KILAVUZ SORU ÇÖZÜMLERİ Matematik

Transkript

1 9. Çarpanlar ve Katlar b Dikdörtgenin alanı 4 cm olduğuna göre, kısa ve uzun kenarının çarpımı 4 cm 'dir. a. b = 4 a 6. Asal Çarpanlar A B C D E Yukarıda verilen asal çarpanlara ayırma işleminin son satırında E sayısı 7'ye bölünerek sonuç bulunmuştur. Bu nedenle E sayısının değeri 7'dir. 7 E= 7 a ve b'nin tam sayı olduğu sorunun içerisinde belirtilmiş 4'ün çarpanları 4 a. b = şeklindedir. Dikdörtgenin çevresinin en fazla olmasını istiyorsak a ve b 'ye birbirine en uzak olan değerler olan ve 4 değerlerini veririz. D sayısı 'e bölünerek E sayısı yani 7 bulunmuştur. Bu nedenle D sayısı; D= 7. = D= bulunur. C sayısı 'e bölünerek D sayısı yani bulunmuş. Bu nedenle C sayısı; C=. = 0 C= 0 bulunur. cm B sayısı 'ye bölünerek C sayısı yani 0 bulunmuş. Bu nedenle B sayısı; B= 0. = 0 B= 0 bulunur. 4 cm Çevre =. (a + b) =.( + 4) = 0 cm Doğru yanıt A seçeneğidir. A sayısı 'ye bölünerek B sayısı yani 0 bulunmuş. Bu nedenle A sayısı; A= 0. = 40 A= 40 bulunur. A + B + C + D + E = = 777

2 Bir Sayıyı Üslü Biçimde İfade Etme Ebob sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli EBOB (0, 40) EBOB (0, 40) = 4. = şeklindedir. 70 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli.. 7 şeklindedir sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli I. öncül doğrudur. EBOB(0, 90) EBOB(0, 90) =.. = 0 II. öncül doğrudur. EBOB (80, 40) şeklindedir. 9 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli. şeklindedir sayısı dışında tüm sayıların üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazılışı verilmiştir. EBOB (80, 40) =.. = 60 III. öncül doğrudur. EBOB (70,80) EBOB (70, 80) =.. = 90 IV. öncül yanlıştır.

3 Ekok 4. I numaralı kutuya yazılacak sayı 4 ve 60 sayısının EKOK'una eşittir IV numaralı kutuya yazılacak sayı 90 ve 80'in EKOK'una eşittir EKOK (90,80) = 4.. EKOK (4, 60) =.. A seçeneği doğrudur. = = 80 D seçeneği doğrudur. = = 70 II numaralı kutuya yazılacak. Sayı 4 ve 80 sayısının EKOK'una eşittir EBOB - EKOK KARMA EKOK (4,80) = 4.. B seçeneği doğrudur. = = 70 III numaralı kutuya yazılacak sayı 90 ve 60 sayılarının EKOK'una eşittir EBOB (00, 6) =. = 6 A seçeneği doğrudur. 7 EKOK (00, 6) =... 7 = 600 B seçeneği doğrudur. EKOK (90, 60) =.. = 80 C seçeneği yanlıştır. 4 sayısı 00 sayısının bölenidir. Ancak 6 sayısının böleni değildir. C seçeneği yanlıştır. Sayıların EBOB'u. olduğuna göre ortak asal bölenleri ve 'tür.

4 ?. EBOB Problemleri Bahçe 4 m EKOK Problemleri A seçeneğinde kartonun etrafına çizilecek çizgilerin arasındaki mesafenin eşit ve en fazla olabilmesi için 0 ve 4 sayılarının EBOB'u bulunur. 0 cm Bahçenin etrafına dikilecek ağaçların arasındaki mesafenin en fazla olması istenmektedir. Bu nedenle dikilecek ağaçlar arasındaki mesafenin her iki sayıyı birlikte bölebilen en büyük sayı yani iki sayının EBOB'u olmalıdır B seçeneğinde bahsedilen kare şeklindeki odanın, fayansların kenar uzunluğu olan 0 cm ve 4 cm'nin ortak katı olmalıdır. Odanın kenar uzunluğunun en az olması istendiğinden en küçük ortak kat yani EKOK bulunmalıdır. C seçeneğinde Ahmet bilyelerini onarlı ve on beşerli gruplara ayırabildiğine göre, Ahmet'in bilyelerinin sayısı 0 ve 'in katıdır. Bilyelerin en az kaç tane olduğu sorulduğundan 0 ve 'in en küçük ortak katı yani EKOK'u bulunur. 0 L ve 4 L meyve suyunu dolduracağımız en büyük hacimli şişeler 0 ve 4'in EBOB'U kadar olmalıdır. EBOB(0, 4) =. = 6 Ağaçlar arasındaki mesafe 6 cm olmalıdır. toplamda 8 ağaç gereklidir. 6 cm 6 cm Bahçe 6 cm 6 cm 6 cm 6 cm 6 cm 6 cm 6 cm 4 cm Aralarında Asal Sayılar Asal sayılar bir ve kendisinden başka böleni olmayan sayılardır. Aralarında asal sayılar ise 'den başka ortak böleni olmayan sayılardır. İki farklı asal sayı aynı zamanda aralarında asaldır. Örneğin ile 7 veya ile 7 gibi bu nedenle I. öncül doğrudur. Aralarında asal sayıların 'den başka böleni yoktur. Bu nedenle II. öncül doğrudur. III. öncül doğrudur çünkü ve sayıları aralarında asaldır. Bu sayıların birisi tek diğeri ise çift sayıdır. IV. öncül yanlıştır. Sayıların ikiside çift olursa sayılar ortak olarak 'ye bölünebilir.

5 Aralarında Asal Sayıların Ebob ve Ekokları A seçeneğinde x yerine, y yerine sayısı yazıldığında ifade yanlış olur. B seçeneğindeki ifade tamamen yanlıştır. Aralarında asal sayıların EBOB'u 'dir. Dolayısıyla aralarında asal sayıların çarpımları ekoklarına eşit olur. Bu nedenle C seçeneği doğrudur. D seçeneğinde x yerine, y yerine sayısı yazıldığında ifade yanlış olur. Pozitif Üs = eşitliğinden a = olur ve a= 'dir. 4 = 7 eşitliğinden 7 b = 7 olur ve b= 'tür. b a ifadesi = 9 olur. Doğru yanıt A seçeneğidir. Pozitif Sayıların Negatif Kuvvetleri 8. Sayının üssü negatif ise sayı ters çevrilerek üssü pozitif yapılır. I. sayısı ( ) şeklinde yazılabilir negatif kuvvette tabandaki sayı ters çevrilerek üssü pozitif yapılabilir. Yani ( ) = ( ) şeklinde yazılabilir. Üslü Sayılar Üslü Biçimde İfade Etme = 8 4 olduğu için x = 8 ve y= 4.. = olduğu için a= ve b= A) x a = 8 olur. x a = doğrudur. B) y a = 4 olur. y a = doğrudur. C) b x = 8 olur. b x = doğrudur. D) y a = 4 olur. y a = yanlış olur. 8 tane ( ) =.. = 7 I. öncül doğrudur. II. 4 sayısında ( 4 ) = ( 4 ) olur. ( 4 ) = 4. 4 = olduğundan, II. öncülün 6 4 = yanlış olduğu görülür. 8 III. Farklı bir tarzda çözümlemek gerekirse a = a veya b = b olduğundan 6 = = III. öncül yanlıştır IV. 9 = = olduğundan IV. öncülde 9 8 doğrudur.

6 Negatif Sayıların Kuvvetleri Çözümleme. 60,0 sayısını çözümlersek 6. Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetlerinin negatif olduğunu hatırlayalım. ( ) çift = + ve ( ) tek = Fakat; ( ) = + 9 iken = 9 olduğunu unutmayalım incelemek gerekirse ( ) = ( ).( ); kuvvetimiz parantezin üstünde olduğundan parantezli bir şekilde ( )'ü almalıyız. =. için ise kuvvetimiz sadece sayının 'ün üstünde olduğundan, işaretimiz işlemin başında kalır sayımız ise kendisiyle tekrarlı kuvveti kadar çarpılır. 60,0 = 6 x 00 + x x + 0 x 0, + x 0, 0 = 6 x 0 + x 0 + x 0 olduğu görülür. 60,0 = (6.0 x ) + (.0 y ) + (.0 z ) x=, y= ve z= yerlerine koyarsak A= ifadesini çözümleyebiliriz. Düzenlediğimizde; A= elde edilir. Buradan; A= ,0 = 0,0 0,0 ifadesini elde ederiz. A) ( 8) = ( 8). ( 8) = + 64 görüldüğü gibi kuvvetimiz çift olduğundan sonuç pozitif çıktı. A seçeneği yanlıştır. B) ( ) kuvvetimiz tek sayı olduğundan sonucun negatif olması gerekir. ( ) B seçeneği yanlıştır. C) ( 4) kuvvetimiz tek olduğundan sonuç negatiftir.şimdi inceleyelim. ( 4) = ( 4).( 4).( 4)= 64 C seçeneği doğrudur. D) ( ) kuvvetimiz tek sonuç negatif olmalı fakat incelediğimiz ( ) = ( ) negatif kuvvet özelliği uygulanır. D seçeneği yanlış olduğu anlaşılır. Üslü İfadelerle İlgili Temel Kurallar Çarpma 0. Bir örnek ile incelersek. = (.. ). (. ) 'nin kere tekrarlı çarpımını görürüz.. = (üslerin toplandığını anlayabiliriz.) Burada bir kaç örnek ile. = + = 4. 4 = 4 +( ) = 4 olur. a x. a y = a x+y denilebilir. Şimdi verilen seçenekleri incelersek A). = +( ) = doğrudur. B) 4. = ( 4)+( ) = 6 doğrudur. C) 4. = 4+ = 6 olduğundan C seçeneği yanlıştır. D) ( ) 4.( ) = ( ) 4+ =( ) 6 doğrudur.

7 Çarpma 0. a x.b x = (a. b) x bir örnek ile inceleyelim.. =... =. = olduğundan. =(.) = diyebiliriz. Tabanları farklı üsleri aynı sayılar çarpılırken tabanlar çarpılır, ortak üs ise çarpıma üs olarak yazılır. a x.b x = (a.b) x olur Şimdi öncüllerimizi inceleyelim. I. x. x = (.) x = x doğrudur. Bölme 9. I. öncülümüzü incelersek; 9 : = 9 = = 7 olur. Tabanları aynı üslü sayıları bölerken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır, bulunan sonuç tabana üs olarak yazılır. a x a = y ax y I. öncülümüzü incelerkende gördüğümüz gibi 9 = 9 = 7 doğrudur. II. 7 k. k = (7.) k = k olduğundan II. öncülümüz yanlıştır. II. = ( ) ( ) = + = olması gerekir. III. a. a = (.) a = 6 a doğrudur. IV. 4 y = (.) y = y. y 4 y = (.8) y = y. 8 y veya 4 y =(4.6) y = 4 y.6 y olabilir. Bu yüzden 4 y = 4 y.8 y IV. öncülümüz yanlıştır. V. b = (.6) b = b.6 b veya b = (.4) b = b.4 b verilen öncülümüzün doğru olduğunu görürüz. : = yanlıştır. III. 6 = 6 = 4 olması gerekir. 6 : = 4 yanlıştır. IV. = 4 ( ) ( 4) = +4 = doğrudur. II. ve IV öncüller yanlıştır.

8 9. 6 x = 8 eşitliğinde içler dışlar çarpımı yaparsak Negatif Üs 6 x. 6 6 = 8. 8 eşitliğini elde ederiz. Tabanlar aynı ise Üsler aynı ise üsler toplanır. tabanlar çarpılır. (a x.a y = a x+y ) (a x.b x = (a.b) x ) 6 x+6 = (.) 8 6 x+6 = 6 8 eşitliğinde üsler aynı olmak zorundadır. x + 6 = 8 x= olur. 0. Tabanlarımız; ve kuvvet (üs)'lerimiz; 4, ve olacağından I. öncülümüz II. öncülümüz III. öncülümüz 4 IV. öncülümüz B) seçeneği yanlıştır. Bir bilgimizi daha hatırlayarak seçenekleri inceleyelim. Tabanları farklı, üsleri aynı olan sayıları bölerken tabanlar bölünür, ortak üs bölümün üssü olarak yazılır. a x b = ( a x b )x ; (a 0, b 0) 6 x A) = ( 6 x )x = X ; ( x=, bulunmuştur) x = = 4 doğrudur. x B) 4 = ( x 4 )x = X ; x = = 9 B seçeneği yanlıştır. C) x = ( x )x = X ; x = = 9 doğrudur. D) 9 x 6 x = ( 9 6 )x = ( )x ; ( )x = ( ) = 9 4 doğrudur. Negatif üs mantığını anlamaya çalışalım. =.. =. = = Her adımda sonucun 'e 0 = = =. = = bölündüğüni görebiliyoruz. Her adımda 'e bölmeye devam ediyoruz.

9 Üslü İfadenin Üssü O. Kuvvet 9. I. öncül için 6. 6 = Bir örnek ile inceleyelim. ( ) = ( ). ( ). ( ) (En dıştaki kuvvetimiz 'ü kullandık.) = ++ (Tabanlar aynı ise üsler toplanır.) a x.a y = a x+y ) = 6 ( ) = 6 olduğunu gördük. Bir üslü sayının üssü alınırken üsler çarpılır. (a x ) y =a x.y Üslü sayılar çarpılırken tabanlar aynı ise üsler toplanır. I adım doğrudur. II. öncül için 68 8 = 8 üslü sayılar bölünürken üsler aynı ise tabanları bölünür. II adım doğrudur. III. öncül için 8. 6 = I. öncülde olduğu gibi doğru yapılmıştır. IV. öncül için ( ) 0 = 4 0 = olması gerekirken yanlış sonuç bulunmuştur. B) işleminin sonucunu yanlış bulmuştur. DİKKAT!!! Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif ( ) çift = + Negatif bir sayının tek kuvveti negatif ( ) tek = olur. ( ) 4 = parantezin dışındaki çift kuvvet sonucu (+) pozitif hâle getirdi. ( 4 ) = parantezin dışındaki tek kuvvet () sonucu negatif olarak bıraktı. Öncüllerimizi incelersek; ( x ) y = xy = x.y = olması ( a ) b = a.b = 4 a.b = 4 olması gerekir. I. x= ve y=4 ; x.y= olabilir. II. III. IV. D) I,II ve IV olur. a= 8 ve b=; a.b= 4 olabilir. x= ve y=8 ; x.y= 6 olamaz. a= 6 ve y= 4; a için 4'ün çarpanlarında 6, y için 'nin çarpanlarında 4 olduğundan a=6 ve y=4 olabilir. 8. Seçeneği bu soru için doğru cevaptır. 0'un Kuvvetleri A) 6,.0 8 = ( 6, 0 ).(08 x0) = 6,.0 9 doğru sonuca ulaşırız. B),8.0 6 = (,8 x0).( ) = 8,.0 7 doğru sonuca ulaşırız. C), = (,6 x00). ( ) = 6,.0 8 doğru sonuca ulaşırız. D),6.0 6 = (,6 x 0). ( ) =,6.0 doğru sonuca ulaşırız. Çözümlerinde anlaşılabileceği gibi a,bcd x 0 4 = ab, cd x 0 = abc,d x 0 Virgül bir basamak sola kaydırılında 0'un kuvvetinin arttığını, virgül bir basamak sağa kaydırılınca 0'un kuvvetinin azalacığını fark ettiniz mi?

10 Çok Küçük Sayılar 0. 0, virgül sağa kaydırılacağından 0'un kuvveti azalacak. 0, = 0, olacağından a= 6 bulunur. Çok Büyük Sayılar = 400 x 0 7 = 4 x 0 9 olacağından x= 7 ve y=4 olur. y x = 4 7 = 6 bulunur. Doğru yanıt A seçeneğidir. 0, = 96.0 olacağından b=96 bulunur. a+b= =90 Doğru yanıt A seçeneğidir. Çok Büyük Sayıların Bilimsel Gösterimi 9. a.0n, a < 0 ve n Z ifadesinin bilimsel gösterim olduğunu biliyoruz km =, x 0 8 km olarak bilimsel gösterimi D seçeneğinde doğru verilmiştir. 9. K, L, M ve N sayılarını karşılaştırabilmek için 0'un kuvvetlerini eşitlemeliyiz. L ve M'nin üslerini 6 yapabiliriz. L=,7 x 0 = 7 x 0 6 M= 0,6 x 0 =,6 x 0 6 Buradan 0,8.0 6,.0 6, N K M L Çok Büyük ve Çok Küçük Sayıları Karşılaştırma 0. 6,4 milyon = , = olacağından 6,4 milyon = 6, ,00004 = 4 x 0 6 olacağından 4 x 0 6 > 4, x = ,8 milyar = olacağından >,8 milyar Doğru yanıt A seçeneğidir.

11 Kareköklü Sayılar Tam Kare Doğal Sayılar. Bir doğal sayının karesi olan sayılar, tam kare sayılardır. Bu tanıma göre;,4,9,6,... gibi sayılar tam kare sayılardır. 4, 6, 4, 6, 4, 6. Karesel Bölgenin Alanı ile Kenarı 6 cm 6 cm 8 cm 'den küçük birler basamağında 6 rakamı bulunan tam kare sayı buluruz. Bu sorumuzda öncelikle telin uzunluğunu bulmamız gerekir. Karesel bölgelerin alanları ile bu karesel bölgelerin birer kenarı arasında ilişki; alanlarının karekökleri bir kenar uzunluğuna eşittir. 6 cm olan karenin, bir kenar uzunluğu; ò6 = 4 cm, 6 cm olan karenin, bir kenar uzunluğu; ò6 = 6 cm, 8 cm olan karenin, bir kenar uzunluğu; ò8 = 9 cm olacağından, Telin uzunluğu; karelerin çevre uzunlukları toplamına; = 76 cm'dir. 9 9 Ç= 79 cm 9 9 Telimiz ile oluşturabilceğimiz en büyük karenin çevresi 76 cm ve bir kenarının uzunluğu 9 cm olur. Alanını hesaplamımız gerekirse; A= 9 =6 cm 'dir.

12 Cebir Karoları ve Birim Kareler 6. Alanı br olan cebir karosu; br br br şekildeki gibidir. Elimizde bulunan 0 adet cebir karosu'na A) adet cebir karosu eklenirse, br alana sahip, kenar uzunluğu br olan bir kare oluşturulabilir. B) 4 adet cebir karosu çıkarılırsa; 6 br alana sahip, kenar uzunluğu 4 br olan bir kare oluşturulabilir. C) 6 adet cebir karosu eklenirse; 6 br alana sahip, kenar uzunluğu 6 br olan bir kare oluşturulabilir. 4. Tam Kare Doğal Sayıların Karekökleri A) ( 6) = ( 6). ( 6) = 6 6 = 6 x 6 = 6 6 ve 6 karesi 6'dır. B) ó96 = 4 ifadesi doğrudur. C) Hiç bir tam sayının karesi negatif bir sayı olamaz. Negatif bir sayının da karekökü alınamaz. ó 44 sayısının karekökü alınamaz. D) 8 adet cebir karosu çıkarılırsa; br alana sahip cebir karolar ile kenar uzunluğu 6 br olan bir kare oluşturulamaz. D) ( 0) = ( 0). ( 0) = 00 0 = 0 x 0 = 00 doğrudur. 0. Alanları 8 br, 49 br ve br olan karelerin kenarlarının uzunlukları; ò8 = 9 br Tam Kare Olmayan Sayıların Kareköklerini Tahmin Etme. Şekilde 0 ile 'in yerlerine ò49 = 7 br ó00 ó ò = br, olarak bulunur. Şekilleri incelediğimizde; D seçeneğinde verilen karelerin kenar uzunluklarının doğru olduğu görülür. ó00 ile ó 'i kullanırsak ; " " ifadesinin ó00 'den büyük ve ó'den küçük olduğu anlaşılır. Bu durumda A, C ve D seçenekleri elenir.

13 Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar 4. Şekilde de görüldüğü gibi; sayma sayılar kümesi doğal sayıların, doğal sayılar kümesi tam sayıların, tam sayılar kümesi rasyonel sayıların ve rasyonel sayılarda gerçek sayıların alt kümesidir. Kareköklü Bir Sayıyı añb Şeklinde Yazma 6. A ve B doğal sayılarını seçeneklerde verilenlere göre inceleyelim. A) ó00 ifadesinin kat sayısı görünmeyen "" olabilir. AñB = ó00; 6. Devirli Ondalık Gösterimler A),4 = B),0 = = = 8 90 olacağından hatalı ifade B seçeneğinde verilmiştir. 9 C),9 = = 7 ifadesi doğrudur. 9 9 D) 0,4 = 4 9 ifadesi doğrudur. Kareköklü Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemi "A en küçük 'dir." ifadesi doğrudur. B) B'nin en küçük değerinin 0 olabilmesini incelersek ó00 = 0.0 olması gerekir. 0, tam kare bir sayı olmadığından kare kökün dışına çıkamaz. "B 'nin en küçük değeri 0'dur" ifadesi yanlıştır. C) A'nın en büyük değeri 0 olabilmesini incelersek; 00 = 00. ifadesini kullanarak ó00 = 00. = 0ñ elde ederiz. " A'nın en büyük değeri 0 'dur." İfadesi doğrudur. D) AñB = ó00 eşitliğinde; "B'nin en büyük değeri 00'dür." İfadesi doğrudur. 7. Kareköklü sayılarda çarpma ve bölme işlemi yapılırken karekök içerisinde bulunan sayılar kendi aralarında, kat sayılarında kendi aralarında çarpılıp bölüneceğini hatırlayalım. añx añx. bñy = a.b óx.y ve bñy = a b x y añb Şeklindeki İfadede Katsayıyı Kök içine Alma A) ñ (ñ ) = ñ.ñ ñ. = 6 ñ doğrudur. 6ò8 B) ñ6 = 6. 8 = ñ doğrudur. 6 C) ñ.ñ =. = 6 olması gerekir. Hatalı sonuç verilmiştir. D) 6ò ñ7 = 6 7 = ñ doğrudur. 9. ò =. = 4. = ó 9ñ = 9. = 8. = ó40 ò8 =.8 = 9.8 = ó4 7ñ6 = 7.6 = 49.6 = ó94 olacağından D seçeneği ó7 sayısı boş kutulara gelemez.

14 Kareköklü Sayılarda Sıralama 7. Kareköklü sayıları sıralarken kök dışındaki sayıları kök içine almalıyız. ñ = ò ve 4ñ = ò48 ò7 < ò < ò8 < ò48 şeklinde sıralayabiliriz. 8. Ondalık Kesirlerin Kareköklerini Belirleme A b ò7 < ñ < ò8 < 4ñ seçeneği doğrudur. A= a. b olduğundan a Köklü Sayıyı Doğal Sayı Yapma,6 = ó,69. b eşitliğini kullanmalıyız. 4. ò40. a = 4.0. a = ò0. a ò0. a ifadesi tam sayı olması için, a=ò0'dur. ò7. b =..b = ñ.b ñ.b ifadesi tam sayı olması için, b=ñ'dür. a ve b'nin en küçük değerleri bulunduğuna göre a. b = ò0. ñ = ò0 olur. Kareköklü Sayılarla Toplama ve Çıkarma 6 00 = = 0. b 6 00 b 0 00.b = 60 b=,. b C seçeneğinde verilen kareköklü ifade incelenecek olursa, = ó,44 = = =, olduğu görülür. 0. AB uzunluğu, alanı 8 cm olan karenin bir kenarıdır. IABI= ò8 = 9. = ñ olur. BC ve CD uzunluğu, alanı 0 cm olan karenin birer kenarlarıdır. IBCI = ICDI = ò0 =. = ñ olur. DE ve EF uzunluğu, alanı 00cm olan karenin birer kenarıdır. IDEI = IEFI = ó00 = 00. = 0ñ olur. Toplam yürünen yol; IABI + IBCI + ICDI + IDEI + IEFI olacağından ñ + ñ + ñ + 0ñ +0ñ = ñ olur.