Ders 3: Mortalite Tablolarına Giriş

Transkript

1 ler Ders 3: Tablolarına Giriş Ankara Üniversitesi

2 Tablolarına Giriş ler Aktüerya bilimi uygulamalı bir bilim dalı olup, diğer bilimlerin ve pratik olarak uygulayıcıların tecrübelerinden yararlanılarak elde edilen kavram ve gözlemlere dayanmaktadır. Bu gözlemlerden biri de ölüm gözlemleridir. Ölüm gözlemleri yıllar süren çalışmalar sonucunda elde edilen istatistiki verilerden yola çıkılarak yapılır. Bu istatistiki veriler belli bir süre içerisindeki yaşayanların ve ölenlerin sayısı v.b. bilgileri içerir. tabloları, hayat sigortacılığındaki aktüeryal hesaplamaların ana kaynağını oluşturur. Bir aktüer hayat sigortası tarifelerini hazırlarken içinde bulunulan ülkenin demografik yapısına en uygun mortalite tablosunu kullanmalıdır.

3 Tablolarına Giriş ler Mevcut topluluğa uygun olan mortalite tablosunun kullanılması durumunda hem sigortacı hem de sigortalı zarar etme riskiyle karşı karşıyadır. Demografik çalışmalarda üzerinde en sık durulan hayat olaylarından birisi ölüm olaylarıdır. Bir toplumda yaşayan belirli bir yaş grubundaki bireylerin yaşam süresi beklentilerinin hesaplanması demografide önemli bir yer tutar. Her ülke için beklenen hayat süresini veren tablolar hazırlanabilir ve bu tablolara kısaca mortalite(ölüm düzeyi) tablosu adı verilir.

4 Tablolarına Giriş ler Hayat sigortalarında risk kelimesi ile kişinin ölümü kastedilir. Sigorta şirketi aynı yaştaki kişilerin hemen hemen özdeş ölüm olasılıkları gösterdiği varsayımından hareket ederek primlerini saptar. Bunu kendi toplumuna uygun olduğunu düşündüğü bir mortalite tablosu kullanarak gerçekleştirir. Uzun yaşam veya erken ölüm olasılıkları, bireyin kendisinin veya bakmak zorunda olduğu yakınlarını ekonomik bağımsızlıklarının sürdürülmesinde sorunlara neden olabilir.

5 Tablolarına Giriş ler Belli bir yaşta olan bir bireyin ne kadar yaşayacağı ve ne zaman öleceği bilinmemesine karşın, o yaşta olan büyük bir grup kişiden ne kadarının öleceği tahmin edilebilir. Bu tahminleme, yaşama- ölüm olasılıklarını içeren ve mortalite tablosu ya da hayat tablosu adı verilen bir tablodan yararlanılarak yapılır. Kısaca, doğuşları aynı zamana rastlayan kişilerin oluşturduğu neslin yaşları ilerlerken ölüm nedeniyle azalışını gösteren tabloya mortalite tablosu denir. Ölüm ve yaşam sigortaları, hayat sigortalarının temelini oluştururlar. Ölüm tabloları belirli yaştaki kişilerin yaşam veya ölme olasılık bilgilerini içerirler.

6 Tablolarına Giriş ler Temel olarak geçmişteki kayıtlardan faydalanılarak gelecekteki olayların bunların bir tekrarı olacağı düşünülerek hazırlanır. Bu çalışmalar sırasında 1958 de Amerikan şirketlerinin hazırladığı C.S.O (Commissioner s Standart Ordinary Table) tablosu kullanılacaktır.

7 ler Başlangıç yılı ve bu yılda belirli sayıda insan alınarak başlanır ve bu sayıya Radix denir. Bu sayı genellikle , , olarak seçilir. C.S.O tablolarında başlangıç olarak seçilmiştir.

8 ler x l x d x q x , , w 0 Burada; l x : x yaşında yaşayan kişi sayısı d x : x yaşına gelmiş olan kişilerden x + 1 yaşına gelene kadar ölenlerin sayısı w : Son yaş q x : x yaşına gelmiş olan bir kişinin x + 1 yaşına gelene kadar ölmesi olasılığı

9 ler ve p x = l x+1 l x q x = d x lx

10 Özellikler l x+1 = l x d x (6.1) l x = d x + d x d w 1 (6.2) l x l x+n = d x + d x d x+n 1 (6.3) ler l x+n = l x p x p x+1... p x+n 1 (6.4)

11 ler (6.2.1) Aşağıda verilen tabloya göre d x, p x ve q x değerlerini bulunuz. x l x d x p x q x

12 Çözüm ler Çözüm (6.2.1) x l x d x p x q x

13 np x : x yaşındaki bir kişinin x + n yaşına kadar yaşaması olasılığı np x = l x+n l x (6.5) ler nq x : x yaşındaki bir kimsenin x + n yaşına gelmeden ölmesi olasılığı. nq x = l x l x+n l x (6.6)

14 ler m q x : x yaşındaki bir kimsenin x + m yaşını izleyen yıl ölmesi olasılığı veya x + m ve x + m + 1 yaşları arasında ölmesi olasılığı. m q x = d x+m l x (6.7) m nq x : x yaşındaki bir kimsenin x + m yaşına ulaştıktan sonra bu yaşı izleyen n yıl süresinde veya x + m ila x + m + n yaşları arasında ölmesi olasılığı. m nq x = l x+m l x+m+n l x (6.8)

15 ler (6.2.2) C.S.O Tablosuna göre 20 yaşındaki bir kişinin 25 yaşından önce ölmesi olasılığını bulunuz. ler

16 ler Çözüm (6.2.2) 5q 20 = l 25 l 20 l 20 = = = ler

17 ler (6.2.3) C.S.O tablosuna göre 40 yaşındaki bir kimsenin yaşları arasında ölmesi olasılığını bulunuz. ler

18 ler Çözüm (6.2.3) 9q 40 = l 40 l 49 l 40 = = = ler

19 ler (6.2.4) 35 yaşındaki bir kimsenin 60 ve 70 yaşları arasında ölmesi olasılığı nedir? ler

20 ler Çözüm (6.2.4) 25 10q 35 = l 60 l 70 l 35 = = = ler

21 ler (6.2.5) 45 yaşındaki bir insanın 5 yıl içinde ölmesi olasılığı nedir? ler

22 ler Çözüm (6.2.5) 5q 45 = l 45 l 50 l 45 = = = ler

23 ler (6.2.6) 20 yaşındaki bir insanın 45 ve 50 yaşları arasında ölmesi olasılığı nedir? ler

24 ler Çözüm (6.2.6) 25 5q 20 = l 45 l 50 l 20 = = = ler

25 ler ler (6.2.7) 30 ve 50 yaşlarında olan iki kişinin 20 yıl daha yaşaması olasılıkları 0.4 dür. 30 yaşında yaşıyan kişi sayısı dir kişisi 40 yaşına gelmeden vefat ediyor. Buna göre şimdi 40 yaşında olan bir kişinin önümüzdeki 30 yıl içerisinde ölmesi olasılığı nedir?

26 ler ler Çözüm (6.2.7) 20p p 50 = 0.40, l 30 = ve l 30 l 40 = 3000 olduğuna göre 10q 30 = l 30 l 40 l 30 = = ise 30p 40 = = olur ve buradan 30q 40 = 1 30 p 40 = = olarak bulunur.

27 e x : x yaşında olan bir kimsenin gelecekte kalan ortalama yaşama süresi e x = l x+1 + l x l w 1 l x ler ve e 0 x = e x biçiminde elde edilirler.

28 (6.3.1) C.S.O tablosuna göre 90 yaş için ortalama ömür süresini bulunuz. ler

29 ler Çözüm (6.3.1) e 90 = l 91+l l 99 ve e 0 90 = l 90 = = =