Önce biz sorduk kpss 0 1 8 50 Soruda 30 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK GEOMETRİ İSTATİSTİK ve OLASILIK
Komisyon ÖABT İlköğretim Matematik Geometri - İstatistik ve Olasılık Konu Anlatımlı ISBN: 978-605-318-898-8 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 4. Baskı: 018, Ankara Proje-Yayın: Çağla Bardakcıoğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Kezban Yanık Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş. İvedik Organize Sanayi 8. Cadde 84 Sokak No:105 Yenimahalle/ANKARA (031 394 55 91) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 6687 İletişim Karanfil Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 031 430 67 50-430 67 51 Yayınevi Belgeç: 031 435 44 60 Dağıtım: 031 434 54 4-434 54 08 Dağıtım Belgeç: 031 431 37 38 Hazırlık Kursları: 031 419 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net
ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Adayları, ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "İlköğretim Matematik Öğretmenliği Geometri-İstatistik ve Olasılık 3. Kitap" adlı yayınımız Geometri - İstatistik ve Olasılık bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) İlköğretim Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin sorularınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numarasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Başarılar...
MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir. Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir. Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası Alan Bilgisi Testi % 80 1-40 a. Analiz b. Cebir c. Geometri d. Uygulamalı Matematik % 8 % 18 % 18 % 16 Alan Eğitimi Testi % 0 41-50 Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 014-015-016-017 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.
İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM UZAYDA VEKTÖRLER UZAYDA VEKTÖRLER...5 İki Vektörün Paralelliği...6 Vektörlerin Lineer Bileşimi...6 Lineer Bağımlılık Lineer Bağımsızlık...6 Standart Birim Vektörleri...6 Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı...6 İki Vektör Arasındaki Açı...7 Dik İzdüşüm Vektörü...7 Vektörel (Çapraz) Çarpım...8 Paralelkenarın Alanı...9 Paralelyüzün Hacmi...10 Çözümlü Test...13 Çözümler...15 UZAYDA DOĞRU ve DÜZLEM DENKLEMİ UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM DENKLEMİ...17 İki Noktası Belli Olan Doğru Denklemi...19 Düzlem...0 Çözümlü Sorular - I... Bir Noktanın Düzleme Uzaklığı...5 Çözümlü Sorular - II...5 Uzayda İki Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları ve Kesişme Noktasının Bulunması...8 Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı...9 Çözümlü Sorular...30 İki Düzlemin Birbirlerine Göre Konumu ve İki Düzlem Arasındaki Açı...34 Bir Düzlem ile Bir Doğru Arasındaki Açı...34 İki Düzlemin Açıortay Düzlemi...34 Çözümlü Sorular...34 Bir Doğrudan Geçen Düzlem Demeti...36 Uzayda Simetri...37 Çözümlü Sorular...38 Çözümlü Test - 1...43 Çözümler...45 Çözümlü Test -...47 Çözümler...49
vi YÜZEYLER E 3 DE YÜZEY...55 KÜRE...55 Küre Olma Koşulları...56 Kürenin Parametrik Denklemi...57 Kürenin Teğet Düzlemi...57 SİLİNDİR...57 KONİ...59 Bazı Kuadratik Yüzeyler...63 Çözümlü Sorular...63 Silindirin İsimlendirilmesi...64 Dönel Yüzeyler...66 SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR...68 KÜRESEL KOORDİNATLAR...68 Çözümlü Test...69 Çözümler...71 KONİKLER TANIM...75 Genel Konik Denkleminde x.y li Terimi Yok Etme...75 ELİPS - HİPERBOL - PARABOL ELİPS...79 Elipsin Denklemi...79 Elipsin Teğet ve Normal Denklemleri...80 Elipsin Parametrik Denklemi...81 HİPERBOL...83 Hiperbolün Denklemi...83 PARABOL...86 Parabolün Denklemi...86 Çözümlü Test...89 Çözümler...91 Karma Test - 1...93 Çözümler...95 Karma Test -...97 Çözümler...99
vii. BÖLÜM İSTATİSTİK VE OLASILIK TEMEL KAVRAMLAR...105 Sayısal Bilgi, Veri, Ölçüm...105 Değişken ve Türleri...105 Fonksiyon...105 Evren ve Örneklem...107 İstatistik ve Parametre...107 Çözümlü Test...108 Çözümler...110 VERİNİN DÜZENLENMESİ VE MERKEZE EĞİLME ÖLÇÜLERİ VERİNİN DÜZENLENMESİ...113 Grafik Çizme...113 Merkeze Eğilme (Yığılma) Ölçüleri...114 Mod (Tepedeğer)...114 Medyan (Ortanca)...114 Aritmetik Ortalama...115 Mod, Medyan ve Ortalamanın Karşılaştırılması...116 Ağırlıklı Ortalama...117 DEĞİŞME (DAĞILMA) ÖLÇÜLERİ...118 Ranj (Açıklık)...118 Mutlak Kayma...118 Varyans ve Standart Kayma...118 Bağıl Değişkenlik Katsayısı...10 STANDARTLAŞTIRMA (z ve T PUANLARI)...10 z Puanı...10 T Puanı...10 Çözümlü Test...1 Çözümler...15
viii OLASILIK TEMEL KAVRAMLAR...19 Olasılık...130 Birleşik Olayların Olasılığı...131 Ayrık İki Olayın Birleşiminin Olasılığı...131 Olaylar Arasındaki Bağıntılar...13 Bağımsız Olaylar...133 TESADÜFÎ DEĞİŞKEN, OLASILIK FONKSİYONU VE BEKLENEN DEĞER...136 Tesadüfî Değişkenin Beklenen Değeri...14 Varyansın Hesabı...145 Momentler...148 Çözümlü Test...157 Çözümler...160 OLASILIK DAĞILIMLARI OLASILIK...165 Binom Olasılık Dağılımı...165 Poisson Olasılık Dağılımı...167 Hipergometrik Olasılık Dağılımı...168 Normal Olasılık Dağılımı...175 Standart Normal Olasılık Dağılımı...176 Çözümlü Test...178 Çözümler...181 Çözümlü Deneme - 1...184 Çözümler...187 Çözümlü Deneme -...190 Çözümler...193
1. BÖLÜM
UZAYDA VEKTÖRLER
5 UZAYDA VEKTÖRLER R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} kümesine 3 boyutlu vektör uzayı denir. Vektörlerin başlangıç noktası orijin olmak üzere, R 3 ün her noktasına bir vektör karşılık gelir. z AB = `1, 3, 7j AC = `m 10,, 4j AB = AC & AB $ AC = 0 dr ı. 1`m 1j+ ` 3j$ 0+ ` 7j` 4j= 0 m + 7 = 0 m = 7 olur. Cevap A x 0 P(a, b, c) y Örnek A(1, 1, 1) ve B(, a, 3) noktaları veriliyor. AB = 6 br olduğuna göre a sayısının alabileceği değerleri bulunuz. OP = `abc,, j ise a, b, c sayılarına OP yer vektörünün bileşenleri denir. P noktasının orijine olan uzaklığına, OP vektörünün normu (uzunluğu) denir ve OP ile gösterilir. OP = `abc,, j& OP = P = a + b + c dir. AB vektörüne eş, başlangıç noktası orijin olan OP vektörüne, AB vektörünün yer vektörü denir. A(x 1, y 1, z 1 ) ve B(x, y, z ) ise; AB = `x x1, y y1, z z1j OP = AB = `x x1j + `y y1j + `z z1j Normu 1 olan vektöre birim vektör denir. z A(x 1, y 1,z 1 ) B(x, y,z ) AB = `1, a + 1, 4j AB = 6 & 1 + `a + 1j + ` 4j = 6 & `a + 1j + 17 = 6 & `a + 1j = 9 & a+ 1 = 3 & a = veya a = 4 Çıkmış Sorular Dik koordinat düzleminde verilen u ve v vektörleri için u$ v = 8, u+ v + u v = 16 olduğuna göre u+ v değeri kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 1 E) 13 P(x x 1, y y 1, z z 1 ) x 0 Çıkmış Sorular Uzayda A(1,, 3), B(, -1, -4) ve C(m,, -1) noktaları veriliyor. AB = AC olduğuna göre m kaçtır? A) -7 B) -9 C) 14 D) 9 E) 7 y u+ v = u + v + $ u$ v u v = u + v + $ u$ v & u+ v u v = 4 $ u$ v olur. Buna göre; ` u+ v + u v j$ ` u+ v u v j= 4$ 8 14444444444444444443 16 u+ v u v = + u+ v + u+ v =+ 16 u+ v = 9 olur. Cevap B
6 İki Vektörün Paralelliği 3 a, bd R, k! 0, a! 0, b! 0 olmak üzere, a = k. b + a// b dir. a = `x, y, z j ve b = `x, y, z j olmaküzere a// b 1 1 1 x1 y1 z1 + = = dir. x y z V = & V1, V,... Vn0, IR 3 uzayının bir alt kümesi olmak üzere detbv 1, V,... V n l = A olsun. I. A = 0 V kümesi lineer bağımlı, II. A 0 V kümesi lineer bağımsızdır denir. Uyarı Örnek A(, 4, ) ve B(6,, 4) noktaları ile v = `x yx, + y, 1j vektörü veriliyor. AB // v olduğuna göre, (x, y) ikilisini bulunuz. Standart Birim Vektörleri z e 3 = `0,0,1j Çözüm AB = `4,, j v = `x y, x+ y, 1j 0 e 1 = `1,0,0j e = `0,1,0j y x y x+ y 1 AB// v & = = 4 x y = 4 & `xy, j = `1, 1j olur. x+ y = 1 x R 3 vektör uzayında üzerinde bulunduğu eksen ile pozitif yönlü birim vektörlere, standart birim vektörler denir. e1 = i = `100,, j e = j = `010,, j Vektörlerin Lineer Bileşimi 3 V 1, V, V 3,..., V n dr vek1, k, k3,..., k n dr olmak üzere, u = k1. V1 + k. V+ k3. V3+... + kn. Vn vektörüne, V 1, V, V 3,..., V n vektörlerinin lineer bileşimi denir. Lineer Bağımlılık Lineer Bağımsızlık 3 IR de V1, V, V3,... V n vektörleri verilsin. c1. V1+ c. V+ c3. V3 +... + cn. Vn = 0 denklemi yalnız c = c = c... = c = 0 için sağlanırsa bu vektörlere lineer 1 3 n bağımsız; c 1 = c = c 3... = c n = 0 değerlerinden en az biri sıfırdan farklı olacak şekilde sağlanırsa bu vektörlere lineer bağımlıdır denir. e3 = k = `001,, j Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı 3 Her A, B! R için; A = `x1, y1, z1j ve B = `x, y, zj olmak üzere, A$ B = < AB, > = x1$ x+ y1$ y+ z1$ z şeklinde tanımlanan işleme, "R 3 de Öklid iç çarpım işlemi" denir. Özellikleri 1. A = A$ A, A = A$ A. A$ B = B$ A (değişme özelliği) 3. A$ `B+ Cj = A$ B+ A$ C (çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği)
7 Örnek A = `3, a, j ve B = `a, 10, j vektörleri veriliyor. A$ B = 5 olduğuna göre a sayısının kaç olacağını bulunuz. Çözüm AB. = 5 3a+ a. 10 = 5 5a = 5 a = 5 İki Vektör Arasındaki Açı 3 A, B! R verilsin. A ve B vektörleri arasındaki açının ölçüsü a olmak üzere, A$ B = A $ B $ cos a olur. A = B ise α = 90 için cosα = 0 olduğundan A = B + A. B = 0 olur. Örnek A ile B vektörleri arasındaki açının ölçüsü 45, A = ve B = 3 olduğuna göre, `A+ Bj. `3A Bj iç çarpımının sonucunu bulunuz. Çözüm `A+ Bj. `3A Bj= 3. AA. + 3. AB. AB.. BB. = 3. A + A. B. B = 38. +. 3. cos 45. 9 = 4+ 6 18 = 1 olur. Örnek A = ` 13,, jve B = `1, 1, j vektörleri arasındaki açının cosinüsünü bulunuz. Dik İzdüşüm Vektörü A Çözüm AB. = A. B. cos i 1 + 6 = ` 1j + + 3. 1 + ` 1j +. cos i 3 3 cos i = = 14. 6 1 Örnek A = `11,, j ve B = ` 3 1, 3 14, j vektörleri arasındaki açının cosinüsünü bulunuz. Çözüm cos i = AB. A. B AB. = 3 1 3 1+ 8 = 6 A = ( 1) + ( 1) + ( ) = 16 B = ` 3 1j + ` 3 1j + 4 = 4 3 + 4+ 3 + 16 = 4 = 6 cos i = 6 6. 6 olur. 1 cos i = 0 H u A = `x1, y1, z1j, B = `x, y, zj vektörleri verilsin. A vektörünün B vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü OH = u olsun. A ile B arasındaki açı α olmak üzere; cosa = A. B dir. cos a = u yazılırsa A. B A u = A. B & u AB. = dik izdüşüm vektörünün A A. B B uzunluğudur. u = u. B olacağından B AB. u =. B dik izdüşüm vektörünü verir. B B