2+1 Boyutlu Eğri Hiperyüzeyde Dirac Denklemi Mehmet Ali Olpak Fizik Bölümü Orta Doğu Teknik Üniversitesi Ankara, Aralık 2011
Outline 1 2 3 Geometri Denklemin Parçalanması 4
Genel Durum N boyutlu bir uzayın, daha düşük boyutlu bir alt kümesine kısıtlanmış bir sistemi ele alalım. İlgili QM hareket denklemleri nelerdir? Motivasyon: "bükülebilir" QM sistemler (karbon nanotüler gibi) [2]; efektif olarak Dirac denklemine uyan sistemler (graphene gibi) [1], vs.
İncelenen Durum Dirac denk. uyan bir parçacık (3+1 D). Elektrostatik alan (klasik) Parçacığın kısıtlandığıyüzey
Basamaklar Koordinat transformasyonu: bir koordinat (q 3 ) yüzey boyunca sabit kalsın. Bu koordinat yüzeye dik olsun. Nesneleri q 3 = 0 etrafında açalım. q 3 = 0 da denklemi teğet ve normal parçalara ayıralım.
Outline Geometri Denklemin Parçalanması 1 2 3 Geometri Denklemin Parçalanması 4
Geometri Denklemin Parçalanması Ele alınan durum: Figure: Ref: [3]
Geometri Geometri Denklemin Parçalanması P nin Q ya S üzerinde en yakın nokta olduğunu ve q 3 ün diğer uzunluklara kıyasla küçük olduğnu varsayalım. Q nun konum vektörü: R(q 1, q 2, q 3 ) = r(q 1, q 2 ) + q 3 N(q 1, q 2 ) (1) q 3 : normal koordinat, N: yüzeyin birim normal vektörü. G µν = R q µ R q ν G ij = ( r q i + q 3 N q i ) ( r q j + q 3 N ) q j, i, j = 1, 2 G i3 = 0, G 33 = 1. (2)
Outline Geometri Denklemin Parçalanması 1 2 3 Geometri Denklemin Parçalanması 4
Genel Denklem Geometri Denklemin Parçalanması Parçacığın EM alanla [2] deki gibi etkileştiğni varsayalım. Bu durumda genel denklem [2]: [ i D 0 Ψ = 1 2 µ ( GG µν ν Ψ) + iq µ ( GG µν A ν )Ψ 2m G G ] + 2iQ G µν A ν µ Ψ + Q 2 G µν A µ A ν Ψ. (3) olur; Q: parçacığın yükü, D 0 t + iq Φ, A: vektör potansiyel, Φ: skalar potansiyel.
Dalga Fonksiyonu Geometri Denklemin Parçalanması Normalizasyon integrali [2]: d 3 xψ (x)ψ(x) = d 3 q GΨ (q)ψ(q) = d 3 q ( ) g 1 + q 3 Tr(α) + (q 3 ) 2 det(α) Ψ (q)ψ(q) = 1. (4) Burada N(q) q i α i j r(q) q j. (5) Tanım: χ(q) (1 + q 3 Tr(α) + (q 3 ) 2 det(α)) 1/2 ψ(q). Bu durumda: d 3 xψ (x)ψ(x) = d 2 qdq 3 gχ (q)χ(q) (6)
Elde Edilen Schrödinger Denk. Elde edilen denklemler: Geometri Denklemin Parçalanması i D 0 χ n = 2 2m ( 3) 2 χ n + V λ (q 3 )χ n (7) [ i D 0 χ s = 1 2 i ( gg ij j χ s ) + iq ( gg ij A j )χ s 2m g g + 2iQ g ij A i j χ s + Q 2 g ij A i A j χ s ] + V s χ s (8) Önemli: yüzey üzerinde ölçülebilir nicelikleri hesaplarken "dış dünya"ya referans ( gerekmiyor. (1 ) 2 V s 2 2m 2 Tr(α) det(α)) : geometrik potansiyel [2].
Eğri uzayzamanda Dirac denklemi [4]: M 4 te genel bir koordinat sistemi (iγ a E a µ D µ m)ψ(q) = 0. (9) q 3 ün kuvvetleri cinsinden açılım (O(q 3 ) e kadar) Latin harfleri: düz koordinatlar, Yunan harfleri: genel koordinatlar Bu konu daha önce Burgess ve Jensen tarafından [4] te ele alındı.
Metrik: [4, 5] "Vierbein"lar: [ ] 1 0 0 Gµν = 0 G ij 0 (10) 0 0 1 e a µe a ν = δ ν µ, e a µe b µ = δ a b, e a µe b νη ab = G µν, E a µ E b ν η ab = G µν. (11)
Dirac matrislerinin cebiri: [γ a, γ b ] + = 2η ab (12) Christoffel katsayıları: ω µ = 1 8 ω abµ[γ a, γ b ], (13) ω a bµ E b ν µ e a ν. (14) Bu şekilde: γ c E c µ ω abµ [γ a, γ b ] = 2γ a ( µ E a µ ). (15)
Yeniden tanımlanmış spinör [5]: χ ψ F, F 1 + q 3 Tr α. (16) Seçilen "Vierbein"lar: e a i = i x a + q 3 i n a = i x a + q 3 α k i k x a, e 0 0 = 1, e a 3 = N a, a = 1, 2, 3, diğerleri = 0, (17) ve (tilda: "yüzeyde") i E a = Ẽa i q 3 α i k Ẽ k a, E 0 0 = 1, E 3 a = N a, a = 1, 2, 3, diğerleri = 0. (18)
EM (klasik) alanda [5]: ) (γ 0 0 + γ A Ẽ i A i + 14 γa ( i Ẽ i A ) 14 γa Ñ A Tr(α) + γ A Ñ A 3 i ( ) + eγ 0 A 0 (q 3 ) m χ = 0, A = 1, 2, 3; i = 1, 2. (19) Ekstra terim: V geo. = 1 4 γa Ñ A Tr(α). (20) χ
Soru: V geo. i nasıl yorumlayabiliriz? Yanıt: (arxiv: 1010.2370v3 [hep-th]) (γ 0 eλq 3 iγ A Ñ A 3 )χ = K χ. (21) : 4 χ exp[ a(q 3 ) 2 + bq 3 ] h r (t, q i )V r (q i ), (22) r=1 a > 0, b = 0 ve iγ A Ñ A V r (q i ) c r V r (q i ). (23)
Burgess ve Jensen in çalışması[4] ile farklar: Elde edilen denk.: [ 4 ( i γ 0 0 + γ A Ẽ i A i + 1 ) 4 γa ( i Ẽ i A ) r=1 ] c ( ) r 4 Tr(α) m h r (t, q i )V r (q i ) = 0. (24) [4] te içsel eğriliği sıfır olan yüzeyler, burada genel durum inceleniyor.
Burgess ve Jensen in çalışması [4] ile farklar: Geometrik terim V geo. : [4] te, V geo. = 1 2 γa Ñ A Tr(α); Christoffel kat. dan gelen katkı yok. [4] te b 0, ancak "büyük olasılıkla" parçacık "yüzey" üzerinde, dolayısıyla b = 0 (prob. conservation).
Açık noktalar: c r Tr(α) + m efektif kütle terimleri gibi görünmekte; tam 4 çözüme göre yorunlanmalı. Yaklaşımın geometrik ve deneysel geçerlilik koşulları([4] te ele alınmış). γ ların 3+1 D rep. 4x4. Denklem hangi koşullarda diagonalize edilebilir (2x2 olarak) ([4] te ele alınmış)?
Appendix Ek okuma Ek okuma I R. Jackiw, S. Y. Pi. Chiral Gauge Theory for Graphene arxiv:cond-mat/0701760v2 [cond-mat.str-el]. G. Ferrari, G. Cuoghi. Schrödinger equation for a particle on a curved surface in an electric and magnetic field. Phys. Rev. Lett, 100(23):230403, 2008. R. da Costa. Quantum Mechanics of a Cosntrained Particle. Phys. Rev. A, 23(4):1982 1987, 1981.
Appendix Ek okuma Ek okuma II M. Burgess, B. Jensen Fermions Near Two Dimensional Surfaces Phys. Rev. A, 48(3):1861 1868, 1981. M. A. Olpak Dirac Equation on a 2+1 Dimensional Hypersurface arxiv:1010.2370 [hep-th], to be published in Mod. Phys. Lett. A.
Appendix Ek okuma TEŞKKÜR EDERİM