. SINIF KONU ANLATIMLI. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 7. Konu İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ
7 İtme ve Çizgisel Momentum. Ünite 7. Konu (İtme ve Çizgisel Momentum) A nın Çözümleri. Eğik atılan bir cismin hareketi boyunca yatay doğrultudaki hızı değişmez. Bu nedenle eğik atışta yatay doğrultuda momentum değişmez. Momentum değişimi yalnızca düşey doğrultudadır. Atılış anında top mermisinin düşey hızı;. a. Çarpışma sırasında cisimlerin momentumları korunacağından;. v m. v ( + m )... 6. 9. m/s v y v 0. sin7 v y 0. 0,6 m/s dir. v y 7 v x v 0 v y 0 h max v x 7 v x v y v 0 Top mermisi atılırken düşey hızı v y m/s dir. Top mermisi yere düşerken düşey hızı v y m/s olduğundan momentum değişimi; ΔP m(v y v y ) ΔP 4( ) 96 kg m/s bulunur. bulunur. O halde cisim ( ) yönde m/s hızla hareket eder. b. Çarpışmada kaybedilen kinetik enerji; Eilk m v m v + E ilk 9 + 6 40, 5 J E ( m m ) v son + ortak Eson, 5 J Ekayıp 40, 5, 5 7 J bulunur. 4.. P A B C çarpışmadan sonra P ortak(x) 7 P Çarpışmadan önceki momentumların vektörel toplamı, çarpışmadan sonraki momentumların vektörel toplamına eşittir. Momentumun korunumundan; v + m v + m v ( + m + m ). 0 +. 0 +. 0 (++) 5 m/s bulunur. P ortak P ortak(y) Hem yatay eksende hem de düşey eksende momentum korunur. Yatay momentum korunumundan; P ortak(x) P m cos7 v ( + ) 5 4 4 m/s
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 5.. v m. v (M + + m ). y P kg.m/s 0,. 00 0,4. 50 (500 + 00 + 400).0. 0 0. 0 m/s dir. P > P olduğundan cisim (+) yönde ve 0 m/s lik hızla hareket eder. P P + P α 6 kg.m/s P P + 6 0 kg.m/s x P m. v 0. v v 0 m/s 6. Balmumunun düşey momentum bileşeni araba yardımıyla yola aktarılır. Yataydaki momentumun korunumundan; bulunur. O halde m kütleli cisim güneydoğu yönünde 0 m/s hızla hareket eder. m. v x. v 60 m. v y. v m. v x ( + m ). 9. 8. 4. cos 60 0. 7 0. 7 m/s bulunur. 8. Cismin patlamadan önceki momentumu; m. v 6. 5 0 kg.m/s dir. Patlamadan sonraki v, v hızlı cisimlerin momentumları; 7. Cismin parçalanmadan önce toplam momentumu yatay eksen üzerinde ve doğu yönündedir. y P. 5 0 kg.m/s m. v 8. 6 kg. m/s 60 60 P + P 0 kg.m/s x dir. Patlamadan sonra kütleli cismin momentumu; P. v kg. m/s dir. Momentumun korunması için P nin düşey bileşeni kg.m/s, yatay ekseni ise 6 kg.m/s olmalıdır. P. 5 0 kg.m/s ve numaralı parçaların momentumlarının bileşkesinin büyüklüğü 0 kg.m/s dir. Patlamadan sonraki momentumun +x yönünde 0 kg.m/s çıkması için üçüncü parça +x yönünde ve 0 m/s hızla hareket etmelidir.
4 Ünite Kuvvet ve Hareket 9. Cisim tepe noktasında 0 m/s yatay hıza ve P ilk m. v 0x. 0 90 kg.m/s lik momentuma sahiptir. Patlamadan sonra bileşke momentum aynı yönde ve 90 kg.m/s olmalıdır. Patlamadan sonra hareketli iki cismin yatay momentumlarının toplamı 90 kg.m/s olduğundan. parça düşey aşağı doğru 0 m/s hızla hareket etmelidir.. a. Tahta bloktaki yükselmeye cisimlerin yatay momentumları neden olur. Momentumun korunumundan;. v m. v. cos 7 m ortak. 0.0.60 5.0. 400. 0,8 500. 0. 600 600 500. 0 bulunur. Yani tahta blok hareket etmez. b. İpteki gerilmeyi yatay hızın oluşturduğu itme ve cisimlerin toplam ağırlıkları meydana getirir. F. Δt ΔP 0. Kuvvet - zaman grafiklerinin altında kalan alan momentum değişimini verir. O hâlde; 5 F net (N) F. 0, m. v. sin 7 F. 0, 5. 0. 400. F N 5 T F + G T + ( + m + m ). g 5 0 A A 5 0 5 + 5 A 5 5 N.s A 5 5 75 N.s t(s) T + (485 + 5 + 0). 0. 0 T 7 N bulunur.. a. P m. v 0x 60. v 0x v 0x 0 m/s P A + A 00 N.s Yatayda alınan yol; P m(v son v ) x v 0x. t 00 0(v son 0) v s 0 m/s 40 0. t t 8 s bulunur. E k m vson E k 0 (0) 000 J bulunur. Cisme uygulanan itme; I F. Δt mg. Δt I. 0. 8 60 N. s bulunur. v 0y b. t uçuş g v0y 8 v 0 0y 40 m/s Cismin yere çarpma hızı ve momentumu;. Momentumun korunumundan; v ( + m ) 50 0 v 000 0 v 40 m/s v 0 v0x + v0y v 0 0 + 40 50 m/s P m. v 0. 50 00 kg.m/s bulunur.
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 5 4. Mermi silindire çarptığında ona bir itme uygular. F. Δt ΔP m. (v v ) F.. 0 0. 0. 80 F 40 N bulunur. v c. x v x x +x m v x m v x ( + m ) F r m 0 m 40 4m,5 m/s G L h bulunur. O halde cisim,5 m/s hızla x yönünde yatay atış hareketi yapar. Sistem dengede olduğuna göre L noktasına göre moment alınırsa; F. h G. r 40. 50 G. 0 G 00 N bulunur. 6. m olduğundan ve m kütleli cisimlerin A noktasındaki momentumlarının eşit olması için bu noktadaki hızları v v olmalıdır. Serbest düşme hareketi kurallarına göre h h ve h 5h olur. O hâlde; h bulunur. h 5 5. a. Cisimler t süre sonra çarpışsınlar. O halde; v x. t + v x. t 80 50 cos 5 t + 40 cos 45 t 80 70t 80 t 4 s bulunur. Cisimlerin hızlarının düşey bileşenleri v y v y 40 m/s olduğundan bu süre cisimlerin maksimum yüksekliğe çıkma zamanıdır. Bu nedenle cisimler yörüngenin tepe noktasında çarpışır. 7. a. kütleli cisim a g. sin 7 ivmesiyle yavaşlar, m kütleli cisim ise a g. sin 7 ivmesiyle hızlanır. Çarpışmadan önceki hızları; v v 0 g. sin 7. t v 6 0. 0,6. 4 m/s v g. sin 7. t v 0. 0,6. m/s b. h max h max ( vy) ( vy) g g ( 50 sin 5 ) 80 m bulunur. 0 bulunur. Momentumun korunumundan;. v m. v ( + m ).. 4.. 6 m/s
6 Ünite Kuvvet ve Hareket b. v s son hız, v i ilk hız alınarak; v s v i a. t 0 g. sin 7. t g. sin 7. t 0. 0,6. t t s bulunur. O hâlde ortak kütle çarpışmadan saniye sonra durur ve yön değiştirir. 8. Cismin yere göre sahip v 0y 0 m/s olduğu hız bileşenleri v 0x 40 m/s ve v 0y 0 m/s dir. Cismin havada kalma süresi; m kg h v 0y. t 5t 5 0. t 5t t 6t 7 0 v 0x 40 m/s c. E i m v + m v E i (4) + () E i 576 + 7 648 J E s (m + m ) (t 7) (t + ) 0 t 7 s bulunur. Bu süre içinde cisme uygulanan itme, momentum değişimine eşit olacağından; ΔP F. Δt mg. Δt ΔP. 0. 7 40 kg. m/s bulunur. E s () 6 J Kaybolan kinetik enerji; E E i E s 648 6 4 J bulunur. ç., m kütleli cisimlerin hız-zaman grafiği şekildeki gibidir. kütleli cismin aldığı yol x, m kütleli cismin aldığı yol x kadardır. 6 4 0 AB x + x x x 6 + 4 v (m/s) m x x 60 m AB 60 + 7 m t (s) 9. a. 40 m/s 40 m/s 0 m/s 0 m/s x 60 m Yatay hızları 0 m/s olan iki cisim arasındaki uzaklık 60 m dir. İki cisim birbirine yaklaştığı için saniye sonra çarpışırlar. Yani t saniyedir. b. Cisimlerin çarpışma anında yatay momentumları eşit ve zıt yönlüdür. Bu nedenle yatayda momentum sıfır olur. Yatay momentum sıfır olduğundan ortak kütle düşeyde 40 m/s hızla hareket eder. Cisimler atıldıkları noktadan sonra; v0 y 40 t 8 s 0 havada kalırlar. Bunun saniyesi çarpışma öncesinde geçtiği için çarpışmadan 7 saniye sonra atıldıkları noktaya gelirler.
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 7 0. v 0y v 0 ΔE k E k Eʹk 5000 000 45 ΔE k 000 J olur. K v 0x h 45 K noktasından atılan cisim L noktasına düşmektedir. Cisim hareketi sırasında yatayda ve düşeyde eşit h yollarını almaktadır. h v 0 cos 45 t v 0 h t... () h v 0 sin 45 t gt... () () denklemi () denkleminde yerine yazılırsa; v 0 5t ( t v0 v0 ) t t 5t 5 v 0 v 0 5 m/s P K m v 0 5 0 kg.m/s. Çarpışmadan önceki momentumların vektörel toplamı, çarpışmadan sonraki momentumların vektörel toplamına eşittir. Cisimlerin çarpışmadan sonraki ortak hızı; v + 0 ( + m ) L. kütleli vagon, yaya dokunduğu andan itibaren bir kuvvet uygulayarak m kütleli vagonu harekete geçirir. Bu etkileşim iki vagonun hızı eşit oluncaya kadar devam eder. Vagonların hızları eşit olduğu andan itibaren birbirinden ayrılırlar. Yaydaki en büyük sıkışma iki vagonun hızlarının eşit olduğu andır. Momentumun korunumundan; / / Pönce Psonra v + m v ( + m ) v ort 4000 0 + 0 (0000) v ort v ort 4 m/s bulunur. Sürtünmeler önemsenmediğine göre mekanik enerji korunur. Çarpışmadan önce yalnız kütleli vagonun kinetik enerjisi vardır. Çarpışmadan sonra ise toplam kütlenin kinetik enerjisi ve yayın potansiyel enerjisi vardır. O hâlde; / Eilk / Eson m v (m + m ) v ort + k x 4 0 00 ( 0 4 ) 6 + 0 4 x 0 5 8 0 4 + 6 0 4 x x m bulunur. 00. 0 (50). 4 m/s bulunur. Çarpışmadan önceki kinetik enerjileri; E k m v 00(0) 5000 J E k 0 dır. E k(top) E k + E k 5000 J Çarpışmadan sonra sistemin toplam kinetik enerjisi ise; Eʹk (m + m ) Eʹk (50)4 000 J olur. Kaybolan kinetik enerji;
8 Ünite Kuvvet ve Hareket Test in Çözümleri. Önce momentum vektörlerinin yatay ve düşey bileşenlerini alalım.. Soruda verilen ivme-zaman grafiğinden yararlanarak hız-zaman grafiğini aşağıdaki gibi çizebiliriz. 4 mv mv h z mv A mv 0 I t II t III t zaman mv Şekil I Şekil II v v Verilen hız-zaman grafiğinden yararlanarak I ve II aralıklarında hızın arttığını III. aralıkta ise hızın azaldığını söyleyebiliriz. Hangi aralıkta hız azalıyorsa aynı aralıkta momentum da azalır. Birim karelerin kenarları birim alındığında çarpışmadan önceki momentum vektörlerinin bileşenleri Şekil I deki gibidir. Cisimler çarpıştıktan sonra Şekil II de gösterilen yönde hareket eder. Yanıt E dir.. Momentum, P m v bağıntısı ile bulunan vektörel bir büyüklüktür. P ile v vektörleri birbirinin varlık nedenidir. Bu nedenle momentum - zaman grafikleri ile hız-zaman grafikleri birbirine çok benzer. Aradaki tek fark m çarpanıdır. Momentum-zaman grafiği verilen cismin hız-zaman grafiği aşağıdaki gibidir. hız 4. Soruda verilen şekil incelendiğinde v birim alınırsa v birim, v birim olduğu görülür. 4v v P mv P mv mv IV v v 0 I II III t t zaman Bilindiği gibi hız-zaman grafiklerinde eğim ivmeyi verir. Şekilden a 0, a nin artan, a ün sabit olduğu görülür. F ma olduğuna göre I. aralıkta kuvvet sıfır, II. aralıkta artan, III. aralıkta sabittir. t Yanıt E dir. 45 Şekil I 45 P mv Şekil II mv Çarpışmadan önceki momentum vektörlerinin büyüklükleri Şekil I deki gibidir. Bu vektörler sadeleşince Şekil II deki durum ortaya çıkar. Bir başka ifadeyle, cisimler birbirine yapıştıktan sonra IV numaralı yolu izler.
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 9 5. Soruda verilen şekil incelendiğinde v v, v v olduğu görülür. Çarpışmadan önceki momentum vektörleri şekildeki gibidir. x P x 45 P m.v P.v P y Ortak kütlenin ( x) yönünde hareket edebilmesi için; P P y P m v sin 45 +x 7. v 0 0 0 v v P sonra 0 A noktasında iç patlama sonucu üç eşit parçaya ayrılan cismin patlama sonrası momentumu sıfırdır. O hâlde patlama olmadan önceki momentum da sıfırdır. Bunun böyle olması için cismin tepe noktasına varmış olması gerekir. Buradan; v 0 60 h max g 0 h max 80 m bulunur. v m v m m m bulunur. 6. a m,5 kg 8. ( ) (+) 0,5 kg m.g 5 N m ip 00 kg m 400 kg v v.g 5 N Destek çekildiğinde sistem ok yönünde a 5 m/s lik ivmeyle hızlanır. İki cisim aynı ipe bağlı olduğundan hızları her zaman eşit olur. Bu nedenle; P m v P m v P 0, 5 P, 5 bulunur. İp kesilmeden önce cisimler durgun olduğundan momentumları sıfırdır. İp koptuğunda momentumların vektörel toplamı yine sıfır olacağından; 0 400 v + 00 ( v ) 4 v v v 4 v bulunur.
0 Ünite Kuvvet ve Hareket 9. B noktası yörüngenin tepe noktası olup bu noktada yalnızca yatay hız vardır. B noktasında cismin yatay hızı v x v 0. cos 60 5 m/s dir. Yani patlama olmadan önce cismin momentumu;. v y 5 m/s v 5 m/s v 5 m/s v y 5 m/s P x m v x 5 0 kg.m/s dir. Patlamadan sonra da bu momentumun korunması gerekir. v y 0 m/s kg 45 vx 0 m/s B kg v 0 m/s v 0 m/s Bu nedenle patlamadan sonra diğer parça yatayla 45 lik açı yapacak biçimde v 0 m/s ilk hızla eğik atış yapar. A 7 45 v x 0 m/s C v x 5 m/s 60 m 45 m Şekil I, m kütleli cisimlerin atılma anındaki hızlarının yatay ve düşey bileşenleri Şekil I deki gibidir. Her iki cismin düşey hızları eşit olduğundan, cisimler, aynı yükseklikten geçer. Cisimlerin düşey hızları 5 m/s olduğundan, her iki cismin de uçuş süresi s dir. Bu nedenle A noktasından atılan kütleli cisim, s de yatayda 60 m yol alarak C noktasına varır. Benzer biçimde B noktasından atılan m kütleli cisim de aynı sürede 45 m yol alarak C noktasına varır. C noktasında hız vektörlerinin düşey bileşenleri yer tarafından dengelenir. B v x 0 m/s m m v x 5 m/s Şekil II v ort,5 m/s m m C noktasında cisimlerin hız vektörlerinin yatay bileşenlerinin etkileşimi Şekil II deki gibi olur. Ortak kütle ise sağa doğru,5 m/s lik hızla yatay yüzeyde düzgün doğrusal hareket yapar. 0. Eğik atış hareketinde yatay eksende hız değişimi olmadığından momentum değişimi de yoktur. Düşey eksende ise momentum değişimi vardır. v ilk v T B C v son v Cismin B den C ye varıncaya kadarki momentum değişimi; Δ P m. Δ v m. ( v son v ilk ) ΔP m ( v v) mv bulunur. Yanıt E dir.
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM. 0 m/s h 80 m kg v 0 40 m/s yatay 4. m kütleli cisim arabadan atılmadan önce, arabanın, +x doğrultusunda bir momentumu vardır. Atıldıktan sonra cismin y doğrultusunda bir momentumu oluşacak ancak bu momentumun arabanın hız vektörüne bir katkısı olmayacaktır. +x yönündeki momentumun korunumundan; yer v y v Balondan atılan cismin yere düşme süresi; 60 vx v 4 m/s h v 0y t g t m 80 0 t 5t t 6t 6 0 (t 8) (t + ) 0 t 8 s, t s olur. / / Pö nce( x) Psonra ( x) ( + m )v vʹ + m v x Zaman negatif değer almayacağına göre t 8 s dir. Cismin uçuş süresi 8 s olduğuna göre bu cisme uygulanan itme; itme F. Δt itme mg. Δt itme. 0. 8 60 N.s olur.. 4 kg a m/s 0 4 8 4 + v x 8 v x v x 4 m/s bulunur. Buradan v hızı; v x v. cos 60 4 v v 8 m/s bulunur. m kg m.g 0 N Şekildeki sürtünmesiz sistem serbest bırakıldığında ok yönünde a m/s lik ivme ile hızlanır. Sistemin, dolayısıyla m kütleli cismin hızı arttıkça potansiyel enerjisi azalır. m kütleli cismin potansiyel enerjisi 60 J azaldığında E p E k E p (m + m ) v 60 5 v v m/s bulunur. Bu hız, her iki kütlenin ortak hızıdır. kütleli cismin ilk hızı sıfır, son hızı m/s olduğundan momentumundaki değişme; ΔP. Δv 4. (v son v ilk ) ΔP 48 kg m/s bulunur. 5. v 4 m/s 4 kg v 0 m kg v v ç. önce ç. sonra Şekil I Şekil II Hızı v 4 m/s olan kütleli cisim, durgun hâldeki m kütleli cisme merkezi esnek olarak çarpıyor (Şekil I). Cisimlerin çarpışmadan sonraki hızları v, v olsun. m vʹ ( ) v + vʹ ( 7 8 ) 4 6 m/s olur. m
Ünite Kuvvet ve Hareket 6. Momentumun korunumundan çarpışmadan sonraki ortak hızı bulalım. / / Pö nce Psonra v + m 0 ( + m ) v ort 0, 00 + 0 v ort v ort 0 m/s v 00 m/s v 0 v ort m + m ç. önce ç. sonra Ortak kütle, sahip olduğu kinetik enerjiyi potansiyel enerjiye dönüştürerek yükselir. Yükselme miktarı; E k E p mv mgh vort 900 h g 0 h 45 m bulunur. 7. Merkezi esnek çarpışma yapan iki cismin ilk momentumlarının bileşkesi sıfır ise, çarpışmadan sonra, cisimler geldikleri hızlarla geri dönerler. m. v + m ( v) 0 olduğundan, P sonra 0 olmalıdır. Bu nedenle; v v v v olur. ( ) (+) v v m m m v v Yanıt E dir.
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM Test nin Çözümleri. Bir cismin kinetik enerjisiyle momentumu arasında P E k bağıntısı vardı. Grafik incelendiğinde; m P 5 kg.m/s iken E k 5 J olduğu görülür. Buradan; 5 5 m m 5 m 5 bulunur. 4. Kuvvet-ivme grafiğinin eğimi cismin kütlesini verir. Cisim başlangıçta durmakta olduğundan kuvvet zaman grafiğinin altında kalan alan momentumu verir. Momentum P m. v olduğundan P ve m bilinenleriyle v hızı bulunur. 5. h z. F 0 F kuvvet + t t t 4t zaman Kuvvet-zaman grafiğinin altındaki alan momentum değişimini verir. Buradan 4t anında momentumun sıfır olduğu görülür. Yanıt E dir. v 0 I II III t t t zaman Momentum-zaman grafiği ile hız-zaman grafiği birbirine benzer grafiklerdir. Şekildeki grafiğe göre cisim I. aralıkta a ivmesiyle hızlanmış II. aralıkta a 0 ivmesiyle sabit hızlı III. aralıkta a ivmesiyle yavaşlamıştır. Yani cisme II. aralıkta kuvvet etki etmez.. ivme-zaman grafiğinden cismin s sonraki hızı. s için; v 0. 8 m/s. s için; v v +. 0 m/s dir. Momentum değişimi; ΔP m. (v v ) ΔP. (0 0) 0 bulunur. Pratik Çözüm: İvme-zaman grafiğine göre ilk saniyede hızdaki değişim sıfırdır. 6. itme P itme m(v s v i ) itme m( v v) m v bulunur. ( ) işareti itmenin azaldığını gösterir.
4 Ünite Kuvvet ve Hareket 7. Cismin 50 m yükseklikten 0 m yüksekliğe ininceye kadar geçen zaman; h 5t 40 5. t t s bulunur. Bu sürede cismin kazanacağı hız ve momentum; 0. ve m kütleli cisimlerin A noktasındaki hızı; v g h v g h olur. Cisimler çarpıştıktan sonra durduklarına göre ilk momentumları birbirine eşit ve zıt yönlüdür. O hâlde; P P v g. t v 0. 0 m/s P m. v P 0 40 kg. m/s gh m gh m m bulunur. 8. Grafikte cismin ilk hızı 0 m/s, son hızı 0 m/s olarak verilmiştir. Momentumdaki değişim; ΔP m (v s v i ). m kütleli K cismi duran m kütleli L cismine çarptığında hızını ona aktarır ve kendisi hareketsiz kalır. O hâlde K cisminin kinetik enerjisi, mv kadar azalır. ΔP. ( 0 0) ΔP. ( 0) 40 kg. m/s. y P 6 kg.m/s P 6 kg.m/s 60 60 A 0 P 6 kg.m/s x 9. Momentumun korunumu ilkesinden, P ilk P son olmak zorundadır ve momentum vektörel bir büyüklük olduğundan P ve P momentumlarının vektörel toplamı P momentumunu vermelidir. Bunu sağlayan P momentumu Şekil II de kesikli çizgilerden IV ile ifade edilmiştir. Şekil incelendiğinde ortak kütlenin momentumu P 6 kg. m/s olduğu görülür. O hâlde ortak kütlenin hızı; P ( + m ). 6 ( + )., m/s
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 5. y 5. P 8 6 kg.m/s A P x P kg.m/s m. v (M + m). 0. 0. 400 (990 + 0). 0. 4 m/s bulunur. Ortak kütlenin yükselme miktarı; P ( ) + ( 6) 0 kg.m/s P ( + m ) 0 ( + ) h h vortak g ( 4) 4 m bulunur. 0 5 0 m/s 6. m kütleli cismin L noktasındaki hızı; mgh m v 0,8 v v 6 m/s bulunur. Momentumun korunumundan; m. v (m + m). v m. 6 m. v v m/s bulunur. Çarpışmadan sonra cisimler; 4. Sistemin ilk kinetik enerjisi; E k mv + v m( ) E k 4 m v... () vl h g 4 h m 0 5 yüksekliğe çıkar. bulunur. Cisimlerin çarpışma sonrası sahip oldukları kinetik enerji; m v + m v m vʹ 7. E k m ( v) mv m vʹ vʹ v E k mv... () bulunur. () ve () denklemi oranlanırsa; E m v k Ek m v 4 8 9 v + m v ( + m ) v ( + m ) v v v + m v m v m v m m
6 Ünite Kuvvet ve Hareket 8. Çarpışmadan sonra; 0. F y F v + m v ( + m ). 7 F x 0 ( + ) 5 m/s hızla ortak kütle yatay atış hareketi yapar. O hâlde; h 5tuç 0 5tuç t uç s x t uç 5 0 m bulunur. 9 m Dinamiğin temel prensibinden; F net F. cos 7 m. a 60. 0,8 6. a a 8 m/s bulunur. x a t 9 8 t t s I F net t I 60 cos 7 I 60 5 4 7 N.s bulunur.. Cismin momentumdaki değişimi; Δ P P s P ö 9. Momentumun korunumundan; dir. O hâlde; mv. v m. v ( + m ). v 80. 0 0. 00 400. v mv 0 60 60 5600 400. v 0 v 4 cm/s bulunur ve P > P olduğundan cisim +x yönünde hareket eder. bulunur. mv
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 7 Test ün Çözümleri. P. Balmumu sahip olduğu düşey momentumu araba yardımıyla yere aktarır. Yatayda momentumun korunumu göz önüne alınıldığında;. v ( + m ). 4. 0 (4 + ). 8 m/s bulunur. P P br P m br Şekle bakıldığında; P. br P... () P m. br P... () elde edilir. () ve () denklemleri oranlanırsa; m br P m & m br P m 4 Yanıt E dir.. A noktasındaki cismin K noktasında sahip olduğu hız ve kinetik enerji; mgh m v 0 0 v v 0 m/s E k(önce) m v (0) 00 J bulunur. Çarpışma sonrası hızı ve kinetik enerjisi; m v (m + m) 0 ( + ) 0 m/s E k(sonra) m vortak (0) 00 J Çarpışma sırasında ısıya dönüşen enerji; E E k(önce) E k(sonra) 00 00 00 J bulunur. Enerjinin korunumundan; E k(sonra) E + mgh 00 E +. 0.,5 E 50 J bulunur. O hâlde; E 00 bulunur. E 50 Yanıt E dir. 4. m kütleli cismin iç patlama sonucu parçalanmadan önceki düşey momentumu sıfırdır. Bu nedenle parçaların da düşey momentumlarının bileşkesi sıfır olur. Böyle olması için m kütlesi cismin hızı v olur. Her birinin momentumu mv olan parçalar arasındaki açı 0 olduğundan bileşkeleri +x yönünde mv olur. Momentumun korunması için m kütleli cismin parçalanmadan önceki hızının v olması gerekir.
8 Ünite Kuvvet ve Hareket 5. Cisimler h yüksekliğinden bırakıldıklarından P noktasında kazanacakları hız değeri v Momentumun korunumundan; 6 gh dır. 7. Cisim maksimum yükseklikte patladığı için ilk momentumu sıfırdır. Patlamadan sonra üç parçanın momentumlarının bileşkesi yine sıfır olur. m 6 gh m 6 gh m P + P + P 0 m 6 gh m 6gh bulunur. Bu hızla ortak kütlenin çıkabileceği maksimum yükseklik; mgh m (vortak ) olmalıdır. O hâlde; P ( P + P ) P 0 kg.m/s P + P 0 kg.m/s 60 60 60 P 0 kg.m/s gh d 6gh n 6g h gh h h 9 bulunur. m kütleli cismin momentumu m kütleli cismin momentumundan büyüktür. Bu nedenle ortak kütle PS arasında bir noktaya çıkar. P 0 kg.m/s P m. v 0. v v 0 m/s bulunur. 6. Çarpışmadan hemen önce m kütleli cismin kazandığı hız v, m kütleli cismin kazandığı hız v olsun. Şimdi bu hızları bulalım. mgh m v 0 0,8 v v 4 m/s 8. Cisimlerin çarpışma öncesi momentumları eşit ve zıt yönlü olduğundan çarpışma sonrasında geldikleri hızın tersi ile hareket ederler. mgh m v 0, v v 8 m/s bulunur. Çarpışmadan sonra momentumun korunumundan; m. v m. v (m + m + m). m. 8 m. 4 6m. m 6m. m/s bulunur. m kütleli cismin momentumu m kütleli cismin momentumundan büyük olduğundan (b) yönünde hareket eder. vortak 9. I. hmax g bağıntısı ile bulunur. g, iki gezegende farklı olduğundan çıkabilecekleri h yükseklikleri farklı olur. II. m. v (m + m). bağıntısına göre sarkacın ortak hızları her iki yerde de aynıdır. III. Her iki gezegende sarkacın çıkabileceği h yüksekliği farklı olduğundan düşeyle yaptığı α açısı da farklı olur.
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 9 0. m kütleli cisim 4h yüksekliğinden bırakıldığından B noktasındaki hızı v gh olur. Çarpışmadan sonra momentumun korunumundan; m gh m gh bulunur. Ortak kütlenin çıkabileceği yükseklik; vortak hl g gh hl h g bulunur. O hâlde ortak kütle C noktasına çıkar.. Çarpışma sonrası kütleler +x yönünde hareket ettiğine göre düşeydeki momentum sıfır olmalıdır. O halde; P y P y v cos 7 m v sin 7 4. m sin 7 m bulunur. cos 7 4. v m. v ( + m ). 90. 0 0. 0 (90 + 0). 600 00. 6 cm/s. Patlamadan önceki momentum +x yönünde ve 8 96 kg.m/s dir. Patlamadan sonra ve m kütleli parçaların momentumlarının bileşkesi +x yönünde 6 kg.m/s dir. Momentumun korunması için m kütleli parçanın momentumu +x yönünde 90 kg.m/s olması gerekir. bulunur. kütleli cismin momentumu daha büyük olduğundan cisim v yönünde hareket eder. m kg olduğundan v hızı +x yönünde 45 m/s olur. 5. Momentum vektörel bir büyüklük olduğundan; y P kg.br P P + P 4 kg.br x. ( + m ). v m. v. v. cos 60 (m + m) 5 m v m 0 45m m v 5m mv 60 v 0 m/s bulunur. br br P + P < P 4 kg.br < m. br 4 kg < m P kg.br olmalıdır. Sistemin x yönünde hareket edebilmesi için m kütlesi 5 kg olabilir.
0 Ünite Kuvvet ve Hareket 6. Parçalanma olmadan önce momentum +x yönündedir. Parçalanmadan sonra eşit kütleli dört parçanın momentumlarının bileşkesi +x yönünde olmalıdır. Parçalanmadan sonra v ile v hız vektörlerinin düşey bileşenleri eşit olduğundan düşey momentum sıfırdır. Bu nedenle dördüncü parçanın hız vektörü v ile birlikte +x yönündedir. 7. Momentumun korunumundan; v ( m ) vʹ m vʹ m v bulunur. Yanıt E dir.