Olasılık ve Normal Dağılım

Olasılık ve Normal Dağılım

P = 0 İmkansız P =.5 Yarı yarıya P = 1 Kesin

Yazı-Tura 1.5 2 1.5 2.5.5.25

Para atışı 10 kere tekrarlandığında Yazı Sayısı f % 0 3 30 1 6 60 2 1 10 Toplam 10 100

Atış 1000 kere tekrarlandığında Yazı Sayısı f % 0 253 25.3 1 499 49.9 2 248 24.8 Toplam 1000 100 Bu dağılım teorik olarak beklediğimiz oranlara çok daha uygun. Sebebi ne olabilir? 6

Sadece 10 atışta meydana gelmesi mümkün bir çok olay vardır. Örneğin arka arkaya 5 kere tura bile gelebilir. Fakat deneyimizi 1000 kere tekrarladığımızda, uzun vadede bu olaylar dengelenir. Arka arkaya 5 kere tura gelse bile, daha sonra 5 kere yazı gelmesiyle bu durum eşitlenebilir. 7

Bir olasılık dağılımı esasında sonsuz sayıda para atışı için bir frekans dağılımıdır. Olasılık dağılımlarının bir ortalaması. Olasılık dağılımlarının ortalamaları uzun vadede teorik olarak görmeyi beklediğimiz değerler oldukları için, bu değerlere aynı zamanda beklenen değer adı da verilir. 8

Olasılık dağılımları, frekans dağılımlarına benzer. Temel fark olasılık dağılımının teorik değerler ile oluşturulmasıdır. Ortalama= μ Standart Sapma= σ Frekans dağılımlarında ortalama, SS ve varyans gözlemlenen verilerden hesaplanır. Olasılık dağılımlarında ortalama, SS ve varyans olasılık teorisinden yola çıkılarak elde edilen teorik verilerle hesaplanır. Varyans= σ 2 9

Doğada bir çok olayda gözlemlenebilen bir olasılık dağılımı tipi olan normal dağılımın özellikleri: Simetriktir. Unimodaldir Eğrinin tepe noktası hem ortalamaya hem medyana hem de moda tekabül eder. 10

Simetrik Unimodal Ortalama= Medyan= Mod Her iki yönde de sonsuza ilerler Ortalama= μ; Standart sapma = σ Eğri altındaki alan (Olasılıklar toplamı)= 100% 12

Normal dağılım, teorik bir ideali temsil eder. Bazı değişkenler normal dağılıma uymazlar. Çoğu dağılım simetrik değildir ve çok modludur. Verilerin normal dağılım göstermemesi halinde, normal dağılımda kullanılacak yöntemlerle incelenmesi bulgularımızı geçersiz kılar. 13

Boy, zeka hatta politik yönelim bile teorik normal dağılıma benzer bir dağılım gösterir. Doğada gözlemlenen bir çok olay bu dağılım tipine uygunluk gösterdiği için araştırmacılar normal dağılımın özelliklerinden faydalanan bir çok yöntem geliştirmişlerdir. 14

Normal eğride ortalama ile 1 standart sapma mesafe arasında kalan alan her zaman bütün vakaların %34,13 ünü içerir.

Z skoru ve Normal Dağılım Herhangi bir standart sapma değeri ile ortalama arasındaki mesafe için eğri altında kalan hesaplanabilir. Bu mesafeye z skoru adı verilir. z X μ=ortalama σ = Standart Sapma 19

20 Normal dağılım eğrisi, z skorları ve z skoru tablosu ile beraber kullanıldığında bir dağılımda herhangi bir X değerini elde etme ihtimalini hesaplayabiliriz.

21 Pozitif Değerler için Z Tablosu

Negatif Değerler için Z Tablosu

23

Z-skoru =1.40 Vakaların %41,91 i ortalama ile 1,4 SS mesafesi arasında bulunmaktadır. Aşağıdaki tablo bütün eğriyi değil ortalamanın simetrik olarak sağında kalan alanı kapsamaktadır. 24

Aynı z skoruna bütün alan için ortalamadan değil, sıfırdan başlayarak bakacak olursak bu değerin %91,92 olduğunu görürüz.

Z Tablosundan alan hesaplama işlemi tersine çevrilerek belirli bir alana tekabül eden değişkenlerin belirlenmesi için de kullanılabilir. Daha önce gördüğümüz örnekte en yüksek maaşı alan %10 luk kesimi oluşturan hemşire grubunu belirlemek için bu yöntem kullanılabilir. 28

29

En yüksek %10 luk kesimi belirlemek için %90 a tekabül eden Z skorunu bulmamız gerekmektedir. Daha sonra bu skor yine alan belirlemek için kullandığımız formül ile hangi maaş aralığının en yüksek %10 luk kesimini belirlemek için kullanılır.

Tabloya göre %10 nun altında kalan (%90) en yakın z skoru 1,28 dir. Daha önce kullanmış olduğumu z skoru hesaplama formülünü kullanarak değişkeni hesaplayabiliriz. z= (x- µ )/δ X = µ+ zδ X=20000 + (1,28x1500)=21920 33

Evren ve Örneklem Evren: En azından bir ortak özellik gösteren bireylerden oluşan grup. Örneklem: Evrenden seçilmiş daha az sayıda bireye sahip grup Evren örneklem Örnekleme genelleme yapılmasını sağlar. 35

Örnekleme RassalÖrnekleme vs. Rassal Olmayan Örnekleme Evrenin her bir üyesinin seçilme şandı eşittir. Evrenin her üyesinin eşit oranda seçilme şansı yoktur.

Rassal olmayan örnekleme Uygun Örnekleme Örnekleme araştırmacıya uygun gelen biçimde yapıılır. Amaçsal Örnekleme Örnekleme, genel mantığa uygun ve amaca yönelik yapılır.

Rassal Örnekleme Basit Tamamen rassaldır. Kura çekmekgibi Sistematik Belli bir sistematik izlenerek bulunan bir aralık ve başlangıç noktasına dayalı olarak örnekleme yapılır. Katmanlı Popülasyon önce kendi içinde homojen gruplara ayrıldıktan sonra örneklem yapılır.

Örnekleme Hatası Sadece tesadüfi olarak da olsa örneklem ortalaması ile popülasyon ortalaması arasında her zaman bir fark vardır. Örneklem için popülasyondan farklı semboller kullanılır. Ölçüm Popülasyon Örneklem Ortalama Standart Sapma Standart Hata X X s sx 39

Evren Örneklem A Örneklem B Örneklem C 70 80 93 99 40 72 86 85 90 99 86 96 56 52 67 56 56 49 40 78 57 52 67 56 89 49 48 99 72 30 96 94 Ortalama=71,55 Ortalama=75,75 Ortalama=62,25 Ortalama=68,25

Düşünüldüğünde değişkenin evren standart sapmasının bilindiği (s) ama ortalamasının bilinmediği (µ) durumlar çok gerçekçi değildir. Gerçekte evren standart sapmasının bilindiği çok az durum vardır.

Ortalamaların örnekleme dağılımı, evren standart sapması bilinmediğinde normal değildir. Ortalamaların örnekleme dağılımı normal dağılımdan biraz daha geniştir. Aşağıdaki oran t oranı veya t dağılımı olarak bilinir. 42

Aslında birden fazla t dağılımı vardır. Serbest derecesi adı verilen bir kavram kullanılarak hangi durumda hangi t dağılımının kullanılacağına karar verilir. 43

Serbestlik derecesi t dağılımının normal dağılıma ne kadar yaklaştığına işaret eder. Evren ortalaması belirlenirken, serbestlik derecesi örneklem büyüklüğünden bir eksik olarak alınır. Serbestlik derecesi = N - 1

Standart Hata S x =s / ( n-1) S x =ortalamanın standart hatası s=standart sapma n=örneklem büyüklüğü 45

Güven Aralığı Evren ortalamasının tekabül edeceği ortalama değerler aralığı. Güven aralığı farklı seviyeler için hesaplanabilir. 68%CI X 1.00 X 95%CI X 1.96 X 99%CI X 2.58 X 46

Z tablosunun aksine, T tablosunda eğrinin altında %95 ve %99 gibi alanlara tekabül eden aramak yerine, hazır değerleri kullanılırız. Yani t tablosu eğrinin altında kalan özel bölgelere göre ayarlanmıştır. 47

Tablo üzerindeki α (alfa) değeri t dağılımının kuyruklarındaki alanları temsil eder. Bu sebeple 1 den α değeri çıkartılınca kalan değer güven değerini verir. α = 1 güven seviyesi Örneğin %95 güven değeri için α=0,05. %99 güven değeri için α=0.01 dir. 48

Bu değerleri bulmak üzere t tablosuna iki bilgi doğrultusunda bakılır: 1)Serbestlik derecesi (N - 1) 2)Alfa değeri, dağılımın kuyruklarında kalan alan. Örneğin örneklem büyüklüğü 20 olduğunda %95 lik güven aralığı için 20-1=19 serbestlik derecesi ve %100-%95=%5 yani a=0,05 için tabloya bakarız. Buna göre t değerimiz 2,093 tür. 49

51

52

KORELASYON

Korelasyon analizi, iki değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi veya bir değişkenin iki yada daha çok değişken ile olan ilişkisini test etmek, varsa bu ilişkinin derecesini ölçmek için kullanılan istatistiksel bir yöntemdir.

Korelasyon analizinde amaç; bağımsız değişken (X) değiştiğinde, bağımlı değişkenin (Y) ne yönde değişeceğini görmektir. Korelasyon analizi yapabilmek için, her iki değişkenin de sürekli olmaları ve normal dağılım göstermeleri gereklidir.

Korelasyon analizi sonucunda, doğrusal ilişki olup olmadığı ve varsa bu ilişkinin derecesi korelasyon katsayısı ile hesaplanır. Korelasyon katsayısı r ile gösterilir ve - 1 ile +1 arasında değerler alır.

Pozitif bir ilişkinin olması X değişkeninin değerlerinin artması durumunda Y değişkeninin değerlerinin de artması, yada X değişkeninin değerlerinin düşmesi durumunda Y değişkenine ait değerlerin de düşme eğiliminde olduğunu gösterir (Şekil1. a.)

Negatif korelasyon (negatif ilişki) olması değişkenlerin birine ait değerlerin artması durumunda diğer değişkene ait değerlerin düşmesi demektir (Şekil1. b.). Korelasyon katsayısının 0 olması değişkenler arasında doğrusal bir ilişkinin söz konusu olmadığını gösterir (Şekil 1. c.). Korelasyon, neden sonuç ilişkisi anlamına gelmemektedir.

PEARSON KORELASYON KATSAYISI Pearson Korelasyon Katsayısı, iki sürekli değişkenin doğrusal ilişkisinin derecesinin ölçümünde kullanılır. İki değişken arasında anlamlı bir ilişki var mıdır sorusunun cevabı aranır. Korelasyon katsayısı hesaplanmadan önce mutlaka serpilme grafiği yapılarak doğrusal ilişki olup olmadığı kontrol edilmelidir.

Korelasyon katsayısı -1 ile +1 arasında değerler alır. Eğer; r=-1 ise Tam negatif doğrusal bir ilişki vardır. r=+1 ise, Tam pozitif doğrusal bir ilişki vardır. r=0 ise, iki değişken arasında ilişki yoktur.

Pearson Korelasyon Katsayısının yorumu; r İlişki 0,00-0,25 Çok Zayıf 0,26-0,49 Zayıf 0,50-0,69 Orta 0,70-0,89 Yüksek 0,90-1,00 Çok Yüksek

HİPOTEZ TESTLERİ 63

Gözlem ya da deneme sonucu elde edilmiş sonuçların, rastlantıya bağlı olup olmadığının incelenmesinde kullanılan istatistiksel yöntemlere HİPOTEZ TESTLERİ denir. Sonuçların rastlantıya bağlı olup olmadığı, kitle parametreleri (ortalama, ortanca, varyans, vb.) üzerine kurulmuş hipotezlerin test edilmesi ile yapılır. 64

A ve B diyeti arasında fark olup olmadığını araştırmak isteyen bir araştırmacı rasgele 50 kişi seçiyor ve seçtiği 50 kişiyi yine rasgele 2 diyet grubuna atıyor. Diyetisyen, her iki gruptaki kişilerin diyet uygulamadan önce ve sonraki BKİ leri arasındaki farkları ölçüyor ve aşağıdaki gibi bir tablo elde ediyor. Diyet Denek Sayısı BKİ farkı Ortalaması (kg/m 2 ) BKİ farkı Standart Sapması (kg/m 2 ) A 25 1.2 0.1 B 25 1.5 0.2 Acaba A ve B diyeti arasında kilo düşürme açısından fark var mıdır? 65

Verilen örnekte incelenmek istenen, kitle ortalaması(ları) ya da kitle oranı(ları) üzerine kurulmuş hipotezlerdir. Hipotez testlerinde iki hipotez vardır. Birincisi, H 0 ile gösterilen yokluk hipotezi, İkincisi H 1 ile gösterilen seçenek hipotezdir. 66

A ve B diyeti arasında fark olup olmadığını araştırmak isteyen bir araştırmacı rasgele 50 kişi seçiyor ve seçtiği 50 kişiyi yine rasgele 2 diyet grubuna atıyor. Diyetisyen, her iki gruptaki kişilerin diyet uygulamadan önce ve sonraki BKİ leri arasındaki farkları ölçüyor ve aşağıdaki gibi bir tablo elde ediyor. Diyet Denek Sayısı BKİ farkı Ortalaması (kg/m 2 ) BKİ farkı Standart Sapması (kg/m 2 ) A 25 1.2 0.1 B 25 1.5 0.2

Araştırmanın Hipotezi: H 0 :A ve B diyetleri arasında fark yoktur. H 1 :A ve B diyetleri arasında fark vardır.

İstatistiksel hipotez testlerinde iki tür yanılgı vardır. : Anlamlılık Düzeyi 1- = Güven Düzeyi 1- : Testin Gücü Test Sonucu H 0 Doğru Gerçek Durum H 0 Yanlış H 0 Kabul Doğru Karar II. Tip Hata ( ) H 0 Red I. Tip Hata ( ) Doğru Karar

Test Sonucu A ve B diyetleri arasında fark yok (H 0 Kabul) A ve B diyetleri arasında fark var (H 0 Red) A ve B diyetleri arasında fark yok Doğru Karar Gerçek Durum A ve B diyetleri arasında fark var II. Tip Hata ( ) I. Tip Hata ( ) Doğru Karar

Araştırmacı, çalışmasına başlamadan önce tip I hata olasılığı için belirli bir değer öngörür. Bu değer alfa ( ) değeri ile gösterilir ve genellikle 0.05 veya 0.01 gibi küçük değerler olarak alınır.

Çalışmamızın başında tip I hata olasılığını =0.05 olarak öngördüysek. Bunun anlamı H 0 gerçekte doğru iken onu yanlışlıkla red etme olasılığımız maksimum %5 olmalı. İstatistiksel paket programları, bir hipotez testi sonucunda gerçekleşen I. tip hata miktarını hesaplar ve bu değere p değeri denir. P değeri önceden belirlenmiş değeri ile karşılaştırılarak karar verilir.

Eğer: P ise H 0 red edilir. Bunun anlamı, H 0 ı red etmekle gerçekleşen yanılgı öngörülenden küçüktür. Dolayısıyla rahatlıkla H 0 red edilebilir. P > ise H 0 kabul edilir. Bunun anlamı gerçekleşen yanılgı öngörülenden küçük olmadığı için H 0 red edilemez.

Varsayalım ki, uygun hipotez testini kullandık ve p değerini 0.26 olarak elde ettik. Bu durumda aşağıdaki şekilde kurulan H 0 :A ve B diyetleri arasında fark yoktur. H 1 :A ve B diyetleri arasında fark vardır. P > için H 0 kabul edilir. Bunun anlamı A ve B diyeti arasında fark yoktur.

Hipotez Testi Aşamaları I. Aşama: H 0 Hipotezinin Belirlenmesi ve Formüle edilmesi: Kolesterol ortalaması 190, standart sapması 45 olan 100 kişilik bir örneklem, kolesterol yönünden normal kabul edilebilir mi? H 0 hipotezi, kitle parametreleri cinsinden ifade edilir.

Bu örnekte öncelikle kolesterolü normal kitlenin parametrelerinin bilinmesi ya da belirlenmesi gerekir. Kolesterolü normal kitlenin ortalaması 180 standart sapması 58 ise Örneklemin çekildiği kitlenin ortalamasının 180 olup olmadığını incelemek gerekir. Bu durumda yokluk hipotezimiz; H : 0 180

II. Aşama: H 1 Seçenek Hipotezinin Belirlenmesi ve Formüle edilmesi: H 0 hipotezi, örneklemin kolesterolü normal bir kitleden çekildiği olduğuna göre H 1 seçenek hipotezi H 0 a karşıt olarak örneklemin kolesterolü normal olmayan bir kitleden çekildiği biçiminde olacaktır. Bu durumda kolesterolü normal olmayan kitlenin tanımlanmasına gerek vardır

Örneklemin çekildiği kitlenin ortalamasının 180 den farklıdır: Örneklemin çekildiği kitle ortalaması 180 den büyüktür: Örneklemin çekildiği kitle ortalaması 180 den küçüktür: H 0 : 180 H 0 : 180 H 0 : 180 H 0 : 180 H 0 : 180 H 0 : 180

Araştırıcı amacına ya da tanımlamalarına uygun olarak yokluk hipotezine karşıt olarak üç farklı hipotez kullanabilir. Çift Yönlü H 0 : = 180 H 1 : 180 Tek Yönlü H 0 : = 180 H 1 : > 180 ; H 1 : < 180

H 1 seçenek hipotezinin iki ya da çok yönlü olması test sonucu karar verilme koşullarında farklılık yaratır öyle ki; H 1 seçenek hipotezinin iki yönlü olması 1. Tip hata nın ikiye bölünmesini gerektirir. Bunun nedeni H 1 hipotezinin iki yönlü seçilmesi yanılgının her iki yönde öngörülmesi demek olacağından toplam 1. Tip hata olasılığı olarak tanımlanan nın her iki yönde /2 olarak tanımlanmasını gerektirir.

H 0 : = 180 H 1 : 180 /2 /2

H 1 hipotezi tek yönlü iken gerçekleşen I. Tip hata P, ile karşılaştırılırken H 1 hipotezi iki yönlü iken gerçekleşen I. Tip hata P; /2 ile karşılaştırılır. H 0 : = 180 H 1 : < 180 H 0 : = 180 H 1 : > 180

III. Aşama: İstatistiksel test için I. Tip hatanın olasılığı olan nın belirlenmesi: Çalışmalarda genellikle =0.05, 0.01 gibi küçük değerler alınır.

IV Aşama: Hipotezler için uygun test veya test istatistiğinin belirlenmesi: Farklı hipotez testleri için değişik test istatistiklerinden yararlanılır. Örneğin iki örneklem ortalamasını karşılaştırmak için t test istatistiğinden yararlanırken, ikiden fazla örneklem ortalamasının birbirinden farklı olup olmadığını karşılaştırmada F test istatistiği kullanılmaktadır. Uygun testi dolayısıyla test istatistiğini seçmek hipotez testlerinin en önemli adımıdır.

V Aşama: Belirlenen I. Tip hataya Bağlı Olarak H 0 Hipotezi için Kabul ve Red Bölgelerinin Saptanması:

VI. Aşama: İstatistiksel Karar: Yapılacak test sonucunda hesapla bulunan test istatistiği değeri belirli bir teorik dağılıma uyar (örneğin standart normal dağılım veya t dağılımı gibi). Eğer hesapla bulunan test istatistiği değeri teorik tablo değerine eşit ya da büyük ise H 0 RED edilir. Hesapla bulunan test istatistiği teorik tablo değerinden küçük ise H 0 KABUL edilir. Diğer bir yol ise daha önce bahsedildiği gibi test sonucunda elde edilen p değeri ile karar vermektir. P değeri, daha önce belirlediğimiz yanılma düzeyinden küçük ise H 0 RED edilir, eğer p değeri belirlenen hata düzeyinden büyük ise H 0 KABUL edilir.

=0.05 olduğunda yapılan hipotez testi sonucunda hesaplanan z test istatistiği 0.79 olsun.

Yorum: Örneklemin çekildiği kitlenin kolesterol ortalaması 180 e eşittir. Dolayısıyla normal olarak kabul edilebilir.

Tek Örneklem Testleri 89

Kitle Ortalamasının Anlamlılık Testi Bu test, eldeki örneklemin belirli bir kitleden çekilip çekilmediğinin ya da başka deyimle belirli bir kitleye ait olup olmadığının incelenmesi amacı ile kullanılır. Buradaki belirli kitle, ortalaması ya da hem ortalaması hem varyansı bilinen kitleyi tanımlar. 90

KOŞULLAR Kitle Normal dağılmalıdır. Örneklem kitleden rasgele seçilmiş olmalıdır. 91

Kitle ortalamasının anlamlılık testinde test edilecek hipotezler aşağıdakilerden biri olabilir. I H 0 : A II H 0 : A III H 0 : A H 1 : A H 1 : A H 1 : A Tek Yönlü Tek Yönlü İki Yönlü Tek yönlü testlerde yanılgı tek yönde, iki yönlü testte yanılgı iki yönde öngörüldüğünde H 0 hipotezinin kabul ya da red bölgeleri farklı olur. Araştırıcı testin tek ya da iki yönlü olacağına amacına bakarak karar verir. 92

Kitle ortalamasının anlamlılık testinde daha önce belirtilen koşullar sağlandığında yararlanılacak test istatistiği, n, örneklemdeki denek sayısını göstermek üzere Kitle varyansı bilindiğinde, z x / n Kitle varyansı bilinmediğinde, t x S/ n

Z istatistiği için H 0 Kabul ve Red Bölgeleri H 1 Tek Yönlü 0 Z Kabul Bölgesi Red Bölgesi H 1 İki Yönlü /2 -Z /2 0 Z /2 /2 Red Bölgesi Kabul Bölgesi Red Bölgesi 94

t istatistiği için H 0 Kabul ve Red Bölgeleri H 1 Tek Yönlü 0 t,n-1 H 1 İki Yönlü /2 -t /2,n-1 0 t /2,n-1 /2 95

Standart Normal Dağılım Tablosu 96

t Dağılımı Tablosu 97

H 0 için kabul ve red kriterleri Z > Z ya da Z > Z /2 t > t ya da t > t α/2 H 0 Red t < t ya da t < t α/2 Z < Z α ya da Z < Z α/2 P < ya da P < /2 P > ya da P > /2 H 0 Kabul H 0 Red H 0 Kabul 98

Kolesterol ortalaması 190 standart sapması 45 olan 100 kişilik çalışma örnekleminin ortalaması 180, standart sapması 58 olan bir kitleye ait midir? 99

t Dağılımı Tablosu 100