V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstanbul Ticaret Üniversitesi, 25-27 Kasım 2005 İŞARETLİ SIRA İSTATİSTİĞİNİ KULLANAN PARAMETRİK OLMAYAN KONTROL DİYAGRAMIYLA SÜRECİN İZLENMESİ Metin ÖNER Celal Bayar Üniversitesi Özet Kontrol diyagramları bir kalite özelliğinin süreçteki değişkenliğini yargılayan istatistiksel araçlardır. Geleneksel kontrol diyagramı uygulamalarında sürecin bilinen parametre değerleri ile normal dağılım gösterdiği ve sürece ilişkin parametre tahminlerinin güvenilir bir şekilde yapıldığı varsayılır. Ancak, gerçek üretim uygulamalarında bu varsayımlar çoğunlukla gerçekleşmez. Bu nedenle, parametrik olmayan kontrol diyagramlarını kullanmanın başlıca iki temel amacı vardır. Birincisi, bu diyagramların sürecin dağılımından bağımsız olması, ikincisi ise güvenilir parametre tahminlerine ihtiyaç duyulmamasıdır. Literatürde pek çok parametrik olmayan kontrol diyagramı geliştirilmiştir. Bu çalışmada ele alınan kontrol diyagramı Shewhart tipinde ve alt örnek grubundaki gözlemlerin işaretli sıralarına dayanan kontrol diyagramıdır. Bu kontrol diyagramı ile hedef değer etrafındaki değişkenlik izlenmektedir. Bu kontrol diyagramı özellikle sürekli ve simetrik dağılım gösteren süreçler için uygundur. Bu çalışmada, metodun genel özellikleri tanıtılmış ve uygulaması sigara endüstrisinde önemli bir kalite özelliği olan sigara ağırlıklarının izlenmesi üzerinde gösterilmiştir. Bu çalışmada ele alınan kontrol diyagramının gerçek uygulamalarda kolaylıkla kullanılabileceğini göstermek amacıyla bir bilgisayar yazılımı geliştirilmiştir. Ayrıca, kontrol diyagramının performansı bozulmuş normal dağılıma sahip süreçler için monte carlo simülasyonu ile değerlendirilmiştir. Anahtar Sözcükler: Parametrik Olmayan Kontrol Diyagramı, Dağılımdan Bağımsız Kontrol Diyagramı, Sıralamaya Dayalı Kontrol Diyagramı, Wilcoxon İşaretli Sıra İstatistiği. 1. GİRİŞ Geleneksel kontrol diyagramları uygulamalarında sürecin bilinen parametre değerleri ile normal dağılım gösterdiği varsayılır. Ancak, uygulamalarda bu varsayım çoğunlukla gerçekleşmez. Örneğin, standart normal dağılıma göre daha basık, sağa veya sola çarpık ve hatta iki modlu dağılımlara sıkça rastlanır. Montgomery (2001, sf:233) belirtildiği gibi merkezi limit teoremi uyarınca örnek ortalamaları normal dağılım göstereceğinden, örnek hacmi en az 4 veya 5 olmak kaydıyla, süreçten alınan alt grup sayısı arttıkça, sürecin normallikten uzaklaşması durumunda bile X ve R diyagramlarında AKL ve ÜKL değerlerinin güvenilir bir şekilde saptanabileceği kabul edilmektedir. Chakraborti ve diğerleri (2001) ve Chun (2000) anlatıldığı gibi parametrik olmayan kontrol diyagramlarını kullanmanın iki temel avantajı vardır. Birincisi, bu diyagramların sürecin dağılımından bağımsız olması bir başka ifade ile geleneksel kontrol diyagramları gibi normallik varsayımını gerektirmemesi, İkincisi ise güvenilir parametre tahminlerine ihtiyaç duyulmamasıdır. Literatürde, parametrik olmayan kontrol diyagramlarına yöneltilen eleştiriler iki noktada yoğunlaşmaktadır. Birincisi, parametrik kontrol diyagramlarına göre sürecin kalite özelliğini gerçekleştirmesi konusunda daha az bilgi üretmesi, ikincisi ise parametrik olmayan kontrol diyagramlarının, süreç ortalamasında meydana gelebilecek küçük değişmelere daha az duyarlı olmasıdır. Bu çalışmada ele alınan kontrol diyagramı Bakir (2004) tarafından geliştirilmiş ve alt grupların işaretli sıralarına dayalı Shewhart diyagramı özelliğindedir. Literatürde geliştirilen Shewhart tipi kontrol diyagramlarının en önemli ortak yanları sürekli ve simetrik süreçler için uygun olması ve sürece ilişkin medyan (veya hedef) değer etrafındaki değişkenliğin izlenmesine dayanmasıdır. Bu kontrol diyagramlarında sürece ilişkin medyanın izlenmesinde iki temel yol kullanılmaktadır. Bunlardan birinci yol Alloway ve Raghavachari (1991) tarafından 579
M. Öner kullanıldığı gibi Hodges-Lehman tahmincisine dayanarak medyanın izlenmesi, ikinci yol ise sıra istatistiklerinin kullanılmasıdır. Bu çalışmadaki kontrol diyagramında ikinci yol kullanılmaktadır. Bu çalışmada özgün olarak iki önemli katkı hedeflenmiştir. Bunlardan birincisi uygulama katkısıdır. Ele alınan kontrol diyagramı sigara endüstrisinde önemli bir kalite özelliği olan sigara ağırlıklarının izlenmesinde kullanılmıştır. İkincisi ise ele alınan kontrol diyagramının performansının yorumlanmasına ilişkin katkıdır. Ele alınan kontrol diyagramının performansı bozulmuş (contaminated) normal dağılımlara dayanarak gerçekleştirilen simülasyonlarla değişik bir bakış açısıyla yorumlanmıştır. 2. İŞARETLİ SIRALARA DAYANAN KONTROL DİYAGRAMI Bu çalışmada ele alınan kontrol diyagramı uygulanmasındaki aşamalar şunlardır. 1. Kontrol Limitlerinin Belirlenmesi: Seçilen yanlış alarm verme olasılığına veya ortalama koşum uzunluğuna (Average Run Length) dayanarak Tablo 1 den AKL= ÜKL olacak şekilde simetrik olarak kontrol limitleri belirlenir. Merkez çizgi ise sıfıra eşitlenir. Tablo 1. Farklı n örnek hacimleri ve belirlenen ARL 0 ve p 0 değerleri için kontrol limiti değerleri n = 4 n = 5 n = 6 ÜKL ARL 0 p 0 ARL 0 p 0 ARL 0 p 0 10 16 0,062500 6,40 0,156250 4,57 0,218750 11 0,00 10,67 0,093750 6,40 0,156250 12 10,67 0,093750 6,40 0,156250 13 16 0,062500 9,14 0,109375 14 16 0,062500 9,14 0,109375 15 32 0,031250 12,80 0,078125 16 0,0 12,80 0,078125 17 21,33 0,046875 18 21,33 0,046875 19 32,00 0,031250 20 32,00 0,031250 21 64 0,015600 22 0,0 2. Gözlem Değerin Kontrol Diyagramına İşaretlenecek İstatistiğe Dönüştürülmesi: Süreçten her t zaman aralığında (t = 1, 2, 3,.) alınan alt örnek gruplarında, medyan değerinden mutlak sapmaların (X ij θ 0 ) grup içi sıralaması (1) eşitliğindeki gibi tanımlanabilir. n R tj = 1 I( X ti θ0 < X tj θ0 ) i= 1 (1) (1) eşitliğinde u nun doğru veya yanlış olma durumuna göre I(u)=1 veya 0 değerini almaktadır. Buradan, süreçten gözlenen X tj değerinin kontrol diyagramına işlenecek değeri (2) eşitliği ile elde edilir. n ψ t = sign (X tj θ0 ) R tj t = 1, 2, 3,. (2) j= 1 (2) eşitliğinde sırasıyla u < 0, = 0, < 0 olma durumlarına göre sign(u) = -1, 0 ve 1 değerlerini almaktadır. (2) eşitliğinde belirtilen istatistik değer ile bilinen Wilcoxon işaretli sıra istatistiği W (pozitif gözlemlerin mutlak sıralarının toplamı) ile aşağıdaki doğrusal ilişki mevcuttur. ψ t = 2W n(n 1) / 2 (3) Tablo 1 deki değerler tek yanlı ve pozitif taraflı diyagramlar için (4) de verilen ilişkiler kullanılarak bulunmuştur. Çift taraflı kontrol diyagramları için bu değerler ARL 0 = ARL / 2 ve p 0 = 2p ilişkileri kullanılarak elde edilebilir. 580
V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstanbul Ticaret Üniversitesi, 25-27 Kasım 2005 p ARL = Pr[ ψ UCL] = 1/ p (4) 3. SİGARA ÜRETİMİNDE UYGULAMA Bu çalışma kapsamında tanıtılan Shewhart tipindeki işaretli sıralara dayanan parametrik olmayan kontrol diyagramı, sigara üretiminde önemli bir kalite faktörü olan sigara ağırlıklarının izlenmesinde kullanılmıştır. Sigaralarda ağırlık faktörünün izlenmesi sigara üretiminde oldukça önem taşır. Bunun nedeni, sigara ağırlıklarının hem ekonomik yönden önemli olması, hem de üretilen sigaralarda diğer içimsel ve fiziksel kalite karakteristikleri ile yüksek bir ilişkiye sahip olmasıdır. Çalışmamızda kullanılan parametrik olmayan kontrol diyagramı ile üretilen sigaralarda hedeflenen ağırlık (medyan ağırlık) etrafındaki simetrikliğin değişkenliği izlenmiştir. Uygulama verileri, bir sigara imal makinesinden saatte bir alınan 5 örnek hacminde toplam 20 örnek alt grubundan oluşmaktadır. Sigaralarda ağırlık ölçümü 0,0001 duyarlıklı hassas terazide tartılarak yapılmıştır. Toplam 20 alt örnek grubu için gözlemlenen ağırlıklar Tablo 2 de verilmiştir. Tablo 2. 5 Örnek hacmi ve 20 alt grup için gözlenen sigara ağırlıkları ve hesaplanan işaretli sıra istatistiği İşaretli Sıra Gözlem X No 1 X 2 X 3 X 4 X 5 İstatistiği (ψ t ) 1 1,0334 1,0375 1,0513 1,1104 1,0265 15 2 1,0120 1,0312 1,0211 1,0108 1,0149-11 3 1,0550 1,0412 1,0312 1,0106 1,0867 11 4 1,0245 1,0874 1,0678 1,0890 1,0875 13 5 1,0401 1,0440 1,0445 1,0453 1,0601 15 6 1,0613 1,0078 1,0110 1,0236 1,0612 3 7 0,9986 1,0021 1,0359 1,0170 1,0481-3 8 1,0339 1,0182 1,0299 1,0542 1,0239 7 9 1,0024 1,0015 1,0612 1,0141 1,3405 3 10 1,0482 1,0071 1,0495 1,0275 1,0240 7 11 1,0181 1,0006 1,0019 1,0190 1,0216-15 12 1,0424 1,0691 1,0238 1,0245 1,0555 9 13 1,0571 1,0491 1,0204 1,0156 1,0271 5 14 1,0483 1,0561 1,0341 1,0229 1,0728 13 15 0,9995 1,0063 1,0021 1,0152 1,0341-13 16 1,0327 1,0341 1,0015 1,0421 1,0251 5 17 1,0031 1,0181 1,0451 1,0716 1,0599 7 18 1,0347 1,0421 1,0492 1,0532 1,0617 15 19 1,0308 1,0164 1,0583 1,0632 1,0188 5 20 1,0630 1,0850 1,0403 1,0506 1,0731 15 Tablo 2 deki işaretli sıra istatistiklerinin hesaplanışı, 2. alt grup kullanılarak Tablo 3 de gösterilmiştir. Kontrol altındaki sürece ait merkez değer (medyan) 1,0250 gramdır. İşaretli sıra istatistiği ψ t, (işaret)(sıra) satırındaki değerlerin toplanmasıyla bulunmuştur. Bu parametrik olmayan kontrol diyagramının gerçek uygulamalarda kolaylıkla uygulabileceğini göstermek amacıyla bir bilgisayar programı geliştirilmiştir. Bilgisayar programı Excel de Visual Basic makro kodlarıyla yazılmıştır. Yazılan bilgisayar programı aracılığıyla süreçteki simetriklik izlenmiştir. Tablo 2 de verilen gözlem değerlerine ilişkin parametrik olmayan kontrol diyagramı Şekil 1 de gösterilmiştir. Şekil 1 deki kontrol diyagramında, AKL ve ÜKL değerleri ± 15 olarak alınmıştır. Bu değerlere karşılık gelen yanlış alarm verme olasılığı tek taraflı ve pozitif kontrol diyagramı için 0,03125, iki taraflı (hem AKL hem de ÜKL değerlerinin kullanıldığı) kontrol diyagramı için 0.0625 dir. 4. SİMÜLASYONLA PERFORMANS ANALİZİ Bu çalışmada ele alınan parametrik olmayan kontrol diyagramını geliştiren Bakir (2004), farklı dağılımlar kullanarak parametrik olmayan kontrol diyagramının etkinliğini değerlendirmiştir. Zayıf Kuyruk yapısına sahip normal ve üniform dağılımlara sahip süreçlerde yöntemin X diyagramına göre daha az etkin, buna karşın yoğun kuyruk yapısına sahip Çift Üstel ve Cauchy dağılımlarda X diyagramına göre daha fazla etkin olduğunu göstermiştir. 581
M. Öner Tablo 3. İşaretli sıra istatistiğinin hesaplanması İşaretli Sıra İstatistiği ψ t Örnek No X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 t = 2 Gözlem X 1,0120 1,0312 1,0211 1,0108 1,0149 Sapma = X 1,0250-0,0130 0,0062-0,0039-0,0142-0,0101 Mutlak Sapma 0,0130 0,0062 0,0039 0,0142 1,0101 Sıra 4 2 1 5 3 İşaret -1 1-1 -1-1 (İşaret)(Sıra) -4 2-1 -5-3 -11 15 10 5 İŞARETLİ SIRA İSTATİSTİĞİNİ KULLANAN PARAMETRİK OLMAYAN KONTROL DİYAGRAMI 0-5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20-10 -15 Şekil 1. İşaretli sıra istatistiğine dayanan parametrik olmayan kontrol diyagramı Bu çalışmanın amaçladığı önemli katkılardan biri, ele alınan parametrik olmayan kontrol diyagramının performansını farklı bir bakış açısıyla yorumlamaktır. Bu amaçla, bu çalışmada sürecin normallikten az ve orta derecede sapmasını simgeleyen bozulmuş (contaminated) normal dağılımlar ele alınmıştır. Kullanılan her iki bozulmuş normal dağılım, beklenen ortalaması E(Y)=0 ve beklenen varyansı var(y)=1 olan bir süreci simgelemektedir. Bozulmuş normal dağılımlar, iki bileşenin p değerleri ve ortalamaları değiştirilerek elde edilir. Bu çalışmada ikinci bileşene ait ortalama parametreleri µ 2 = µ 1 1. 75σ (A Durumu) ve µ 2 = µ 1 3. 0σ (B Durumu) şeklinde elde edilmiştir. Bozulmuş normal dağılımlarda p değerleri; p 1 =0,50 ve p 2 = 0,50 olarak alınmıştır. Bu çalışmadaki simülasyon analizinde kullanılan bozulmuş normal dağılımlara ilişkin genel bilgi Foddoul ve diğerleri (1996) ve Pearn ve Chang (1998-99) bulunabilir. Kullanılan bozulmuş normal dağılımlara ilişkin parametre değerleri Tablo 4 de verilmiştir. Tablo 4. Simülasyon analizinde ele alınan dağılımlara ilişkin parametreler µ 1 = µ 2 µ 2 = µ 1 1,75σ µ 2 = µ 1 3,00σ Süreç N A B p 1 = 0,5 µ 1 = 0 µ 1 = -0,6585 µ 1 = -0,8321 p 2 = 0,5 µ 2 = 0 µ 2 = 0,6585 µ 2 = 0,8321 σ = 1 σ = 0,7526 σ = 0,5547 Tablo 4 te verilen ve simülasyon analizinde kullanılan süreç dağılımlarına ilişkin olasılık yoğunluk fonksiyonlarına ait dağılım grafikleri Şekil 2 de gösterilmiştir. Tablo 4 te parametreleri ve Şekil 2 de grafikleri verilen süreç dağılımları kullanılarak işaretli sıra istatistiğini kullanan parametrik olmayan kontrol diyagramının performansını değerlendirebilmek amacıyla simülasyon analizi yapılmıştır. Monte Carlo simülasyonu MATLAB 6.5.1 programlama dili kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Simülasyon sonuçları her biri 5 ve 10 örnek içeren 10000 deneme için alınmıştır. 582
V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstanbul Ticaret Üniversitesi, 25-27 Kasım 2005 N 0,4 A B 0,3 0,2 0,1 0-3 -2-1 0 1 2 3 Şekil 2. Simülasyon analizinde kullanılan dağılımlar Normal Dağılıma (µ =0 ve σ = 1) sahip süreç için simülasyon sonuçları Tablo 5 de verilmiştir. Tablo 5 da verilen değerler, Süreç merkezindeki değişmelere karşı elde edilen ARL değerleridir. Bu tablo incelendiğinde n=5 örnek hacminde geleneksel X diyagramları daha düşük ARL değerleri vermektedir. Örnek hacmi arttığında yani n =10 olduğunda, X diyagramlarının, parametrik olmayan kontrol diyagramına göre farklı değişim düzeylerinde daha düşük ARL değerleri verdiği görülür. Buradan sürecin normal dağılımlı olduğu durumlarda geleneksel X diyagramlarının daha etkin olacağı söylenebilir. Tablo 5 de bulunan ÜKL değerleri, Tablo 1 deki aynı yanlış alarm değerlerine sahip olacak şekilde bulunan değerlerdir. Örneğin n = 5 için hem işaretli sıra hem de X diyagramları için yanlış alarm olasılığı 0,03125 dir. Bundan dolayı, X diyagramları için ÜKL değeri 0,833 olarak alınmıştır. Tablo 6 da verilen simülasyon sonuçları, sürecin A ve B durumlarındaki bozulmuş normal dağılımlara sahip olarak değiştiği senaryosuna göre bulunmuştur. A ve B durumlarında X diyagramı için ÜKL değerleri sürecin normal dağılımı koruduğuna inanılarak elde edilen değerlerdir. A durumundaki senaryoda, işaretli sıra istatistiğini kullanan parametrik olmayan kontrol diyagramının X diyagramına göre süreç merkezindeki değişme düzeylerine karşı daha düşük performans sergilediği görülmüştür. B durumu sürecin iki modlu bir dağılım yapısında olduğunu varsaymaktadır. B durumundaki senaryoda da işaretli sıra istatistiğini kullanan parametrik olmayan kontrol diyagramının X diyagramına göre süreç merkezindeki değişme düzeylerine karşı daha düşük performans sergilediği görülmüştür. Tablo 5. n = 5 ve n = 10 Örnek hacimlerinde normal dağılıma sahip (µ =0 ve σ = 1) süreçler için simülasyon sonuçları n = 5 n = 10 Değişim İşaretli Sıra X İşaretli Sıra X (θ θ 0 ) ÜKL=15 ÜKL=0,833 ÜKL=53 ÜKL=0,913 0,00 31,8 30,7 515,5 512,3 0,25 12,6 10,7 96,2 57,8 0,50 6,2 4,2 21,3 10,4 0,75 3,7 2,3 7,3 3,2 1,00 2,4 1,6 3,5 1,6 2,00 1,1 1,0 1,1 1,0 583
M. Öner Tablo 6. n = 5 ve n = 10 Örnek hacimlerinde Tablo 5 deki A ve B durumlarındaki bozulmuş normal dağılımlara sahip süreçler için simülasyon sonuçları. Değişim (θ θ 0 ) İşaretli Sıra ÜKL=15 A Durumu B Durumu n = 5 n = 10 n = 5 n = 10 İşaretli İşaretli İşaretli X Sıra X Sıra X Sıra ÜKL=0,833 ÜKL=15 ÜKL=0,833 ÜKL=15 ÜKL=0,833 ÜKL=53 X ÜKL=0,913 0,00 33,1 32,1 476,2 454,5 31,9 32,7 416,7 514 0,25 14,2 10,5 116,3 63,3 18,0 10,1 138,9 65,8 0,50 7,3 4,5 28,2 10,4 9,9 4,4 52,1 10,9 0,75 3,9 2,3 8,5 3,2 5,4 2,3 13,3 3,3 1,00 2,5 1,5 3,7 1,6 2,8 1,5 4,7 1,7 2,00 1,1 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 5. SONUÇ Bu çalışmada Bakir (2004) tarafından geliştirilmiş işaretli sıra istatistiğini kullanan parametrik olmayan kontrol diyagramı incelenmiştir. Bakir (2004) çalışmasında belirttiği gibi özellikle, yoğun kuyruk yapısına sahip sürekli ve simetrik süreçler için bu kontrol diyagramının geleneksel X diyagramlarına göre daha etkin çalıştığı gözlenmiştir. Ancak bu çalışmada, bozulmuş normal dağılımlar kullanılarak sürecin normallikten düşük ve orta derecede ayrılma durumlarında parametrik olmayan kontrol diyagramının etkinliğine ilişkin sonuçlar verilmiştir. Sonuç olarak sürecin normallik varsayımından düşük ve orta derecede sapma durumlarında bu parametrik olmayan kontrol diyagramının geleneksel X diyagramına göre etkinliğinin daha düşük olduğu gözlenmiştir. 6. KAYNAKÇA ALLOWAY, J. A., Raghavachari M., 1991, Control Chart Based on the Hodges-Lehmann Estimator, Journal of Quality Technology, 23(3), 336-347. BAKIR, S. T., 2004, A Distribution-Free Shewart Quality Control Chart Based on Signed-Ranks, Quality Engineering, 16(4), 613-623. CHAKRABORTI, S., VAN DER LAAN, P., BAKIR, S. T., 2001, Nonparametric Control Charts: An overview and Some Results, Journal of Quality Technology, 33(3), 304-315. CHUN, Y. H., 2000, A Nonparametric Control Chart For A Symmetric Process: A Markovian Approach, Quality Engineering, 12(3), 447-461. FODDOUL, N. R., ENGLISH, J. R., TAYLOR, G. D., 1996, The Impact of Distributions in Classical Process Capability Analysis, IIE Transactions, 28, 957-966. MONTGOMERY, D. C., 2001, Introduction to Statistical Quality Control, Fourth Edition, John Wiley&Sons, Inc. PEARN, W. L., CHANG, C. S., 1998-99, An Implementation of the Precision Index for Contaminated Processes, Quality Enginering, 11(1), 101-110. 584