Poisson Dağılımı Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Poisson Dağılımı Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması"

Iskander Kizil
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı

2 Poisson dağılımı kesikli dağılımlar içinde Binom dağılımından sonra yaygın olarak kullanılan bir dağılımdır. Az gözlenen olaylarla ilgili bir dağılımdır.

3 Örnek 1: Tifo hastalığından belirlenen bir zaman aralığında, örneğin 1 yıllık bir zaman aralığı içinde olsun, hayatını kaybedenlerin sayısını düşünelim. Günümüzde tifodan hayatını kaybetmek az rastlanan bir durumdur. Yani az gözlenen bir olaydır.

4 Bu örnekte zaman aralığını bir gün olacak şekilde düşünürsek, bir günlük bir zaman aralığında tifodan yeni bir ölümün gerçekleşme olasılığı oldukça küçük olacaktır.

5 Bu durumda farklı iki zamanda meydana gelen tifodan ölüm olayları bağımsız olacağından, bir yıllık zaman aralığında rapor edilen tifodan ölümlerin sayısı Poisson dağılımı gösterir.

6 Örnek 1, belirlenen bir zaman aralığında meydana gelen ve az gözlenen bir olaya ait bir örnekti. Poisson dağılımda bazı durumlarda zaman aralığı yerine belli bir yüzeye ait alan da kullanılmaktadır.

Poisson dağılımda bazı durumlarda zaman aralığı

7 Örnek 2: Bir AGAR PLATE te (Petri Kabı) gelişen bakteri kolonilerinin sayısını düşünelim. Agar su yosunlarından elde edilen bir tür jelatindir. Kelime olarak Malayca "jel" anlamına gelen "agar-agar" kelimesinden gelmektedir. Agar tıp alanında mikrobiyolojik testlerde kullanılmaktadır.

9 Örnek 2: Örneğin 100 cm 2 alana sahip bir agar plate üzerinde küçük bir alanda bakteri kolonisi gelişmesi başka bir alanda gelişen bakteri kolonisinden bağımsız olacaktır.

10 Alan küçüldükçe o alanda bakteri kolonisi gelişme olasılığı da azalacaktır. Sonuçta tüm alan üzerinde gelişen bakteri koloni sayısı Poisson dağılımı gösterir.

11 Örnek 1 de belirtilen durumu tekrar inceleyelim. Tanımlanan zaman dilimini t ile gösterelim (t= 1 yıl ya da t=20 yıl olabilir). Bu zaman diliminin daha küçük zaman aralıklarını t ile gösterelim. Bu durumda 3 varsayım karşımıza çıkmaktadır.

12 Varsayım 1. Ölüm gözlenme olasılığı zaman aralığının uzunluğu ile oransaldır. Başka bir anlatımla zaman aralığı arttıkça ölüm meydana gelme olasılığı artmaktadır.

13 P(Tifodan 1 ölüm meydana gelmesi) λ t Burada λ tanımlanan zaman aralığı t de beklenen olay sayısıdır.

14 Varsayım 2. t zaman diliminde 0 ölüm gözlenme olasılığı yaklaşık olarak 1-λ t ye eşittir. P(Tifodan 0 ölüm meydana gelmesi) 1-λ t

15 Varsayım 3. t zaman diliminde 1 ölümden daha fazla ölüm gözlenme olasılığı yaklaşık olarak 0 a eşittir. P(Tifodan 1 ölümden fazla ölüm meydana gelmesi) 0

16 Bu tanımlamalar ve varsayımlar altında Poisson dağılımı aşağıdaki eşitlikteki gibi elde edilir. P( x) e x x!

17 P( x) e x x! Bu eşitlikte; µ: İncelenen bir olayın belirlenen zaman aralığındaki beklenen gözlenme sayısıdır ve µ =λt, x=0, 1, 2, olmak üzere gözlenen olay sayısıdır, e= dir.

18 Poisson dağılımı tek bir parametreye bağlıdır µ=λt. Burada λ, tanımlanan t zaman diliminde beklenen olay sayısıdır. Ancak µ ise belirlenen bir zaman aralığındaki beklenen olay sayısıdır. Burada belirlenen zaman dilimi, tanımlanan t zaman diliminden küçük, eşit ya da büyük olabilir.

Ancak µ ise belirlenen bir zaman aralığındaki beklenen olay sayısıdır.

19 Tekrar Örnek 1 e dönelim. Tanımlanan zaman aralığı t=1 yıl olsun. Bir yıllık zaman aralığı için beklenen ölüm sayısı 4.6 olsun. Bu durumda λ=4.6 olmaktadır. 3 ve 6 aylık zaman aralıkları için Poisson dağlımı olasılık fonksiyonu nedir?

20 3 aylık zaman aralığı için t=0.25 yıl olarak belirlenir. Çünkü 3 aylık zaman aralığı tanımlanan t=1 yıl olan zaman aralığının dörtte biridir. Bu durumda belirlenen 3 aylık zaman dilimi için beklenen olay sayısı µ =λt eşitliğinden yararlanarak µ =(4.6)(0.25)=1.15 olarak elde edilir.

21 3 aylık zaman aralığı Poisson dağılımı olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir. P( x) e 1.15 (1.15) x! x

22 6 aylık zaman aralığı için t=0.5 yıl olarak belirlenir. Çünkü 6 aylık zaman aralığı tanımlanan t=1 yıl olan zaman aralığının yarısıdır. Bu durumda belirlenen 6 aylık zaman dilimi için beklenen olay sayısı µ =λt eşitliğinden yararlanarak µ =(4.6)(0.5)=2.3 olarak elde edilir.

23 6 aylık zaman aralığı Poisson dağılımı olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir. P( x) e 2.3 (2.3) x! x

24 1 yıllık zaman aralığı için µ=λ olacaktır. Bu durumda Poisson dağılımı olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir. P( x) e 4.6 (4.6) x! x

25 Tekrar Örnek 1 e dönelim. Tanımlanan zaman aralığı t=1 yıl. Bir yıllık zaman aralığı için beklenen ölüm sayısı λ=4.6. Bu durumda 9 aylık bir zaman aralığında tifodan 3 ölüm meydana gelme olasılığı nedir?

26 Belirlenen zaman aralığı 9 ay olduğundan t=9/12=0.75 olarak elde edilir. Bu durumda belirlenen zaman aralığında beklenen ölüm sayısı ise µ=(4.6)(0.75)=3.45 olarak elde edilir.

27 Bu durumda 3 ölüm meydana gelme olasılığı %21.73 olarak hesaplanır. P(3) e 3.45 (3.45) 3! %21.73

28 Tekrar Örnek 1 e dönelim. Tanımlanan zaman aralığı t=1 yıl. Bir yıllık zaman aralığı için beklenen ölüm sayısı λ=4.6 Bu durumda 3 aylık bir zaman aralığında tifodan en az 4 ölüm meydana gelme olasılığı nedir?

29 Belirlenen zaman aralığı 3 ay olduğundan t=3/12=0.25 olarak elde edilir. Bu durumda belirlenen zaman aralığında beklenen ölüm sayısı ise µ=(4.6)(0.25)=1.15 olarak belirlenir.

30 Bu durumda en az 4 ölüm meydana gelme olasılığını hesaplamak için 0, 1, 2 ve 3 ölüm meydana gelme olasılıklarını hesaplayıp bu olasılıkların toplamını 1 den çıkarmak gerekecektir.

31 e (1.15) e (1.15) P(0) P(1) ! 1! e (1.15) e (1.15) P(2) P(3) ! 3! En az 4 ölüm meydana gelme olasılığı aşağıdaki gibi elde edilir. P( x 4) 1 ( ) 0.030

32 Örnek 2 e dönelim. 1 cm 2 alanda beklenen bakteri koloni sayısı 0.02 olsun. Bu örnekte zaman yerine alan tanımlanmıştır. Alanı yine t ile gösterecek olursak, tanımlanan alan t=1 cm 2. Bu durumda λ=0.02 olmaktadır. Bu durumda 100 cm 2 bir alanda 3 bakteri kolonisi gelişme olasılığı nedir?

33 100 cm 2 alan t=100 olarak belirlenir. Çünkü tanımlanan alanın 100 katıdır. Bu durumda belirlenen 100 cm 2 alan için beklenen koloni sayısı µ=λt eşitliğinden yararlanarak µ=(0.02)(100)=2 olarak elde edilir.

34 Bu durumda 100 cm 2 alanda 3 bakteri kolonisi oluşma olasılığı %18 olarak aşağıdaki şekilde hesaplanır. P(3) e 2 (2) 3! %18

35 Örnek 1 e ait 3 aylık zaman aralığı için Poisson dağılımı.

36 Örnek 1 e ait 6 aylık zaman aralığı için Poisson dağılımı.

37 Örnek 1 e ait 1 yıllık zaman aralığı için Poisson dağılımı.

38 Örnek 1 e ait 5 yıllık zaman aralığı için Poisson dağılımı.

39 Örnek 1 e ait 10 yıllık zaman aralığı için Poisson dağılımı.

40 Grafikler incelendiğinde belirlenen zaman aralığı arttıkça ve buna bağlı olarak beklenen olay sayısı arttıkça Poisson dağılımı beklene olay sayısı etrafında simetrik bir dağılım şeklini almaya başlıyor ve normal dağılıma yakınsıyor.

Benzer belgeler

Binom Dağılımı Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması

Binom Dağılımı Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Sonucu ikili olarak gözlenebilen örneğin erkek-kız, hasta-sağlam,