Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin alabileceği değerler olsun. X tesadüfi değişkeninin herhangi bir değerini alma olasılığı Pr{X=} şeklinde gösterilir. Bu olasılık X in dağılım ya da olasılık kanunu diye adlandırılır. Kesikli X değişkeninin hangi değerleri hangi olasılıklarla alacağını gösteren fonksiyona olasılık fonksiyonu denir. Bir dağılımın kesikli olasılık fonksiyonu olabilmesi için. P() 0, tüm değerleri için 2. Tüm P( ) şartlarını sağlaması gerekir. 2

3 Örnek: Hilesiz bir zar atıldığında şans değişkeni üst yüze gelen sayıyı ifade etmek üzere bu şans değişkeninin olasılık fonksiyonunu elde ediniz. S = { /,2,3,4,5,6 } P ( X = i ) = / 6 X 2 3 4 5 6 P ( X = i ) / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 d d X P. 0 6 6 5 6 4 6 3 6 2 6 6 ) ( İki farklı şekilde ifade edilen şans değişkeninin dağılımına bakıldığında P(X i ) 0 ve tüm değerleri için P(X=)= şartları sağlandığı görülmektedir. P(X=) in bir olasılık fonksiyonu olduğu sonucu ortaya çıkmaktadır.

Beklenen Değer Bir şans değişkeninin herhangi bir olasılık fonksiyonunda almış olduğu tüm değerlerin ortalaması o şans değişkeninin beklenen değeridir. X şans değişkeninin beklenen değeri E () ile gösterilir. Bir şans değişkenin beklenen değeri o şans değişkeninin ortalamasına eşittir. E () = µ 4

Beklenen Değer Kullanarak Varyansın Elde Edilmesi E( 2 ) : şans değişkeninin karesinin beklenen değeri Var ( ) E( ) [ E( )] 2 2 2 2 E( ) [ E( )] 2 Var( ) E( 2 ) 5

6 Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin Beklenen Değer ve Varyans Tüm i i P E ) ( ) ( 2 2 )] ( [ ) ( ) ( E E Var 2 2 ) ( ) ( ) ( tüm i i tüm i i P P Var Tüm i i P E ) ( ) ( 2 2

Örnek: Bir otomobil bayisinin günlük otomobil satışlarının dağılımının aşağıdaki gibi olduğunu ifade etmektedir. X 0 2 3 4 5 6 7 8 P(X) 0,02 0,08 0,5 0,9 0,24 0,7 0,0 0,04 0,0 Bu dağılışa göre bayinin; a) 5 ten fazla araba satması olasılığını bulunuz P(X = 6) + P ( X = 7 ) + P ( X = 8 ) = 0.0+0.04+0.0=0,5 b) Satışların beklenen değerini hesaplayıp yorumlayınız. P( i ) E(X) = = (0)(0,02)+()(0,08)+(2)(0,5)+.+(8)(0,0) =3,72 Bayinin 00 günde 372 araba satışı yapması beklenir. c) Satışların varyansını bulunuz. 2 P( ) i E(X 2 ) = =(0 2 )(0,02)+( 2 )(0,08)+.+ (8 2 )(0,0) = 6,68 Var(X)= E(X 2 ) - [E(X)] 2 = 6,68 - (3,72) 2 = 2,84 7

KESĠKLĠ ġans DEĞĠġKENLERĠNĠN OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli Üniform Dağılımı Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Negatif Binom Dağılımı Geometrik Dağılım Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı 8

Kesikli Üniform Dağılımı Kesikli bir şans değişkeni tanımlı olduğu tüm noktalarda eşit olasılık değerine sahip ise bir başka ifadeyle tanımlı olduğu değerlerin hepsinde olasılık fonksiyonun aldığı değer sabit ise bu kesikli şans değişkeni üniform dağılımına uygundur. Üniform dağılımı gösteren bir şans değişkeni k farklı noktada tanımlı ise olasılık dağılımı; P( X ) k 0 d. d,2,3..., k şeklinde ifade edilir. 9

0 Kesikli Üniform Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı 2 2 ) ( ) ( ) ( k k k k k P E k i k i i 2 ) )( ( ) ( k k Var

Örnek: Hilesiz bir zar atıldığında şans değişkeni ortaya çıkabilecek farklı durum sayısını ifade ettiğine göre in olasılık dağılımını oluşturarak beklenen değerini ve varyansını bulunuz. S = { /,2,3,4,5,6 } Ortaya çıkan olaylar eşit olasılıklı olaylar şans değişkeninin dağılımı k = 6 olan kesikli üniform dağılımına uygundur. P( X ) 6 0 6 E( ) 2 3,5 d. d,2,3,4,5,6 (6 )(6 ) Var ( ) 2 35 2

Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli deneyinin varsayımlarının sağlanması gereklidir. Bernoulli Deneyinin Varsayımları:. Deneyler aynı koşullarda tekrarlanabilirlik özelliğine sahip olmalıdır. 2. Deneylerin yalnız iki mümkün sonucu olması gereklidir. 3. Başarı olasılığı (p), deneyden deneye değişmemektedir (Başarısızlık olasılığı q = -p ile gösterilir) 4. Denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır. 2

Bernoulli deneyinde ortaya çıkan sonuçlardan bir tanesi baģarı durumu, diğeri ise baģarısızlık olarak ifade edilir. Bernoulli şans değişkeninin dağılımı ifade edilirken deneyin sadece kez tekrarlanması gereklidir. 3

Bernoulli dağılışında şans değişkeni başarı durumu için, başarısızlık durumu için ise 0 değerini alır. S = { / 0, } Bernoulli Dağılımının Olasılık Fonksiyonu; P( X ) p ( 0 p) d. d 0, = E ( ) = p 2 = Var ( ) = p (-p) = pq 4

Örnekler: Bir fabrikada üretilen bir ürünün hatalı veya sağlam olması, Bir madeni para atıldığında üst yüze yazı veya tura gelmesi, Hilesiz bir zar atıldığında zarın tek veya çift gelmesi, 5

Örnek: Bir deste iskambilden çekilen bir kağıdın as olup olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı olarak ifade edildiği durum için olasılık fonksiyonunu oluşturunuz. = 0 (as gelmemesi) = ( as gelmesi) S = { / 0, } P( X = 0 ) = 48 / 52 P( X = ) = 4 / 52 P( X ) 4 52 0 48 52 d. d 0, 6

Binom Dağılımı Birbirinden bağımsız n adet bernoulli deneyinin bir araya gelmesi sonucunda binom deneyi gerçekleşir. Binom deneyinin gerçekleşmesi için bernoulli deneyinin bütün varsayımlarının sağlanması gereklidir. Binom şans değişkeni, n adet denemedeki başarı sayısını ifade etmektedir. n denemede en az 0, en fazla n adet başarı gözlenebileceğinden S = { / 0,,2,,n } olur. 7

Binom Olasılık Fonksiyonunun Elde Edilmesi Gerçekleştirilen her bir Bernoulli deneyi birbirinden bağımsızdır ve olasılık fonksiyonu olarak ifde edilmiş idi. Bernoulli deneyi n defa tekrarlandığı durumda toplam adet başarı olmasının olasılığı, adet başarı olasılığı (p) ile n - adet başarısızlık olasılığının (q=-p) çarpımını içermelidir. P() p.q 0, 8

Başarı ve başarısızlıkların oluşum sırası yani n sıralama önemsiz ise C farklı şekilde ortaya n çıktığı için ; P( X ) n.p 0.( p) n d. d 0,,2,..., n olarak elde edilir. 9

Örnekler: Bir fabrikanın deposundan seçilen 0 üründen 2 sinin hatalı olması, Bir madeni para 5 kez atıldığında hiç tura a gelmemesi, üst yüze yazı veya tura gelmesi, Hilesiz bir zar 4 kez atıldığında zarın en çok kez çift gelmesi, 20

Binom Dağılımının Karakteristikleri Aritmetik Ortalama E( X ) np Varyans P(X).6.4.2.0 n = 5 p = 0. 0 2 3 4 5 X np( p) npq P(X).6.4.2.0 n = 5 p = 0.5 0 2 3 4 5 X 2

Örnek: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6 sının hatalı olduğu bilinmektedir. Rasgele ve iadeli olarak seçilen 5 üründen, a) tanesinin hatalı olmasının olasılığını, b) En az 4 tanesinin hatalı olmasının olasılığını hesaplayınız. p = 0,06 - p = 0,94 n = 5 a)p ( X = ) =? b)p ( X 4 ) =? P( X P ( X 4 ) = P ( X = 4) + P ( X = 5 ) 5 4 5 ). (0,06).(0,94) 4.(0,06).(0,94) 5.(0,06) 5 5 4.(0,94) 0 0,23 22

Negatif Binom Dağılımı Bernoulli deneyinin tüm varsayımları negatif binom dağılımı içinde geçerlidir. Binom dağılımında n denemede adet başarı olasılığı ile ilgilenilirken, negatif binom dağılımında ise şans değişkeni (), k ncı baģarıyı elde edinceye kadar yapılan deney sayısına karşılık gelir. 23

Örnekler: 3 tura gelinceye kadar bir parayı ardışık olarak atalım. X,3 tura elde etmek için gereken atışların sayısı negatif binom rasgele değişkendir. Bir,kutuda M beyaz N siyah top vardır. Toplar tekrar yerine konarak çekiliş yapılıyor. X, dört siyah top elde edinceye kadar gereken çekilişlerin sayısı negatif binom rasgele değişkendir. Bir parayı 5 kez tura gelinceye kadar atalım. X,5 nci turayı elde ettiğimiz deneme sayısı negatif binom rasgele değişkendir. Bir basketbolcunun 3 sayılık atışlarda 0 ncu isabeti sağlaması için gerekli olan atış sayısı sayısı negatif 24 binom rasgele değişkendir.

: deney sayısı k : baģarı sayısı p : baģarı olasılığı S = { / k, k+, k+2, k+3 } 2 3. - 2 3.... k- k Binom dağılımını kullanarak - denemede k- adet başarı olasılığı hesaplanır ve nci denemedeki k ncı başarıyı elde etme olasılığı p ile bağımsız olaylar olduğundan çarpılarak aşağıdaki olasılık fonksiyonu elde edilir. k k p p k, k, k P( X ) k 0 d. d 2,... 25

Negatif Binom Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı k k( E( ) Var( ) 2 p p p) Yandaki histogram p = 0,5 ve k = 8 parametreli negatif binom dağılım gösteren bir populasyondan alınmış 00 hacimlik bir örnek için oluşturulmuştur. 30 20 0 0 8,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 20,0 22,0 24,0 26

k k p p k, k, k 2,... P( X ) k 0 d. d Örnek: Bir kişinin hilesiz bir zarı 0 kez atması sonucunda, 0 ncu atışında 5 nci kez 6 gelmesi olasılığını hesaplayınız. p = / 6 - p = 5 / 6 = 0 (deney sayısı) k = 5 (baģarı sayısı) 0 5 P( X 0; k 5).( ).( ) 5 6 6 5 5 Zarın kaçıncı kez atılması sonucu 5 nci kez 6 gelmesini beklersiniz? k 5 E( ) p 6 Not:Binom dağılımını kullanarak - denemede k- adet başarı olasılığı hesaplanır ve nci denemedeki k ncı başarıyı elde etme olasılığı p ile bağımsız olaylar 30 olduğundan çarpılarak aşağıdaki olasılık fonksiyonu elde edilir. 27

Geometrik Dağılım Bernoulli deneyinin tüm varsayımları geometrik dağılım içinde geçerlidir. Negatif Binom dağılımının özel bir durumudur. k = olduğunda negatif binom dağılımı geometrik dağılım olarak ifade edilir. Geometrik dağılım gösteren Ģans değiģkeni X, ilk baģarıyı elde edinceye kadar yapılan deney sayısını ifade eder. 28

Örnekler: Bir parayı tura gelinceye kadar attığımızda, X ilk turayı bulmak için yapılan atıģ sayısı geometrik rasgele değiģkendir., Bir işletmenin deposundan ilk hatalı ürünü bulana kadar alınan örnek sayısı. Bir zar 6 gelinceye kadar atılıyor. Burada X, ilk altıyı elde etmek için gereken atış sayısı olsun. X geometrik rasgele değişkendir. Bir kutuda 6 kusurlu, 7 kusursuz parça vardır. Parçalar ardışık olarak yerine konup çekiliyor. Burada X, kusurlu parça elde edinceye kadar gereken çekilişlerin sayısı geometrik rasgele değişkendir. 29

30 : deney sayısı p: baģarı olasılığı S = { /, 2, 3, 4.. } d d k k k p p k X P k k. 0 2,...,, ) ( ) ( p p X P Negatif Binom dağılımında k = alındığında; d d p p X P. 0,2,3,... ) (

Geometrik Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı E( ) p Var ( ) p 2 p 200 Yandaki histogram p = 0,5 parametreli geometrik dağılım gösteren populasyondan alınmış 250 hacimlik bir örnek için oluşturulmuştur. 00 0 2.0 4.0 6.0 8.0 0.0 2.0 3

Örnek: Bir avcı hedefe isabet sağlayana kadar ateş etmektedir. Avcının hedefi vurma olasılığı 0,75 olduğuna göre avcının hedefi ilk kez 8 nci kez atış yaptığında isabet ettirmesinin olasılığını hesaplayınız. = 8 P ( X = 8) =? P( X ) p 0 p,2,3,... d. d P( X ) 0,75 0,75 0,2,3... d. d 8 0,75 0,75 0,750, 25 7 P( X 8) 32

Hipergeometrik Dağılım Varsayımları, n deneme benzer koşullarda tekrarlanabilir. Her denemenin 2 mümkün sonucu vardır. Sonlu populasyondan iadesiz örnekleme yapılır. Örnekleme iadesiz olduğundan başarı olasılığı ( p ) deneyden deneye değiģir. 33

34 Hipergeometrik Dağılımın Olasılık Fonksiyonu n : örnek hacmi N : anakütle eleman sayısı B : populasyondaki başarı sayısı : örnekteki başarı sayısı S = { / 0,, 2, 3,..,n } d d n n N n B N B X P. 0 0,,2,3..., ) (

Hipergeometrik Dağılımın Karakteristikleri p = B/N için E( ) n p Var ( ) np( 60 p) N N n Yandaki histogram N = 0000 ve B = 2000 parametreli hipergeometrik dağılım gösteren populasyondan alınmış 250 hacimlik bir örnek için oluşturulmuştur. 50 40 30 20 0 0 35.0 37.5 40.0 42.5 45.0 47.5 50.0 52.5 55.0 57.5 60.0 62.5 65.0 35 67.5 X

Örnek: Yeni açılan bir bankanın ilk 00 müşterisi içinde 60 tanesi mevduat hesabına sahiptir. Ġadesiz olarak rasgele seçilen 8 müşteriden 5 tanesinin mevduat hesabına sahip olmasının olasılığı nedir? n : örnek hacmi n=8 N : anakütle eleman sayısı N=00 B : populasyondaki başarı sayısı B=60 : örnekteki başarı sayısı = 6 36

37 d d n n N n B N B X P. 0 0,,2,3..., ) ( N= 00 B = 60 n = 8 = 5 60 00 60 5 8 5 ( 5) 00 8 PX

Poisson Dağılımı Kesikli Şans değişkenlerinin olasılık dağılımlarından en önemlilerinden biri Poisson Dağılımıdır. Günlük hayatta ve uygulamada çok sayıda kullanım alanı bulunmaktadır. Ünlü Fransız matematikçisi Poisson tarafından bulunmuştur. Belirli bir alan içerisinde rasgele dağılan veya zaman içerisinde rasgele gözlenen olayların olasılıklarının hesaplanabilmesi için çok kullanışlı bir modeldir. 38

Poisson Sürecinin Varsayımları. Belirlenen periyotta meydana gelen ortalama olay sayısı sabittir. 2. Herhangi bir zaman diliminde bir olayın meydana gelmesi bir önceki zaman diliminde meydana gelen olay sayısından bağımsızdır.(periyotların kesişimi olmadığı varsayımı ile) 3. Mümkün olabilecek en küçük zaman aralığında en fazla bir olay gerçekleşebilir. 4. Ortaya çıkan olay sayısı ile periyodun uzunluğu doğru orantılıdır. 39

Örnekler Bir şehirde bir aylık süre içerisinde meydana gelen hırsızlık olayların sayısı, Bir telefon santraline dk. içerisinde gelen telefon çağrılarının sayısı, Bir kitap içindeki baskı hatalarının sayısı, İstanbul da 00 m 2 ye düşen kişi sayısı, Ege Bölgesinde 3 aylık sürede 4,0 şiddetinden büyük olarak gerçekleşen deprem sayısı. 40

l Poisson Dağılımının Olasılık Fonksiyonu : belirlenen periyotta ortaya çıkan olay sayısı : ortaya çıkma olasılığı araştırılan olay sayısı S = { / 0,, 2, 3,.., } P( X ) e l! 0 l 0,,2,... diger durumlarda 4

Poisson Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı Beklenen Değer E() l Varyans Var() l Beklenen değeri ve varyansı birbirine eşit olan tek dağılıştır. 42

Frekans Frekans 400 l n = 000 300 200 00 0 0 2 3 4 5 6 40 l n= 000 20 00 80 60 40 20 0 3 6 9 2 5 8 2 43

Örnek: Bir mağazaya Cumartesi günleri 5 dakikada ortalama olarak 4 müşteri gelmektedir. Bir Cumartesi günü bu mağazaya, a) 5 dakika içinde müşteri gelmesi olasılığını, b)yarım saate 2 den fazla müşteri gelmesi olasılığını, 4 e 4 4 a) l 4 P ( = ) =? 24 24 0! 0 24 24! P( X ) 24 24 2! 4e b) 5 dk da 4 müşteri gelirse, 30 dk da 24 müşteri gelir. l 24 P ( > 2 ) =? P( > 2 ) = [P(=0)+P(=)+P(=2)] e e ÖDEV: saatte en çok müşteri gelmesinin olasılığını hesaplayınız. e 2! 33e 24 44