7. Kıyı Mühendisliği Sempozyumu - 421 - LİMANLARDA VE DALGAKIRANLARIN CİVARINDAKİ KIYI BÖLGELERİNDE DALGA HAREKETLERİNİN SAYISAL MODELLENMESİ Serdar Beji Prof. Dr., İstanbul Teknik Üniversitesi, Gemi İnşaatı ve Deniz Bilimleri Fakültesi, Maslak 34469, İstanbul - Tel: (212) 285 6442, Faks: (212) 285 6454, e-posta: sbeji@itu.edu.tr Özet Limanlarda ve dalgakıranların civarındaki kıyı bölgelerinde, zamana bağlı dalga hareketlerinin belirlenmesi için genel uygulanabilirliği olan sayısal bir model geliştirilmiştir. Sayısal model, derinlik değişiminden ötürü sığlaşma etkisini, engellerden kaynaklanan dalga yansımasını, saçılmasını ve lineer olmayan dalga etkilerini simüle edebilen derinlik integre edilmiş dalga denklemleri (Beji ve Nadaoka, 1997) kullanılarak oluşturulmuştur. Stokes dalgaları ve knoidal dalgalar gibi lineer olmayan dalga formlarını üretebilmesinin yanısıra, model gel-git dalgalarının gün düzeyindeki periyodik hareketlerini de simüle edebilir. Güvenilirliği stadard testlerle belirlenen sayısal model, liman ve dalgakıran tasarımlarında fiziksel modellerin yerini almakta olan ticari yazılımlarla rekabet edebilecek düzeydedir. Abstract A numerical wave model for determining time dependent wave motions in harbors and in the vicinity of breakwaters is developed. The numerical model is based on the depth integrated wave equations of Beji and Nadaoka (1997), which accomodate shoaling and refraction effects due to varying bathymetry as well as reflection and diffraction effects due to vertical barriers. It can reproduce the nonlinear waves such as Stokes waves and cnoidal waves besides simulating tidal waves with diurnal periods. The reliability of the numerical model is established through standard tests and it may compete with the commercial software which is gradually taking place of physical models. Anahtar Kelimeler: Sayısal dalga modeli, limanlar, dalgakıranlar. Giriş Limanlar ve dalgakıranlar gibi dikey engellerin yer aldığı kıyı bölgelerinde dalga yüksekliklerinin doğru hesaplanabilmesi, yalnızca derinlik değişimlerinden ötürü sapma ve
- 422-7. Kıyı Mühendisliği Sempozyumu sığlaşma etkilerinin değil aynı zamanda yansıma ve saçılma etkilerinin de güvenilir olarak belirlenmesini gerektirir. Bu konuda ilk önemli çalışma Berkhoff (1972) tarafından geliştirilen, lineer, zamandan bağımsız, derinlik integre edilmiş denklemdir. Dalga yüksekliği hesaplamalarında en sık kullanılan modellerden biri olan bu denklemin daha sonra pek çok versiyonu gelişmiştir. Genelde güvenilir sonuçlar elde edilen bu denklemlerin en önemli kısıtlaması lineer dalga hareketleri ile sınırlı olmalarıdır. Lineer olma kısıtlamasını aşmak için Boussinesq tipi dalga modellerine yönelinmiş ve bu dalga denklemlerinin de çok sayıda formu türetilmiştir (Madsen ve Schäffer, 1998). Dispersiyon özelliklerinde yapılan bütün iyileştirmeler rağmen Boussinesq denklemleri temelde sığ su veya sonlu derinliklerle sınırlı denklemlerdir. Boussinesq denklemlerinin bu zayıf yönünü içermeyen ve derinlik sınırlaması olmayan bir grup denklem Nadaoka ve diğ. (1997) tarafından geliştirilmiştir. Beji ve Nadaoka (1997) bu dalga modelinin bir bileşenli formu üzerinde çalışarak çeşitli dalga denklemleri türetmişlerdir. Bu çalışmadaki sayısal model, derinlik değişiminden ötürü sığlaşma etkisini, engellerden kaynaklanan dalga yansımasını, saçılmasını ve lineer olmayan dalga etkilerini simüle edebilen derinlik integre edilmiş dalga denklemleri (Beji ve Nadaoka, 1997) kullanılarak oluşturulmuştur. Güvenilirliği stadard testlerle belirlenen sayısal model, liman ve dalgakıran tasarımlarında fiziksel modellerin yerini almakta olan ticari yazılımlarla rekabet edebilecek düzeydedir. Yöntem Sayısal modelde kullanılan denklemler Beji ve Nadaoka (1997) tarafından geliştirilen derinlik integre edilmiş denklemlerdir. Dalga modelini oluşturan süreklilik ve hareket denklemleri sırasıyla, + + + + = 0 (1) + + 1 3 + 1 (1 ) + = 0 (2) + + 1 3 + 1 (1 ) + = 0 (3) olarak verilmektedir. Burada, ζ serbest su yüzeyi deformasyonunu, u ve v sırasıyla x ve y doğrultusunda derinlik ortalaması alınmış yatay hız bileşenlerini, r=cg/cp oranını, Cp ve Cg verilen bir dalga açısal frekansı ω için yerel su derinliği h kullanılarak lineer teoriye göre hesaplanan faz ve grup hızı değerlerini göstermektedir. Yukarıdaki denklemlerin Arakawa-C ağ yapısı (Arakawa ve Lamb, 1977) kullanılarak merkezi farklarla ayrıklaştırması yapılabilir. Genelde çok iyi sonuçlar veren bu ayrıklaştırma çok uzun dalgalar söz konusu olduğunda r 0 olması nedeniyle çalışamaz duruma düşmektedir. Bu sorun, O Brien ve Hurlburt (1972) tarafından sığ su denklemlerine uygulanan yaklaşım kullanılarak aşılmıştır. Bu yaklaşıma göre, süreklilik denklemi zaman göre ayrıklaştırılarak x bağımsız değişkenine göre türevi alınarak x yönündeki hareket denkleminde kullanılır, y türevi alınarak y yönündeki hareket denkleminde kullanılır. Bu işlemlerin ardından x ve y hareket denklemleri yine Arakawa-C ağ yapısına göre ayrıklaştırılabilir. Böylece ortaya çıkan yeni denklem sistemi r 0 olması veya diğer bir deyişle dalga denklemlerinin limit halleri olan çok sığ su (sıfır frekans) durumunda da sayısal stabilite açısından sorunsuz çalışmaktadır. Aşağıda verilen simülasyonların tümü, özetlenen ayrıklaştırma sistemine göre elde edilen denklemlerin bir FORTRAN programıyla çözümünden elde edilmektedir. FORTRAN programının oluşturulmasında ikinci önemli kısım gözönüne alınan kıyı bölgesinin batimetrisi ile bu bölgede varolan veya yapılması tasarlanan yapıların belirlenerek, uygun
7. Kıyı Mühendisliği Sempozyumu - 423 - çözünülürlükteki kartezyen ağ yapısına göre sayısal olarak ifade edilmesidir. Derinlikler eksi işaretle ve karalar sıfır gösterilerek verildiğinde, program uygun sınır koşullarını (açık deniz veya duvar gibi) belirlemektedir. Eksi işaretle verilen su derinliklerinin olduğu bütün sınırlar açık deniz olarak algılanmakta ve radyasyon koşulu kullanılmaktadır. Öte yandan sıfır derinlik olarak tanımlanan bütün bölgeler program tarafından kara olarak algılanmakta ve duvar koşulu kullanılmaktadır. Oluşturulan dalgalar her zaman hesaplama bölgesi içinde oluşturulmakta ve oluşum hattının her iki yönünden dışa doğru yayılmaktadır. Dalgalar belli bir sınır çizgisi üzerinde oluşturulmadığı için bölgeden yansıyan dalgalar sorun olmamaktadır. Ayrıca bölge içindeki dalgaların istenen yönlerde ve yükseklikte düzenli veya karışık dalgalar hesaplama bölgesi içinde oluşturulmakta böylece yapılardan yansıyan dalgaların açık sınırlardan bölgeyi sorunsuz terk etmesi sağlanmaktadır. Zamana bağlı olarak lineer veya lineer olmayan durumlarda yapılabilen simülasyonlar sonucunda bölgedeki dalga hareketlerinin gerçek zamanda perspektif görüntüleri oluşturulmaktadır. Ayrıca, bölgede dalga hareketlerinin tamamen oluşmasının ardından zamandan bağımsız (kararlı) çözümü temsil eden ve bölgenin bütününde dalga yüksekliklerini gösteren üç boyutlu dalga yükseklik dağılımı grafikleri de oluşturulmaktadır. Sonuç ve Öneriler Geliştirilen modelin belirli testlerle güvenilirliği belirlenmiştir. Bu amaçla, ilk olarak kıyı bölgesindeki en önemli konulardan biri olan sığlaşma etkisi göz önüne alınmaktadır. Şekil 1 de su derinliği h0=5 m de boyu L=220 m olan, T=60 s periyodlu bir dalganın, su derinliğinin sinüsoidal olarak h0/3 değerine azalıp, kanal sonunda tekrar ilk derinliğe ulaştığı bir durum için zamana bağlı simülasyonu gösterilmektedir. Zarf eğrileri ise enerji akısının sabitliği, a 2 Cg=Sabit, yasasından hesaplanmış olup, görüldüğü üzere sayısal modelin verdiği dalga formunun tepe ve çukur noktaları ile tamamen uyum içindedir. /a 0 Boyutsuz dalga genligi 1 0-1 0 1000 2000 3000 4000 5000 Kanal boyunca mesafe (m ) Şekil 1. Su derinliğinin sinüsoidal olarak değiştiği bir kanalda sığlaşma etkisi. Sayısal model, dalga denklemlerinin lineer olmayan terimler içermesi nedeniyle Stokes dalgaları ve knoidal dalgalar gibi lineer olmayan dalgaları da modelleyebilme yeteneğine sahip olup, bu testler Beji ve Nadaoka (1997) de yer aldığı için burada tekrar edilmemiştir. Limanlar ve dalgakıranlar civarında gözlenen en önemli etkiler dikey engellerden ötürü oluşan dalga yansıma ve saçılmalarıdır. Özellikle dalga saçılmalarının doğru modellenmesi bu bölgelerdeki dalga yüksekliklerinin doğru hesaplanması açısından önem taşır. Sayısal modelin saçılma hesaplamalarındaki yeterliliğini test etmek amacıyla bir hat üzerinde yer alan ve aralarında belirli bir açıklık bulunan duvarların arasındaki açıklıktan giren dalgaların saçılması iki ayrı durum için hesaplanacaktır. Hesaplamalar, grafik olarak verilen analitik çözümlerle kıyaslanacaktır. Göz önüne alınan ilk durum, açıklığı iki dalga boyuna eşit olan bir duvara dik açıyla gelen dalgaların duvarın arka kısmında oluşturduğu dalga yüksekliklerinin hesaplanmasıdır. Şekil 2 de sol tarafta zamana bağlı dalga simülasyonun başlangıçtan 30 dalga periyodu geçtikten sonraki anda perspektif simülasyonu gösterilmektedir. Sağ tarafta ise aynı anda bölge içindeki dalga yükseklikleri dağılımının perspektif görünüşü verilmektedir.
- 424-7. Kıyı Mühendisliği Sempozyumu Şekil 2. Duvardaki iki dalga boyu bir açıklıktan geçen dalgaların saçılması: zamana bağlı dalga hareketi (sol) dalga yükseklikleri dağılımı (sağ). Şekil 3 te sol tarafta Shore Protection Manuel (1984) da, Johnston (1952) tarafından verilen bölge içindeki dalga eş yükseklik eğrileri diyagramı, sağ tarafta ise sayısal modelden elde eş yükseklik eğrileri gösterilmektedir. İki şekil kıyaslandığında sayısal modelin verdiği sonucun hem şekilsel hem de sayısal olarak analitik çözümle uyum içinde olduğu görülmektedir. 0.4 0.4 0.2 0.6 0.6 0.2 0.8 0.2 0.2 1.0 1.2 Şekil 3. Duvardaki iki dalga boyu açıklıktan geçen dalgaların saçılmasına ait eş yükseklik eğrileri: Teorik çözüm (sol), sayısal çözüm (sağ). 1.0 Şekil 4. Duvardaki bir dalga boyu bir açıklıktan 75 0 açıyla geçen dalgaların saçılması: zamana bağlı dalga hareketi (sol) dalga yükseklikleri dağılımı (sağ).
7. Kıyı Mühendisliği Sempozyumu - 425 - İkinci durumda ise açıklığı bir dalga boyu olan bir duvara 75 0 açıyla gelen dalgaların yine duvarın arka kısmında oluşturduğu dalga yüksekliği dağılımı incelenmektedir. Şekil 4 te yine 30 dalga periyodu sonrası zamana bağlı simülasyonun perspektif görüntüsü solda buna karşı gelen dalga yüksekliği dağılımı sağda verilmektedir. Şekil 5 te, Şekil 3 e benzer olarak, Shore Protection Manuel (1984) de verilen eş yükseklik eğrileri ile sayısal modelin simülasyonu sonucu hesaplanan eş yükseklik eğrileri gösterilmektedir. Bölgenin yan sınırlarında gözlenen uyumsuzluk, normalde dik dalga çıkışına izin veren radyasyon koşulunun 45 0 civarında dalgaların bölgeleri terk ediyor olması nedeni ile sayısal dalga yansımaları oluşturmasından kaynaklanmaktadır. Şekil 5. Duvardaki bir dalga boyu bir açıklıktan 75 0 açıyla geçen dalgaların saçılmasına ait eş yükseklik eğrileri: Teorik çözüm (sol), sayısal çözüm (sağ). Yatay eksen-y dalga ilerleme yönü, dikey eksen-x dalga cephesi yönüdür. Son olarak, yine Shore Protection Manuel (1984) den alınan ve Kanal Adaları Limanı girişindeki gerçek bir kıyı bölgesinde yer alan dalgakıran civarındaki dalga hareketlerini gösteren hava fotoğrafı ile bu bölgenin mümkün olduğunca benzeri oluşturularak yapılan sayısal dalga simülasyon kıyaslanmaktadır. Şekil 6 da solda hava fotoğrafı, sağda ise simülasyonun 30 period sonrası üstten görünüşüne ait kontür eğrileri gösterilmektedir. Şekil 6. Kanal Adaları Limanı girişindeki dalgakıranın hava fotoğrafı (sol) ve bu bölgeye benzer bir geometri için sayısal dalga simülasyonu sonucu (sağ). Gerçek hava fotoğrafındaki dalga görüntüleri ile sayısal modelden elde edilen kontürler, özellikle dalgakıranın koruma tarafında çok uyumludur. Sayısal modelin, dalgakıranın dalgaların geldiği tarafta belirgin dalga yansımaları vermesinin nedeni, sayısal simülasyonlarda dalga kırılmaları ve buna bağlı dalga enerji kayıplarının modellenmemiş olmasından kaynaklanmaktadır. Gelecekte, pek çok sayısal modeldekine benzer olarak, dalga
- 426-7. Kıyı Mühendisliği Sempozyumu kırılmaları yarı-ampirik bir enerji sönüm terimi ile modellenebilir. Şekil 7 de aynı simülasyonun perspektif görünüşü gösterilmektedir. Şekil 7. Kıyı bölgesindeki bir dalgakıran civarındaki dalga hareketlerinin sayısal simülasyonun perspektif görünüşü. Geliştirilen sayısal model kıyı bölgesinde gerek deniz dibi batimetrisinden kaynaklanan sığlaşma etkisi gerekse dikey engellerin neden olduğu saçılma etkileri için test edilmiş ve sonuçlar oldukça güvenilir bulunmuştur. Ayrıca, gerçek zamanda 30 dalga periyodu için 15 dalga boyu x 15 dalga boyu bir alanda yapılan simülsayonların i7-870, 2.93 GHz işlemcili bir PC de 30 dakika civarında sürdüğü belirlenmiştir. Üç boyutlu dalga modellerinin aynı tür bir çözümü 24 saat veya üzerinde tamamlayabildiği bilinmektedir. Derinlik integre edilmiş olması nedeniyle modelin hesaplama süresi açısından çok etkin olduğu söylenebilir. Sayısal modele eklenebilecek bir seçenek dalga kırılmasının da göz önüne alınabilmesi olacaktır. Dalga kırılması, genelde hareket denklemlerine ampirik bir sönüm terimi eklenerek hesaba katılmaktadır. Buradaki sayısal model için de benzer bir yaklaşımla dalga kırılmalarından ötürü oluşan enerji kaybı modellenebilir. Böylece sayısal modelin özellikle sahil bölgelerine karşı gelen sınırlarda dalga kırılması sınır koşulunu uygulama seçeneği olacaktır. Kaynaklar Arakawa, A. and Lamb, V.R. (1977) Computational design of the basic dynamical processes of the UCLA general circulation model. Methods in Computational Physics, Vol.17, 174 265. Beji, S. and Nadaoka, K. (1997) A time-dependent nonlinear mild-slope equation for water waves. Proc. R. Soc. Lond. A, Vol. 453, 319-332. Berkhoff, J.C.W. (1972) Computation of combined refraction-diffraction. Proc. 13th Int. Conf. on Coastal Engineering, Vol. 1, 471-490. Johnson, J.W. (1952) Generalized wave diffraction diagrams. Proc. 2nd Conf. Coastal Eng., American Society of Civil Engineers. Madsen, P.A. and Schäffer, H.A. (1998) Higher-order Boussinesq-type equations for surface gravity waves: derivation and analysis. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, Vol. 356, 3123-3184. Nadaoka, K., Beji, S., and Nakagawa, Y. (1997) A fully dispersive weakly nonlinear model for water waves. Proc. R. Soc. Lond. A, Vol. 453, 303-318. O Brien, J.J. and Hurlburt, H.E. (1972) A Numerical Model of Coastal Up-welling. Journal of Physical Oceanography, Vol. 2, 14-26. Shore Protection Manuel (1984) Department of the Army, US Army Corps of Engineers, Washington, USA.