ABS Fren Dinamiğine Yönelik Çoklu Model Geçişli Kontrol Algoritmalarının Tasarımı

Transkript

1 ABS Fren Dinamiğine Yönelik Çoklu Model Geçişli Kontrol Algoritmalarının Tasarımı Morteza Dousti 1, S.Çağlar Başlamışlı 1, Teoman Onder 1, Selim Solmaz 2 1 Makina Mühendisliği Bölümü Hacettepe Üniversitesi, 6 Beytepe, Ankara Morteza.dousti@hacettepe.edu.tr scaglarb@hacettepe.edu.tr etonder@hacettepe.edu.tr 2 Makina Mühendisliği Bölümü Gediz Üniversitesi, Seyrek, İzmir selim.solmaz@gediz.edu.tr Özetçe Bu çalışmada amaç, elektromekanik fren sistemine sahip binek taşıtlara yönelik, yenilikçi, sürüş ve yol şartlarına göre uyarlanabilir, yüksek performanslı ABS kontrol algoritmalarının tasarımıdır. Üç farklı çoklu model geçiş tabanlı dayanıklı kontrol algoritması geliştirilmiştir. Bu algoritmalar doğrusal olmayan fren sistemi denklemlerinin, belirli işletim noktaları etrafında doğrusallastırılmasıyla elde edilen modeller için tasarlanan lead-lag durum geri beslemeli kontrolcülerden oluşmuştur. Kontrol kanalı olan (Fren Torku), ABS eyleyicisi tarafından üretilmektedir ve gerçek bir uygulamada bu eyleyicinin bir zaman sabiti ve bir gecikmesi bulunmaktadır. Dolayısıyla eyleyici dinamikleri sistem dinamiği modeline eklenmiştir ve kontrolcüler eyleyici dinamiğini hesaba katarak tasarlanmıştır. Ayrıca fren mesafesi ve referans kayma oranı tabanlı maliyet fonksiyonları elde edilmiş ve bu maliyet fonksiyonlarının minimize edilmesini sağlayan PI kontrolcüler farklı işletim şartları için tasarlanmıştır. Bahsi geçen kontrolcülerin etkinlikleri farklı sürtünme katsayılı yollar arası geçişler esnasında değerlendirilmiştir ve kontrolcüler kıyaslanmıştır. 1. Giriş Taşıt dinamiğinde, lastik davranışının modellenmesi iki faklı yaklaşım ile yapılmaktadır. Analitik lastik modelleri katı mekaniği kuramları kullanılarak detaylı lastik-yol temas bölgesi karakterizasyonunu yapılmasını, başka bir deyişle tekerlek ve yol arasında oluşan kuvvetlerin ve momentlerin hesaplanmasını sağlayan son derece karmaşık modellerdir. Bu tür modeller, karmaşık matematiksel yapılarından ötürü, ne taşıt dinamiği simülasyonu ne de taşıt dinamiği kontrolü çalışmaları için elverişlidir. Günümüzde lastik davranışını yansıtan bir diğer modelleme türü ise ampirik lastik modellemesidir. Ampirik lastik modellerinin en çok rağbet göreni ise Pacejka Lastik Modelidir [1]. Bu model testler sonucu elde edilen lastik davranışını birtakım trigonometrik fonksiyonlar kullanarak uydurmaya çalışmaktadır. ABS kontrol sistemi algoritması geliştirilmesi ile ilgili olarak bilimsel literatürde burada sayılamayacak kadar fazla yaklaşım bulunmaktadır. Günümüzde, ticarileşmiş çoğu ABS donanımı hidrolik sistem tabanlıdır ve bu sistemin en yaygın kontrolü işletim basıncının üç farklı değere ( basınç, ortalama basınç tutma-hold modu, yüksek basınç-high modu) ayarlanması vasıtasıyla yapılmaktadır. Kumanda edilen bu üç basınç değeri arasındaki geçişler tekerlek hızı ve tekerlek ivmesinin ölçülmesi/kestirilmesine göre ayarlanmaktadır ve farklı işletim koşulları için deneysel tecrübeyle belirlenen birçok geçiş kuralı tespit edilmiştir. Burada kullanılan fren sistemi algoritmaları son 1 yıldır geliştirilmekte olan Brake by Wire teknolojisini mümkün kılan Elektromekanik fren sistemine yönelik algoritmalardır. Bu sistem hidrolik sistemde kullanılan fren sisteminin aksine devamlı olarak fren basıncını ayarlayabilme potansiyeline sahiptir. Öte yandan, yurdumuzda da konu ile ilgili yoğun araştırmalar yapılmış ve özellikle Yazıcıoğlu ve Ünlüsoy [2] ayrıca Kayacan ve çalışma arkadaşlarının [3], [] yapmış olduğu çalışmalar incelenmiştir. Ancak bu araştırmacıların kullanmış oldukları kontrol yöntemleri bu bildiride sunulan yönteme kıyasça farklı kuramlara dayanmaktadır. 2. ABS probleminin Tanımı F x T b F z ω Şekil 1: Çeyrek Taşıt Fren Modeli v

2 Fren algoritmalarının geliştirilmesinde çoğunlukla Şekil 1 de gösterilen çeyrek taşıt fren modelinden yararlanılmaktadır. Bu model frenleme esnasında tek bir lastiğin dinamiğini ele almaktadır. Taşıt hızı ile sağ tarafa doğru hareket ettiği varsayılırsa, bu esnada uygulanan fren torku nedeniyle oluşan fren kuvvetleri taşıtı yavaşlatmak için sola doğru etki etmektedir. Çeyrek taşıt fren modelinin denklemleri aşağıda verilmiştir: Üstteki denklemde taşıt hızını ve tekerlek açısal hızını, tekerlek yarıçapını, taşıtın çeyrek kütlesini, tekerlek eylemsizlik momentini ve ABS kontrolcüsünün uyguladığı fren torkunu temsil etmektedir. Fren sistemi için kontrol algoritması geliştirilmesi sürecinde boylamasına kaymanın tanımlanması gerekmektedir. Bir yol taşıtı, sabit hızla hareket ederken, taşıt hızı tekerlek açısal hızı ile doğru orantılı olup, orantı katsayısı tekerlek yarıçapı olmaktadır: (2) Panik frenleme anında, sürücü tarafından fren pedalına basıldığı andan itibaren tekerlek hızlarının aniden düşmesine rağmen, aracın tepkisi göreceli olarak daha yavaştır. Bu durumun sonucu olarak da üstteki bağıntı geçersiz olur ve boylamasına tekerlek kayması olarak adlandırılan yeni bir değişkenin türetilmesi gerekir: Ani frenleme durumunda ABS sistemine sahip olmayan bir taşıtta tekerlek kaymasının belli bir eşik değerini aşması tekerlek kilitlenmesine neden olur. Tekerlekteki kilitlenme, tekerlek ile yol arasındaki sürtünme katsayısının mutlak değer olarak düşmesine neden olmaktadır. Bu durumun taşıt üzerinde iki tane etkisi vardır: nispeten azalmış sürtünme katsayısı sürtünme kuvvetinin düşük olmasına ve bunun sonucu olarak durma mesafesinin uzamasına neden olur. Ayrıca, tekerlekler direksiyondan gelen komutlara yanıt veremediğinden dolayı sürücü, taşıt üzerindeki hâkimiyetini kaybeder. En kısa duruş mesafesi, lastik ve zemin durumuna göre değişiklik göstermekle birlikte, tekerlek kaymasının değerleri arasında seyretmesi sonucunda elde edilir. Bu durumda sürtünme katsayısı ve buna karşılık gelen sürtünme kuvveti mutlak değer olarak en büyük değerlerini alırlar[5]. ABS kontrol sistemi boylamasına kayma durumunun ideal boylamasına kayma durumunu takip edilmesi ilkesine göre çalışmaktadır. Dolayısıyla, kontrole yönelik bir modelin geliştirilmesi açısından, boylamasına kayma durumunun denklemlerde yer alması gerekmektedir: [ ] 3. Doğrusallaştırma Kontrolcü tasarımı esnasında sistemin doğrusal modeline ihtiyaç duyulmaktadır. Simülasyon modelinde lastik modeli olarak Pacejka tarafından önerilen Magic Formula kullanılmıştır ve bu lastik modeli oldukça nonlineerdir. Doğrusallaştırma işleminin parametreleri Şekil 2 de gösterilmiştir. (1) (3) () F x Şekil 2:, kayma oranı, her bir sürtünme koşulu için en yüksek fren kuvvetinin elde edildiği orandır Şekil 3: Açık Devre Fren sistemi dinamiği Buna göre doğrusallaştırma işlemi, iki sürtünme (, ) katsayısı ve kayma (, ) oranlarında gerçekleştirilmiştir. Bu dört farklı durum için kontrolcülerin tasarımı, Üçüncü bölümde anlatılmaktadır. Fren dinamiğinin şeması Şekil 3 de verilmiştir. Buna göre, sistemin gerçekçiliğini arttırmak için eyleyici dinamiği ve zaman gecikmesi eklenmiştir. Modelleme esnasında gecikme için 1.dereceden Padé yaklaşımı [6] kullanılmıştır: (5) Burada zaman gecikmesi ve dir. Sistem denklemlerini blok diyagramda görüldüğü gibi uyguladıktan sonra elde edilen eyleyici dinamiği denklemleri aşağıda verilmiştir: Bu iki denkleme aşağıda verilen fren dinamiği, dolayısıyla kayma oranı durumu eklenmiştir: * =.7 T b * =.15 u Kontrolcü ω act s ω act e τs eyleyici Fren Dinamiği gecikme [ ] λ T b =1 =.5 (6) (7) ()

3 Sonuç olarak sistemin doğrusallaştırılmış hali aşağıda verilmiştir: ( ) ( ) Çıktı olarak kayma oranı elde edilmektedir.. Kontrolcü Tasarımları Bu bölümde üç farklı kontrolcünün tasarımı sunulmaktadır:.1. Maliyet Fonksiyon Minimizasyon Tabanlı PI kontrolcü tasarımı Bu kısımda referans kayma değeri ve fren mesafesi tabanlı olmak üzere iki adet maliyet fonksiyonu tanımlanmaktadır. Kontrolcü tasarımları bu maliyet fonksiyonlarının minimizasyonları yapılarak elde edilmektedir:.1.1. Referans Kayma değeri Tabanlı Maliyet Fonksiyonu Bu kısımda kullanılan maliyet fonksiyonu aşağıda verilmiştir: (1) Her bir işletim koşulu için elde edilen en iyi K p ve K i kontrolcü parametreleri Tablo 1 de verilmiştir Fren Mesafesi Tabanlı Maliyet Fonksiyonu Bu kısımda kullanılan maliyet fonksiyonu fren mesafesinin karesinin zamana göre integralidir (J 2 ). Her bir işletim koşulu için elde edilen en iyi K p ve K i kontrolcü parametreleri Tablo 1 de verilmiştir. Tablo 1: PI(D) kontrolcü kazanç tasarım sonuçları Tasarım kriterleri Fren mesafesi Referans kayma Geçişli Lead Lag Kontrolcü Tasarımı Çoklu model geçişli sistemlerin kontrolü probleminin çözümüne yönelik yöntem [7], denklemleri aşağıda verilmiş olan tek girdili tek çıktılı doğrusal zamanla değişken (linear time varying) parçalı sürekli geçişli sistem modeli için verilecektir: (11) Bu model tasarlamak istediğimiz ABS kontrolcüsünü temsil eden bir sistem modelidir. Bu sisteme ait sistem matrisleri: (9) () r F i Şekil : Kontrol edilen çoklu model geçişli sistem şeklinde olup, sistemin anlık olarak dinamiğini tanımlayan matrislerdir. (Bahsi geçen matrisler 3. Bölümde elde edilmiştir). Sistemin her bir dinamik modu, aşağıdaki transfer fonksiyonu ile ifade edilmektedir: (13) Kontrolcü tasarımı açısından her bir moda geçişinin, anında ölçülebildiği varsayılabilir. Dolayısıyla, N adet transfer fonksiyonu, doğrusal zamanla değişken sistemi ifade etmektedir ve her bir transfer fonksiyonu için N adet çıktı geri beslemeli kontrolcünün sentezlendiği kontrol mimarisi Şekil te verilmiştir: Her bir kontrolcünün durum-uzay denklemleri: (1) ve transfer fonksiyonu: (15) şeklinde yazıldığında, durum vektörü olan (kontrolcü ve ABS fren dinamiğinin bileşik durum vektörü verilmiştir) kapalı çevrim otonom toplam kontrol sisteminin denklemi: () } olup, üstte bahsi geçen her bir H matrisi: şeklinde ifade edilebilmektedir. Transfer fonksiyonu: e C 1 (s) C 2 (s) C N (s) (1) (17) ile ifade edilmiş her bir alt kapalı çevrim kontrol sistemini (i) kararlı hale getiren, (ii) tüm alt kapalı çevrim kontrol sistemininin tasarım öncesi belirlenen özdeğerlerinin } ortak kümesinde yer almasını sağlayan N adet kontrolcünün sentezlenmesi ile kapalı çevrim toplam kontrol sisteminin kararlı hale getirilebilmektedir. Geçiş kararlılığı için gerekli olan ek koşullar aşağıda verilmiştir. Teorem: İkiden fazla alt sistemden oluşan geçişli kontrol sistem için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir: (i) Gelişigüzel geçişler esnasında } sistemi asimptotik olarak kararlıdır; u 1 u 2 u N u SU Plant y

4 (ii) Gelişigüzel geçişler esnasında } sistemi asimptotik olarak kararlıdır; Not: } matrisleri } matrislerine göre sistem derecesi daha düşük olan matrislerdir. Dolayısıyla geçiş kararlılığının ispatlanması için varlığı gerekli olan Lyapunov fonksiyonunun boyutları da azalmış olacak ve Matlab ortamında bulunması daha kolay olacaktır. } matrislerinin nasıl inşa edildikleri Wulff un[7] tezinde açıklanmıştır. Çalışmamız esnasında lü sistem için } matrislerinin geçişli kararlılığını sistem boyutunu indirgemeden ispatlanabilmiştir Çoklu Model Geçişli Sistem için Lead Lag Kontrolcü Tasarımı (ÇMG1) Tasarımda her bir alt-sisteme ikinci dereceden bir lead kontrolcünün eklenmesi ile her bir alt kontrol sisteminin derecesi 5 olmuştur. Dolayısıyla sistem dinamiklerini etkin bir şekilde değiştirebilmesi karakteristik denklemin her bir parametresini değiştirebilmesi için tasarlanan lead lag kontrolcünün 5 adet tasarım parametresiyle tasarlanması uygun bulunmuştur. Bu tasarım parametreleri kontrolcü kazancı k, iki adet kontrolcü sıfırı ve ve iki adet kontrolcü kutbu olan ve den ibarettir. Kontrolcünün yapısı aşağıda verilmiştir: (19) Sıfır ve kutupların karmaşık olabilmeleri nedeniyle ve Matlab ortamında hazırlanan optimizasyon kodundan sonuç alınabilmesi için değişken değiştirme yöntemine başvurulmuş, aşağıdaki yeni değişkenler optimizasyon parametresi olarak tanımlanmıştır: (2) Böylelikle kontrolcülerin transfer fonksiyonu (21) ve durum uzayı matrisleri (22) aşağıdaki gibi olmuştur: (21) Kapalı çevrim sisteminin durum uzay gösterimi: ( ) şeklinde elde edilmiştir. (22) (23).3. Çoklu Model Geçişli Durum Geri beslemeli Kontrolcü Tasarımı (ÇMG2) Bu bölümde Solmaz ın[] tezinde yer alan yöntem kullanılarak geçiş kararlılığına sahip durum geri beslemeli kontrolcüler tasarlanmıştır. Gene bu kontrolcülerin etkinlikleri farklı sürtünme katsayılı yollar arası geçişler esnasında değerlendirilmiştir. Araç hızı 2 ile 5 m/s arasında değişirken -sistem tepkisinin bu değişime dayanıklı olmasını kontrolcü tasarımına katandurum geri beslemeli kontrolcü kazançlarının bulunması amaçlanmıştır. Hızın alt ve üst sınırları ve sürtünme katsayısının iki durumu için nonlineer sistemden doğrusallaştırma ile ayrı lineer sistem elde edilmiştir. P pozitif tanımlı ve simetrik bir Lyapunov çözümü (veya Lyapunov matrisi ) olmak üzere (2) Eşitsizlikleri gerçekleştirilebilir ise doğrusal sistem kararlıdır. Dolayısıyla sistem girdisi u, K kontrolcü kazancıyla u=kx olarak ifade edildiğinde kuadratik kararlılık şartına göre doğrusal matris eşitsizlikleri (25) şeklinde ifade edilir. Son olarak ile terimlere ön ve son çarpım uygulanır, ile kısaltma yapılır ve birden fazla sistem girdi matrisi olabileceği göze önüne alınırsa; olmak üzere: (26) LMI sistemi elde edilebilir. Bu LMI sisteminin çözümü sonucunda ortak S matrisinin pozitif tanımlı olarak elde edilmesiyle ve için iki adet durum geri beslemeli kontrolcü tasarlanabilmektedir Pre-kompansatör tasarımı Üstte bahsi geçen LMI sisteminin çözümü sistemlerin geçişli kararlılığını sağlamaya yöneliktir. Tasarlanan kontrolcülerle çoklu geçişli sistem tepkisinin verilen bir referans değeri takibini gözlemlemek amacıyla: (27) ile ifade edilen iki adet prekompansatör simülasyonda kullanılmıştır.. Sonuçlar Literatürde yer alan birçok çalışmada eyleyici dinamikleri kontrolcü tasarımına dahil edilmemiştir. Oysa Tanelli ve Savaresi [5] tarafından belirtildiği üzere bu tür bir durumda yüksek kazançlı bir P(Proportional) kontrolcüsünün bile çok iyi sonuçlar verebildiği ıspatlanabilmektedir. Gerçek bir uygulamada ise bu tür bir yaklaşım kesinlikle gerçekçi değildir. Fren mesafesi ve referans kayma oranı tabanlı maliyet fonksiyonları elde edilmiş ve bu maliyet fonksiyonlarının minimize edilmesini sağlayan PI(D) kontrolcüler iki işletim şartı için tasarlanmıştır. Bu kontrolcüler ile yapılan benzetimlerde iyi referans takibi gözlenmesine rağmen kullanılan diğer yöntemlere nispeten model yavaş kalmaktadır. Tasarlanan bu kontrolcülerin değişken işletim şartları için kararlılık garantileri bulunmamaktadır. Wulff un doktora tezinde yer alan yöntem (ÇMG1) kullanılarak farklı sürtünme katsayısı geçişlerini ön gören geçiş kararlılığı garantisi olan dört adet lead-lag tipi kontrolcü tasarlanmış (sürtünme katsayısı aynı kalmak suretiyle 2 m/s ve 1 m/s için ayrı ayrı iki kontrolcü tasarlanmış) ve önceden elde edilen PI kontrolcü ile performansları kıyaslanmıştır. Geçiş kararlılığı kriterlerini sağlayan kontrolcülerin daha yüksek etkinlikte oldukları belirlenmiştir. Ayrıca Solmaz ın tezinde yer alan yöntem (ÇMG2) kullanılarak geçiş kararlılığına sahip durum geri beslemeli kontrolcüler tasarlanmıştır. ÇMG2 v den elde edilen sonuçlar, ÇMG1 ile kıyaslandığında, ÇMG1 de salınımların daha az olduğu gözlemlenmiştir.

5 .2.15 #1.1. # # # #3.1. # # #.5.5 Şekil 5: Lead-Lag (ÇMG1), ÇMG2, v kontrolcülerin performansı. Tablo 2: Dört farklı yol durumu için elde edilen fren mesafeleri Simülasyon tipi Durma Mesafesi[m] ÇMG1 19,1 22,5 22,5 2,1 ÇMG2 19, 22,56 22,6 2,1 PI ,6 2,2 Şekil 6: Lead-Lag ÇMG1, ÇMG2, v kontrolcülerin referans kayma değerine göre hata miktarı sunulmaktadır. Farklı kontrolcülerin durma mesafeleri Tablo 2 de verilmiştir. En iyi performans ÇMG1 ile elde edilmiştir. Çalışmaların devamında yenilikçi bir ampirik lastik modeli ve frenlenen lastiğin zemin ile etkileşimi esnasında meydana gelen fren kuvvetinin boylamasına kaymaya göre değişim grafiğinin tahmin edilmesine yönelik bir kestirme algoritması geliştirilecektir. Bu algoritmanın çıktısı olan parametrelerle teklif edilen ABS kontrol algoritmaları güncellenecek ve günümüz taşıtlarında kullanılan

6 . 2 #1 2 2 ÇMG1 ÇMG2 PI Şekil 7: Lead-Lag (ÇMG1), ÇMG2, v kontrolcülerin performansı. algoritmalara göre daha yüksek performanslı algoritmaların elde edilmesi hedeflenecektir. Teşekkür #2 2 #3 # M61 nolu araştırma projesi kapsamında çalışmaların gerçekleştirilmesini mümkün kılan Tübitak a teşekkürlerimizi sunarız. [N-m] [N-m] 2 2 [N-m] [N-m] Kaynakça [1] H.B. Pacejka, Tire and Vehicle Dynamics, Butterworth-Heinemann, Oxford, pp: 192, 22. [2] Y. Yazıcıoğlu, Y.S. Ünlüsoy, A fuzzy logic controlled anti-lock braking system (ABS) for improved braking performance and directional stability, International Journal of Vehicle Design-Special Issue: Advanced Traction/Braking Vehicle Control,(3-), , 2. [3] Y. Öniz, E. Kayacan, O. Kaynak, A Dynamic Method to Forecast the Wheel Slip for Antilock Braking System and Its Experimental Evaluation, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics PART B: Cybernetics, 39-2, , 29. [] E. Kayacan, Y. Öniz, O. Kaynak, A Grey System Modeling Approach for Sliding-Mode Control of Antilock Braking System, IEEE Transactions on Industrial Electronics, 56-, , 29. [5] SAVARESI; S.M.; Tanelli, M., Active Braking Control Systems Design for Vehicles, Springer-Verlag, London, (21). [6] G.J. Silva, A. Datta, S.P. Bhattacharyya, PID Controllers for Time-delay Systems, Springer Book, ISBN , Texas, ABD, 25. [7] K. Wulff, Quadratic and Non-Quadratic Stability Criteria for Switched Linear Systems, (Doktora Tezi), Hamilton Institute, National University of Ireland- Maynooth, Co. Kildare, Irlanda, 2. [] S. Solmaz, Robust and Adaptive Switching Strategies for Estimation and Control, (Doktora Tezi), Hamilton Institute, National University of Ireland-Maynooth, Co. Kildare, Irlanda, 27. [9] H.B., Pacejka, Tire and Vehicle Dynamics, 2nd Ed, SAE International, 26. [1] B.J., Olson, G.W, Shaw, G., Stépán, Stability and Bifurcation of Longitudinal Vehicle Braking, Nonlinear Dynamics, -, , 25. [11] I., Petersen, Wheel Slip Control in ABS Brakes using Gain Scheduled Optimal Control with Constraints, (Doktora tezi), Norwegian University of Science and Technology, Trondheim, Norveç, 23. [] F., Jıang, Z., Gao, An application of nonlinear PID control to a class of truck ABS problems, Proceedings of the th IEEE Conference on Decision and Control, Vol. 1, pp.5 521, 21. [13] S., Solyom, Synthesis of a Model-based Tire Slip Controller, (Y.L tezi), Department of Automatic Control Lund, Institute of Technology, Lund, İsveç, 22. [1] D., SUI, T., Johansen, Moving Horizon Estimation for Tire-Road Friction During Braking, IEEE International Conference on Control Applications Part of 21 IEEE Multi-Conference on Systems and Control Yokohama, Japan, September -1, 21. [15] T.A., Wenzel, K.J., Burnham, M.V., Blundell, and R.A, Williams, Dual Extended Kalman Filter for Vehicle State and Parameter Estimation, Vehicle System Dynamics, Vol., pp , 2