Daha önce beşinci bölümde denklemlerini ele almıştık. Burada tek değişken durumunda fark değişken sayısının iki ya da daha fazla olduğu diferansiyel denklemlerden oluşan bir sistemin çözümü üzerinde duracağız. Genel olarak iki tane birinci sıra diferansiyel denklemden oluşan diferansiyel denklemler sistemini şöyle yazabiliriz: dx dt x f ( x, y, t ) dy dt y ( g x, y, t )
() x ax by ce y rx + sy qe t t 3 () x ax by y rx + sy (3) x ax bxy y rx + sxy
Yukarıda yer alan üç diferansiyel denklem sistemi de birinci 4 sıradandır. Yani her bir sistem, değişkenlerin en yüksek birinci türevine göre yazılmıştır.. ve. sistemler, sistemin bağımsız değişkenleri olan x ve y bağlamında bağlamında doğrusal olduğundan doğrusaldır. Buna karşın 3. sistem, x ve y xy biçiminde biçiminde çarpım olarak denklemlerde yer aldığından, doğrusal değildir. Eğer denklemlerde t bağımsız değişken olarak yer almıyorsa, sistem otonomdur.. sistem otonom değil, buna karşın. ve 3. sistemler homojendir.
Eğer sistemdeki diferansiyel denklemlerde sabit terimler yoksa, 5 sistem homojendir. Bu anlamda. sistem, ce t teriminden dolayı homojen değildir. İki diferansiyel denklemden oluşan oluşan bir sistemin çözümü, x ve y değişkenlerini t ye bağlayan xx(t) ) ve yy(t) biçimindeki denklemlerin bulunmasıdır. Elde edilecek denklemler, t te göre türevlenebilirdir. Ayrıca, sistemin belirli çözümünün elde edilebilmesi için, başlangıç koşullarının da verilmiş olması gerekir.
6 Buna göre, iki değişkenli bir diferansiyel denklem problemini genel olarak şöyle tanımlayabiliriz: (,, ) x f x y t y (,, ) g x y t ( ), ( ) x t x y t y
Örnek : 7 x y x y ( ) ( ) x t x, y t y 3 ( ) t ( ) x t e, y t 3 e t Yukarıda elde ettiğimiz (t ye bağlı) çözümlerden, x-y düzlemine geçiş yapmak istersek, çözümü aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. Buna ilişkin yörünge, Şekil de gösterilmiştir. y 3 x
Şekil 6.. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci (Örnek ) 8 y t 8 y 3 x 6 4 5 5 x t
Örnek : 9 x x + t y y ( ) ( ) x t x, y t y 3 t 9e t x( t ), y( t ) 3 e t 4 y + 4x + t
Şekil 6.. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci y t (Örnek ) t t t 5 8 y + 4x + t 6 4 5 5 x t
Otonom sistemlerin zamandan bağımsız davrandığına dikkat edelim. Yani değişkenlerin zamana göre türevleri sabittir. Diferansiyel denklem sisteminin çözümüyle elde elde ettiğimiz x ve y, t ye bağlıdır. Yukarıda örnek otonom, örnek otonom olmayan sistemlerdir. Otonom bir diferansiyel denklem sisteminde (x, y düzlemindeki) süreç grafiği, t den bağımsızdır.
Yukarıda sözünü ettiğimiz gibi, süreç grafiği (phase diagram), diferansiyel denklem sisteminin çözümüyle çözümüyle elde ettiğimiz, x(t) ve y(t) fonksiyonlarının, yf(x, t) fonksiyonuna fonksiyonuna dönüştürülüp, tanımlı bir başlangıç koşulu altında çizilmesiyle elde edilir. Bu grafik, başlangıç noktasından hareketle, zamana bağlı bağlı olarak x değiştikçe, y nin nasıl bir seyir izleyeceğini gösterir. Bu nedenle bu grafiklere, yörünge grafiği de (orbit) denilebilir. Örnek ve örnek deki grafikler, birer süreç (yörünge) grafiğidir.
Örnek 3: 3 x x 3 y y x + y x, y 3 Bu diferansiyel denklem sistemini, ilk olarak indirgeme yöntemiyle çözelim. x + x x + x x x 3 y y y 3 3 x + x x + x y x + y x + 3 3 x x 5x
4 x x x r r r 5 5, 6 r t r t x A e + A e x A e + A e t + + ( + 6 ) t ( 6 ) t t ( ) ( ) t ( + 6 6 x + 6 A e + 6 A e ) ( ) t y x + 3 x 6 6 yt A e + A e 3 3 ( + 6) t ( 6) t
5 t ( + 6 ) t ( 6 ) x A e + A e 6 ( ) 6 yt A e + A e 3 3 x, y 3 + 6 t 6 t ( ) t ( ) A ( ) + 6 + 6 A 3 6 A 4 6 6 3 6 A + A 3 A + 3 3 4
6 3 6 ( ) 3 6 xt e + + e 4 4 ( ) + 6 t 6 t 3 6 ( ) 3 6 yt e + e + 3 3 ( ) + 6 t 6 t
Denge değerlerini belirlemek için, xẋ ve ẏ 7 terimlerini sıfıra eşitleyece- ğiz. x x 3 y y x + y x, y * * Bu örneğe ilişkin denge eğrileri (isoclines) ve süreç grafikleri, Şekil 6.3a, 6.3b ve 6.3c de gösterilmiştir. Sürecin bir eyer dengesi olduğu görülebilmektedir. Şekil 6.3c deki mavi doğrular, denge eğrileridir. Bu ẋ ẏ iki doğru, ve sıfıra eşitlenerek belirlenmektedir. Yani, bu doğru- ların üzerindeki tüm noktalarda x ve y dengededirler. Her iki eğrinin kesişim noktası da, tüm diferansiyel denklem sisteminin dengesini göstermektedir.
Şekil 6.3a. Diferansiyel Denklem Sisteminin Iraksama Süreci (Örnek 3) 8 6 y t 4.5.5 t - -4-6 x t
Şekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin Iraksama Süreci (Örnek 3) 9 y t 6. t 5. 4. 3. x y (, )... x t -5. -4. -3. -. -.... 3.
Şekil 6.3c. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği IV (Örnek 3) y t y ( x, y ) 3 ( * * x, y ) I x x t III II
Süreç grafiğini, denge eğrilerinin grafiği böldüğü dört alan üzerinden inceleyebiliriz. Her bir alanı Romen rakamlarıyla tanımladık. Bu alanların içinde kalan kırmızı (küçük) oklar, veri bir başlangıç noktasından hareket edildiğinde, sürecin hangi yöne ve noktaya (ya da noktalara) doğru akacağını bize göstermektedir. Örneğin başlangıç noktasının I. bölgede bulunduğunu varsayalım. Bu durumda x ve y nasıl değişecektir. I I. bölge, denge eğrisinin üs- x tünde, y denge eğrisinin ise altında yer almaktadır. Buna göre, denge eğrilerini yeniden yazalım ve bunun üstünde ve altında kalan bölgelerin hareket yönlerini x ve y için için belirleyelim.
İlk olarak denge eğrilerini (Şekil 6.3c deki mavi doğrular) yeniden yazalım. x x 3 y x y 3 y x + y y x I. bölge için şunları yazabiliriz: x y > 3 x x 3 y < y < x y x + y < x azalıyor. y azalıyor.
Yukarıdaki sonuca göre, I. bölgede (yatay oklar sol yöne ve dikey oklar aşağı yöne doğru) yönündeki oklarla gösterilecektir. bölgede x ve y nin her ikisi de azalma Buna benzer biçimde IV. bölgeyi de inceleyelim. IV. bölge için şunları 3 yazabiliriz: x y > x x 3 y < 3 x azalıyor. y > x y x + y > y artıyor. Buna göre, IV. bölgede x azalma yönünde (yatay oklar sol yöne doğru) ve y artma yönünde (dikey oklar yukarı yöne doğru) yönündeki oklarla gösterilecektir.
Örnek 4: 4 x 3x + 3 y y x 3 y x 4, y 5 Bu diferansiyel denklem sistemini Örnek 3 te olduğu gibi çözdüğümüzde şunları elde ederiz: x t 9 e + 9 e, y 4t t 4 t e e t t Bu çözümlere ilişkin grafikler aşağıda yer almaktadır.
Şekil 6.4a. Diferansiyel Denklem Sisteminin Dengeye Yakınsama Süreci (Örnek 4) 5 5 4 y t 3 x t.5.5 t
Şekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin Yakınsama Süreci (Örnek 4) 6 6. y t 5. ( x, y ) 4. 3......5..5. x t.5 3. 3.5 4. 4.5
Şekil 6.3c. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği (Örnek 4) yt y 7 I IV ( x ), y x 4 x t III II
Diferansiyel Denklem Sistemlerinin Matrisle Çözümü 8. İki Farklı Reel Kök Durumu: İlk olarak Örnek 3 ve farklı bir örneği matris biçimde yazalım ve sonra genel olarak diferansiyel denklem sistemlerinin matrisle nasıl yazılabileceğini ve çözülebileceğini görelim. x x 3 y x 3 x y x + y y y x x + y 5 x x 5 y + 3x 4 y y 3 4 y +
Şimdi genel olarak iki değişkenli birinci sıradan homojen olmayan bir diferansiyel denklem sistemini yazalım. 9 x a x + a y + b x a a x b + + + y a x a y b y a a y b x Ax + b x A x b Denge değerlerini belirleyebilmek için, ẋ vektörünü sıfır kabul ederek, x vektörünü belirlememiz gerekir. * * Ax + b x A b
Homojen olmayan diferansiyel denklem sistemini, homojen duruma indirgeyerek çözüm yapabiliriz. 3 x Ax + b * Ax + b ( * ) x A x x Daha önce birinci sıra diferansiyel denklemin çözümü olarak şunu elde etmiştik: x c e. rt
Bu çözümü, sistemin çözümünde de kullanabiliriz. 3 x rt e v Burada v, rasgele sabitlerden oluşan vektördür. Çözüm sırasıyla şöyle olacaktır: rt rt x e v x re v rt rt x Ax re v A e v r v Av Av r v A r I v A ri r, r x A e v + A e v r t r r t r ( )
Örnek 5: 3 x x + y y x + 4 y x, y 3 x y * * Bu, homojen bir diferansiyel denklem olduğundan, indirgemeye gerek olmadan, çözümünü doğrudan yapacağız. Bunu ilk olarak matris biçimde tanımlayalım. x x y 4 y A
33 A 4 r A r I r 5 r + 6 4 r r, r 3 ( r r ) A I v r r r v v + v r r, r r r v v v v + v
34 ( ) r r A I v r r r v v + v r r v, v r r r v v v + r r r r v v V v v r r v v x A e v + A e v r t r r t r r r xt r t v r t v A e A r e + y r t v v
35 xt t 3t A e + Ae y t t 3 t x t A e + Ae t 3t A + A yt A e + A e A, A A + A 3 x(), y() 3 x e + e t t 3 t y e + 4 e t t 3 t
. Tek Reel Kök Durumu: 36 Daha önce tek reel kök durumunda, birinci sıradan bir diferansiyel denklemin çözümünü şöyle belirlemiştik: rt rt x A e + A e t Aynı çözümü, denklem sistemi içinde kullanalım. Karşımıza iki olası durum çıkabilir: ya iki farklı öz-vektör vektör (v, v ) ya da tek öz-vektör (v). İki farklı öz-vektör durumunda çözümü şöyle yazabiliriz: rt A e rt x A e v + v
Öz-vektör tek olduğunda ise çözümü şöyle yazabiliriz: 37 ( rt rt rt x A e v + A e t v + e v ) Örnek 6: x y x x x y, y y * * x x y y
38 A - r I r r + r r r ( r ) r r v v A - I v v, v v v x A e v + A e v rt rt xt rt v rt v A e A + e y t v v x A e, y A e t rt t rt
Örnek 7: 39 x x y y x + 3 y x y * * Bu örnek, tek reel kökün olduğu bir durumu göstermektedir. Buna göre, şu çözümü oluşturacağız. ( Ae rt + A e rt t + e rt ) x v v v x y x e v, y e tv + e v rt rt rt
İlk olarak v öz-vektörünü, sonra da v öz vektörünü belirleyelim. Son aşamada da her iki çözümü birleştirerek genel çözüme ulaşalım. 4 x x y 3 y r A - r I r 4 r + 4 3 r r r r
v v ( ) A - ri v v 4 t x t x t e v e e t y y e x e tv + y e v t t x y v e t + e v t t
x e t + e v t t 4 y e t + e v t t t ye göre türevi alalım. ( x e t + v + t t ( + ) y e ( t v ) Yukarıdaki tüm denklemleri, asıl diferansiyel denklem sistemdeki yerlerine yazalım ve düzenleyelim.
( ) ( ) ( ) e t + v + e t + v e t + v t t t 43 ( ) ( ) ( ) e t + v e t + v + 3 e t + v t t t v v + v + v v, v x e t e t t y t e t Şimdi her iki çözümü birleştirerek, belirli olmayan genel çözümü elde edelim.
44 x A e v + A e t v + e v ( rt rt rt ) x x x t t y y + y A e Ae t + + x A e + A t e ( t t y A e A te t t )
3. Karmaşık Kökler Durumu: 45 Daha önce karmaşık kökler durumunda, birinci sıradan bir diferansiyel denklemin çözümünü şöyle belirlemiştik: ht x e t A cosvt + A sinvt Burada; r, r h ± vi h a a 4a, v
Şimdi tek denklem (tek değişken) için yazdığımız bu çözümü, iki denklemden (iki değişkenden) oluşan bir diferansiyel denklem sistemi için de yazalım. 46 A x A u + u u w e ht ( ) ( vt vt ) u w u w u cos sin e ( ) vt vt w u w u u ht cos sin ( )
47 u + w i u w i v r, v r u + w i u w i Ayrıca De Moivre teoreminden yararlanarak, polar biçimde de tanımlayabiliriz. h ± vi R cos θ ± Ri sin θ R (cos θ ± i sin θ ) Re ± i θ h cos θ, sin θ R v R
Örnek 8: 48 x 3x + 4 y y x + y x y * * Bu örnek, iki sanal kökün olduğu bir durumu göstermektedir. İlk olarak bunu matris biçimde yazalım ve karakteristik kökleri bulalım. x 3 4 x y y 3 r 4 A - r I r + r + 5 r r + i, r i
Şimdi öz-vektörleri belirleyelim. 49 ( r A - r I) v r r v, v + i + r 3 r 4 v r r v ( ) r A - r I v r 3 r 4 v r r v r r v, v i
Buna göre, genel çözüm: 5 xt ( ) + i t ( i) t y A e t Ae i + i + Bu genel çözümü reel terimlere dönüştürerek ifade edelim. r v u + w i u w r v + u + wi i u w
x A u + A u 5 u w e ( ) vt vt u w ht u cos sin w u e ( ) vt vt w u ht u cos sin e t t ( ) ( ) t u cos sin ( ) e ( ) t t t u cos sin ( ) ( )
5 xt t x y A e t cos( t ) sin( t ) t + A e cos t sin t ( ) ( ) ( ( ) t x e A cos t A sin t t (( ) ( t y e A A cos t A + A sin t t ( )) ) ( ) ( ))
Diferansiyel Denklem Sisteminin Dinamik Davranışı 53 Şimdi çözümü elde edilmiş olan bir diferansiyel denklem sisteminin (iki değişkenli bir sistemi dikkate alıyoruz), denge dışı bir noktadayken zaman içerisinde nasıl hareket edeceğini, süreç grafikleri (phase diagrams) yoluyla inceleyelim. Karşımızda, yukarıda incelediğimiz gibi farklı durumlar vardır. İki farklı reel kök, tek reel kök, sanal kökler gibi. Ya da elde edeceğimiz reel kökler negatif ve pozitif olmalarına göre de, sistemin hareket sürecini belirleyecektir. Aşağıda, bu türden farklı durumları içeren bir yaklaşım yapıyoruz. İlk olarak iki farklı reel kökten başlayalım.
. İki Farklı Reel Kök Durumunda Süreç Grafikleri 54 İki farklı reel kök durumunda şu çözümü elde etmiştik: x A e v + A e v r t r r t r Köklerin (r, r ) işaretine ve sayısal sayısal büyüklüklerine bağlı olarak siste- min hareketi için şu olası durumlardan söz edilebilir: r <, r <, r > r ise; r t r t lim e, lim e t t lim x, lim y t t t t
Bu durum Şekil 6.4 de gösterilmiştir. Orijin noktasının denge noktası 55 olduğunu kabul edelim. Başlangıç noktası v r öz-vektörü üstündeyse (c ), sistem zaman içinde orijin noktasına hareket edecektir. Aynı şekilde başlangıç noktası v r öz-vektörü vektörü üstündeyken (c ) de sistem kararlı davranarak, yine denge noktasına limitte yaklaşacaktır. Bu anlamda orijin noktasındaki bu denge noktasına, kararlı denge noktası diyoruz.
Şekil 6.4. İki Reel Kök Durumunda Süreç Grafiği 56 v r y t r <, r <, r > r r v ( * * x, y ) x t
57 r >, r > ise; lim e t r t r t, lim e t lim t x t, lim y t t Bu durumda Şekil 6.4 deki orijin noktasına yönelmiş olan oklar, tam ters yöne dönük olacaktır. Yani sistem kararsızdır. Dengeden bir sapma, sistemin dengeden giderek uzaklaşmasına neden olur. Bu anlamda, orijin noktasındaki denge, kararsız bir denge noktasıdır.
Örnek 9: 58 x x + y y x y x y * * x x y y r A - r I r + 4 r + 3 r r 3, r
59 ( ) r r A I v, r 3 r r r v v + v r r, r r r v v v v + v ( r ) r A I v, r r r r v v + v r r v, v r r r v v + v r r r r r v v r V v v v v
6 x A e v + A e v r t r r t r r r xt r t v + r t v y A e A e r r t v v xt 3 t t + y A e t Ae x A e + A e t t 3t 3t t y A e + A e t
x x + y y x y Şekil 6.5. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği v r (Örnek 9) y y t r x 3, r v r 6 y ( * * x, y ) x t
r >, r < ise; 6 r t r t lim e lim e t t lim x, lim y lim x, lim y t t t t t t t t Bu durum Şekil 6.6 da gösterilmiştir. Başlangıç noktasının yalnızca v r öz-vektörü üzerinde bulunduğu durumlarda sistem kararlıdır. Bunun dışındaki tüm olası durumlarda sistem kararsızdır. Bu nedenle v r öz-vektörüne kararlı yol, v r öz-vektörüne de kararsız yol diyoruz. Denge, bir eyer noktasıdır.
Şekil 6.6. İki Reel Kök Durumunda Süreç Grafiği v r y t r >, r < v r 63 x t
Örnek : 64 x x + y y 4x + y x y * * x x y 4 y r A - r I r r 3 4 r r 3, r
65 ( ) r r A I v, r 3 r r r v v + v r r 4, r r r v v v 4v v ( r ) r A I v, r r r r v v + v r r, r r r v v 4 v 4 v + v V r r r r v v v v r r v v
66 x A e v + A e v r t r r t r r r xt r t v + r t v A e A e r r yt v v xt 3 t t + y A e t Ae x A e + A e t t 3t 3t t y A e + A e t
Şekil 6.7. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği x x + y (Örnek ) r 3, r v r y y 4x + y t x v r y 67 x t
Örnek : 68 x 3x y y x y x y * * x 3 x y y 3 r A - r I r r r r, r
69 ( ) r r A I v, r r 4 r r v 4v v r r, r r r v v v v v ( r ) r A I v, r v v v r r v, v + r r r r r r 4 v v + 4 v V v v r v r r r v r r v v
7 x A e v + A e v r t r r t r r r xt r t v + r t v A e A e r r yt v v xt t t + y A e t Ae x A e + A e t t y A e + A e t t t t
Şekil 6.8. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği (Örnek ) r, r x 3x y y t v r x y x y y 7 v r x t
. Tek Reel Kök Durumunda Süreç Grafikleri 7 Tek reel kök durumunda iki olası çözümün olduğunu söylemiştik. Birinci olası çözüm, bağımsız öz-vektörler durumudur: x A e v + A e v rt rt İkinci olası çözüm, tek bağımsız öz-vektör durumudur: ( A e rt + A e rt t + e rt ) x v v v Şimdi her bir duruma sırasıyla bakalım t den bağımsızdır, yalnızca öz-vektörlere bağlıdır. bakalım. Birinci durumda x/ya /A
73 Tüm çözümler, orijinden çıkan düz doğru üzerinde yer alacaktır ve eğer karakteristik kök negatif ise, sistem kararlı hareket edecektir. Kararlı denge noktası orijindir. Aksi halde sistem kararsızdır. Bunu Şekil 6.9 da görebiliriz. İkinci olası durumda sistemin hareketini belirleyecek olan (baskın) terim rt Ae tv dir. Eğer karakteristik kök negatifse, süreç kararlıdır. Bunun yanında A ise, sistem v vektörü üzerinde hareket ederek dengeye (orijin noktasına) yaklaşacaktır. Daha önce çözdüğümüz Örnek 7, kararlı olmayan bir süreç olarak, Şekil 6.a da yansıtılmıştır. Ayrıca Şekil 6.b ve 6.c kararlı süreçleri göstermektedir.
Şekil 6.9. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği (Bağımlı Öz-Vektör Durumu, Örnek 6) 74 x x y t y y r v r v r x t
Şekil 6.. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği (Bağımlı Öz-Vektör Durumu, Örnek 7) 75 x x y y t y x + 3 y r v r x t v r
İkinci durumda süreç oklarının dengeye vektörlerine bağlıdır. Bunu görebilmek için, tek reel kök durumundaki olası çözümü kullanalım. dengeye ne şekilde yaklaşacağı, v ve v 76 x A e v + A e t v + e v ( rt rt rt ) ( ) x A v + A v + A tv e rt Buradan görüldüğü gibi, vektör denklemi doğrusaldır. Bu denklem A v + A v noktasından geçer ve ve v ye paraleldir. A katsayısının işaretine ve sayısal değerine bağlı olarak da farklı bir konumda olacaktır.
x 4x y Şekil 6.. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği (Bağımsız Öz-Vektör Durumu) y t 77 y x y r 3 v x t
3. Karmaşık Kökler Durumunda Süreç Grafikleri 78 Bu durum altında iki olası alt duruma bakacağız. Daha önce karakteristik kökleri şöyle belirlemiştik: r h vi, Birinci olarak h, v> alt durumuna sistemini şu şekilde ifade edebiliriz: durumuna bakalım. Diferansiyel denklem x hx + vy y vx + hy
Şekil 6.. Karmaşık Sayılar (Argand Gösterimi) 79 y t B R P ( x, y ) y C θ x A x t D
x h v x y v h y 8 Bunu kutupsal koordinatlar olarak ( (R veθcinsinden) ifade edelim. R x + y, tan θ y x ( ) R x + y ( )( ) R x x y ( )( ) + x + y x + y y
8 R xx + yy R xx + yy R ( ) ( ) x + y ( ) xx hx + vxy yy vyx vy + xx + yy hr R R hr h R ce ht R R
8 y tan yx yx θ θ x cosθ x x cos θ R cosθ R x yx hxy + vy xy vx + hxy xy yx vr R vr θ θ v θ vt + θ x x
83 Şu anda elimizde iki parametrik denklem var: R ce ht θ vt + θ İkinci denkleme göre, v> olduğundan, θ zaman içinde azalır. Yani hareket saat yönünde çalışır. tæ iken, h< durumunda RÆ ya da tæ iken, h> durumunda RÆ olacaktır olacaktır. Buna göre, saat yönünde gerçekleşen sarmal (spiral) hareket ya merkeze (sabit noktaya) doğru ya da merkezden uzaklaşacak şekilde oluşacaktır.
İkinci olarak h, v> alt durumuna kökler şöyledir: durumuna bakalım. Bu durumda karmaşık 84 r h vi, r vi r vi, Diferansiyel denklem sistemini de şöyle yazabiliriz: x x + vy x v x y vx + y y v y
Bir önceki durumda olduğu gibi, R yazalım. 85 R ve θ için parametrik denklemleri R R c θ v θ vt + θ Bu denklemler, hareketin merkez etrafında kapalı bir dairesel (çember ya da elips) biçim oluşturacağını söylemektedir. v> ise hareket saat yönündedir. Hareketin bir tam aşama süreci π/v dir.
Örnek : 86 x x + 4 y x 4 x y 4 x y y 4 y r A - r I 4 r + r + 7 4 r r 4 i h, v 4, ht t R ce R ce θ vt + θ θ 4 t + θ
h olması, sürecin sarmal biçimli olmasını; h> olması, sürecin 87 merkezden giderek uzaklaşan bir sarmal; h< olması, sürecin merkeze giderek yaklaşan bir sarmal biçimde olmasına yol açar. Örnek de h < nedeniyle, sürecin başlangıç başlangıç noktasından (x, y 3), denge noktasına (merkeze) giderek yaklaştığını Şekil 6.3a ve b de görebiliriz. v nin değeri ise, sarmal hareketin saat yönünde mi yoksa ters yönde mi olacağını belirler. v> ise, süreç saat yönünde oluşacaktır. Örnek de v4> olduğuna dikkat edelim.
Şekil 6.3a. Karmaşık Sayılar: h, v4 88 x x + 4 y y 4 x y 4. 3. ( x, y ) (,3)... -. -.... 3. 4. -. -. -3.
89 Şekil 6.3b. Karmaşık Sayılar: h, v4 (Örnek ) x x + 4 y y 4x y r, 4i yt y v r x v r x t
Örnek 3: 9 x x + 4 y x 4 x y 4 x + y y 4 y r A - r I 4 r r + 7 4 r r 4 i h >, v 4 >, ht t R ce R ce θ vt + θ θ 4 t + θ
Şekil 6.3a. Karmaşık Sayılar: h, v4 (Örnek 3) 9 x x + 4 y y 4 x + y 35. 3. 5.. 5... -5. -. -5. -. -5.. 5.. 5. 5. -5. ( x, y ) (,) -. -5.
9 Şekil 6.3b. Karmaşık Sayılar: h, v4 (Örnek 3) x x + 4 y y 4x + y yt y v r x r, 4i v r x t
93 IS-LM modelini daha önce statik biçimiyle incelemiştik. Şimdi modeli yeniden tanımlayarak, örneğin bir para politikasının etkisinin zamanla nasıl bir gelişime yol açacağını oluşturalım. Toplam reel harcamayı ( ) ex ( t ) a + c t y ( t ) er ( t ) görelim. İlk olarak reel piyasayı ( ex( t) ) şöyle yazabiliriz: Burada t, marjinal vergi oranını tanımlamaktadır.
94 Para piyasında para talebi ve arzını da şöyle tanımlayabiliriz: m ( t ) fy ( t ) gr ( t ) d M M, m S M P Reel piyasada reel gelir (y(t)), reel toplam harcama (ex(t)) ile reel gelir arasındaki farka bağlı olarak değişim gösterecektir. Para piyasasında ise, reel para talebi ile reel para arzı arasındaki farka bağlı olarak da faiz oranı değişecektir. ( ) ( ( y α ex ( t ) y ( t ) α a + c t y ( t ) er ( t ) y ( t ), α > ( ) ( r β m ( t ) m β fy ( t ) gr ( t ) m, β > d ) ) )
95 Şekil 6.4 de IS ve LM eğrileri yer almaktadır. IS eğrisinin üzerindeki tüm noktalar reel piyasanın dengede olduğunu, LM eğrisinin üzerindeki tüm noktalar da para piyasasının dengede olduğunu ifade y eder. Yani reel piyasa dengedeyken gelir değişmez ( ) ; para r piyasası dengedeyken faiz oranı değişmez ( ). IS eğrisi, durumunu, LM eğrisi, r y durumunu gösterir. Bunu dikkate alarak IS ve LM denklemlerini belirleyelim. ( ( ) ) y α a + c t y er y r ( ( ) ) a + c t y e ( ) r β fy gr m r fy m g
Şekil 6.4, ekonominin denge dışı bir durumda bulunduğunda, dinamik süreçlerin nasıl oluşacağını oklarla göstermektedir. Örneğin IS eğrisinin sağında bulunduğumuzu varsayalım. Bu durumda şunu yazabiliriz: ( ( ) ) a + c t y r > > a + c ( t ) y er y < e ( ) 96 Yani ekonomi IS eğrisinin sağında yer aldığında, reel gelir (y) azalır. Şekil 6.4 te bu, sola doğru okla gösterilmiştir.
97 r LM ( r ) r * E IS ( y ) y * y
Benzer biçimde, ekonomi para piyasası dengesizliği içindeyken faiz oranı değişimine de bakabiliriz. Örneğin ekonomi LM eğrisinin sağında ise şunu yazabiliriz: 98 fy m r < fy gr m > g r > Yani ekonomi LM eğrisinin sağında yer aldığında, nominal faiz oranı (r) artar. Şekil 6.4 te bu, yukarıya doğru okla gösterilmiştir.
99 IS ve LM eğrilerine ilişkin bu bu dinamik davranışları birlikte değerlendirdiğimizde, sistemin (grafiğin) dört bölgesindeki hareket bir bütün olarak saatin dönüş yönünün tersi yönde gerçekleşmektedir. Şimdi nominal para arzının azaltıldığı bir para politikasının etkisini inceleyelim (Şekil 6.5). Para arzının azaltılması sonucunda LM eğrisi sol tarafa doğru kayacaktır. Nihai yeni denge E dir. Yeni dengeye geliş süreci için olası dört farklı sürece bakalım.
r S 3 S 4 A S LM ( m ) LM ( m ) * r E S r E * IS ( y ) y* y* y
Birinci olası durum S ile gösterilmiştir. Bu durum, para piyasasının para politikası karşısında daha esnek olduğunu varsaymaktadır. Para arzındaki artış kısa sürede faiz oranlarını (A noktasına kadar) artırmakta; artan faiz oranları karşısında yatırımlar azalmakta ve çarpan etkisiyle reel gelir düzeyi yeni denge değerine gerilemektedir. Gelirdeki düşme para talebini azalttığından, faiz oranları da azalmaktadır (LM eğrisi boyunca E denge noktasına hareket). Bu süreçte faiz oranı daha hızlı tepki vermekte (yani anlık sıçramalar yapmakta), gelir ise daha yavaş bir uyarlanma süreci yaşamaktadır.
İkinci olası durum S ile gösterilmiştir. Bu durumda her iki piyasanın uyarlanma süreci yavaştır. Faiz oranları yeni dengeye sıçramalarla gelmez. Üçüncü olası durumda (S 3 ) faiz oranları ikinciye göre daha hızlı bir uyarlanma göstermektedir. Ancak saatin tersi yöndeki bu hareket daha az olası bir durumdur. Daha çok görülmesi olası durum S 4 ile gösterilmiştir. Bu süreç de para piyasasının daha esnek bir uyarlanma sürecine sahip olduğunu varsaymaktadır. Para piyasasının uyarlanmasının daha hızlı olması, β katsayısının büyük olasıyla ilgilidir. Reel piyasanın uyrlanma hızını daαkatsayısı belirlemektedir.
3 Şimdi bir sayısal örnek yapalım. a 5, c.75, t.5, e.55 f.5, u.5, m 8 Bu verilere göre ekonominin başlangıçtaki denge değerleri şöyledir: ( y, r ) (6,5) * * Reel para arzının 8 den 5 e düştüğünü varsayalım: m 5 Bu durumda yeni denge değerleri şöyle oluşacaktır. ( y, r ) (54,7) * *
Buna göre IS-LM modelinin dinamik yapısı reel piyasa ve para piyasası için şu diferansiyel denklemlerle tanımlanacaktır. 4 y.4375 α y.55 α r + 5 α r.5 β y.5 β r 5 β Ekonominin para politikası sonrasında hangi süreci izleyerek yeni denge noktasına ulaşacağını α ve β parametrelerinin büyüklükleri belirleyecektir. Üç olası süreci dikkate alalım: S S S 3 : α.5, β.8 : α., β.8 : α.5, β.8
5 Ekonomiyi daraltıcı bir para politikasının etkisi, üç olası durum karşısında Şekil 6.6 ile gösterilmiştir. Ekonominin yeni dengeye geliş süreci, α ve β parametrelerinin oluşmaktadır. parametrelerinin alacağı sayısal değerlere göre Şekil 6.7 ise, hem para hem de maliye politikasının birlikte genişlemeci olduğu bir durum için oluşturulmuştur. Para piyasası uyarlanma katsayısının yüksek ve reel piyasanın uyarlanma katsayısının düşük değer aldığı durumda (S ) ekonomi yeni dengeye daha az dolambaçlı ve hızlı ulaşmaktadır.
6 LM S S LM 5 8 * * 6 4 ( y, r ) (54,7) S 3 6 65 7 ( y* *, r ) (6,5) IS S S : α.5, β.8 : α., β.8 8 S 3 : α.5, β.8
7 LM LM ( y, r ) (54,7) * * 5 S 3 ( y, r ) (6,5) * * 5 55 6 65 S S 7 75 8 85 IS IS 5 S S S 3 : α.5, β.8 : α., β.8 : α.5, β.8
Şimdi IS-LM modelini, yatırımların aynı zamanda gelir (talep) düzeyince de belirlendiğini varsayarak genişletelim. Modeli şöyle yazabiliriz: ( ) ex a + c t y er + jy, j > m fy gr d y α ( ex y) r β ( m m ) d 8 Bu diferansiyel denklemleri yeniden düzenleyelim: (( ( ) ) y α A + α c t + j y α er r β fy β gr β m ) )
Yukarıdaki diferansiyel denklemleri sıfıra eşitleyerek sırasıyla IS ve LM eğrilerini belirleyelim: ( a ( c t j y y r ( IS ) e m + fy r r LM g ( ) ) ( ) 9 Bu modelle bir önceki modeli birbirinden ayıran nokta, j nin alacağı değere bağlı olarak IS eğrisinin hem pozitif hem de negatif biçim alabilmesidir (Şekil 6.8a ve 6.8b) b). c( t ) j > <
r ( c t j > ) LM ( r ) IS ( y ) r * E y * y
r ( c t j > ) IS ( y ) LM ( r ) r * E y * y
Şimdi modeli tanımlayan diferansiyel denklemleri sıfıra eşitleyerek, y ve r yi denge değerlerinde alalım. (( ( ) ) ) ) α a + α c t + j y α er * * β β β fy* gr* m Diferansiyel denklemlerden, bunların farkını alarak yazalım. ( ( ) )( y α c t + j y y α e r r r β f y y β g r r ( * ) ( * ) ) ( ) * *
3 Bu sistemin matrisi: A ( ( ) ) α c t + j α e β f β g Bu matrisin izini ve determinantını da şöyle yazabiliriz: ( ( ) tr ( A ) α c t + j β g det( ) ( ( ) ) ) A αβ g c t + j + α e β f ) Şimdi bu durumu bir örnekle gösterelim.
4 Parametre değerlerinin aşağıdaki gibi olduğunu varsayalım: a 5, c.75, t.5, e, j.95 f., g.75, m 8, α.5, β.8 Bu değerler için denge gelir düzeyi ve faiz oranı şöyle olur: y 65.4, r.5 * * Şimdi diferansiyel denklemi, denge durumundan farkını alarak yeniden yazalım (dengeden sapmaya göre tanımlayalım): y.56 y y.5 r r ( ) ( ) * * r.76 y y.6 r r * * ( ) ( )
5 Bu diferansiyel denklemin karakteristik kökleri (özdeğerleri): A ri.56 r.5.76.6 r r +.5744 r.66 r., r.586 İlk çözümü yazalım: * * * * y y y y.56.5 y y y y A r. * * * * r r r r.76.6 r r r r ( ) r r.88 y y * *
6 Benzer biçimde ikinci özdeğeri kullanarak ikinci çözümü yazalım. * * * * y y y y.56.5 y y y y A r.586 * * * * r r r r.76.6 r r r r ( ) r r.3 y y * * Bu çözüm için IS, LM eğrileri ile öz öz-vektörlerin bir arada tanımlandığı süreç grafiği Şekil 6.9 la gösterilmiştir. r öz-değerine karşılık elde ettiğimiz öz-vektör boyunca sürecin kararlı, r öz-değerine karşılık gelen öz-vektör boyunca da kararsız olduğuna dikkat edelim. Yani genel çözüm bir eyer noktası tanımlamaktadır.
7 v r IS ( y ) v r LM ( r )
8 Şimdiye kadar IS-LM modelinde dikkate almadığımız bir konu üzerinde duralım. Acaba menkul kıymetler piyasasındaki davranışlar, gelir ve faizleri etkileyebilir mi? Bu konuya ilk olarak Tobin (969) değinmiştir: q yatırım teorisi. q değişkeni, değişkeni, bir yenileme maliyeti oranı olarak menkul değerin piyasa karşılığını göstermektedir. Yani, tüm menkul değerlerin gelecekteki getirileri eşit olursa (R), bu getirileri piyasa faiz oranından (r) günümüze indirgediğimizde VR/r ye eşitlenir.
Diğer yandan firmalar, yatırımların getiri oranı (R/ρ), sermaye stokunun yenilenme maliyetine (RC) eşitleninceye kadar yatırımlarını sürdüreceklerdir. Burada ρ sermayenin marjinal etkinliğini göster- mektedir. Buna göre q yu yeniden yazalım: 9 q V R r ρ RC R ρ r Bu denklem, net yatırımın q nun bir fonksiyonu olduğunu göstermekyatırımın getiri oranı tedir. Uzun dönemde her iki eşitleneceğinden, rρ, yani q olacaktır. Dolayısıyla Dolayısıyla net bir yatırım yapılmayacaktır. Buradan çıkarılacak sonuç şudur: Yatırımlar, dolayısıyla ekonomideki toplam harcamalar q nun pozitif yönlü bir fonksiyonudur.
Ekonominin toplam harcamalarını (ex), q yu dikkate alarak yeniden tanımlayalım: a ( t ) a y ( t ) + a q ( t ) + g, < a <, a > Burada g kamu harcamalarıdır. Dinamik IS-LM modelinde olduğu gibi, reel piyasada bir harcama gelir dengesizliği durumunda gelir değişime uğrayacaktır (gecikmeli değişim): y σ ex ( t ) y ( t ), σ > ( ) Reel piyasadaki gecikmeli uyarlanmaya karşın, para piyasasındaki dengesizliğe uyarlanmanın hemen gerçekleştiğini varsayalım: fy ( t ) gr ( t ) m, f >, g >
Şimdi de bono getiri oranını (ya da eşdeğer olan hisse senedi) tanımlayalım: r b y( t) + q e ( t) q( t) Burada b y(t) milli gelirin bir oranı olarak olarak firma karlarını, q e ( t) firmanın beklenen kazançlarını göstermektedir. Ayrıca rasyonel bekleyişlerin olduğunu varsayıyoruz: q e ( t) q
Tüm bu belirlemelerden sonra modeli yeniden yazalım. Model dört temel denklem üzerine kuruludur: e a y + a q + g m fy gr y σ e y ( ) r b y q + q
Bu dört denklemi yeniden düzenleyerek, doğrusal olmayan iki diferansiyel denkleme indirgeriz: ( ) y σ a y + σ a q + σ g 3 fq q b y g qm g İlk olarak bu diferansiyel denklem sisteminin uzun dönem denge değerini belirleyelim: ( a ( ) ) y g y σ a y + σ a q + σ g q ( IS ) a fq qm gb y ( ) q b y q LM g g fy m
Şekil 6., IS eğrisini ve reel piyasa dengesinden sapmaların nasıl bir harekete yol açacağını göstermektedir. IS doğrusu, elde edilmiştir. Dolayısıyla bu doğru boyunca şu geçerlidir: y 4 yapılarak y q ( a ) y g a Bu doğrunun sol üst tarafı için de şu yazılabilir: ( a ) y g > ( ) + + > > q a y a q g y a Yani ekonomi IS doğrusunun sol üst kısmında bulunuyorsa, gelir düzeyi (y) artar. Bu, Şekil 6. de sağ yana yönlenmiş kırmızı ok ile gösterilmiştir.
5 q q > ( a ) y g a IS ( a ) y g y q a y > q < ( a ) y g a y < y
6 Bu doğrunun sağ alt tarafı için de şu yazılabilir: ( a ) y g < ( ) + + < < q a y a q g y a Yani ekonomi IS doğrusunun sağ alt kısmında bulunuyorsa, gelir düzeyi (y) azalır. Bu, Şekil 6. de sol yana yönlenmiş mavi ok ile gösterilmiştir. Şimdi de LM eğrisini oluşturalım. LM eğrisi, doğrusal olmayan bir denklemce tanımlanmaktadır. Bu denklemin y e göre birinci türevini alarak, gelir karşısında göreli firma değerinin nasıl değişmekte olduğunu görebiliriz. ( ) ( ) ( ( ) dq fy m gb gb fy b g b f g y b q f g dy fy m fy m g fy m r ) ( ) ( )
Bu sonuca göre LM eğrisinin şekli dır. ( ) b > q f g b q f g farkının işaretine bağlı- ise pozitif, aksi durumda negatif eğimlidir. Her iki durumda Şekil 6. in a ve b panellerinde gösterilmiştir. Şimdi LM eğrisinin negatif ya da pozitif olabilmesinin iktisadi açıdan anlamına bakalım. Gelirde bir yükselme olduğunu varsayalım (Her iki şekilde de A noktasından B noktasına amaçlı para talebini artıracağından (para arzı sabitken) faiz oranları yükselir (q azalır). Bunun sonucunda firmanın hisse senedi değeri yükseleceğinden, karlılık artacaktır. Bu aktarım sürecinde eğer gelirdeki artış hisse senedinden elde edilen kazançları faiz oranlarındaki artıştan daha az artırırsa, faiz oranı ile hisse senedi getirisindeki denge yeniden sağlanacak şekilde q azalır (Şekil 6.a da B den C ye hareket). ( ) 7 noktasına hareket). Gelirdeki artış işlem
8 Gelirdeki artışın, hisse senedi piyasasında fiyat düşüşlerine yol açtığı bu durumu Blanchard kötü haberler olarak tanımlamaktadır. Eğer gelirdeki artış hisse senedinden elde edilen kazançları faiz oranlarındaki artıştan daha çok artırırsa, faiz oranı ile hisse senedi getirisindeki denge yeniden sağlanacak şekilde q yükselir (Şekil 6.b de B den C ye hareket). Blanchard olarak tanımlamaktadır. Blanchard bu durumu da iyi haberler
9 q LM q > gb y fy m A B C q < fy gb y m q gb y fy m y
3 q q > gb y fy m q fy gb y m C B A q < gb y fy m LM y
3 Şimdi reel kesim ile parasal kesim davranışlarını birlikte Şekil 6.a ve 6..b de görelim. Her iki şekilde de r öz-değeriyle tanımlanan özdiğer öz-vektör boyunca da vektör boyunca süreç kararlı, kararsızdır. Rasyonel beklentiler varsayımı ve veri tek y düzeyine karşılık ekonomide kararlı dengeye yeniden dönüşü sağlayan tek q değeri vardır.
3 q q v r y v r IS LM y
33 q v r y q v r LM IS y
Bu modeli bir de sayısal olarak oluşturalım ve çözelim. Modeli, haberlerin iyi olduğu varsayımına göre yazalım. 34 ex.8 y +. q + 7 8.5 y. r ( ) y ex y r.y + q q Bu dört denklemi düzenleyerek aşağıdaki iki diferansiyel denklemi elde ederiz. y 4.4 y +.4 q q.5 qy. y 4 q
35 İlk olarak modelin uzun dönem denge değerlerini belirleyelim: y 4.4 y +.4 q q.5 qy. y 4 q y * 35.76, q *.76, r * 4.7 Diferansiyel denklemleri durağan-durusıra Taylor açılımı yaparak denge değerlerinde birinci doğrusallaştıralım..4 * * ( ) +.4 ( ) y y y q q ( ) ( ) ( ) ( ) q.5 q y y. y y 4 q q +.5 y q q * * * * * *
36 Son denklemleri yeniden düzenlersek: ( ) ( y.4 y y +.4 q q * *.85 * * ( ) * 4.7( ( ) q q y y + q q ) Bu diferansiyel denklem sisteminin karakteristik köklerini belirleyelim..4 r.4 A ri r 4.43 r..85 4.7 r r 4.7658, r.4658
37 Buna göre sistemin belirsiz çözümü şöyledir: y( t) y + A e + A e * 4.7658 t.4658 t q( t) q + A e + A e * 4.7658 t.4658 t 3 4 Öz-vektörleri de şöyle bulabiliriz: r.4 4.7658.4 v r.85 4.7 4.7658 v ( A r I r ) v v, v.945 r r r.4 (.4658).4 v r.85 4.7 (.4658) v ( A r I r ) v v, v.645 r r
38 q v r IS LM v r y
39 Hükümetin kamu harcamalarını artırdığını varsayalım. Bu politika LM eğrisi üzerinde bir etki yaratmaz, ancak IS eğrisini paralel biçimde sağ yöne doğru kaydırır. Kötü ve iyi haberler durumlarının her ikisi de Şekil 6.3a ve 6.3b de yer almaktadır. Kamu harcama artışı sonrasında gelir düzeyi hemen yükselmez. Ekonomi başlangıçtaki E denge durumundan E' durumuna geçer. Sonra öz- vektörü boyunca hareket ederek yeni denge noktasına (E ) ulaşır. Kötü ve iyi haber durumlarının her ikisinde de gelir artışı olmakla birlikte, kötü haber durumunda hisse senedi fiyatları düşer. v r
4 q ẏy q y IS E E E v r v r IS LM y
4 q y LM E E E y v r v r q IS IS y
4 Merkez Bankasının para arzını artırdığını varsayalım. Bu politika IS eğrisi üzerinde bir etki yaratmaz, ancak LM eğrisini paralel biçimde sağ yöne doğru kaydırır. Kötü ve iyi haberler durumlarının her ikisi de Şekil 6.3a ve 6.3b de yer almaktadır. Kamu harcama artışı sonrasında gelir düzeyi hemen yükselmez. Ekonomi başlangıçtaki E denge durumundan E' durumuna geçer. Sonra öz- vektörü boyunca hareket ederek yeni denge noktasına (E ) ulaşır. Kötü ve iyi haber durumlarının her ikisinde de gelir artışı olmakla birlikte, kötü haber durumunda hisse senedi fiyatları düşer. v r
43 q q y q E E v r IS E v r LM LM y
44 q y LM LM E E E q v r q v r IS y
45 Gregory Mankiw, David Romer ve David Weil (99) çalışmasında, K ve L girdilerinin yanına beşeri sermayeyi (H) katarak, Solow büyüme modelini genişletmişlerdir. Bu modelde de teknolojik gelişme dışsal alınmıştır. Bir ekonomide nihai ürünün(y) Cobb-Douglas üretim fonksiyonu ile, K, H ve L girdileri kullanılarak üretildiğini varsayalım. α β Y K H AL α β α > β > α + β < ( ),,,
Fiziksel sermaye ve beşeri sermaye birikimi aynı yıpranma oranına (δ) sahip olmak üzere şöyle yazılabilir: K Y K s KY dk sk δ K K H Y H s HY dh sh H H δ İşgücü istihdam artış hızı ve teknolojik gelişme hızı dışsaldır: nt L L Le n L A A gt A Ae g 46
Solow büyüme modelindekine benzer biçimde, fiziksel ve beşeri sermaye birikim denklemleri ile Harrod-nötr teknolojik gelişmeye göre tanımladığımız üretim fonksiyonunu kullanarak, Genişletilmiş Solow Büyüme Modelinin temel dinamik denklemlerine ulaşalım. 47 α β ( ) α β Y K H Y K H AL AL AL AL α β Y K H y k h, y, k, h AL AL AL α β
Şimdi k ve h nin dinamiğini belirlemek için önce logaritmasını, sonra da zamana göre türevini alalım ve düzenleyelim. 48 k K k K L A + AL k K L A H h H L A h + AL h H L A k Y ( ) α β s ( ) K n + g + δ k skk h n + g + δ k k K h Y ( ) α β s ( ) H n + g + δ h shk h n + g + δ h h H
49 Genişletilmiş Solow Modelinin temel dinamiklerini gösteren bu iki denklem, aynı anda çözülmesi gereken (yani ekonomide eşanlı olarak hem fiziksel sermaye hem de beşeri sermaye için durağan durumu gösteren), birinci dereceden, doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerdir. Bu doğrusal olmayan eşanlı diferansiyel denklemi çözebilmek için, ilk olarak durağan durum değeri etrafında birinci sıra Taylor açılımı yaparız. α β F ( k, h ) k s k h θ k, n + g + δ θ α β G( k, h) h s k h θ h K H
5 ( ) ( ) F( k, h) F( k, h ) + F k k + F h h * * * * k h ( ) ( ) G( k, h) G( k, h ) + G k k + G h h * * * * k h F F Fk sk α k h θ, Fh sk β k h k h α β α β G G Gk sh α k α h β, GH sh β k α h β θ k h ( ) * K * * * K * F( k, h) s ( k ) ( h ) k s ( k ) ( h ) k k α β θ + α α β θ ( ) G ( k, h ) s ( k ) ( h ) θ h + s α ( k ) ( h ) k k + s β ( k ) ( h ) θ h h * α * β * * α * β * * α * β * H H H * * α * β * ( ) + sk β ( k ) ( h ) ( h h ) ( ) ( )
5 Açılımın sağındaki ilk terim, durağan durumda sıfır olacaktır. F ( k, h ) k s ( K α ( k ) ( h ) θ k k + s β ( k ) ( h ) h h ) ( ) * α * β * * α * β * K G ( k, h ) h s ( H α ( k ) ( h ) k k + s β ( k ) ( h ) θ h h ) ( ) * α * β * * α * β * H k* ve h* terimlerinin birer sabit değer olacağını dikkate alarak, bu diferansiyel denklemleri yeniden matris biçiminde düzenleyelim. * k ( α ) θ βθ k * h * k θ ( α+β ) k ) * h * h ( ) h + ( ) h ) θ α+β αθ β θ * k
Çözüm iki kısımdan oluşacaktır. İlk olarak k ve h nin durağan durum (denge) değerlerini (k* ve h* ) MRW Büyüme Modelinin asıl dinamik denklemlerinde k ḣ ve yi sıfıra eşitleyerek elde edeceğiz. Bunun ardından tamamlayıcı fonk- siyonları bulabilmek için, doğrusallaştırılmış denklemleri homojenleştirerek çözeceğiz. İlk olarak durağan durum denge değerleri şöyledir: 5 * α * β * k s k h θ k K ( ) ( ) α ( ) ( ) * * β * h s k h θ h H β α * sk α s * * β α H * β ( ) ( ) k h, h k θ θ
yonları bulalım. Bunu yaparken k ve diğine dikkat edelim. 53 Şimdi doğrusallaştırılmış denklemleri homojenleştirerek tamamlayıcı fonksih nin durağan durumda değerlendiril- * k ( ) k α θ βθ * h k * h h ( ) h αθ β θ * k
İlk olarak karakteristik kökleri (özdeğerleri) ve buna bağlı olarak karakteristik 54 vektörleri(özvektörleri) belirleyelim. * k ( α ) θ r βθ * h A ri * h αθ ( β ) θ r * k r ( ) r ( + α β θ + α β θ ) r, ( α β ) θ ( α β ) θ 4 ( α β ) θ r θ <, r θ α β < ( )
55 Karakteristik vektörler(özvektörler): * k ( α ) θ r βθ * h A ri v v * h ( ) r αθ β θ * k [ ] * k ( α ) θ ( θ ) βθ * h v A r I v * h v ( * αθ β ) θ ( θ ) k k α h θα v +βθ v v v h β k * *, * *
56 * k ( α ) θ r βθ * h A ri v v * h ( ) * αθ β θ r k [ ] * ( ) ( ( )) k α θ θ α+β βθ * h v A r I v * h ( ) ( ( )) v αθ β θ θ α+β * k k h βθ v +βθ v v v h k * *, * *
57 Buna göre karakteristik kökleri ve vektörleri birlikte yeniden yazalım. θ v v r v α β v ( ) r θ α β v * h v * k Bu sonuçları dikkate alarak belirsiz genel çözümü yazalım. * k( t) θ t * h α ( ) k θ α β t h( t) A * e + A e h + * h * β k * k h k * *
Belirsiz çözümü belirli çözüme dönüştürebilmek için başlangıçta ekonominin sahip olduğu fiziksel ve beşeri sermaye stokunu sırasıyla k() ve h() olarak bildiğimizi kabul edelim. Belirsiz çözümde talarak A ve A yibelirleyebiliriz. 58 k() * k A * h A * α + h + h() * β k * * k h * k () A + A A + k * * α h h * h() A * + A + h * β k k A β ( * * h() k h k() ) * ( α+β ) h ( () ) ( () ) * ( α+β ) h α h k k +β k h h * * * *
59 Buna göre belirli çözüm: ( ) ( α+β ) h ( ) * * * * * * β h() k h k() α h k() k +β k h() h * θ t θ ( α β ) t k t k + e + e * * α+β h ( ) ( α+β ) k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * * * α h k () k h () α h k () k +β k h () h * θ t θ ( α β ) t h( t) h + e + e * * α+β k Şimdi fiziksel ve beşeri sermayenin asimptotik olarak nasıl hareket ettiğine bakalım. lim k( t) k, lim h( t) h t * * t
Doğrusallaştırma yoluyla elde ettiğimiz modelin zaman içindeki davranışını aşama grafikleriyle de görelim. İlk olarak k ve h için durağan durum değerlerini gösteren eğrileri tanımlayalım. * k (( ) ) * k α θ k + βθ * h h + θ ( α+β ) k 6 k ( α+β ) k + β k * * ( α ) ( α ) h * h Sarı Renkli Doğru * h ( ( ) ) * h αθ * k k + β θ h + θ ( α+β ) h k * ( α+β ) k + α ( β ) α h * k * h Yeşil Renkli Doğru
Şekil 4.. MRW Büyüme Modelinde Dengeli Büyümeye Geçiş Sürecinin Dinamiği 6 k k * IV E ( ) * * ( α + β ) k β k k + h * α α h I k ( α + β ) k k + h β k * * ( α ) ( α ) h * h ( α + β ) k ( α ) * III II ( * α + β )kk α h * h
6 Şimdi Şekil 4. i kullanarak, bir iktisat politikası değişikliği sonrasında ekonominin nasıl davranış göstereceğini inceleyelim. Sarı renkli doğru boyunca etkin işgücü başına fiziksel sermaye, başına beşeri sermaye dengededir. Her yeşil doğru boyunca da etkin işgücü iki doğru, MRW modelinin asıl dinamik denklemlerinin, durağan durum denge noktasında (k* ve h*) birinci sıra Taylor açılımı ile elde edilmiştir. Bu nedenle asıl dinamik denklemleri gösteren kırmızı ve mavi eğriye k* ve h* noktasında teğettirler. Bu iki doğru koordinat sistemini dört bölgeye ayırmıştır. Bu bölgeleri Romen rakamlarıyla tanımladık. Ekonomi, politika değişikliği öncesinde k* ve h* dengesindeyken, bir politika değişikliği sonrasında ilk olarak bu dört bölgeden birine geçiş yapacaktır(geçici süreyle).
Dengeden uzaklaşma sonrasında ekonominin nasıl bir seyir izleyeceğini görebilmek için, her bir bölgede hem fiziksel hem de beşeri sermayenin hangi yönlerde değişeceğini belirleyelim. Bunun için doğrusallaştırılmış diferansiyel denklemleri yeniden kullanalım. İlk olarak fiziksel sermayenin davranışını görelim. Sarı doğrunun üst bölgesi (I. ve IV. bölgeler) için şu eşitsizliği yazabiliriz: 63 k * * ( α + β ) k β k > + ( α ) ( α) α h * h Bu eşitsizliği düzenleyerek şunu yazabiliriz: * k * α θ k + βθ * h h + θ ( α + β ) k < k < ( ) ( )
Buna göre, ekonomi sarı renkli eğrinin üst bölgesinde bulunduğunda etkin işgücü başına fiziksel sermaye azalacaktır. Alt bölge için bunun tersinin geçerli olacağını söyleyebiliriz. Özetlersek; I. ve IV. bölgelerde: k < II. ve III. bölgelerde: k > k < durumu, k için azalmayı; k > durumu da artmayı göstermektedir. Şekil üzerinde fiziksel sermayedeki azalmayı aşağı yönlü okla, artmayı da yukarı yönlü okla gösterdik. Benzer analizi etkin işgücü başına beşeri sermaye için de yapalım. 64
Yeşil doğru boyunca fiziksel sermaye birikimi yoktur. Yeşil doğrunun üst bölgesi (III. ve IV. bölgeler) için şu eşitsizliği yazabiliriz: 65 k * ( β ) * ( α + β ) k k α + β > + α α h * h * h (( ) ) * * k h h h αθ + β θ + θ ( α + β ) < < k III. ve IV. bölgelerde: I. ve II. bölgelerde: h < h > h < durumu, h için azalmayı; h > durumu da artmayı göstermektedir. Şekil üzerinde beşeri sermayedeki azalmayı sola yönlü okla, artmayı da sağa yönlü okla gösterdik.
66 MRW büyüme modelinin temel dinamik denklemlerinin çözümüyle elde ettiğimiz sonuçlar ve grafik analizi, zaman içinde ekonominin asimptotik olarak yeni bir denge durumunu tanımlayacağını göstermektedir. Ekonomi, politika sonrası hangi bölgeye gelmiş olursa olsun, değişim süreci mutlaka yeni bir k ve h denge değeri tanımlayacaktır. Bir iktisat politikası ya da dışsal değişim sonrasında fiziksel ve beşeri sermayenin zaman içinde nasıl bir değişim izleyeceğine de bakalım. Örneğin nüfus artış hızında bir gerileme, etkin işgücü başına hem fiziksel hem de beşeri sermeyenin artarak yeni bir denge değeri tanımlamasına neden olacaktır. Bu yenidengedeğerlerine k ** ve h ** diyelim.
Şekil 4.a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Fiziksel Sermayenin Dengeli Büyümeye Geçiş Sürecinin Dinamiği 67 k k() k ** k * t
Şekil 4.a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Beşeri Sermayenin Dengeli Büyümeye Geçiş Sürecinin Dinamiği 68 h h() h ** h * t
69 Her iki şekilden de görüleceği gibi, değişimin hemen sonrasında etkin işgücü başına fiziksel ve beşeri sermaye değerleri sırasıyla k() ve h() değerlerine yükselmekte, azalan verimlerin etkisiyle önceki değerinden (k * ve h * ) daha yüksek yeni bir denge değerine (k ** ve h ** ) yakınsamaktadır. Bunun böyle bir seyirizlemesininananedeni,αveβ nın birden küçük olmasıdır. ( ) ( ) * * * * * * k β h () k h k () α h k () k +β k h () h θ t θ ( α β ) t t e ( α β ) t e * * < n α+β h α+β h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * * * h α h k () k h () α h k () k +β k h () h θ t θ ( α β ) t t e ( α β ) t e * * < n α+β k α+β k
7 Şimdi bir sayısal örnek verelim. α.5,β.3,θ.8, s K., s H.7575 varsayalım. Buna göre temel denk- lemleri oluşturalım..5.3 k.k h.8k.5.3 h.75 k h.8 h Bu temel diferansiyel denklemleri kullanarak önce durağan durum değerlerini belirleyelim..5.3 k. k h.8 k.5.3 h.75 k h.8 h k.43, h 8.4 * *
7 Özdeğerler: * k ( α ) θ r βθ * h.4 r.64 A ri * h.5.56 r αθ ( β ) θ r * k r +.96 r +.8 r,.96 (.96) 4(.8) r.8, r.6
7 Birinci özvektörü, durağan durum denge noktasında elde edelim:.4 (.8).64 v A r I v.5.56 (.8) v.4k +.64 h.64.4 ( v k ).64 ( v h ) v v.4.4 v * * * * + 35.89.6v v v.64 v v v.64
73 İkinci özvektörü, durağan durum denge noktasında elde edelim:.4 (.6).64 v A r I v.5.56 (.6) v.4 k +.64 h.64.4 ( v k ) +.64 ( v h ) v + v.4.4 v * * * *.3 +.67v v v.374 v v v.374
74 Bu sonuçları dikkate alarak belirsiz genel çözümü yazalım. k ( t ).43.8 t.6 t h t A e A e ( ).64 + +.374 8.4 ya da şöyle yazabiliriz: k ( t ) A e + A e +.43.8t.6 t h ( t ).64 A e +.374 A e + 8.4.8 t.6 t Fiziksel ve beşeri sermeye için birer başlangıç değeri kabul edip A ve A yi de çözerek belirli genel çözüme ulaşabiliriz. Başlangıç değerleri için şu varsayımı yapalım: k() 3, h()
75 k() A + A +.43 3 h ().64 A +.374 A + 8.4 A.76, A 8.33 k t e + e +.8 t.6 t ( ).75 + 8.33 +.43 h t e + e +.8t.6 t ( ).47 + 3. + 8.4 Bu çözüm, dengenin kararlı (istikrarlı) olduğunu göstermektedir. Yani, sistemin dışında oluşabilecek bir şok sonucu ekonomi ulaştığı noktadan, yeniden k * ve h * ilebelirtilenbaşlangıçdengenoktasınanoktasına dönecektir.
76 Şekil 4.3, bu örneği yansıtmaktadır. Küçük kırmızı oklar, tüm durumlarda zaman içerisindeki hareketin başlangıç denge noktasına doğru olacağını göstermektedir. Ancak modelde meydana gelebilecek bir içsel değişim(örneğin nüfus artış hızının düşmesi, tasarruf oranlarında bir artış), yeni bir denge noktasının tanımlanmasına neden olacaktır. Örneğin nüfus artış hızının azaldığını varsayalım. Bu durumda etkin işgücü başına fiziksel ve beşeri sermaye artarak, k ** ve h ** düzeyinde yeni bir kararlı denge oluşturacaktır. Bu, Şekil 4.4 te gösterilmiştir. Nüfus artış hızında bir azalmanın hemen ardından ekonomi önce geçici olarak E noktası gelir. Ardından etkin işgücü başına fiziksel ve beşeri sermaye verimliliğindeki azalmanın etkisiyle, yeni uzun dönem durağandurumdengesine(e )ulaşır.
Şekil 4.3. MRW Büyüme Modelinde Geçiş Sürecinin Dinamiği 77 k h v.3 +.67v k k * E v 35.89.6v h * h
Şekil 4.4. MRW Büyüme Modelinde Geçiş Sürecinin Dinamiği: Nüfus Artış Hızında Bir Azalma 78 k h v.6 +.67v k 35 k ** E E k * E v 49.55.6v * ** h h 5 h
79 Nüfus artış hızında.5 birimlik bir azalma varsayımı durumunda modelin çözümü şudur (bunun için θ değerini.8 den.75 e indirdiğimize dikkat edin): k t e + e +.75 t.5 t ( ).88 + 5.9 + 3.97 h t e + e +.75 t.5 t ( ).8 +. +.6 Şekil 4.4, değişim öncesi ve sonrası durumların her ikisini birden yansıtmaktadır.
8 Bu model R. Dornbusch tarafından (976) ortaya atılmıştır. Model, tam sermaye hareketliliği, para ve döviz piyasalarına göre daha ağır uyarlanan reel kesim ve ekonomik karar birimlerinin tutarlı bekleyişlere sahip olduğu varsayımlarını kullanarak döviz kuru hareketliliğini açıklamaya çalışmaktadır. Model, bir parasal genişleme sonrasına ilişkin şu üç sonuca ulaşmaktadır:. Kısa dönemde döviz kurunda hızlı bir yükseliş (yerli paranın değer yitirmesi) vehemdövizkuruhemdedışticaretdengesindedengesinde salınımlı bir seyir.
. Dengeye yeniden uyarlanma sürecinde düşen döviz kuruyla birlikte fiyatlar genel düzeyinde yükselme. 3. Döviz kurlarının fiyatlar genel düzeyi üzerinde doğrudan etkisinin bulunması. Bu anlamda modelde döviz kuru, parasal bir genişlemenin reel kesime etkilerinde önemli bir aktarım mekanizması görevini üstlenmiştir. Para politikasının faiz oranları ve döviz kuru üzerindeki etkisi, reel milli gelirin davranışına sıkı sıkıya bağlıdır. Eğer reel gelir sabitse, parasal genişleme kısa dönemde faiz oranlarını düşürüp, döviz kurunun uzun dönem değerine aniden bir sıçrama yapmasına neden olur. Aksi durumda ise, her ikisi de daha ağır bir uyarlanma süreci yaşar. 8
Modelde üç kesim tanımlanmaktadır: Reel kesim (mal piyasası), para piyasası ve uluslar arası para piyasası. Her üç piyasayı tanımlayan denklemler şöyledir: 8 Reel Kesim(Mal Piyasası): ( ),, ex cy + g + h s p < c < h > ( ) p α ex y, α > Para Piyasası: m p + fy ur, f >, u > d m m m s Uluslararası Para Piyasası: d r r + s * e (tam sermaye hareketliliğini tanımlamaktadır) e s s
83 Yukarıdaki denklemlerde yer alan değişkenlerin anlamları şöyledir: ex, toplam harcama; i, özel kesim yatırım harcamaları; g, kamu harcamaları; p, yurtiçi fiyatlar genel düzeyi; y, reel milli gelir; m d, nominal para talebi; m s, para arzı; r *, yurtdışı faiz oranı; s, spot döviz kuru; s e, beklenen spot döviz kuru; s *, döviz kuru uzun dönem denge değeri(ya da satınalma gücü paritesi değeri). Değişkenlerin küçük harfli gösterimi, bunların doğal logaritmaları anlamına gelmektedir. Modelde tanımlayacağımız bir diğer değişken, reel döviz kurudur(r). R P SP * Burada P *,yurtdışındakifiyatlargeneldüzeyidir.
Diğer bir ifadeyle R, yurtiçi genel fiyat düzeyinin, yerli para birimiyle tanımlan- mış olan yurtdışı genel fiyat düzeyine oranıdır. Eğer satınalma gücü paritesini tanımlayan tek fiyat yasasını kabul edecek olursak (uzun dönemde), PSP * ve dolayısıyla R yazabiliriz. Şimde R oranının her iki yanının doğal logaritmasını alalım ve yukarıdaki varsayımı ve yurtdışı fiyatlar genel düzeyinin de birim değere sahip olduğu varsayımını kullanalım. ln R ln P ln S ln P R P s p *, * 84
85 s deki bir yükselme (ki yerli paranın değeri yabancı para karşısında azalıyor demek), yerli para cinsinden yurtdışındaki fiyatların yükselmesi anlamına gelir ve bunun sonucu olarak da yurtiçinde üretilen mallar göreli olarak ucuzlamış olur. Bu durum ihracatın yükselmesine, ithalatın azalmasına yani net ihracatın ve toplam yurtiçi harcamaların artmasına neden olur. Reel kesimi tanımlayan ikinci denklemde ekonominin tam kaynak kullanım düzeyinde bulunduğunun varsayılması nedeniyle, aşırı bir talep durumunda gelir düzeyi yerine fiyatlar genel düzeyi yükselecektir.
Uluslararası para piyasalarını tanımlayan denklem de, döviz kurunda bir değer düşmesi ya da yükselmesi olduğunda, yurtiçi faiz oranının yurtdışı faiz oranından sapacağını söylemektedir. Bunun arkasındaki varsayım sermayenin tam hareketli olmasıdır. Tam tersi döviz kurlarını sabit kabul edecek olursak, spot döviz kuru beklentisinde hiçbir değişme gerçekleşmeyecektir: Fiili ve beklenen spot döviz kuru aynı hale geleceğinden, yurtiçi ve yurtdışı faiz oranları da sapma göstermeyecektir. e s 86 Yukarıda görüldüğü gibi, genel olarak model mal piyasası ve para piyasası ilişkileri üzerine kuruludur. Her iki piyasada da ana belirleyici değişkenler p ve s dir.