Yapay Zekada Problem Çözme

Yapay Zekada Problem Çözme Yapay zeka teknolojileri her şeyden önce problem çözme işlemini arama ve değerlendirmeye dayalı olarak gerçekleştirir. Probleme Çözüm Arama ve Değerlendirme: Problemin çözümü için önceden belirlenmiş kriterler ışığında çözüm seçenekleri incelenir. En iyi ya da "yeterince iyi" çözümler bulunmaya çalışıldığı için problem çözümü temel olarak bir arama işlemidir.

Yapay Zekada Problem Çözme Problemlerin Çözümünde Aramanın Önemi Bir problemde hedef belirtilir. Hedefe ulaşmak için arama yapılır. Yapay zekanın rolü temel olarak aramayı ve değerlendirmeyi bazı sonuç çıkarma yeteneklerini kullanarak yönetmektir. Problemlere uygun çözümleri bulmak için birçok arama yöntem ve stratejileri kullanılmaktadır. Bu yöntemlerin bazıları önsezi ya da güdülere göre hareket etmeyi gerektirir.

Yapay Zekada Problem Çözme Problemi bir arama problemi olarak formüle etmek için aşağıdaki bileşenlere ihtiyacımız var: 1) DURUM UZAYI (STATE SPACE) 2) EYLEMLER veya DURUM UZAYI Geçişleri (ACTIONS or STATE SPACE Transitions) 3) BAŞLANGIÇ veya BAŞLAMA DURUMU VE HEDEF (INITIAL or START STATE and GOAL) 4) YOL MALİYETİ (Path Cost)

1. DURUM UZAYI (STATE SPACE) Başlangıç durumundan ulaşılabilecek tüm durumlara kadar oluşan kümedir. Bir problemin tüm izinli durumlarını içeren graftır. Bir problemin çözümü arandığında durum uzayının sınırları kesin bir biçimde belirlenmelidir. Durum uzayı graflarla ifade edilebilir: düğümler: uzaydaki durumlar kenarlar: eylemler/hareketler/işlemler

1. DURUM UZAYI (STATE SPACE) Problemin boyutu genelde olası durumların sayısı ile (veya durum uzayının boyutu ile) ifade edilir. Süpürge etmeninde 2x2 2 durum vardır Tic-Tac-Toe oyununda yaklaşık 3 9 durum vardır Dama da yaklaşık 10 40 durum vardır Rubik Cube da durumlar sayısı 10 19 civarındadır. Satranç taki durumların sayısı yaklaşık 10 120 dir. Go oyunundaki durumlar sayısı ise çok daha fazladır.

2. EYLEMLER veya DURUM UZAYI Geçişleri (ACTIONS or STATE SPACE Transitions) Eylem (Action): Bir durumdan diğer bir duruma geçmek için izinli değişimlere denir. Bu durumlara geçiş durumu denir. Her durum için olası birden fazla eylem olabilir.

2. EYLEMLER veya DURUM UZAYI Geçişleri (ACTIONS or STATE SPACE Transitions) Eylemlere, her birisi bir zaman diliminde oluşan kesintili olaylar gibi bakmak mümkündür. Ortam her hangi bir durumun içindedir; bir eylem gerçekleşir ve ortam yeni duruma geçiyor. Örneğin, Ali sınıftadır ve Eve gitti eylemleri ardışık olarak gerçekleşmişse sonraki durum Ali evdedir olacaktır. (Burada Ali nin sınıfta ve evde olduğu andaki durumlarından farklı durumlara (örn., Ali eve gidiyor durumuna) bakmıyoruz)

2. EYLEMLER veya DURUM UZAYI Geçişleri (ACTIONS or STATE SPACE Transitions) Meselenin çözümü boyunca tüm değişmeleri ifade etmek için uygun her bir eylem ve olay değerlendirilmelidir. Önceki eylem verilmişse ve ortamın güncel durumu belli ise sonraki eylem belirlenebilir. Önkoşul: hareket şu anki ortama uygulanabilir ve yasaldır. Etki: şu anki ortamda eylem yapıldıktan sonra ortamın kesin durumu nasıl olacak?

3. BAŞLANGIÇ veya BAŞLAMA DURUMU VE HEDEF (INITIAL or START STATE and GOAL): Başlangıç Durumu (Initial States): problemin çözümü için yapılacak ilk hareketin başlandığı durum. Sezgisel algoritmalarda başlangıç çözümleri çoğunlukla rasgele olarak oluşturulmaktadır. Çözümlerin belirli bir başlangıç değerinden veya rastgele başlaması problemin özelliğine göre belirlenmelidir. Hedef Testi (Goal Test) : problemin tanımında verilen ulaşılması gereken durum (problemin çözümü). Bir hedef test, mevcut duruma uygulandığında, mevcut durumun hedeflenen durum olup olmadığını bildirir.

4. YOL MALİYETİ (Path Cost) Bazı durumlarda yalnızca çözümün bulunması değil, çözümün maliyeti de önemli olur. Bu kavram, yol maliyeti olarak tanımlanır. Bazı problemlerde her bir hareketin önemli bir maliyeti olabilir. Satranç gibi problemlerde ise maliyete bakılmaksızın, kazanmaya odaklanılır.

Graflar Yapay zekada graf yapıları genellikle problemin durum uzayını, nesneler arası ilişkileri, bilgilerin modellenmesinde olan anlamsal gösterimleri, doğal dil işlemede çözümleyicileri vb. ifade etmek için kullanılır. Graf bir düğümler kümesi ve bu düğümler arasındaki ilişkileri ifade eden kenarlar yardımıyla tanımlanan bir yapıdır.

Graflar Bir G grafı V ile gösterilen düğümlerden (node veya vertex) ve E ile gösterilen kenarlardan (Edge) oluşur. Her kenar iki düğümü birleştirmektedir. Her kenar, iki düğüm arasındaki ilişkiyi gösterir ve (u,v) şeklinde ifade edilir. (u,v) iki düğümle gösterilen bir kenardır. 13

Graflar - Örnek G = (V, E) grafı aşağıda verilmiştir. V = {A, B, C, D, E, F} E = {(A, B), (A, D), (B, C), (C, D), (C, E), (D, E)} B C A F D E 14

Graflar Grafın her kenarının bir başlangıcı ve bir sonu varsa, bu yönlü graf olarak tanımlanır. Aksi halde graf yönsüz olarak kabul edilir. Yönsüz graflarda kenarlar bağ olarak adlandırılır. Eğer iki ayrı düğüm tek bir kenarla birbirine bağlanıyorsa, buna yalın graf denir. Eğer iki ayrı düğüm birden çok kenar ilişkisi içerirse buna bağlantılı graf denir. 15

Graflar Birbiri ile kenarlarla ilişkili olan düğümlere komşu düğümler denir. Grafın herhangi düğüm komşuları sayısı onun derecesini belirler. Kapalı yola döngü denir. Döngü içermeyen bağlantılı graflar ağaç olarak adlandırılır.

Graflar Komşu (Adjacent): Eğer (u, v) E ise u ve v düğümleri komşudur. (A, B) komşudur. (B, D) komşu değildir. (C, F) komşu değildir. B C A F D E 17

Graflar Grafın ayrıtları üzerinde ağırlıkları olabilir. Eğer ayrıtlar üzerinde ağırlıklar varsa bu tür graflara ağırlıklı/maliyetli graf (Weighted Graphs) denir. Ağırlık uygulamadan uygulamaya değişir. Şehirler arasındaki uzaklık. Routerler ararı bant genişliği. İstasyonlar(petrol, elektirik vs.) arasındaki kurulum maliyeti 18

Graf Gösterimi Zaman ve yer karmaşıklığı aşağıdaki her iki ifade ile de ölçülür. Düğüm sayısı = V = n Kenar sayısı = E = m Graf gösterimi için iki farklı yol vardır. Komşuluk matrisi (Adjacency matrix) Komşuluk listesi (Adjacency list) 19

Komşuluk Matrisi (Adjacency matrix) Yönsüz graf örneği ve bu grafın düğümleri arasındaki ilişkileri ifade eden komşuluk matrisi (Adjacency matrix) : 1 2 3 4 5 S= 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 5 1 4 2 3

Komşuluk Matrisi (Adjacency matrix) M(u, v) = 1 (u,v) E nin içindeyse 0 diğer B C A B C D E F A 0 1 0 1 0 0 A F B 0 0 1 0 0 0 C 0 0 0 1 1 0 D E D 0 0 0 0 1 0 E 0 0 0 0 0 0 F 0 0 0 0 0 0

Komşuluk Matrisi (Adjacency matrix) Komşuluk Matrisi Gösterimi (Ağırlıklı Graf): ağırlık(u, v) M(u, v) = (u, v) E nin içindeyse diğer 10 B 20 C A B C D E F A 10 5 A 5 30 50 F B 20 C 30 50 D 15 E D 15 E F

Komşuluk Listesi (Adjacency list) Komşuluk Listesi: (Yönsüz Graflar) B C A B B A D C A F C B D E D E D A C E E C D F

Komşuluk Listesi (Adjacency list) Komşuluk Listesi (Yönlü Graflar) B C A B B C D A F C D E D E D E E F

Süpürge Etmeninin Durum uzayı Durumlar : toz ve süpürgenin bulunduğu yerler (1-8) Eylemler : Sol, Sağ, Temizle, NoOp Hedef testi: hiç bir karede toz yoktur (her yerin temizlenmesi) Yol maliyeti : Her eylemin değeri 1 birim (NoOp için 0)

Ölçme problemi 7 litre suyu birer adet 3, 5 ve 9 litrelik kovalar ile ölç. Hedefi formüle et: 7 litre suyu 9 litrelik kovada tut Problemi formüle et: Durumlar: Kovalardaki su miktarı Eylemler: Kovayı kaynaktan doldur, Kovayı boşalt Çözümü bul: Başlangıç durumundan hedef duruma götüren işlemler sırası 26

Ölçme problemi 9 l 3 l 5 l Durumlar Eylemler Hedef testi Yol Maliyeti : 3 ölçek kabı ( 3, 5 ve 9 litrelik) : Suyun yerini değiştirme : En az hareket ile 7 litre suyu ölçmek : Yer değiştirme sayısı

Ölçme problemi Çözüm (olasılıklardan biri): a b c 0 0 0 başla 3 0 0 0 0 3 3 0 3 0 0 6 3 0 6 0 3 6 3 3 6 1 5 6 0 5 7 amaç 3 l 5 l 9 l a b c

Ölçme problemi Bir başka çözüm: a b c 0 0 0 başla 0 5 0 0 0 3 3 0 3 0 0 6 3 0 6 0 3 6 3 3 6 1 5 6 0 5 7 amaç 3 l 5 l 9 l a b c

Ölçme problemi Bir başka çözüm: a b c 0 0 0 başla 0 5 0 3 2 0 0 0 3 3 0 3 0 0 6 3 0 6 0 3 6 3 3 6 1 5 6 0 5 7 amaç 3 l 5 l 9 l a b c

Ölçme problemi Bir başka çözüm: a b c 0 0 0 start 0 5 0 3 2 0 3 0 2 3 5 2 3 0 7 amaç 3 0 6 0 3 6 3 3 6 1 5 6 0 5 7 amaç 3 l 5 l 9 l a b c

Ölçme problemi İki Ayrı Çözüm Çözüm 1: a b c 0 0 0 başla 3 0 0 0 0 3 3 0 3 0 0 6 3 0 6 0 3 6 3 3 6 1 5 6 0 5 7 amaç Çözum 2: a b c 0 0 0 başla 0 5 0 3 2 0 3 0 2 3 5 2 3 0 7 amaç

8-taş problemi S. Loyd tarafından ortaya konulan 8-Taş problemi 1 den 8 e kadar sayılarla doldurulmuş ve bir karesi boş olan 3x3 boyutunda bir matrisin verilen başlangıç durumundan istenilen bir hedef duruma getirilmesinin amaçlandığı bir oyun olarak tanımlanabilir. Matrisin üzerindeki elemanların yalnızca boşluk ile yer değiştirdiği (kaydırıldığı) hareketler geçerli kabul edilmektedir.

8-taş problemi Başlangıç durumu Hedef durum Durumlar : taşların yerleri (tamsayı, 1-9) Eylemler : 4 eylem. Boşluğu sola, sağa, aşağı, yukarı hareket ettir. 8 taşın her biri için olası 4 hareketi tarif etmektense boşluğu hareket ettirmek daha etkili Başlangıç durum : Matris üzerinde her hangi bir durum Hedef testi : Resimdeki hedef durum (Taşların matris üzerinde arzu olunan dizilişi) Yol maliyeti : Boşluğun her bir hareketinin maliyeti 1 dir.

8-Taş probleminin durum uzayından kesit 5 4 6 1 8 7 3 2 5 4 6 1 8 7 3 2 5 4 8 6 1 7 3 2 5 1 4 6 8 7 3 2 5 4 6 1 8 7 3 2 5 1 4 6 8 7 3 2 Durum Uzayı (State Space) Boyutu : 9!/2 = 181440

Kurt-kuzu-ot problemi Bir çiftçi, nehrin sağ kıyısındaki kurt, kuzu ve otu, yalnız iki nesne alabilecek bir tekneyle sol kıyıya geçirmek istiyor. Çiftçi yanlarında olduğu müddetçe kurt kuzuyu, kuzu da otu yiyememektedir. Kuzu ve ot yitirilmeden bu tekneyle çiftçi kurt, kuzu ve otu diğer kıyıya nasıl taşıyabiliriz?

Kurt-kuzu-ot problemi İfade edilmesi gerekenler : 4 nesnenin pozisyonu Tekneyi ifade etmeye gerek yok. Çünkü yeri her zaman Çifçi ile aynı. Nesneler ya sağ kıyıda (R), ya da sol kıyıda (L) Her bir nesneyi pozisyonunu gösteren bir harfle ifade: (Çiftçi, Kurt, Kuzu, Ot), (Ç, W, K, O) Çiftçi Kurt Kuzu Ot ( A?, B?, C?, D? )

Kurt-kuzu-ot problemi Çiftçi Kurt Kuzu Ot (,,, ) İlk durum A? B? C? D? (R, R, R, R) Yasak durumlar Kurt kuzuyu yer (Çiftçi olay yerinde değilse) (L, R, R, _) (R, L, L, _) Kuzu otu yer (Çiftçi olay yerinde değilse) (L, _, R, R) (R, _, L, L) Hedef durum (L, L, L, L)

Kurt-kuzu-ot problemi Her bir nesne iki yerde olabildiğine göre 2 4 = 16 durum (state) vardır: 1- Başlangıç, 16 - hedef durum 1. Ç O K W / Ø 9. O K / Ç W 2. Ç O K / W 10. O W / Ç K 3. Ç O W / K 11. K W / Ç O 4. Ç K W / O 12. Ç / O K W 5. O K W / Ç 13. O / Ç K W 6. Ç O / K W 14. K / Ç O W 7. Ç K / O W 15. W / Ç O K 8. Ç W / O K 16. Ø / Ç O K W Problemin 2 farklı çözümü: 1-10 -3-13 -2-14 -7-16 1-10 -3-15 -4-14 -7-16

Kurt-kuzu-ot problemi Çiftçinin kurt, kuzu ve otu nehirden karşıya geçirmesi gerekiyor. Kurt ile kuzunun, kuzu ile otun aynı kıyıda yalnız kalmamaları kuralı var. Sağ ve sol kıyıda olmak üzere iki durum var. Başlangıç durumu herkesin sağ kıyıda olduğu durum iken, hedef durum herkesin sol kıyıda olduğu durum. Önce kuzu sol kıyıya bırakılır, döner kurt'u alır sol kıyıya bırakırken, karşıdaki kuzuyu geri getirir sağ kıyıya bırakır, ot balyasını alınıp sol kıyıya götürülür. Geri döner son olarak bu sefer tekrar kuzu alınıp sol kıyıya götürülür. Buna göre, başlangıç durumu (R-R-R-R) 0-0-0-0 bitleri ile ifade edilirse, hedef durumu da (L-L-L-L) 1-1-1-1 bitleri ile ifade edilebilir.

Hanoi kulesi Üç tane direk ve farklı boyutlarda disklerden oluşur. Diskler istenilen direğe aktarabilir. Her harekette sadece bir disk taşınabilir. En üstteki disk direkten alınıp diğer bir direğe taşınabilir. Diğer direkte daha önceden diskler olabilir. Hiçbir disk kendisinden küçük bir diskin üzerine koyulamaz.

Hanoi kulesi Sistemin optimal çözümleri "2 n -1" kuralına dayalıdır. 3 disk (2.2.2)-1=7 eylem 4 disk (2.2.2.2)-1=15 eylem 5 disk (2.2.2.2.2)-1=31 eylem 6 disk(2.2.2.2.2.2)-1=63 eylem 7 disk(2.2.2.2.2.2.)-1=127 eylem 8 disk(2.2.2.2.2.2.2)-1=255 eylem n adet disk ve m adet çubuk için toplam eylem sayısı m n dır.

Hanoi kulesi 1883 yılında Fransız matematikçi Edouard Lucas tarafından bulunmuştur. 1 diskin hareketi için 1 saniye gerekirse, 64 diskli problemi çözmek için 500 milyar yıl gerekir. Bu yüzden bu büyük durum uzaylarında bir çözüm aramak için prensipli bir yola ihtiyacımız vardır => Arama algoritmaları

Hanoi kulesi

8-Vezir Problemi ( 8-Queen s Problem ) 8 Vezir Bulmacası, 8x8'lik bir satranç tahtasına 8 adet vezirin hiçbiri olağan vezir hamleleriyle birbirini alamayacak biçimde yerleştirmesi sorunudur. Her bir vezirin konumunun diğer bir vezire saldırmasına engel olması için hiçbir vezir başka bir vezirle aynı satıra, aynı sütuna ya da aynı köşegene yerleştirilemez.

8-Vezir Problemi ( 8-Queen s Problem ) Durumlar (States) : 8 vezirin oyun tahtasına herhangi bir şekilde yerleştirilmesi. Eylemler: Herhangi bir kareye vezir koymak. İlk Durum Initial State) : Tahtada vezir olmadığı durum. Hedef Testi (Goal Test) : 8 vezirin, tahtaya birbirini alamayacak şekilde yerleştirilmesi. Yol maliyeti: Sıfır (0). Vezirler tek tek yerleştirilir. Sadece son durum dikkate alındığı için yol maliyeti dikkate alınmaz. Yalnız arama maliyetine bakılır:

8-Vezir Problemi ( 8-Queen s Problem ) (8 8)! / ( (8 8-8)! 8! ) = 4.426.165.368 olasılık bulunmasına karşın yalnızca 92 çözüm bulunduğu için bulmacanın çözümü yüksek miktarda hesaplama gerektirir.

8-Vezir Problemi ( 8-Queen s Problem ) Gereksiz yere yapılan hesaplamaların sayısını azaltmak için bazı kısayolların kullanılması mümkündür. Tehdit edilmeyen en soldaki boş kareye vezir koy. Bu şekilde tehdit edilmeyen durumları tespit etmek kolaydır. Doğru formülasyon arama uzayının boyutunu büyük ölçüde küçültür. Örneğin her bir satırda ya da sütunda tek bir vezirin olabileceği kısıtı uygulanarak çözüm sayısı 16.777.216 (88) düzeyine indirilebilir.

8-Vezir Problemi ( 8-Queen s Problem ) 8 vezir probleminin aslında aşağıda gösterilen 12 eşsiz çözümü vardır.

Yolcular ve Yamyamlar 3 yolcu ve 3 yamyam kayıkla nehrin karşısına geçmek istiyor. Sınırlama : Kayığa en fazla 2 kişi binebilir. Yamyamların sayısı nehrin herhangi bir sahilinde yolculardan çok olursa yamyamlar yolcuları yer. Durumlar : Nehrin her iki sahilinde ve kayıktaki yamyam ve yolcular Eylemler : Her iki yönde için de bir veya iki kişi ile kayığın hareketi Amaç Testi : Tüm yamyamların ve yolcuların nehri geçmesi 68

Yolcular ve Yamyamlar Yakın sahil Nehir Uzak sahil Kişi 1 Kişi 2 Kişi 3 Yamyam 1 Yamyam 2 Yamyam 3 kayık Bu problem 11 adımda çözülebilir. 69

Yolcular ve Yamyamlar Sorunun Çözümü Yakın sahil Karşı sahil 0 Başlangıç durum: MMMCCC B - 1 2 yamyam çayı geçti: MMMC B CC 2 Birisi geri döndü: MMMCC B C 3 2 yamyam çayı geçti: MMM B CCC 4 Biri geri döndü: MMMC B CC 5 2 yolcu çayı geçti: MC B MMCC 6 Bir yolcu ve bir yamyam geri döndü: MMCC B MC 7 İki yolcu çayı geçti: CC B MMMC 8 Bir yamyam geri döndü: CCC B MMM 9 İki yamyam çayı geçti: C B MMMCC 10 Bir yamyam geri döndü: CC B MMMC 11 İki yamyam çayı geçti: B MMMCCC M: yolcu, C: yamyam, B:kayık

Tavşanlar problemi Her tavşan çiftinin her ay sonunda 1 çift yavru verdiği düşünülürse, her yeni çift ise ilk birinci aydan sonra yavrulayabildiği de söz konusu olduğunda önceden verilmiş zaman içerisinde hiçbir tavşanında ölmediği varsayılarak, 1 yıl (12 ay) sonra kaç tavşan elde edildiğini tespit ediniz. 71

Tavşanlar problemi Çözüm: n ay sonra x[n] çift tavşan olduğunu varsayalım. n+1 inci ayda (tavşanların ölmedikleri varsayılarak) x[n] çiftin yanında yenidoğan çift de yeralacaktır. Ancak yeni tavşan çifti 1 aylık olduğunda doğurabildiği için x[n-1] çift yeni tavşan olacaktır. x[n+1] = x[n] + x[n-1] Buna göre belli bir aydaki çift sayısı önceki iki ayın toplamına eşittir. O halde tavşan çifti sayıları aylara göre bir yıl içinde, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 olacaktır. Bu denklem ve özünde yatan mantık Fibonacci sayılarını oluşturmaktadır. Fibonacci sayılarının ilginç özellikleri vardır. Mesela n sayısı büyüdükçe iki ardışık Fibonacci sayısının oranı Altın Oran a yani 1.618... e yakınsar. 72