Rastgele Değişkenler ve Olasılık

Transkript

1 Rastgele Değişkenler ve Olasılık Yrd. Doç. Dr. Ümit Deniz Uluşar Doğum Günü Problemi Rastgele seçilen n kişiden en az iki tanesinin doğum günleri aynı olma olasılığı. n 367 ise %100 n 57 ise %99 n 23 ise %50 1

2 Matlab: Doğum Günü Öğrenme Amaçlarınız Kesikli rastsal değişkenin dağılım fonksiyonundan ve sürekli değişkenlerin olasılık dağılım fonksiyonundan olasılıklarını belirleme. Birikimli dağılım fonksiyonunu kullanma. Kesikli ve sürekli rastsal değişkenlerin ortalamasını ve varyansını hesaplama. Çeşitli olasılık dağılım türlerinin varsayımlarını anlama. Bir uygulamada kullanılmak üzere uygun olasılık dağılımını seçmek. Normal dağılımı tablo ve ya yazılım yardımıyla kullanmak. İstatistiği ve merkezi limit teorisini anlamak. 2

3 Olasılık Teorisi ve İstatistik Olasılık teorisi ve istatistik, gerçekleşmesi kesin olmayan (belirsiz) olayların gerçekleşme olasılıklarının tahmin edilmesinde temel oluşturur. Bu sayede olası riskler kötü sonuçlar yaratabilecek riskler göz önünde bulundurularak rasyonel kararlar vermemize imkan sağlar. Olasılık teorisine göre bir mühendislik problemindeki risklerin olasılıklarını olasılık modelleriyle (rastgele değişkenler ve rastgele prosesler) modelleyebiliriz. Mühendislik ve İstatistik Karar vermede mühendisliğin görevi insan, maliyet ve çevre faktörlerini göz önünde bulundurarak verilecek karar için temel oluşturmaktır. Örnek olarak sel baskınını engellemek için yapılacak setin yüksekliği. Setin yüksekliği arttıkça sel baskınını önlemek mümkün olacaktır. Fakat suyun doğası gereği seviyesi beklenen yükseklikten daha fazla olabilir. Mühendislik istatistik en uygun yüksekliği belirlememiz için gerekli olan teoriyi bize öğretir. 3

4 Prairies, Kanada, 2011 Çaycuma,Zonguldak, Türkiye,

5 ABD'nin Oklahoma eyaleti meteorolojik felaketin hedefi oldu. Eyalet merkezini ve çevresini vuran hortumda ölenlerin sayısı 91'e ulaştı. Yaklaşık 800 metre çapında olan hortum saatte 320 kilometre hızla ilerlerken üzerinden geçtiği evleri yerle bir etti. 5

6 Rastgele Deneyler Aynı şekilde tekrarlansa bile farklı sonuçlar veren deneylere rastgele deneyler denir. Burada farklılığı yaratan rastgele bileşendir. Ör: Bir makine için: Titreşim, Sıcaklık, İşleten farklılığı, Kalibrasyon farklılığı, Kesim parçalarının zamanla aşınması, Saf maddedeki farklılıklar. Ör: Ohm Kanunu Voltaj (V) = Akım (I) x Direnç (R) Fiziksel Sistem Model Kontrol Edilen Değişkenler Girdi Fiziksel Sistem Çıktı Gürültü Değişkenleri 6

7 Rastgele Değişkenler Rastgele değişken gerçekleştirilen rastgele deneylerde ölçüm sonuçları değişebilen değişkendir. Genellikle büyük harflerle gösterilirler. Ör: X Deney gerçekleştirildiğinde elde edilen deney sonucu genellikle küçük harfle gösterilir Ör: x=70 mili amper Sürekli (Continuous) rastgele değişkenler bir aralıktaki herhangi bir değeri alabilen değişkenlerdir. Ör: Elektriksel akım, uzunluk, basınç, sıcaklık, zaman, voltaj, ağırlık Kesikli (Discrete) rastgele değişkenler sadece sınırlı sayıda bir reel sayı setinden değerleri alabilir. Ör: Bir yüzeydeki çizik sayısı, Gözlemlenen 1000 parçadan sorunlu parça sayısı, hatasız şekilde transfer edilen bit sayısı Olasılık Rastgele değişkenler bir olayın sonucunu tanımlamak için kullanılırlar. Olasılık bir olayın sonucunun belirli bir değer setinin içine düşme şansını belirten bir sayıdır. Ör: Üretilen bir parçanın uzunluğunun 10.8 ile 11.2 milimetre arasında olma olasılığı %25. Olasılık genellikle rastgele değişkenler kullanılarak gösterilir. P(Xϵ[10.8, 11.2])=0.25 yada P(10.8 X 11.2)=0.25 7

8 Olasılık Gerçekleşme İhtimalinin Artması Olasılık: Bu olayın gerçekleşme ihtimali düşük. Gerçekleşme ihtimali en az gerçekleşmeme ihtimali kadar. Gerçekleşme ihtimali neredeyse kesin. Sonuç Uzayı - Olayların Sonuçları Bir rastgele değişken için bütün olası sonuçların oluşturduğu sete sonuç uzayı denir. Para atışı: S : { Yazı, Tura } Zar atışı: S:{1,2,3,4,5,6} Yeni doğan bir çocuğun cinsiyeti: S:{erkek, kız} 3 defa atılan paranın sonuç uzayı: S:{YYY,YYT,YTY,YTT,TYY,TYT,TTY,TTT} 8

9 Özellikler - Ayrık Setler 1. P(XϵR)=1, R reel sayılar seti 2. 0 P(XϵE) 1 herhangi bir E seti için 3. Eğer E 1, E 2, E n ayrık setlerse, P(Xϵ E 1 E 2.. E k ) = P(Xϵ E 1 ) +. + P(Xϵ E k ) İlk özelliğe göre olasılığın maksimum değerinin 1. İkinci özelliğe göre olasılık hiçbir zaman negatif olamaz. E 1, E 2. E n setlerinin ölçümlerinin oranlarının toplamı eğer setler birbirinden ayrıksa setlerin birleştirilince elde edilecek orana eşittir. Özellikler 3. özelliği kullanarak alttaki durumu yazmak mümkündür. P(X 10) = P(X 0) + P(0<X 5) + P(5<X 10) Bir setin tersinin olasılığını bulmak içinde kullanılabilir. A C bir setin komplementi (tersi) olsun. A ve A C bağımsız olaylar olduğu için A U A C =R, 1=P(XϵR) = P(Xϵ A U A C )=1 ve sonuç olarak P(Xϵ A C )=1-P(Xϵ A) P(A) + P(A C ) = 1 9

10 Ör: P(X 5000) = 0.1, P(5000<X 6000) = 0.3, P(X > 8000) = 0.4 olduğuna göre P(X 6000) değeri nedir? 0.4 P(X > 6000) = 1 - P(X 6000) = = 0.6 Örnek Uzay: S={E1,E2,.,Ek} Örnek Uzay Bütün olası sonuçların listesi Basit Olaylar Tek olayları basit olay olarak kabul ediyoruz Bir şans deneyinden elde edilen olası sonuçların topluluğuna OLAY denir ve yalnızca tek bir sonuçtan oluşan olaya BASİT OLAY denir. 20 Olay Olay bir yada daha çok basit olayın toplamı. Amacımız P(A), A olayın, gerçekleşme ihtimalini belirlemek. 10

11 Ör: Örnek Uzay 3 defa atılan paranın sadece bir defa yazı gelmesi A:{YTT, TYT, TTY} 3 defa atılan paranın en az 1 defa yazı gelmesi A:{YYY,YYT,YTY,YTT,TYY,TYT,TTY} Olasılıkları Atamak P(A) A olayın gözlemlendiği olay sayısının oranı. P(A)= A daki toplam olaylar S deki toplam olaylar Ör: 52 kartlık desteden as çekme olasılığı nedir? 11

12 Bir Olayın Gerçekleşme Olasılığının Belirlenmesi Verilen bir örnek uzayında S={e 1, e 2, e n } altta P(e i ) için belirtilen özelliklerin bulunması gerekir: 0 P(e i ) 1 her i değeri için Σ P(e i ) = 1 Bir olayın olasılığı: Bir olayın gerçekleşme olasılığı P(A) olayı gerçekleştiren basit olayların toplamıdır. Kesişme A ve B olaylarının kesişmesi A ve B olayları gerçekleştiğinde olur. A ve B olaylarının kesişmesi A B şeklinde gösterilir. A ve B nin ortak (joint) olasılığı P(A ve B) yada P( A B) şeklinde gösterilir. 12

13 Birleşim A ve B olaylarının birleşimi A ya da B olayının ya da ikisinin aynı anda oluşması anlamına gelir. En azından bir olayın olması gerekir. A yada B ya da AB şeklinde gösterilir. Ör: 52 kartlık desteden çekilen bir kartın as ya da papaz gelme olasılığı. 2/13 VENN DİYAGRAMI 1 A S 1 A 3 5 C 2 B 4 6 AB AB A 4 6 B B AC = A ve C ayrık setler 13

14 Ör: 6 seçenekli zar atıldığında gelen sonuç. Gelenin en fazla iki olma olasılığı. P(X 2)=2/6 Gelenin çift sayı olma olasılığı. P(X ϵ [2 4 6])=3/6 6 gelme olasılığı. P(X=6)=1/6 Toplama Kuralı Herhangi iki A ve B olayı için P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Ör: 52 lik oyun kartı destesinden çekilen kartın papaz, as, sinek valesi veya maça kızı olma olasılığı nedir? P(O1)=4/52 P(O2) = 4/52 P(O3)=1/52 P(O4) =1/52 P(O1 veya O2 veya O3 veya O4) = P(O1)+P(O2)+P(O3)+P(O4) =4/52+4/52+1/52+1/52=5/26 14

15 Ör: Hastaneye gelen hastaların dağılımı alttaki tabloda gösterilmektedir. A 1 numaralı hastaneyi ziyaret eden hastaları göstersin ve B muayene edilmeden ayrılan hastaları göstersin. A B =? A C =? A U B =? = =6050 Sürekli Olasılık Dağılım Rastgele değişkenler sürekli değişkenler ve kesikli değişkenler olarak iki gruba ayrılabilir. Olasılık dağılım fonksiyonu yada rastgele değişkenin dağılımı, rastgele değişken X in alabileceği değerlerin olasılık değerlerini gösterir. 15

16 Sürekli Olasılık Dağılım Fonksiyonu Genellikle matematiksel bir formülle gösterilir. Bütün Değerleri Gösterir Frekans x, ve frekanslar, f(x) (Değer, Frekans) f(x) olasılık değildir f(x) Özellikler f ( x) dx f ( x) 0, 1 a x b a Değer b x Sürekli Rastsal Değişken Olasılığı Genellikle soru olan konu bir değişkenin belirli bir aralıkta olma olasılığı yada belli bir değerden küçük olma olasılığıdır. Ör: x in c ile d arasında olma olasılığı. P ( c X d) f ( x) dx f(x) X c d d c 16

17 Ör: İnce bakır telden geçen akımın miliamper cinsinden ölçümünü gösteren rastsal değişken X olsun. X in değer aralığı [0, 20 ma] ve olasılık dağılım fonksiyonu f(x)=0.05. Bir akım ölçümünün 10 miliamperden az olma olasılığı nedir? Bir manyetik diskin başlangıcından ilk hataya kadar olan Ör: 3-2 mesafeyi gösteren rastsal değişken X olsun. Geçmişe dönük veriler X in olasılık dağılım fonksiyonu İlk hatanın 1000 mikrometreden daha uzun olduğu disklerin toplam disklere oranı nedir? İlk hatanın1000 ve 2000 mikrometre arasında olduğu disklerin oranı nedir? 17

18 Birikimli Dağılım Fonksiyonu Olasılık dağılımlarını göstermenin bir diğer yöntemi de birikimli dağılım fonksiyonudur. X rastsal değişkeninin olasılık dağılım fonksiyonu Sürekli rastsal değişken X için, tanım F(x)=P(X<x) Bir manyetik diskin başlangıcından ilk hataya kadar olan Ör: 3-3 mesafeyi gösteren rastsal değişken X olsun. Geçmişe dönük veriler X in olasılık dağılım fonksiyonu Bu durumda birikimli dağılım fonksiyonu P(X<1000) 18

19 Ortalama ve Varyans Değeri Olasılık dağılımlarının varyans ve ortalama değeri de bulunmaktadır. Örneklem verisi için ortalama değer Ortalama µ ve beklenen X değeri E(X) değeri Varyans Değeri Örneklemin varyans değeri Olasılık dağılım fonksiyonu için varyans değeri 19

20 Varyans İntegralin özellikleri kullanılarak formülü elde edilir Ör: Bakır telden geçen akım örneği için 20

21 Ör: Manyetik disk örneği için Önemli Sürekli Dağılımlar Düzgün Dağılım Normal Dağılım Lognormal Dağılım Gama Dağılımı Weibull Dağılımı Beta Dağılımı 21

22 Düzgün Dağılım Benzer sonuçların gözlendiği durumlarda kullanılır. Olasılık Dağılım Fonksiyonu f x 1 1 ( ) d c d c f(x) Ortalama & Standard Sapma c d x c d 2 d c 12 Ortalama Medyan Olasılık Dağılım Fonksiyonunun Ortalaması ve Standart Sapması f ( x) 1 d c 22

23 Ör: Düzgün Sürekli Dağılım Siz bir içecek kutulama firmasının üretim müdürüsünüz. 12 litre Doldurması gereken bir makinenin, gerçekte 11.5 ile 12.5 litre arasında dolum yaptığını görüyorsunuz. Bu dolumun dağılımının düzgün dağılım olduğunu farz edersek, 11.8 litreden düşük dolum olma olasılığı nedir? SODA Düzgün Dağılım Çözümü f(x) d c x P(11.5 X 11.8) = (Taban)(Tavan) = ( )(1) =

24 Normal Dağılım Birçok doğada gerçekleşen rastgele olayı tarif eder. Süreksiz Olasılık Dağılımı Tahmini İçin Kullanılır Örnek: Binomial Klasik İstatistiksel Sonuç İçin Temel Normal Dağılım Çan Eğrisi & Simetrik f(x) Ortalama,Medyan, Mod eşit Ortalama Yayılma 1.33 Ortalama Medyan Mod X 24

25 Normal Dağılımın Olasılık Dağılım Fonksiyonu 1 f ( x) e x, x f(x) = Olasılık dağılım fonksiyonu = Standard sapma = ; e = x = Rastgele değişken değeri (- < x < ) = Ortalama Parametrelerin ( & ) Değiştirilmesinin Etkisi 25

26 Matlab Normal Dağılım x=[-2:0.01:8]; % x in deger araligi -2 ile 8 arasinda 0.1 artan seklinde sigma=1; % normal dagilimin standart sapmasi 1 mu=2; % dagilimin ortalama degeri 2 y=1./(sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((x-mu).^2)./(2.*sigma.^2)); plot(x,y,'k.') hold on YY = normpdf(x,mu,sigma) % Matlab in hazır fonksiyonunu kullanarak plot(x,yy,'g') mu=0; sigma=0.5; y=1./(sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((x-mu).^2)./(2.*sigma.^2)); plot(x,y,'r') 26

27 1 f ( x) e x 2, x Normal Dağılımın Olasılığı Olasılık Eğrisinin Altındaki Bölge P( c X d) f ( x) dx c d f(x) c d x 27

28 Normal Dağılımda Standart Sapma P( µ - X µ + ) P( µ - 2 X µ + 2 ) P( µ - 3 X µ + 3 ) Standart Normal Dağılım Standart Normal Dağılım, normal dağılımı µ = 0 ve 1 durumudur. Standart Normal Dağılım değişkeni Z ile gösterilir. Eğer X normal rastgele değişkense ve E(X)= µ ve V(X)= 2 ise Z=( X- µ )/ rastsal normal değişkendir ve E(Z)=0 V(Z)=1 dir. Z X Normal Dağılım Standart Normal Dağılım = 1 X = 0 Z 28

29 Örnek Standartlaştırma Z X Normal Dağılım = 10 Standart Normal Dağılım = 1 = X = 0.12 Z Standart Normal Dağılım Tablosu z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0 0,5 0, , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , ,6293 0, , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , ,

30 Olasılığı Elde Etmek Standart Normal Dağılım z 0 0,01 0,02 0 0,5 0, , ,1 0, , , Örnek P(5 X 6.2) σ=10 μ = 5 Gölge Alan? = 10 = X 30

31 Örnek P(5 X 6.2) σ=10 μ = 5 z 0 0,01 0,02 0 0,5 0, , ,1 0, , , Gölge Alan? = 10 = = X = 0.12 Z Örnek P(3.8 X 5) σ=10 μ = 5 = 10 X Z 10 Normal Dağılım Gölge Alan?.12 = = 5 X -.12 = 0 Z 31

32 Örnek P(2.9 X 7.1) σ=10 μ = 5 Normal Dağılım Z Z X X = 10 = X Gölgeli Alan Z Örnek P(X 8) σ=10 μ = 5 Z X Normal Dağılım = 10 = = 5 8 X = 0.30 Z Gölgeli Alan 32

33 Örnek P(7.1 X 8) σ=10 μ = 5 Z Z X X Normal Dağılım = 10 = 1 = X Gölgeli Alan = Z Örnek: Bir işletmede üretilen vidaların çaplarının uzunluğunun ortalaması 10 mm ve standart sapması 2 mm olan normal dağılıma uygun olduğu bilinmektedir. Buna göre rastgele seçilen bir vidanın uzunluğunun 8,9mm den az olmasının olasılığını hesaplayınız. X ~ N ( 10, 4 ) P( X 8,9)? x 8,9 10 P( X 8,9) P P( z 0,55) 2 f(z ) P( z 0,55) 0,5 0,2088 0,2912-0,55 0 z 33

34 Ör: Depolama sürücüsündeki şaftın yarıçaplarının ortalaması inç ve standart sapması inç olan normal dağılıma uygun olduğu bilinmektedir. Şaftın üstündeki spesifikasyonlar inç olarak belirtilmektedir. Üretilen şaftların nekadarlık kısmı spesifikasyonda belirtilen standartları sağlamaktadır? Bilinen Olasılıklar için Z Değerleri Bulunması Z kaçtır P(Z) =.1217?.1217 = 1 Standart Normal Dağılım Tablosu z 0 0,01 0,02 0 0,5000 0,5040 0,5080 = 0? 0,3 1 Z 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,3 0,6179 0, ,6255 0,4 0,6554 0,6591 0,

35 Bilinen Olasılıklar için X Değerleri Bulunması Normal Dağılım = 10 Standart Normal Dağılım = = 5? X = 0.31 Z Bilinen Olasılıklar için X Değerleri Bulunması Normal Dağılım = 10 Standart Normal Dağılım = = 5? X = 0.31 Z X Z * *

36 Vize Konuları Buraya Kadar Log-Normal Dağılım Olasılık teorisinde log-normal dağılım logaritması alındığında normal dağılım gösteren X rastsal değişkeninin dağılımıdır. X in ortalama değeri ve varyansı 36

37 x=[0.001:0.0001:3]; % x in deger araligi mu=0; % dagilimin ortalama degeri 2 figure sigma=0.125; y=1./(x.*sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((log(x)-mu).^2)./(2.*sigma.^2)); plot(x,y,'k') hold on sigma=0.25; y=1./(x.*sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((log(x)-mu).^2)./(2.*sigma.^2)); hold on plot(x,y,'r ) sigma=0.5; y=1./(x.*sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((log(x)-mu).^2)./(2.*sigma.^2)); hold on plot(x,y,'b') sigma=1; y=1./(x.*sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((log(x)-mu).^2)./(2.*sigma.^2)); hold on plot(x,y,'g') sigma=1.5; y=1./(x.*sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((log(x)-mu).^2)./(2.*sigma.^2)); hold on plot(x,y,'y') legend('0.125','0.25','0.5','1','1.5') xlabel('x') ylabel('f(x) ) 37

38 Log-Normal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Ör: Log-Normal Dağılım Yarıiletken lazerin ömrü θ=10 ve ω=1.5 saat olan lognormal dağılım şeklindedir. Ömrünün saati geçme olasılığı nedir. Hangi yaşam süresi lazerlerin %99 tarafından geçilir. saat 38

39 Ortalama değerinin ve standart sapmasını hesaplayınız. X in standart sapması 197,661.5 saat. Gama Dağılımı 39

40 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5/26/2014 Üstel Dağılım Olasılık teorisinde üssel dağılım meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin dağılışıdır. Örnek: Bir bankada veznede yapılan işlemler arasındaki geçen süre, Bir taksi durağına gelen müşteriler arasındaki süre, Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların arasındaki geçen süre, Bir kumaşta iki adet dokuma hatası arasındaki uzunluk (metre). Üstel Dağılım Olasılık Dağılım Fonksiyonu x e, x 0 f x) 0 diger durumlarda Birikimli Dağılım Fonksiyonu: = 2.0 F(x) =1e x, x0 λ birim zamanda olayın gerçekleşme sayısı 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 = 0.5 Üstsel Dağılım Lamda 2 Üstsel Dağılım Lamda =0,5 40

41 Üstel Dağılım Üstel dağılımın olasılık : P(X > a) = e a. P(X < a) = 1 e a P(a< X < b) = e a) e b) Hafızasız olma özelliği!!!!!!!!!! 0 veya daha büyük tüm s ve t değerleri için: P(X > s+t X > s) = P(X > t) ispatı Ör: Üstel Dağılım Bir bilgisayar sisteminin saniye cinsinden cevap verme süresi λ = 1/3 parametreli üssel dağılıma uygun şekilde gerçekleşmekte olduğu gözlemlenmiştir. (Ortalama üç saniyede 1 cevap verme söz konusu). Ortalama süreden daha uzun cevap verme olasılığı: P(X > 3) = 1-(1-e -3/3 ) = e -1 = ile 3 saniye arasında olma olasılığı: P(2 <= X <= 3) = F(3) F(2) = saniye geçmiş olduğu halde 1 saniye daha cevap vermeme olasılığı: P(X > 3.5 X > 2.5) = P(X > 1) = e -1/3 =

42 Ör: (Üstel Dağılım): Bir taksi durağına bir saatlik zaman dilimi içerisinde gelen taksilerin geliş sayısı Poisson dağılışına uygun bir şekilde gerçekleşmektedir. Durağa saatte ortalama 24 adet taksinin geldiği bilindiğine göre durağa gelen bir yolcunun en çok 5 dakika beklemesi olasılığı nedir? Saatte ( 60 dakikada ) 24 adet taksi geliyorsa, 1 dakikada 24/60 adet taksi gelir (yani λ=1/2.5). P ( x 5 ) =? f x) x e, x 0 diger durumlarda HESAPLAMA KOLAYLIĞI P( x a) a e x dx e a P( X 5) ,5 e 1 2,5 x dx ,5 e 1 2,5 x dx 1 e 5 2,5 1 e 2 Ör: Büyük bir şirketin bilgisayar ağında bilgisayara girişler (log-on) Poisson dağılışına uygun bir şekilde gerçekleşmektedir. Ortalama saatte 25 giriş gerçekleştiğine göre 6 dakikalık bir aralıkta hiç giriş olmama olasılığı nedir. X ilk giriş için gereken zamanın saat cinsinden gösterimi olsun. Soru P(X>0.1) =? ve λ=25 giriş/saat. 25x ( X 0.1) 25e dx *0.1 e P Bir sonraki girişin gerçekleşmesi ortalama olarak E(X)=1/25=0.04 saat yani 2.4 dakikadır. Aynı şekilde standart sapması da 2.4 dakika olur. 42

43 Üssel Dağılımın Ortalama ve Varyansı Eğer X bir üssel rastsal değişken ve λ paremetresiyse. Ortalama ve Standart Sapma E( X ), 1 1 Kesikli Olasılık Dağılımları 43

44 Kesikli Rastsal Değişkenler Eğer bir rastgele değişken olan X sadece sonlu sayıda değerler alırsa (x 1,x 2. x n ) X kesikli rastsal değişkendir ve kesikli bir dağılımı vardır. Ör: Bir sesli iletişim terminalinin 48 dış hattı vardır. Belirli bir zamanda bu hatların kaç adetinin kullanıldığı gözlemlenmiştir. Rastgele değişken X kaç hattın kullanıldığını belirsin. X in alabileceği değerler 0 ile 48 arasında bir tamsayıdır. Olasılık Dağılımı Kesikli rastgele değişken X in olasılık yoğunluk fonksiyonu X in alabileceği bütün değerlerin gerçekleşme olasılığını gösterir ve alttaki gibi tanımlanır. f x (x) = P(X=x) Eğer {x 1,x 2,.} X in muhtemel değerlerinin kümesi ise, o zaman herhangi bir xϵ {x 1,x 2,.} için olasılık yoğunluk fonksiyonu f x (x) 0 dır. Ör: Para için P(X=tura) = 1/2 44

45 Ör: Ör: Transfer edilen 4 sinyalde hata olma olasılığı Ör: Çubuk üstündeki yükün dağılımı Ör: Zar Rastsal değişken X bir adil zarın yüzündeki sayı olsun bu durumda bütün tam sayılar 1, 2,, 6 gelme şansı eşittir. Bu durumda dağılım kesikli düzğün dağılımdır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu (pmf) f(x) f x) 1 k 0, x x, x 1 2,... x diger durumlarda k 45

46 Birikimli Dağılım Fonksiyonu Kesikli rastsal değişkenin birikimli olasılık yoğunluk fonksiyonu Ör: Transfer edilen 4 sinyalde hata olma olasılığı için birikimli dağılım fonksiyonu. Ortalama ve Varyan Değeri X kesikli rastsal değişkeninin olası değerleri {x 1,x 2, x n } olsun. Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x)=p(x=x) olsun. Olasılık dağılımının ortalama µ ve beklenen X değeri E(X) değeri Ve varyans değeri 46

47 Ör: Ör: Transfer edilen 4 sinyalde hata olma olasılığı Bernoulli Olayı Bir deneyde iki olası sonuç varsa bu Binom dağılımının altyapısını oluşturur ve bu tür deneylere Bernoulli denemesi denir. Genellikle burada her denemenin birbirinden bağımsız olduğu varsayılır. Ayrıca her denemede başarılı olma olasılığı sabit olduğu varsayılır. Ör: 4 şıklı bir test sorusunun cevabını atarak doğru tahmin etme. Cevabı doğru bilme olasılığı 1/4 olacaktır. 47

48 Binom Dağılım Sadece iki sonuç (0,1 veya başarı, başarısızlık) alabilen deneyin, n farklı denemede x kere başarılı olma olasılığını verir. Denemeler bağımsızdır. Her denemede sadece iki olası sonuç bulunur, başarılı ve başarısız. Burada p başarılı olma olasılığını göstermektedir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x): f ( x) n! p x!( n x)! x (1 p) ( nx) Ör: Binom Dağılımı Bir makine 1% bozuk parça üretmektedir. X=üretilen 25 parçadan 1 tanesinin bozuk olma olasılığıysa X nedir. Örnek alınan bir havanın 10% olasılıkla özel bir molekül içerme olasılığı vardır. X = analizi yapılan 18 hava örneğinde ilgili molekülün görülme olasılığı nedir. Hastanede gerçekleşecek olan 20 doğumda X=kız çocuk sayısını gösteren rastsal değişken olsun. X in 5 olma olasılığı nedir. 48

49 Binom Dağılımı Ör: 20 defa atılan paranın n defa (yatay eksen) tura gelme olasılığı (düşey eksen) 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,

50 Binom Dağılımının Ortalama Değeri ve Varyansı Eğer X bir binomial rastsal değişken ve n ve p paremetreleriyse. Ortalama E( X ) np Varyans 2 V( X ) np(1 p) Matlab prob = binocdf(3,25,0.2); prob2 = sum(binopdf(0:3,25,0.2)); 50

51 Poisson Dağılımı Kesikli olasılık dağılımı olup bir olayın belli bir sabit zaman birim aralığında meydana gelme sayısının olasığını ifade eder. Ör: Elektronik posta servisi veren bir sisteme gelen elektronik postaların belirli bir zaman aralığında gelişleri rastgelelik taşır. Olayın gerçekleşme sayısı (gelen posta) kesikli bir olasılık dağılımı gösterir ve genellikle Poisson dağılımıyla modellenir. Aralık Olay Poisson Dağılımı Poisson dağılımının, λ > 0 için, olasılık yoğunluk ve birikimli dağılım fonksiyonları: E(X)=V(X)=λ x e f ( x) x! 0, x 0,1,2,..., diger durumda e F( x) x! x 51

52 Örnek: Poisson Dağılımı Bilgisayar tamir elemanının saatteki çağrı sayısının yaklaşık 2 olduğu verilmişse (saatte λ = 2). Önümüzdeki saat içinde elemanın 3 çağrı alma olasılığı: p(3) = e /3! = 0.18 veya, p(3) = F(3) F(2) = = saatlik periyotta 2 veya daha fazla çağrı alma olasılığı: p(2 veya üstü) = 1 p(0) p(1) = 1 F(1) = ,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,

53 Ör: Matlab λ = 2 ve x = 0 için p = poisspdf(0,2) p = Ör: Kalite kontrol departmanı harddiskler üstünde rasgele testler uygulamaktadır. Politikalarına göre üretim bandını harddiskte 4 bozuk kısımdan daha fazla bozuk kısım gözlemlerlerse kapatmaları gerekmektedir. Ortalamada 2 bozuk kısım gözlemlediklerine göre üretim bandını kapatma olasılıkları nedir? olasilik= 1-poisscdf(4,2) olasilik = Yaklaşık olarak 5% gözlemde normal üretim bandı 4 den fazla hatalı harddisk üretmektedir. Ör: Matlab Ortalama hata sayısı (λ) 4 e çıkarsa bir harddiskte 5 den az hata bulma olasılığımız nedir? olasilik= poisscdf(4,4) olasilik =

54 Birden Çok Rastsal Değişken ve Bağımsızlık Birleşik Olasılık Dağılımı Genellikle, X ve Y rastsal iki değişken, bu iki değişkenin birlikte gerçekleştirdikleri davranışın olasılık dağılım fonksiyonuna birleşik olasılık dağılımı denir. Ör: X: {Antalya da derece cinsinden hava sıcaklığı}, Y:{ Antalya da cm cinsinden yağış miktarı}. Biz : P(X<25 ve 1<Y<10) 54

55 Birleşik Olasılık Dağılım Fonksiyonu İki rastsal değişkenin birleşik olasılık dağılım fonksiyonu Birleşik olasılık dağılım fonksiyonunun altında kalan alan 1dir. Ör: Altta yatay eksen çapı düşey eksen kalınlığı göstersin. Serpilme Diyagramı Birleşik Olasılık Dağılım Fonksiyonu Kalınlık Çap Olasılığın Değeri Birleşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu iki olayın aynı anda gerçekleşme olasılığını gösterir ve P(X=x, Y=y) şeklinde belirtilir. X ve Y rastsal değişkeninin birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu alttaki özellikleri sağlar 55

56 Matlab %İkili standart normal dağılımı gösteren grafiği oluşturmak için ilk olarak bir grid yaratırız [x,y] = meshgrid(-3:.1:3,-3:.1:3); % Gridde bulunan her değer için olasılık değerini alttaki formülle hesaplarız. z = (1/(2*pi))*exp(-0.5*(x.^2+y.^2)); % sonucu ekrana yüzey olarak gösteririz. surf(x,y,z) 56

57 Bağımsızlık Eğer iki ve daha çok değişken birbirinden bağımsız rastsal değişkense: P(X 1 =x 1, X 2 =x 2,.. X n =x n )= P(X 1 =x 1 ) P(X 2 =x 2 ).. P(X n =x n ) Ör: Z standart normal değişken olsun P(-3.2 < Z < 3.2)P(-2.5 < Z < 2.5)P(-1.25 < Z < 1.25) değeri nedir? ( )( )( ) = Seri Sistemler Birden çok bağımsız parçadan oluşan sistemlerde eğer sistemin çalışıyor olması için bir yolla belirtilen güzergah üstündeki her parçanın çalışıyor olması gerekiyorsa bu sistemler seri sistemlerdir. Ör: Alttaki örnekte C1 parçasının çalışır durumda olma olasılığı 0.9 C2 parçasının çalışıyor durumda olma olasılığı 0.95 ise sistemin çalışıyor olma olasılığı nedir? 57

58 Örnek: Bir kişisel bilgisayar bir ekran, bir sabit disk ve bir kasadan oluşuyor. E1 =satın alınan ekranın arızasız olma olasılığı E2=satın alınan sabit diskin arızasız olma olasılığı E3=satın alınan kasanın arızasız olma olasılığı Olsun. Bu üç olay birbirinden bağımsızsa ve P(E1)=0.99, P(E2)=0.90 ve P(E3)=0.95 ise bilgisayarın sorunsuz olma olasılığı nedir. Paralel Sistemler Birden çok bağımsız parçadan oluşan sistemlerde eğer sistemin çalışıyor olması için bir yolla belirtilen güzergah üstündeki herhangi parçanın çalışıyor olması yeterliyse bu sistemler paralel sistemlerdir. Ör: Alttaki örnekte C1 parçasının çalışır durumda olma olasılığı 0.9 C2 parçasının çalışıyor durumda olma olasılığı 0.95 ise sistemin çalışıyor olma olasılığı nedir? Burada sistemin çalışmaması için iki parçanın da aynı anda çalışmaması gerekmektedir. Bir parçanın çalışmama olasılığı 1-çalışma olasılığıdır. Bu durumda sistemin çalışma olasılığı P(C1 veya C2) = 1 - P(C1, C2 ) = 1- P(C1 )P(C2 ) = 1 - (0.1)(0.05) =

59 Ör: Sistem altta belirtilen şekilde modellendiğine göre sistemin çalışma olasılığı nedir? Çözüm: Sistemi iki kısımda çözebiliriz. İlk bloğun olasılığı 1- (0.1)(0.2)(0.1) =0.998 İkinci bloğun olasılığı 1- (0.1)(0.05)=0.995 Bütün sistemin güvenilirliği (çalışma olasılığı) (0.998)(0.995)(0.99) = Rastgele Değişkenlerin Fonksiyonları Çoğu zaman bir rastsal değişken başka rastsal değişkenlerin bir fonksiyonu olarak tanımlanabilir. Y= X + c Burada X bir rastgele değişken be c sabit bir değer olsun. Yeni tanımlanan Y rastsal değişkeninin beklenen değeri ve varyansı E(Y)= E(X) + c = µ+c V(Y) = V(X) + 0 = σ 2 59

60 Rastgele Değişkenlerin Fonksiyonları Eğer bir sabit değer eklemek yerine bir sabitle çarparsak Y=cX Bu durumda yeni tanımlanan Y rastsal değişkeninin beklenen değeri ve varyansı olur. E(Y)= E(cX) = cµ V(Y) = V(cX) = c 2 σ 2 Rastgele Değişkenlerin Lineer Fonksiyonları Eğer X 1, X 2,.. X n rastgele değişkenlerse, E(X i )= µ i ve V(X i ) = σ 2 i ise ve rastgele değişken Y Y c X c X... c X n n ise E Y) c c... dir. V ( Eğer X 1, X 2,.. X n ve bağımsız normal rastgele değişkenlerse Y de bağımsız normal rastgele değişken olur. c n ( Y) c1 1 c c n n n 60

61 Ör: X 1 ve X 2 nin üretilen bir çerçevenin enini ve boyunu belirttiğini varsayalım. E(X 1 )= 2 cm ve X 1 in standart sapması 0.1 cm, E(X 2 )= 5 cm ve X 2 nin standart sapması 0.2 cm. X 1 ve X 2 bağımsız ve normal dağılıma uygun değişkenlerse üretilen parçanın çevre uzunluğunun 14,5 cm yi geçme olasılığını belirleyin. X 1 Y=2X 1 +2X 2 -> E(Y)=14 cm X 2 X 2 V(Y)=2 2 (0.1) (0.2) 2 =0.2 ve σ=0.447 X 1 P(Y>14,5)=P(Z>1.12)=0.13 Ör: U Şeklinde Parça Bir U şeklinde parça üç farklı borudan yapılmaktadır. Borulara A,B,C dersek, A nın uzunluk ortalaması 10 mm standart sapması 0.1 mm, B ve C nin ortalama uzunluğu 2mm ve standart sapması 0.05 mm dir. Bütün parçaların dağılımının bağımsız ve normal dağılıma uygun olduğunu varsayarsak. A) Aradaki D boşluğunun ortalama değerini ve standart sapmasını belirleyin. B) Bu boşluğun 5.9mm den küçük olma olasılığını hesaplayın. B D A C Y=1X 1 +(-1) X 2 +(-1) X 3 -> E(Y)=6 mm V(Y)=1 2 (0.1) 2 +(-1) 2 (0.05) 2 +(-1) 2 (0.05) 2 =0.015 ve σ= P(Y<5,9)=P(Z< )=

62 Ör: 1. Galvanizleme işlemi sırasında yüzey bitirme işlemi hatası ortalaması 40 saat olan üssel dağılıma uygun şekilde gerçekleşmektedir. Bir fabrika 3 adet birbirinden bağımsız galvanizleme hattı bulundurmaktadır. 40 saatlik çalışma süresinde hiçbir hattın yüzey bitirme işlemi hatası yaşamama olasılığı nedir? İşleme başladıktan 20 ve 40 saatleri arasında bütün bu üç hattın hepsinin de iki yüzey bitirme işlemi hatası yaşama olasılığı nedir? Rastgele Örnekler, İstatistik ve Merkezi Limit Teoremi 62

63 Rastgele Örnekler, İstatistik ve Merkezi Limit Teoremi Rastgele Örneklem : Aynı anakütleden elde edilen x 1, x 2, x 3,... x n rastsal değişkenlerin oluşturduğu kümedir. İstatistik : bu örneklemin bir fonksiyonudur. Ör: Ortalama Eğer ana kütlenin ortalaması µ ise, örneklemin ortalamasının da µ olması beklenir. (Rastsal değişkenlerin lineer fonksiyonu) Bir istatistiğin olasılık dağılım fonksiyonu örneklemin dağılımıdır. Ör: Normal dağılıma sahip bir ana kütleden n tane örnek alıp bir örneklem oluşturduk. Bu örneklemin ortalaması x ve varyansı V( ) olsun. ve x X1 X1... X n 1 X V ( X ) 2 n 2 n 63

64 Ör: Kutu içecek doldurma makinesinin ortalama doldurma miktarı 12.1 cl ve standart sapması 0.05 cl ise10 kutudan oluşan bir rastgele örneklemin ortalama doluluk miktarının 12 cl den az olma ihtimali nedir E( X ) 12.1 V ( X ) Sonuçta P( X 12) P( Z 6.32) 0 2 Merkezi Limit Teorisi X rastsal değişkenlerin ortalaması, varyansı 2 olsun. Bu kitleden örneklem büyüklüğü n olan örneklemler çekilsin. n arttıkça, bu örneklemlerin ortalamalarının dağılımı, ortalaması, varyansı 2 /n olan bir normal dağılıma yakınsar. Başka bir gösterim ile lim f ( X ) ~ N( ; n 2 n dir (Genelde, n30 olması nın dağılımının normal kabul edilmesi için yeterlidir). ) 64

65 Örneklem Dağılımı İçin Z Değeri (x μ) Z σ n burada: µ= kitle ortalaması x = örneklem ortalaması σ= kitlenin standart sapması n = örneklem büyüklüğüdür. Örnek Bilgisayar gereçleri üreten bir şirkette üretim oranları iki yıl takip edilmiştir. Bu üretimde artış yüzdesinin ortalaması %12,2 ve standart sapması %3,6 olan normal dağılıma uyduğu görülmektedir. Bu kitleden yerine iade edilerek 9 gözlemlik örneklem seçilmiştir. Örneklem ortalamasının %10 dan düşük olma olasılığı kaçtır? µ=12,2 σ=3.6 n=9 P X 10 12,2 X 10) P P Z1,83) x P(Z<0)-P(-1,83<Z<0)= 3,6 9 0,0336 0,50-0,4664=0,

66 Frekans 5/26/2014 Örneklem No 1. Zar 2. Zar 3. Zar 4. Zar 5. Zar 6. Zar 7. Zar 8. Zar Topla 2 Topla 4 Topla 6 Toplam ,75 3, , ,5 3, , ,5 4 4, , ,5 4,5 5 5, ,25 3, , ,5 4, ,5 Aralıklar 0 Aralık Birikimli Frekans 0,5 0, STD 1, , , , Ortalama 3, , , , ,5 1, ,5 2, ,5 3, ,5 4, ,5 5, Diğer Histogram 8 Li 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 8 Li 2 Li Koşullu Olasılık Ve Bağımsızlık Bir satış yerinin deposunda 25 elektrik ampulü var. Bu ampuller altta belirtilen iki farklı üreticiden gelmiş durumda ve bazıları kusurlu. Kusursuz Kusurlu Toplam Üretici Üretici Total P(E) =?, P(F)=?, P(E ve F) =? Kontrol amacıyla rastlantısal olarak bir ampul seçilmekte ve buna göre E=seçilen ampulün üretici 1 den olma olasılığı F=seçilen ampulün kusurlu olma olasılığı Olsun. Kontrol sonucunda kusurlu olduğu saptanan bir ampulün üretici 1 den gelmiş olma olasılığı nedir? P (E F) =? P (E F) = P(E ve F)/P(F) = 5/7 P(E) = 15/25, P(F)=7/25, P(E ve F) = 5/25 66

67 Koşullu Olasılık Gelen yeni bilgileri kullanarak olasılık tahminlerini güncellemenin temellerini oluşturdukları için koşullu olasılıklar mühendislik uygulamalarında özel olarak önem verilmesi gereken konulardır. B olayı gerçekleştiğinde A olayının olma olasılığı P( A B) P( A B), P( B) 0 PB ( ) Ör: 52 kartlık desteden çekilen bir kartın yüz kartlarından bir olduğu bilindiğine göre vale olma olası kaçtır. Bağımsızlık İki olay E ve F bağımsız demek P(E F) = P(E) E ve F olayları birbirinden bağımsızsa P(E ve F) = P(E) P(F) 67

68 Çarpma Kuralı P( A B) P( A B), P( B) 0 PB ( ) veya 135 Bayes Kuralı Bir önceki slayttaki iki kuralı birleştirirsek P( B P( A B) P( B) A) P( A) 68

69 Örnek: Tıbbi Uygulama Bir doktor beyin zarı iltihabının %50 ihtimalle boyun tutulmasına neden olduğunu biliyor. Bunun yanında yapılan çalışmalar sonucunda elde edilen verilere göre beyin zarı iltihabının olma olasılığı 1/ ve boyun tutulmasının görülme olasılığı 1/20. Gelen bir hastada boyun tutulması gözlemlendiğine göre hastada beyin zarı iltihabının olma olasılığı nedir? P(b z) = 0.5, P(b) = 1/20 ve P(z)=1/ ise P(z b) =? (0.5x1/50.000)/(1/20)=1/5000 Örnek 2: Tıbbi testler bazen yanlış-pozitif yada yanlış-negatif sonuçlar verebilir. Bir testin altta belirtilen şekilde davranıyor: Doğru şekilde Pozitif %94 oranında buluyor. Doğru şekilde Negatif %98 oranında buluyor. Nüfusun %4 ü belirtilen hastalığa yakalanıyor. Test sonucu pozitifken bu hastalığa sahip olma olasılığı nedir. 69

70 Çözüm Alttaki olayları tanımlayalım. H Hastalık var. H c Hastalık yok. PT Pozitif test sonucu. NT Negatif test sonucu. Çözüm Verilen olasılıkları yazarsak: P(H) =.04 P(H C ) =.96 P(PT H) =.94 P(NT H)=.06 P(PT H C ) =.02 P(NT H C ) =.98 Ve hesaplamak istediğimiz olasılık test sonucunun pozitif geldiği bir durumda hasta olma olasılığımız P(H PT) =? 70

71 Bayes in Formülü P(H ve PT) =.0376 ( H P( H vept ) + P PT ) P( PT ) P(H C ve PT) = P(PT) =.0568 Bayes in Kanunu İlk olasılıklar Koşullu Olasılıklar Sonuçta oluşan olasılıklar.0376 P( H PT )

72 FİNAL BURAYA KADAR 72