Tavla ve Bilimsel Düflünce
|
|
|
- Engin Candan
- 9 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Tavla ve Bilimsel Düflünce Y llar önce çok satan bir gazetemiz Türkiye Tavla fiampiyonas düzenlemiflti. Bizde tavlac çok. fl yerlerinde bile tavla oynan r ülkemizde. Bile ine güvenen kat ld flampiyonaya. Ne de çok bile ine güvenen varm fl! Kemik e ve talihe sövgülerin ya d ve Pencüse, flafl rd gencüse (her ne demekse) gibi tekerlemelerin bol bol kullan ld elemeler yap ld. Önce k raathanelerin flampiyonlar belirlendi, sonra s ras yla köylerin, kasabalar n ve ilçelerin, arkas ndan da illerin. Pek zorlu maçlar sonunda il flampiyonlar aras ndan Türkiye birincisi seçildi. Türkiye birincisi yurtd fl nda bir yerde, galiba ABD de, dünya flampiyonas na kat ld. Eh art k, tavlada da dünya flampiyonu oluruz diyordum. Gece gündüz yaz k fl demeden 7 den 70 e tavla oynayan bir milletiz. fiampiyonluk hakk m zd r diye düflünüyordum. Bekledi im ç kmad. Elendik... Gazetede bir söylefli yay mland elenen flampiyonumuzla. Sanki erkekli i sözkonusuymufl gibi kükrüyordü: Adam cehar dü oynayacak... Bekle, bekle dakika düflündü dakika! Sinir mi dayan r! Satranç m oynuyoruz tavla m? Nerdeyse, yenilmifl olmas na ald rmadan, adam tavla bilmiyor, tavlada çok geri bu ecnebiler, diyecek. 87
2 Bakal m siz tavlay nas l oynuyorsunuz? Önce birkaç kolay soruyu yan tlay n. Birinci Oyun. Afla daki birinci oyunda siyahs n z. Beyaz toplamaya çoktan bafllam fl bile, dört pulu kalm fl kala kala. fieflbefl (6-5) att n z. Nas l oynars n z? Sak n al flkanl kla se (3) kap s n almaya kalkmay n... Yoksa bir sonraki zar n z dörtcehar (4-4) olursa mars olursunuz. Hem de hiç gere i yokken... Dörtcehar kötü bir zar olmaktan kurtarabilirsiniz. Se kap s n alaca- Siyahlar 6-5 oynayacak. n za, en uzaktaki pulu 5 oynayarak cehar hanesine yat n. Böylece rakibinize çift gelmedikçe mars olmazs n z. Üstelik bu oyunu oynaman n hiçbir dokuncas (dezavantaj ) yoktur. kinci Oyun. kinci soruya geldik. kinci oyunda durumunuz gene iyi de il. Yandaki oyunda siyah pullarla oynuyorsunuz ve sanki atacak baflka zar yokmufl gibi 2-1 att n z. Nas l oynars n z? Geçen oyunun benzeri bu oyun da. Sak n iki pulunuzu birden içeri sokmaya kalkmay n. Yoksa bir sonraki zar at - fl n zda dörtcehara mars olursunuz. D flardaki iki Siyahlar 2-1 oynayacak. puldan birini dört hane- 88
3 sine yat n. Rakibiniz çift atmad kça mars olmazs n z. Al flkanl kla de il düflünerek oynamal. Üçüncü Oyun. Bugün sizin gününüz de il. Afla daki durumda, sanki paras n vermifl gibi gene 2-1 att n z. Nas l oynars n z? Sak n d flar daki pulunuzu, iki, bir daha üç eder diyerek yanaflay m demeyin. Dört cehar (4-4) düflünün. E er dört cehara da marstan kurtulmak istiyorsan z d flar daki pulunuzu iki yanafl n (böylece düsseyle (3-3) de marstan kurtulabilirsiniz) ve 1 i içerden oynay p dört hanesine yat n (böylece Siyahlar 2-1 oynayacak. dört cehara da marstan kurtulursunuz.) Dedi imi yaparsan z mars olmama olas l n artt r rs n z ve bir fley kaybetmezsiniz. Dördüncü Oyun. Durmadan yeniliyorsunuz ve doymak bilmiyorsunuz. Afla daki durumda flefliyek (6-1) att n z. Nas l oynars n z? Art k düflünmek gerekti ini biliyorsunuz. fiefli oynamak kolay. Zorunlu olarak 6 hanesinden alacaks n z. Peki yeki nas l oynamal s n z? Oyunu kazanmak için bir çifte gereksiniyorsunuz. Demek ki dört hanesindeki pulu üç hanesin- Siyahlar 6-1 oynayacak. 89
4 deki pullar n üstüne koymal s n z. Böylece düsseyle (3-3) oyunu kazanabilirsiniz. E er böyle oynay p da düsseyle oyunu kazan rsan z, kimsenin size flansl s n demeye hakk yoktur. Çünkü o flans kendinize siz yarat yorsunuz. Ve öyle oynamay p düsse atarsan z ve oyunu kaybederseniz, flanss z m diye dövünmeye de hakk n z yoktur. fiimdi daha zor durumlara göz atal m. Önce biraz olas l k hesaplayal m. Zarlar n c vas z ve hilesiz oldu unu varsayaca- z. Her zar n 6 yüzü vard r. Her yüzün gelme (yani her olay n gerçekleflme) olas l birbirine eflittir. Ve toplam olas l k 1 olmal d r 1. Demek ki bir tek zar at ld nda her yüzün gelme olas l 1/6 d r. ki zarda olas l klar nelerdir? Birinci zar için 6, ikinci zar için de 6 tane olas olay vard r. Yani iki zarda 6 6 = 36 tane olas olay vard r: Bu olaylar n her birinin gerçekleflme olas l birbirine eflittir. Toplam olas l k 1 olmas gerekti inden, bu 36 olay n her birinin gerçekleflme olas l 1/36 d r. Ama bunlar, iki zar birbirinden ay rdetti imizdeki olas l klard r. Tavlada birinci zar, ikinci zar diye bir ayr m yap lmaz. Örne in 5 2 ile 2-5 aras nda bir ayr m yoktur. Bu yüzden pencüdü gelme olas l 1/36 de il, 2/36 d r, yani 1/18 dir. Ama dörtcehar n (4 4) olas l 1/36 d r. Genel olarak, hilesiz iki 1 Matematikte olas l klar 1 üzerine hesaplan r. Günlük dilde kulland m z yüzde yüz e matematikte 1 olas l kla denir. %25, matematik dilinde 1/4 tür. %30 ise 3/10 dur. Zar n yüzlerinden biri kesinlikle gelece inden toplam olas l k 1 olmal d r. 90
5 zarla belli bir çiftin gelme olas l 1/36 d r, çift olmayan belli bir zar n gelme olas ysa 2/36 d r. Al flt rma olarak yandaki durumda siyah n beyaz pulu k rma olas l n hesaplayal m. K racak zarlar s ralayal m: 2 2, 6 2, 5 3, 4 4. Bu zarlar n olas l klar s - ras yla 1/36, 2/36, 2/36, 1/36 d r. Dolay s yla siyah n beyaz pulu k rma olas l 1/36 + 2/36 + 2/36 + 1/36 = 6/36 = 1/6 d r. Afla daki durum flampiyonumuzun kaybetti i maçtan bir görüntü olabilir. Durum 4 4. fiampiyonumuz siyah pullarla oynuyor. Karfl taraf iki pul d - fl nda bütün pullar n toplam fl. fiampiyonumuz, bir biçimde, bu iki pulu k rm fl. Karfl taraf dört cehar (4 4) oturtmufl. fiampiyonumuzun ne att önemli de il. Afla daki duruma eriflilmifl. Bu durumda karfl taraf (beyazlar) cehar dü (4 2) atm fl. Ve iflte o zaman 15 dakika düflünmüfl. Nas l oynamal? Do rusu zor bir durum. Benim diyen tavlac kolay kolay karar veremez. Beyaz n amac ne? Durum 4 4 oldu undan marsa de il oyuna oynamal. Pullar ndan yaln z biri k r lsa, oyunu kazanabilir. kisi birden k r l rsa kazanma olas l oldukça düfler. 91
6 Beyaz n iki seçene i var. Ya iki pulunu birden oynayacak (birini 2, öbürünü 4) ya da bir pulunu 6 gidecek. Hangisini oynamal? Diyelim birincisini seçti. Durum yandaki gibi. Bu durumda flampiyonumuzun k rma olas l n hesaplayal m: K racak O Zar n K r lacak Zarlar Olas l Pul Say s 1 1 1/36 1, /36 1, /36 1, /36 1, /36 1, / / /36 1, / /36 1, / /36 1, / /36 1, /36 1, /36 1 Yukardaki tabloda k r lacak pul say s n da gösterdik. E er birinci oyunda salt bir pul k r labiliyorsa, ama bir sonraki oyunda ikinci pulu da k rma olas l varsa, k r lan pul say s - na 1,5 dedik. 92
7 fiimdilik k r lacak pul say s n dikkate almayal m. O zaman flampiyonumuzun en az bir pul k rma olas l yukardaki olas l klar n toplam d r, yani 27/36, yani tam tam na 3/4 tür. fiimdi karfl taraf n ikinci seçene i ye ledi ini varsayal m. Bu varsay mla eriflilen durum yukarda. Bu ikinci fl kta flampiyonumuzun k rma olas l n hesaplayal m: K racak O Zar n K r lacak Zarlar Olas l Pul Say s /36 1, /36 1, /36 1, /36 1, /36 1, /36 1, /36 1, /36 1, / /36 1, /36 1, /36 1, /36 1, / / Bu zarla en iyi oyun üç oynayarak alttaki beyaz tafl k rmak ve dü hanesindeki tafl yek hanesine tafl makt r. Neden? 3 Hepyek gelmifl gibi yukar daki ö ütü dinleyin! 4 Nas l oynars n z? 93
8 Bu durumda flampiyonumuzun en az bir pul k rma olas l bu olas l klar n toplam, yani 25/36 d r. Demek ki e er beyaz ikinci oyunu seçerse daha az bir olas - l kla (25/36 ya karfl 27/36 olas l kla) k r lacaklar. Bu say lar gözönünde tutularak beyaz n ikinci oyunu seçmesi gerekti i öne sürülebilir. Ama tavla o denli kolay bir oyun de il. Beyaz, bir k r kla oyunu kazanabilece ini düflünebilir ve pek de haks z oldu u söylenemez. Beyaz bu durumdan bir k r kla kurtulabilirlerse, oyunu kazanma olas l küçümsenemez. Kolay kolay karar verilecek bir durum de il. Her ustan n de iflik bir görüflü olabilir. Bu sat rlar yazan ustaya göre birinci seçene in kazanma flans daha yüksektir. Bu gibi durumlarda bilgisayardan yararlan labilir. Oldukça iyi tavla oynayan bir bilgisayara yukardaki durum verilir. Beyaza bir milyon kez birinci oyun, bir milyon kez ikinci oyun oynatt r l r. Sonra da beyaz n en çok hangi oyunu oynad nda kazand na bak l r. Tavla gibi basit bir oyunun bile bilimi yap lmal, kitaplar yaz lmal. ABD de tavla oldukça yeni bir oyun olmas na karfl n, tavla üzerine onlarca kitap vard r. Yüzy llarca tavla oynanan, tavla ustas ndan geçilmeyen ülkemizdeyse bir tek tavla kitab yaz lmam flt r. Üzerinde düflünülmesi gereken bir olgu. 6 Bu yaz y yazd ktan sonra babam meydan okudu: Gel bakal m, göstereyim sana flans n tavladaki pay n! Aman baba, yapma etme, beni tavlada kimse yenemez... Oynad k ve 5 0 yenildim. Hani seni kimse yenemezdi? Demek bir sen yenebilirmiflsin... Yaz n iyi olmam fl. Eksik kalm fl. Neyi eksik b rakt m anlatt ktan sonra tehdit etti: Bunu yaz na eklemezsen, karfl yaz yazar m, rezil olursun... 94
9 Bunun üzerine okudu unuz bu paragraf ve afla dakini ekledim. Gördü ümüz gibi 4 4 gelme olas l 1/36 d r. ki kez üstüste 4 4 gelme olas l ysa (1/36) 2, yani 1/1296 d r. Oldukça düflük bir olas l k. Bu birinci nokta. Öte yandan, bir kez 4 4 att ktan sonra, ikinci kez gene 4 4 gelme olas l gene 1/36 d r. Zarlar gerçekten hilesizse, daha önceden 100 kez 4 4 atm flsan z, 101 kez 4 4 atma olas l gene 1/36 d r. Baflka bir deyiflle zarlar n belle i yoktur. flte babama bu yüzden yenildim. 6 TÜB TAK n yay mlad Bilim ve Teknik dergisinde art k bir Tavla Köflesi var. Ayr ca, bir de tavla kitab Almancadan Türkçeye çevrilmifl. Tavlay da Bat l - lardan ö reniyoruz! Bkz. Kaynakça [2]. 95
Tavla ve Bilimsel Düşünce Ali Nesin
Tavla ve Bilimsel Düşünce Ali Nesin Y ıllar önce çok satan bir gazetemiz Türkiye Tavla Şampiyonası düzenlemişti. Bizde tavlacı çok. İş yerlerinde bile tavla oynanır ülkemizde. Bileğine güvenen katıldı
Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.
Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl
Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu
Bir Tavla Sorusu Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu tavla maç n kazan r. Kimi tavlac lar maç n 5-4 bitmesine raz olmazlar, aradaki fark n en az 2 olmas n isterler, 6-4, 7-5, 8-6 gibi...
Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim.
Barbut Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Ne yapal m ki ben oyun oynamay çok severim. Birinci Oyun. ki oyuncu s rayla zar at yorlar. fiefl (6) atan ilk oyuncu oyunu kazan yor. Ve
Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin
Kimin Kazand Bilinen Ama Nas l Kazand Bilinmeyen Bir Oyun Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin içindeki larla oynan yor. Örne in, 5 3 boyutlu bir oyun, afla daki fleklin en solundan
Cemal Amca n n Zarlar
Cemal Amca n n Zarlar B aflkomiserlikten emekli alt kat komflumuz Cemal Amca tavlaya çok düflkündü. Emekli olmazdan önce haftasonlar n bahçede tavla oynayarak geçirirdi. Hafta içindeyse haftasonunu iple
Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z
Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi
Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun.
Birkaç Oyun Daha B irinci Oyun. ki oyuncu flu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplam 9 olan üç do al say seçiyor. En büyük say lar, ortanca say lar ve en küçük say lar karfl laflt
Yeniflemeyen Zarlar B:
Yeniflemeyen Zarlar Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A > B ve B > C eflitsizliklerinden,
Ard fl k Say lar n Toplam
Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara
256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.
Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,
Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl
Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt
yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.
Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.
içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa
Tuhaf Bir Buluflma O las l k kuram ilkokullarda bile okutulabilecek kerte basit ve zevklidir. ABD de kimi okullarda 9 yafl ndaki çocuklara bile okutuluyor olas l k kuram. Basit olas l k kuram n anlamak
Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem
Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam
Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.
Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.
Kap y açt m. Karfl daireye tafl nan güleç yüzlü Selma Teyze yi gördüm.
Yazar Dede ve Torunlar Muzaffer zgü Kap y açt m. Karfl daireye tafl nan güleç yüzlü Selma Teyze yi gördüm. Buraya yak n market var m dil, markete gidece iz de?.. diye sordu. Annem kap ya geldi. Selma Han
Dünya satranç flampiyonu Kasparov la bir el satranç oynayacak olsan z, yüzde yüz yenilece inizi önceden kestirebilirsiniz. Kasparov a karfl hemen
Pokerin Matemati i S atrançta bir oyuncunun bilip de öbür oyuncunun bilmedi i bilgi yoktur. Bu tür oyunlara aç k oyun diyelim, bilgiler aç k, ortada anlam na. Tavlada da bir oyuncunun bildi ini öbür oyuncu
Amerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin
Dünyan n En Zeki nsan Matematikçilere Karfl Amerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin büyüklü ü oldu. Arabalar, binalar, Coca Cola lar, al flverifl merkezleri, insanlar... Her fley
Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun
Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m:
Yaz ma Aziz Nesin in özyaflamöyküsü Böyle Gelmifl Böyle
Aziz Nesin in Darüflflafaka ya Girifli Yaz ma Aziz Nesin in özyaflamöyküsü Böyle Gelmifl Böyle Gitmez den bir al nt yla bafllayaca m. Ailesi Heybeliada ya tafl nm flt r. Y l 1926. Babam n nerde oldu unu
Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:
Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak
Bir yaz mda, kimbilir hangisinde,
Sonsuz Toplamlar Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... toplam n n sonsuz oldu unu, yani 1/1 1/1 + 1/2 1/1 + 1/2 + 1/3 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5
Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin
Sihirli Kareler (I) Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin içine den 9 a kadar say lar öyle yerlefltirin ki, her s ran n, her kolonun ve her iki çapraz n say lar n n toplam 5 olsun. Bu
Olas l k Hesaplar (II)
Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele
O + T + U + Z = 30 (30) 2K + I + R = 40 (40) E + 2L + = 50 (50) A + L + T + M + I + fi = 60 (60) Y + E + T + M + + fi = 70 (70) 2S + 2E + K + N = 80
Yaz yla Saymak H er harfe öyle bir tamsay vermek istiyoruz ki, örne in, B R in harfleri olan B ye, ye ve R ye verdi imiz say lar n toplam 1 olsun. K için de, ÜÇ için de ayn fley do ru olsun... 199 a kadar
Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi
Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac
Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar
Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,
Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli
Sihirli Kareler (II) Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli karelerin nas l yap laca n ö renmifltik. Bu yaz da n nin çift oldu u n n boyutlu sihirli kareleri ele alaca z. Her zaman yapt
Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n
Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm
Bu yaz da, basitlefltirilmifl birkaç poker oyunu oynayaca z.
Blöfün Matemati i Bu yaz da, basitlefltirilmifl birkaç poker oyunu oynayaca z. Yaz y anlamak için poker bilmeye gerek yoktur. Oyunlar - m z iki kifli aras nda ve as ve papazdan oluflan büyük bir desteyle
Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji
Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.
Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -
Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,
Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu
Ramsey Teoremi Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu odada bulunan herhangi iki kifli birbirlerini ya tan rlar ya da tan mazlar. Buras belli. Yan t belli olmayan soru flu: Bu odadan,
ZARLARLA OYNAYALIM. Önden = = + = Arkadan = = + + = = + + =
ZARLARLA OYNAYALIM Zar kullanarak toplama ve ç karma ifllemleri yapabiliriz. Zarda karfl l kl iki yüzdeki say lar n toplam daima 7 dir. Zarda 2 gözüküyorsa karfl s ndaki yüzeyin 7 2 = 5 oldu unu bulabilirsiniz.
Saymak San ld Kadar Kolay De ildir
Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan
MAKÜ YAZ OKULU YARDIM DOKÜMANI 1. Yaz Okulu Ön Hazırlık İşlemleri (Yaz Dönemi Oidb tarafından aktifleştirildikten sonra) Son aktif ders kodlarının
MAKÜ YAZ OKULU YARDIM DOKÜMANI 1. Yaz Okulu Ön Hazırlık İşlemleri (Yaz Dönemi Oidb tarafından aktifleştirildikten sonra) Son aktif ders kodlarının bağlantıları kontrol edilir. Güz ve Bahar dönemindeki
Cümlede Anlam İlişkileri
Cümlede Anlam İlişkileri Cümlede anlam ilişkileri kpss Türkçe konuları arasında önemli bir yer kaplamaktadır. Cümlede anlam ilişkilerine geçmeden önce cümlenin tanımını yapalım. Cümle, yargı bildiren,
SINIF KURALLARI. Amaç: Öğrencilerin sınıf kurallarını öğrenmesi ve uygulaması. Düzey: 1. sınıf ve üstü
SINIF KURALLARI Amaç: Öğrencilerin sınıf kurallarını öğrenmesi ve uygulaması Düzey: 1. sınıf ve üstü Materyal : Her öğrenci için bir adet kağıt,kalem, Uygulama2: Sınıf kuralları panosu için fon kağıdı,
Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir
Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras
Düello, herkesin bildi i üzere, iki kifli aras nda yap l r. Trielloyu
Triello Düello, herkesin bildi i üzere, iki kifli aras nda yap l r. Trielloyu 1 herkes bilmeyebilir... Triello üç kifli aras nda yap - l r, ya da oynan r..., B ve, triello yapacak üç kifli olsun. Önce,
TÜRKİYE DE HASTANEDE YATAN HASTALARIN AKILCI İLAÇ KULLANIMINA YÖNELİK BİLGİ VE DAVRANIŞLARINI DEĞERLENDİRME ÇALIŞMASI
TÜRKİYE DE HASTANEDE YATAN HASTALARIN AKILCI İLAÇ KULLANIMINA YÖNELİK BİLGİ VE DAVRANIŞLARINI DEĞERLENDİRME ÇALIŞMASI Sayın İlgili; Bu anket çalışması, akılcı ilaç kullanımı konusunda mevcut durumun değerlendirilmesi
Tafl Eksiltme Oyunlar Ali Nesin /
Tafl Eksiltme Oyunlar Ali Nesin / [email protected] Birinci Oyun. Oyunumuz en az iki kifli aras nda oynan yor. Ne iskambil kâ d na ne kalem kâ- da ne de bir tahtaya gereksinim var bu oyunu oynamak için.
Üç Oyun Birinci Oyun.
Üç Oyun B irinci Oyun. Oyunumuz en az iki kifli aras nda oynan yor. Ne iskambil kâ d na ne kalem kâ da ne de bir tahtaya gereksinim var bu oyunu oynamak için. Yolda, otobüste, vapurda, sinemada, tiyatroda,
Seramik nedir? alfabesi 6
Seramik in alfabesi 6 Seramik nedir? Seramik, en basit tarifiyle, çok yüksek s cakl kta piflirilmifl toprak demektir. Serami in tarihi, uygarl k tarihi kadar eskidir. lk serami in Milattan Önce 6000 y
Minti Monti. Kızak Keyfi. Kızak Bir Kış Eğlencesi KIŞIN SOKAK Yeni Yıl Kartı Hazırlayalım Kar Hakkında Neler Biliyorsun?
Minti Monti Çocuklar için eğlenceli poster dergi Ücretsizdir Kış 2014 Sayı:12 ISSN: 2146-281X Kızak Keyfi Kızak Bir Kış Eğlencesi KIŞIN SOKAK Yeni Yıl Kartı Hazırlayalım Kar Hakkında Neler Biliyorsun?
B02.8 Bölüm Değerlendirmeleri ve Özet
B02.8 Bölüm Değerlendirmeleri ve Özet 57 Yrd. Doç. Dr. Yakup EMÜL, Bilgisayar Programlama Ders Notları (B02) Şimdiye kadar C programlama dilinin, verileri ekrana yazdırma, kullanıcıdan verileri alma, işlemler
Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / [email protected]
apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan
DEVLET KATKI SİSTEMİ Devlet katkısı nedir? Devlet katkısı başlangıç tarihi nedir? Devlet katkısından kimler faydalanabilir?
DEVLET KATKI SİSTEMİ Devlet katkısı nedir? Katılımcı tarafından ödenen katkı paylarının %25 i oranında devlet tarafından katılımcının emeklilik hesabına ödenen tutardır. Devlet katkısı başlangıç tarihi
ANALOG LABORATUARI İÇİN BAZI GEREKLİ BİLGİLER
ANALOG LABORATUARI İÇİN BAZI GEREKLİ BİLGİLER Şekil-1: BREADBOARD Yukarıda, deneylerde kullandığımız breadboard un şekli görünmektedir. Bu board üzerinde harflerle isimlendirilen satırlar ve numaralarla
Uzay Keflfediyoruz. Günefl Sistemi Nerede? Her Yer Gökada Dolu! n yaln zca biri! evrendeki sonsuz Dünya bizim evimiz ve
uzayi kesfet 13/2/6 19:35 Page 34 Uzay Keflfediyoruz n yaln zca biri! de in is kc gö da y sa evrendeki sonsuz Dünya bizi eviiz ve ister isiniz? ak n ta z r la flu renek, ko Evrendeki adresiizi ö Her Yer
Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.
19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:
1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl
1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl K aos, matemati in oldukça yeni kuramlar ndan biridir. Kaos, kargafla anlam na gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuram n biraz aç klamaya çal flay m. fiöyle kuvvetlice
M i m e d 2 0 1 0 ö ğ r e n c i p r o j e l e r i y a r ı ş m a s ı soru ve cevapları
M i m e d 2 0 1 0 ö ğ r e n c i p r o j e l e r i y a r ı ş m a s ı soru ve cevapları S1: Erasmus kapsamında yapılan projelerle yarışamaya katılınabilir mi? C1: Erasmus kapsamında gidilen yurtdışı üniversitelerdeki
Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir
Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik
Yan t Bilinmeyen Bir Soru
Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do
Fevzi Pafla Cad. Dr. Bar fl Ayd n. Virgül (,) 2. Baz k saltmalar n sonuna konur.
2. Baz k saltmalar n sonuna konur. Dr. Bar fl Ayd n Fevzi Pafla Cad. 3. Say lardan sonra s ra bildirmek için konur. Sonucu ilân ediyorum: 1. Ali, 2. Kemal, 3. Can oldu. Hepsini tebrik ederim. Virgül (,)
Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi
25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce
En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan
Gizli Duvarlar En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan biridir. Örne in, A noktas ndan yay lan fl k B noktas na gitmek için sonsuz tane yol aras ndan en az enerji harcayarak gidece i
6 MADDE VE ÖZELL KLER
6 MADDE VE ÖZELL KLER TERMOD NAM K MODEL SORU 1 DEK SORULARIN ÇÖZÜMLER MODEL SORU 2 DEK SORULARIN ÇÖZÜMLER 1. Birbirine temasdaki iki cisimden s cakl büyük olan s verir, küçük olan s al r. ki cisim bir
I. Bölüm. letiflim Kuracak Bir Dil Kullan n
I. Bölüm letiflim Kuracak Bir Dil Kullan n Tafllar ve sopalar kemiklerimizi k rabilir, ama sözler kalbimizi k rar. -ROBERT FULGHUM 1 Dil üstad William Safire a bir seferinde sormufllar: Özensiz iletiflimin
Sevdi im Birkaç Soru
Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.
Para Arzı. Dr. Süleyman BOLAT
Para Arzı 1 Para Arzı Bir ekonomide dolaşımda mevcut olan para miktarına para arzı (money supply) denir. Kağıt para sisteminin günümüzde tüm ülkelerde geçerli olan itibari para uygulamasında, paranın hangi
Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}
Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,
3. SALON PARALEL OTURUM XII SORULAR VE CEVAPLAR
3. SALON PARALEL OTURUM XII SORULAR VE CEVAPLAR 423 424 3. Salon Paralel Oturum XII - Sorular ve Cevaplar OTURUM BAfiKANI (Ali Metin POLAT) OTURUM BAfiKANI - Gördü ünüz gibi son derece demokratik bir yönetim
TOBB-ETU, Iktisat Bölümü Macroeconomics II (IKT 234) Ozan Eksi Çal şma Sorular - Cevaplar. 1 Ozan Eksi (TOBB-ETU)
TOBB-ETU, Iktisat Bölümü Macroeconomics II (IKT 234) Ozan Eksi Çal şma Sorular - Cevaplar 1 1-) (Faizler) Y ll k %10 basit faizden bankaya koyulan 100 tl nin 2 y l sonraki getirisini hesaplay n z? Cevap:
ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI
ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI BU ÜN TEDE NELER Ö RENECE Z? A-YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI B-YÜZDE HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI C-FA Z HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI D-YÜZDE VE
AKICI OKUMA TEKNİKLERİ. Özkan ÇAĞLAR-Rehber Öğretmen
AKICI OKUMA TEKNİKLERİ Özkan ÇAĞLAR-Rehber Öğretmen Akıcı Okuma 2 Bilişsel Beceriden Oluşur: Anlama Akıcı okuma Çözümleme Akıcı Okumanın 3 Temel Öğesi Okuma Hızı Kelimenin Doğru Okunması Prozodik okuma
Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne
Çekirge Kaç S çrar ya da Rastgele Yürüyüfl Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne ya da arkaya 1 metre s çrayabiliyor. Belli bir olas l kla öne, belli bir olas l kla arkaya s çr yor.
Beynimizi Nas l De ifltiriyor? Çeviri: DEN Z BENER
Beynimizi Nas l De ifltiriyor? Çeviri: DEN Z BENER nternet, her fleyi de ifltirdi Hat rlamak ve zihnimizi kullanmak konusunda, geleneksel yöntemlerimizden h zla uzaklafl yoruz. Be endi imiz bir yeme in tarifini,
ZA4728. Flash Eurobarometer 196 (Observatory) Country Specific Questionnaire Turkey
ZA4728 Flash Eurobarometer 196 (Observatory) Country Specific Questionnaire Turkey Section 1: Genel Özellikler Q1. İşletmenizi nasıl tanımlarsanız? SADECE BİR CEVAP - bağımsız bir işletme olarak mı...1
TÜRKİYE DE ŞİRKET KURULUŞU
TÜRKİYE DE ŞİRKET KURULUŞU Türk Ticaret Kanunu nda Şirketler Hukuku na ilişkin hükümler 124.madde ve devamında düzenlenmiştir. Türk Ticaret Kanunu nda şirket çeşitleri ve şirket kuruluşları ayrıntılı olarak
Kadınları Anlamak Erkeklere Düşüyor
Kadınları Anlamak Erkeklere Düşüyor Kadınların Yaşam Koçu Tuğba Güneş, kadına şiddetti ortaya çıkaran nedenleri ortadan kaldıracak önlemler alınması gerektiğini söyledi. Kahramanmaraş ın tek yaşam ve wellness
BURSA DAKİ ENBÜYÜK 250 FİRMAYA FİNANSAL ANALİZ AÇISINDAN BAKIŞ (2005) Prof.Dr.İbrahim Lazol
BURSA DAKİ ENBÜYÜK 250 FİRMAYA FİNANSAL ANALİZ AÇISINDAN BAKIŞ (2005) Prof.Dr.İbrahim Lazol 1. Giriş Bu yazıda, Bursa daki (ciro açısından) en büyük 250 firmanın finansal profilini ortaya koymak amacındayız.
2) Global piyasada Alman otomobillerine olan talep artarsa, di er bütün faktörler sabit tutuldu unda euro dolara kar.
EKON 436 2. Vize A Ad-Soyad renci No 1) Akbank' n u anki toplam mevduat n 100 milyar TL, toplam rezervinin 30 milyar TL ve toplam kredilerinin 70 milyar TL oldu unu kabul edelim. Zorunlu kar k oran ise
alternatif cevabı olabilir fakat anlatmak veya vurgulamak istediğim konu insanların alışveriş merkezlerine ihtiyacı olsun olmasın gitme durumları.
HASTA İŞİ İnsanların içlerinde barındırdıkları ve çoğunlukla kaçmaya çalıştıkları bir benlikleri vardır. O benliklerin içinde yaşadıkları olaylar ve onlardan arta kalan üzüntüler barınır, zaten bu yüzdendir
eyve Metin Uf uf!.. Yani flu arkadafllar m da... Sanki benim ad m n önüne "Meyve" sözcü ünü koymasalar, "Aaa acaba bu çocuk kim?" diyecekler.
Yazar Dede ve Torunlar Muzaffer zgü eyve Metin Uf uf!.. Yani flu arkadafllar m da... Sanki benim ad m n önüne "Meyve" sözcü ünü koymasalar, "Aaa acaba bu çocuk kim?" diyecekler. Benim, ben can m. Zaten
Yanlış Anlaşılan Faizci
Yanlış Anlaşılan Faizci Aslam Effendi Başka bir gün Tota 1, faizci Sherzad ile karşılaştım. Bu herif hasta olmalı. Düşünsene, para ödünç vererek faiz temin ediyor. Din bu işi yasaklıyor ama yine de aramızda
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / Nisan 007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. 3,15 sayısının aşağıdaki sayılardan hangisiyle çarpımının sonucu bir tam
1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r.
1. ir kümenin eleman say s artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. una göre, ilk durumdaki kümenin eleman say - s kaçt r? ) 2 ) ) D) 5 E) 6 6. ve kümelere E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak
RAPORU HAZIRLAYANLAR: Azime Acar & Ender Bölükbaşı. Filistin ile yatıp, Gazze ile kalkıyoruz.
- Günlük siyaset acının üstünü nasıl örter? - Gazze yi ve Filistin i içselleştirmek yerine farz olarak görenlerin destansı trajik hali - BM Genel Sekreteri, AKP Kadın Kolları ve Hrant Dink Ortak paydası
Büyükşehir Bodrum halkına yeni süreci anlattı
Büyükşehir Bodrum halkına yeni süreci anlattı Muğla Büyükşehir Belediye Başkanlığı tarafından Bodrum da düzenlenen toplantıda yeni süreç ile ilgili büyükşehir daire başkanları tarafından Bodrum halkına
Uzem Eğitmen Girişi. Şekil 1. Sisteme girdikten sonra Şekil 2 deki ekran karşımıza çıkacak. Bu ekrandaki adımları kısaca tanıyalım.
Uzem Eğitmen Girişi Sisteme eğitmen olarak giriş yapabilmek için http://uzem.uskudar.edu.tr adresini internet tarayıcımızın adres satırına yazdıktan sonra Şekil 1 deki ekranda ilgili alanlara kullanıcı
Eczacılık Günü Etkinlikleri
TÜRK ECZACILARI BİRLİĞİ II. BÖLGE www.aeo.org.tr Ankara Eczacı Odası 14 Mayıs Eczacılık Günü Etkinlikleri TÜRK ECZACILARI BİRLİĞİ II. BÖLGE www.aeo.org.tr Ankara Eczacı Odası 14 Mayıs Eczacılık Günü Etkinlikleri
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin
önce çocuklar Türkiye için Önce Çocuklar önemlidir
önce çocuklar Türkiye için Önce Çocuklar önemlidir 2002 May s ay nda yap lan Birleflmifl Milletler Çocuk Özel Oturumu öncesinde tüm dünyada gerçeklefltirilen Çocuklar çin Evet Deyin kampanyas na Türkiye
EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI
EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI İki vektörün basamaklı (kademeli) çarpımı: Büyüklükte A ve B olan iki vektörünü ele alalım Bunların T= A.B cosθ çarpımı, tanımlama gereğince basamaklıdır. Bu vektörlerden
NİSAN 2013 SAYI:16 ŞEHİRLER ÇOCUKLARIMIZA GÖRE OLSUN
NİSAN 2013 SAYI:16 ŞEHİRLER ÇOCUKLARIMIZA GÖRE OLSUN S Ö Y L E Ș İ Avrupa Birliği Yatırımları Daire Bașkanı Okuyucularımız için Avrupa Birliği Yatırımları Dairesi Bașkanlığı hakkında bilgi verebilir misiniz?
Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu
30. Cennete Hoflgeldiniz! Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu herkes bilir. Örne in, {0, 2, 6, 7, 13} kümesinin 5 eleman vard r. Bu say m z n kapak konusunda, sonsuz bir kümenin eleman
Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -
18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte
ÖZEL VEGA OKULLARI OYUN SANDIĞIM SORGULAMA ÜNİTESİ BÜLTENİ DİSİPLİNLERÜSTÜ TEMA
ÖZEL VEGA OKULLARI OYUN SANDIĞIM SORGULAMA ÜNİTESİ BÜLTENİ DİSİPLİNLERÜSTÜ TEMA KENDİMİZİ İFADE ETME BİÇİMİMİZ: Düşünceleri duyguları, doğayı, kültürü, inançları, değerleri keşfetme ve ifade etme yollarını
OYUN GELİŞTİRME AŞAMALARI-I. Oyununuzun senaryosunu kısaca tanıtınız/ amacınıda belirtiniz:
OYUN GELİŞTİRME AŞAMALARI-I Oyununuzun senaryosunu kısaca tanıtınız/ amacınıda belirtiniz: Oyunumuz nesnelerin sürükle bırak özelliği ile kendi İngilizce isimlerinin üzerlerine bırakılmasını esas almaktadır.
Veri Toplama Yöntemleri. Prof.Dr.Besti Üstün
Veri Toplama Yöntemleri Prof.Dr.Besti Üstün 1 VERİ (DATA) Belirli amaçlar için toplanan bilgilere veri denir. Araştırmacının belirlediği probleme en uygun çözümü bulabilmesi uygun veri toplama yöntemi
MİKRO İKTİSAT ÇALIŞMA SORULARI-10 TAM REKABET PİYASASI
MİKRO İKTİSAT ÇALIŞMA SORULARI-10 TAM REKABET PİYASASI 1. Firma karını maksimize eden üretim düzeyini seçmiştir. Bu üretim düzeyinde ürünün fiyatı 20YTL ve ortalama toplam maliyet 25YTL dir. Firma: A)