Örgü Kuantum Renk Dinamiği

Örgü Modeli 1 / 33 Örgü Kuantum Renk Dinamiği Kadir Utku Can Orta Doğu Teknik Üniversitesi Ankara Yüksek Enerji Fiziği Çalıştayı, 2011

2 / 33 İçerik Örgü Modeli 1 Örgü Modeli Niye Örgü? Örgü nedir? 2 Fermiyon Eylemi Gauge Eylemi 3 4

3 / 33 İçerik Örgü Modeli Niye Örgü? Örgü nedir? 1 Örgü Modeli Niye Örgü? Örgü nedir? 2 Fermiyon Eylemi Gauge Eylemi 3 4

Örgü Modeli Bu modele niye ihtiyacımız var? Niye Örgü? Örgü nedir? KRD teorisini tam olarak çözemiyoruz. Tedirgeme yöntemi düşük enerjilerde çalışmıyor Tedirgeme dışı yöntemler gerekli Bunlardan biri: Örgü KRD 1 Kısaca Örgü KRD Ô1 Ô 2... Ô N = 1 Z D[U]e S G[U] D[ψ, ψ]e S F[ψ, ψ,u] Ô 1 Ô 2... Ô N[ψ, ψ, U] Sayısal çözüm mümkün ancak formülasyon değişmeli Fermiyon ve Gauge eylemi kesikli uzaya uygun hale gelmeli Wick Dönüşümü: t = i τ g Minkowski µν g Euclidean µν = ( 1, 1, 1, 1) 1 K.G Wilson, PRD.10.2445, 1974 4 / 33

5 / 33 İçerik Örgü Modeli Niye Örgü? Örgü nedir? 1 Örgü Modeli Niye Örgü? Örgü nedir? 2 Fermiyon Eylemi Gauge Eylemi 3 4

Yapısı Örgü Modeli Niye Örgü? Örgü nedir? 4-boyutlu hiperküp Kesişim noktaları: Fermiyon alanları Kenarlar: Bağlantı Değişkenleri Tekrarlanan Sınır Koşulları 4 12 20 28 3 8 11 16 19 24 27 32 2 10 18 26 7 15 23 31 1 6 9 14 17 22 25 30 5 13 21 29 Figure: 2 3 x 4 Örgü (3-boyuta iz düşümü) 6 / 33

Elemanları Örgü Modeli Niye Örgü? Örgü nedir? Fermiyon Alanları ψ(x) ψ(a n) ψ(x) ψ(a n), a örgü aralığı n Bağlantı Değişkenleri n U µ (n) k variables U µ(n) and U µ(n) n+ˆµ Figure: Bağlantı Değişkenleri lated to the positively oriented link variable Tekrarlanan Sınır Koşulları n) U µ (n ˆµ). (2.34) x 0(0, n 2, n 3, n 4) = x N(N, n 2, n 3, n 4) U µ(n, n 2, n 3, n 4) = U µ(0, n 2, n 3, n 4) metrical setting of the link variables on the 34) and (2.33) we obtain the. transformation. e direction x 0(n 1, n 2, n 3, 0) = x N(n 1, n 2, n 3, N T) U µ(n 1, n 2, n 3, 0) = U µ(n 1, n 2, n 3, N T) U µ = r g b r g b Uµ rr Uµ rg Uµ rb U gr µ U gg µ Uµ gb Uµ br Uµ bg Uµ bb 7 / 33

8 / 33 İçerik Örgü Modeli Fermiyon Eylemi Gauge Eylemi 1 Örgü Modeli Niye Örgü? Örgü nedir? 2 Fermiyon Eylemi Gauge Eylemi 3 4

9 / 33 Fermiyon Eylemi Örgü Modeli Fermiyon Eylemi Gauge Eylemi Sürekli Uzay S F [ψ, ψ, A] = d 4 x ψ(x)[ / + iga/(x) + m]ψ(x) Kesikli Uzay S F[ψ, ψ, U] = a 4 n Λ ψ(n) [ 4 µ=1 γ µ U µ(n)ψ(n + ˆµ) U µ(n)ψ(n ˆµ) 2a i) ψ(x) ψ(a n) ψ(x) ψ(a n), a örgü aralığı ii) n = (n 1, n 2, n 3, n 4 ), n 1,2,3 = 0, 1,..., N 1 N uzay boyutu n 4 = 0, 1,..., N T 1 N T zaman boyutu iii) µψ(x) 1 [ψ(n + ˆµ) ψ(n ˆµ)] 2a iv) U µ(n) U µ(n) = Ω(n)U µ(n)ω (n + ˆµ), U µ(n) = exp(iaa µ(n)) + mψ(n) ]

Fermiyon Eylemi Dirac Terimi ve Çiftlenim Örgü Modeli Fermiyon Eylemi Gauge Eylemi S F [ψ, ψ, U] = a 4 n,m Λ a,b,α,β ψ(n)α a D(n m) αβ ab ψ(m) β b D(n m) αβ ab = 4 U µ (n) ab δ n+ˆµ,m U µ(n) ab δ n ˆµ,m (γ µ ) αβ + mδ αβ δ ab δ n,m 2a µ=1 SORUN: Fermiyon Çiftlenimi (Doubling) Fourier Dönüşümü D(p) = m + i a 4 µ=1 γ µsin(p µ a) Serbest Fermiyon Prop. D 1 (p) = ia 1 µ γµsin(pµa) a a 0 i µ γµpµ 2 µ sin(pµa)2 p 2 sin(p µa) p µ = (π/a, 0, 0, 0), (0, π/a, 0, 0),..., (π/a, π/a, π/a, π/a) 2 4 1 tane fazladan Fermiyon? 10 / 33

11 / 33 Problemin Çözümü D(p) = m + i a Örgü Modeli Fermiyon Eylemi Gauge Eylemi {}}{ 4 1 4 γ µ sin(p µ a) + (1 cos(p µ a)) a µ=1 µ=1 p µ = 0 veya a 0 için katkısı yok Wilson Terimi Eylem S F [ψ, ψ, U] = a 4 ψ(n)d(n m)ψ(m) n,m Λ D(n m) = m + 4 a 1 2a + 1 2a 4 U µ (n)δ n+ˆµ,m + U µ(n)δ n ˆµ,m µ=1 4 ( γ µ Uµ (n)δ n+ˆµ,m + U µ(n)δ ) n ˆµ,m µ=1

12 / 33 İçerik Örgü Modeli Fermiyon Eylemi Gauge Eylemi 1 Örgü Modeli Niye Örgü? Örgü nedir? 2 Fermiyon Eylemi Gauge Eylemi 3 4

Örgü Modeli Wilson Gauge Eylemi Plaket Tanımı Fermiyon Eylemi Gauge Eylemi Sürekli Uzay S G [A µ (x)] = 1 2 d 4 xtr[f µν F µν ] F µν = µ A ν ν A µ + ig[a µ, A ν ] Kesikli Uzay Figure: Plaket Plaket: Bağlantı değişkenlerinden oluşan en temel gauge invariant yapı U µν(n) = U µ(n)u ν(n + ˆµ)U µ(n + ˆν)U ν(n) Eylem S G [U] = β 3 Re { Tr[I U µν (n)] } n Λ µ<ν β = 6/g 2 13 / 33

14 / 33 İçerik Örgü Modeli 1 Örgü Modeli Niye Örgü? Örgü nedir? 2 Fermiyon Eylemi Gauge Eylemi 3 4

Örgü Modeli 2 nokta İlişkilendirme Fonksiyonu Iso-Triplet operator O T = d(n) Γ u(n) quark denizi etkileri OT(n)Ō T(m) = 1 {}}{ 134 6 Hadron spectroscopy D[U]e S G[U] det[d u] det[d d] Z x Tr [ Γ D 1 u (n m) Γ D 1 d (m n) ] Z = D[U]e SG[U] det[d u] det[d d] Dirac operatörleri 12 Λ x 12 Λ elemana sahip O(10 9 ) O(10 15 ) Determinant ve İlerletici hesabı çok zaman alıyor! m n m n Fig. 6.2. Sample of quark lines contributing in hadron propagation (mesons l.h.s., Figure: Quark Denizi etkileri 15 / 33

Örgü Modeli 2 nokta İlişkilendirme Fonksiyonu Hesap Kolaylığı tice QCD and meson-baryon interactions "Quenched" Yaklaşımı SIMULATION PARAMETERS e with two flavors of dynamical quarks by 6CP-PACS) Hadron spectroscopy alization-group improved gauge action er quark Figure: action Quark Denizi etkileri yok sayılıyor = (2.5 fm) 3 x(5.0 fm) det[d u ] = 1 det[d d ] = 1 rameter κ sea, κ val=0.1375, 0.1390, 0.1393, 0.1400, 0.1410 wn-quark mmasses 150, 100, 90, n 60, m 35 MeV n Figure: Quenched vs. Unquenched. 6.2. Sample of quark lines contributing in hadron propagation (mesons [4] l.h.s., urce ons r.h.s.). and sink In theoperators quenched approximation separated by only8 contributions lattice units in in the the upper temporal two direction. s, i.e., without sea quark loops (= closed loops) contribute. The diagrams in rrors secondwith row appear jackknife in theanalysis quenched approximation and resemble the dynamical 16 / 33

17 / 33 Örgü Modeli 2 nokta İlişkilendirme Fonksiyonu Hesap Kolaylığı Quark Kaynakları(Sources) D 1 (n m 0) βα0 ba 0 = m,α,a D 1 (n m) βα S m 0,α 0,a 0 0 (m)α ba a Noktasal(Point) ve Yayılmış(Smeared) kaynaklar Dirac Delta (Noktasal) S m 0,α 0,a 0 0 (m)α = δ(m m a 0)δ αα0 δ aa0 N Gaussian (Yayılmış) S n 0,α 0,a 0 = e σ 2 i 3 ( ) 2 = U j (n, n t)δ(n + ĵ, m) + U j (n ĵ, n t )δ(n ĵ, n t ) j=1

Örgü Modeli İlerletici ve Determinant "Hopping" Açılımı İlerletici D = I κ H, H(n m) αβ ab = ±4 µ=±1 (I γ µ ) αβ U µ (n) ab δ n+ ˆmu,n Yinelemeli sayısal çözüm teknikleri D 1 (n m) Successive Overrelaxation, Bi-Conjugate Gradient Stabilized vb. Fermiyon çizgileri Bağlantı değişkenleri kombinasyonu Determinant ( det[d] = exp j=1 1 ) j κj Tr[H j 1 ], κ = 2(ma+4) Fermiyon Halkaları(Loop) Quark denizi 18 / 33

Örgü Modeli 2 Nokta İlişkilendirme Fonksiyonu OT (n)ō T (m) = 1 Z Ağırlık(weight) fonk. {}}{ D[U]e SG[U] det[d u ] det[d d ] Z = x Tr [ Γ D 1 u (n m) Γ D 1 (m n)] D[U]e SG[U] det[d u ] det[d d ] d Ağırlık fonksiyonuna göre oluşturulmuş Örgüler yardımıyla integral hesabı 19 / 33

20 / 33 İçerik Örgü Modeli 1 Örgü Modeli Niye Örgü? Örgü nedir? 2 Fermiyon Eylemi Gauge Eylemi 3 4

Örgü Modeli Sorunlar ve yaklaşımlar 1/ N MC hataları, O(a) kesikleme(discretization) hataları Sonlu boyut etkileri (Finite size effects) Sınırlardaki etkileşimler kütle düzeltmeleri O(exp( LM π )) LM π 4 ise ihmal edilebilir Hadron kütlesinin hacim bagımlılığı 1/L n, n 2 3 L 3 fm ise ihmal edilebilir Süreklilik limiti a 0: Azalan a değerlerine sahip Örgüler ile hesap Chiral limit m q 0: Azalan m q değerlerine sahip Örgüler ile hesap Örgü birimine sahip sonuçlar: a nın degeri (Sommer parametresi [7]) Birbirlerine oranı 21 / 33

22 / 33 Örgü Modeli 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 ρ K * mass [GeV] Ξ Λ Σ φ N Ξ Σ vector meson octet baryon decuplet baryon Ω 1.00 0.96 0.92 0.88 1.30 1.20 1.10 2.00 1.50 1.00 0 FIG. 24 (color online). Light hadron spectrum extrapolated to Figure: the Hafif physical hadronpoint tayfı. using Kırmızı m, noktalar: m K and Örgü m ashesapları. input. Horizontal Yatay çizgiler: FIG. 25. Deneysel bars sonuçlar. denote the PACS-CS experimental grubu[5] values. ud ¼ 0:13

Örgü Modeli 1.2 1 0.8 F π (Q 2 ) 1 0.8 0.6 0.4 F π (Q 2 ) 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Q 2 [GeV 2 ] 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Q 2 [GeV 2 ] Figure 4: Combined fit to (21) of our data for all lattices. We plot experimental data (diamonds) [18, 21, 23] and lattice results extrapolated to the physical pion mass as explained in the text. To avoid having a cluttered plot we do not show lattice results with errors bigger than 80%, which are nevertheless included in the fit. The insert shows the good agreement Figure: Pion elektromanyetik Yapı Faktörü Kırmızı: Örgü hesapları. Mavi: Deneysel sonuçlar. QCDSF/UKQCD grubu[6] 2 23 / 33

Örgü Modeli Türkiye de Örgü KRD Çalışmaları 24 / 33 PACS-CS örgüleri [5] 2+1 çeşnili (u,d,s), 32 3 64 (2.9024 fm) 3 5.8048 fm β = 1.90, a = 0.0907(13)fm κ ud = 0.13700, 0.13727, 0.13754, 0, 13770, κ s = 0.13640 m π = 702MeV 156MeV hala daha fiziksel π değil Sayısal hesaplar için süperbilgisayarlara ihtiyaç var İTÜ nün süperbilgisayarı UYBHM (Ulusal Yüksek Başarımlı Hesaplama Merkezi) Hesaplar için yeterli, örgü üretmek için değil İlerletici hesabı 25-30dk (κ = 0.13700), 64 CPU

Örgü Modeli 25 / 33 Grup Üyeleri Doç. Dr. Güray Erkol (Özyeğin Üni.) Prof. Dr. Altuğ Özpineci (ODTÜ) Kadir Utku Can (ODTÜ) Murat Metehan Türkoğlu (İTÜ) Belki sizlerden biri? Yurtdışı çalışma ortakları Prof. Dr. Makoto Oka (Tokyo Inst. of Tech., Japonya) Toru. T. Takahashi (Gunma Inst. of Tech., Japonya)

Örgü Modeli 26 / 33 Çalışmalar Yapı faktörleri (form factors) Axial vector Pseudoscalar Tensor Electromagnetic Strange Baryon yapı faktörleri

27 / 33 Özet Örgü Modeli Örgü metodu: Feynman iz integrallerini hesaplamak a: örgü aralığı U µ : bağlantı değişkenleri Kesikli uzay eylemleri Sorunlar: Fermiyon çiftlenimi, sonlu boyut etkileri Limitler: Süreklilik ve chiral limit Tayf ve yapı faktörleri hesabı TR Örgü grubunun desteğe ihtiyacı var.

28 / 33 Appendix Backup Kaynaklar Kaynaklar I Gattringer C., Lang C.B. Quantum chromodynamics on the lattice:an Introductory Presentation. Lect. Notes Phys. 788, 2010. doi: 10.1007/978-3-642-01850-3 Kenneth G. Wilson Confinement of quarks Phys. Rev. D., 10, 2445,1974. doi:10.1103/physrevd.10.2445 Ph. Hagler Hadron structure from lattice quantum chromodynamics Physics Reports, 490:49-175,2010. doi:10.1016/j.physrep.2009.12.008 Rajan Gupta Introduction to Lattice QCD: arxiv:hep-lat/9807028

29 / 33 Appendix Backup Kaynaklar Kaynaklar II Aoki, S. et.al PACS-CS Collaboration 2 + 1 flavor lattice QCD toward the physical point Phys. Rev. D, 79, 034503, 2010. doi:10.1103/physrevd.79.034503 Brömmel, D. et.al QCDSF/UKQCD Collaboration The pion form factor from lattice QCD with two dynamical flavours Eur.Phys.J., C51, 2007. arxiv:hep-lat/0608021v2 R. Sommer Introduction to Lattice QCD: Nucl. Phys. B, 411, 839 (1994)

30 / 33 Appendix Backup Kaynaklar TEŞEKKÜRLER

31 / 33 Appendix Backup Effective Mass Where is the mass term? For N T, C(n t) = For large n t ground state dominates, m,n m Ô2 n n Ô 1 m e nt En e (N T n t) E m 1 + e nt E 1 + e nt E 2 +... = n Ô T 0 2 n e t E 0 + n Ô T }{{} 0 2 }{{} A 0 A 1 C(n t) = A 0 e nt E 0 n e t E 1 +... Find when ground state dominates m eff (n t + 1 2 ) = ln C(n t) C(n t + 1)

32 / 33 Appendix Backup Effective Mass m eff (n t + 1 2 ) = ln C(n t) C(n t + 1) Becomes constant and forms an effective mass plateau at m eff = E 0 Figure: Effective mass plot of pion (in lattice units). Each set is for a different quark mass

33 / 33 Appendix Backup Analysis Fit the data Determine Plateau range [n min, n max ] Fit the data between n min n t, n t n max by minimizing χ 2 = n max n t,n t =n min ( C(nt ) f (n t ) ) w(n t, n t) ( C(n t) f (n t) ) for A 0 and E 0 of f (n t ) = A 0 e nt E 0 where w(n t, n t) is the weight function. E 0 = m Hadron thus, we know the mass in lattice units!