b g 0 denklemine A nın karakteristik denklemi ve köklerine A

Transkript

1 4. Ders Özdeğer-Özvektör Hesaplamaları Dik Đzdüşüm Temel Bileşenler ÖZDEĞERLER, ÖZVEKTÖRLER ve SPEKTRAL AYRIŞIM A: n n tipinde reel sayıların bir matrisi olmak üzere, λ ya göre bir polinom denklemi olan, det A λi = nın özdeğerleri denir. b g denklemine A nın karakteristik denklemi ve köklerine A v için Av = λ v oluyorsa v vektörüne λ özdeğerine karşılık gelen özvektör denir. Bir özdeğere birden çok özvektör karşılık gelebilir. A: n n matrisi simetrik olduğunda: a) Özdeğerleri reel sayılardır. Rank ( A) = r ise sayısı n - r katlı özdeğerdir. λ λ özdeğerlerine karşılık gelen Av = λ v, Aw = λ w özvektörleri için v w dır. b) A matrisinin rankı sıfırdan farklı özdeğerlerin sayısına (katlı özdeğerler katı kadar sayılmak şartıyla ) eşittir. c) Bir λi özdeğeri k katlı ise, Av = λ i v denklemini sağlayan k tane ortogonal v özvektörü vardır, sıfır vektörü ile birlikte bu k tane özvektör bir V i alt vektör uzayı (özdeğer uzayı) germektedir. A nin farklı özvektörleri λ, λ,..., λr olmak üzere bunlara karşılık gelen V, V,..., V r özdeğer uzayları birbirine dik ve dır. n R = V V... Vr d) A nın özdeğerleri λ, λ,..., λn ve D λ... λ λn =

2 olsun. V : n n ortogonal matrisi ( V ' V = I ) A nın normlanmış özvektörlerinin matrisi (eşit özdeğerler için karşılık gelen özdeğer uzayının ortonormal baz vektörleri) olmak üzere, dır. A = VDV ' A = VDV ' n = λ i v i v ' i i = gösterimine A matrisinin spektral ayrışımı (spectral decomposition) denir. n ' A = λ v v i i i i = olmak üzere, biçimsel olarak, c veya c A n c ' = λ v v i i i = i n ' f ( A) = f ( λi ) vi v i i = R için, gibi gösterimler operatör hesabında kullanılmaktadır. Bir matrisin tekil değer ayrışımı (singular value decomposition): A : n p tipinde bir matris, rank( A) = r olmak üzere U : matrisleri vardır öyleki, D A = U V' n n, : p p V ortogonal biçiminde yazılır. Burada, U matrisi AA nın ve V matrisi A A nın normlanmış özvektörlerinin matrisleridir. D matrisi, AA matrisinin ( A A matrisinin) sıfırdan farklı d i (d i >,i =,,..., r ) özdeğerlerinin, D d... d... =.... dr köşegen matrisidir. U matrisinin ilk r sütunundan oluşan matris U : n r V matrisinin ilk r satırından oluşan matris V : r p V V = I ) olmak üzere, A= U DV ( r U U = I ), ( r dır. Tersine, bu gösterimden yakarıdakine geçmek için D matrisi sıfır matrisleri ile genişletilecek ve U ile V matrisleri ortogonal matrisler olacak şekilde genişletileceklerdir. A matrisinin böyle bir gösterimine tekil değer ayrışımı ve D matrisinin elemanlerına A nın tekil değerleri denir.

3 >> % Spektral Ayrışım >> A=[ 3; ; 3 9] A = >> [V D]=eig(A) V = D = >> V*V' ans = >> V'*V ans = >> det(v) ans =. >> % V ortonormal bir matris >> A=ones(3,3);[V D]=eig(A) V = D = -. 3.

4 >> %Tekil Değer Ayrışımı >> A=[ 3; ;3 9]; >> [U D V]=svd(A) U = D = V = >> U*D*V' ans = >> A=[ 3; ] A = 3 >> [U D V]=svd(A) U = D = V =

5 >> U*D*V' ans = >> A=[ 3; ;3 4 5;] A = >> [U D V]=svd(A) U = D = V = >> A=[ 3; ;3 4 5;5 6 7; 8 ] A = >> [U D V]=svd(A) U =

6 D = V = >> A=[ 3 4 5; ; ; ; 8 4 6] A = >> [U D V]=svd(A) U = D = V =

7 >> U=U(:,:) U = >> V=V(:,:) V = >> D=D(:,:) D = >> U*D*V' ans =

8 Dik Đzdüşüm + + n P A = AA, yani AA matrisi A in sütun vektörlerinin gerdiği, [ A] R alt [ ] uzayı üzerine dik izdüşüm matrisidir (operatörüdür). Ayrıca, A in sütun vektörlerinin gerdiği uzaya dik olan alt uzay [ A] n ( R = [ A] [ A] ) olmak üzere, bu alt uzay üzerine + dik izdüşüm matrisi P [ A I AA ] = dır. Örnek: Üç boyutlu vektör uzayındaki vektörlerin (üç boyutlu koordinat sistemindeki noktaların) aşağıdaki mavi cizgi ile gösterilen doğru üzerine dik izdüşürülmesi: Mavi çizgi 3 R vektörü tarafından gerilen alt vektör uzayındaki noktaların bir kısmıdır. >> scatter3(:.:, :.:, :.:) v : v= c, c [,] >> % Aşağıdaki noktaları koordinat sisteminde gösterelim ve sonra izdüşürelim. >> Noktalar=[ ; ; ; ; 3; 4] Noktalar = 3 4 >> hold on scatter3(noktalar(:,),noktalar(:,),noktalar(:,3))

9 >> A=ones(3,) A = >> DikizdA=A*pinv(A) % Dik izdüşüm matrisi DikizdA = >> izdnoktalar=(dikizda*noktalar')' izdnoktalar = >> scatter3(izdnoktalar(:,),izdnoktalar(:,),izdnoktalar(:,3))

10 Örnek: Đki boyutlu vektör uzayındaki vektörlerin (iki boyutlu koordinat sistemindeki noktaların) aşağıdaki mavi cizgi ile gösterilen doğru üzerine dik izdüşürülmesi: Mavi çizgi >> plot([- ],[- ]) R vektörü tarafından gerilen alt vektör uzayındaki noktaların bir kısmıdır v : v= c, c [,] >> Noktalar=[ 3; 3 ; 5 8; 8 5; 9 4; -3 ; -3-5; -3-8; -8-3; -8-9] Noktalar = >> hold on; plot(noktalar(:,),noktalar(:,),'.')

11 >> A=[ ]' A = >> DikizdA=A*pinv(A) DikizdA = >> izdnoktalar=noktalar*dikizda izdnoktalar = >> plot(izdnoktalar(:,),izdnoktalar(:,),'.r')

12 >> B=[ 3]' B = 3 >> plot([3-3],[9-9]) >> izdnoktalar=noktalar*(b*pinv(b)) izdnoktalar = >> plot(izdnoktalar(:,),izdnoktalar(:,),'.g')

13 p, olmak üzere, [ X] { Xβ : β R } n Y R X : n p metriğine göre en yakın, yani ˆ ˆ = uzayında y vektörüne Euclide Y Xβ = ( Y Xβ) ( Y Xβ) değerini en küçük yapan + vektör, Y= P[ X] Y= XX Y= Xβ dır. Burada ˆ + β= X Y vektörü, tutarlı olan ve normal denklemler ismini taşıyan X Xβ= X Y denklem sisteminin bir çözümüdür. rank( X ) = rank( X X ) < p olduğunda normal denklemlerin birden çok çözümü olmasına rağmen Yˆ = Xβˆ tekdir. Yˆ = Xβˆ vektörü Y nin X üzerine dik izdüşümüdür. Lineer Modeller dilinde,

14 Verilerin ortalamadan sapmalar şekline getirilmesi >> veri=[ 3 4; ; ; ; ; ; 3 4] veri = >> mean(veri) ans = >> veri-mean(veri)??? Error using ==> minus Matrix dimensions must agree. >> veri-kron(ones(7,),mean(veri)) ans = >> sum(ans) ans =.e-4 * [ ] >> %Verileri ortalamadan sapmalar şekline getiren matris >> n=size(veri,); M=eye(n)-ones(n,)*pinv(ones(n,)); >> M*veri ans =

15 Döndürme Matrisleri >> A=[ ; ;3 3;4 4;5 5;3 4;4 3] A = >> plot(a(:,),a(:,),'.') >> % Noktaların saat ibresinin ters yönünde 6 derece döndürülmesi >> alfa=6*pi/8; >> %Döndürme matrisi >> DM=[cos(alfa) -sin(alfa);sin(alfa) cos(alfa)]; >>% A matrisindeki noktaların dönme sonucundaki yeni koordinatlarından oluşan matris >> DMA=(DM*A')' DMA =

16 >> hold on;plot(a(:,),a(:,),'.');plot(dma(:,),dma(:,),'.r') >> alfa=8*pi/8;dm=[cos(alfa) -sin(alfa);sin(alfa) cos(alfa)]; >> DMA=(DM*A')' DMA = >> plot(dma(:,),dma(:,),'.g')

17 Wikipedia: The orthogonal matrix (post-multiplying a column vector) corresponding to a clockwise/left-handed rotation with Euler angles, with x-y-z convention, is given by: >> donme=[6 45 ];alfa=donme()*pi/8;beta=donme()*pi/8;gama=donme(3); DM3=[cos(beta)*cos(gama) -cos(alfa)*sin(gama)+sin(alfa)*sin(beta)*cos(gama) sin(alfa)*sin(gama)+cos(alfa)*sin(beta)*cos(gama) cos(beta)*sin(gama) -cos(alfa)*cos(gama)+sin(alfa)*sin(beta)*sin(gama) -sin(alfa)*cos(gama)+cos(alfa)*sin(beta)*sin(gama) -sin(beta) sin(alfa)*cos(beta) cos(alfa)*cos(beta)] >>DM3 = >> A=[ ; ;3 3 3;4 4 4;5 5 5; ] A = >> scatter3(a(:,),a(:,),a(:,3))

18 >> ADM3=(DM3*A')' ADM3 = >> scatter3(a(:,),a(:,),a(:,3));hold on ;scatter3(adm3(:,),adm3(:,),adm3(:,3),'r')

19 Temel Bileşenler >> X=randn(5,)*([ 5;5 6]^(/))+kron(ones(5,),[3 4]) X =

20 >> mean(x) ans = >> plot(x(:,),x(:,),'.') >> hold on; plot(3.5476,5.4679,'*') ; hold off >> Xortsap=(eye(5)-ones(5,)*pinv(ones(5,)))*X Xortsap =

21 >> plot(xortsap(:,),xortsap(:,),'.') >> mean(xortsap) ans =.e-5 *( )

22 >> Xstandart=(eye(5)-ones(5,)*pinv(ones(5,)))*X./kron(ones(5,),std(X)); X Xortsap Xstandart

23 >> hold on; plot(x(:,),x(:,),'.') ; plot(xortsap(:,),xortsap(:,),'.r') ; plot(xstandart(:,),xstandart(:,),'.g'); hold off >> kovm=cov(x) kovm = >> korm=corr(x) korm = >> kovm=cov(xortsap) kovm = >> korm=corr(xortsap) korm =

24 >> [V D]=eig(korm) V = D = >> figure;hold on; >> plot(xortsap(:,),xortsap(:,),'.') >> plot([ *.77],[ *.77]) ; plot([ -*.77],[ *.77]) >> [V D]=eig(kovm) V = D = >> plot([ *.86],[ *.958],'r'); >> plot([ -*.958],[ *.86],'r')

25 >> skorlar=xortsap*v

26 >> % Temel Bileşenler Analizi Matlab fonksiyonu >> [TB skorlar ozdegerler]=princomp(xortsap) TB = skorlar = ozdegerler = >> eig(cov(xortsap)) >> eig(corr(xortsap)).79.98

27 (4. Ders Hazırlayan: Doç.Dr.Cemal Atakan) TEMEL BĐLEŞENLER ANALĐZĐ Temel Bileşenler Analizinde amaç boyut indirgemektir. Đlgili analizleri p tane ilişkili değişken yerine, az sayıda ilişkisiz değişkenle yapmaktır. Temel Bileşenler Analizi, Kovaryans ya da Korelasyon matrislerinin her ikisinden de yapılabilir. Özellikle değişkenler aynı ölçü birimlerine sahip değillerse standartlaştırılmış gözlem değerleri kullanır. Bu nedenle Korelasyon matrisi ile işlemler yapılırsa, standartlaştırma yapılmış olur. Yani standartlaştırılmış değişkenlerin Kovaryans matrisi, orijinal değişkenlerin Korelasyon matrisine eşittir. ÖRNEK: 98 yılında Avusturya nın Götziz kentinde yapılan dünya dekatlon yarışmasına katılan atletin X- metre, X- uzun atlama, X3-gülle atma, X4- yüksek atlama, X5-4 metre, X6- metre engelli, X7- disk atma, X8- sırıkla atlama, X9- cirit atma ve X- 5 metre koşu dallarından almış oldukları puanlar aşağıda verilmiştir. Bu verilere MĐNĐTAB ve SPSS istatistik paket programını kullanarak Temel Bileşenler Analizini uygulayalım. Atletler X X X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X Kaynak: Flury ve Riedwyl, 988.

28 Burada örneklem korelasyon matrisi kullanıldı. Öncelikle eldeki bir veri seti için Temel Bileşenler Analizinin yapıl yapılmayacağına karar verilmelidir. Bunun için değişkenler arasındaki korelasyonlara bakılır. Eğer bu korelasyonlar büyük ya da istatistiksel olarak anlamlı ise Temel Bileşenler Analizi yapmak uygundur. Örneklem Korelasyon Matrisi X X X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X X,,56,445,384,844,85,36,49,335 -,6 X,56,,395,53,73,46,3,477 -,3,6 X3,445,395,,3,436,649,558,4,43 -,54 X4,384,53,3,,49,535,557,45,396,34 X5,844,73,436,49,,664,95,38,37 -,3 X6,85,46,649,535,664,,558,3,4 -,63 X7,36,3,558,557,95,558,,473,367,3 X8,49,477,4,45,38,3,473,,85,89 X9,335 -,3,43,396,37,4,367,85,,79 X -,6,6 -,54,34 -,3 -,63,3,89,79, Değişkenler arası korelasyonların karşılaştırılması X X X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X X Pearson Correlation,56(**),445(*),384,844(**),85(**),36,49,335 -,6 Sig. (-tailed),,49,95,,,9,59,49,339 X Pearson Correlation,56(**),395,53,73(**),46,3,477(*) -,3,6 Sig. (-tailed),,84,8,,76,39,33,89,339 X3 Pearson Correlation,445(*),395,3,436,649(**),558(*),4,43 -,54 Sig. (-tailed),49,84,39,55,,,55,57,8 X4 Pearson Correlation,384,53,3,49,535(*),557(*),45,396,34 Sig. (-tailed),95,8,39,89,5,,6,84,63 X5 Pearson Correlation,844(**),73(**),436,49,664(**),95,38,37 -,3 Sig. (-tailed),,,55,89,,7,97,88,9 X6 Pearson Correlation,85(**),46,649(**),535(*),664(**),558(*),3,4 -,63 Sig. (-tailed),,76,,5,,,69,64,6 X7 Pearson Correlation,36,3,558(*),557(*),95,558(*),473(*),367,3 Sig. (-tailed),9,39,,,7,,35,,989 X8 Pearson Correlation,49,477(*),4,45,38,3,473(*),85,89 Sig. (-tailed),59,33,55,6,97,69,35,3,45 X9 Pearson Correlation,335 -,3,43,396,37,4,367,85,79 Sig. (-tailed),49,89,57,84,88,64,,3,449 X Pearson Correlation -,6,6 -,54,34 -,3 -,63,3,89,79 Sig. (-tailed),339,339,8,63,9,6,989,45,449 ** Correlation is significant at the. level (-tailed). * Correlation is significant at the.5 level (-tailed).

29 Korelasyon matrisi incelendiğinde bazı değişkenler arasında yüksek korelasyon olduğu görülmektedir. Ayrıca bazı değişkenler arasındaki korelasyolar istatistiksel olarak anlamlıdır. Temel Bileşenler Analizi yapılması uygun görünmektedir. Η Η ρ : pxp ρ : pxp = Ι Ι Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy.,537 Bartlett's Test of Sphericity Approx. Chi-Square 5,665 df 45 Sig., Bartlett in küresellik testinde p-değeri(sig.),<,5 olduğundan H hipotezi red edilir.. Yani örneklemin alındığı kitleye ilişkin değişkenler arasındaki kitle korelasyon matrisi ρ pxp birim matrisden farklıdır. Yani bazı değişkenler arasındaki korelasyonlar anlamlıdır. katkıları: Korelasyon matrisi yardımıyla elde edilen özdeğerler ve herbir özdeğerin toplam varyansı açıklama oranına Eigenanalysis of the Correlation Matrix Eigenvalues( ˆj λ ): 4,498,5443,36,845,75,587,47,33,8,486 Proportion :,449,54,3,8,73,59,4,3,8,5 Cumulative :,449,64,736,88,89,95,974,987,995, Yukarıdaki özdeğerlerden yararlanılarak elde edilen birim özvektörler ê ê ê 3 ê 4 ê 5 ê 6 ê 7 ê 8 ê 9 ê,4786 -,78 -,839 -,96, ,83 -,434 -,4576,6364,775,3754 -,468 -,5858, ,756 -,375,4,565,55936,44,399 -,447,645, ,49853,375, ,7, ,36799,8986,4934,66 -,9,3976 -,65,87,9354,774 -,3385, ,958 -,37,83764,99,8559 -,5563,7598 -,785 -,5367,46 -,3,4468 -,684,5839 -,7373,68 -,556 -,658,394,3,9579,383 -,746 -,4997,3538 -,6 -,39,43377,453,8974,8995 -,37 -,45975,346,65843, ,4845 -,647 -,974,48576,54379,4568,38687,58735,3463 -,77,355395,97,6835,658,6648 -,3763, ,9 -,4937 -,564 -, ,8479,5687 Buradan her bir temel bileşene ilişkin katsayılar: Variable PC PC PC3 PC4 PC5 PC6 PC7 PC8 PC9 PC C(X),4 -,78 -,8 -,9,37 -,8 -,43 -,46,636,8 C(X),37 -,47 -,585,36 -,75 -,38,4,5,56,4 C3(X3),3 -,4,65,485 -,499,3,36 -,3,95 -,368 C4(X4),9,49, -,9,4 -,6,8,9,7 -,33 C5(X5),38 -,3 -,37,84,,9 -,56,7 -,78 -,536 C6(X6),4 -,,4 -,68,58 -,74,6 -,56 -,653,39 C7(X7),3,95,3 -,7 -,499,4 -,6 -,4,43,5 C8(X8),83,9 -,37 -,46,35,66,34 -,48 -,6 -,9 C9(X9),49,54,43,38,59,346 -,8,355,9,7 C(X),,66 -,38,49 -, -,49 -,6 -,479 -,85,6

30 p= olduğundan on tane temel bileşen elde edilir. Ancak uygulamada bu temel bileşenlerden ilk birkaç tanesi kullanılacaktır. Bunun için temel bileşen sayısının belirlenmesine ilişkin bazı kriterler vardır. Bunlardan biri ilk birkaç temel bileşen, toplam değişimin en az /3 nü açıklaması gerekir. Buradan ˆ λ + ˆ λ ˆ + λ3 7,35 = =,735 > ˆ λ + ˆ λ ˆ λ 3 dır.toplam varyansın %73,5 i ilk üç temel bileşen yardımıyla açıklamaktadır. Bu oran /3 den büyük olma ölçütünü sağladığından önemli temel bileşen sayısı üç olarak alınır. Bununla birlikte aşağıdaki Scree Plot a göre de uygun temel bileşen sayısına karar verilebilinir. Bu grafikte eğri yatay eksene paralel olmaya başladığı bileşen sayısı, uygun temel bileşen sayısı olarak alınmaktadır. Grafikte en son ki büyük düşüş üçüncü ve dördüncü bileşenler arasında oluştuğu için ilk üç bileşen seçilmesi uygundur. Ancak, farklı kriterler, farklı temel bileşen sayısı verebilir. Scree Plot 5 4 Eigenvalue Component Number 8 9 Böylece bu üç temel bileşen: Y ˆ =, 4 Z +,37 Z +,3 Z +, 9 Z +,38 Z +, 4 Z +,3 Z +, 83 Z +, 49 Z +, Z Y ˆ =, 78 Z, 47 Z,4 Z +, 49 Z, 3 Z, Z +,95 Z +, 9 Z +, 54 Z +, 66 Z Y ˆ =,8 Z, 585 Z +, 65 Z +, Z, 37 Z +, 4 Z +, 3 Z, 37 Z +, 43 Z, 38 Z dir. Burada korelasyon matrisiden temel bileşenler yapıldığı için, orijinal değişkenler yerine standartlaştırılmış değişkenler dikkate alınmıştır. Temel bileşenler yapay değişkenlerdir. Bu değişkenlerin adlandırılması çok da kolay değildir. Yine de her bir orijinal değişkenin temel bileşenlerdeki ağırlıklarına göre bir adlandırma yapılabilir.

31 Temel bileşenlerin katsayılarında eksi işaretinin olması, faktörlerin iki kutuplu olduğunu göstermektedir. Birinci temel bileşenin varyansı en büyüktür ve en fazla açıklama oranına sahiptir. Ayrıca bu temel bileşenin varyansı elipsoidin ana eksenini oluşturmaktadır. Diğer temel bileşenlerin varyansları ise tali eksenleri oluşturmaktadır. Yapılan işlemler sonucunda, temel bileşenler analizinin amacına uygun olarak, bileşen sayısı on boyutlu ilişkili değişkenden, üç veya dört boyutlu ilişkili değişkene indirgenmiştir. Bunlardan en büyük varyansa sahip olan ilk bileşen elipsoidin ana ekseni diğerleri de tali eksenleridir. Sonuç olarak üç temel bileşenin uygun olduğunu kabul edersek, bu temel bileşenlere ilişkin atletin temel bileşen değerleri (skors) Temel Bileşenler Değerleri (Skors) Atletler ŷ ŷ ŷ 3 4, ,3937 -,6345 3,353,5497 -,373 3,5, , ,33 -,68588, ,548,35,664 6,989,476,75 7,678, ,5464 8,8566,686 -,7868 9, -,8,478,37763,54,965 -,94848,83,6934 -,999, , , ,5666 -, ,379,4744, ,56665,37673, ,5466 -,6773, ,475 -, , ,6677 -,8 -, ,66497,56 -, ,5754,9 -,7674 olarak elde edilmiş olur. Đstenilen analizler bu değerlere göre yapılır.

32 Matlab Hesaplamaları >> X X = >> corr(x) ans = >> [V D]=eig(corr(X)) V =

33 D = >> diag(d) ans = >> diag(d)' ans = >> XSTANDART=((eye()-ones(,)*pinv(ones(,)))*X)./kron(ones(,),std(X)) XSTANDART =

34 >> TB=V( :,8 :) ; >> skorlar=xstandart *TB skorlar = >> % Matlabdaki Temel Bileşenler fonksiyonu [TB SKORLAR]=princomp(XSTANDART) TB = SKORLAR =

35 > TB3=TB(:,:3) TB3 = >> skorlar3=skorlar(:,:3) skorlar3 =

36 PARÇALANMIŞ MATRĐSLER B: n n tipinde bir matris ve det( B) olsun. Bu matris B B B = B B B : n n, B : n n, B : n n, B : n n,n + n ) Eğer B singüler değilse, det( B) = det( B ) det( B B B B ) ) Eğer B singüler değilse, det( B) = det( B ) det( B B B B ) 3) B nin inversi B olmak üzere, B A A = A A A : n n, A : n n, A : n n, A : n n biçiminde parçalansın. biçiminde parçalansın. Eğer B ve B singüler değilse, A = B B B B A = B B B B B B A = B B B B A = B B B B B B B B B B B B B B BB B = B B B B B B B BB B dır. MATRĐSLERĐN KRONECKER ÇARPIMI A: n m, B: p q tipinde matrisler olmak üzere, A B a B ab a B am B a B a B a B anb anb anmb m = ( ij ) np mq = matrissine A ile B nin Kronecker çarpımı denir. a) A = A = b) ( A + A ) B = A B + A B c) A ( B + B ) = A B + A B d) aa bb = aba B e) ( A A ) ( BB ) = ( A B )( A B ) f) ( A B) = A B g) ( A B) = A B

37 Bir Matrisin Đzi (Trace) ve Rankı ile Đlgili Bazı Teoremler A: n n tipinde bir matris olmak üzere A 'nın izi, tr( A) = n i= olarak tanımlandığını hatırlatalım. ) A ve B n n tipinde iki matris ve a b R tr( aa+ bb) = atr( A) + btr( B) a ii, olmak üzere, dır. ) A ve B n n tipinde iki matris olsun. tr( AB ) = tr( BA) dır. 3) tr( ABC ) = tr( CAB ) = tr( BCA) 4) A: n n tipinde ve özdeğerleri λ, λ,..., λ n olan bir matris ise, n tr( A) = λi i=, tr A k k ( ) = λi dır. 5) A idempotent bir matris (AA=A) ise rank( A) tr( A) 6) A n m n i= = dır. m n j= i= : tipinde bir matris ise tr( A A) = tr( AA ) = a ij dır. 7) A n n : ve A simetrik özdeğerleri λ, λ,..., λ n ise tr( A A) a ij m = = n n j= i= i= i λ dır. 8) A: n m, tr( A A) = A = dır. 9) x: n tipinde bir vektör, A: n n tipinde bir matris ise x Ax = tr( Axx ) dır. ) A: k k tipinde negatif olmayan bir matris ve λ, A nın en büyük özdeğeri olsun. Bu durumda ( A ) ; a) tr A n+ ( ) n tr( A ) b) n tr( A ) / n λ herhangi bir n tam sayısı için. n+ tr( A ) n / n lim lim tr( A ) λ n n tr( A ) = = n dır. ) A: k k tipinde λ λ... λ k özdeğerlerine sahip bir matris olsun. x a) λ = max ' Ax x x' x, x x Ax b) λ k = min ' x x' x, x x' Ax c) λ k λ x' x, herhengi x için.