Niğde Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi, Cilt 4 Sayı 1, (2000), 11-17 2- BOYUTLU PALET YÜKLEME PROBLEMLERİ İÇİN GELİŞTİRİLEN KARIŞIK TAMSAYILI DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİNİN YENİDEN DÜZENLENMESİ Cevriye GENCER Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü, 06570, Maltepe/Ankara ÖZET Bu çalışmada, Chen, Sarin ve Ram ın 2-boyutlu palet yükleme problemi için geliştirdikleri karışık tamsayılı doğrusal programlama modeli incelenmiştir. Bu model kullanılarak yapılan denemelerde i. koli f. palete atanmadığı halde i. koli için koordinat değerlerinin hesaplandığı görülmüş ve bunu önlemek için modele yeni bir kısıtın eklenmesi önerilmiştir. Anahtar Kelimeler: Palet yükleme problemi, 2-boyutlu karışık tamsayılı programlama. REORGANIZATION OF MIXED INTEGER LINEAR PROGRAMMING DEVELOPED FOR 2-DIMENSIONAL PALLET LOADING PROBLEMS ABSTRACT In this study, the model proposed by Chen, Sarin and Ram for two-dimensional pallet loading problem is investigated. In the experimental design, it is shown that the coordinate values for i th box is calculated for the cases of i th box which is not assigned to the f th plate by using this model. To prevent this, it is proposed to add a new constraint. Key Words: Pallet loading problem, 2-dimensional mixed integer programming. GİRİŞ Üretim sistemleri için,etkili bir malzeme taşıma sistemi çok önemlidir. Kartonlara yerleştirilmiş olan ürünlerin veya malzemelerin büyük miktarlar halinde paletlere yüklenerek taşınması en önemli konulardan biridir. Burada kullanılan paletler ve yüklenecek olan kartonlar standart ölçülerde olabileceği gibi, olmaya da bilirler. Çalışmada, standart ölçüsü olmayan kartonların standart paletlere yüklenmesi durumu için geliştirilen modeller üzerine çalışılmıştır. Kesme ve paketleme ile ilgili bir araştırma ve sınıflandırma, 1990 yılında Dyckhoff [1] tarafından yapılmıştır. Kargo yükleme problemleri, 2-boyutlu kesme kaybı ve yükleme problemleri ile ilişkilidir. Kesme kaybı problemlerinde, dikdörtgen şeklindeki bir cisim daha küçük boyutlarda parçalara kesilir. Bu tip problemler
Cevriye GENCER kumaş, cam, kağıt ve tahta levha endüstrilerinde uygulanabilir. Amaç, küçük parçaların üretimi için gerekli kesimler yapıldıktan sonra oluşan artık malzeme miktarını minimum yapmaktır. 2-boyutlu kesme kaybı problemlerinin tipik bir şekli,büyük dikdörtgen parçasının bir kenarından diğer kenarına kadar kesilmesi koşulunun olduğu giyotin kesim biçimidir. Giyotin kesme kaybı problemleri ile ilgili birçok çalışma vardır. Bunlardan en önemlileri Gilmore ve Gomory nin 1965 ve 1966 da [2],[3], Herz in 1972 de [4], Christofides ve Whitlock un 1977 de [5], Wang ın 1983 de [6], Dagli nin 1988 de [7], Farley in 1988 de [8] ve Vasko nun 1989 da [9] yaptıkları çalışmalardır. Christofides ve Whitlock un [5] yaptıkları çalışmada, küçük parçalardan en fazla ne kadar üretilebileceği ile ilgili bir kısıtın olduğu 2-boyutlu kesme kaybı problemlerine, dal-sınır algoritması uygulanmıştır. Ayrıca önerilen bu dal-sınır algoritmasının rastgele seçilmiş parça boyutlarında ve değişik kısıtlarda verdiği performans sonuçlarına bakılmış ve algoritmanın orta büyüklükteki kesme kaybı problemlerinde etkili sonuçlar verdiği görülmüştür. Wang [6] yaptığı çalışmasında, Christofides ve Whitlock un [5] yaptığı çalışmadan etkilenmiştir. Ancak onların yaptığı gibi optimal sonuca ulaşmak için tüm olası giyotin kesme biçimlerini incelemek yerine, dikdörtgenleri birbirine ekleyerek belirli bir hata payı içinde optimal sonuca yaklaşmaya çalışmıştır. Farley in [8] yaptığı çalışmasında, Gilmore ve Gomory nin [2],[3] yaklaşımına bir takım yenilikler eklemiştir. Böylece Gilmore ve Gomory yaklaşımı esneklik kazanmasına rağmen, oldukça kompleks bir hal almıştır. Vasko [9] giyotin kesme kaybı ile ilgili çalışmalarını Wang ın [6] yaptığı çalışmaya dayandırmış ve SPAM adında yeni bir algoritma oluşturmuştur. Bu algoritma Wang ın algoritmasından yaklaşık 25 kat daha hızlıdır. 2-boyutlu yükleme problemleri, giyotin kesme gerektirmeyen kesme kaybı problemleri ile ilişkili bir problem biçimidir. Hodgson 1982 de [10] yükleme problemlerini, dağıtıcı ve üretici için yükleme problemi olarak ikiye ayırmıştır. Hodgson çalışmasında dağıtıcı için yükleme problemi üzerinde yoğunlaşmıştır. Dağıtıcı için yükleme probleminde, müşterinin talepleri değişik boyutlardaki kolilere paketlendikten sonra paletlerin üzerine dizilir. Burada problem,palet üzerinde kullanılan yerlerin değerini maksimum yapacak olan koli ve paletlerin seçilmesidir. Üretici için yükleme probleminde ise,üretilen ürünler belli (eşit) ölçüdeki kolilere paketlenir ve bu koliler de yine belli (eşit) ölçüdeki paletlere depolanır. Bu tip problemleri çözmek için birçok çalışmalar yapılmıştır. Bunlardan Steudel in 1979 yılında [11], Smith ve DeCani nin 1980 yılında [12] ve Bischoff ve Dowsland ın 1982 yılında [13] yaptıkları çalışmalar en önemlileridir. Steudel çalışmasında [11] kutulara yerleştirilecek olan parçaların belirli ve eşit ölçülerde olduğu, ancak giyotin kesme biçiminde bir yerleşimin şart olmadığı bir probleme, sezgisel bir algoritma geliştirmiştir. Amaç, paketleme veya depolama sırasında kullanılmayan alanın tüm alana oranını minimum yapacak yerleştirme biçimini seçmektir. Smith ve DeCani [12] ise, Rowntree Mackintosh şirketinde optimum palet yerleşimleri üzerinde çalışmışlar ve buldukları çözüm metodunun uygulanışı sırasında bilgisayar çalışma süresinde büyük azalmalar sağlamışlardır. Bischoff ve Dowsland [13], üretim dizaynı ve dağıtımı ile ilgili problemlerin mikro bilgisayar ortamındaki uygulamaları üzerinde çalışmışlardır. Yukarıda belirtilen çalışmalar sayesinde, 2-boyutlu paketleme kesme problemlerinin sezgisel çözümlerinde büyük ilerlemeler kaydedilmiştir. Bu çalışmaların yanı sıra, analitik çözümlerle ilgili çalışmalar da yapılmıştır. Bunlardan biri, 1987 de Dowsland [14] tarafından üretici için yükleme problemleri ile ilgili olan çalışmadır. Dowsland ın grafik metot üzerine kurulmuş olan bu çalışmasına kadar bu konu ile ilgili yapılan çalışmalar, genelde sezgisel oldukları için hem karmaşıktır hem de optimal sonucu garanti etmemektedir. Dowsland ın geliştirdiği analitik teknik, kargo yükleme ile ilgili her türlü probleme uygulanabilmekte ve sonuçları bilgisayardan birkaç dakikada alınabilmektedir. Analitik çözümlerle ilgili diğer bir çalışmayı da 1985 yılında Beasley [15], kesme kaybı problemlerini tamsayılı programlayarak yapmıştır. Beasley, büyük bir dikdörtgen ana parçadan küçük parçaların kesildiği durumda kesilen küçük parçaların toplam değerini maksimum yapan bir algoritma geliştirmiştir. Eğer küçük dikdörtgenlerin değeri kapladıkları alana eşit ise, problem dağıtıcı için yükleme problemi olarak düşünülebilir. 1991 yılında Chen, Sarin ve Ram [16], dağıtıcı için yükleme problemlerinde optimal sonuç veren doğrusal programlama modeli kurmuşlardır. Chen, Sarin ve Ram in kurdukları modelleri, Beasley in [15] çalışmasına benzemekle birlikte aralarında bazı önemli farklılıklar vardır. Beasley, kolilerin boyutlarının tamsayı olduğunu kabul ederek çalışmasını sınırlandırmıştır. Diğer çalışmada ise böyle bir sınırlama yoktur. Ayrıca Beasley modelini sadece bir adet stoktan daha küçük parçaların kesilmesi durumu için geliştirmiş; birden fazla stok olma durumunu ve parçaların yönelimlerini göz önünde bulundurmamıştır. Chen, Sarin ve Ram ise birden fazla sayıdaki stok (palet yükleme problemi için palet) durumunu ve parçaların (yükleme problemi için kolilerin) yönelimlerini dikkate alan bir model geliştirmişlerdir. Chen, Lee ve Shen [17] ve Gehring ve Bortfeldt [18] 3-boyutlu konteynır yükleme problemleri üzerine çalışmışlardır. Chen, Lee ve Shen çalışmalarında, eni, boyu ve yüksekliği olan konteynırlara en fazla sayıda daha 12
2- Boyutlu Palet Yükleme Problemleri İçin Geliştirilen küçük boyutlu kutuların yerleştirilmesini en iyileyecek 0-1 karışık tamsayılı model geliştirmişler; Gehring ve Bortfeldt de aynı tip problemlerin çözümünde genetik algoritmaları kullanmışlardır. Genetik algoritmalar ile 2-boyutlu yükleme problemlerin çözümü ise Kröger, Schwenderling ve Vornberger [19] tarafından kullanmıştır. Bischoff, Janetz ve Ratcliff [20] çalışmalarında, homojen olmayan parçalı palet yükleme problemlerinin çözümü için sezgisel bir yaklaşım geliştirmişlerdir. Yaklaşımlarının deneysel değerlendirmelerinin sonuçlarını sunmuşlardır. Terno, Scheithauer, Sommerweib ve Riehme [21] enaz sayıda dikdörtgen palet üzerine farklı küçük kutuları en iyi nasıl yerleştirebileceklerini araştırmışlar ve bu tip problemlerin çözümü için genel dal-sınır algoritmasını temel alan bir algoritma geliştirip; algoritmalarını literatürdeki bazı algoritmalarla karşılaştırmışlardır. Scheithauer ve Sommerweib [22] palet yükleme problemlerinin çözümü için G4 sezgisellerini temel alan yeni bir sezgisel geliştirmişlerdir. Bu çalışmada, Chen, Sarin ve Ram in [16] kurdukları model üzerine çalışılmıştır. Bu model kullanılarak yapılan çeşitli denemelerden elde edilen sonuçların yorumunda bir takım karışıklıkların olduğu gözlemlenmiş ve bu karışıklığın giderilmesi için modele yeni bir kısıt ilave edilmiştir. CHEN, SARIN VE RAM İN MODELİNİN YENİDEN DÜZENLENMESİ Modelde kullanılacak olan palet miktarında bir sınırlama yoktur. Koliler, paletlere yatay (kolinin uzun kenarı paletin uzun kenarına paralel) veya dikey (kolinin uzun kenarı paletin kısa kenarına paralel) biçimde yerleştirilebilir. Kolilerin ve paletlerin kısa kenarları en, uzun kenarları boydur. Amaç, kolileri paletlere yerleştirmek için gerekli minimum palet sayısını bulmaktır. Modelde kullanılacak parametre ve değişkenler aşağıda verilmektedir: N p i q i L W F M = toplam koli sayısı, = i. kolinin boyu, = i. kolinin eni, = paletin boyu, = paletin eni, = kullanılan palet miktarı, = keyfi büyük bir sayı, e if 0, i. koli f. palete yerlesirse s i z f i. koli palete yatay i.koli palete dikey f. palet kullanılırsa yerlesirse yerlesirse a ikf f. palete yerlesecek olan kolilerden i. koli, k. kolinin solunda ise (Eğer i. kolinin güney batı köşesi, k. kolinin, güney batı köşesinin solunda ise i. koli, k. kolinin solundadır denir.) b ikf f. palete yerlesecek olan kolilerden i. koli, k. kolinin sağ sağında ise ise (Eğer i. kolinin güney batı köşesi, k. kolinin, güneybatı köşesinin sağında ise i. koli, k. kolinin sağındadır denir.) altında ise 13
Cevriye GENCER c ikf f. palete yerlesecek olan kolilerden i. koli, k. kolinin altı da (Eğer i. kolinin güney batı köşesi, k. kolinin, güneybatı köşesinin altında ise i. koli, k. kolinin altındadır denir.) ise d ikf f. palete yerlesecek olan kolilerden i. koli, k. kolinin ustunde ise (Eğer i. kolinin güney batı köşesi, k. kolinin, güneybatı köşesinin üstünde ise i. koli, k. kolinin üstündedir denir.) (x if, y if )= f. palete yerleştirilen i. kolinin güneybatı köşesinin koordinatları. Değişkenlerin şekil ile açıklaması Şekil 1 de verilmektedir. (a ikf =1) q k p i W q i Koli i (s=1) (x if,y if ) Koli k (s=0) p k Şekil 1. Palet f ( Kaynak: Chen ve diğerleri 1991[16] ) L (x kf,y kf ) Şekil 1. Palet f (Kaynak; Chen ve Diğerleri 1991 (16)) Chen, Sarin ve Ram ın 1991 yılında yaptıkları çalışmalarında, optimal sonucu veren karışık tamsayılı doğrusal programlama modeli aşağıda verilmektedir: min z Kısıtlar: = F f = 1 zf Tüm i, k ve i < k için, x if + p i s i + q i (1-s i ) x kf + (1- a ikf ) M (1) x kf + p k s k + q k (1-s k ) x if + (1- b ikf ) M (2) y if + q i s i + p i (1-s i ) y kf + (1- c ikf ) M (3) y kf + q k s k + p k (1-s k ) y if + (1- d ikf ) M (4) 14
2- Boyutlu Palet Yükleme Problemleri İçin Geliştirilen a ikf + b ikf + c ikf + d ikf e if + e kf 1 (5) F e if = 1 tüm i ler için (6) f = 1 N e if M i=1 z f tüm f ler için (7) x if + p i s i + q i (1-s i ) L tüm i, f ler için (8) y if + q i s i + p i (1-s i ) W tüm i, f ler için (9) s i, a ikf, b ikf, c ikf, d ikf, e if, z f = 0 veya 1, x if, y if 0 (10) (1) den (4) e kadar kısıtlar kolilerin birbirleri ile çakışmasını önler. Bu kısıtlar aynı paletteki her kutu çiftleri için de gereklidir. Bunu ise (5). kısıt sağlar. (6). kısıt, her kolinin mutlaka bir palete yerleştirilmesi gerektiği şartını sağlar. F sayıdaki paletten hepsinin kullanılması gerekmez. Dolayısıyla kullanılmayan palete de atama yapılmaz. Bu (7). kısıtla sağlanır. (8). ve (9). kısıtlar, her bir kolinin, paletin boyutlarını (enini ve boyunu) aşmadan paletlere yüklenmesini sağlar. Modelin çalışması için M keyfi sayının {N,L} çiftinden daha büyük olacak şekilde seçilmesi gerekir. Bu model çözüldüğünde, i. koli f. palete atanmadığı (yerleştirilmediği) halde, i. koli için (x ij,y ij ) koordinat değerleri bulunmaktadır. Örneğin, koli boyutları 1.koli : 22x40 2. koli : 25x37 3. koli : 37x43 olan üç koli palet boyutları 40x48 olan iki adet palete yüklenmesi istendiğinde ve Chen, Sarin ve Ram in modeli ile çözüldüğünde e 31 = e 12 = e 22 = 1 elde edilmektedir. Bunun anlamı, 1 ve 2 numaralı koliler 2. palete, 3 numaralı koli 1. palete yüklenecektir. Diğer taraftan, palete yerleştirilecek kolilerin (x if,y if ) yerleşim koordinatlarına bakıldığında x 21, x 31, x 22 ve y 22 nin sıfırdan farklı olduğu görülmektedir. Burada x 21 in anlamı, 1. palete yerleştirilen 2. kolinin x eksenindeki güneybatı köşesi koordinatıdır. Oysa e if değerlerine göre 2. koli 2. palete yerleşmektedir ve x 21 = 0 çıkmalıdır. Bu karışıklığı ortadan kaldırmak yani, i. koli f. palete yerleştirilmezse ilgili (x if,y if ) koordinatlarının 0 olmasını sağlamak için modele, x if + y if M e if tüm i, f ler için, kısıtı eklenmelidir. Böylece i. koli f. palete atandığında (yerleştirildiğinde) e if = 1 değerini alır ve (x if,y if ) koordinatları her hangi bir değeri alabilir. Aksi durumda, i. koli f. palete atanmadığında (yerleştirilmediğinde), e if = 0 değerini alır ve (x if,y if ) koordinatları sadece 0 değerini alabilir. Örnek problem, kısıt ilave edilerek elde edilen yeni model ile çözüldüğünde sadece atama yapılan paletler için (x if,y if ) koordinat değerleri elde edilmektedir. Bu matematiksel model, karışık tamsayılı (0-1) doğrusal programlama biçimindedir. Problemin büyüklüğü, modelin bilgisayarda çözüm için gerekli süreyi etkiler. Modeldeki kısıt sayısı, 0-1 değişken sayısı ve diğer değişkenlerin sayısı aşağıdaki gibi hesaplanabilir: Kısıt sayısı : (2.5)N(N-1)F+3NF+N+F, 0-1 değişkenlerin sayısı : 2N 2 F-NF+N+F, Diğer (sürekli) değişkenlerin sayısı : 2NF dir. F değerinin bilinememesinden dolayı, palet yükleme probleminin matematiksel modeli doğrudan doğruya çözülemez. Bu yüzden her defasında farklı bir F değeri alınarak problemin iterasyon ile çözülmesi gerekir. Amaç 15
Cevriye GENCER fonksiyonunun değeri tamsayı olması nedeniyle ilk olarak F değeri küçük bir sayı alınır. Eğer mümkün çözüm bulunursa yani tüm koliler F sayıdaki palete sığıyor ise, kullanılan F değeri optimal sonuç demektir. Diğer yandan, mümkün çözüm bulunamazsa yani tüm koliler F sayıdaki palete sığmaz ise, F değeri bir artırılır ve proses tekrarlanır. Modelin hazırlanması için F = 1 alınarak başlanması yerine, bir alt sınır belirleyerek o değerden başlamak, o değere kadar yapılacak ve çözümsüz sonuçlar verecek gereksiz iterasyonları ortadan kaldırır ve prosesi kısaltır. Bu alt sınır şu şekilde hesaplanabilir: F as ( N i= 1 pi qi)/( LW ) = (11) Problemin tamamını çözmek için yapılması gereken işlemler şu şekilde sıralanabilir: (1) F = F as al (2) Z f = 1, f = 1,2,...,F (3) Matematiksel modeli çöz, mümkün çözüm bulduğunda dur. (4) Eğer 3. Adımda mümkün çözüm bulunmazsa F = F + 1 al ve 2. adıma geri dön. SONUÇ Çalışmada, palet yükleme konusunda yapılan analitik çalışmalar incelenmiş ve bunlardan birisi üzerinde ağırlıklı olarak durulmuştur. Bu alandaki problemlerin çözümünde matematiksel modellerin kullanılması sebebiyle, çalışma oldukça önemlidir. Ancak matematiksel model incelendiğinde ve örnek problemler için çözüm yapıldığında, kolilerin yerleştirilmediği paletler için (x if, y if ) koordinat değerlerinin gereksiz yere hesaplamasının yapıldığı görülmüştür. Bu durumu ortadan kaldırmak için modele yeni bir kısıt ilave edilmiştir. Bu kısıtın ilavesi ile, bir koli bir palete yerleştirilebildiği takdirde koordinat değerleri bulunmaktadır. Böylece, genelde koli ve palet sayısı arttıkça modelde ki kısıt sayısı arttığından ( koli ve palet sayıları sırasıyla 3-2,10-3 ve 20-5 olduğunda kısıt sayıları 53, 778, 5075; 0-1 değişken sayıları 25, 583, 3925; diğer değişken sayıları 12, 60, 200 ) çözümü oldukça zaman alan bu tip problemlerin gereksiz işlemlerini ve atamalarını ortadan kaldırılarak çözüm zamanı yükünü azaltarak doğru atamaların bulunabileceği gösterilmiştir. KAYNAKLAR 1. DYCKHOFF, H., A typology of cutting and packing problems, European Journal of Operational Research 44, 145-159, 1990. 2. GILMORE, P.C. and GOMORY, R.E., Multistage cutting problems of two or more dimensions, Operations Research 13, 94-120, 1965. 3. GILMORE, P.C. and GOMORY, R.E., The theory and computation of knapsack functions, Operational Research 14, 1045-1075, 1966. 4. HERZ, J.C., A recursive computing procedure for two dimensional stock cutting, IBM Journal of Research and Development 16, 462-469, 1972. 5. CHRISTOFIDES, N. And WHITLOCK,C., An algorithm for two dimensional cutting problems, Operations Research 25, 30-44, 1977. 6. WANG, P., Two algorithms for constrained two dimensional cutting stock problems, Operations Research 31, 573-586, 1983. 7. DAGLI, C., Cutting stock problem: Combined use of heuristics and optimization methods in:a.mital (Ed.), Recent Developments in Production Research,Elsevier Science Publishers,Amsterdam,1988. 16
2- Boyutlu Palet Yükleme Problemleri İçin Geliştirilen 8. FARLEY, A., Practical adaptations of the Gilmore-Gomory approach to cutting stock problems,or Spektrum 10, 113-123, 1988. 9. VASKO, F., A computational improvement to Wang s two dimensional cutting stock algorithm,computers and Industrial Engineering 16(1), 109-115, 1989. 10. HODGSON, T.J., A combined approach to the pallet loading problem, IIE Transaction 14(3),175-182, 1982. 11. STEUDEL, H., Generating pallet loading pattems:a special case for the two dimensional cutting stock problem, Management Science 25(10), 997-1004, 1979. 12. SMITH, A. and DECANI, P., An algorithm to optimize the layout of boxes in pallets, Journal of the Operational Research Society 31, 573-578, 1980. 13. BISCHOFF, E. and DOWSLAND, W.B., An application of the microcomputer to product design and distribution, Journal of the Operational Research Society 33, 271-280, 1980. 14. DOWSLAND, K.A., A combined data-base and algorithmic approach to the pallet loading problem, Journal of the Operational Research Society 38(4), 341-345, 1987. 15. BEASLEY, J.E., An exact two dimensionalnon-guillotine cutting tree search procedure, Operations Research, 49-64, 1985. 16. CHEN, C., SARIN, S. and RAM, B., The pallet packing problem for non-uniform box sizes, International Journal of Production Research 29(10), 1963-1968, 1991. 17. CHEN, C.S., LEE, S.M. and SHEN, Q.S., An analytical model for the container problem, European Journal of Operational Research 80, 68-76, 1995. 18. GEHRING, H. and BORTFELDT, A., A genetic algorithm for solving the container loading problem, International Transactions of Operational Research, 4, 466-418, 1997. 19. KROGER, B., SCHWENDERLING, P. and VORNBERGER, O., Parallel genetic packing on transputers, In Parallel Genetic Algorithms: Theory and Applications, ed. J. Stenberg,, IOS Press, Amsterdam, 1993. 20. BISCOFF, E.E., JANETZ, F. and RATCLIFF, M.S.W., Loading pallets with non-identical items, European Journal of Operational Research 84, 681-692, 1995. 21. TERNO, J., SCHEITHAUER, G., SOMMERWEIB, U. and RIEHME, J. An efficent approach for the multi-pallet loading problem, European Journal of Operational Research 123, 372-381, 2000. 22. SCHEITHAUER, G. and SOMMERWEİB, U., 4-Block heuristic for the rectangle packing problem, European Journal of Operational Research,108, 509-526, 1998. 17