- 1 - ŞUBAT KAMPI SIAVI-1991 m 1 m F 1. Kütlesi m 1 e yarıçapı r olan homojen bir top yatay sürtünmesiz masa üzerinde bulunan çok uzun m kütleli kalas üzerine bulunuyor. Küre ile kalas arasındaki sürtünme katsayısı f e yerçekimi imesi olarak eriliyor. Kalasa yatay yönde F kueti uyulanmaktadır. F kueti ne kadar olmalıdır ki küre kaymadan yuarlanabilsin? H H m f. a) Kütlesi m e uzunluğu olan bir ip aynı seiyede bulunan iki ucundan asılmıştır. İpin en alt noktası uçların tutturulduğu doğrultudan H kadar uzaklıkta bulunuyor. İpin en alt noktasındaki erilme kueti nedir? Yerçekimi imesi eriliyor. b) Kütlesi m e uzunluğu olan ip bir ucundan asılı olup kısmen zemin üzerinde bulunmaktadır. Zemin ile ipin asılma noktaları arasındaki yükseklik H, ip ile zemin arasındaki sürtünme katsayısı f, yerçekimi imesi olarak eriliyor. İpin ne kadarı zemin üzerinde bulunmaktadır? r m. Kütlesi m olan bir cisim yatay eksen etrafından eçen e açısal hızı ile düşey düzlemde dönen çok uzun bir boruda bulunmaktadır. Başlanıç t anında cisim rr konumunda bulunmaktadır e cisme hızı erilmektedir. Hani şartlar sağlanır ise cisim harmonik hareketi yapar? Yerçekimi imesi eriliyor. P P P 1 4. Tek atomlu az ile P-V diyaramında yapılan kapalı olan 1---1 prosesin 1- izokorik, - P-V diyaramında bir doğru ile temsil edilmekte, -1 ise izobar proseslerdir. Bu proseste en küçük basınç P, en küçük hacim V, en büyük basınç P e en büyük hacim V olduğuna öre, - prosesinde ulaşılan en büyük sıcaklık e kapalı prosesin erimi nedir? V V V f() f(). a) molekülden oluşan bir sistemde hız dağılım fonksiyonu bir yamuk ile temsil ediliyor. f(), - aralığında düzün artmakta olup, << hız aralığında sabit e > hız aralığında f() olarak eriliyor. Moleküllerin ortalama hızları nedir? 1, - hız aralığında kaç tane molekül bulunur? b) Bir az için T71 K sıcaklığında Maxwell hız dağılımı fonksiyonu bir yamuk ibi düşünülebilir Bu yaklaşımından faydalanarak moleküllerin ortalama hızlarını bulunuz. 4-6 m/s hız aralığında bir hıza sahip olan moleküllerin sayısı nedir? 4 6 8 6. a) Bir süperiletken top belli bir hız ile B sabit e homojen manyetik alanın içine irmektedir. Topun manyetik alanından eri yansıması için hızı ne olmalıdır? b) Yarıçapı e kütlesi m olan bir süper iletken topa, uzunluğu e yarıçapı r olan bir selenoidin ekseni boyunca nasıl bir hız erilmesi erekiyor, ki merkezinde manyetik alanı B olan selenoitten eçebilsin? Boşluğun manyetik eçirenlik katsayısı eriliyor. Topun boyutları selenoidin boyutlarından çok küçüktür.
- - + 7. Paralel lehalı kondansatörün plakaların arasında E elektrik B E alanı, ona dik olarak B manyetik alanı uyulansın. Gönderilen ışık y ile sökülen küçük enerjili bir fotoelektron elektrik alanından z imelenerek hız kazanabilir e manyetik alandan saptırıldıktan e x kondansatörün plakasına çarptıktan sonra metalden yeni elektronlar sökebilir. Bu elektronlar yine elektrik alanından imelenerek hız kazandıktan e plakaya çarptıktan sonra yeni elektronlar - K sökebilirler. Böylece sökülen elektronların sayısı artarak, sonunda bir detektöre toplanarak belirli bir akım sağlayabilirler. Bütün elektronlar için iki çarpma arasındaki uçuş süresi aynısıdır. Sökülen elektronların detektörde toplanması için yatay yönde her iki çarpma arasında alınan yolu bilmek zorundayız. Bu yolu bulunuz. 8. oktasal bir ışık kaynağı yakınsak bir merceğin odak noktasına yerleştirilmiştir. Mercekten çıkan ışınlar uzunlukları, merceğin eksenine paralel olarak yerleştirilmiş e kırıcılık indisleri n olan haa ile doldurulmuş iki cam tüpten eçmektedir e çift yarıklı bir düzenek üzerine düşerek, ekran üzerinde irişim deseni oluşturmaktadırlar. Işığı haadaki dala boyu dır. Tüplerden birine kırıcılık indisi bilinmeyen n x saydam bir madde yerleştirildiğinde irişim deseni çizi kadar kaymaktadır. Bilinmeyen n x kırıcılık indisi nedir? 9. Kütlesi m olan bir çekirdek frekansı olan bir foton absorbe ederse bu çekirdeğin eksitasyon (uyarılma) enerjisini m,, c e cinsinden bulunuz. Fotonun enerjisi küçük ise çekirdeğin uyarılma enerjisi nedir? 1. ükleer fisyon reaksiyonunda uranyum ibi ağır atomlar yakıt olarak kullanılmaktadır. Bu yakıt nötronlar tarafından bombardıman edilir. Uranyum yakıtının şeklinin r yarıçaplı bir küre olduğunu kabul edelim. ötronlar hızı ile bu yakıtı bombardıman etsinler. Uranyumun molar kütlesi, yoğunluğu, Aoadro sayısı A olarak eriliyor. Bir nötronun bir çekirdek tarafından yutulma olasılığı, yarıçaplı d böleden dışarı çıkma olasılığı olduğuna öre bu reaksiyonda nötronların oluşma hızını dt bulunuz. Uranyum çekirdeğin yarıçapı e her reaksiyonda k tane nötron oluştuğunu bilinmektedir. Başlanıçta tane nötron bir dış kaynaktan sağlanıyor ise uranyum çekirdekteki reaksiyonları ile ortaya çıkan nötron sayısını zamanın fonksiyonu olarak bulunuz.
- - ŞUBAT KAMPI SIAVI SOULAI ÇÖZÜMLEİ-1991 m 1. Kalasa yatay yönde F kueti uyulandığında küre kalasa öre yuarlanmaya başlamaktadır. Küre ile kalas arasındaki sürtünme kueti F 1 F s s F küreyi döndürmektedir. Bu durumda F s m mr a F s rj, J ; r yazabiliriz. Sürtünme kuetinin maksimum değeri F s fm 1 olur. Buradan f a Küre sürtünme kuetin sayesinde a 1 imesi ile hareket etmektedir. fm 1 m 1 a 1 ; a 1 f Kalas a ime ile hareket etmektedir. Kalas için F-F s m a yazabiliriz. Kaymadan yuarlanabilme şartını a a 1 +a olarak yazabiliriz. Buradan f(m1 7m ) F y Kürenin eylemsizlik momentinin bulabilmek için, küreyi kalınlıkları dx olan ince m disklere bölelim. Küre x ekseni etrafında döndürülürse seçilen diskin kütlesi dmy dx( -x )dx y x olur. Bu diskin eylemsizlik momenti O x dmy ( x ) dx dj dx olarak yazılabilir. Toplam eylemsizlik momenti 4 4 ( x ) dx ( x x )dx J 4 x x x 4 8 1 m. a) Uzunluğu d e kütlesi F+dF +d md dm dm olan bir parça denede kalabilmesi için dikey yöndeki şart F dm+fsin(f+df)sin(+d) (F+dF)(sincosd+cossind) şeklinde yazılabilir. d küçük açı ise cosd1, sindd olarak yazılabilir. İkinci mertebeden küçük terimleri ihmal edebiliriz. Buradan dm+fsinfsin+fcosd+dfsin+dfcosd md dfsin+fcosd elde edilir. Diğer taraftan yatay yöndeki dene şartını Fcossabit olarak yazılabilir. Türelersek df cos dfcos-fsindd; F sin d elde ederiz. Birinci denklemde koyduğumuzda md sin mdh df olarak yazılabilir. İntere edersek kuet
F m FF f F s x F H - 4 - mdh mh mh df ; F-F ; FF + F İpin her yarımı için Pisaor teoremi uyulanılabilir. F F m mh m + F ; F 1 H H 4 b) İpin ne kadarının zemin üzerinde bulunduğunu bulmak için yukarıda bulunan sonucu kullanarak H F df F s H mdh bulabiliriz. İpin asıldığı nokta için m( x) FcosF s ; Fsin yazabiliriz. Temel trionometrik denklemi kullanarak sin +cos fmx m( x) + fmx mh fmx mh m r x+fh- f H H (1 f ) mh mh fmx mh ; F-F s ; FFs + +. Cisim ile ilili koordinat sisteminde dinamik denklemini ma r m r r m r-msin - r -sint m olarak yazabiliriz. Bu denklemin çözümü rr 1 (t)+r (t) olarak yazılabilir. r 1 (t) homojen diferansiyel denklemin çözümü olup r 1 (t)c e t şeklinde aranılabilir. Bu çözümün ikinci türei r 1 (t) Ce t olur. Diferansiyel denkleme koyduğumuzda cebirsel bir denklem elde edebiliriz. - Bu denklemin çözümü olur. Homojen diferansiyel denklemin çözümü ise bu iki çözümün süperpozisyonu olarak yazılabilir. r 1 (t)c 1 e t +C e -t Diferansiyel denklemin kısmi çözümü r (t)c sint şeklinde aranılabilir. Bu çözümün ikinci türei r (t) - C sint olur. Diferansiyel denkleme koyduğumuzda cebrisel bir denklem elde edebiliriz. - C sint - C sint- C sint -sint Bu denklemin çözümü C olur. Diferansiyel denklemin çözümü homojen e kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerin süperpozisyonu olarak yazılabilir. r(t) C 1 e t +C e -t sin t + C 1 e C sabitlerini bulmak için ilk e sınır şartlarından faydalanmalıyız. r()c 1 +C r 1
r dr C1 e t -C e -t + dt cos t - - r ()C 1-C + 1 1 C 1 r ; C r Cismin titreşim hareketi yapabilmesi için uzun bir süre sonra C 1 olması erekir. Bunun için cisme erilen ilk hız -r olması erekir. Bu durumda C e -t e çözüm sin t r(t) P P P 4 P 4 4. Kapalı prosesin erimi A Q 1 olarak eriliyor. Burada Q 1 sisteme erilen ısı, A ise yapılan iştir. Her kapalı proses için P-V diyaramında iş kapalı prosesin çerelediği alan ile 1 erilmektedir. (P - P )(V - V ) P V A V V4 V V Her durum için ideal az hal denklemini yazalım P V P 1 V 1 P V T 1 ;T 1 P V P V P V T ; T T 1 P V P V P V P V T ; T T T1 Bu denklemlerden. e. noktalar aynı izoterm, 1. e. noktalar izokor üzerinde,. e 1. noktalar izobar üzerinde bulunmaktadırlar. Farklı izoterm eğrileri çizerek koordinat sistemin merkezinden uzaklaştığında sistem daha yüksek sıcaklıklara ulaştığı bilinmektedir. - prosesinde izotermlerden birisi teğet eçtiği örülmektedir. Yani 4. nokta ekstremum noktasıdır. Sıcaklık 1-4 noktalar arasında artmaktadır. 4. noktanın koordinatlarını bulmak için benzerlikten faydalanabiliriz. P - P4 V4 - V P V4 ; P 4 P - P4 - P V - V4 V Aradığımız noktalar için az denklemi yazabiliriz. P V4 P 4 V 4 T 4 P V 4 - V Sıcaklığın V 4 hacmine öre türe alıp sıfıra eşitleyip P V4 V P - ; V 4 P ; P 4 9P ; T 4 V 9T V 4 8 P Sisteme erilen ısıyı bulmak için farklı adyabatik eğrileri çizerek, koordinat sistemin merkezinden uzaklaştığında sisteme erilen ısı arttığı anlaşılmaktadır. 1- prosesinde adyabatik eğrilerden birisi teğet eçirilebilir. Yani. P P nokta ekstremum noktasıdır. Isı 1- noktalar arasında erilmektedir.. P noktanın koordinatlarını bulmak için benzerlikten faydalanarak 1 P - P V - V P V ; P P - P - P V - V V V V V V yazabiliriz. Adyabatik eğriler için PV sabit olduğu bilinmektedir. Bu demektir ki P V P V sabit V ifadesinin V e öre türei sıfır olmalıdır. Bu şarttan
- 6 - P V -1 ( 1)P V - V ; V V 1 1V 8 Burada tek atomlu azın adyabatik katsayısıdır. Basınç P V 9P P P - V 8 olur. Bulduğumuz nokta için az denklemi yazabiliriz. 1P V P V T ; T 64 Sisteme erilen ısı (P + P )(V - V Q 1 Q 1 +Q U 1 +A c V (T -T 1 )+ ) 9P 1V P V 1P V P V 8 8 97P + V 64 Verim A 16 Q 1 97 Aynı sonuca başka yoldan da arabiliriz. Sisteme erilen ısı dqda+dupdv+c V dt olur. Bulduğumuz nokta için az denkleminden P V 1 P V PVT; P VT; dt V P dv V yazabiliriz. Buradan sisteme erilen ısı için 1 4V dqp dv V Verimi bulmak için sisteme ne kadara kadar ısı erildiği bulmalıyız. Bu da demektir ki dq olmalıdır. Bu şarttan 1V V 8 Görüldüğü ibi aynı sonuca ulaşıyoruz. f() f. a) molekülden oluşan bir sistemde hız dağılım fonksiyonunun interali tanecik sayısını ermektedir. Diğer taraftan ise bu ifade hız dağlımın altındaki alanı ermektedir. Bu şarttan dağılım fonksiyonun yüksekliği f f()d f +( - )f f ; f f Taneciklerin hızları - hız aralığında f 1 () ; - hız aralığında f ()f olarak yazılabilir. Taneciklerin ortalama hızları 1 1 1.f()d.f1()d.f () d 1 f f 1 f f ( 1, - hız aralığında tanecik sayısı 1, ) f f () d f d f ( 1, -1, ) 1, f d 11f 6 fd 11f 6 11 9
- 7 - f() b) Maxwell hız dağılımı fonksiyonu bir yamuk ibi temsil edilirse, bu f yamuğun tabanları m/s e 8 m/s olarak alınabilir. Dağlım fonksiyonun altındaki aladan dağlım fonksiyonun yüksekliği ( 8 )f ; f 4 6 8 f Taneciklerin hızları - m/s hız aralığında f 1 () ; -4 m/s hız aralığında f (8 ) f ()f, 4-8 m/s hız aralığında f () olarak yazılabilir. Taneciklerin ortalama hızları 4 1 1 4 8.f 1()d.f ()d.f () d 4 f d 4 f d 8 4 f (8 )d 4 4 8 8 1 f f 8f f..4.4 4 4 f 4. 6 m/s 4-6 m/s hız aralığında tanecik sayısı 6 6 6 f (8 )d 8f f f () d 4 4.4 4 4 4 4f -f 1f 1 6. a) p m manyetik dipol momenti uzakta B p m manyetik alan oluşturmaktadır. Buradan manyetik diplo momenti B pm olur. Gradienti olan manyetik alanlarda manyetik dipollere etki eden kuet db Fp m dx bu kuetin dx yolunda yaptığı iş dafdxp m db tüm iş m A BdB B olur. Buradan manyetik dipolün yansıması için şartı bulunur. B m B 6 4
- 8 - b) Süperiletkenler kendi içinden manyetik alanı tamamen dışarıya itmektedirler. Manyetik akısı korunumu yasası süperiletkenler için BVsabit olarak yazılabilir. Yarıçapı e bir süper iletken top selenoide irdiğinde selenoidten eçebilmesi için B r B 4 r B B r B 4 4 1 r r olması erekir. Topun hızı yukarda bulduğumuz ifadede koyduğumuzda 4 1 r 7. Elektrona etki eden kuet B m BdB B m B F m a q x B+ qe ile erilir. Bileşenlere öre yazdığımızda d m x qb y dt 4 1 r d y m dt -qbx + qe e birinci denklemin türeini aldıktan sonra titreşim denklemini elde edebiliriz qe qb y''+ y ; m m Bu denklemin enel çözümü için yc 1 sin t+c cos t+c hız ise y dy dt C 1 cos t-c sin t şeklinde arayabiliriz. İlk şartlardan [ y ()y() ] C 1 C -C qe C m Çözüm qe y (1 cos t) m x dx dt qe y (1 cos t) m qe sin x x dt m t t yy mak durum için cos t -1 e me x mak qb Bu bili sökülen elektronların detektörde toplanması e ona öre bu aleti tasarlamak için önemlidir.
S n n x yazabiliriz. Buradan d 1 (n-n x )+ ; n-n x + n x n 1 x - 9-8. İki tüpte aynı madde bulunursa irişim deseni özlenmez. Tüplerden birisinde farklı madde konulursa yol farkı için n(+ )-n x -n 1 k (n-n x )+ n( - 1 )k yazabiliriz. Girişim deseni çizi kaydığına öre n( - 1 ) ; k n ; n-nx + n n 9. ölatiistik durumda sistemin momentumu 1 pm; ; 1 c enerjisi mwmc +mc c4p c olarak yazılabilir. Bu sisteme öre çekirdeğin hızı sıfırdır. Fotonun momentumu p c sistemin bu kütle merkeze öre Wmc + enerjisi olarak yazılabilir. Buradan kütle merkezinin hı czı mc mc ; mc; mc4m c Foton kütle merkezinden uzaklaştığı için Doppler kaymasına uğramaktadır. Bu durumda uzaklaşan fotonun frekansı 1 1 olur. Enerji korunumu yasası mc + mc +W u şeklinde yazılabilir. Burada W çekirdeğin uyarılma enerjisidir. Bu enerji için W u (-1)mc + u 1 (-1)mc +(1-) 1 mc 1 1 m c Başka çözüm bütün referans sistemlerde W -p c sabit olduğunu kullanarak yapılabilir. Atomun durun olduğu referans sisteme öre (mc +W ) u ) (+mc ) -( yazabiliriz. Buradan aynı sonuç çıkar.
- 1-1. dt sürede her nötron kesiti olan bir silindir taramaktadır. Burada uranyum çekirdeklerin yarıçapıdır. Taranan silindirin hacmi dt olur. Bu silindirin içindeki uranyum çekirdek sayısı n dt olarak yazılabilir. Burada n A A V uranyum çekirdeklerin konsantrasyonudur. ötron sayısı e reaksiyon olasılığı ise bu hacimde erçekleşen reaksiyon sayısı n A dt dt olur. Her yakalanan nötron k kadar yeni nötron meydana etirmektedir. ötron sayısı artışı ( k 1) A dt d olur. Buradan d (k 1) A dt (k 1) A dt; olarak yazılabilir. İntere edersek ln t; e t bulabiliriz. eaksiyon hacmini terk eden nötron sayısı için Sdt 4r dt dt d -n Sdt - - - -t V 4 r r d -dt; r yazabiliriz. İntere edersek ln -t; e -t bulabiliriz. İki faktörün etkisi ile erçekleşen reaksiyon için ddt-dt yazabiliriz. İntere edersek ln (-)t; e (-)t olarak yazılabilir. Eğer > ise reaksiyonda bölünen uranyum çekirdek sayısı artmaktadır. Eğer < ise reaksiyonda bölünen uranyum çekirdek sayısı azalmakta e reaksiyon sönmektedir. Eğer ise reaksiyon stasyoner hale elir e sabit hızla deam eder.