yap ld durumda ise, en yak n komflu noktalar n uzakl kla a rl kland r lm fl ortalama de iflken de eri, örnekleme yap lmam fl noktaya atanmaktad r. k d( Si, SA ). Z( Si ) * Z ( S i A ) = = 1 k d( Si, SA) i= 1 En yak n komflu yöntemi, sadece en yak n komflu örnek noktas veya noktalar n n de iflken de eri ile tahmin yapmakta ve daha uzak noktalardaki di er noktalar dikkate almamaktad r. Tahminlerde kullan lacak komflu noktalar n say s n n (k) kaç adet olaca belirsizdir. Ayr ca, örnek noktalar aras ndaki ba ml l, devaml l ve yönsel süreklili i dikkate almayan bir yöntemdir. En yak n komflu yöntemi genellikle blok modellemede örnek noktas olmayan bloklara de iflken de eri atamada kullan lmaktad r. Bir kent merkezinde 5 ayr istasyonda Ocak ay nda ölçülen kükürt dioksit (mg /m3) miktarlar afla daki çizelgedeki gibidir. En yak n komflu yöntemine göre kent merkezinde (X=4150, Y=350) koordinatlar nda bulunan hastane (SH) civar nda kükürt dioksit miktar ne olabilir? ÖRNEK stasyon No Konumsal Koordinatlar (m) Z(S i ) S i (X) (Y) SO (µg / m 3 )

176 170 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Çözüm: Hava kirlili inin ölçüldü ü (S 1 ) istasyonu ile hastane (S H ) aras öklid uzakl n afla daki gibi hesaplar z. d ( S, SH ) ( x xh ) ( y yh ) 1 = = ( ) + ( ) = 75, Di er istasyonlar ile hastane aras uzakl klar afla daki çizelgedeki gibi hesaplan r. stasyon No Konumsal Koordinatlar (m) H Noktas na S i Uzakl k (m) (X) (Y) d(s i, S H ) , , , , ,0 Çizelgeden de görüldü ü gibi, S H hastane noktas na en yak n komflu nokta S noktas d r. Bu durumda S H noktas n n kükürt dioksit oran n n 15 µg /m 3 olarak tahmin ederiz. En yak n iki komflu nokta (k=) ile tahmin yapmak istersek, noktalar aras uzakl klarla a rl kland r lm fl tahmini de iflken de erini afla daki gibi hesaplar z. k d( Si, SH ). Z( Si ) * Z S i (,* ( H ) = = ) + (, 4* 15 ) 3 = = 4, 5µg / m k ( 39, 1+, 4 ) d( Si, SH ) i= 1

177 8. Ünite - Konumsal Tahmin ( nterpolasyon) ve Kriging 171 Bir tar msal araflt rma merkezi taraf ndan bir bölgede ekmeklik bu day bitki boylar n araflt rmak üzere yap lan çal flmada, 5 ayr tarladan al nan örneklerin ortalama bitki boylar n n afla daki çizelgedeki gibi oldu u belirlenmifltir. Tarlalar n yaklafl k orta noktas - DÜfiÜNEL M na karfl l k gelen noktalar n koordinatlar da çizelgede verilmifltir. Ölçüm yap lamayan A tarlas n n konumu X=6400 ve Y=4600 oldu una göre, A tarlas n n ortalama bitki boyunun ne olabilece ini en yak n komflu noktay dikkate alarak tahmin ediniz. SORU 1 DÜfiÜNEL M S ORU Tarla No Konumsal Koordinatlar (m) Z(S i ) S D KKAT i Bitki Boyu D KKAT (X) (Y) (mm) AMAÇLARIMIZ 107 AMAÇLARIMIZ K T A P K T A P Yüzey Trend Analizi Yüzey trend analizi yönteminde öncelikle, örnek noktalar n n TELEV ZYON de iflken de erleri ile iki boyutlu veya (x i, y i ) üç boyutlu (x i, y i, z i ) konumsal koordinatlar dikkate al narak, en küçük kareler yöntemiyle p inci dereceden polinom denklemi elde edilmektedir. Elde edilen denklem yard m yla da, de iflken de eri bilinmeyen noktalar için tahminler yap lmaktad r. Yüzey trend analiz yöntemi, NTERNET genellikle topo rafik yüzeylerin düzenli grid (kare) a lar fleklinde modellenmesinde kullan lan bir yöntemdir. Yüzey trend analizinde, her bir örnek noktas polinom denkleminin elde edilmesinde kullan lmaktad r. En küçük kareler yöntemiyle polinom denklemi elde edilirken, polinom katsay lar n da anlaml l k aç s ndan test etmek gerekir. Sonuç olarak da, en küçük hata ile tahminlerde kullanabilece imiz polinom denklemine ulaflmak gerekir. De iflken de eri bilinmeyen (x, y) noktas için yap lacak tahminde kullan labilecek en basit do rusal ve ikinci dereceden polinom denklemi afla daki gibi ifade edilebilir. Yüzey trend analiz yöntemi, TELEV ZYON maden ve petrol arama çal flmalar ile çevre araflt rmalar nda efl yükselti veya efl de iflken de eri haritalama çal flmalar nda yayg n bir flekilde NTERNET kullan lmaktad r. Basit do rusal model: Z * ( xy, )= β0 + β1x+ βy kinci dereceden polinom: * Z ( x, y )= β + β x + β y + β x + β x + β 5xy Yüzey trend analizi yöntemiyle, örnek al nmam fl konumsal noktalara polinom denklemi yard m yla ortalama bir tahmin yap ld ndan, afl r düflük veya yüksek de iflken de erlerinin tahmininde afl r yan lt c sonuçlar verebilmektedir. Tahminlerin güvenilirli ini artt rmak için yüksek dereceli polinomlar elde etmek gerekir. Ancak, polinom derecesini artt rd kça, en küçük kareler yöntemiyle elde edilecek normal denklemlerin say s da artar ve denklem parametrelerinin elde edilmesinde güçlükler ortaya ç kabilir.

178 17 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Uzakl n Tersi le A rl kland rma Yöntemi Uzakl n tersi ile a rl kland rma, yak n noktalara uzak noktalardan daha yüksek a rl k de eri atayan ve tüm mümkün örnek noktalar n dikkate alan bir tahmin (interpolasyon) yöntemidir. Her örnek noktas, de eri tahmin edilecek noktaya olan uzakl na göre ters oranda a rl k de eri al r. x 0 noktas ndaki tahmini de er afla daki flekilde hesaplan r. Z * ( x0 ) = WZx i. ( i ) 1 p d x W i ( i ) i = n 1 p d ( x ) i= 1 i i Eflitlikteki p de eri azald kça, örnek noktalar na atanan a rl k de erleri birbirine yaklafl r, artt kça de erler farkl lafl r. En yüksek a rl k de eri en yak n örnek noktas için atan r. Genellikle p de eri 1 veya olarak kullan lmaktad r. Burada; Z*(x 0 ) : x 0 noktas ndaki tahminin de erini, Z(x i ) : x i noktas ndaki örnek noktas n n de erini, W i : x i noktas ndaki örne in x 0 noktas na göre ters uzakl k a rl n, d : örnek noktas ile tahmini yap lacak nokta aras ndaki uzakl, p : üssel de eri, n : örnek nokta say s n ifade etmektedir. Uzakl n tersi ile a rl kland rma yönteminde tahmin de erlerini önemli ölçüde etkileyen, eflitlikte tan mlanmayan parametreler bulunmaktad r. Bu parametrelerin en önemlilerinden biri etki mesafesi dir. Etki mesafesi, belirli uzakl ktaki gözlem de erlerinin hesaplamada kullan labilece ini ifade eder. Etki mesafesinden daha uzakta olan noktalar hesaplamalara dahil edilmez. Bu parametrelerin bir di eri hariç tutma aç s d r. Bu parametre sayesinde hariç tutma aç s n n süpürdü ü alanda bulunan gözlem de erlerinin sadece en yak nda olan hesaplamaya dahil edilmektedir. Böylece tek yönde ortaya ç kacak fazla a rl k de erinin meydana getirece i yan lt c sonuçlardan kaç n lm fl olacakt r (Uyguçgil, 007). ÖRNEK Bir gümüfl madeni yata ndan al nan 5 adet örnek ile A noktas n n tenörü (metal olarak gümüfl içeri i) uzakl n tersiyle a rl kland rma yöntemiyle tahmin edilmek istenmektedir. Örnek noktalar n n konumsal koordinatlar ve örneklenen de- iflken de erleri (tenör de erleri) afla da çizelgede verildi i gibidir. Örnek noktalar n n ve de iflken de eri tahmin edilecek A noktas n n konumlar da afla daki flekilde verilmifltir. Örnek No Konumsal Koordinatlar (m) Tenörler Z(S i ) S i (X) (Y) (gr/ton Ag) A

179 8. Ünite - Konumsal Tahmin ( nterpolasyon) ve Kriging 173 Çözüm: Örnek noktalar n n de iflken de eri tahmin edilecek blok merkezinde bulunan A noktas na olan uzakl klar, uzakl klar n tersleri ve uzakl k tersleri toplam na göre a rl klar afla da verildi i gibi hesaplanm flt r. Örnek No S i A Noktas ndan Uzakl k (m) Ters Uzakl k (1/m) A rl klar W i 1 70,00 0,0143 0,098 31,6 0,0316 0, ,00 0,000 0, ,54 0,0464 0, ,00 0,0333 0,9 Toplam 0,1457 1,000 A noktas ndan uzakl klar Öklid yöntemiyle hesaplar z. Örne in, 1 nolu nokta ile A noktas aras uzakl k afla daki gibi hesaplar z. 1 A 1 A 1 A d( S, S ) = ( x x ) + ( y y ) d( S, S ) = ( ) + ( ) = 70, 00 m 1 A Üs de erini p=1 alarak ters uzakl klar ; 1 1 = = 0, 0143 d( S1, S A ) 70 oldu un- ifllemi ile hesaplar z. Ters uzakl klar n toplam dan, S 1 noktas n n a rl n ; d ( Si, SA ) =,

180 174 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik DÜfiÜNEL M SORU D KKAT 1 d( S S W 1, A ) 0, = = =0, , 1457 d( Si, SA ) ifllemi ile hesaplar z. Blok merkezi olan S A noktas n n tahmini tenörünü (Z*) afla daki gibi hesaplar z. * Z (S ) = W.Z(S ) + W.Z(S ) + W.Z(S ) + W.Z(S ) + W.Z(S ) * A Z (S A ) = ( 0, 098 * 30) + (0,17 * 450) + ( 0, 137 * 380 ) + (0,319 * 400) + (0,9 * 80) * Z (S ) = 37,8 gr / ton Ag A Organik tar m SIRA yap lmak S ZDE istenen bir arazide, afla da konumsal koordinatlar verilen 4 noktadan toprak örnekleri al nm fl ve ph analizleri yap lm flt r. Örnek al namayan A noktas n n ph de erini uzakl n tersiyle a rl kland rma yöntemiyle tahmin ediniz. DÜfiÜNEL M Örnek No Konumsal Koordinatlar (m) Z(S i ) S i SORU (ph) (X) (Y) A D KKAT , , , ,7 AMAÇLARIMIZ AMAÇLARIMIZ Kriging K Työntemiyle A P a rl k katsay lar n n hesaplama yöntemi, uzakl n tersi ile a rl kland rma yöntemine k yasla daha karmafl kt r. TELEV ZYON Uzakl n tersi ile a rl kland rma yönteminde uzakl a ba l basit algoritmalar kullan l rken, kriging yönteminde verinin konumsal NTERNET yap s n ele alan semivariogram modelleri kullan lmaktad r. KR G NG TAHM N YÖNTEM Kriging yöntemi, K T Abir P noktan n veya blo un de iflken de erini, noktan n veya blo- un kendi içindeki ve çevresindeki örnek de erleri setinin do rusal kombinasyonu olarak tahmin etmede kullan lan tekniktir (Konuk ve Önder, 1999). Kriging yöntemi, do rusal TELEV ZYON ve sistematik sapmas olmayan (yans z) en iyi tahminleyici olarak tan mlanmaktad r. Bir noktan n veya blo un de iflken de erini en küçük hata ile tahmin etmeye çal flan bir yöntem olarak bilinmektedir. Kriging yönteminin amac, de iflken de eri bilinmeyen bir nokta veya blok çevresindeki NTERNET ve içindeki örnek de erlerinin a rl k katsay lar n, semi-variogram model parametreleri yard m yla hesaplayarak, tahmin varyans n en küçükleyecek flekilde de iflken de erini tahmin etmektir. Bir nokta veya blo un tahmini de iflken de eri, örneklenen gözlem de erlerinin konumsal düzenine ve veri yap s n inceleyen semi-variogram fonksiyonuna dayanmaktad r. Kriging yönteminin klasik konumsal tahmin yöntemlerine göre en önemli üstünlükleri; Tahminde kullan lan örneklerin etki alan n ve yönsel de iflimini dikkate almas, ki veya üç boyutlu blok de iflken de erlerinin tahmininde, blok boyutlar - n dikkate almas, 5

181 8. Ünite - Konumsal Tahmin ( nterpolasyon) ve Kriging 175 Blok de iflken de erleri tahmin edilirken, her bir blo un tahmin hatas n n belirlenmesine olanak sa lamas, Di er yöntemlere göre tahminlerin varyans n en küçüklemesidir. Kriging yönteminde, de iflken de eri bilinmeyen belirli bir nokta, alan veya hacimsel blok için tahminler yap labilmektedir. Afla da, anlafl l rl n n kolay olmas nedeniyle, belirli bir noktan n bilinmeyen de iflken de erinin kriging yöntemiyle tahmini tan t lacakt r. Nokta Kriging De iflken de eri bilinmeyen bir nokta için kriging yöntemiyle tahmin yapabilmek için öncelikle örnek noktalar dikkate al narak semi-variogram parametrelerinin belirlenmifl olmas gerekir. Daha sonra, de eri bilinmeyen nokta etraf ndaki komflu örnek noktalar ndan hangilerinin tahminde kullan laca n belirlemek gerekir. Bunun için de eri bilinmeyen nokta etraf nda, bir arama kapsama alan belirlenir. Bu kapsama alan, semi-variogram modelinin etki mesafesine (a) eflit olmal d r. Etki mesafesi tüm yönlerde ayn de ere sahipse (izotropik durum varsa), etki mesafesi yar çapl dairesel bir alan, kapsama alan olur. Ancak, etki mesafesinin yönsel de iflimi (anizotropik de iflim) sözkonusu ise, etki mesafesinin büyük ve küçük oldu u yönlere göre belirlenecek elipsoidal bir kapsama alan olacakt r. De iflken de eri tahmin edilecek nokta için arama kapsama alan ndaki örnek noktalar n n belirlenmesinden sonra, tahmin edilecek nokta ile örnek noktalar aras ortalama semi-variogram de erleri dikkate al narak her bir noktan n a rl k katasay lar hesaplan r. Arama kapsama alan ndaki örnek noktalar n n a rl klar kullan larak da, noktasal de iflken de eri tahmin edilir. * De iflken de eri ( Z A ) bilinmeyen A noktas n n çevresinde arama kapsama alan içinde bulunan n adet komflu örnek noktalar n n (S i ) de iflken de erleri (Z(S i )) ve örnek noktalar n a rl k katsay lar (W i ) yard m yla, A noktas n n de iflken de eri; Arama kapsama alan içerisindeki örnek nokta say s n n 15 veya 16 olmas ideal bir durumdur. Bu alan içindeki örnek nokta say s 4 ün alt nda olursa, kriging yöntemiyle yap lacak tahminler yan lt c sonuçlar verebilmektedir (Tüysüz ve Yaylal, 005). * A eflitli i ile hesaplan r. Tahmin varyans n en küçükleyen katsay lar n toplam, yans zl k koflulunu sa lamak amac yla daima bire eflit olmal d r. n i= 1 Tahminlerin varyans, semi-variogram fonksiyonlar na ba l olarak afla daki gibi hesaplanabilir. e W = 1 i n Z = W.Z(S ) i= 1 n σ = W. γ (S,A) W.W. γ(s,s ) i= 1 i i n n i i i j i j i= 1 j= 1 Burada, σ e = tahmin varyans γ(s, v) i = A noktas ile S i örnekleri aras ortalama semi-variogram,

182 176 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik γ(s i,s j) =S i örne indeki bir nokta ile S j örne indeki di er bir nokta çiftleri aras ndaki ortalama semi-variogramd r. Tahmin varyans n n büyüklü ü, afla daki hususlara ba l olarak de iflir: a) Semi-variogramla aç klanan bölgeselleflmifl de iflkenin karakteristi ine, b) Tahmin için kullan lan toplam örnek say s na, c) De iflken de eri tahmin edilen nokta çevresindeki birbirleriyle ilgili örneklerin birbirlerine göre konumuna, d) Her bir örne e atanan a rl a, Tahmin varyans, onun a rl na göre diferansiyelinin al nmas yla minimize edilebilir ve diferansiyeli s f ra eflittir. = 0... i = 1,,... n W σ e i Bu diferansiyel, n eflitlik ve n bilinmeyen (W 1,W,... W n ) sa layacakt r. Burada bulunacak olan a rl klar toplam n ile s n rland rmak için, di er bir bilinmeyen olarak Lagrangian çarpan (λ) eflitlik sistemini dengeleyici bir unsur olarak ifllemlere dahil edilir. Bu durumda, n+1 eflitlik ve n+1 bilinmeyen ortaya ç - kar ve W 1,W,... W n ile λ saptanabilir (Konuk ve Önder, 1999). Kriging yöntemiyle S i örnek noktalar n n a rl klar n n hesaplanmas için, afla - daki eflitlik sisteminin çözümü gereklidir. n j= 1 n i= 1 Burada, W j = bilinmeyen a rl klar ve λ = Lagrangian çarpan d r. Bu eflitlik setinin çözümü, en iyi do rusal ve yans z tahminciyi veren a rl klar setini üretecektir. Bu a rl klara ve Lagrangian çarpan na ba l olarak da kriging varyans, k W. γ(s,s ) + λ= γ(s,a) j i j i W = 1 i n σ = W. γ(s, A) + λ i= 1 i i n i= 1 W = 1 eflitli i ile hesaplanabilir. Bu kriging varyans, en küçük tahmin varyans n göstermektedir. Kriging yönteminin, tahmin varyans n en küçükleyen ve en iyi do rusal ve yans z tahminciyi (a rl klar ) veren bir yöntem oldu u, afla daki örnekte uygulamal olarak ispatlanmaya çal fl lacakt r. Burada, öncelikle uzakl n tersiyle a rl kland rarak tahmin, daha sonra ise kriging ile tahmin yöntemleri ele al nacakt r. i

183 8. Ünite - Konumsal Tahmin ( nterpolasyon) ve Kriging 177 Bir gümüfl madeni yata ndan al nan sondaj örnek tenör (% Metal Gümüfl-Ag) verileri ile yap lan variorgram analizleri sonras nda, hesaplanan deneysel semi variogarm de erlerinin küresel modele uydu u ve model parametrelerinin afla daki gibi oldu u belirlenmifltir. ÖRNEK Külçe etkisi : C 0 = 100 (gr/ton) Ag Eflik de er : C = 700 (gr/ton) Ag Etki mesafesi : a= 100 m Maden yata nda A noktas nda tenör de eri bilinmemekte olup, etki mesfesi içerisinde A noktas na komflu iki adet sondaj (örnek) noktas bulunmaktad r. A noktas ile sondaj noktalar (S 1 ve S ) noktalar aras uzakl klar ve sondaj noktalar ndan al nan örneklerin tenör de erleri (gr/ton Ag) afla daki çizelgelerde verildi- i gibidir. Noktalar Noktalar Aras Uzakl k (m) S 1 ile A 0 S ile A 30 S 1 ile S 36 Sondaj N. No S i Tenörler Z(S i ) (gr/ton Ag) a) Uzakl n tersiyle a rl kland rma yöntemiyle A noktas n n tenör de erini tahmin ediniz. b) Kriging yöntemiyle A noktas n n tenör de erini tahmin ederek, tahminin kriging varyans n bulunuz. Çözüm: a) Uzakl n tersiyle a rl kland rma yöntemiyle tahmin: Örnek noktalar n n de iflken de eri tahmin edilecek A noktas na olan uzakl klar, uzakl klar n tersleri ve uzakl k tersleri toplam na göre a rl klar afla da verildi i gibi hesaplanm flt r. Örnek No S i A Noktas ndan Uzakl k (m) Ters Uzakl k (1/m) A rl klar W i 1 0 0,0500 0,6 30 0,0333 0,4 Toplam 0,0833 1,000 ) afla daki gi- * De iflken de eri bilinmeyen A noktas n n tahmini tenörünü ( Z A bi hesaplar z. Z * A = n i= 1 WZS. ( ) i i

184 178 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik * Z A = W1.Z(S 1) + W.Z(S ) * ZA = ( 0, 6* 400) + (0,400 *500) * ZA = 440 gr / ton Ag b) Kriging yöntemiyle tahmin : Kriging yöntemiyle S i örnek noktalar n n a rl klar n n hesaplanmas için, afla - daki eflitlik sistemini kullan r z. n j= 1 n i= 1 W. γ(s,s ) + λ= γ(s,a) j i j i W = 1 i ki örnek noktam z (S 1 ve S ) oldu undan, afla daki üç adet kriging eflitli i sözkonusudur. W.( γ S, S ) + W.( γ S, S ) + λ= γ( S, A) W.( γ S, S ) + W. γ( S, S ) + λ= γ( S, A) 1 1 W 1 + W = 1 Burada, γ( S1, S1) ve γ( S, S ): S 1 ve S örnek noktalar n n kendi içindeki ortalama semi-variogram, γ( S1, S ) ve γ( S, S1) : S 1 ve S noktalar aras ndaki ortalama semi-variogram, γ( S1, A) ve γ( S, A) : A noktas ile S 1 ve S noktalar aras ndaki ortalama semivariogram ifade etmektedir. Örnek noktalar n n kendi içinde herhangi bir mesafe söz konusu olmad ndan; γ( S1, S1) = 0 ve γ( S, S ) = 0 olur. Örnek noktalar aras ve örnek noktalar ile A noktas aras ortalama semi-variogramlar afla daki gibi hesaplar z. Külçe etkili küresel model; 3. h h γ( Si, Sj ) = C + C a 3. a olup, burada h : S i ve S j noktalar aras uzakl kt r. Külçe etkisi C 0 =100 (gr/ton) Ag, eflik de er C=700 (gr/ton) Ag ve etki mesafesi a=100 m olarak verilmiflti. S 1 ve S noktalar aras uzakl k h=36 m oldu undan, S 1 ve S noktalar aras ortalama semi-variogram;

185 8. Ünite - Konumsal Tahmin ( nterpolasyon) ve Kriging * ( ) γ( S1, S ) = + * *( 100 ) = , (gr / ton) Ag S 1 ve A noktas aras uzakl k h=0 m oldu undan, S 1 ve S A noktalar aras ortalama semi-variogram; 3 * ( ) γ( S1, A) = + * *( 100 ) (gr/ton) Ag S ve A noktas aras uzakl k h=30 m oldu undan, S ve S A noktalar aras ortalama semi-variogram; 3 * ( ) γ( S, A) = + * *( 100 ) (gr/ton) Ag ki örnek noktas ile A noktas de iflken de erini tahmin için kullanaca m z a rl k katsay lar n hesaplamak için; W1. γ( S1, S1) + W. γ( S1, S ) + λ= γ( S1, A) = 307, 0 = 405, 55 W1.( γ S, S1) + W. γ( S, S ) + λ= γ( S, A) W1 + W = 1 Kriging eflitlik sistemini elde etmifltik. Bu eflitlik sisteminin bilinenlerini yerine yazarsak; ( W1* 0 ) + ( W* 461, 67 ) + λ = 307, 0 ( W1* 461, 67 ) + ( W* 0 ) + λ= 405, 55 W1 + W = 1 üç bilinmeyenli (W 1, W ve λ) ve üç adet eflitlik elde ederiz. Bu eflitlik sistemini, W 1 =1 W yazarak çözdü ümüzde, bilinmeyenleri; λ = 15,54 W 1 = 0,6065 W = 0,3935 olarak hesaplar z. Hesaplanan a rl k katsay lar n kullanarak, de iflken de eri bilinmeyen A noktas n n tahmini tenörünü ( Z A ) afla daki gibi * hesaplar z. Z * A = n i= 1 WZS. ( ) i i * A Z = W.Z(S ) + W.Z(S ) 1 1

186 180 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik * A Z = ( 0, 6065* 400) + (0,3935*500) * A Z = 439, 35 gr / ton Ag Uzakl n tersiyle a rl kland rma yönteminde de iflken de eri bilinmeyen bir nokta için yap lan tahminin varyans belirlenemezken, kriging yönteminde belirlenebilmektedir. Kriging yöntemiyle yap lan tahminin varyans n, afla daki eflitlikle bulabiliriz. k n σ = W. γ(s, A) + λ i= 1 i i σ k = ( 0, 6065* 307, 0) + ( 0, 3935* 405, 55) + 15, 54 σk = 470, 54 ( gr / ton) Ag Bir kent merkezine kullanma suyu sa layan akarsu yata n n de iflik noktalar ndan al nan 3 örneklerin kurflun içeri i de iflmleri için yap lan variorgram analizleri sonras nda, hesaplanan deneysel semi variogram de erlerinin küresel modele uydu u ve model parametrelerinin DÜfiÜNEL M SORU afla daki gibi oldu u belirlenmifltir. DÜfiÜNEL M Eflik de er : C= 0 (ppm) Pb SORU Etki mesafesi : a= 50 m Akarsu yata nda A noktas nda bulunan bir sanayi tesisinin akarsuya ne kadar kurflun deflarj D KKAT etti i tahmin edilmek istenmektedir. Etki mesafesi içerisinde A noktas na komflu iki D KKAT adet örnek noktas bulunmaktad r. A noktas ile örnek noktalar (S 1 ve S ) aras uzakl klar AMAÇLARIMIZ ve örnek SIRA noktalar ndan S ZDE elde edilen verilerin kurflun içerikleri (ppm Pb) afla daki çi- zelgelerde verildi i gibidir. Kriging yöntemiyle A noktas n n kurflun içeri ini tahmin ederek, tahminin kriging varyans n bulunuz. AMAÇLARIMIZ Noktalar Noktalar Aras Uzakl k (m) K T A P S K T A 1 ile A P 10 S ile A 40 TELEV ZYON S 1 ile S 50 TELEV ZYON Örnek N. No S i Kurflun çeri i Z(S i ) (ppm Pb) NTERNET NTERNET1 5 ÖRNEK Bir sanayi sitesi sahas nda yap lan gürültü ölçümleri sonucunda, al nan örnekler ile yap lan variorgram analizleri sonras nda hesaplanan deneysel semi variogram de erlerinin do rusal modele uydu u ve modelin afla daki gibi oldu u belirlenmifltir. γ(h) = 140. h 0, Sanayi sitesi sahas nda A noktas nda gürültü ölçümü yap lamad ndan, bu noktan n gürültü seviyesi tahmin edilmek istenmektedir. A noktas na komflu iki adet örnek noktas nda ölçüm yap lm fl olup, A noktas ile örnek noktalar (S 1 ve

187 8. Ünite - Konumsal Tahmin ( nterpolasyon) ve Kriging 181 S ) noktalar aras uzakl klar ve örnek noktalar nda ölçülen gürültü seviyeleri (db- Desibel) afla daki çizelgelerde verildi i gibidir. Kriging yöntemiyle A noktas n n gürültü seviyesini tahmin ederek, tahminin kriging varyans n bulunuz. Noktalar Noktalar Aras Uzakl k (m) S 1 ile A 5 S ile A 75 S 1 ile S 100 Örnek N. No S i Gürültü Z(S i ) (db) Çözüm: ki örnek noktam z (S 1 ve S ) oldu undan, afla daki üç adet kriging eflitli i sözkonusudur. W1. γ( S1, S1) + W. γ( S1, S ) + λ= γ( S1, A) W1.( γ S, S1) + W. γ( S, S ) + λ= γ( S, A) W1 + W = 1 Örnek noktalar n n kendi içinde herhangi bir mesafe söz konusu olmad ndan; γ( S1, S1) = 0 ve γ( S, S ) = 0 olur. Örnek noktalar aras ve örnek noktalar ile A noktas aras ortalama semi-variogramlar afla daki gibi hesaplar z. Do rusal model; γ(h) = 140. h olup, burada h : S i ve S j noktalar aras uzakl kt r. S 1 ve S noktalar aras uzakl k h=100 m oldu undan, S 1 ve S noktalar aras ortalama semi-variogram; γ(h) = 140. h 0, 0, 0, γ( S, S ) = 140*( 100 ) = 55, 7 ( db) 1 S 1 ve A noktas aras uzakl k h=5 m oldu undan, S 1 ve S A noktalar aras ortalama semi-variogram; 0, γ( S1, A) = 140*( 5) = 73, 5 (db) S ve A noktas aras uzakl k h=75 m oldu undan, S ve S A noktalar aras ortalama semi-variogram;

188 18 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik 0, γ( S, A) = 140*( 75) = 59, 0 (db) ki örnek noktas ile A noktas de iflken de erini tahmin için kullanaca m z a rl k katsay lar n hesaplamak için; W1. γ( S1, S1) + W. γ( S1, S ) + λ= γ( S1, A) W1.( γ S, S1) + W. γ( S, S ) + λ= γ( S, A) W1 + W = 1 Kriging eflitlik sistemini elde etmifltik. Bu eflitlik sisteminin bilinenlerini yerine yazarsak; ( W1* 0 ) + ( W* 55, 7 ) + λ = 73, 5 ( W1* 55, 7 ) + ( W* 0 ) + λ = 59, 0 W1 + W = 1 üç bilinmeyenli (W 1, W ve λ) ve üç adet eflitlik elde ederiz. Bu eflitlik sistemini, W 1 = 1 W yazarak çözdü ümüzde, bilinmeyenleri; λ = 38,4 W 1 = 0,37 W = 0,63 olarak hesaplar z. Hesaplanan a rl k katsay lar n kullanarak, de iflken de eri bilinmeyen A noktas n n tahmini kurflun içeri ini ( Z A ) afla daki gibi * hesaplar z. Z * A * A * A * A = n i= 1 WZS. ( ) i Z = W.Z(S ) + W.Z(S ) Z = ( 0, 37* 50) + (0,63*80) Z = 68, 9 db i 1 1 Kriging yöntemiyle yap lan tahminin varyans n, afla daki eflitlikle bulabiliriz. σ = W. γ(s, A) + λ σ k k n i= 1 i i = ( 0, 37* 73, 5) + ( 0, 63* 59, 0 ) + 38, 4 = 10, 765(dB)

189 8. Ünite - Konumsal Tahmin ( nterpolasyon) ve Kriging 183 Bir sodyum sülfat tuzu kristallefltirme havuzundan al nan örnekler SIRA ile yap lan S ZDE variorgram analizleri sonras nda hesaplanan deneysel semi variogram de erlerinin do rusal modele uydu u ve modelin γ(h) = 0,001.h 1,65 oldu u belirlenmifltir. Havuzun A noktas ndan örnek al namamakta olup, bu noktan n sodyum sülfat içeri i (% Na SO 4 ) tahmin edilmek is- DÜfiÜNEL M tenmektedir. A noktas na komflu iki noktadan al nan örneklerin analizi yap lm fl olup, A noktas ile örnek noktalar (S 1 ve S ) noktalar aras uzakl klar ve örnek S ORU noktalar n n sodyum sülfat içerikleri afla daki çizelgelerde verildi i gibidir. Kriging yöntemiyle A noktas - n n sodyum sülfat içeri ini tahmin ederek, tahminin kriging varyans n bulunuz. D KKAT Noktalar Noktalar Aras Uzakl k (m) S 1 ile A DÜfiÜNEL M SORU D KKAT S ile A 300 AMAÇLARIMIZ S 1 ile S 400 AMAÇLARIMIZ K T A P Örnek N. No S i Z(S i ) (% Na SO 4 ) TELEV ZYON K T A P TELEV ZYON NTERNET NTERNET

190 184 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Özet A MAÇ 1 A MAÇ Konumsal tahminde kullan lan klasik istatistik ve jeoistatistik yöntemler hakk nda aras ndaki fark belirlemek. Klasik konumsal tahmin yöntemler, al nan örneklerin devaml l n, etki alan n ve yönsel de- iflimini dikkate almayan yöntemler oldu undan, yap lacak konumsal tahminlerde hata büyüklü ü artmakta ve tahminlerin güvenilirli i azalmaktad r. Bu nedenlerle de, bölgeselleflmifl de iflkenler için konumsal tahminlerde, klasik yöntemler yerine jeoistatistiksel kriging yöntemlerini uygulamam z gerekmektedir. Konumsal tahminde en yak n komflu, yüzey trend analizi ve uzakl n tersiyle a rl kland rma yöntemlerini kullanmak. En yak n komflu yönteminde, örnek noktalar aras nda en yak n olan noktan n de iflken de eri belirlenerek, tahmin edilecek noktaya atamas yap lmaktad r. En yak n komflu yöntemiyle tahminde, en yak n komflu noktay bulabilmek için konumsal noktalar aras uzakl klar n hesaplanmas nda Öklid yöntemi kullan lmaktad r. Bu yöntem, en yak n komflu örnek noktas ndan daha uzak noktalardaki de iflken de erlerini, örnek noktalar aras ndaki ba ml l, devaml l ve yönsel süreklili i dikkate almayan bir yöntemdir. Yüzey trend analizi yönteminde, örnek noktalar n n de iflken de erleri ile konumsal koordinatlar dikkate al narak, en küçük kareler yöntemiyle p inci dereceden polinom denklemi elde edilmekte ve bu denklem yard m yla de iflken de eri bilinmeyen noktalar için tahminler yap lmaktad r. Bu yöntemle ortalama bir tahmin yap ld ndan, afl r düflük veya yüksek de iflken de erlerinin tahmininde yan lt c sonuçlar ortaya ç kabilmektedir. Uzakl n tersi ile a rl kland rma yönteminde, her örnek noktas n n, de eri tahmin edilecek noktaya olan uzakl na göre ters oranda a rl belirlenerek tahmin yap lmaktad r. Uzakl n tersi ile a rl kland rma yöntemi, belirli bir etki mesafesi içerisindeki örnek noktalar n dikkate alan ve etki mesafesi d fl ndaki daha uzakta olan noktalar hesaplamalara dahil etmeyen bir yöntemdir. A MAÇ 3 Konumsal tahmininde Kriging yöntemini aç klamak ve farkl semi-variogram modelleri ile noktasal tahmin uygulamalar yapmak. Kriging yöntemi, de iflken de eri bilinmeyen bir nokta veya blok çevresindeki ve içindeki örnek de erlerinin a rl k katsay lar n, semi-variogram model parametreleri yard m yla hesaplayan ve tahmin varyans n en küçükleyecek flekilde de- iflken de erini tahmin eden bir yöntemdir. Bu yöntemde, de iflken de eri tahmin edilecek nokta için arama kapsama alan nda belirlenen örnek noktalar ile tahmin edilecek nokta aras ortalama semi-variogram de erleri dikkate al narak her bir noktan n a rl k katasay lar hesaplanmakta ve bu katsay lar kullan larak da noktasal de iflken de eri tahmin edilmektedir. Kriging yöntemi, tahmin varyans n en küçükleyen ve en iyi do rusal ve yans z tahminciyi (a rl klar ) veren bir yöntemdir.

191 8. Ünite - Konumsal Tahmin ( nterpolasyon) ve Kriging 185 Kendimizi S nayal m 1. De iflken de eri bilinmeyen bir konumsal noktan n de iflken de erini tahminde, afla dakilerin hangisinde örnek nokta de erlerinin a rl klar semi-variogram fonksiyonuna ba l olarak hesaplan r? a. En yak n komflu b. Uzakl n tersiyle a l kland rma c. Yüzey trend analizi d. Kriging e. Regresyon. Afla dakilerden hangisi en yak n komflu yöntemiyle tahminin sak ncas de ildir? a. Uzak noktalardaki di er noktalar dikkate almamas b. Tahminde kullan lacak komflu nokta say s belirsizdir c. Tahminde sadece en yak n komflu nokta veya noktalar dikkate almas d. Örnek noktalar aras ba ml l k dikkate al nmaz e. Örnek noktalar aras devaml l k dikkate al nmaz 3. Bir de iflken de eri için 5 noktadan örnek al nm fl fakat A noktas ndan al namam flt r. Örnek noktalar ile A noktas aras mesafeler ve örnek noktalar n n de iflken de erleri afla daki gibidir. En yak n komflu noktas dikkate al nd nda A noktas n n de iflken de eri ne olur? S i Nokta No d(s i,s A ) A Noktas na Uzakl (m) Z(S i ) De iflken De eri a. 6,4 b. 8,6 c. 10,3 d. 1,3 e. 4,6 4. Her bir örnek noktas kullan larak elde edilen polinom denklemi yard m yla tahmin yöntemi afla dakilerden hangisidir? a. En yak n komflu b. Uzakl n tersiyle a l kland rma c. Yüzey trend analizi d. Kriging e. Regresyon 5. Afla da örnek noktas n n A noktas na uzakl klar verilmifltir. Uzakl n tersi dikkate al nd nda, A noktas n n de iflken de erini tahminde S 1 örnek noktas n n a rl ne olur? Örnek No S i A Noktas ndan Uzakl k (m) a. 0,40 b. 0,86 c. 0,565 d. 0,714 e. 0, Afla dakilerden hangisi Kriging yönteminin klasik konumsal tahmin yöntemlerine göre en önemli üstünlü ü de ildir? a. Örneklerin birbirinden ba ms z oldu unu dikkate al r. b. Örneklerin etki alan n dikkate al r. c. Örneklerin de iflken de erlerinin yönsel de iflimini dikkate al r. d. Blok de iflken de eri tahminlerinde, blok boyutlar n dikkate al r. e. Tahminlerin varyans n en küçükler. 7. Arama kapsama alan içerisindeki örnek nokta say - s kaç n alt nda olursa, Kriging yöntemiyle yap lacak tahminler yan lt c sonuçlar verir? a. 4 b. 8 c. 10 d. 15 e. 16

192 186 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik 8. Bir kömür madeninde kal nl k örnekleriyle yap lan variogram analizleri sonras nda, kal nl k de eri bilinmeyen A noktas için etki alan nda bulunan 4 örnek noktas ile kriging a rl k katsay lar afla daki gibi hesaplanm flt r. A noktas kal nl n n kriging tahmin de- * eri ( Z A ) nedir? Nokta No W i Kriging A rl k Katsay s Z i Kömür Kal nl (m) 1 0,15 6,0 0,5 8,0 3 0,0 7,0 4 0,40 5,0 a. 3,3 b. 6,3 c. 7,4 d. 8,4 e. 9,6 9. Bir alt n madeninde variogram analizleri yap ld ktan sonra, alt n içeri i (gr/ton Au) bilinmeyen A noktas için komflu iki örnek noktas ile tahmin yap lmak istenmektedir. A noktas ile örnek noktalar aras ortalama semi-variogram de erleri afla daki gibi oldu una göre, A noktas n n tahmininde kullan lacak S örne inin kriging a rl k katsay s de eri ne olur? Noktalar Ortalama Semi-Variogram (%) Au S 1 ile A ( γ( S ) 1, A) 10 S ile A ( γ( S, A) ) 0 S 1 ile S ( γ( S1, S ) 15 S 1 ile S 1 ( γ( S 1, S1) 0 S ile S ( γ( S, S ) 0 a. 0,10 b. 0,17 c. 0,33 d. 0,67 e. 0, Bir arazide topo rafik ölçüm cihazlar yla yap lan yükselti ölçümleri sonras nda variogram madellemesi gerçeklefltirilmifltir. Yükseltisi ölçülemeyen A noktas için etki alan nda bulunan 4 örnek noktas ile hesaplanan kriging a rl k katsay lar ve ortalama semi variogram de erlerinin afla daki gibi oldu u belirlenmifltir. Kriging eflitliklerinin çözümü s ras nda lagrange çarpan de eri λ = 1,5 hesapland na göre, A noktas n n kriging tahmin varyans de eri de eri ( σ k ) ne olur? a. 1,0 b. 3,5 c. 1,5 d. 8,5 e. 41,0 Nokta No Noktalar W i Kriging A rl k Katsay s 1 0,05 0,5 3 0,30 4 0,40 Ortalama Semi-Variogram (M) S 1 ile A ( γ( S, A) 1 0 S ile A ( γ( S, A) ) 10 S 3 ile A ( γ( S, A) ) 3 30 S 4 ile A ( γ( S4, A) ) 40

193 8. Ünite - Konumsal Tahmin ( nterpolasyon) ve Kriging 187 Kendimizi S nayal m Yan t Anahtar 1. d Yan t n z yanl fl ise, Kriging Tahmin Yöntemi konusuna bak n z.. c Yan t n z yanl fl ise, En Yak n Komflu Yöntemi konusuna bak n z. 3. d Yan t n z yanl fl ise, En Yak n Komflu Yöntemi konusuna bak n z. 4. c Yan t n z yanl fl ise, Yüzey Trend Analizi konusuna bak n z. 5. d Yan t n z yanl fl ise, Uzakl n Tersiyle A rl kland rma Yöntemi konusuna bak n z. 6. a Yan t n z yanl fl ise, Kriging Tahmin Yöntemi konusuna bak n z. 7. a Yan t n z yanl fl ise, Kriging Tahmin Yöntemi konusuna bak n z. 8. b Yan t n z yanl fl ise, Kriging Tahmin Yöntemi konusuna bak n z. 9. b Yan t n z yanl fl ise, Kriging Tahmin Yöntemi konusuna bak n z. 10. e Yan t n z yanl fl ise, Kriging Tahmin Yöntemi konusuna bak n z. S ra Sizde Yan t Anahtar S ra Sizde 1 Tarlalar ile A noktas aras uzakl klar afla daki afla daki eflitlikle hesaplan r. ds ( i, SA) = ( xi xa) + ( yi ya) Tarla No S i Konumsal Koordinatlar (m) A Noktas na Uzakl k (m) (X) (Y) d (S, S A ) , , , , ,0 En yak n iki komflu nokta S ve S 4 oldu undan, noktalar aras uzakl klarla a rl kland r lm fl tahmini de iflken de erini afla daki gibi hesaplar z. k ds ( i, SA). ZS ( i) Z * ( S i A) = = 1 k ds ( i, SA) i= 1 ( 00 * 85) + ( 3, 6* 10) = = 94, 0cm ( , 6) S ra Sizde Örnek noktalar n n de iflken de eri tahmin edilecek blok merkezinde bulunan A noktas na olan uzakl klar Öklid yöntemiyle hesaplanm flt r. Uzakl klar n tersleri ve uzakl k tersleri toplam na göre a rl klar afla da verildi i gibi hesaplanm flt r. Örnek No S i Blok merkezi olan S A noktas n n tahmini tenörünü (Z*) afla daki gibi hesaplar z. * Z (S ) = W.Z(S ) + W.Z(S ) + W.Z(S ) + W.Z(S ) A * Z (SA ) = ( 0, 185* 4, 8) + (0,48*5,9) + ( 0, * 6, 4 ) + (0,345*5,7) * Z (S A ) = 57, ph A Noktas ndan Uzakl k (m) S ra Sizde 3 ki örnek noktam z (S 1 ve S ) oldu undan, afla daki üç adet kriging eflitli i sözkonusudur. W1. γ( S1, S1) + W. γ( S1, S) + λ= γ( S1, A) W1. γ( S, S1) + W. γ( S, S) + λ= γ( S, A) W1 + W = 1 Ters Uzakl k (1/m) A rl klar W i 1 335,4 0,0030 0, ,0040 0, ,5 0,0036 0, 4 180,3 0,0055 0,345 Toplam 0,0161 1,000 Örnek noktalar n n kendi içinde herhangi bir mesafe söz konusu olmad ndan; γ( S1, S1) = 0ve γ( S, S) = 0 olur Örnek noktalar aras ve örnek noktalar ile A noktas aras ortalama semi-variogramlar afla daki gibi hesaplar z. Küresel model; 3. h h γ( Si, Sj) = C. 3 h a. a 3. a γ( Si, Sj) = C h a olup, burada h : S i ve S j noktalar aras uzakl kt r. Eflik de er C=0 (ppm) Pb ve etki mesafesi a=50 m olarak verilmiflti.

194 188 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik S 1 ve S noktalar aras uzakl k h=50 m etki mesafesine eflit (h=a=50 m) oldu undan, S 1 ve S noktalar aras ortalama semi-variogram; γ( S1, S) = C= 0( ppm) Pb S 1 ve A noktas aras uzakl k h=10 m oldu undan, S 1 ve S A noktalar aras ortalama semi-variogram; 3 * ( ) γ( S1, A) = 5, 9 * 50 3 *( 50) = ( ppm ) Pb S ve A noktas aras uzakl k h=40 m oldu undan, S ve S A noktalar aras ortalama semi-variogram; 3 * ( ) γ( S, A) = 18, 8 * 50 3 *( 50) = 8 ( ppm) Pb ki örnek noktas ile A noktas de iflken de erini tahmin için kullanaca m z a rl k katsay lar n hesaplamak için; W1. γ( S1, S1) + W. γ( S1, S) + λ= γ( S1, A) W1. γ( S, S1) + W. γ( S, S) + λ= γ( S, A) W1 + W = 1 Kriging eflitlik sistemini elde etmifltik. Bu eflitlik sisteminin bilinenlerini yerine yazarsak; ( W1* 0) + ( W* 0) + λ = 5, 9 ( W1* 0) + ( W* 0) + λ = 18, 88 W1 + W = 1 üç bilinmeyenli (W 1,W, λ) ve üç adet eflitlik elde ederiz. Bu eflitlik sistemini, W 1 =1-W yazarak çözdü ümüzde, bilinmeyenleri; λ=,4 W 1 =0,84 W =0,176 olarak hesaplar z. Hesaplanan a rl k katsay lar n kullanarak, de iflken de eri bilinmeyen A noktas n n tahmini kurflun içeri ini ( Z A ) afla daki gibi * hesaplar z. n * ZA = WZS i. ( i ) i= 1 * Z A = W1.Z(S 1) + W.Z(S ) * ZA = ( 0, 84* 5) + (0,176*) * Z A = 4, 47 ppm Pb Kriging yöntemiyle yap lan tahminin varyans n, afla - daki eflitlikle bulabiliriz. n σk = W i. γ(s i, A) + λ i= 1 σk = ( 0, 84 * 5, 9) + ( 0, 176 * 18, 88) +, 4 σ = 8, ( ) k ppm Pb S ra Sizde 4 ki örnek noktam z (S 1 ve S ) oldu undan, afla daki üç adet kriging eflitli i sözkonusudur. W1. γ( S1, S1) + W. γ( S1, S) + λ= γ( S1, A) W1. γ( S, S1) + W. γ( S, S) + λ= γ( S, A) W1 + W = 1 Örnek noktalar n n kendi içinde herhangi bir mesafe söz konusu olmad ndan; γ( S1, S1) = 0ve γ( S, S) = 0olur Örnek noktalar aras ve örnek noktalar ile A noktas aras ortalama semi-variogramlar afla daki gibi hesaplar z. Do rusal model; γ(h) = ,,. h 65 olup, burada h : S i ve S j noktalar aras uzakl kt r. S 1 ve S noktalar aras uzakl k h=400 m oldu undan, S 1 ve S noktalar aras ortalama semi-variogram; 1, 65 γ(h) = 0, 001. h 1, 65 γ( S1, S ) = 0, 001*( 400) = 19, 65( %) NaSO4) S 1 ve A noktas aras uzakl k h=100 m oldu undan, S 1 ve S A noktalar aras ortalama semi-variogram; 1, 65 γ( S 1, S A ) = 0, 001* ( 100) =, 00 (%) ( Na SO4) S ve A noktas aras uzakl k h=300 m oldu undan, S ve S A noktalar aras ortalama semi-variogram; 1, 65 γ( S, S A ) = 0, 001*( 300) = 1, 3 (%) ( Na SO4) Kriging eflitlik sisteminin bilinenlerini yerine yazarsak; ( W1* 0) + ( W* 1965, ) + λ = 0, ( W1* 19, 65) + ( W* 0 ) + λ = 1, 3 W1 + W = 1 üç bilinmeyenli (W 1, W ve λ) ve üç adet eflitlik elde ederiz. Bu eflitlik sistemini, W 1 =1-W yazarak çözdü ümüzde, bilinmeyenleri; λ=,71

195 8. Ünite - Konumsal Tahmin ( nterpolasyon) ve Kriging 189 Yararlan lan Kaynaklar W 1 =0,4 W =0,76 olarak hesaplar z. Hesaplanan a rl k katsay lar n kullanarak, de iflken de eri bilinmeyen A noktas n n tahmini kurflun içeri ini ( Z A ) afla daki gibi hesaplar z. * n * ZA = WZS i. ( i ) i= 1 * Z A = W1.Z(S 1) + W.Z(S ) * ZA = ( 0, 4* 38) + (0,76 * 46) * Z A = 44, 08 % NaSO4 Kriging yöntemiyle yap lan tahminin varyans n, afla - daki eflitlikle bulabiliriz. n σk = W i. γ(s i,a) + λ i= 1 n σk = (0, 4 *,0) + (0,76 *1, 3) -,71 i= 1 = 7,06 (%) Na SO4 Baltac, A.G. (007). Jeoistatistiksel Kestirimde Lokal Belirsizli in De erlendirilmesinde Alternatif Yaklafl mlar. (Yay mlanmam fl doktora tezi). Hacettepe Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara. Clark, I. (1979). Practical Geostatistics. London: Applied Science. Darakç, H.Ç. (010). K-En Yak n Komflu Yöntemi. gin/bil518/presentations/halilcagdasdarak- CI/Sunum1/K-Nearest%0Neighbor%0Estimation.ppt Gülband lar, E. (010). Bellek Tabanl S n fland rma: En Yak n K-Komflu Algoritmas. Journel, A.G. & Huijbregts, CH.J. (1978). Mining Geostatistics. San Diego: Academic. Konuk, A. & Önder, S. (1999). Maden statisti i. Mühendislik Mimarl k Fakültesi Maden Mühendisli i Bölümü. Eskiflehir: Eskiflehir Osmangazi Üniversitesi. Olea, R. A. (1999). Geostatistics for Engineers and Earth Scientists. Boston: Kluwer Academic. Özsakarbafl, F. (008), Classification of Forest Areas by K Nearest Neighbor Method: Case Study, Antalya. (Yay mlanmam fl yüksek lisans tezi). Ortado u Teknik Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara. Pekin, A. (1999). Aç k flletme Basamak Tenörlerinin Kriging Tahminlerinde statistiksel Da l m Modellerinin Etkileri. (Yay mlanmam fl doktora tezi). Eskiflehir Osmangazi Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü, Eskiflehir. Tercan, A.E. & Saraç, C. (1998). Maden Yataklar n n De erlendirilmesinde Jeoistatistiksel Yöntemler. Ankara: Jeoloji Mühendisleri Odas. Tüysüz, N. & Yaylal, G. (005). Jeoistatististik - Kavramlar ve Bilgisayarl Uygulamalar. Trabzon: Karadeniz Teknik Üniversitesi Uyguçgil, H. (007). Çok De iflkenli Maden Yataklar nda Rezerv Tenör Tahmininde Jeoistatistik ve Co rafi Bilgi Sistemleri Tekniklerinin Kullan m. (Yay mlanmam fl doktora tezi). Eskiflehir Osmangazi Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü, Eskiflehir

196 190 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Ki Kare Tablosu

197 8. Ünite - Konumsal Tahmin ( nterpolasyon) ve Kriging 191 T Tablosu

198 19 Co rafi Bilgi Sistemleri çin Temel statistik Z Tablosu 0 z