Örnek : 4 10 tbnindki (3 + 3 + 3 + 3) syisinin üç tbnindki yzilisi sgidkilerden hngisidir? A)10110 B)10001 C)1001 D)100011 E) 1100 4 (3 + 3 + 3 4 + 3) = 1 3 + 3 3 1 0 + 0 3 + 1 3 + 1 3 + 0 3 Burdn ( 10110) 3 bulunur. CEVAP: A Örnek 3: syi tbnini göstermek üzere (b3) >(33) esitsizligini sglyn rkmlri frkli kç tne (b3) syisi yzilbilir? A) B)4 C)3 D) E)1 (403) >(33) CEVAP: C (413) >(33) (43) >(33) Örnek 4: ( xyxy) = 6 ( xy) ise kçtir? A) B)3 C)4 D) E)6 1 0 1 + + 0 + 1 = 6 + 0 3 = 6 (0101) =6 (hngi tbnd olurs olsun bölüm yni olcktir.) = = CEVAP:D Örnek : (011) 3 -(1b) 3 =(1c) 3 yndki islemde sirsiyl,b,c, rkmlri kçtir? A)1,1,1 B)1,0,1 C)1,,1 D),1, E),, CEVAP: E Örnek 6: ( 1,4) (0,3) = x ise x sgidkilerden hngisidir? A)1,36 B)1,06 C)1,30 D)1,14 E)1,19 CEVAP: A www.testhne.com Syilr 1
FAKTÖRIYEL: 1 den n e kdr dogl syilrin çrpimin n! denir. n!=1 3...(n-1) n 0!=1 ve 1!=1 oldugu kbul edilir. 3!=1..3=6 4!=1..3.4=4!=1..3.4.=10 6!=1..3.4..6=70 seklinde devm edersek! den sonr bütün syilrin sifir ile bittigini görürüz ki bu prtik olrk ileride isimize yryck bir sonuçtur. * 18! 18! 1 = = 1 = 0! 0 19 18! 0 19 380 10! + 1 * 9! 10 9! + 9! 9!(10 + 1) = = = 1! 1 11 10 9! 9!(1 11 10) 10 ( n 1)! ( n 1)( n )! * = = ( n 1) ( n )! ( n )! ASAL SAYILAR: Bir ve kendisinden bsk böleni olmyn dogl syilr sl syilr denir. Bu tnim göre 1 in sl olmdigi görülür. Çünkü bölenler kümesi bir elemnlidir. Asl syilr = {, 3,, 7, 11...} Asl syilr kümesi sonsuz elemnlidir. disind tüm sl syilr tek dogl syidir. ki dogl syinin 1 den bsk ortk bölenleri yoks bu iki syi rlrind sl syilrdir. 13,17...rlrind sldir 6,7...rlrind sldir 8,1...rlrind sldir. Örneklerde görüldügü gibi syilrin rlrind sl olmsi için ikisinin de sl olmsi gerekmez. Dikkt:Bütün syilr sl syilrin çrpimindn olusur. 3 * 360 360 = 3 180 90 4 3 1 3 1 www.testhne.com Syilr
* 9! Syisini sl çrpnlrin yiriniz. 9 dn küçük sl syilr bölünerek içindeki sl çrpnlr bulunur. Örnek 7: 40! k kesrinin en küçük bir tm syiy esit olmsi için k tm syisi kç olmlidir? 6 A)1 B)16 C)17 D)18 E)19 40 syisi rk rky 3 bölündügünde içinde 13+4+1=18 tne 3 oldugu görülür,çözümde dikkt edilmesi gereken ye bölmeye gerek olmmsidir. 40! k 3 k 13+4+1=18 (k nin lbilecegi en küçük deger) CEVAP: D Örnek 8: m n 98!63 = A 7 oldugun göre (m+n) toplminin en büyük degeri kçtir? 98 syisi rk rky ye bölündügünde içinde 49+4+1+6+3+1=9 tne oldugu görülür. 98 syisi rk rky 7 ye bölündügünde içinde 14+=16 tne 7 oldugu görülür. ( m + n = 9 + 17 =11 bulunur. 9 16 m n 7 B) 3 7 = A 7 oldugundn m=9 n=17 olur Örnek 9: 6 4 syisi kç bsmklidir? 4 6 = 4 = 4 10 = 100000 9 bsmkli Örnek 30: 4 30 syisi kç bsmklidir? 30 = 3 oldugundn 4 30 = 3 = 1 10 7 bsmkli Dikkt: X 10 n syisinin kç bsmkli oldugunu bulmk için; X in bsmk syisi ile n nin toplndigini görünüz. www.testhne.com Syilr 3
Örnek 31: 6 0 syisinin sonundki sifir syisini bulunuz. 0 = 6 7 8 0 = = o hlde sonund 7 sifir vrdir. 3 7 7 = 10 Örnek 3: 0! 0! syisinin sonundki sifir syisinin bulunuz. 1 sifir $" "%"& " 0! =...000000000000 0! =... xyz0000 0000 4 sifir 0 syisi ile bölündügünde içinde 10+=1 tne oldugu görülür. 0 syisi ile bölündügünde içinde 4 tne oldugu görülür. 7 Bir dogl syinin bölenlerinin incelenmesi:, b, c sl syilr; x, y, z sym syilri olmk üzere, x y z A = b c ise 1) P.B.S = (x+1)(y+1)(z+1) P.B.S = Pozitif Bölenlerin Syisi ) T.B.S = (P.B.S) T.B.S = Tm syi Bölenlerin Syisi 0 1 x 0 1 y 0 1 z 3) P.B.T = ( + + +... + )( b + b + b +... + b )( c + c + c +... + c ) P.B.T = Pozitif Bölenlerin Toplmi P. B. S. 4) P.B.Ç = A P.B.Ç. = Pozitif Bölenlerin Çrpimi Yukrid verdigimiz özellikleri60 syisin uygulrsk; 60 = 3 sl çrpnlrin yirdiktn sonr 1. P.B.S=(+1) (1+1).(1+1)=1. T.B.S=.(P.B.S)=.1=4 0 1 0 1 0 1 3. P.B.T= ( + + )(3 + 3 )( + ) =(1++4)(1+3)(1+)=168 bulunur. P. B. S 4. P.B.Ç= 60 = 60 e-mil lerinizi bekliyoruz.) 6 =N.Ç.B (bu kisltmnin ne nlm geldigi ile ilgili www.testhne.com Syilr 4
Örnek 33: 4 000...0 " "! syisinin sonund n tne sifir bulunmktdir.bu syinin pozitif bölenlerinin n syisi 80 oldugun göre n kçtir? n n n 40000000...0= 3.3.10 = +3.3. sl çrpnlrin yrildigind P.B.S=(3+n+1)(1+1)(n+1)=80 =(n+4)(n+1)=40 yzildigind n=4 bulunur. Örnek 34: X = 60 3 esitliginde X ve dogl syilrdir. X in 4 tne dogl syi böleni oldugun göre kçtir? A)3 B)4 C) D)6 E)7 X X = = 3 3 3 1 (+1)(-1+1)(1+1) = 4 = 4 CEVAP: B Örnek 3: n (8 30 ) dogl syisinin 16 tne tek dogl syi böleni vr ise kç tne de çift dogl syi böleni vrdir? A)116 B)96 C)7 D)64 E)48 n 3 n n n n+ 3 n n 8 30 = 3 = 3! tek (n+1)(n+1) = 16 (tek syilrin kuvvetleride tek ve iki tek syinin çrpimid tek oldugundn) 6 3 3 n = 3 3 P.B.S. = 7 4 4 = 11 11-16 = 96 bulunur. CEVAP: B Örnek 36:, b + N iken 3b + 30 = esitligini sglyn kç frkli b degeri b + vrdir? A)4 B) C)6 D)7 E)8 4 Bölme islemi ypildigind = 3 + elde edilir. b + www.testhne.com Syilr
4 = 3 3 P.B.S.(4) = 4 =8 b+=1 b -1 N + b+= b 0 N + bu durumd 6 tne b degeri bulunbilir. CEVAP: C Dikkt:Bu soru tipinde verilen syi kümelerine dikkt etmek gerekir,örnegin bu sorud,b tm syilr olsydi çözüm yolu yni fkt sonuç frkli olckti. Örnek 37: 87 evin bulundugu bir sokkt evlerin kpilrin birden itibren numr verilecektir. Bu numrlm isleminde kç tne 3 rkmi kullnir? A)0 B)19 C)18 D)1 E)1 Çözümünü yzmdigimiz sorulr için ilginizi bekliyoruz rkdslr.böylece notlri dikktli çlisn rkdslri d görmüs oluyoruz. BÖLÜNEBILME KURALLARI: x 0=kln y z Bir x dogl syisi y dogl syisin bölünebiliyor dendiginde klnin 0 oldugunu vey bsk bir deyisle klnsiz bölündügünü nlriz. ye bölünebilme: Tüm çift syilr kümesi ile tm bölünür. 3 e bölünebilme: Rkmlri toplmi 3k (k N) oln syilr 3 ile tm bölünür. 4 e bölünebilme: Son iki bsmgi 4k(k N) oln syilr 4 ile tm bölünür. XY00 syisinin 4 ile tm bölündügünü görünüz. ile bölünebilme: Birler bsmgindki rkmi 0 y d oln syilr ile tm bölünür. 6 y bölünebilme: Dikkt:Bir syi rlrind sl iki syi ile yri yri bölünebiliyors bunlrin çrpimlri ile de bölünür. 6=.3 oldugundn ve 3 ile bölünebilen syilr 6 ile de tm bölünür. www.testhne.com Syilr 6
7 ile bölünebilme: 309696 syisini 7 ile bölümüne bkrsk; 1 3 1 3 1 birler bsmgindn bslyrk siryl 1,3, yzilrk çrpilir. 3 0 9 6 9 6 + - - - + + + birler bsmgindn bslyrk 3 er tne ± yzilir. Yukridki gibi düzenleme ypildiktn sonr,syinin rkmlri üstündeki syi ve ltindki isretle çrpilip dh sonr toplndigind çikn syinin 7 ile bölümüne bkilir. (3 4-3.0 9 +1 + 7 + 6)=3=7k olup 7 ile tm bölünür. 8 ile bölünebilme: Son üç bsmgi 8k(k N) oln syilr 8 ile tm bölünür. XY000 syisinin 8 ile tm bölündügüne dikkt edin. 9 ile bölünebilme: Rkmlri toplmi 9k(k N) oln syilr 9ile tm bölünür. 10 ile bölünebilme: Birler bsmgi sifir oln syilr 10 ile tm bölünür. 11 ile bölünebilme: Verilen syi birler bsmgindn bslyip rkmlri birer tlyrk toplnir,rd kln diger syilrd kendi rlrind toplndiktn sonr rlrindki frkin 11 ile bölümüne bkilir. * 64 syisinin 11 ile bölümünü incelersek; 6 4 (4++6) (+)=11=11k olup syinin 11 ile tm bölündügü görülür. Simdi bölünme kurllrini inceleyecek bir örnek verelim; * 4613 syisin bölünme kurllrini uygulrsk; 1. ile bölünemez birler bsmgi tektir.. (4++6++1+3)=1=3k olur ve 3 ile tm bölünür. 3. 13=4.3+1 olup 4 ile bölünemez ve klnin 1 oldugu görülür 4. birler bsmgi 3 olup ile bölünemez ve kln 3olur.. 3 ile bölünüp ile bölünemedigi için 6 ile bölünemez www.testhne.com Syilr 7
6. birler bsmgindn bslyrk +1,+3+,-1,-3,-. syilri ile çrpilip toplndigind 19 7k olup 7 ile tm bölünemez ve kln dir. Nsil buldugumuzu sorrsniz nltiriz. 7. 4613 son üç bsmgi 8 e bölündügünde kln tir. Syi 8 ile tm bölünmez 8. 4++6++1+3 = 1 9k Syi 9 ile tm bölünmez, kln 3 tür. 9. 10 ile bölündügünde kln 3 tür. 10. 4 6 1 3 (3++) (4+6+1) = 10 11 = -1 11k Syi 11 ile tm bölünmez ve 11 ile bölündügünde kln10 dur. * 480 syisi 1 ile tm bölünür mü? Syinin 1 ile bölünebilmesi için 3 ve (rlrind sl çrpnlr) bölünmesi gerekir. Birler bsmgi 0 ve rkmlri toplmi 1=3k oldugundn 480 syisi 1 ile bölünür. Örnek 38: ( 17!) (16!) syisi sgidki syilrdn hngisine tm olrk bölünmez? A)63 B)77 C)11 D)169 E)1 (17!) (16!) = (17! 16!)(17! + 16!) = 16!(16) 16!(18) = (16!) 16 18 oldugundn cevplr kontrol edildiginde (E) bulunur. Örnek 39: (9! + 10!) syisi sgidkilerden hngisine tm olrk bölünemez? A)1 B)4 C)6 D)44 E)7 (ÖSS 000) 9! + 10 9! = 9!(1+10) = 9! 11 9! ve 11 syilrinin içinde 13 sl syisi yoktur oys syini 6 ile bölünebilmesi için ve13 ile bölünebilmesi gerekir. CEVAP: C Örnek 40: 0 ile 100 rsindki dogl syilrin kç tnesi 3 ile bölünebilir? A)1 B)16 C)17 D)18 E)33 www.testhne.com Syilr 8
Çözüm (1): 1 3k 99 oldugundn (99-1)=48 syisini 3 ile böldügümüzde içinde 16 tne 3 ile bölünebilen syi oldugunu görürüz. Fkt burd 99 un syilmdigin dikkt ediniz. Bu durumd 16+1=17 cevptir. Çözüm (): 100 ü, 3 e böldügümüzde bölüm 33 tür. Bu durumd (0,100) rligind 3 ile bölünebilen 33 tne syi vrdir. 0 yi, 3 e böldügümüzde bölüm 16 dir. Bu durumd (0,0) rligind 3 ile bölünebilen 16 syi vrdir. Bun göre (0,100) rligind 3 ile bölünebilen 33 16 = 17 tne syi vrdir. CEVAP: C Örnek 41: A3AB syisi 1 ile bölünebildigine göre A yerine yzilbilecek rkmlrin toplmi nedir? ile bölünebildigine göre B, 0 y d olmlidir. B = 0 için; A++3+A+0 = 3k A = 3k- olmlidir. k= A=1 A 1/ k=3 A=4 A= k=4 A=7 A 7/ k= A=10 A= k=6 A=13 A 13/ k=7 A=16 A=8 Dikkt:A= bulduktn sonr 3 er ekleyerek diger syilri bulbilirsiniz B = için; A++3+A+ = 3k A = 3k-10 olmlidir. k=4 A= A=1 A = 4 A = 7 A = 1+ + 4 + + 7 + 8 = 7 bulunur. Örnek 4: (1b) dört bsmkli syisinin 30 ile bölümünden kln 1 ise (+b) in en büyük degeri ne olur? A)14 B)13 C)11 D)10 E)9 1b = 30k + 1 olmlidir. 30 ile bölünebilmesi için 3 ile 10 seçilebilir (niçin 6 ile seçmedigimizi düsününüz). 10 ile bölünebilmesi için b=0 olur. Fkt 1 kldigi için b= olmlidir. www.testhne.com Syilr 9
Bu durumd syi (1) olur. +6 = 3k = 3k-6 k= =0 =0 (olmz,syi dört bsmkli) =3 =6 =9 9+=14 bulunur. CEVAP: A Örnek 43: A sym syisinin 13 ile bölümünden kln 11 ise A syisinin 13 ile bölümünden kln kçtir? A)4 B)7 C)9 D)10 E)11 Çözüm (1): Klnin kresinin 13 ile bölümünden klni bulmk yeterlidir: (11) = 11 syisi 13 ile bölündügünde 4 klnini verir. Çözüm (): A = 13k+11 A = ( 13k + 11) 13 k + 13 11 k + 11 11 = oldugunu görünüz. 13 13 Birinci çözümde verdigimiz prtik yolun d nereden geldigini görmüs oldunuz. Örnek 44: 868686...8686 seklindeki bsmkli syinin 1 e bölümünden kln kçtir? A)11 B)9 C)7 D) E)1 Syidn 1 çikrtildigind ile bölünür. (8+6) 11=14 rkmlri toplmi 14 syisi 3 ile bölündügünde 1 kliyor. Bu durumd bsmkli syi 1 ile bölündügünde kln 1 olur. CEVAP: E OBEB-OKEK: OBEB...iki y d dh fzl syiyi bölebilen syilrdn en büyügü. OKEK...iki y d dh fzl syiy bölünebilen syilrdn en küçügü. OBEB ve OKEK bulunurken syilr sl çrpnlrin yrilir: i) OBEB için ortk sl çrpnlrin en küçük üslüleri linip çrpilir. ii) OKEK için ortk sl çrpnlrin en büyük üslüleri ve ortk olmyn çrpnlr çrpilir. www.testhne.com Syilr 10
*360 ile 480 syilrinin OBEB ve OKEK ini bulunuz. 360 480 180 40 90 10 4 3 60 1 3 30 1 3 1 1 3 360 = 3 3 = 3 = 10 = 3 = 1440 OBEB OKEK 480 = 3 II. Yol 360 480 180 40 90 10 4 60 3 1 0 3 4 3 3 1 3 1 1 OBEB OKEK Örnek 4: ve b rlrind sl iki syidir. Bu iki syinin OKEK i 40 dir. kçtir? A)1 B)13 C)14 D)1 E)16 4 = 19 b ise Dikkt: syilr rlrind sl ise OBEB leri 1, OKEK leri syilrin çrpimin esittir. 4 = 19 b 4 = 19 b 4 = 19 40 8 = 19 = 1 CEVAP: D www.testhne.com Syilr 11