(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

Transkript

1 EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x)<0, f(x) 0, f(x) 0 ifadelerine fonksiyonların eşitsizliği denir. Bu eşitsizlikleri sağlayan sayıların oluşturduğu kümeye de eşitsizliğin kümesi denir. 4( )> - eşitsizliğinin kümesini bulalım. 4 8>- > BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER >0 Ç={ > ve ЄR} TANIM: a,b Є R ve a 0 olmak üzere f()= ab ifadesine, birinci dereceden bir değişkenli iki terimli denir. ab>0 ab<0 ab 0 ab 0 biçiminde ifade edilen açık önermelerin her birine birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir. Eşitsizliği çözmek demek, verilen eşitsizliği sağlayan reel sayılarını bulmak demektir. Bu eşitsizliklerden herhangi birini gerçekleyen x gerçek sayılarının oluşturduğu kümeye, bu eşitsizliğin kümesi denir. Reel sayılarda, f()= (m)7 >0, (m ) eşitsizliğinin işaretini inceleyelim. (m)7 >0, (m)7 =0 (m)= 7 = 7/m tür. a= m>0 m> dir. a= m olduğunda, a=m<0 m< dir. (m)<0 7/m özellikleri: >y ise a>ya veya a>y a ( Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkarılabilir.) >y ve a>0 iken,.a>y.a veya /a>y/a dır. ( Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılır yada bölünürse, eşitsizlik bozulmaz. ) >y ve a<0 iken,.a<y.a veya /a<y/a dır. ( Bir x 4x x eşitsizliğinin kümesini 6 4 bulalım. eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır yada bölünürse, eşitsizlik yön değiştirir.) Paydalar eşitlenirse; () (4)-4() m 0 olmak üzere, f(x) = mx n koşulunu sağlayan 0x4-4x-8 noktalar analitik düzlemde bir doğru belirtir. 0x4 8x- x 9 olup; ÇK={ 9 ve ЄR} (a9)(4x) > 0 eşitsizliğini çözelim. (a9) ifadesi her zaman pozitif olacağından, (4) değeri mutlaka 0 dan büyük olması gerekir. 4x > 0 olmalı buradan x>- olup; ÇK={ >- ve ЄR}

2 Tabloda da y nin işareti, = b/a dışında, her bölgede a nın işaretinin aynısıdır. eşitsizliğinde x in alabileceği en büyük tamsayı x değeri nedir? Hepsi bir tarafa toplanıp paydalar eşitlenirse; x x 0 ve 0 0 elde edilir. x x x x 0 x - - ÇK -(paydayı sıfır yaptığı için) Ç={ -< ve ЄR} buradan x, den büyük olacağı için alabileceği en küçük tamsayı değeri = dir. ) y=f()= a²bc üç terimlisinde = b² 4ac <0 ise a²bc=0 denkleminin gerçek sayı İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER olan kökü yoktur. = b² 4ac <0 4ac b²>0 dır. (4ac b²)/4ac > 0 olur. (b/a)² (4ac b²)/4a² > 0 f(x) = ax bx c koşulunu sağlayan noktalar analitik düzlemde bir parabol belirtir. Buna göre, f()= a²bc = a [(b/a)² (4ac b²)/4a² ] ifadesinin işareti a ya ) f()= a²bc üç terimlisinde =b² 4ac>0 bağlı olarak değişir. a nın işareti ile aynı işaretlidir. ise, a²bc=0 denkleminin gerçek sayı olan iki kökü a>0 ise, a²bc >0 vardır. Bunlar ve dir. a<0 ise, a²bc <0 olur. Her bölgedeki işaret, a nın işareti ile aynıdır. ) f()= a²bc üç terimlisinde, = b² 4ac=0 ise, b² 4ac=0 (4ac b²)/4a² =0 olacağından, ax²bc = a (b/a)² biçimine dönüşür. = b/a için a²bc= 0 dır. b/a için (b/a)² >0 olacağından f() işareti, a nın işareti ile aynı işaretlidir.

3 SONUÇ OLARAK; (x-)99=0 ise x= tek katlı köktür. ) f(x) = ax bx c > 0 ın kümesi bütün gerçel sayılar ise, < 0 ve a > 0 dır. ) f(x) = ax bx c < 0 ın kümesi bütün gerçel Uyarı: sayılar ise, < 0 ve a < 0 dır. ) a < 0 ve < 0 ise, f(x) = ax bx c > 0 ın kümesi boş kümedir. a) P(x) 0 denkleminin kümesinde; Q(x) f(x) P(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınır, Q(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınmaz. b) ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNMA METODU Polinom fonksiyonlarından oluşan rasyonel fonksiyonların eşitsizliği incelenirken aşağıdaki yöntem izlenerek kümesi bulunur. Bu, bütün eşitsizliklerde uygulanabilen pratik bir yoludur. P(x) 0 denkleminin kümesinde; Q(x) f(x) P(x) = 0 ve Q(x) = 0 sağlayan x değerleri alınmaz. x² x-6<0 eşitsizliğinin kümesini bulalım. x² x-6<0 nın işaretini incelersek, ² -6=0 iken,. Verilen ifadedeki her çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.. Bulunan bu kökler sayı doğrusunda sıralanır. =b² 4ac=( )² 4..(-6)=>0 olduğundan x, -b Δ a olup x = ve x =- Üç terimlisinin işareti, kökleri arasında, kökleri dışında ise, dır. Görüldüğü gibi -<x< iken, x² x-6<0. in genel işareti bulunur. olmalıdır. in genel işareti; her çarpandaki en büyük dereceli değişkenlerin katsayılarının çarpımının işaretidir. 4. Ç={ -<<, ЄR} - x² x-6<0 Bulunan bu işaret, tablonun en sağındaki kutuya yazılır.. Tablodaki diğer kutular sırayla sola doğru doldurulur. Tek katlı kökün soluna sağındaki işaretin zıttı, çift katlı kökün soluna sağındaki işaretin aynısı yazılır. x²>x8 eşitsizliğinin kümesi nedir? ² 8>0 ifadesi, çarpanlara ayrılır. ( )()>0 =- =6 a=>0 olduğundan kökler dışı, kökler arası dir. Uyarı: Çift katlı köklerde grafik Ox eksenine teğet olduğundan eğri, o noktada da işaret değiştirmez. f() - 6 Ç={ << veya 6<, ЄR} x 8<x² eşitsizliğinin kümesi nedir? (x)00=0 ise x= çift katlı köktür. x 8<x² x²x-8<0 bulunur.

4 4 =b² 4ac=()² 4.( )( 8) = 9<0 dır. Buna göre, denklemin gerçek kökü yoktur. Çünkü karekök içinde negatif ifade bulunmaz. ЄR için x²x-8<0 dır. Ç= IR f() x²x 8 0 ve (x ) >0 (x ) sisteminin kümesini bulunuz. x²x 8 =0 (7)(-4)=0 =-7, = 4 EŞİTSİZLİK SİSTEMİ İki ya da daha fazla eşitsizliğin oluşturduğu sisteme eşitsizlik sistemi denir. Bir eşitsizlik sistemindeki eşitsizlikleri birlikte sağlayan değerlerin oluşturduğu kümeye eşitsizlik sisteminin kümesi denir. Eşitsizlik sisteminde her eşitsizliğin aralığı ayrı ayrı bulunur. Bu aralıkların kesişim kümesi sistemin kümesidir. NOT: f(x)>0 ın kümesi Ç ve g(x) 0 ın kümesi Ç ise f(x) 0 sisteminin kümesi Ç Ç dir. g(x) 0 x²-x8 >0 x²4x <0 eşitsizlik sisteminin kümesini bulalım. x²-x8 =0 (-4)()=0 =, =4 x²4x <0 ()()=0 =-, 4= x²-x8 x²4x Çözüm Ç={ -<<-, ЄR} 7-4 x²x 8 (x ) (x ) (x ) =, 4= (x ) Ç={ 7 x<- veya <x 4 ЄR} x² 9x8 0 x² 7x0<0 x² 9x8=0 ( )( 6) =, =6 x² 7x0=0 sisteminin kümesini bulunuz. 6 x² 9x8 x² 7x0 ( )( ) =, = Ç={ <, ЄR} x²x 4 <0, x²x 6 <0 eşitsizlik sisteminin kümesini bulalım. x²x 4 <0 (4)(-)=0 =-4, = x²x 6 =0 ()(-)=0 =-, 4= 4 - x²x 4 x²x 6 Ç={ <<, ЄR}

5 Simetrik iki kök varsa, = yani kökler toplamı sıfır İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİNİN İŞARETLERİNİN İNCELENMESİ f(x) = ax bx c = 0 ın kökleri x ve x olsun. =b 4ac olmak üzere aşağıdaki tabloyu yazabiliriz. ise b=0 ve kökler çarpımı olan. <0 olmalıdır. (a - 7) ). = <0 olup <a<7 ve (a ) ) b= a² 6=0 =(a4)(a 4) a =4, a = 4 Buradan; Ç={a <a<7, aєr} a=4 olmalıdır. 0 Denklemin reel kökü yoktur. =0 x.x 0 0 x.x 0 x.x =0 0 x.x x x 0 ise 0 x =x x x 0 ise x =x 0 x x 0 ise 0 x x x x 0 ise x x 0 x x 0 ise 0=x x x x 0 ise x x =0 x x 0 ise x 0 x ve x x x x 0 ise x 0 x ve x x x x =0 ise x 0 x ve x =x x² =0 denkleminin köklerinin işareti nedir? =b² 4ac=4 4.( )=64>0 olduğundan, iki reel kökü vardır. Denklemin, kökleri için. = <0 olduğundan, iki kök farklı işaretlidir. Yani x <0<x dir. x²mxm² m 8=0 denkleminin bir kökü 0 dır. Denklemin diğer kökünün negatif gerçel sayı olması için m kaç olmalıdır? Kökler, olsun.. =0 olacaktır.. = m² m 8=0 ise (m 4)(m)= 0 m =4, m = =0 için, = m= ise, x = m <0 m>0 dır. Buna göre m=4 olmalıdır. (a )x²(a² 6)xa 7=0 denkleminin simetrik iki kökü (k )x² (k 6)xk 9=0 denkleminin kökleri x ve x dir. x <0<x ve x > x ise k nın aralığı nedir? ) x. <0 dır. (k - 9). = (k - ) <0 ) >0 olur. Çünkü > 6 9 (k - 9) (k - ) (k - 6) (k - ) (k - 6) = (k - ) >0 Ç={k 6<k<9, kєr} (a)x² ax=0 denkleminin köklerinin ikisinin de negatif olması için a hangi aralıkta olmalıdır? >0, x.x >0 ve x x <0 olmalıdır. ) =b² 4ac için, 4a² 4a 8 >0 ise a² a >0 dır. a² a =0 denkleminin köklerini bulalım. a² a =(a )(a)=0 ise a =, a = ) x.x = >0 a a ) x x = <0 a a a² a a a a ÇK={m <m<, aєr} => (, ) olduğuna göre, a kaçtır?

6 ax bxc=0 denkleminin kökleri x ve x dir. a 0 b c olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) x x 0 B) 0 x x C) x =x 0 4 x 4 x 8 0. (x ) x.(x ).(x ) (x ) x.(x ) (x ). x 4 x x 4 6 D) x 0 x ve x x E) x 0 x ve x x (x ) (x ).(x ).x..(x ). x x GENEL SORULAR. x² - x >0 eşitsizliğinin en geniş kümesi x² - x 4 nedir? (ÇK={ ЄR})). 0<m< olmak üzere, x - m mx - aralığı nedir? (m,/m) <0 eşitsizliğinin en geniş SORULAR. x.x 4 0 (, ) (4, ). (t 4)²(t )²t³ 0 eşitsizliğini sağlayan t tamsayı (4 - t)² kaç tanedir? ÇK={ t 0}. x 4.x 0 (, 0) (4, ) R. x 0.x x 0 (, ) 4. x²tx=0 denkleminin reel köklerinin olmaması için t² hangi aralıkta olmalıdır?(0 t²<8). x x <0 eşitsizliği sağlandığına göre, x in en geniş aralığı nedir? ÇK={ <<, ЄR}. ( x ).(x ) (.,. ) (x - 7).(x - ) x 4 > 0 eşitsizliğini sağlayan x 6. x.(x ) (x ).(.x ) (, ) 7. x x.x x (x ).x.(x ).(x ).(x ) ( )..x 4.x 4.x 9.x 9. 4 (x ).( ) x (, 8) x tamsayılarının toplamı kaçtır? (6) ax - ax 7. >0 eşitsizliği x in aldığı bütün reel sayılar x - x için sağlandığına göre, a nın en geniş kümesi nedir? ÇK={0<a<4, aєr} 8.x²xk ifadesi daima ten büyük olabilmesi için k nın en küçük tamsayı değeri kaçtır? (7) 9. ( k)x²(-k-)xk4 =0 denkleminin zıt işaretli iki reel kökünün olmasını sağlayan k tamsayılarının toplamı kaçtır?

7 7 0. f:r R olmak üzere şekilde y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. y=f(x). f(x)= (m)x²(m )xm fonksiyonunda x in bütün reel sayı değerleri için daima f(x) > ise m nin en geniş kümesi nedir? - f(x-).f(x) 0 eşitsizliğinin ünü sağlayan x tamsayıları kaç tanedir?. c<a<0<b olduğuna göre, eşitsizliğini sağlayan aralık nedir? cx (c - a)x - a ax - b <0. nedir? x eşitsizliğinin en geniş kümesi 4. 6x x² >0 ve x ( ) 0 sisteminin kümesi nedir?. x ve y reel sayılardır. 4y 4xy x 0 olduğuna göre x için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? -<x<4 - x 4 x<- ve x>4 x<- ve x 4 x -4 ve x 6. x²(t)xt =0 denkleminin kökleri x ve x dir. t>0, x < x ise, x ve x nin sıralaması hakkında ne söylenebilir? x <x <0 7. x x - eşitsizliğinin kümesi nedir? 8. nedir? x - 4 < 4 eşitsizliğinin en geniş kümesi Rafet ÖNAL Matematik Öğretmeni Samsun 04 iletişim: rafetonal@hotmail.com 9. ax bx c 0, b> ve b< ac olduğuna göre bu denklemin kökleri için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? a) Bir gerçel kök vardır. b) İki irrasyonel kök vardır. c) İki rasyonel kök vardır. d) Bir gerçel bir irrasyonel kök vardır. e) Reel kök yoktur(gerçel değildir) 0. (a-)x²(a)x(a ) =0 denkleminin kökleri x ve x dir. x <0<x ve x > x olması için, a nın alabileceği değerlerin aralığı nedir?