İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
|
|
|
- Ilker Gulden
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem denir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 1/ 26
2 A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem denir. x 2 y + 2xy + 3y = cos x ikinci mertebeden lineer, homogen olmayan bir denklem, Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 1/ 26
3 A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem denir. x 2 y + 2xy + 3y = cos x ikinci mertebeden lineer, homogen olmayan bir denklem, x 2 y + 2xy + 3y = 0 ise bununla ilgili olan ikinci mertebeden lineer homogen denklemlerdir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 1/ 26
4 İkinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler İkinci mertebeden genel lineer A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) diferansiyel denklemi ele alalım. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26
5 İkinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler İkinci mertebeden genel lineer A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) diferansiyel denklemi ele alalım.burada A(x), B(x), C(x) ve F (x) fonksiyonları I da sürekli ve x I A(x) 0 dır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26
6 İkinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler İkinci mertebeden genel lineer A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) diferansiyel denklemi ele alalım.burada A(x), B(x), C(x) ve F (x) fonksiyonları I da sürekli ve x I A(x) 0 dır.yukarıdaki denklemin her iki tarafı A(x) e bölünürse, denklem biçiminde ifade edilebilir. y + p(x)y + q(x)y = f(x) (1) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26
7 İkinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler İkinci mertebeden genel lineer A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) diferansiyel denklemi ele alalım.burada A(x), B(x), C(x) ve F (x) fonksiyonları I da sürekli ve x I A(x) 0 dır.yukarıdaki denklemin her iki tarafı A(x) e bölünürse, denklem biçiminde ifade edilebilir. İlk olarak (5) ile ilgili olan homogen denklemi inceleyeceğiz. y + p(x)y + q(x)y = f(x) (1) y + p(x)y + q(x)y = 0 (2) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26
8 y + p(x)y + q(x)y = 0 (7) Teorem: (Superposition prensibi) y 1 ve y 2, (7) ile verilen homogen denklemin I aralığı üzerinde iki çözümü olsun, C 1 ve C 2 keyfi sabitler olmak üzere, y = C 1 y 1 + C 2 y 2 (3) ifadeside (7) ile verilen denklemin I aralığı üzerinde bir çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 3/ 26
9 y 1 (x) = cos x ve y 2 (x) = sin x fonksiyonlarının y + y = 0 denkleminin çözümleri oldukları kolaylıkla görülebilir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26
10 fonksiyonlarının y 1 (x) = cos x ve y 2 (x) = sin x y + y = 0 denkleminin çözümleri oldukları kolaylıkla görülebilir.teorem, bu çözümlerin örneğin; y(x) = 3y 1 (x) 2y 2 (x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26
11 fonksiyonlarının y 1 (x) = cos x ve y 2 (x) = sin x y + y = 0 denkleminin çözümleri oldukları kolaylıkla görülebilir.teorem, bu çözümlerin örneğin; y(x) = 3y 1 (x) 2y 2 (x) = 3 cos x 2 sin x gibi herhangi bir lineer birleşimininde denklemin bir çözümü olduğunu belirtir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26
12 fonksiyonlarının y 1 (x) = cos x ve y 2 (x) = sin x y + y = 0 denkleminin çözümleri oldukları kolaylıkla görülebilir.teorem, bu çözümlerin örneğin; y(x) = 3y 1 (x) 2y 2 (x) = 3 cos x 2 sin x gibi herhangi bir lineer birleşimininde denklemin bir çözümü olduğunu belirtir. Tersine, y + y = 0 denkleminin her bir çözümünün, bu denklemin y 1 ve y 2 özel çözümlerinin bir lineer birleşimi olduğunu ilerde göreceğiz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26
13 Teorem: (Varlık ve Teklik) p,q ve f fonksiyonları a noktasını içeren bir I aralığı üzerinde sürekli olsun. Bu takdirde, b 0 ve b 1 verilen sabitler olmak üzere denklemi, I aralığının tamamında, y + p(x)y + q(x)y = f(x) (6) y(a) = b 0, y (a) = b 1 başlangış koşullarını sağlayan bir tek (bir ve yalnız bir) çözüme sahiptir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 5/ 26
14 y + y = 0 y(0) = 3, y (0) = 2 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 6/ 26
15 y(0) = 3, y + y = 0 y (0) = 2 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. ÇÖZÜM Bir önceki örnekte y(x) = C 1 cos x + C 2 sin x (tüm reel eksen üzerinde) y + y = 0 denkleminin çözümü olduğunu söylemiştik. (Teorem yardımıyla) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 6/ 26
16 Başlangıç koşullarından y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26
17 Başlangıç koşullarından y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 ve y (0) = C 1 sin 0 + C 2 cos 0 = C 2 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26
18 Başlangıç koşullarından y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 ve y (0) = C 1 sin 0 + C 2 cos 0 = C 2 C 1 = 3 ve C 2 = 2 bulunur. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26
19 Başlangıç koşullarından ve y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 y (0) = C 1 sin 0 + C 2 cos 0 = C 2 C 1 = 3 ve C 2 = 2 bulunur. Sonuç olarak başlangıç değer problemimizin çözümü dür. y(x) = 3 cos x 2 sin x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26
20 Başlangıç koşullarından ve y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1 y (0) = C 1 sin 0 + C 2 cos 0 = C 2 C 1 = 3 ve C 2 = 2 bulunur. Sonuç olarak başlangıç değer problemimizin çözümü dür. y(x) = 3 cos x 2 sin x Görüldüğü gibi keyfi sabitler basit bir lineer denklem sisteminden bulunabilmektedir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26
21 y 2y + y = 0 y(0) = 3, y (0) = 1 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 8/ 26
22 y 2y + y = 0 y(0) = 3, y (0) = 1 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. ÇÖZÜM y 1 (x) = e x ve y 2 (x) = 2e x (tüm reel eksen üzerinde) y 2y + y = 0 denkleminin çözümleri olduğu kolaylıkla görülebilir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 8/ 26
23 y 2y + y = 0 y(0) = 3, y (0) = 1 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. ÇÖZÜM y 1 (x) = e x ve y 2 (x) = 2e x (tüm reel eksen üzerinde) y 2y + y = 0 denkleminin çözümleri olduğu kolaylıkla görülebilir. Teorem yardımıyla y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) = c 1 e x + c 2 2e x fonksiyonunda denklemimizin bir çözümü olduğunu söyleyebilir ve başlangıç koşullarını sağlayan c 1 ve c 2 yi bulabilirsek başlangıç değer problemimizi çözümünü bulmuş oluruz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 8/ 26
24 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
25 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
26 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 ve y (0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
27 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 ve y (0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 1 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
28 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 ve y (0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 1 Çözümü olmayan (sağlayan c 1 ve c 2 nin bulunamayacağı) c 1 + 2c 2 = 3 c 1 + 2c 2 = 1 denklem sistemi gelir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
29 Başlangıç koşullarından y(0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 3 ve y (0) = c 1 e 0 + c 2 2e 0 = 1 Çözümü olmayan (sağlayan c 1 ve c 2 nin bulunamayacağı) c 1 + 2c 2 = 3 c 1 + 2c 2 = 1 denklem sistemi gelir. Çözümlerimizin nasıl fonksiyonlar olması durumunda başlangıç koşulları yardımıyla kefilerimizi (c 1 ve c 2 ) bulabileceğimizi görelim. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
30 TANIM y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralığında reel değerli ve türevlenebilir fonksiyonlar olsun y 1 (x) y 1 (x) y 2 (x) y 2 (x) determinantı y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonlarının Wronskiyeni olarak adlandırılır. W (y 1 (x), y 2 (x)) olarak gösterilir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 10/ 26
31 Teorem y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralığında sürekli türevlenebilir fonksiyonlar olsun ve [a, b] kapalı aralığındaki bir x 0 için W [y 1 (x), y 2 (x)](x 0 ) 0 ise y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları lineer bağımsızdır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 11/ 26
32 Teorem y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralığında sürekli türevlenebilir fonksiyonlar olsun ve [a, b] kapalı aralığındaki bir x 0 için W [y 1 (x), y 2 (x)](x 0 ) 0 ise y 1 (x) ve y 2 (x) fonksiyonları lineer bağımsızdır. y 1 (x) = e x ve y 2 (x) = e x fonksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = ex e x e x e x = 2 0 y 1 (x) = e x ve y 2 (x) = e x fonksiyonları lineer(doğrusal) bağımsızdır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 11/ 26
33 y 1 (x) = sin x ve y 2 (x) = cos x fonksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = sin x cos x cos x sin x = 1 0 y 1 (x) = sin x ve y 2 (x) = cos x fonksiyonları doğrusal bağımsızdır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 12/ 26
34 TEOREM p ve q fonksiyonları açık bir I aralığı üzerinde sürekli olmak üzere y 1 ve y 2 y + p(x)y + q(x)y = 0 homogen denkleminin doğrusal bağımsız iki çözümü olsun. c 1 ve c 2 keyfi sabitler olmak üzere genel çözümdür. Y (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 13/ 26
35 İKİNCİ MERTEBEDEN SABİT KATSAYILI LİNEER DENKLEMLER Bu bölümde a, b ve c sabitler olmak üzere diferansiyel denklemi ele alınacaktır. ay + by + cy = 0 (4) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 14/ 26
36 İKİNCİ MERTEBEDEN SABİT KATSAYILI LİNEER DENKLEMLER Bu bölümde a, b ve c sabitler olmak üzere diferansiyel denklemi ele alınacaktır. ay + by + cy = 0 (4) Denkleme baktığımızda aradığımız fonksiyonun türevlerinin belirli sabitlerle çarpılıp toplandığında 0 elde edildiğini görürüz. Türevleri kendisinin katı olan fonksiyon bu denklemi sağlayacaktır. Bu özelliği e rx üstel fonksiyonu taşır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 14/ 26
37 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
38 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
39 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
40 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
41 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 (ar 2 + br + c)e rx = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
42 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 (ar 2 + br + c)e rx = 0 çarpanlarımızdan e rx fonksiyonu 0 olamıyacağı için ar 2 + br + c ikinci derece polinomu 0 olmalıdır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
43 y(x) = e rx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki r bulunabilirse çözümümüzü bulmuş oluruz. y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx ay + by + cy = 0 ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 (ar 2 + br + c)e rx = 0 çarpanlarımızdan e rx fonksiyonu 0 olamıyacağı için ar 2 + br + c ikinci derece polinomu 0 olmalıdır.bu polinomun köklerini bulabilirsek y(x) = e rx fonksiyonu denklem (1) in bir çözümü olacaktır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
44 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
45 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
46 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
47 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
48 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
49 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 bulunur. (r 2 5r + 6)e rx = 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
50 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 (r 2 5r + 6)e rx = 0 bulunur. r 2 5r + 6 polinomunun kökleri r = 2 ve r = 3 tür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
51 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 (r 2 5r + 6)e rx = 0 bulunur. r 2 5r + 6 polinomunun kökleri r = 2 ve r = 3 tür. Bir çözüm ararken y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x gibi iki çözüm bulduk. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
52 y 5y + 6y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Denklemimizde y(x) = e rx i yerine yazarsak, r 2 e rx 5re rx + 6e rx = 0 (r 2 5r + 6)e rx = 0 bulunur. r 2 5r + 6 polinomunun kökleri r = 2 ve r = 3 tür. Bir çözüm ararken y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x gibi iki çözüm bulduk. Eğer bu fonksiyonlar doğrusal bağımsız ise genel çözümümüzü y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
53 y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26
54 y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26
55 y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = e2x e 3x 2e 2x 3e 3x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26
56 y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = e2x e 3x 2e 2x W (y 1 (x), y 2 (x)) = 3e 5x 2e 5x = e 5x 3e 3x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26
57 y 1 (x) = e 2x ve y 2 (x) = e 3x foksiyonlarının Wronskiyeni W (y 1 (x), y 2 (x)) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = e2x e 3x 2e 2x W (y 1 (x), y 2 (x)) = 3e 5x 2e 5x = e 5x 3e 3x Hiç bir reel sayı için Wronskiyen 0 olamıyacağı için bu iki fonksiyon doğrusal bağımsızdır ve denklemimizi genel çözümü bu iki fonksiyonun lineer kombinasyonu şeklinde yazılabilir. y(x) = c 1 e 2x + c 2 e 3x şeklinde genel çözümümüzü bulmuş oluruz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26
58 ar 2 + br + c = 0 denklemine ay + by + cy = 0 (1) denkleminin karakteristik denklemi denir. Eğer r 1 ve r 2 karakteristik denklemin reel ve farklı iki kökü ise, y(x) = c 1 e r1x + c 2 e r 2x fonksiyonu denklem (1) in genel çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 18/ 26
59 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
60 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
61 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
62 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 1/2 ve r 2 = 3 tür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
63 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 1/2 ve r 2 = 3 tür. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
64 2y 7y + 3y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 2r 2 7r + 3 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 1/2 ve r 2 = 3 tür. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü y(x) = c 1 e 1 2 x + c 2 e 3x olarak yazılır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
65 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
66 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
67 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
68 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 0 ve r 2 = 2 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
69 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 0 ve r 2 = 2 dir. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
70 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 0 ve r 2 = 2 dir. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü y(x) = c 1 e 0x + c 2 e 2x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
71 y + 2y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = 0 ve r 2 = 2 dir. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü y(x) = c 1 e 0x + c 2 e 2x = c 1 + c 2 e 2x olarak yazılır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
72 ay + by + cy = 0 (1) Eğer karakteristik denklem r 1 = r 2 gibi eşit iki reel köke sahip ise, y(x) = (c 1 + c 2 x)e r 1x fonksiyonu denklem (1) in genel çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 21/ 26
73 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
74 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
75 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
76 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = r 2 = 2 3 dür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
77 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = r 2 = 2 3 dür. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
78 9y 12y + 4y = 0 diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz 9r 2 12r + 4 = 0 dir. Karakteristik denklemimizin kökleri r 1 = r 2 = 2 3 dür. Dolayısıyla denklemimizin genel çözümü y(x) = (c 1 + c 2 x)e 2 3 x olarak yazılır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
79 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, y (0) = 3 başlangıç değer problemini çözünüz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
80 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, y (0) = 3 başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r + 1 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
81 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, y (0) = 3 başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 + 2r + 1 = (r + 1) 2 = 0 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
82 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz y (0) = 3 r 2 + 2r + 1 = (r + 1) 2 = 0 dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kökleri birbirine eşit ve r 1 = r 2 = 1 dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
83 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz y (0) = 3 r 2 + 2r + 1 = (r + 1) 2 = 0 dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kökleri birbirine eşit ve r 1 = r 2 = 1 dir. Denklemimizin genel çözümü Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
84 y + 2y + y = 0 y(0) = 5, başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz y (0) = 3 r 2 + 2r + 1 = (r + 1) 2 = 0 dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kökleri birbirine eşit ve r 1 = r 2 = 1 dir. Denklemimizin genel çözümü olarak yazılır. y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
85 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
86 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
87 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
88 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
89 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
90 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
91 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x = c 1 + c 2 Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
92 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x = c 1 + c 2 = 3 Bu iki denklemden Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
93 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x = c 1 + c 2 = 3 Bu iki denklemden c 1 = 5 ve c 2 = 2 değerlerine ulaşırız. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
94 y(x) = (c 1 + c 2 x)e x Başlangıç koşullarımız yardımıyla c 1 ve c 2 yi bulabiliriz. y(0) = (c 1 + c 2 0)e 0 = c 1 = 5 ve y (x) = c 1 e x + c 2 e x c 2 xe x y (0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 c 2 0e x = c 1 + c 2 = 3 Bu iki denklemden c 1 = 5 ve c 2 = 2 değerlerine ulaşırız. Sonuç olarak çözümümüz y(x) = (5 + 2x)e x tür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
95 ay + by + cy = 0 (1) Eğer karakteristik denklemin a ib, (b 0) gibi kompleks eşlenik iki köke sahip ise, y(x) = e ax (c 1 cos (bx) + c 2 sin (bx)) fonksiyonu denklem (1) in genel çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 25/ 26
96 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
97 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
98 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
99 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac = ( 4) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
100 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac = ( 4) = 4 < 0 olduğu için karakteristik denklemin reel kökü yoktur. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
101 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac = ( 4) = 4 < 0 olduğu için karakteristik denklemin reel kökü yoktur. Kompleks köklerimiz 2 i dir. Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
102 y 4y + 5y = 0 denkleminin genel çözümünü bulun. ÇÖZÜM Karakteristik denklemimiz r 2 4r + 5 = 0 dır. = b 2 4ac = ( 4) = 4 < 0 olduğu için karakteristik denklemin reel kökü yoktur. Kompleks köklerimiz 2 i dir. Böylece genel çözümümüz şeklinde yazılabilir. y(x) = e 2x (c 1 cos x + c 2 sin x) Öğr.Gör.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri
Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklemler. İkinci Mertebeden. İndirgenebilir Diferansiyel Denklemler
Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklemler İkinci Mertebeden İndirgenebilir Diferansiyel Denklemler YÜKSEK MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ikinci mertebeden bir diferansiyel denklem, bilinmeyen y(x)
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DENKLEMLER CAUCHY-EULER DENKLEMİ. a n x n dn y dx n + a n 1x n 1 dn 1 y
SABİT KATSAYILI DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜREBİLEN DENKLEMLER Bu bölümde sabit katsayılı diferansiyel denklemlere dönüşebilen değişken katsayılı diferansiyel denklemlerden Cauchy Euler ve Legendre difarensiyel
İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
Sağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar)
3.1.2.1. Sağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar) ÖRNEK: y + 4.y + 4.y = 5.sin2x diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulalım: Homojen kısmın çözümü: y + 4.y + 4.y = 0
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr.
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1)
4. y=-2 doğrusundan 5 birim uzaklıkta. 5. O(0,0) başlangıç noktasından 3 birim. 6. A(1,2) ve B(5,8) noktalarından eşit. 7. x=-2 doğrusundan ve A(2,0)
GEOMETRİK YER HAZİNE-1 Analitik düzlemde, verilen bir ortak özelliği sağlayan P(x,y) noktalarının apsis ve ordinatı arasındaki bağıntıya Geometrik yer denklemi denir. 4. y=-2 doğrusundan 5 birim uzaklıkta
Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.
3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)
HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.
Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces
TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)
Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları
2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4
S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun
Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel
İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ
İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 203-204 GÜZ DÖNEMİ Diferansiyel Denklemler Ders Notları Yrd.Doç.Dr. Ahmet Altundağ İSTANBUL 2 İçindekiler BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL
Sınav süresi 75 dakika. Student ID # / Öğrenci Numarası
March 16, 2017 [16:00-17:15]MATH216 First Midterm Exam / MAT216 Birinci Ara Sınav Page 1 of 6 Your Name / İsim Soyisim Your Signature / İmza Student ID # / Öğrenci Numarası Professor s Name / Öğretim Üyesi
2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.
D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................
Diferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.
Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)
Polinomlar. Rüstem YILMAZ
Polinomlar Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 matematikklinigi@gmail.com 26 Aralık 2016 0.1 Tanımı a, b, c, d reel sayılar ve n N olmak üzere, P (x) = ax n + bx n 1 + + cx + d ifadesine reel katsayılı ve bir
Iki Boyutlu Sabit Katsay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sistemleri (Euler Metodu)
Iki Boyulu Sabi Kasay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sisemleri (Euler Meodu) Bu bölümde sabi kasay l, lineer, homogen 8 >< d = a 1x + b 1 y >: dy d = a 2x + b 2 y sisemi ele al nmakad r. Burada
4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
Kübik Spline lar/cubic Splines
Kübik spline lar önceki metodların aksine bütün data noktalarına tek bir fonksiyon/eğri uydurmaz. Bunun yerine her çift nokta için ayrı ayrı üçüncü dereceden polinomlar uydurur. x i noktasından geçen soldaki
1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
1. Analitik düzlemde P(-4,3) noktasının eksenlerden ve O başlangıç noktasından uzaklığı kaç birimdir?
HAZİNE- HAZİNE-2 O başlangıç noktasında dik kesişen iki sayı ekseninin oluşturduğu sisteme koordinat sistemi denir. Bir noktanın x-eksenindeki dik izdüşümüne karşılık gelen x sayısına noktanın apsis i
x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)
ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme
matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı
matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,
MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 9. Tanım 2. Kompleks düzlemin tamamında analitik olan bir fonksiyona tam fonksiyon denir.
.7. Analitik ve Harmonik Fonksiyonlar Tanım 1. f(z) nin z 0 da f (z 0 ) türevi mevcut ve z 0 ın bir D ε (z 0 ) = {z : z z 0 < ε} komşuluğundaki her noktada türevi varsa bu durumda f ye z 0 da analitiktir
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme
KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.
ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da
DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I
DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I MATEMAT IK BÖLÜMÜ 203-204 BAHAR YARIYILI D IFERANS IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 2 Nisan 204 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. (5p) Belirsiz katsay lar yöntemini
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
Özdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.
1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve
nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)
Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri. Hazırlayan: Dr. Nurdan Bilgin
Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Hazırlayan: Dr. Nurdan Bilgin Kapalı Çevrim Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Tüm uygulamalar için aşağıdaki
18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ
Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen
İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;
![[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;](/thumbs/69/60247548.jpg "[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;")
. Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş
2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1
Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme
Yeşilköy Anadolu Lisesi
Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin
1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25
İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ
DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ Örnek : Taksi ile yapılan yolculukların ücreti taksimetre ile belirlenir Bir taksimetrenin açılış ücreti 2 TL, sonraki her kilometre başına 1 TL ücret ödendiğine
13. Karakteristik kökler ve özvektörler
13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik
Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2
HAZİNE-1 HAZİNE-2 Bir eksen üzerinde verilen noktadan geçen ve eksen ile belirli açı yaparak dönen doğrunun oluşturduğu yüzeye konik yüzey denir. Konik yüzeyin değişik düzlemler ile arakesit kümeleri çember,
Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz.
8.2. Fonksiyonlarda Limit Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2.1. Değişkenin Limiti Sonsuz sayıda değer alabilen bir x değişkeninin
Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?
KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve
Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.
Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf
KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1
SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
POL NOMLAR. Polinomlar
POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit
MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z
MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z
Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör
3. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
3. HAFTA SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi TAYLOR TEOREMİ Eğer f C n [a,b] ve f n+1 [a,b] de mevcut ise, x
2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?
MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu
Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız.
POLİNOMLARDA Polinomlarda To plama ve Çıkarma P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) + Q(x) veya P(x) Q(x) işlemi yapılırken eşit dereceli terimlerin katsayıları işlemine göre toplanır veya çıkarılır. Örnek...1
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
MAT 2011 MATEMATİK III
} MAT 20 MATEMATİK III Ders Notları } Öğr. Gör. Volkan ÖĞER 205 İçindekiler Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler 3. Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller............................ 3.2
BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ
BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü
Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.
Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının
Lecture 2. Mahir Bilen Can. Mayıs 10, 2016
Lecture 2 Mahir Bilen Can Mayıs 10, 2016 1 Klasik Lie Cebirleri Klasik Lie cebirlerinin hepsi içinde son derece büyük öneme sahip dört sonsuz aile vardır. Bunlar A, B, C, D harfleri ile indekslenmekte
TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI
0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;
SÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları
SÜREKLİLİK Bu bölümde süreklilik kavramı, süreksizlik, sürekli fonksiyonların özellikleri ile buna ilişkin teoremler örnekler ve grafiklerle açıklanmaktadır. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları Tanım