8. SINIF ÖĞRENCİLERİNİN ÜSLÜ İFADELERE İLİŞKİN SAYI DUYULARI VE BAŞARILARI ARASINDAKİ İLİŞKİ

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İLKÖĞRETİM ANABİLİM DALI MATEMATİK EĞİTİMİ BİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ 8. SINIF ÖĞRENCİLERİNİN ÜSLÜ İFADELERE İLİŞKİN SAYI DUYULARI VE BAŞARILARI ARASINDAKİ İLİŞKİ Gülcan BAYRAM Denizli-2013

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İLKÖĞRETİM ANABİLİM DALI MATEMATİK EĞİTİMİ BİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ 8. SINIF ÖĞRENCİLERİNİN ÜSLÜ İFADELERE İLİŞKİN SAYI DUYULARI VE BAŞARILARI ARASINDAKİ İLİŞKİ Gülcan BAYRAM Danışman Doç. Dr. Asuman DUATEPE PAKSU Bu çalışma BAP tarafından 2012FBE055 nolu Yüksek Lisans tez projesi olarak desteklenmiştir. Denizli-2013

ii TEŞEKKÜR Bu tezi oluşturma sürecimin başlangıcından bu zamana kadar bilgisi ve tecrübesiyle bana yol gösteren, destek olan, yardımlarını esirgemeyen, hayata bakışıyla kendisini örnek aldığım ve birlikte çalışmaktan onur duyduğum kıymetli tez danışmanım Sayın Doç. Dr. Asuman DUATEPE-PAKSU ya sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Yüksek lisans süreci boyunca kendilerinden alanımla ilgili birçok şey öğrendiğim değerli hocalarım Sayın Yard. Doç. Dr. Sibel KAZAK ve Sayın Yard. Doç. Dr. Tolga KABACA ya teşekkürlerimi sunarım. Yüksek lisans programı sürecimde verdikleri bursla bana destek olan TÜBİTAK a teşekkürü bir borç bilirim. Bugünlere gelmemde en büyük pay sahibi, her zaman yanımda olan, beni cesaretlendiren ve desteklerini benden esirgemeyen çok kıymetli babam Akif BAYRAM, annem Mukatder BAYRAM ve kardeşim Hüseyin BAYRAM a sonsuz saygı, sevgi ve teşekkürlerimi sunarım. Haziran, 2013 Gülcan BAYRAM

iv ÖZET 8. SINIF ÖĞRENCĠLERĠNĠN ÜSLÜ ĠFADELERE ĠLĠġKĠN SAYI DUYULARI VE BAġARILARI ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠ Bayram, Gülcan Yüksek Lisans Tezi Ġlköğretim ABD, Matematik Eğitimi Bilim Dalı Tez DanıĢmanı: Doç. Dr. Asuman Duatepe Paksu Haziran 2013, 138 Sayfa Bu çalıģmada, ilköğretim sekizinci sınıf öğrencilerinin üslü ifadelere iliģkin sayı duyuları ve baģarıları arasındaki iliģkinin belirlenmesi amaçlanmıģtır. AraĢtırmanın çalıģma grubunu, bir devlet okulunun 8. sınıf öğrencilerinden 48 kiģi oluģturmaktadır. AraĢtırmanın veri toplama araçlarını, araģtırmacı tarafından geliģtirilen Üslü ifadelere yönelik baģarı testi ve Ġymen (2012) tarafından geliģtirilen Üslü ifadelere yönelik sayı duyusu ölçeği oluģturmaktadır. AraĢtırma, ilköğretim sekizinci sınıf öğrencilerinin üslü ifadelere iliģkin sayı duyuları ve baģarıları arasındaki iliģkinin belirlenmesi için iliģkisel tarama modelindedir ve bu iliģkiyi saptamak için pearson korelasyon katsayısı hesaplanmıģtır. AraĢtırmanın sonucunda, ilköğretim sekizinci sınıf öğrencilerinin üslü ifade sorularında sayı duyularını kullanma baģarılarının düģük olduğu, üslü ifadelere iliģkin baģarılarının ise orta seviyede olduğu sonucu ortaya çıkmıģtır. Ayrıca, öğrencilerin üslü ifadelerle ilgili aynı sorulardan aldıkları baģarı puanlarının, sayı duyusu puanlarına göre daha yüksek olduğu belirlenmiģtir. Bunun dıģında, sekizinci sınıf öğrencilerinin üslü ifadelere iliģkin baģarıları ve sayı duyuları yüksek derecede iliģkili bulunmuģtur. Anahtar Kelimeler: Sayı duyusu, üslü ifadeler, sayı duyusu ve baģarı arasındaki iliģki, 8. sınıf öğrencileri

v ABSTRACT THE RELATIONSHIP BETWEEN 8TH GRADE STUDENTS' NUMBER SENSE AND ACHIEVEMENT RELATED TO EXPONENTIALS Bayram, Gülcan M. Sc. Thesis in Department of Elementary Mathematics Education Supervisor: Assoc. Dr. Asuman Duatepe Paksu June 2013, 138 Pages The aim of the study is to determine the relationship between eighth grade students number sense and achievements related to exponentials. The study group consists of 48 eighth grade students in a public school. The data collection tools are "The achievement test related to exponentials" developed by the researcher and The number sense scale related to exponentials developed by Iymen (2012). The study is survey model to determine the relationship between eighth grade students number sense and achievements related to exponentials and the pearson correlation coefficient is calculated to determine this relationship. As a result of the study, eighth grade students achievement related to using their number sense is low in exponentials questions, their achievement related to exponentials is mid level. In addition, student achievement scores related to exponentials is higher than their number sense scores from the same question. The results also revealed that the scores of the students on exponentials are significantly correlated with their number sense related to exponentials. Keywords: Number sense, exponentials, the relationship between number sense and achievement, 8th grade students

vi ĠÇĠNDEKĠLER Tez Onay Sayfası... TeĢekkür... Bilimsel Etik Sayfası... Özet...... Abstract... Ġçindekiler... Tablolar Dizini... ġekiller Dizini... i ii iii iv v vi viii ix BĠRĠNCĠ BÖLÜM GĠRĠġ 1.1. SAYI DUYUSU... 3 1.2. SAYI DUYUSU BĠLEġENLERĠ... 8 1.3 SAYI DUYUSU VE OKUL MATEMATĠK PROGRAMI.. 16 1.4 ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK PROGRAMINDA ÜSLÜ ĠFADELER.. 19 1.5 PROBLEM CÜMLESĠ... 24 1.5.1 Problem 24 1.5.2 Alt problemler.. 24 1.6 ARAġTIRMNIN AMACI.. 24 1.7 ARAġTIRMANIN ÖNEMĠ.. 24 1.8 SAYILTILAR 27 1.9 SINIRLILIKLAR... 28 1.10 TANIMLAR 28 ĠKĠNCĠ BÖLÜM KURAMSAL ÇERÇEVE ve ĠLGĠLĠ ARAġTIRMALAR 2.1 SAYI DUYUSUYLA ĠLGĠLĠ OLAN ARAġTIRMALAR.. 29 2.1.1 Sayı Duyusunu Farklı Kültürler Arasında Ġnceleyen ÇalıĢmalar.. 29 2.1.2 Sayı Duyusunu BileĢenlerine Göre Ġnceleyen ÇalıĢmalar 32 2.1.3 Uygulanan Öğretim Yöntemine Göre Sayı Duyusunun GeliĢimini Değerlendiren ÇalıĢmalar 37 2.1.4 Sayı Duyusunun Sınıf Seviyesi, Matematik BaĢarısı veya ÇeĢitli Beceriler (tahmin, yazılı hesaplama) ile ĠliĢkisini Ġnceleyen ÇalıĢmalar... 49 2.2 ÜSLÜ ĠFADELERLE ĠLGĠLĠ OLAN ARAġTIRMALAR.. 68

vii ÜÇÜNCÜ BÖLÜM YÖNTEM 3.1 ARAġTIRMANIN MODELĠ 76 3.2 ARAġTIRMA GRUBU 77 3.3 VERĠ TOPLAMA ARAÇLARI 77 3.3.1 Üslü Ġfadelere Yönelik Sayı Duyusu Ölçeği. 77 3.3.2 Üslü Ġfadelere Yönelik BaĢarı Testi.. 78 3.4 VERĠLERĠN TOPLANMASI.. 81 3.5 VERĠLERĠN ÇÖZÜMLENMESĠ 82 3.5.1 Üslü Ġfadelere Yönelik Sayı Duyusu Ölçeği Yanıtlarının Çözümlenmesi... 82 3.5.2 Üslü Ġfadelere Yönelik BaĢarı Testi Yanıtlarının Çözümlenmesi... 83 3.6 KULLANILAN ĠSTATĠSTĠKSEL TEKNĠKLER. 84 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM BULGULAR ve YORUM 4.1 BĠRĠNCĠ ALT PROBLEME ĠLĠġKĠN BULGULAR VE YORUMLAR. 85 4.1.1 Öğrencilerin Üslü Ġfadelere Yönelik Sayı Duyusu Puanlarına ĠliĢkin Bulgular... 85 4.1.2 Öğrencilerin Üslü Ġfadelere Yönelik Sayı Duyusu Ölçeği BaĢarı Puanlarına ĠliĢkin Bulgular... 92 4.2 ĠKĠNCĠ ALT PROBLEME ĠLĠġKĠN BULGULAR VE YORUMLAR... 95 4.2.1 Üslü Ġfadelere Yönelik BaĢarı Testinde BaĢarının DüĢük Olduğu Sorular... 96 4.2.2 Üslü Ġfadelere Yönelik BaĢarı Testinde BaĢarının Ġyi Olduğu Sorular 98 4.3 ÜÇÜNCÜ ALT PROBLEME ĠLĠġKĠN BULGULAR VE YORUMLAR.. 102 BEġĠNCĠ BÖLÜM SONUÇ ve ÖNERĠLER 5.1 SONUÇLAR... 109 5.1.1 Birinci Alt Probleme Ait Sonuçlar.. 109 5.1.2 Ġkinci Alt Probleme Ait Sonuçlar 111 5.1.3 Üçüncü Alt Probleme Ait Sonuçlar 113 5.2 ÖNERĠLER.. 115 5.2.1 Uygulamaya Yönelik Öneriler 115 5.2.2 Ġleride Yapılacak ÇalıĢmalara Yönelik Öneriler.. 117 KAYNAKLAR... 119 EKLER... 123 ÖZGEÇMĠġ... 138

viii TABLOLAR DĠZĠNĠ Sayfa Tablo 3.1. AraĢtırmanın örnekleminin sınıf Ģubesine ve cinsiyete göre dağılımı...77 Tablo 3.2. Üslü ifadelere yönelik baģarı testi sorularının kazanımlara göre dağılımı.80 Tablo 4.1. Ölçekteki soruların çözümünde sayı duyusunu doğrudan kullanan, sonradan ortaya çıkaran ve hiç kullanmayan öğrenci sayıları ve yüzdeleri...86 Tablo 4.2. Sorulara göre alınan ortalama üslü ifadelere yönelik sayı duyusu puanları...92 Tablo 4.3. Sorulara göre alınan ortalama üslü ifadelere yönelik sayı duyusu ölçeği baģarı puanları 93 Tablo 4.4. Üslü ifadelere yönelik sayı duyusu ve baģarı arasındaki iliģki.102 Tablo 4.5. Üç puan türünden alınan puanların aralığına göre öğrenci sayıları ve yüzdeleri...103

ix ġekġller DĠZĠNĠ Sayfa ġekil 1.1. Sekizinci sınıf programındaki negatif kuvveti bulma ile ilgili etkinlik..20 ġekil.1.2. Altıncı sınıf programındaki üslü ifadelerle ilgili etkinlik...21

1 BĠRĠNCĠ BÖLÜM GĠRĠġ Günlük yaģamda birçok durumda sayılar ve sayıların kullanımı ile karģılaģılır. AlıĢveriĢ sonunda kasada toplam kaç para verileceği kasaya gitmeden tahmin edilir, bir satıcı müģterisine ne kadar para üstü vereceğini zihinden hesaplar, maç izlenirken maçı izlemeye kaç kiģinin geldiği seyircilere bakılarak tahmin edilir, yürüyüģ yaparken yaklaģık kaç metre yol alındığı tahmin edilir, bir çocuk kavanozda kaç tane kurabiye olduğunu saymadan tahmin etmeye çalıģır Örneklerden görüldüğü gibi, sayılar insanları çevreleyen dünyanın anlamlandırılmasını sağlayan temel bir öğedir. Okulda kâğıt-kalem kullanarak yapılan hesaplamalardan farklı olarak, günlük yaģantıda sayılar çoğu zaman zihinden yapılan iģlemlerde ve tahminlerde kullanılır. Bir çocuk bakkala gittiğinde yazılı hesaplama yaparak ne kadar para üstü alacağını hesaplamaz, o anda zihinsel iģlemler yaparak, belki sayıları yuvarlayarak alacağı para üstünü hesaplar veya tahmin eder. Bu tür hesaplamalar genel olarak; kiģinin sayılarla ilgili algılarının, sezgilerinin, sayıları kullanma yeteneklerinin, kısacası sayı duyularının bir göstergesidir. Sayı duyusu geliģmiģ bir kiģi günlük hayatta karģılaģtığı problem durumlarına pratik bir Ģekilde çözüm bulup, günlük yaģamda yapmak zorunda olduğu bazı rutin hesaplamaları daha kolay ve akılcı yollardan yapabilir. Günlük hayatta bu kadar sıklıkla karģılaģılan ve kullanılan sayılar, okuldaki matematik öğretiminde de önemli bir yer tutar. Çocuklar okula sayılar hakkında birçok fikir ile gelirler. Sayılarla öğrencilerin erken yaģlarda baģlayan macerası, okul yıllarının ilerleyen dönemlerinde giderek yoğunlaģarak devam eder ve okul dıģı hayatta da sürekli kullanılır. Bunun için öğrencilerin okul döneminde sayılar ve bunların kullanımıyla ilgili yeteneklerinin geliģtirilmesi gerekir. Matematiğin ortaya çıkıģ sebebinin günlük hayattaki çeģitli problemlere çözüm getirebilmek veya bazı durumlarda kolaylık sağlamak olduğu

2 düģünülürse, okulda öğrencilere kazandırılan sayı bilgisi ve bunu kullanma becerileri günlük hayattaki bazı sorunları çözmeye yardımcı, karģılaģılan problemleri çözmede kullanılabilecek nitelikte olmalıdır. Aksi takdirde okulda öğretilen sayı ve iģlem bilgisinin de bir anlamı yoktur. Bir öğrenci okulda bazı kuralların öğrenimi veya ezber yoluyla bir takım iģlemleri yapabiliyor; ancak okul çıkıģı bir bakkala gittiğinde ne kadar para üstü alacağını tahmin edemiyorsa, okulda aldığı iģlem bilgisinin çok etkili olduğu söylenemez. Okulda alınan sayı bilgisi, içselleģtirilip günlük hayatta karģılaģılan durumlarda kullanılırsa anlamlı hale gelir. Sayıların, okuldaki öğretimde gerçek hayattaki miktarlarla, ölçümlerle iliģkisi ve günlük basit hesaplamalarda kullanımı, öğrencilerin sayılara yönelik en çok arzu edilen esnek ve sezgisel yollarla fikir üretip, geliģtirmelerine yardımcı olabilir. Günlük hayatta kullanılan sayılardan farklı olarak; fizik, kimya, biyoloji gibi bilim dallarında çok küçük veya çok büyük sayılarla karģılaģılır. Bir atomun kütlesi, gezegenlerin dünyaya uzaklığı, insan beynindeki nöronların sayısı bu sayılara örnek verilebilir. Üslü ifadeler, bu tür sayıların daha kısa gösteriminde kullanılır. Çok büyük veya çok küçük sayıları üslü olarak ifade etmek bu sayıları kullanırken büyük kolaylık sağlar. Sayıların bir çeģit gösterim Ģekli olarak düģünülebilecek üslü ifadeler, çok küçük ve çok büyük sayıların bilimsel gösterimi, doğal sayılar ve ondalık kesirleri çözümlemede 10 un negatif ve pozitif kuvvetlerini kullanma gibi birçok konuda öğrencilerin akıl yürütme ve problem çözme becerilerini geliģtirmek için fırsat sağlar. Ġleri matematikte de logaritma, köklü ifadeler gibi birçok konunun temelini oluģturur. Bu sebeple, üslü ifadeler okuldaki öğretimde üzerinde durulması ve erken yaģlarda temelinin atılması gereken bir konudur. Üslü ifade kavramının öğretiminde iki farklı zorluk bulunmaktadır. Ġlk zorluk, sayıların üslü gösterimi açık değildir, taban ve kuvvetten oluģan kodlanmıģ bir sistemdir ve anlayabilmek için bu kodu bilmek gerekir. Kuvvetteki sayı küçük yazılsa da sayının büyüklüğünde önemli bir pay sahibidir. Ġkinci zorluk ise böyle bir ifadenin tahmininin zor olmasıdır. Özellikle kuvvetteki, sayı büyüdükçe bu zorluk daha ön plana çıkmaktadır. Bunun için çeģitli stratejiler geliģtirmek gereklidir (Sastre ve Mullet, 1998).

3 1.1 Sayı Duyusu Farklı ülkelerden çok sayıda bilim adamı ve matematik eğitimcisi sayı duyusunu birçok farklı bakıģ açısıyla tanımlamıģlardır. Bu bölümde ortaya atılan bu tanımlar tartıģılacaktır. 1989 yılında, sayı duyusunun ve sayı duyusunun ilgili alanlarının boyutlarını araģtırmak için matematik eğitimcileri, biliģsel psikologlar ve psikolojiden farklı modelleri matematik eğitimine adapte etmeye çalıģan diğer matematik eğitimi araģtırmacıları, Sowder ve Schappelle editörlüğünde Ulusal Bilim Vakfı tarafından desteklenen konferansta bir araya gelmiģlerdir. Konferansın öncelikli amacı sayı duyusu ile ilgili araģtırmalara temel oluģturacak teorik çerçeveyi belirlemek olmuģtur ve tüm araģtırmacılar bu hedefe odaklanmıģlardır. TartıĢmalarda araģtırmacıların aģağıdaki sorulara yanıt vermeleri istenmiģtir; Sayı duyusu nedir? Nasıl değerlendirilir ve nasıl öğretilir? Sayı duyusuyla zihinsel hesaplama ve hesapsal tahmin arasında nasıl bir iliģki vardır? Konferansta sayı duyusuyla ilgili hangi araģtırma sorularını hedef almak gerekir? Bu konferansın teorik temelleri nedir? Matematik öğretimi ile ilgili farklı alanlardaki araģtırmalar sayı duyusuyla nasıl iliģkilendirilebilir? Konferans süreci sonunda sayı duyusuyla ilgili neyin baģarıldığını görmek istersiniz? Konferansta sayı duyusuyla ilgili hedef alınmasını istediğiniz özel konular var mıdır? Konferansta bu soruların yanıtlarıyla ilgili görüģ birliğine varılamamıģtır. TartıĢmalar sonrası belirlenen sorularla ilgili her bir araģtırmacı düģüncelerini yazılı olarak belirtmiģtir. Konferans editörlerinden Sowder konferans öncesi sayı duyusuyla ilgili bazı fikirlerini öne sürmüģtür. Sowder a göre sayı duyusu; sayılar ve iģlem özellikleri ile ilgili iyi organize edilmiģ, kavramsal bir ağ, sayısal karģılaģtırmada, iģlemlerin akıl almaz sonuçlarının farkında olma, zihinsel hesaplama için standart olmayan algoritmik formların kullanımı

4 konularında, niceliksel ve niteliksel yargılar için gerekli, sayıların göreceli ve tam büyüklüklerini kullanma yeteneği, sayıları içeren problemleri çözmek için esnek ve yaratıcı yollarla gösterimler yapabilme, öğretimi ve ölçümü kolay olmayan bir kavram olduğu Ģeklindedir. Sowder, konferans sonrasında da sayı duyusu ile belirttiği ifadelerin değiģmediğini belirtmiģtir. Sowder, sayı duyusunun bir bilgi bütünü olmadığını, bir düģünme tarzı olduğunu, bu sebeple sayı duyusunun öğretimi ve değerlendirilmesinin, sayılarla ilgili diğer konular örneğin bir iģlem bilgisi ölçer gibi düģünülemeyeceğini belirtmiģtir. Konferansta, Resnick bilgi ile düģüncelerin ve yeteneğin önemli varsayımlarını tartıģmıģtır. Sayı duyusunun belli bir bilgi birikimi veya belli yeteneklerle eģleģtirilmesinin toplamından ziyade daha üst düzey düģünülmesi gereken bir kavram olduğunu belirtmiģtir. Sayı duyusunun tanımlanmasının zor olduğuna ve üst düzey düģünmeyle değerlendirilmesine ĢaĢırmamak gerektiğini de eklemiģtir. Marshall da benzer bir açıklama getirmiģtir. Sayı duyusunun toplanan ve bütünleģtirilen bilgiler olduğunu belirtmiģtir. Sayı duyusunun çok boyutlu bir perspektiften bakılarak sınanabileceğini söylemiģtir. Greeno diğerlerinden farklı olarak sayı duyusunun nasıl gösterilebileceğini düģünerek tanımlamaya çalıģmıģtır. Esnek düģünme, hesaplamalardaki tahmin yeteneği, sayısal niceliklerle ilgili muhakeme ve sonuç çıkarabilme yeteneklerinin sayı duyusunun belirleyicisi olduğunu belirtmiģtir. Fakat bu yeteneklerin eğitimsel aktivitelerle geliģtirilmesinden ziyade, matematiksel bilgi ve yeteneğin genel bir özelliği olarak daha bütünleģtirilmiģ bir sayı duyusu görüģü benimsemiģtir. Reys ve Trafton sayı duyusu için Amerika BirleĢik Devletleri nde Ulusal Matematik Öğretmenleri Konseyi nin (National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 1989) belirledikleri tanımın yeterli olduğu görüģünü

5 paylaģmıģlardır. Thompson ve Rathmell ise sayı duyusunun birçok amaç için yeterli olduğunu belirtmiģlerdir. Bu amaçlar: Sayıların anlamının ve aralarındaki iliģkinin anlaģılması, sayıların göreceli büyüklüğünün iyi anlaģılması, sayılar üzerinde iģlemlerin etkilerinin anlaģılması, günlük hayatta sayıların uygun referanslar olarak kullanılmasının farkındalığıdır. Trafton, sayı duyusunun doğrudan öğretilen olmaktan ziyade ortaya çıkan bir Ģey olduğunu belirtmiģtir. Carpenter, sayı duyusunun kritik göstergesinden birisinin de sayılarla esnek iģlem yapabilme yeteneği olduğunu ifade etmiģtir. Carpenter aynı zamanda sayı duyusunun ve hesapsal tahminin öğretimin ürünleri olduğunu, sayı duyusu ve hesapsal tahmin üzerinde çalıģmak yerine bu araģtırmanın daha geniģ bir içerikle belirtilmesi gerektiğini önermiģtir. Konferansa daha önceki çalıģmaları tahmin ve zihinsel hesaplamayla ilgili olan araģtırmacılar da katılmıģtır ve araģtırma sorularına teorik bir çerçeve çizmeye çalıģmıģlardır; ancak konferans sonunda görüģ birliğine varılamamıģtır. Reys, sayı duyusunun diğer yetenekleri içine alan bir Ģemsiye olarak görülmesinin yanlıģ olduğunu ve tahmin ve zihinsel hesaplama konularının ayrı değerlendirilmesi gerektiğini belirtmiģtir. Schoen ise bu konuda sayı duyusu öğretmenin aslında yeni bir konu olmadığı ancak tahmin gibi konuların sayı duyusunun olması anlamına geldiğinin vurgulanmasının matematik eğitimde yeni bir durum olduğu yorumunu yapmıģtır. Konferans sonucunda, sayı duyusunu araģtırmak için teorik bir model ortaya çıkarmanın zor olduğu konusunda görüģ birliğine varılmıģtır. Tahmin ve zihinsel hesaplamanın daha anlaģılır kavramlar olduğunu ve bu kavramlarla ilgili yapılan birçok çalıģma olduğunu; fakat sayı duyusunun daha iyi bir idrakini yapabilmek için araģtırmalara devam edilmesi gerektiği belirtilmiģtir. Bunun ilk adımının sayı duyusunun iyi örneklerini belirlemek olduğunu, sayı duyusunun ne zaman gösterilmediğini ve niçin gösterilmediğinin de sebeplerinin belirlenmesi gerektiğini belirtilmiģtir. GeçmiĢte yapılan araģtırmaların incelenmesi gerektiğini ve hangi tür çalıģmaların sayı duyusu, sayı duyusunun varlığı ve geliģimiyle ile ilgili bir Ģeyler öğretebileceğine karar vermenin gerektiği konusunda araģtırmacılar hemfikir olmuģtur.

6 Greeno (1991) baģka bir çalıģmasında sayı duyusuna kavramsal bir çerçeve çizmeye çalıģmıģtır. Sayı duyusunun tanımlaması zor bir kavram olduğunun birçok araģtırmacı tarafından ifade edildiğini ( Sowder ve Schappelle, 1989; Hope, 1989) ve farklı bağlamlarda farklı Ģeyler anlamına gelebileceğini, sayı duyusu teriminin bir tanımlamadan çok teorik olarak analiz gerektirdiğini; ancak bir kiģinin sayı duyusunu gösterme durumlarının tanımlanabileceğini öne sürmüģtür. Sayı duyusuna ait bazı önemli özelliklerin ortaya çıkarılması gerektiğini, sayı duyusu teriminin esnek zihinsel hesaplama, sayısal tahmin, niceliksel muhakeme gibi birkaç önemli, fakat yakalanması zor yetenekleri ifade ettiğini belirtmiģtir. Greeno ya (1991) benzer bir Ģekilde, Markovits ve Sowder (1994) da sayı duyusunu, hesaplamalarda sayıları esnek kullanabilme, tahmin yapabilme, sayı büyüklüklerini ya da sonuçların sebeplerini muhakeme edebilme, farklı sayısal gösterimleri kullanabilme, sayılar, semboller ve iģlemler arasında iliģki kurma yeteneği gibi terimlerle iģlevsel olarak tanımlanmıģtır. Bu özellikler Kaminski (2002), Reys ve Yang (1998), B. Reys, R. Reys, McIntosh, Emanuelsson, Johansson ve Yang (1999) ve Yang ın (2002) sayı duyusu tanımlarında da görülür. Kaminski (2002), sayı duyuna sahip bir kiģinin özelliklerinin; o kiģinin iģlem yapmadaki rahatlık düzeyi, sayılarla yakınlığı, kendi tecrübeleri sonucu sayısal iliģkileri algılaması, sayıların anlamlarının iyi anlaģılması, sayılar arasındaki çoklu iliģkiler geliģtirmesi ve sayılar üzerinde iģlemlerin etkisini bilmesi olduğunu ifade etmiģtir. Reys ve Yang (1998), öğrencilerin sayı ve iģlem ile ilgili algılarını, tahmin ve hesaplamalardaki esnekliği, iģlem yaparken uygun yolları seçme ve kullanıģlı stratejiler geliģtirmeyi sayı duyusu yetenekleri olduğunu belirtmiģlerdir. Reys ve diğerleri (1999) ise sayı duyusunu, sayıları ve iģlemleri genel olarak anlama, matematiksel kararlar vermede etkili ve esnek bir Ģekilde mantıklı sonuçlar üretebilme, sayısal durumları çözmek için etkili stratejiler geliģtirme olarak belirtmiģtir. Yang (2002), sayı duyusunun sayılar ve sayılarla iģlemler hakkında bireysel olarak genel bir anlayıģa, sayılarla ilgili günlük yaģam durumlarının üstesinden gelebilme (zihinsel hesap ve uygun tahminler yapabilme) ve sayısal problemlerde kullanıģlı, esnek, etkili stratejiler geliģtirebilme yeteneğine karģılık geldiğini ifade etmiģtir. Zanzali ve Ghazali

7 (1999) de benzer Ģekilde sayı duyusunu, sayıları sentezleme ve sayıların farklı gösterimlerini fark etme, sayıları karģılaģtırma ve anlamlı Ģekilde sıralama, sayıların temsili değerlerini fark etme, zihinsel hesaplama yapabilme, sayısal problemlerde uygun stratejiyi seçme, iģlemlerin etkilerini fark etme gibi bazı yeteneklerle ifade etmiģlerdir. Sayı duyusu, baģka bir açıdan sayılar ve sayısal iliģkiler hakkında iyi bir sezgiye sahip olma olarak düģünülebilir (Howden, 1989; akt: Alias, Ghazali ve Dali, 2009). Sayı duyusunun birçok özelliği, sayı duyusunun sezgisel doğası, aģamalı ve evrimsel geliģimi ve ortaya çıkarılan çoklu yolları üzerinde yoğunlaģılarak belirlenmiģtir. Berch (2005) de benzer Ģekilde sayı duyusunun sezgiselliğinden bahsetmiģtir. Berch e göre sayı duyusu, sayıların anlamlarına iliģkin sahip olunan duyu; aynı zamanda bir farkındalık, sezgi, tanıma, bilgi, beceri, yetenek, his, süreç, kavramsal yapı ve zihinsel etkinliklerdir. Benzer Ģekilde Markovits ve Sowder (1994) sayı duyusunu, niceliksel sezgilerle ilgili bütünsel bir kavramı kapsayan ya da sayılar ve sayıları arası iliģkilerle ilgili bir his olarak tanımlamıģlardır. Algoritmik bağlamların ötesinde, sayıların keģfi ve yorumlanması sayı duyusunun bir unsuru olarak belirtilmiģtir. Sayı duyusu, sayılar ve sayılar arasındaki iliģkiler hakkında iyi bir görü olarak tanımlanabilir. Sayıların keģfedilmesi, çeģitli bağlamlarda modellenmesi ve geleneksel algoritmalarla sınırlandırılmayan yollarla iliģkilendirilmesi sonucunda geliģim gösterir (Howden, 1989; akt: Kaminski, 2002). Benzer Ģekilde sayıları yorumlama becerisi, Turkel ve Newman (1988) tarafından sayı duyusunun özelliği olarak görülmüģtür: Sayı duyusuna sahip bireyler sayılara güvenirler, nasıl kullanıldıklarını, nasıl yorumlayacaklarını ve anlaģılır olduklarını bilirler (Turkel ve Newman, 1988; akt: Kaminski, 2002; s. 23). Birçok matematik eğitimi araģtırmacısı bu karmaģık, çok yönlü ve ruhsal doğası olan sayı duyusunun matematik eğitimdeki özel olarak tasarlanmıģ faaliyetlerin bir alt kümesi olarak belirlenmesi yerine, geniģ bir aralıkta tüm aktivitelerin sonucunda geliģebileceğini ifade etmiģlerdir. AraĢtırmacılar, sayı duyusunun ders kitaplarında veya öğretim birimleri içinde özel bölümlere

8 ayrılamayacağı ve geliģiminin bütünsel bir süreç olduğu konusunda hemfikirdir (Sowder ve Schappelle, 1989; Thornton ve Tucker, 1989; akt: Yang, 2002; Zanzali ve Ghazali, 1999). Benzer Ģekilde McIntosh, B. Reys ve R. Reys (1992) çalıģmalarında sayı duyusunun geliģiminin aģamalı ve evrimsel bir süreç olduğunu ve okuldaki formal öğrenme sürecinden çok önce baģladığını belirtmiģlerdir. 1.2 Sayı Duyusu BileĢenleri Sayı duyusu bileģenleri, bir kiģide sayı duyusunun varlığına iģaret eden birtakım yeteneklerdir. AraĢtırmacılar, sayı duyusu tanımlamada fikir birliğine varamasalar da, sayı duyusunun bileģenlerini (göstergelerini) tespit etme gerekliliği konusunda görüģ birliği içindedirler. Bunun için çok sayıda araģtırmacı sayı duyusuna sahip bir kiģinin ne gibi yetenekleri olması gerektiğini belirlemeye çalıģıp sayı duyusu için belirli bir kavramsal yapı ve çerçeve çizmeye çalıģmıģtır. Sayı duyusunun çoğu niteliği onun sezgisel doğasına, aģamalı geliģimine ve belirtildiği bileģenlere (göstergelere) odaklanır. BileĢenler; sayıları zihinden hesaplarken esnek bir Ģekilde kullanmayı, sayıların büyüklüğünü ve iģlem sonuçların uygunluğunu yorumlamayı; sayı temsilleri ve ilgili sayılar arasında geçiģ yapmayı, sayısal durumlardan anlam çıkarmak için yapısını köke indirgemeyi içerir (Markovits ve Sowder, 1994). Reys ve Yang (1998) sayı duyusunun matematik öğrenmede anlamlandırmayı sağlayan bir yetenek olduğunu ve matematik eğitimcileri ve araģtırmacıları tarafından kabul görmüģ temel bileģenleri olduğundan bahsetmiģlerdir. Bu bileģenler; sayıların çoklu temsilleri, sayısal büyüklükleri fark etme, referans noktası seçme, sayıları ayrıģtırıp-birleģtirme, sayılar üzerinde iģlemlerin etkilerini fark etme, zihinsel hesap ve tahmindeki esneklik ve uygunluktur. Reys ve diğerleri (1999) ise çalıģmalarında sayı duyusu ile ilgili çeģitli göstergeler (bileģenler) hipotez etmiģlerdir. Bunlar; sayıları iyi anlamlandırma, çoklu sayısal iliģkilere hakim olma, iģlemlerin sayılar üzerindeki etkisinin

9 farkında olma, sayıların göreceli büyüklüklerini tanıma ve çevrelerindeki genel nesnelerin ve durumların ölçümü için referans noktası kullanabilmedir. Resnick in (1989) bu bileģenlere ek olarak, sayıların onluk yapısını kullanarak basit hesaplamalar yapmak, iģlemleri kolaylaģtırmak için sayıları parçalamak ve yeniden birleģtirmek, yeni bilgi elde etmek için referans noktası kullanmak (Örneğin, bilinen bir sayı gerçeğini kullanarak bilinmeyen bir gerçeği hesaplamak) bileģenlerini belirlediğini ifade etmiģlerdir. Bunlardan yola çıkarak çalıģmada sayı duyusu beģ temel bileģen altında toplanmıģ ve bu bileģenler örnek sorularla açıklanmıģtır. Bunlar: 1) Sayıların anlam ve büyüklüklerini anlama Örnek soru: 2/5 kesrini 1/2 kesri ile karşılaştırınız 2) Sayıların denk gösterimlerini kullanma Örnek soru: 2/5 kesrini farklı gösterim biçimleri ile gösteriniz 3) ĠĢlemlerin etkileri ve anlamları Örnek soru: 70 0,5 işlemi, 70 x 2 işlemine eşit midir? 4) Ölçmede kıyaslama (referans) noktası kullanma Örnek soru: Çok büyük bir nesnenin boyunu nasıl tahmin edebilirsiniz? Bir referans ölçümünden yararlanır mısınız? 5) Zihinden hesaplama ve yazılı hesaplama için sayma stratejilerinde ve hesaplamada esneklik Örnek soru: 6 x 98 işlemini zihinden çarpabilir misiniz? Berch (2005) öngörülen çeģitli sayı duyusu bileģenlerini bir araya getirerek 30 farklı bileģenden bahsetmiģtir. Bunlar aģağıdaki gibi belirlenmiģtir: 1. YaklaĢık değer ve tahmin yapma yeteneği, 2. Doğal sayıları parçalama yeteneği, 3. KarmaĢık problem çözmek için kullanıģlı stratejiler geliģtirme,

10 4. 10 luk sistemi anlayabilme ve aritmetiksel iģlemler arasındaki iliģkiyi fark etme, 5. Sayıların eģdeğer formlarını ve temsilcilerini anlamak ve kullanabilmek, 6. Sayısal büyüklüklerin benzer gösterimlerinin kullanılabildiği zihinsel sayı doğrusu, 7. Sayılarla ilgili akıcılık ve esnekliğe sahip olma, 8. Bir gruptaki nesneye kiģinin doğrudan bilgisi olmadan ekleme veya çıkarma olması durumunda, bu gruptaki küçük değiģikliği fark edebilme yeteneği, 9. Ġlköğretim yetenekleri veya sayılar ve aritmetikle ilgili sezgiler, 10. Sayısal büyüklükleri karģılaģtırma yeteneği, 11. ĠletiĢim, ilerleme ve bilgiyi yorumlamak için sayıları ve nicel metotları kullanma yeteneği, 12. Hesapların uygunluğu için çeģitli seviyelerde doğruluğun ve duyarlılığın farkındalığı, 13. Yeni bilgi ve önceden kazanılan bilgi arasındaki iliģkiyi arayarak, sayısal durumlara anlam katma isteği, 14. Sayılar üzerinde iģlemlerin etkileri bilgisine sahip olmak, 15. Sayıların anlamlarını anlama, 16. Sayılar arasındaki çoklu iliģkileri fark etme, 17. Sayı örüntülerini ve referans sayıları fark etme, 18. Sayısal hataları fark edebilme, 19. Gerçek dünyanın miktarları ve matematiksel dünyanın sayıları ve sayısal ifadeleri arasında sorunsuz taģıyabilme, 20. Sayısal iģlemleri yapabilmek için yeni yöntemler keģfetme,

11 21. Ġçeriğe ve temsil amacına bağlı olarak aynı değerleri çeģitli Ģekillerde gösterebilme, 22. Sayısal bir problem veya ifadenin genel bir özelliği hakkında -kesin bir hesaplama yapmadan- mantıklı bir Ģekilde düģünüp, konuģabilmek, 23. Sayılarla ilgili algoritmik olmayan bir his, 24. Matematiğin kesin bir düzene sahip olduğu ve sayıların kullanıģlı olduğuna iliģkin düģüncesini doğurur, 25. Bir kiģinin sayılar ve iģlemler arasındaki iliģkiyi anlamasını sağlayan iyi organize edilmiģ kavramsal bir ağ, 26. Matematiksel iliģkiler, ilkeler ve yöntemler arasındaki birçok bağlantıya dayanan kavramsal bir yapı, 27. Sayılar hakkında bir beceri ya da bir tür bilgiden ziyade içsel bir süreç, 28. Bilgi ve deneyimle birlikte geliģen ve olgunlaģan bir süreç, 29. Sayısal çokluların yaklaģık olarak iģlemek için ilgili sözsüz, evrimsel, doğuģtan gelen kapasite, 30. Gerçek dünyadaki nesneleri ölçerken, sayıları referans olarak kullanabilme. Yang ve Tsai (2010) çalıģmalarında sayı duyusunu aģağıdaki bileģenlerle tanımlamıģlardır: 1) Sayıların temel anlamlarını anlama: Tam sayıları içeren (tek, çift, asal sayılar) kesirler (basit, bileģik, karma kesir), ondalık kesirler ve aralarındaki iliģkileri anlama 2) Göreceli sayı büyüklüğünü anlama: Sayı büyüklüğünü yaklaģık olarak tahmin edebilmedir. Örneğin; 17/33 ve 18/37 kesir karģılaģtırırken müfredatta olduğu gibi ortak payda bulmaya gerek kalmadan karģılaģtırma yapabilmedir. Bunun için yarımı referans olarak kullanabilirler. 17/33 ün yarımdan büyük diğer kesrin yarımdan küçük olduğunu bularak karģılaģtırma yapabilir.

12 3)Sayıların farklı gösterimlerini kullanabilme: Farklı durumlar altında problemleri esnek ve uygun bir Ģekilde çözebilmek için bir öğrenci gösterimlerin farklı formlarını kullanabilir. Örneğin; resimsel gösterim, sembolik gösterim ve diğerleri 4) Sayılar üzerinde işlemlerin etkilerini fark edebilme: Örneğin bir öğrenci, 1098 0,88 (veya 825 0,98) iģlemlerinde yazılı hesaplama yapmadan bazı tahminler yapabilmeli yani çarpmanın daima sonucu büyütüp, bölmenin ise daima sonucu küçülttüğü fikrini fikrinin yanlıģ olduğunu fark edebilmelidir. 5) Hesapsal sonuçların uygunluğuna yargılayabilme becerisi: Problemleri çözmede esnek stratejiler (zihinsel veya tahmin stratejileri) geliģtirebilme ve iģlem sonuçlarının uygunluğunu yargılayabilme becerisidir. McIntosh ve diğerleri (1992) çalıģmalarında, temel sayı duyusunu karakterize eden bir model sunmuģlar ve sayı duyusunun varlığına iģaret eden yetenekleri sınıflandırarak açıklamıģlardır. Sayı duyusunun anahtar rol oynadığı üç farklı alan belirlemiģlerdir. Bunlar; 1)sayılarla ilgili bilgi ve yetenek, 2)işlemlerle ilgili bilgi ve yetenek, 3)sayılar ve işlemlerle ilgili bilgi ve yeteneği hesapsal durumlarda uygulayabilme bileģenleridir: 1) Sayılarla ilgili bilgi ve yetenek: Bu alandaki yetenekler dört alt gruba ayrılmıģtır: a) Sayıların düzeninin anlaşılması: Yani; basamak değeri, sayı tipleri arasındaki iliģkinin ve sayıların sıralanması özelliklerini anlamadır. Örneğin bir öğrenci 2/5 ve 3/5 arasında sonsuz tane sayı olduğunun bilincinde olması sayı sistemlerinin düzenliliğinin farkındalığını gösterir. b) Sayıların çoklu gösterimleri: Sayıları grafiksel veya sembolik olarak gösterimi, sayısal formların eģdeğer gösterimleri (sayıları ayrıģtırıp-birleģtirme), bir referans noktasıyla karģılaģtırma yapabilmedir. Örneğin 2+2+2+2 iģlemine 2x4 diyebilmek toplama ve çarpmayla ilgili kullanıģlı bir stratejidir. 30 dakikanın ½ saat olduğunu fark etme, 3/4=6/8 veya 3/4=% 75 veya 3/4=0,75 farklı sembolleģtirmeye örnektir. Sayıları ayrıģtırıp-birleģtirmeye örnek olarak ise 25+27 iģlemini, 25+25+2 olarak düģünüp 52 yanıtına ulaģmak gösterilebilir.

13 Referans noktasıyla karģılaģtırmaya örnek olarak; 5/8 kesri düģünüldüğünde, 5/8 in 1/2 den biraz fazla olduğunu veya 1/2 ve 3/4 arasında olduğunu söyleyebilmek gösterilebilir. Burada referans olarak 1/2 kesri düģünülmüģtür. c) Sayıların kesin ve göreceli büyüklüğünü fark etme: Örneğin 3. sınıfa giden bir öğrenciye 1000 e kadar saymak ne kadar zaman alırdı? veya 1000 günden fazla veya az yaģadığına dair bir yorum yapabilir misin? Sorularını sormak, onların bu sayının büyüklüğü ile ilgili daha iyi bir anlayıģ geliģtirmelerine yardım eder. d) Referans sistemi: Örneğin iki tane iki basamaklı sayının toplamının 200 den az olacağını, 0,98 in 1 e yakın olduğunu, 4/9 un yarımdan çok az küçük olduğunu farkında olmak bu kavramla ilgilidir. 2) ĠĢlemlerle ilgili bilgi ve yetenek: Bu alandaki yetenekler üç alt gruba ayrılmıģtır: a) İşlemlerin etkisini anlama: Örneğin çarpma iģleminin tekrarlı toplama iģlemi olduğunu anlama veya çarpma iģleminin her zaman bir sayıyı büyütmeyeceğini, 1 den küçük iki sayının çarpıldığında sonucun nasıl değiģeceğini veya 1 den büyük bir sayı ile 1 den küçük bir sayı çarpıldığında sonucun ne olacağını fark etmedir. b) Matematiksel özellikleri anlama: Bu özellikler matematik programında uzun süre yer alan değiģme, birleģme ve dağılma özellikleridir. c) İşlemler arasındaki ilişkileri anlama: Örneğin; 8 tane üçtekerli bisiklette kaç tane tekerlek vardır? sorusunda öğrenciler teker teker sayma yöntemini kullanabilir, 3+3+3+3+3+3+3+3 Ģeklinde tekrarlı toplama yapabilir, iki bisikleti bir grup yapıp gruplayarak toplayabilirler (6+6+6+6) veya çarpma yapabilirler (8x3 veya 4x6). ĠĢlemlerin arasındaki ters etkiyi fark etme de iģlemlerle ilgili önemli bir kavramdır. Örneğin 480/8 iģleminde bir öğrenci 8x?=480 olarak tersten düģünebilmelidir. ĠĢlemler arası iliģkiyi fark etme bilinen sayı çeģitleri tam sayılardan ondalık sayılara doğru arttıkça daha da önem kazanır. Örneğin bir sayıyı 0,1 ile çarpmanın, o sayının 10 a bölünmesi olduğunun fark edilmesi çarpma ve bölme arasındaki iliģkilerdendir.

14 3) Sayılar ve iģlemlerle ilgili bilgi ve yeteneği hesapsal durumlarda uygulayabilme: Bu alandaki yetenekler dört alt gruba ayrılmıģtır: a) Problem durumları ve gerekli hesaplama arasındaki ilişkiyi anlama: Sayı duyusuna sahip bir öğrenci verilerin tam ve yaklaģık değerlerinin farkında olması ve çözümlerin de aynı Ģekilde kesin sonuç veya yaklaģık sonuç olabileceğinin farkında olmalıdır. Örneğin, AyĢe, 2,88 TL elma için, 2,38 TL muz için ve 3,76 TL muz için ödemiģtir. Bu cümle üzerinden çok farklı sorular çıkabilir. Örneğin, AyĢe bu meyveleri almak için kaç TL para vermiģtir? Ģeklinde sorulursa tam sonucun bulunması için fiyatların toplanması gerekir ve farklı hesapsal metotlar kullanılabilir (zihinsel hesap, hesap makinesi, yazılı hesaplama). Diğer bir taraftan soru AyĢe bu meyvelerin fiyatını 10 TL ile ödeyebilir mi? Ģeklinde sorulduğunda ise daha hızlı ve emin bir Ģeklide tahmin yapılarak 10 TL nin yeterli olduğu kararı verilebilir. b) Çoklu stratejilerin varlığının farkındalığı: Sayı duyusu, bir problem verildiğinde çözüm için sık sık var olan farklı çözüm stratejilerinin farkında olmayı ve en etkili stratejiyi seçebilmeyi gerektirir. c) Etkili temsil veya metotları kullanma eğilimi: Bu yetenek etkili sayı veya sayıları seçme, zihinsel hesaplama ve kâğıt-kalem hesabı gibi çeģitli yöntemlerdeki yetenekleri kapsar. Örneğin, yetenekli bir ikinci sınıf öğrencisine, 8+7 iģlemi sorulduğunda, iki 7 nin 14 olduğunu düģünerek, sayıları 7+7+1 Ģeklinde veya 8+2=10 olduğunu düģünerek 8+2+5 Ģeklinde ayrıģtırmayı seçmek yerine teker teker sayma stratejisini tercih eder. d) Sonucu veya veriyi yeniden inceleme eğilimi: Sayı duyusu olan öğrenciler, problem durumu için bir çözüm ürettiklerinde, buldukları yanıtın anlamlı olup olmadığını düģünmek için yanıtlarını orijinal problem ıģığında tekrar test ederler. Greeno (1991) sayı duyusu için teorik bir analiz yaparak, sayı duyusunu üç temel bileģen altında toplamıģtır. Bu bileģenler; 1) esnek sayısal hesaplama, 2) sayısal tahmin ve 3) niceliksel muhakeme ve çıkarım bileģenleridir.

15 1) Esnek sayısal hesaplama: Bu bileģen; nesneler arasındaki eģdeğerliği fark edip, nesneleri tekrar oluģturup, yeniden düzenleyebilme olarak açıklanmıģtır. Örnek olarak; 25x48 iģleminde, 100/4x48, 100x48/4 ve 100x12=1200 iģlemini yapabilmek kâğıt-kalem kullanarak iģlemini yapmak yerine, problemi daha pratik iģlem yapmayı sağlayacak bir eģdeğerine dönüģtürmek daha üst düzey bir sayı duyusu seviyesi olduğu belirtilmiģtir. 2) Sayısal tahmin: Çözümün farklı seviyelerindeki nesnelerin farkındalığı, nedenselliği ve hesaplamanın içinde yaklaģık sayısal değerlerin fark edilmesini içerir. Örneğin; (347x6)/43 iģleminde 9. sınıf öğrencileri Ġlk olarak 6/43 iģleminin yaparım yaklaģık olarak yanıt 7 eder ve daha sonra 350 yi 7 ye bölerim ve sonuç yaklaģık olarak 50 olur yanıtını vermiģlerdir. 3) Niceliksel muhakeme ve çıkarım: Niceliksel duyu, aynı zamanda çözümün farklı seviyelerinde nedenselliği ve farkındalığı içerir. Buna örnek olarak 1128 asker, her bir otobüs 36 kiģiyi alacak Ģekilde taģınacaktır. Tüm askerlerin taģınması için ne kadar otobüs olması gerekir? sorusu sorulduğunda alınan yanıt 31 otobüs, geriye 12 kalıyor verilmiģtir. Öğrenciler burada sayıların ne anlama geldiğini düģünmeden direkt olarak aritmetik iģleme odaklanmıģlardır. Yanıtın anlamı görmezden gelinip doğrudan niceliğin sayısal değerine bakılmıģtır. Görüldüğü gibi, sayı duyusu tanımını belirlemede olduğu gibi, sayı duyusunun bileģenlerini belirleme konusunda da araģtırmacılar ortak bir yapı üzerinde birleģememiģlerdir. (Greeno, 1991; Markovits ve Sowder, 1994; McIntosh ve diğerleri, 1992; Reys ve diğerleri, 1999; Sowder ve Schappelle, 1989). Bunun sebebi olarak, sayı duyusu için belirlenen her bir bileģen için literatürde yeterince örnek bulunmaması, bundan dolayı benzer yeteneklerin ve davranıģların farklı bir bileģen olarak adlandırılması gösterilebilir. Literatürde, sayı duyusunun varlığına iģaret eden bir yeteneğin, birden çok bileģen adıyla tanımlandığı durumlarla karģılaģılmaktadır.

16 1.3 Sayı Duyusu ve Okul Matematik Programı GeçmiĢte aritmetik; çarpım tabloları, sayıların dört temel kuralı (yazılı olarak formal metotlarla hesaplanması beklenen toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) olarak düģünülmüģ ve uzun bir süredir aritmetiğin anlamı, anlamlandırmaya bakılmaksızın standart algoritmalardaki performansla sınırlandırılmıģtır. Bugünkü toplumda, Ģimdiye kadar kabul görmüģ sayılarla ilgili bu pratiklerin öğrencileri geliģen teknolojik toplumda hayata hazırlamadığı ve öğretme yöntemlerinin sayılar ve iģlemlerin mantıksal yapısının altını çizen bir anlayıģa odaklanılmasının gerekli olduğu Ģeklinde genel bir kabul bulunmaktadır. Yazılı hesaplamanın nasıl yapıldığına ağırlık vermekten ziyade, çocukların zihinsel hesaplama yapmaya, örüntüleri gözlemlemeye, iģlem sonuçlarını tahmin etmeye ve fark edilen iliģkiler hakkında yorum yapmaya cesaretlendirilmesi gerekir. Matematik müfredatındaki reformlar, hesaplama için standart yöntemlerin öğretiminden, örüntüler ve iliģkileri gözlemlemeye, iliģkiler kurmaya ve böylece çocukların sayılarla ilgili bir his ve içgörü geliģtirmelerine geçiģ yapılmasına yol açmıģtır (Anghileri, 2001a; akt: Anghileri, 2006). Hesaplama için stratejilerdeki yaratıcılık ve esneklik olarak tanımlanan ve düģünmeden yoksun hesapsal yöntemlere yapılan aģırı vurguya bir tepki olarak kullanılan sayı duyusu reform belgelerinde sıklıkla kullanılmıģtır. Müfredat reformları, dünya çapında geniģ bir alana yayılmıģ ve Amerika nın okul matematiği için ilkeler ve standartları (NCTM, 2000) ve Avusturalya nın Avusturalya okulları için matematikteki ulusal bildirisi (Avusturalya Eğitim Konseyi, 2001) tarafından simgelenmiģtir. Bu iki bildiride de sayı duyusu okul müfredatının önemli temel öğesi olarak tanımlanmıģtır. Sayı duyusu, sadece anlayıģın geliģmesine değil, aynı zamanda eski müfredatlarda eksik olan matematiğe karģı pozitif tavır ve güvenin beslenmesine karģılık gelir (Anghileri, 2006). Dünya genelinde, okul müfredatlarında sayı duyusunun önemine yapılan vurgu, ülkemizdeki matematik öğretim programı değiģikliklerine de yansımıģtır. Programda doğrudan sayı duyusundan bahsedilmemekle birlikte, programın

17 belirlediği hedefler ve amaçlar incelendiğinde sayı duyusu ve sayı duyusunun geliģimine verilen önem göze çarpmaktadır. Yenilenen ilköğretim matematik programında, günlük yaģamda matematiği kullanabilme ve anlayabilme gereksiniminin önem kazanmakta ve sürekli artmakta olduğu, günlük yaģamdaki değiģimlerle birlikte matematiğin ve matematik eğitiminin belirlenen ihtiyaçlar doğrultusunda yeniden tanımlanması ve gözden geçirilmesi gerektiği belirtilmiģtir. Önceden kâğıt-kalem ile yapmak zorunda kalınan ve günlük yaģamda ihtiyaç duyulan pek çok hesaplamanın artık hesap makineleri ile daha kolay yapılabildiği ve bu değiģimin doğal sonucu olarak, matematik eğitiminde kâğıt-kalem ile yapılan hesaplamaların öneminin azalırken; tahmin edebilme, problem çözme gibi becerilerin önem kazandığı belirtilmiģtir (Milli Eğitim Bakanlığı [MEB], 2009). Programda matematik eğitiminin genel amaçları arasında; 1. Matematiksel kavramları ve sistemleri anlayabilme, bunlar arasında iliģkiler kurabilme, bu kavram ve sistemleri günlük hayatta ve diğer öğrenme alanlarında kullanabilme, 2. Matematikte veya diğer alanlarda ileri bir eğitim alabilmek için gerekli matematiksel bilgi ve becerileri kazanabilme, 3. Tahmin etme ve zihinden iģlem yapma becerilerini etkin kullanabilme, 4. Model kurabilme ve modelleri sözel ve matematiksel ifadelerle iliģkilendirebilme, 5. Matematiksel düģüncelerini mantıklı bir Ģekilde açıklamak ve paylaģmak için matematiksel terminoloji ve dili doğru kullanabilme yer almaktadır (MEB, 2009; s. 9). Öğrencilere matematik bilgisinin temellerinin atıldığı erken sınıflarda temel amaç, matematiksel algoritmalar ve yöntemler ezberlemek dıģında, öğrencilerin bazı eleģtirel ve yaratıcı düģünceler üretmesini sağlayabilmek olmalıdır. Buna verilen önem, yenilenen programın amaçlarına bakıldığında

18 göze çarpmaktadır. Bu amaçlara bakıldığında genel olarak; matematik eğitiminde asıl amacın okulda öğrenilen matematiksel bilgileri, günlük hayatta farklı disiplinlerle iliģkilendirip karģılaģılan bazı sorunlara çözüm üretebilmede kullanmanın ve matematikte öğrenilen iģlemlerde önemli olanın bir hesap makinesi gibi iģlem yapmaktan ziyade tahmin ve zihinsel iģlem yapma becerilerinin geliģtirilmesinin asıl amaç olduğu görülür. Bu doğrultuda, okuldaki matematik eğitiminde bahsedilen amaçlara ulaģabilmek için Ģüphesiz ki öğrencilere sayı duyusunun kazandırılması gerekir; çünkü belirlenen amaçların bazıları doğrudan bazıları ise dolaylı olarak sayı duyusuyla iliģkilidir. Programda kâğıt-kalemle yapılan hesap yerine tahmin yapabilme becerisine önem verilmesi de öğrencilerin sayı duyusunun geliģmesine önem verildiğinin bir göstergesidir. Programda öğrencilerin iletiģim becerilerinin geliģtirilmesine de önem verilmiģ ve bunun için bazı kazanımlar belirlenmiģtir. Bunlar arasında; matematiğin sembol ve terimlerini etkili ve doğru kullanma; matematiksel kavramları, iģlemleri ve durumları farklı temsil biçimlerini kullanarak ifade etme; duygu ve düģüncelerini açıklarken farklı temsil biçimlerinden yararlanma; matematiğin aralarında anlamlı iliģkiler bulunan, kendine özgü sembolleri ve terminolojisi olan bir dil olduğunu fark etme yer almaktadır (MEB, 2009). Bu kazanımların, sayılar öğrenme alanı ve sayı duyusu açısından önemli olduğu, aynı zamanda bunlarla doğrudan iliģkili olduğu söylenebilir. Örneğin; üslü ifadeler konusu ele alındığında öğrencinin üslü ifade kavramını anlayabilmesi için öncelikle üslü gösterimin ne anlama geldiğini fark etmesi gerekir. Taban ve üssün ne anlama geldiğini, üssün tabana ne gibi bir etkisi olduğunu bilme tamamen sembolik gösterimle ilgilidir ve bu gösterim öğrenilmeden üslü ifade kavramının bir öğrencide geliģmesi ve bu ifadelerle yapılan iģlemlerin öğrenilmesi çok güçtür. Farklı temsil biçimlerinden yaralanma ise sayıların farklı gösterimi olarak düģünüldüğünde sayı duyusunun birçok araģtırmacı tarafından belirlenen ve araģtırmalarda incelenen sayı duyusunun önemli bileģenlerinden birisidir (Berch, 2005; Reys ve diğerleri, 1999; Yang, Li ve Lin, 2008). Programda; öğrencilerin, aynı niceliğin farklı temsil biçimlerinin olumlu veya olumsuz yönlerinin farkında olması gerektiği belirtilmiģ ve buna örnek olarak; öğrencilerin % 25, 0,25, 1/4 veya 25/100 in aynı sayının farklı gösterimleri

19 olduğunu bilmesi ve hangi gösterimin hangi durumda kullanımının daha uygun olduğuna karar verebilmesi gerektiği belirtilmiģtir (MEB, 2009). Programda öğrencilerin bazı alana özgü beceriler kazanmaları beklenmektedir. Bunlar; problem çözme, iletiģim, akıl yürütme, tahmin stratejileri ve iliģkilendirmedir. Tahmin çeģitleri ve stratejileri üzerinde programda ayrıntılarıyla durulmuģtur. Tahmin stratejisi, iģlemsel ve ölçmeye dayalı tahmin olmak üzere iki gruba ayrılmıģtır. ĠĢlemsel tahmin için de yuvarlama, gruplandırma, uyuģan sayıları kullanma, ilk ve son basamakları kullanma, özel sayılar, dağılma, düzenleme ve düzeltme olarak farklı yöntemler tanıtılmıģtır (MEB, 2009). Görüldüğü gibi programda doğrudan sayı duyusundan bahsedilmemesine rağmen, sayı duyusunun göstergeleri olarak kabul edilen yeteneklerin üzerinde durulmuģtur. 1.4 Ġlköğretim Matematik Programında Üslü ifadeler Bir sayının pozitif ve negatif kuvvetlerini anlama, doğal sayıları ve ondalık kesirleri çözümlemek için 10 un negatif ve pozitif kuvvetlerini kullanma, çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları göstermede bilimsel gösterimden yararlanma programın üslü ifadelerle ilgili olan hedefleridir (MEB, 2009). Programda, üslü ifadeler konusuna 6, 7 ve 8. sınıfta yer verilmiģtir. MEB (2009) programında, 8. sınıflar için üslü ifadelerle ilgili dört kazanım yer almaktadır. Bunlar: Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder, Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü olarak yazar ve değerini belirler, Üslü ifadelerle çarpma ve bölme iģlemlerini yapar, Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder (s. 290).

20 Programda sekizinci sınıflar için, bir tam sayının negatif kuvvetinin ne anlama geldiğini göstermek için örüntülerden yararlanılan bir etkinlik gösterilmiģtir (MEB, 2009). ġekil 1.1. Sekizinci sınıf programındaki negatif kuvveti bulma ile ilgili etkinlik ġekil 1.1 de görüldüğü gibi bu etkinlikte öğrencilerden örüntüden yararlanarak bir tam sayının negatif kuvvetini keģfetmeleri beklenmektedir. Üslü ifadelerde çarpma iģleminin kuralını öğrencilere keģfettirmek için ise aģağıda belirtilen etkinlik önerilmiģtir: Öğrenciler, 6 2 nin ve 6 4 ün değerlerini, 36 1296 çarpma iģleminin sonucunu bulurlar. Daha sonra 6 6 nın değerini de bularak yaptıkları son iki iģlemin sonucunu karģılaģtırırlar. 6 2.6 4 =6 6 eģitliğine dikkat ederek iki üslü ifadenin çarpma iģlemiyle ilgili kuralı bulurlar (MEB, 2009; s. 296). 7. sınıfta ise üslü ifadelerle, cebir öğrenme alanı, örüntüler ve iliģkiler alt öğrenme alanında karģılaģılmaktadır. Kazanım olarak; Tam sayıların kendileri ile tekrarlı çarpımını üslü nicelik olarak ifade eder (s. 279) belirlenmiģtir. Etkinlik olarak ise; öğrencilere bir tam sayı seçtirilip, bu sayının pozitif kuvvetleri hesaplatılmıģtır. Etkinlikte sayı negatif olduğunda hangi durumlarda sonucun pozitif, hangi durumlarda negatif olduğunun da öğrencilerin keģfetmeleri beklenmektedir (MEB, 2009). 6. sınıfta ise aynı Ģekilde cebir öğrenme alanı, örüntüler ve iliģkiler alt öğrenme alanında; Doğal sayıların kendisiyle tekrarlı çarpımını üslü nicelik

21 olarak ifade eder ve üslü niceliklerin değerini belirler. Ģeklinde kazanım yer almaktadır (MEB, 2009; s. 207). AĢağıdaki etkinlik bu kazanım için önerilmiģtir: Öğrencilere birer kâğıt Ģerit dağıtılır. Makas ile kâğıt Ģeridi ortadan ikiye kesmeleri, oluģan eģ parçaların her birini tekrar ikiye kesmeleri ve bu iģlemi devam ettirmeleri istenir. Kesme sıra numarasını ve kesme sonucunda oluģan parça sayısını tablonun ilgili satırlarına yazmaları sağlanır. Tablodaki sayılar incelenerek oluģan parça sayısındaki düzen fark ettirilir. Bu düzen üslü biçimde ifade ettirilir (s. 207). Kesme sıra numarası OluĢan parça sayısı Kendisiyle tekrarlı çarpımı Sayının üslü gösterimi 1 2 2 2 1 2 4 2 x 2 2 2 3 8 2 x 2 x 2 2 3 4 16 2 x 2 x 2 x 2 2 4 n n tane 2 x 2 x x 2 n tane 2 n ġekil 1.2. Altıncı sınıf programındaki üslü ifadelerle ilgili etkinlik ġekil 1.2 de görüldüğü gibi bu etkinlikte her bir kesmede oluģan parça sayısı bir öncekinin iki katı olduğundan, öğrencilerin tabloyu doldurduklarında oluģan parça sayılarının 2 nin kuvvetleri olduğunu fark etmeleri ve adım sayısını genelleyerek oluģan parça sayısını, 2 n Ģeklinde üslü olarak ifade edebilmeleri gerekir.

22 6. sınıflar için baģka bir etkinlikte ise; hesap makinesindeki x 2 ve x y tuģlarının iģlevlerini öğrenmek için bu tuģları kullanılarak değiģik sayıların değiģik kuvvetlerini bulma etkinliklerinin yaptırılması önerilmiģtir. Bunun dıģında 10 un kuvvetlerinin öğrencilere fark ettirilip,10 sayısının kuvvetine göre sayının sonunda kaç tane sıfır olması gerektiğinin öğrencilerin keģfetmesi istenmiģtir (MEB, 2009). 2013 yılı Ģubat ayında, değiģen sistemle birlikte, 5-8 arası sınıflar için ortaokul matematik müfredatı yayınlanmıģtır (MEB, 2013). Bu yeni programda üslü ifadelerle ilgili bazı küçük değiģikler yapılmıģtır. Üslü ifadelere yönelik tüm kazanımlar öncekinden farklı olarak sayılar ve iģlemler öğrenme alanına alınmıģtır. Yayınlanan programda sadece öğrenme alanı ve kazanımlar açıklanırken, bunlarla ilgili etkinliklere eski programdaki gibi ayrıntılı olarak yer verilmemiģtir. 5. sınıfta sayılar ve iģlemler öğrenme alanında üslü ifadelerle ilgili Bir doğal sayının karesi ve küpünü üslü olarak gösterir; değerini bulur (s. 4) kazanımına yer verilmiģtir. 6. sınıfta ise üslü ifadeler, sayılar ve iģlemler öğrenme alanında, doğal sayılar ve iģlemler alt öğrenme alanında Bir doğal sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını üslü nicelik olarak ifade eder ve üslü niceliklerin değerini belirler (s. 13) kazanımı yer almaktadır. 7. sınıfta ise sayılar ve iģlemler öğrenme alanında üslü ifadelerin Tam sayıların kendileri ile tekrarlı çarpımını üslü nicelik olarak ifade eder (s. 25) kazanımıyla öğrencilere tabanın negatif tam sayı olduğu durumlarda, kuvvetin tek ve çift olmasına göre üslü ifadenin değerinin nasıl değiģtiğinin fark ettirilmesi beklenmektedir. 8. sınıfta sayılar ve iģlemler öğrenme alanında, çarpanlar ve katlar alt öğrenme alanında üslü ifadelere yönelik Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulur; pozitif tam sayıları üslü ifade ya da üslü ifadelerin çarpımı Ģeklinde yazar kazanımı yer almaktadır. Bununla ilgili 288=25.32 Ģeklinde bir pozitif tam sayının asal çarpanlarını bulmaya yönelik çalıģmalara yer verilmiģtir.