BÖLÜM 3 FİZİKSEL SİSTEMLERİN SERBEST SALINIMLARI BASİT HARMONİK HAREKET (BHH) Cisimlerin elastik özellikleri ile ilgili olarak kuvvet-yer değiştirme ilişkisi Robert Hooke tarafından basit bir şekilde ifade edilmiştir. Örneğin yay-cisim sistemi için, denge konumundan x kadar sıkıştırılarak veya gerilerek uzaklaştırılmış yay, ucuna tutturulmuş cisme, Hook yasasına göre, F = kx ile verilen geri çağırıcı bir kuvvet uygular. Bu örnekte olduğu gibi, yer değiştirme ile orantılı bir geri çağırıcı kuvvetin etkisindeki cisimler BHH yaparlar. 3.1. Kütle-Yay Sistemi Yay sabiti k olan bir yayın ucuna m kütleli bir cisim bağlanarak, denge noktası etrafında şeklinde bir geri çağırıcı kuvvetin etkisi ile BHH yapmaktadır. 3.1.1. Yatayda Kütle-Yay sistemi Böyle bir sistemde kinetik enerjiyi m kütleli cisim taşırken, potansiyel enerji yayda depolanacaktır. Bu ifadedeki () işareti geri çağırıcı kuvvet olduğunu, yönünün in değişim yönü ile ters olduğunu göstermeketdir. nin Bu denklemin çözümü: : uzanım : genlik : açısal frekans ( ) ( :frakans, : periyot, ) : faz sabiti 1
3.1.2. Düşeyde Kütle-Yay sistemi Şekil 3.2 Şekil 3.3. Düşeyde hareket yapan kütle-yay sistemi ve BHH hareketi yapan bir cismin x, v, a grafikleri. Paralel Bağlı Yaylar Paralel bağlı yaylardaki uzama miktarı birbirine eşittir. Yayların kütleye uyguladığı toplam kuvvet her iki yayın uyguladığı kuvvetlerin toplamına eşittir. Yaylar paralel bağlandığında toplam yay sabiti, yayların yay sabitlerinin toplamına eşittir. Seri Bağlı Yaylar Yayları uç uca eklediğimizde seri bağlamış oluruz. Seri bağlı yaylarda herbir yay üzerine ortaya çıkacak kuvvet eşittir. Yaylar seri bağlandığında, toplam uzama her iki yaydaki uzamanın toplamına eşittir. 2
3.1.3. Basit Harmonik Harekette Enerji BHH yapan bir kütle yay sisteminin toplam mekanik enerjisi ifadesi ile verilir. BHH yapan bir cismin herhangi bir andaki uzanım değeri ve hızı, dir. olduğundan herhangi bir t anındaki hız, ( ) olur. Cisim denge durumundan geçerken en büyük hıza, dolayısıyla en büyük kinetik enerjiye sahip olur. Cisim dönme noktalarında geçerken ise en büyük potansiyel enerjiye sahip olur. Kinetik enerjinin maksimum değeri potansiyel enerjinin maksimum değerine eşittir ve bu değer herhangi bir andaki toplam enerjiye eşittir. Cisim denge durumundan geçerken olacağından, elde edilir. Bu cismin hareketteki en büyük hızıdır. Bu durumda kinetik enerji de en büyük olacağından, dir. değeri yukarıdaki bağıntıda yerine konursa, sonucuna varılır. Cismin herhangi bir andaki kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamı, maksimum kinetik enerjiye aynı zamanda maksimum potansiyel enerjiye eşit olacaktır. 3
K U E Şekil 3.4. BHH yapan bir cismin uzanım, kinetik enerji (k.e.), potansiyel enerji (p.e.) ve toplam enerjinin (E) zamanla ve yer değiştirmeye göre değişim grafiği. 3.2.1. Basit Sarkaç Bir ucundan tespit edilmiş l uzunluğundaki hafif iplikle taşınan m kütleli noktasal bir cismin oluşturduğu düzeneğe basit sarkaç denir. Basit sarkaç denge konumundan küçük bir θ açısı kadar uzaklaştırılıp serbest bırakılırsa mg yerçekimi kuvvetiyle ipteki T gerilmesinin etkisi altında düşey bir düzlemde periyodik salınımlar yapılır. Kütleye etki eden geri çağırıcı kuvvet ifadesi ile verilir. açısının küçük (5 den küçük) olması halinde, olup, dir. Bu durumda geri çağırıcı kuvvet, olur. Şu halde küçük uzanımları için geri getirici kuvvet uzanımla orantılıdır. Dolayısıyla bu şart altında basit sarkacın hareketi basit harmonik hareket tir. θ açısının küçük değerleri için 4
Bu denklemin çözümü: : Açısal uzanım : Açısal genlik Periyot (veya frekans) kütleden bağımsızdır. (BHH) 3.2.2. Basit Sarkacın Enerjisi,, θ açısının küçük (5 den küçük) olması halinde, Sinθ θ olup, Dik üçgenden Küçük açılı salınımlar için olacağından alınabilir [ ]. Potansiyel enerji : Kinetik enerji: Mekanik enerji: Mekanik enerjiyi maksimum potansiyel enerji cinsinden ifade edersek : (A genlik) 5
3.2.3. Burulma Sarkacı Küçük açılı burulmalar için geri çağırıcı tork yazılabilir. Burada K, telin burulma sabitidir. I: diskin eylemsizlik momenti (disk düzlemine dik ve kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti I k..m. = (MR 2 )/2). (BHH) Burada Denklemin çözümü:, 3.2.4. Fiziksel Sarkaç (küçük açılı salınım) (BHH) Çözüm:, veya, 6
3.2.5. Yüzen Cisimler İçin Basit Harmonik Hareket Cisim serbest bırakıldığında titreşim hareketi yapar. : yüzen cismin kütlesi : kesit alanı : sıvının yoğunluğu (yer değiştiren sıvının ağırlığı) h (a) Cisim yüzüyor (b) y kadar bastırılmış y (BHH) ; Şekil-a da batan kısım h olduğundan Archimed ilkesi gereği Bu değeri periyot (veya freakns) ifadesinde yerine yazarak; yazabiliriz. ve elde ederiz. 3.2.6. Esneklik ve Young Modülü Katı cisimlerin esneklik özelliklerinin incelenmesi ile atomlar ve moleküller arasındaki bağlayıcı kuvvetler hakkında bilgi elde edilebilir. Özel koşullarda büyütülen tek-kristaller, esneklik açısından anizotropik özellik gösterirler. Farklı kristal doğrultularında ultrases hızı ve esneklik sabitlerinin ölçülmesi ile esneklik özellikleri ve bağlar hakkında yorumlar yapılabilir. Hiç esneklik göstermeyen bir katı maddenin varlığı düşünülemez. Her cisim, üstüne uygulanan kuvvete, ancak belirli bir ölçüye kadar dayanabilir. Uygulanan cismin özelliklerine bağlı kalma koşuluyla, cismin dayanabilme yeteneği, boyut, biçim ya da hacim değişikliği olarak ortaya çıkar. Kuvvet uygulanan kuvvet ortadan kalktığında, cisim, yeniden eski büyüklüğünü ve biçimini kazanırsa, esneklikten söz edilebilir. Bütün katı ve sıvılar, belirli sınırlara kadar esneklik özelliği gösterir. Bu sınıra esneklik sınırı denir. Young Modülü (elastisite modülü), malzemenin kuvvet altında elastik şekil değiştirmesinin ölçüsüdür. 7
Aynı malzemeden yapılmış, kalınlıkları (kesitleri) farklı iki çelik tel, bir tavana bağlanır ve uçlarına eşit ağırlıklar asılırsa, ince olan tel daha fazla uzama gösterir. Bunun nedeni, ince telin kesitinde birim alana uygulanan kuvvetin, kalın telinkine uygulanandan fazla olmasıdır. Kuvvetin, bu kesitin alanına oranına zor (stress) denir. Önceki örnekte ele alınan çelik teller, bu kez aynı kalınlıkta, ama değişik boyda seçilirse, uzun olan telde daha çok uzama oluşacaktır. Çekme gerilmesinin boyca uzama oranına bölümü, Young modülünü verir ve yukarıdaki iki durum için de aynıdır. Mühendislikte, basma ve çekme zorlamaları etkisi altında çalışacak malzemelerin seçiminde, Young modülü büyük önem taşır. Sözgelimi, bir köprünün tasarımında direklerin ne kadar yüke dayanacağını, dolayısıyla seçilecek malzemenin Young modülünü, bilmek gerekir. Bir çubuğun veya yayın gerilmesini ele alarak esneklik ve Young modülünü irdeleyelim. Denge durumunda böyle bir sistemin davranışı aşağıdaki gibi tarif edilebilir; 1. Yanda verilen şekildeki gibi bir ucu duvara tutturulmuş çubuğun diğer ucuna bir F kuvveti uygulanması durumda çubuğun değişik noktalarının yer değiştirmesi bu noktaların sabit uca olan uzaklıkları ile orantılıdır. Çubuğun bir ucuna uygulanan F kuvveti çubuğun tüm uzunluğu boyunca F büyüklüğünde bir gerilme meydana getirir. Belli bir kesit alana sahip çubuk ya da tel şeklindeki bir cisimde kuvvet etkisi altındaki l uzama miktarı cismin kuvvet uygulanmadan önceki boyu l 0 ile orantılıdır. Boyutsuz olan l/l 0 oranına zorlnama (strain) denir. 2. Değişik kesit alanlara sahip çubuk şeklindeki cisimler için aynı zorlanma, şekilde görüldüğü gibi kesit alanlara orantılı uygulanan kuvvetlerle de meydana getirilebilir. F/A oranına zor denir ve basınç boyutundadır. 3. Eğer zorlanma çok küçük ise (kuvvet uygulanmadan önceki uzunluk olan l 0 değerinin %0.1 inden küçük) zor ve zorlanma arasındaki ilişki Hook kanununa göre lineerdir. 8
Young modülü için (küçük gerilmelerde) ya da yazabiliriz. F kuvveti, x ise uzamayı gösterirsek, yukarıdaki ifadeyi şeklinde de yazabiliriz. İfadedeki ( ) terimine dersek, yaya bağlı bir kütle için yazdığımız geri çağırıcı kuvvet ifadesini elde ederiz. Bu durumda sistem BHH yapar. Hareketin periyodu ifadesi ile verilir. Örneğin 1 kg lık bir kütle 1 m uzunluğunda ve 1 mm çapındaki bir çelik tele asılmış ise (çelik için Y=20x10 10 N/m 2 ) periyot değerini bulalım., Eğer m kütleli cisim biraz önce bahsedilen tele asılmış ve statik denge sağlanmış iken denklemler buna göre yazılırsa, olur. Bu ifade periyot eşitliğinde yerine konulursa, elde edilir. Bulunan bu sonuç h uzunluğunda bir sarkacın periyot ifadesi ile aynıdır. Bu ifade, tel ya da ucuna asılmış kütle hakkında hiçbir bilgiye sahip olmaksızın statik uzama ölçümleri ile periyodun hesaplanmasına oldukça basit bir yol temin eder. 9
3.2.7. Elektrik Devrelerinde Osilasyonlar İndüktans (L) ve kapasitans (C) içeren bir devre BHH salınım özellikleri gösterir. Bu tür devreleri laboratuarlarda inceleyeceğiz. devre denklemi olduğunu kullanırsak diyelim (BHH) elde edilir. Bu denklem ile (Kütle yay sistemi) denklemi matematiksel olarak aynıdır. Çözüm : ve İndüktanstan geçen akım: LC devresi ile Kütle-Yay sistemi arasındaki benzerlikler 1) x Q 2) k 3) m L 4) 5) 10
SERBEST TİTREŞİMLERİN BOZULMASI Sönümlü Hareket ve Sönümlü Harmonik Haraket Salınan bir sistemin üzerine bir sürtünme kuvveti etki ederse salınım genliği, sürtünme nedeniyle yavaş yavaş küçülerek sıfır olur. Bu cins salınımlara SÖNÜMLÜ HARMONİK HARAKET denir. Şimdi sürtünme kuvveti gibi korunumsuz kuvvetlerin işe girmesiyle serbest titreşim ifadelerinin nasıl değişikliğe uğradığını tartışacağız. Genellikle sürtünme hava direncinden veya iç kuvvetlerden kaynaklanır. Sürtünme kuvvetlerinin büyüklüğü çoğu kez hıza bağlıdır. Pek çok örnekte sürtünme kuvvetinin büyüklüğü hız ile orantılı olup, hız doğrultusunda, hıza zıt olarak yönelmiştir. Kütle-yay sistemini yeniden ele alalım. Şekilde görüldüğü gibi yaya asılı olan bir kütlenin salınım yaparken sıvı dolu bir kap içine batırıldığını düşünelim. Bu kütle sönümlü hareket yapacaktır. KABULLERİMİZ: Şekil 3.12. Potansiyel enerjinin tümünün, kütlesiz ve hiçbir sürtünme kuvvetinin etkimediği ideal yayda toplandığı kabul edilecektir. Kinetik enerjinin tümü salınan m kütlesinde toplandığı kabul edilecek. Tüm ısı şeklindeki iç enerjinin, kabı dolduran vizkoz sıvıda ortaya çıktığı kabul edilecek. Sönümlü hareketin denklemi şeklindeki ikinci Newton yasasından elde edilir. Kütleye etki eden kuvveti, geri çağırıcı şeklindeki kuvvet ile şeklindeki sürtünme kuvvetlerinin toplamıdır. Burada bir sabit olup sönüm kuvvetinin büyüklüğünün bir ölçüsüdür. Bu durumda hareket denklemini (1) olarak yazabiliriz veya (2) olur. Bu denklemi yeniden (3) şeklinde düzenlenebilir. 11
ve kısaltmaları yapıldığında, (4) yazabiliriz. İfadedeki sönüm frekansı boyutunda bir niceliktir, w 0 ise sönüm olmadığı durumdaki serbest titreşimlerin açısal frekansını verir. Bu denklemi kısaca şeklinde yazabiliriz. Buradaki ve nicelikleri gerçek ve sabit sayılardır. Sabit katsayılı ikinci dereceden homojen denklemdir. Bu denklem sabit katsayılı ikinci dereceden, lineer, homojen bir diferansiyel denklemdir. Bu denklemin çözümünü matematik kitaplarından yararlanarak yapabilirsiniz (Ross, Differansiyel Denklemler, Kenneth Franklin Riley, Michael Paul Hobson, Stephen John Bence, Mathematical methods for physics and engineering, ). (5) Bu denklemde belirlenmesi gereken bir parametre olmak üzere, şeklinde alınırsa ve ve ifadeleri denklem (5) de yerine konulursa, (6) ve (7) (8) elde edilir. sıfır olamaycağından, (9) olmak zorundadır. Bu denkleme karakteristik denklem adı verilir ve bu denklemin çözümünün iki kökü vardır. Bu kökler, ( ) (10) ( ) (11) şeklinde yazılabilir. 12
değerine göre bu denklemin çözümünde üç farklı durum söz konusudur. ve 1 2 3 > 0 Kiritik Üstü Sönüm (Over-damped) denklemin farklı iki reel kökü vardır ( ) ( ) = 0 Kritik Sönüm (Critical-damped) denklemin eşit iki reel kökü vardır < 0 Kritik Altı Sönüm (Under-damped) denklemin reel kökü yoktur, komplex iki farklı kökü vardır. komplex Yukarda tanımlanan üç farklı sönümlü hareketi aşağıdaki şekilde özetlenmiştir. Kritik sönüm ( ) Kritik üstü sönüm ( ) Kritik altı sönüm ( ) 13
1. Kiritik Üstü Sönümlü Hareket (Over-Damped) ( ) = ( ) ve olacaktır. Denklem 4 için elde edilecek çözüm veya [ ] elde edilir. A ve B katsayıları başlangıç koşullarından bulunabilir. Bu koşulda [( ) ] hareket zamanla üstel olarak söner ve cisim denge konumunda durur. Bu tip çözüm KRİTİK ÜSTÜ SÖNÜM olarak adlandırılır. Bu durumda hareket SALINIMLI DEĞİLDİR. 2. Kritik Sönümlü Hareket (Critically Damped) ( ) olur. Bu durumda ve kökleri için yazabiliriz. Bu durumda (4) denklemin çözümü için yazabiliriz. Burada A ve B sabitleri başlangıç koşullarından elde edilir. Zaman ilerledikçe x'in değeri sıfıra yaklaşır. HAREKET SALINIMLI DEĞİLDİR. Bu tip sönüme KRİTİK SÖNÜM denir. 14
3. Kritik Altı Sönüm (Sönümlü Harmonik Hareket) negatif yani ( ) ( ) ve ( ) ( ) veya [ ( ) ( )] yazabiliriz. Bu durumda genel çözüm: ifadesi de denklemin çözümüdür. Burada A ve B başlangıç koşullarından belirlenir. Salınıcı sönümlü harmonik hareket yapar. Bu ifadeyi sadece sinüse veya cosnüse çevirmek hareketi daha kolay yorumlamamızı sağlayacaktır. Bunun için,,,, eşitlikleri ile tanımlı iki yeni ve sabitlerine geçebiliriz. ( ) = ( ) 15
veya [( )] yazabiliriz. Burada genlik, faz sabitidir. Faz sabitini = 0 seçmekte bir sakınca yoktur. Bu durumda çözüm için [ ]= yazabiliz. Bu çözümden, cismin bir titreşim hareketi yaptığı, Fakat genliğinin zaman içinde üstel olarak azaldığı görülür. Sönüm dolaysıyla cismin enerjisi korunmaz. Hareketin Periyodu: olmalı. Buradan T için ve frakansı için elde ederiz Eğer b = 0 olursa, periyot ve frekans ve olur. Bu özel durumun basit harmonik harekete (BHH) karşı geldiğini hatırlayalım. [ ] 'nin grafiği aşağıda verilmiştir. 16
ve ardışık iki genlik olsun. Buralarda cosinüs çarpanı 1'e eşit olur. Bu durumda ardışık iki genliğin oranı, Her iki tarafın doğal logaritmasını alalım. Bu değere logaritmik decrement denir. Logaritmik decrement genliğin azalmasının bir ölçüsüdür. Birçok sistemdeki salınım hareketi dikkate alındığında (saatlerde olduğu gibi), sönümün çok küçük hale getirilmesine ihtiyaç vardır. Araba yayalarında olduğu gibi diğer sistemler için salınımlar sorun oluşturur, bu nedenle yeterli miktarda bir sönüm (kritik sönüm) tercih edilir. Sönümlü hareketin ortalama ömrü (Zaman Sabiti ) ve kalite faktörü: sabiti salınımın genliğinin zamanla ne kadar çabuk azalarak sıfıra gittiğinin bir ölçüsüdür. zamanı salınımın orjinal genliğinin 'sine düşmesi için geçen süredir. Bu süresi salınımların "ortalama ömrü" olarak adlandırılır. 17
Büyük b değerleri için, salınımların daha kısa süre içerisinde azalarak yok olduğu söylenebilir. [ ] ( ) İfadesinde, b arttıkça w değeri azalır, dolayısıyla hareketin periyodu artar. Bu durumda olduğunda, w=0 olur. b nin bu değerine kritik b denir ve b k ile gösterilir,. Bu durumda sistem kritik sönümlüdür. b < b k olduğunda genlik azalmakla birlikte, sistem yine de salınır. Buna kritik altı sönüm denir. b > b k olduğunda ise, sistem aşırı sönümlüdür. Sönümün şiddeti, herhangi bir salınım olmaksızın sistemi denge durumuna döndürecek kadar büyüktür. İlk yer değiştirmenin ardından kütle denge noktasından en fazla bir kez geçer. ifadesinde salınım genliğinin zamanla değişimini veren üstel fonksiyonun üstü boyutsuz olduğu için t nin çarpanı teriminin [zaman -1 ] boyutunda olması gerekir. Bu nedenle, sönümlü salınımların ortalama ömrü ile verilir. Bu durumda genlik fonksiyon şeklinde yazılır. nun büyük değerlerinde sönüm yavaş olur. Sönümü başka bir şekilde, olarak verilen Q parametresi ile de ifade edilir. Görüldüğü gibi Q, ile orantılıdır. Q nun büyük değerleri yavaş sönümlere karşı gelir. Q ya kalite faktörü denmektedir. Farklı Q değerleri için x(t) nin grafikleri yanda verilmiştir. Sönümlü salınıcı sisteminde kullanılan değişik malzemelere ait Q değerleri aşağıda tabloda veriliştir. Q>1 olduğunda kritik altı sönümlü harmonik hareket oluşur. Sönümlü salınıcı sistemi Q değeri Saat sarkacı 200 Mikrodalga kavite osilatörü 10 4 Quartz crystal 10 6 18
SÖNÜMLÜ HARMONİK HAREKETTE ENERJİ KAYIP ORANI Sönümlü harmonik hareketin enerjisi sürtünme veya hareketi engelleyici kuvvetler (korunumsuz kuvvet) nedeniyle azalır. Sistemin toplam mekanik enerjisi E, dir. Burada kritik altı sönümlü durumu (sönümlü harmonik hareket) ele alalım. ( ) Bu durumda eşitliği durumunda yaklaşık yazılabilir. Bu durumda için yazabiliriz. Buradan hız için elde ederiz. olduğu kabul edildiğine göre, hız ifadesindeki ilk terim ihmal edilerek, yazılabilir. Bu toplam enerji ifadesinde yerine konulursa, ( ) ( ) olduğuna göre, [ ] elde ederiz. Burada E 0, t = 0 anındaki toplam mekanik enerjidir. Eşitlikten de anlaşılacağı gibi nın boyutu (zaman -1 ) dir. Enerjinin ilk değerinin 1/e değerine düşmesi için geçen zamana sönüm zamanı 19
(decay time) veya zaman sabiti (time constant) denir ve ile gösterilir. Bu durumda enerji ifadesi şeklinde yazılabilir. Klasik ve kuantum mekaniğindeki birçok sistemin enerjisi üstel olarak azalır. Bu tür sistemlerde zaman sabiti olarak adlandırılır. Böyle sistemlerin enerjisinin zamanla değişimi üstteki grafikte verilmiştir. Enerjinin değişim hızı: ( ) hareket denkleminin olduğunu hatırlarsak elde ederiz. Bu bağıntı da enerjin sürekli azaldığını gösterir. Enerjideki azalma miktarını kalite faktörü Q cinsinden de yazabiliriz. Buradan faydalanarak ifadesini yeniden ele alalım. (t 2 =t 1 +T bir periyot sonraki zaman) yazabiliriz. Buradan 20
Enerji değişiminin ilk enerjiye oranı: olur. Bu ifade kalite faktörü Q için yeni bir tanımlama getirmektedir. ( ) ( ) ( ) Q nun büyük değerlerinde sönüm az olur ve alabiliriz. Örneğin Q=5 için, ( ) ( ) SÖNÜMLÜ ELEKTRİKSEL OSİLASYONLAR Daha önce bir LC devresindeki osilasyonları incelemiştik. Bu devrenin BHH salınımı yaptığını görmüştük. Şimdi devreye bir R direnci ekleyeceğiz. Devredeki C kondansatörü V C voltajı ile yüklendiğinde, kondansatör üzerinde q yükü depolanacaktır. Daha sonra S anahtarı kapatılırsa, devre için yazabiliriz. Eşitlikleri yerine konulursa, 21
denklemi elde edilir. Bu denklem sönümlü harmonik hareket denklemi olan, denklemi ile aynıdır. Bu iki denklem karşılaştırıldığında, mekanik sistemdeki büyüklükler ile RLC elektrik devresindeki büyüklükler arasında benzerlikler yanda verilmiştir. Bu benzetişimden yararlanarak devre denkleminin çözümü için Mekanik Elektrik sistemi Sistemi x q m L k 1/C b R =b/m =R/L yazabiliriz. Burada q 0, kondansatörün başlangıçtaki yüküdür. Bu durum sönümlü harmonik hareketi incelerken yani koşuluna karşı gelmektedir (kritik altı çözüm) yani veya dir. olduğu için [( ) ] [( ) ] yazabiliriz. Burada, başlangıçtaki voltaj değeridir. Bu sistemin açısal frekansı olacaktır. 1) Eğer ise (kritik altı sönüm), Sistem sönümlü harmonik hareket yapar ve sistemin açısal frekansı olacaktır. Voltajın genliği zaman sabiti ile üstel olarak azalacaktır. R/L nin boyutu (zaman -1 ) dir. 2) koşulu sağlandığında kritik üstü sönüm. 3) koşulu sağlandığında kritik sönüm olacağı açıktır. Mekanik sistemde tanımladığımız Q kalite faktörünün karşılığı ise olacağı açıktır. Örneğin L=10 mh, C=2.5 nf ve R=10 olursa, Q=200 olacaktır. Q kalite faktörü kullanılarak mekanik ve elektrik sistemlerinde sönümlü harmonik hareketin denklemi ve şeklinde yeniden yazılabilir. 22