AKM 204 / Kısa Ders Notu H10-S1 Gerçek Akışkanların Bir Boyutlu Akımları Özet : Bir boyutlu akımların temel denklemleri Süreklilik denklemi : Enerji denklemi : İmpuls-momuntum denklemi : İrdeleme Sonsuz küçük kesitler için elde edilen denklemler sonlu büyüklükteki akım borusu için entegrasyon yapılarak elde edilmelidir. Süreklilik denklemi için enkesit dahilinde hız dağılışı bilinmelidir. Enerji denkleminde, enerji kaybı terimi hesaplanabilmelidir. İmpuls-momentum denkleminde, sürtünme kuvvetleri bilinmelidir. Entegrasyonda hız dağılışı, enerji kaybı terimi ve sürtünme kuvvetlerinin bilinmesi fiziksel zorluk oluşturmaktadır. Gerçek akışkanın bir boyutlu akımı için yapılan kabuller: Yerçekimi alanında inceleme yapılacaktır (kütlesel kuvvetler sadece g den kaynaklanmaktadır). Permanan akım ortamında çalışılacaktır ;. Kontrol hacmi, t anında, akım borusunun (1) ve (2) enkesitleri arasındaki akışkan hacimdir. Akışkan gerçek akışkandır ( ). Akışkan hareket esnasında sıkışmamaktadır ( )
AKM 204 / Kısa Ders Notu H10-S2 da i enkesitli akım ipçiğinin 1-2 enkesitleri arasındaki kontrol hacminde bulunan akışkan kütlesi için elde edilen üç temel denklem, A i sonlu enkesitli bir akım borusu için integrasyonları yapılacaktır.
AKM 204 / Kısa Ders Notu H10-S Kesitsel Ortalama Hız Kavramı Enkesitin her noktasında aynı olduğu varsayılan dikdörtgen hız dağılımı, (üç boyutlu silindirik) Gerçek akışkanın parabol hız dağılımı (üç boyutlu parabolloid) Tanım : Kesitsel ortalama hız, ui(r) noktasal hız dağılımıyla eninekesitten eşdeğer debiyi geçiren, ortalama akım hızıdır. (1). Kütlenin korunumu ilkesi : Bir boyutlu akımlar için elde edilen süreklilik denklemi Süreklilik denklemi : : İrdeleme : Sonlu büyüklükteki akım borusu içerisinde muhtelif (farklı) kesitlerden birim zamanda geçen akışkan hacmi sabittir. Dar enkesitlerden akım hızı artarak, geniş enkesitlerde hız azalarak birim zamanda geçen akışkan hacmi sabit kalmaktadır. (2). Enerjinin korunumu ilkesi : Bir boyutlu akımların temel denklemleri Enerji denklemi :
AKM 204 / Kısa Ders Notu H10-S4 Tanım : Hız katsayısı : Hız katsayısı ; Kinetik enerji düzeltme faktörü gösterir. : (1) ve (2) kesitleri arasındaki L uzunluğu boyunca birim ağırlıktaki akışkanın toplam enerjisindeki azalmayı ; Gerçek Akışkanın Enerji denklemi İrdelenme : Permanan akım ortamında, sıkışmayan ve gerçek akışkanın enerji denklemidir. Belirli bir akım çizgisi üzerinde birim ağırlıktaki akışkan kütlesinin hareketine bağlı olarak değişime uğrayan enerji bileşenlerinin, konuma bağlı dengesini ifade eder. Karmaşık kesitler, enkesit içerisinde akım özellikleri farklılık gösteren kesitlerdir. İdeal akışkan halinde Gerçek akışkan halinde Gerçek akışkan halinde Karmaşık kesit halinde Karmaşık olmayan kesit halinde (). Momentumun korunumu ilkesi : Noktasal hızlar yerine enkesitler için kesitsel ortalama hız tanımı kullanılp, momentum düzeltme faktörü kullanılarak denklem düzenlenirse; Tanım : Momentum düzeltme faktörü
AKM 204 / Kısa Ders Notu H10-S5 : momentum katsayısı Gerçek akışkan için impuls momentum denklemi elde edilir. İrdeleme: Karmaşık kesitler, enkesit içerisinde akım özellikleri farklılık gösteren kesitlerdir. İdeal akışkan halinde Gerçek akışkan halinde Gerçek akışkan halinde Karmaşık kesit halinde Karmaşık olmayan kesit halinde Gerçek akışkan için enerji denkleminin fiziksel ve geometrik yorumu: Gerçek Akışkan Halinde Enerji Denklemi ( enerjinin korunumu prensibi ) Gerçek Akışkanın Enerji Çizgisi =GAEÇ G.A. Piyezometre Çizgisi = GAPÇ Akım Borusu Q z2 z1 Karşılaştırma Düzlemi 1 ve 2 kesitleri arasındaki enerji dengesi ; hk : birim ağırlıktaki akışkanın,1 2 nolu kesitler arasında kaybettiği enerji göstermektedir (ısıya dönüşen enerji terimi). =fonk(akımın Türü)=fonk(Nre)
AKM 204 / Kısa Ders Notu H10-S6 AKIM TÜRÜ REYNOLDS DENEYİ Boyutsuz Reynolds Sayısı : Boyutsuz fiziksel büyüklük V Özgül Kütle Dinamik Viskozite Kinematik Viskozite Karakteristik geometrik fiziksel büyüklük Kesitsel Ortalama Hız Kritik Reynolds sayısı Laminer Akım Türbülanslı Akım Farklı akım ortamlarında Reynolds sayısının kritik değerleri Basınçlı boru akımı Geniş kanallarda akım Yeraltı suyu akımı = D : Boru çapı = h : su derinliği = d : zemin tane çapı
AKM 204 / Kısa Ders Notu H10-S7 Türbülansın Yarattığı Kayma Gerilmesi v y dz x u w dx Akım yönü (Bir boyutlu akım ortamı) z dx.dz alanından, dt süresinde, y doğrultusunda geçen akışkan kütlesi; Bu kütlenin x- doğrultusundaki momentumu : Newton un 2. Hareket yasası ; bağıntısıyla elde edilir. : Türbülans kayma gerilmesi : Hızların çalkantı bileşenlerinin çarpımlarının ortalaması Laminer akım ortamında; Türbülanslı akım ortamında; 1 2 4 5 6 Kaynaklar Ders notları, ÜNSAL, İstemi, Engineering Fluid Mechanics 9e ISV, Clayton T. Crowe, John Wiley High Education, Isbn: 978047040945, 616 pages,2009. "Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications", Yunus Çengel & John Cimbala, 864 pages, McGraw Hill Higher Education (December 1, 2006) Introduction to Fluid Mechanics, Edward J. Shaughnessy,Ira M. Katz, James P. Schaffer, 1056 pages, Oxford University Press, USA (December 9, 2004), ISBN-10: 0195154517. Introduction To Fluid Mechanics, Robert W.Fox, Philip J.Pritchard, Alan T.Mcdonald, 7Th Ed, Si Version Fundamentals of FLUID MECHANICS, Munson, Young, Okiishi, Wiley.
AKM 204 / Kısa Ders Notu H10-S8 Konu Soruları 1. Kesitsel ortalama hız nedir? Zamansal ortalama hız ile bir ilişkisi var mıdır? 2. İdeal akışkanların 1-boyutlu akımı için verilen süreklilik, enerji ve impuls-momentum denklemleri gerçek akışkanların 1-boyutlu akımı için kullanılabilir mi? Açıklayınız.. Enkesiti sabit yatay bir boru içindeki gerçek akışkanın (su) akımında iki farklı enkesitte basınç okumaları yapıldığına göre bu iki kesit arasında meydana gelen yük kaybını belirleyebilir misiniz? Açıklayınız. 4. Laminer ve türbülanslı akım nedir? Bir akımın laminer mi yoksa türbülanslı mı olduğu nasıl anlaşılır? Bu iki akım tipini ayıran kriteri veriniz. 5. Türbülans kayma gerilmesi neden kaynaklanır? Türbülans kayma gerilmesinin matematik ifadesini elde ediniz. Konuyla İlgili Problemler 1. Soru ) Yarıçapı R=10 cm olan bir boru enkesitindeki hız dağılışı metrik sistemde u = 400 (R 2 r 2 ) bağıntısıyla verildiğine göre, a) Eksendeki maksimum hızı, b) Borudan geçen debiyi, c) Boru enkesitindeki ortalama hızı bulunuz. Çözüm a) Eksende r = 0 için hız maksimumdur. U(r=0) = 400 (0.1 2 0 2 ) = 4 m/s b) c)
2. AKM 204 / Kısa Ders Notu H10-S9 Soru ) Bir göle, göl yüzeyinden 90 m yükseklikten m/s ortalama hız ve 500 m /s lik debiyle bir nehir boşalmaktadır. 1 ve 2 noktaları arasında (türbin hariç olmak üzere) borulama sisteminde meydana gelen toplam tersinmez (geri döndürülemez) yük kaybı 10 m olarak belirleniyor. Türbin-jeneratör gurubunun verimini, η = 0.80 alarak sistemde üretilecek elektrik gücünü hesaplayınız ( N = η. γ. Q. htürbin ). m/s 90 m Türbin Sonuç : htürbin =80,46 m; N = 2,184 MW. Soru ) Şekildeki hidroelektrik santralın debisi 50 m /s dir ve boru hattında sürtünme nedeniyle 2 metre su sütunu enerji kaybı meydana gelmektedir. Suyun T türbin çarkına aktardığı gücü bulunuz. Türbinin randımanı 0.92 olduğuna göre türbinden jeneratöre aktarılan gücü 00m 200m hesaplayınız. Q=50m/s Sonuç: T N = 52 MW A B
4. 6 kg/s Soru ) Şekilde gösterildiği gibi yatay düzlemde bulunan Uşeklindeki bir boru parçasına su girip çıkmaktadır. (1) numaralı flanşta toplam mutlak basınç 200 kpa olup, boruya 40 kg/s kütlesel debi girişi olmaktadır. (2) numaralı flanşta ise toplam basınç 150 kpa olup borudan 0 kg/s kütlesel debi çıkışı olmaktadır. () numaralı kesitten 4 kg/s, (4) numaralı kesitten de 6 kg/s kütlesel debi 100 kpa basınçtaki atmosfere atılmaktadır. Rölatif basınçlarla çalışarak; 4 0.05 m 2 y 1 x 40 kg/s Not 1 : Kütlesel debi = Özgül kütle x Debi Not 2 : Flanş, iki makine veya tesisat elemanının sızdırmaz şekilde birleştirilmesine yarayan genelde standart olarak üretilen bir konstrüksiyon elemanıdır. 0.10 m 0.0 m 4 kg/s Rx=1545,7 ( ) ve Ry=91,96 ( ) 5. 0.02 m 0 kg/s Boruya bağlanan iki flanştaki toplam Rx ve Ry kuvvetlerini belirleyiniz. Sonuç: AKM 204 / Kısa Ders Notu H10-S10 Soru ) Düşey düzlemde bulunan bir püskürtücü dirsek 0.0 m /s debisindeki suyu yatay bir borudan aşağı doğru hızlandırarak saptırmak için kullanılmaktadır. Dirsek suyu atmosfere atmaktadır. Dirseğin girişteki enkesit 2 2 alanı 150 cm, çıkıştaki ise 25 cm dir. Giriş ve çıkış kesitlerinin eksenleri arasındaki seviye farkı 50 cm dir. İçerisindeki su ile birlikte dirseğin kütlesi 50 kg dır. Dirseği yerinde tutabilmek için gerekli kuvveti belirleyiniz. Sonuç: Rx=782 ( ) ve Ry=745,5 ( ) 6. Soru ) Bir hidroelektrik güç santralinde su 150 m yükseklikten 100 m /s lik debiyle elektrik gücü üreten türbine doğru akmaktadır. 1 ve 2 noktaları arasında (türbin hariç olmak üzere) sisteminde meydana gelen toplam yük kaybı 40 m olarak belirlenmiştir. Türbin-jeneratör grubunun toplam verimi % 80 olduğuna göre üretilecek elektrik gücünü hesaplayınız. Not: %80 verim sistemden beklenen faydanın üretim esnasında %20 sinin sürtünmeler nedeniyle kaybolduğunu ifade 1 150 m 2 Jeneratör Türbin eder. Sonuç: N = 15 MW
AKM 204 / Kısa Ders Notu H10-S11 7. Soru ) Şekildeki yatay boru sisteminden geçen ideal akışkanın debisini, ( 1 ) kesitindeki basınç yüksekliğini ve manometre okumasını ( h ) bulunuz? Not ; Akışkan ( 2 ) kesitinde atmosfere açılmaktadır. Boru çapları D1 = 8 cm, D2 = 5 cm dir. h=? 7 cm (1) V2 (2) Sonuç : Q=0,00529 m/s ve h=0,1 m 8. Soru ) Şekildeki silindirik boru sisteminden geçen debisi Q=100 lt/s dir ve akışkan sudur. Akım A kesitinden C kesitine doğrudur. A ve B arasındaki mesafenin kısa olması nedeniyle enerji kaybının ihmal edilmektedir. B ile C arasındaki enerji kaybının (hk ) BC VB2 0.1 2g alınması halinde, A ve C deki basınç yüksekliğini bulunuz. Bulduğunuz sonuçlara göre şekil üzerine sistemin piyezometre çizgisini çiziniz. Su hb=60 cm ha=? C A Q 0 cm Sonuç : h C=? B 15 cm 0 cm ha=2,1 m ve hc=1,865 m