SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ

SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ Kurs Kapsamı SONLU ELEMANLAR KAVRAMI SONLU ELEMANLAR FORMULASYONU UYGULAMALARI

Sonlu Elemanlar Çözümleri Rijitlik Metodu Esneklik Metodu Karışık Kullanımlar

Rijitlik Metodu Kullanılarak Çözüm Yapmanın En Çok Bilinen ve Kolay Yolu Direkt Rijitlik Metodudur Denilebilir

DİREKT RİJİTLİK METODUNUN AŞAMALARI Düğüm Noktası Fiziksel Model

İdealleştirme ve Parçalama Çubuk Elemanlara Parçalanacak sistemin Parçalanmadan Önceki Ayrışma Noktalarını Yani düğüm Noktalarının Belirtilmesi Parçalara Ayrılmış Matematiksel Model

Mesnetlerden ve Kuvvetlerden Kurtarılmış Sistem Elemanların Düğüm Noktalarından Ayrışması Elemanlar Kendi Lokal Eksenlerinde Ele Alınması (Lokal eksen Takımında Eleman Matrislerinin Bulunması) Dikmeler Üst Başlıklar Diagonaller Alt Başlıklar

Elemanları Orijinal Konumlarında Bir Araya Getirilmesi (Lokal eksen Takımında Elde Edilmiş Rijitlik Matrislerinin Global eksen takımına Taşınması) Birleştirme (Global Eksen Takımına Taşınan Eleman Rijitlik Matrislerinin Düğüm noktaları Uylaşımına Bağlı Olarak Birleştirilmesi) Dış Yüklerin ve Mesnet Koşullarının Uygulanması Problemin Çözümü ve Düğüm noktalarının Yerdeğiştirmelerinin Bulunması

Sonlu elemanlar Çözümü Sonrası Yapılan Diğer İşlemler Sonlu Elemanlar Yöntemi Kullanılarak Düğüm Noktası Deplasmanları Bulunmuştur Bu Aşamadan Sonra Dizayn İçin Gerekli Diğer Büyüklükler Olan Mesnet Reaksiyonları Kesit Tesirleri Bulunurlar. Tüm Bu İşlemler Eleman Tipinden Bağımsızdır.

Sonlu Elemanlar Metodunda Kullanılan Bazı Eleman Tipleri

Çeşitli yapılarda Kullanılan ve Malzemelerin Mekanik Özelliklerine ait Basit Bağıntılar Kullanılarak Elde Edilen Basit Eleman Tipleri Çeşitli Yapısal Elemanlar Matematiksel Modelin Adı Çubuk (Bar) Sonlu Eleman Modeli Kiriş (Beam) Tüp, Boru (Tube, Pipe) Perde Kayma Mukavemetine Sahip Perde

Bazı Sürekli Ortam Elemanları Fiziksel Eleman Sonlu Eleman Modeli Fiziksel Eleman Sonlu Eleman Modeli 2D Cisimler 3D Cisimler

Özel Eleman Tipleri 2 Nokta Birden Aynı Konumda Elemanın Sınırsız Kısmı Çatlakların Modellenmesinde Kullanılan Eleman Tipi Örneği Sonsuz Eleman Arı Peteği Panel (Sanwich Panel

Makro Elemanlar

1DKiriş 2DKiriş ve Kafes 3DKiriş ve Kafes vb. Global Koordinat Sistemi 1DKiriş ve Kafes El. 3DKiriş El. Lokal Koordinat Sistemi

Kiriş 2D Kafes 2D Çerçeve Elemanı Kiriş Kiriş 3D Kafes 3D Çerçeve Elemanı Kiriş Çeşitli elemanların serbestlik dereceleri

Unutmuyoruzki Homojen Mesnetlenme Koşullarından Olan Basit, Ankastre, Serbest Uç, Mafsal, Kayıcı Mafsal Benzeri Yapılar Deplasman veya Dönme Yapamıyorlarsa Yapılamayan Hareketin Karşılığı Olan Kuvvet ve Moment Değerini Taşıyor Demektir

Sonlu Elemanlar Metodunu Kullanabilmek İçin Denklem takımı çözümlerini herhangi bir bilgisayar programı kullanarak çözebilmek gerekir. Yöntem tamamı ile bilgisayar destekli çözüm gerektirir. Temel Matris İşlemlerinin Bilinmesi veya Bilgisayara Uygulamasını Bilmeyi gerektirebilir. (Denklem Takımı Çözümü, Matris Transpozu vb. manipilasyonları yapabilecek seviyede matematik bilgisi gerektirir.)

Basit Yay Elemanı Elemanın nokta Sayısı: Noktalara Ait Yer Değiştirmeler: Noktalara Oluşan Kuvvetler: Yay Sabiti (Rijitlik): Yay Elemanın Herbir Düğüm Noktası Sadece Ötelenme Yapabildiği İçin Bu Elemana Ait Düğüm noktası Serbestlik Derecesi Bir dir. Degree G.A. Mekanik of CBÜFreedom (DOF=1)

Yay Elemanına Ait Gerilme Deformasyon İlişkisi (Yayın Lineer Bölgede Davrandığı Kabul Edilmekte) Bu Kurs Kapsamında Sadece Lineer Problemler ile İlgilenilecektir

i ve j noktalarındaki kuvvet değerleri denge denklemlerinde kolayca bulunur Noktalara Ait Denklemler Matris Formatında yazılırlarsa

Eleman Matrisi (Eleman Rijitlik Matrisi) Rijitlik Matrisi (Daima Simetriktir) Eleman Noktasal Yerdeğiştirme Vektörü Eleman Kuvvet Vektörü

Yay Sistemi (İki veya daha fazla Yay elemanının Birleştirilmesi ve Çözüm Yaklaşımı 1. Eleman Rijitlik matrisi 2. Eleman Rijitlik matrisi Lokal eksen Takımında m numaralı elemanın i nokta nolu bağlantısına karşılık gelen iç kuvvet değeridir.

Eleman Rijitlik Matrislerinin Bir araya Getirilmesi Düğüm Noktalarındaki Toplam Kuvvet Değerlerinin açılımları

Eleman Rijitlik Matrislerinin Bir Araya Getirilmesi Matris Formundaki Gösterim Burada K Tüm sistemin Rijitlik Matrisidir.

Sistem Rijitlik Matrisini Elde Etmenin Bir Diğer Gösterimi Önce Elemanları Tüm sistemin Rijitlik Matrisi İçinde Tek Başlarına Göstermek Sonra Bir Araya Getirmektir.

Dış Yüklerin Yüklenmesi ve Sınır Koşullarının Uygulanması Yay sisteminin 1 nolu noktada tutulu olduğu, 2 ve 3 nolu noktalardan ise P değerine sahip iki adet dış yükün sisteme etkidiği kabul edilirse; Sistem Rijitlik Matrisi Bağlı Olan Eşitlik Aşağıdaki Hali Alır.

u 1 =0 olması sebebi ile u 1 bulunduğu kolondaki tüm terimler sıfır ile çarpılacağı için denklemlere bir şey kazandırmayacaktır bu sebeple ihmal edilirler ve kalan 2 (u 2, u 3 ) bilinmeyen sağ alt köşedeki kare matris formundaki katsayılar kullanılarak bulunabilirler. 2 bilinmeyen = 2 denklem olduğu için u 2, ve u 3 kolaylıkla elde edilir.

F 1 sistemdeki mesnet reaksiyonu olarak düşünülebilir. Değer olarak da u 2, ve u 3 ün hesaplanmasında kullanılmayan 1 nolu denklemden kolaylıkla elde edilebilir. u 2 nin daha önceden bulunan değeride yerine konulursa

Sonuçların Değerlendirilmesi Deforme Olmuş Şeklin Verilen Yükleme ve Sınır Koşulları ile Uygun olup olmadığının Kontrol Edilmesi Yapılan Analiz Sonucunda Bir Gerekliliktir. (Kullanıcı Yanlış giriş Yapmış Olabilir Kullanılan Program Hazır Program Değilse Programda Bir Hata olabilir) 2 ve 3 nolu noktalara gelen kuvvetler + işaretli olup yayın sağ tarafa doğru uzaması beklenir. Dolayısı ile u 2 ve u 3 nolu noktalarda kuvvet yönü ile aynı olması beklenir. Bu durum elde edilen sonuçlar ile gerçeklenmiş olup deformasyonlar yükler İle uyumludur.

Sonuçların Değerlendirilmesi Çözümün doğruluğunu Kontrol etmenin bir diğer yolu dış kuvvetlerin dengesine bakmaktır. (Kullanıcı Yanlış giriş Yapmış Olabilir Kullanılan Program Hazır Program Değilse Programda Bir Hata olabilir) ΣF=0

Sonuçların Değerlendirilmesi Sonuçları kontrol etmenin bir diğer yolu ise elde edilen büyüklüklerin karşılaştırılmasıdır. Yay sistemi için konuşulacak olunursa 3 nolu noktanın deplasmanının 2 nolu noktadan daha büyük olarak çıkacağı aşikardır. Bu gibi basit sistemlerde basit yükleme durumlarında bu değerler öngörülebilir değerler de olabilir. Ancak sistem ve yük durumu karmaşıklaştıkça bu öngörülerin gerçeklenme olasılığı azalır.

Yay elemanlar Hakkında Kafes sistemlerin çubuk elemanlarının yerine kolaylıkla konulup analizlerde kullanılıp deformasyonların bulunmasına yardımcı olabilirler. Benzer şekilde yanlızca eksenel yüklemelerin söz konusu olduğu kiriş problemlerinin deplasmanlarının bulunmasında kullanılabilirler. Diğer taraftan gerilmelerin bulunmasında doğrudan kullanılamazlar ve bu konuda kullanışlı oldukları söylenemez sadece eksenel yüklü sistemlere ait deplasmanların bulunmasında dolaylı yoldan kullanılabilirler.

Yay Eleman Örneği Sayısal Veriler İstenenler 2 ve 3 nolu noktaların yer değiştirmeleri 1 ve 4 nolu noktalarda ortaya çıkacak mesnet reaksiyonları 2 nolu yaydaki kuvvet

ÇÖZÜM Eleman Rijitlik Matrislerinin Bulunması Hatırla Tek Bir Yay Eleman İçin Rijitlik Matrisi

ÇÖZÜM Sistem Rijitlik Matrisinin Oluşturulması (Eleman Rijitlik Matrislerinin Birleştirilmesi) Sıfır

Simetrik ve Bant Matris

Sonlu Elemanlar Denklemi Sıfır

Azaltılmış Rijitlik Matrisi ve Sonlu Elemanlar Denklemi Elde Edilen Bilinmeyen Deplasman Değerleri

Ana Matristeki Bilinmeyen Deplasmanların Bulunmasında Kullanılmayan 1. ve 4. Satırdaki Denklemlerin Kullanılması İle F 1 ve F 2 mesnet reaksiyonları Bir Önceki aşamada bulunan u 2 ve u 3 değerlerinin yerine konulması ile Kolaylıkla Bulunur.

2 Nolu Yay Elemanındaki Kuvvetin Bulunması 2 Nolu Eleman Rijitlik Matrisi Burada 2 nolu eleman İçin i ve j değerleri Hatırlatma Tek Bir Yay Elemanında Biriken Kuvvet ile İç Kuvvetler arasındaki İlişki veya Bu durumda 2 Nolu elemana ait matristen herhangi bir satırı kullanılarak yay da ki kuvvet kolaylıkla hesaplanabilir.

Yay Örneği 2! Verilen Sistemin Rijitlik Matrisinin Oluşturulması Elemanların Global Düğüm Noktaları numaralarına Göre Bağlantı Şeması Eleman

Elemanların Rijitlik Matrisleri

Eleman Rijitlik Matrislerinin Birleştirilmesi İle Oluşturulmuş Sistem Rijitlik Matrisi

1Boyutlu Eksenel Yük Taşıyabilen Çubuk Eleman Bir boyutlu çubuk elemanlar kullanılarak yay elemanlarına benzer şekilde deplasmanlar ve mesnet reaksiyonları bulunabilir. Yay tipi elemanlardan farklı olarak çubuk elemanlarda eleman alanıda rijitlik matrisine dahil edileceği için yaylardan farklı olarak bu tip elemanların kullanıldığı hesaplamalarda gerilme değerleride kolaylıkla elde edilebilir. Elemanın Uzunluğu Elemanın En Kesit Alanı Eleman Malzemesinin Elastisite (Young) Modülü Elemanın Düğüm Noktalarının Yer Değiştirmeleri Elemanın Birim Boy Değişimi Elemanda Ortaya Çıkan Gerilme

1Boyutlu Eksenel Yük Taşıyabilen Çubuk Eleman Bu Kurs Kapsamında Çubuk elemanlar İle Yapılacak Analizlerde Aşağıdaki Kabuller Kapsamında Yapılacaktır. Sistemdeki Deformasyonların Küçük Olduğu Kabul Edilecektir. (Geometrik Lineer sistem) Çubuk Malzemesinin Lineer Elastik Olduğu Kabul Edilecektir. Yüklemenin Statik Olduğu Kabul Edilecektir.

Eleman Rijitlik Matrisinin Türetilmesi Yerdeğiştirme ve Deformasyon İlişkisi Gerilme ve Deformasyon İlişkisi

Eleman Rijitlik Matrisinin Elde Edilmesinde Direkt Metod Kullanılacaktır u yerdeğiştirme değerinin çubuk ekseni boyunca linner olarak değiştiği kabul edilirse Gerilme-Deformasyon ve Deformasyon-Deplasman Bağıntılarına Dayanarak Aşağıdaki Çıkarımları kolayca Yapmak Mümkündür. Burada Δ Çubuğun Toplam Uzama Değeridir.

Eksenel Uzamaya Sahip Bir Çubukta Gerilme Değerinin Kuvvet ve alan Değerlerine Bağlı olarak Yazılması Aşağıdaki gibidir ve gerilme deformasyon ifadesinden bilinen hali ile eşitlenirse Eşitliği Elde Edilir burada EA/L olarak değerinin bütününü ifade eden k katsayısına kısada elemanın rijitliği adı verilir. Söz konusu k katsayısı daha önce incelenen yaylardaki k katsayısı ile aynı işlevi çubuk eleman için görür!!!!

Yay elemanlara Ait Eleman Rijitlik Matrislerindeki k katsayılarının yerine çubuk elemana ait k katsayılarının açılımları yerleştirilirse Çubuk Elemana Ait Rijitlik Matrisleri Elde Edilmiş Olur

1 Boyutlu Çubuk Eleman Sonlu Elemanlar Eşitliği 1 Boyutlu Çubuk Elemanın Her bir Düğüm Noktası Sadece Ötelenme Yapabildiği İçin Bu Elemana Ait Düğüm noktası Serbestlik Derecesi Bir dir. Degree of Freedom (DOF=1)

1 Boyutlu Çubuk Elemanda gerilme Değerlerinin bulunması Bir Boyutlu Çubuk Elemanlarda Gerilme Değerlerinin Bulunması İçin Yay Benzeşimi Kullanılarak Önce elemana Gelen Kuvvet Bulunup Daha Sonra Alana Bölünüp Bulunabileceği gibi B uzunluk vektörü kullanılarak Çözümden elde edilen Deplasmanlar Yardımı İle de Çözüme Ulaşılabilir.

1 Boyutlu Çubuk Eleman Örneği Farklı en kesitte 2 adet çubuk eleman birleştirilmiş olup birleşim bölgesinden P kuvveti etkimektedir. Sistemin mesnet reaksiyonlarını ve çubuk elemanlarda oluşacak kuvvetleri verilen geometri ve yükleme durumu için bulunuz.

Eleman Rijitlik Matrislerinin Bulunması ve Sistem Rijitlik Matrisi Altında Birleştirilmesi

Sınır Koşulları ve Dış Kuvvetlere Bağlı Olarak Sistem Sonlu Elemanlar Eşitliği Oluşturulursa Sınır Koşulları Dış yükler

u 2 Bilinmeyen Düğüm Noktası Deplasmanının Bulunması 2 Nolu Satırdaki Eşitlikten Bilinmeyen u 2 değeri Kolayca Bulunur

u 2 Deplasmanının Değeri ve Tüm Deplasmanların Bir Arada Gösterimi

Çubuk Elemanlardaki Gerilmelerin Bulunması Hatırlanacağı Üzere Gerilme Yerdeğiştirme Bağıntısı B vektörü Kullanılması durumu İçin 1 Nolu Elemandaki Gerilme

2 Nolu Elemandaki Gerilme

Elde Edilmiş Sonlu Eleman Denklemi Çözümünü Yay Benzeşimi ile Beraber Kullanarak Gerilmelerin Bulunması Öncelikle Her Bir elemana Gelen Kuvveti bulacağız. Yay İçin İç Kuvvetlerin Bulunduğu Aşağıdaki Denklemler Aynen 1B Çubuklar İçinde geçerlidir. Yay Denklemlerinde k görülen yerlere çubuk rijitlikleri olan EA/L değerleri konulursa Çubuk sistemlere ait iç kuvvet Eşitlikleri Elde Edilmiş Olurlar veya HALA BU SİSTEM DE ÇÖZÜM YAPIYORUZ UNUTMAYALIM

Yay İç Kuvvet Denklemini 1B İç Kuvvet Denklemine Dönüştürelim ve Gerilme İlişkisini Yazalım F f k u u i i i i j k i E A i L i i E A F f u u L i i i i i j i

Problemimize Geri Dönüp u i değerlerini kullanarak bir ve iki nolu çubuk iç kuvvetlerini bulacak olursak i i i i j Li f 1 Nolu Çubuk Kuvveti E A f u u F f 1 1 1 E2A PL 0 L 3 AE 2P 3 EA PL P L 3AE 3 2 Nolu Çubuk F f 0 Kuvveti 2 2

Gerilme Değerlerinin Bulunması Kuvvet Gerilme Alan 1 Nolu Çubuk Gerilmesi 2 Nolu Çubuk Gerilmesi i fi A i 1 2 2P 3 P 2A 3A P A 3 P 3A

Çubuk ve Yay Elemanlar Hakkında * Çubuk ve Yay Elemanlar Vasıtası İle Değişken Kesitli Kirişler modellenebilir. * Ne Kadar Çok eleman Kullanılırsa Okadar Çok nokta Hakkında Bilgi Sahibi Olunabilir.

Çubuk veya Yay Elemanlar İle Yapılan Modelleme Örnekleri

1 Boyutlu Çubuk Eleman Örneği Verilen Yükleme ve Sistem Geometrisi İçin Sistemde Ortaya Çıkacak Mesnet reaksiyonlarını Bulunuz.

Öncelikle bilinen elastisite bağıntıları yardımı ve uygulanan kuvvetin etkisi ile çubuk uzamasının duvara ulaşıp ulaşmayacağını anlamak çok önemlidir. Çünkü ancak çubuk uzaması duvara kadar erişecekse bu aşamadan sonra mesnet reaksiyonu oluşturur. Sisteme etkiyen P kuvvetinin değeri çubuğun duvar ile temasından fazlasına yetecek kadar uzamasına sebep olacağı için sonlu elemanlar eşitliği buna dayanılarak kurulmalıdır.

HATIRLATMA Eleman Rijitlik Matrisi Sistem Global Rijitlik Matrisi

Yük ve Sınır Koşulları Sınır Koşulları ve Yük Değerleri sonlu elemanlar Eşitliğine yerleştirilirse eşitlikteki bilinmeyen tek deplasman değeri olan u 2 eşitlikten kolaylıkla elde edilebilir.

Sonlu eleman matris eşitliğindeki tek bilinmeyen olan u 2 kolayca elde edilmiştir

Sistem global Rijitlik matrisinin 1. ve 3. satırları kullanılarak elde edilmiş deplasmanlar yardımı ile bilinmeyen mesnet reaksiyonları elde edilir.

Çubuk Elemanda Yayılı Eksenel Yük Olması Durumu L Boyundaki çubuğa etkiyen q yayılı eksenel yükünün etkisi çubuk uçlarına toplanır ve noktasal dış yüklere ilave edilir.

2 ve 3 Boyutlu Eksenel Yük Taşıyabilen Çubuk Eleman 2 ve 3 boyutlu problemlerde elemanın bir düğüm noktası global eksen takımında 2 adet koordinat değeri ile ifade edilebildiği için tek boyutlu problemlerde kullanılan 2x2 boyutundaki eleman rijitlik matrisi, trigonometrik bağıntılar kullanılarak 2 ve 3 boyutlu düzlemlerde kullanılabilecek transforme edilmiş halleri elde edilir.

Lokal Koordinatlar ile Global Koordinatlar arasındaki Bağıntı Tek Bir Düğüm Noktası İçin Matris Formatında Yazılırlarsa Çubuğun Her İki Düğüm Noktası Beraberce Yazılırsa Lokal Koordinatlar Global Koordinatlar

Global Eksen Takımındaki 2B Çubuk Elemanın Rijitlik Matrisi

Global Eksen Takımındaki 2B Çubuk Elemanın Gerilmesi

2 Boyutlu Kafes Sistem Örneği Yandaki şekilde geometrisi ve yükleme durumu verilen kafes sistemin 2 nolu noktasının deplasmanını ve her çubuktaki gerilme değerlerini bulunuz. (A enkesit alanı, E elastisite modülü olup çubukların uzunluğu eşit olup L boyundadırlar.

1 Nolu eleman Rijitlik Matrisi

2 Nolu eleman Rijitlik Matrisi

Tüm Sistemin Sonlu Elemanlar Eşitliği

Sınır Koşulları ve Azaltılmış Rijitlik Matrisi

Azaltılmış Rijitlik Matrisi ve Yer Değiştirmelerin Bulunması

Elemanlarda Oluşacak Gerilmelerin Bulunması Çubuk Elemanın Gerilme Formulü

2 Boyutlu Kafes Sistem Örneği (Sınır Koşulları Kullanımına Özel Dikkat) Geometrisi, yükleme durumu ve kesit özellikleri verilen kafes sistemin mesnet reaksiyonlarını ve düğüm noktalarının deplasmanlarını bulunuz. 1. ve 2. Çubuklar 3. Çubuk

1 Nolu Çubuk Eleman Rijitlik Matrisi

2 Nolu Çubuk Eleman Rijitlik Matrisi

3 Nolu Çubuk Eleman Rijitlik Matrisi

Global Rijitlik Matrisi ve Sonlu Eleman Eşitliği Yükleme Değerleri ve Sınır Koşulları Lokal Koordinatlarda Verilmiş sınır Koşulları

Sonlu elemanlar denkleminde kullanılan sınır şartı ve kuvvet değerleri global koordinatlarda tanımlı olmalıdır oysa elimizdeki bir yerdeğiştirme sınır koşulu ve mesnet reaksiyonu sınır koşulu (kırmızı işaretliler) elemanın lokal koordinatlarında tanımlanmış olup bu tanımlamaların global koordinatlara taşınması gerekmektedir.

Yer Değiştirme Sınır Koşulunun Lokalden Globale Taşınması Daha önceki yer değiştirme sınır koşulların dan farklı olarak iki ayrı koordinata bağlı olarak bulunan tek mesnete ait çoklu tutulu olma şartı!

Mesnetlenme Koşulunun Lokalden Globale Taşınması Mesnetleme koşuluna ait dönüşüm yer değiştirmelere benzer şekilde yapılır. Koordinat dönüşümünün yapılacağı transformasyon işlemin bu sefer kuvvet terimleri yerleştirilip işlemler yapılırsa. Global Koordinatlardaki Kuvvet tipi sınır koşuluda yerdeğiştirmede olduğu gibi iki parçalı olarak bulundu.

Yorum: İki yerdeğiştirmenin bir birine bağlı olması ve aynı zamanda İki mesnet değerinin bir birine bağlı olması bir birine uygun durumlar olur sonlu eleman eşitliğindeki denklemler bu durumda karesel olarak bir boyut azalır ve denkleme iki değişkenden herhangi birisi yerleştirilerek işleme devam edilir.

Öncelikle Sonlu elemanlar Matrisinin Boyutunu Sıfıra eşitliği Olan sınır Koşullarını Kullanarak Azaltalım.

Eşitliği Kullanılarak v 3 yerine -u 3 yazılır ve F 3Y yerine de -F 3X, son olarak F 2X yerinede P dış yük değeri yazılırsa azaltılmış sonlu elemanlar denklemi aşağıdaki hali alır.

Bir denklem takımının çözülebilmesi için bilinenler ile bilinmeyenler arasında bir denge olmalıdır ancak burada denklemin her iki yanında problem vardır bu sebeple denklemi iki bilinmeyen yer değiştirmenin çözülebilmesi için yeniden organize edilmelidir. Bu sebeple 3. Eşitlikten kolayca faydalanılabilir. Bu eşitlik 2. denklemde yerine konulup işleme devam edilierse sistemin yerdeğiştirmeleri bulunur.

Sonlu elemanlar Denklemine Geri Dönülüp Değeri Sıfır Olmayan Tüm Deplasmanlar Yerlerine Konulursa Tüm Mesnet Reaksiyonları Elde Edilmiş Olunur.