Bölüm 28. Manyetizma

Bölüm 28 Manyetizma Manyetik Alan ve Manyetik Kuvvetler Düzgün Bir Manyetik Alanda Yüklü Parçacığın Hareketi Manyetik Alanda Hareket Eden Yüklü Parçacıkları İçeren Uygulamalar. Akım Taşıyan Bir İletken Tel Üzerine Etki Eden Manyetik Kuvvet Düzgün Bir Manyetik Alandaki Halka Üzerine Etki Eden Tork http://kisi.deu.edu.tr/mehmet.tarakci/ 1/39

Amaçlar 2/39 Mıknatısları ve mıknatısların birbirlerine uyguladıkları kuvvetleri öğrenmek Hareketli yük üzerine etki eden manyetik kuvveti hesaplamak Elektrik alan çizgileri ile manyetik alan çizgilerini karşılaştırmak Manyetik alandaki yüklü parçacığın hareketini analiz etmek Manyetizmanın Fizik ve Kimyadaki uygulamalarını görmek ve anlamak Akım taşıyan bir iletken tele etki eden manyetik kuvveti analiz etmek Manyetik alandaki akım halkalarının davranışını öğrenmek.

3/39 Manyetik Alan M.Ö. 13. Yüzyılda Çin de, manyetik bir iğneden oluşan pusulanın kullanıldığı tarihçiler tarafından ileri sürülmüştür. M.Ö. 800 yıllarda Yunanlı araştırmacılar, Manyetit Taşının (Fe 3 O 4 ) bazı demir parçalarını çektiğini keşfetmişlerdi. Demir, nikel gibi cisimleri çekme özelliğine mıknatıslık, bu özelliğe sahip cisimlere de mıknatıs denir. Manyetit gibi doğal mıknatıslar olduğu gibi bazı maddeler, mıknatısların yakınında veya temas halinde olmaları durumunda yapay olarak mıknatıslanmaktadırlar. Elektrik akımından yararlanarak ta elektro mıknatıslar yapılabilmektedir.

4/39 Manyetik Alan Manyetik kuzey ve güney kutuplarının davranışları elektrik yüklerinden farklı değildir. Çubuk mıknatısın her iki kutbu da mıknatıslanmamış ancak içinde demi bulunan bir cismi (çivi gibi) çekecektir.

Manyetik Alan 5/39

Yerin Manyetik Alan 6/39

7/39 Manyetik Monopoller Elektrik yüklerinin aksine manyetik kutuplar daima çift şekilde oluşur, yani tek başına manyetik kutup olamaz. (Manyetik monopol olmaz)

Manyetik Alan İçinde Hareket Eden Elektrik Yükü 8/39 Manyetik alan içinde hareket eden elektron demeti Manyetik alan içinde elektron pozitron çiftinin oluşumu ve hareketi F = 0 F = q vb sin θ F mak. = q vb

Lorentz Kuvveti 9/39 F = q v B hareket eden yüklü bir parçacığa etki eden manyetik kuvvet Manyetik kuvvetin yönünün bulunması (Sağ el kuralı) SI birim sisteminde manyetik alan birimi. B = F qv B N C m s N A m Tesla (T) B Manyetik alanın yanında bir de E elektrik alanı varsa ortamda, q yüküne etki edecek kuvvet bu iki kuvvetin vektörel toplamı olacaktır. F = q E + v B 1 T = 10 4 G (Gauss) (1) (2) (3) v ve B vektörlerinin başlangıçları birleştirilir. Şekilde görüldüğü gibi parmaklar hız vektörü avuç içi manyetik alan vektörünü göstersin, Açılan baş parmak kuvveti gösterecektir. "Kuvvet hız ve manyetik alan vektörlerinin oluşturdukları düzleme diktir. "

Manyetik Alan İçinde Hareket Eden Elektrik Yükleri 10/39

11/39 Örnek 29.1 Şekilde gösterildiği gibi, büyüklüğü 2. 00 T ve pozitif z- ekseni boyunca yönelmiş düzgün bir manyetik alan içerisindeki bir proton demeti (q = 1. 60 10 ;19 C) 3. 00 10 5 m/s hız ile hareket ediyor. Her bir protonun hızı xz-düzleminde ve z-ekseni ile 30 lik açı yapıyor. Tek bir proton üzerine etki eden kuvveti bulunuz. F = qv B B = 2.00 T k v = 3.00 10 5 m/s sin 30 i + 3.00 10 5 m/s cos 30 k F = 1.60 10 ;19 C 3.00 10 5 m/s sin 30 i + cos 30 k 2.00 T k F = 4.80 10 ;14 N j

Manyetik Alan İçinde Hareket Eden Elektrik Yükleri Manyetik alanın sayfa düzlemine dik ve sayfa düzleminin içine doğru olduğu bir bölgeye pozitif q yükü manyetik alan dik v ile hareket eden bir parçacığı düşünelim. F net = ma Newton II yasasına göre: qv B = ma v B hıza dik olup merkeze yöneliktir. q vb sin 90 = ma rad q vb = m v2 r r dairesel yörüngenin yarıçapı r = mv q B ω = v r = q B m f = 1 T = ω 2π = q B 2πm ω açısal frekans f frekans Sadece bir manyetik alanın etkisi altındaki yüklü parçacığın hareketi her zaman sabit hızlıdır. Manyetik alan sadece parçacığın yönünü değiştirir. Manyetik kuvvet yüklü cisimler üzerinde iş yapamaz. Zamanla kinetik enerjisi değişmez. W = F B ds = F B ds cos 90 = 0 W = K K = 0 12/39

13/39 Örnek 29.2 Bir proton büyüklüğü 0. 35 T olan düzgün bir manyetik alana dik olarak giriyor ve 14 cm yarı çapında dairesel yörüngede hareket ediyor. Protonun hızını bulunuz. F net = m p a qv B = m p a rad v 2 q vb = m p r v = qbr m p v = 1.60 10;19 C 0.35 T 0.14 m 1.67 10 ;27 kg = 4.7 10 6 m/s

14/39 Örnek 29.3 Sağdaki şekil kağıt düzleminden içeriye doğru yönelmiş düzgün bir manyetik alanı göstermektedir. Negatif yüklü bir parçacık bu düzlem içinde hareket ediyor. Şekildeki 1, 2, veya 3 yollardan hangisini izler? Yüklü parçacığın alanı terk etme hızı ne olur? v = vi B = Bk F = q v B F = q vi Bk F = q vi Bk F = q vb i k = q vb j = q vbj Negatif yüklü parçacık bir (3) yolunu izler. Parçacığın hızının büyüklüğü değişmez. Sadece manyetik alanda yön değiştirir.

15/39 Örnek 29.4 Kinetik enerjisi 5.00 MeV olan ve x-ekseni yönünde giden proton, şekildeki gibi, 0 ile 1.00 m aralığında etkin, büyüklüğü 50.0 mt olan ve sayfa düzleminden dışarı doğru yönelmiş düzgün bir manyetik alan bölgesine giriyor. Proton, manyetik alan bölgesini hangi hızla terk ederler. W = F B ds = F B ds cos 90 = 0 W = K K son K ilk = 0 K son = K ilk = 1 2 mv2 v = 2K ilk m v = 2 5.00 106 1.60 10 ;19 1.67 10 ;27 = 3.10 10 7 m s Parçacığın hızının büyüklüğü değişmez. Sadece manyetik alanda yön değiştirir.

16/39 Örnek 29.5 Düzgün bir manyetik alanın büyüklüğünü ölçmede tasarlanan bir deneyde, durgun durumdaki elektronlar 350 V luk bir potansiyel fark altında hızlandırılır ve elektron dementinin hızı manyetik alana dik olacak şekilde ayarlanır. Bu elektronlara uygulanan manyetik kuvvetin etkisinde, yarı çapı 7.5 cm olan çembersel yörüngede dolandıkları görüldüğüne göre; a) Manyetik alanın büyüklüğünü bulunuz. K + U = 0 Enerjinin korunumu yasasına göre 1 2 m ev 2 0 + q V = 0 v = 2q V = 2 1.60 10;19 C 350 V m e 9.11 10 ;31 kg F net = m e a qv B = m e a v 2 q vb = m e r b) Elektronun açısal hızı ne olur? v = 1.11 10 7 m/s ω = v r = 1.11 107 m/s 0.075 10 ;19 m = 1.5 108 rad/s B = m ev er = 9.11 10;31 kg 1.11 10 7 m/s 1.60 10 ;19 C 0.075 m = 8.4 10 ;4 T

17/39 Manyetik Alanda Hareket Eden Yüklü Parçacıklar Helisel hareketi Yüklü parçacık, düzgün manyetik alana herhangi bir açı ile girerse, parçacığın yörüngesi bir helis olur. İki dairesel yörüngenin arasındaki uzaklığa (p) adım diyoruz. p = v T Burada T hareketin periyodudur. Hareketin frekansına da cyclotron frekansı denir. Yandaki şekilde düzgün olmayan manyetik alandaki yüklü parçacığın hareketi görülmektedir. Bu şekle Manyetik Şişe denir. Yerin manyetik kutupları, güneşten gelen zararlı ışınlara manyetik şişe gibi davranır.

18/39 Örnek 29.6 Şeildeki yüklü parçacık, protondur ( q = 1.60 10 ;19 C, m = 1.67 10 ;27 kg ) ve büyüklüğü 0.50 Tolan manyetik alan x ekseni boyunca yönelmiştir. t = 0.0 da, proton v x = 1.50 10 5 m/s, v y = 2.00 10 5 m/s ve v z = 0 hız bileşenlerine sahiptir. Proton üzerine sadece manyetik kuvvet etki etmektedir. Proton üzerine etki eden kuvveti ve onun ivmesini bulunuz. Helisel yolun yarı çapını, açısal hızını ve helis adımını hesaplayınız. F = q v B + v B F net = m p a sin 0 sin 90 = qv z B k F = 1.60 10 ;19 C 2.00 10 5 m/s 0.500 T = 1.60 10 ;14 N O noktası için a = F m p = 1.60 10;14 N 1.67 10 ;27 kg = 9.85 1012 m s 2 r = m pv qb = 1.67 10;27 kg 2.00 10 5 m/s 1.60 10 ;19 C 0.500 T = 4.18 mm ω = qb = 1.60 10;19 C 0.500 T m p 1.67 10 ;27 kg = 4.79 10 7 rad/s p = v T = v 2π ω = 1.50 105 m/s 2 3.14 4.79 10 7 = 19.7 mm rad/s

19/39 Ödev 29.1 0. 150 T büyüklüğündeki düzgün bir manyetik alan, pozitif x ekseni boyunca yönelmiştir. 5. 00 10 6 m/s hızla hareket etmekte olan bir pozitronun x ekseni ile θ = 85 lik açı yapacak şekilde manyetik alan girdiği bilinmektedir. Parçacığın yörüngesi şekilde görüldüğü gibi helis şeklindedir. Bu yörüngeye ilişkin, a) r yarıçapını, b) p adımını hesaplayınız.

20/39 Örnek 29.7 Şekillerde gösterildiği gibi yüklü parçacıkların manyetik alanlara girdiklerinde uygulanan manyetik kuvvetin yönünü ve tahmini yörüngelerini gösteriniz.

Örnek 29.7 21/39

22/39 Ödev 29.2 Kinetik enerjisi 5,00 MeV olan ve x-ekseni yönünde giden protonlar, şekildeki gibi, 0 ile 1,00 m aralığında etkin, büyüklüğü 50,0 mt olan ve sayfa düzleminden dışarı doğru yönelmiş düzgün bir manyetik alan bölgesine giriyor. Protonlar manyetik alan bölgesini hangi hızla terk ederler.

Lorentz Kuvveti ve Uygulamaları 23/39 Hız Seçici: Hareketli yüklü parçacıkları içeren çoğu deneyde, parçacıkların aynı hızla hareket ediyor olmaları gerekmektedir. Bunu sağlamak için şekildeki düzenek kurulur. Elektrik ve manyetik alanların birbirine dik olduğu bölgeye gönderilen yüklü taneciklerden hızları E/B oranına eşit olanları x doğrultusunda hareket eder ve engeli geçer.

24/39 Lorentz Kuvveti ve Uygulamaları Kütle Spektrometresi : Kütleleri yüklerine oranına göre iyonları ayıran düzenektir. Yüklü parçacığın dinamiğinden F Net = ma r qvb = m v2 r m q = rb ob E q pozitif ise iyonlar şekildeki yolu izleyerek P noktasına düşerler. q negatif ise iyonlar aşağı doğru saparlar. Şekildeki gibi Bo manyetik alanına v=e/b sabit hızı ile giren yüklü tanecikler r yarıçaplı yörüngeyi izleyerek P noktasında fotoğraf plağı üzerinde bir iz oluştururlar.

25/39 Örnek 29.8 Normal havada hemen hemen hiç helyum bulunmaz. O nedenle vakum sisteminden çevreye sızan helyum, bu sisteme bağlanmış bir vakum pompasının çıktısında hemen kendini gösterir. Sizden He : iyonlarını yük + e = 1.60 10 ;19 C, kütle 6.65 10 ;27 kg bulmanız istenir. İyonlar hız seçiciden 1.00 10 5 m/s hızla çıkmaktadır. B manyetik alanı tarafından yarım çember biçiminde eğrildikten sonra s yarığından 10.16 cm uzaklığında algılanmaktadır. Manyetik alan B için gerekli değeri bulunuz. s r = (10.16 10;2 m) 2 = 5.08 10 ;2 m dir. B = mv qr = 6.65 10;27 kg 1.00 10 5 m/s 1.60 10 ;19 C 5.08 10 ;2 m = 0.0818 T

26/39 Akım Taşıyan İletken Bir Tel Üzerine Etki Eden Manyetik Kuvvet Tek bir yüklü parçacık, bir manyetik alan içinden geçerken bir kuvvet etkisinde kalıyorsa, üzerinden akım geçen bir tel manyetik alan içinde ise, manyetik alan tarafından tele bir kuvvet uygulanır. Tele uygulanan net kuvvet, telde akımı oluşturan tüm yüklü parçacıklara uygulanan manyetik kuvvetlerin vektörel toplamıdır. Hareket halindeki yüklü parçacıklara etkiyen kuvvet, parçacıklar ile teli oluşturan atomlar arasındaki etkileşmelerle tele iletilmiş olur.

27/39 Akım Taşıyan İletken Bir Tel Üzerine Etki Eden Manyetik Kuvvet Şekildeki gibi düzgün bir B içe dış manyetik alanı içinde I kadar akım taşıyan, kesit alanı A ve uzunluğu L olan düz bir tel parçasını ele alalım. Tel içinde q yükünün v s hızı ile hareket ettiğine göre q yüküne uygulanan Lorentz kuvveti; F = q v B Tele uygulanan toplam kuvvet her bir yüke uygulanan kuvvetlerin toplamı olur. n yük yoğunluğu ise L parçasındaki yük sayısı n.a.l olur ve buna uygulanan toplam kuvvet F = q v B n A L F = i L B Burada L, I akımının yönünde bir vektör olup L nin büyüklüğü parçanın uzunluğuna yani L ye eşittir. F = n q A v L B i L i = n q A v

28/39 Örnek 29.9 Bir elektromagnetin kutupları arasında batıdan doğuya doğru düzgün bir bakır çubuk 50.0 A lik bir akım taşımaktadır. Bu bölgedeki manyetik alanın büyüklüğü 1.20 T ve kuzey doğuya doru kuzeyi ile 45 uzanan bir manyetik alan bulunmaktadır. Bu bakır çubuğun 1.00 m lik kesimi üzerindeki kuvvetin büyüklüğünü ve yönünü bulunuz. Çubuğun yatay konumunu saklı tutarak, çubuk üzerine uygulanan kuvvetin maksimum olduğu yönü belirleyiniz. Bu durumda kuvvetin büyüklüğü ne olur? F = i L B F = 50.0 A 1.00 m i 1.20 T cos 45 i + sin 45 j F = 42.4 N k θ = 90 F mak. = 50.0 A 1.00 m i 1.20 T cos 90 i + sin 90 j F mak. = 60.0 N k

29/39 Örnek 29.10 Birim uzunluğunun kütlesi μ = 0. 010 kg/m olan bir metal çubuk, I = 5. 0 A lik bir akım taşımaktadır. Çubuk şekilde görüldüğü gibi düzgün bir manyetik alan içerisinde iki telle asılmıştır. Denge halinde, teller düşeyle θ = 43 lik bir açı yaptığı görülmektedir. Çubuğun serbest cisim diyagramını çizerek manyetik alanın büyüklüğünü bulunuz? F net = ma a = 0 2T + G + F B = 0 2T + G + F B = 0 2T sin θ i + 2T cos θ j mgj + ILBi = 0 F B = IL B = I Lk Bj F B = ILB k j = ILBi x 2T sin θ + F B = 0 y 2T cos θ mg = 0 T = mg 2 cos θ 2 mg sin θ + ILB = 0 2 cos θ B = m L g I sin θ cos θ = 9.81 m/s2 sin 43 0.010 kg/m 5.0 A cos 43 = 0.0183 T

30/39 Örnek 29.11 Şekildeki küpün her kenarı 40. 0 cm dir. Üzerinden 5. 00 A lik akım geçen iletken tel kapalı bir ilmek oluşturacak şekilde bükülmüştür. Pozitif y yönünde B = 0. 0200 T büyüklüğünde düzgün bir manyetik alan bulunduğuna göre, tele etki eden kuvvetin yönü ve büyüklüğünü bulunuz. F = IL B a b L = l j F ab = I lj Bj = 0 b c L = l k F bc = I lk Bj = IlBi c d B = Bj L = l i + j F cd = Il i + j Bj = IlBk d a L = l i k F da = Il i k Bj = IlB i + k F = F ab + F bc + F cd + F da F = 0 IlBi IlBk + IlB i + k = 0

31/39 Akım Taşıyan İletken Bir Tel Üzerine Etki Eden Manyetik Kuvvet Akım taşıyan tel düzgün olmadığı durumlarda, telin küçük bir ds uzunluğuna uygulanan kuvvet b df B = Ids B F B = I ds B a F B = I b ds a B F B = IL B

32/39 Örnek 29.13 Şekildeki manyetik alan B kağıt düzleminden dışarıya doğru ve şekil düzlemine dik düzgün bir manyetik alandır. I akımı taşıyan iletken bir tel üç segmenten oluşmuştur. Bu iletken tel üzerine etki eden toplam kuvveti bulunuz. F = F a + F ab + F bc a F a = I a ds B sin 0 = 0 ab F ab = I b ds B a ds B = ds sin θ i + ds cos θ j Bk F ab = IRB = Bds sin θ j + Bds cos θ i = BR sin θ dθ j + BR cos θ dθ i π sin θ dθ 0 2 j + π cos θ dθ 0 0 i = 2IRBj bc c F bc = I ds b ds = Rdθ B = IL B = I Li Bk = ILBj F = F a + F ab + F bc = 0 + 2IRBj + ILBj = IB 2R + L j

33/39 Akım Taşıyan İletken Bir Tel Üzerine Etki Eden Manyetik Kuvvet Akım taşıyan kapalı tel üzerine uygulanan manyetik kuvvet L = b ds a = 0 F B = I b ds a B = I 0 B = 0 Düzgün bir manyetik alan içerisindeki herhangi bir akım ilmeğine uygulanan net manyetik kuvvet sıfırdır.

34/39 Düzgün Bir Manyetik Alan İçindeki Bir Akım İlmeğine Etkiyen Tork Şekildeki gibi +z yönünde düzgün bir manyetik alan içinde bulunan, I akımı taşıyan Oy ekseni etrafında dönebilen dikdörtgen bir ilmek alalım. F = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 F 1 = IL B = IbB sin 90 φ j = IbB cos φ j F 2 = IbB sin 90 φ j = IbB cos φ j F 3 = IaB sin 90 i = IaBi F 4 = IaB sin 90 i = IaBi F = 0 φ ilmeğin oluşturduğu düzlemin normali ile B manyetik alan arasındaki açıdır.

35/39 Düzgün Bir Manyetik Alan İçindeki Bir Akım İlmeğine Etkiyen Tork τ = τ 1 + τ 2 + τ 3 + τ 4 τ 1 = r 1 F 1 = a j IbB cos φ j = 0 2 τ 2 = r 2 F 2 = a j IbB cos φ j = 0 2 τ 3 = r 3 F 3 = b 2 cos φ i + sin φ k IaBi = b IaBsin φ y 2 -y yönüne göre; τ 4 = r 4 F 4 = b 2 cos φ i sin φ k IaBi = b IaBsin φ y 2 τ = 0 + 0 + b 2 IaBsin φ y + b IaBsin φ y 2 τ = IabB sin φ y = IAB sin φ y τ = IA B τ = μ B μ = IA Akım ilmeğinin Manyetik Dipol Moment olarak adlandırılır.

36/39 Düzgün Bir Manyetik Alan İçindeki Bir Akım İlmeğine Etkiyen Tork φ = 0 τ = μ B τ = IAB sin 0 = 0 φ = 90 τ = μ B τ = IAB sin 90 = IAB Tork Maksimumdur.

37/39 Manyetik Moment Genel olarak Tork ifadesi τ = μ B μ = IA A vektörü ilmeğin sınırladığı alanın büyüklüğünde ve yönü alana dik sağ el kuralı ile belirlenir. Bu ifade tek bir ilmek için geçerlidir. Eğer akım taşıyan N tane ilmek varsa bu N sarımlı bobine etkiyen Tork τ = N τ ilmek = N μ B = m Bobin B Manyetik alan içerisindeki bir manyetik dipolün potansiyel enerjisi, dipolün manyetik alan içerisindeki yönelimine bağlıdır. U = μ B

38/39 Örnek 29.14 Boyutları 5. 40 cm 8. 50 cm, ve 25 sarımdan oluşan dikdörtgen bir bobin 15 ma lik akım taşımaktadır. Bobinin düzlemine paralel olarak 0.350 T lık bir manyetik alan uygulanıyor. (a) Bobinin manyetik dipol momentinin büyüklüğünü hesaplayınız. μ Bobin = NIA = 25 15.0 10 ;3 A 0.0540 m 0.0850 m μ Bobin = 1.72 10 ;3 A m 2 (b) Bu halka üzerine etki eden torkun büyüklüğü ne olur? τ = μ Bobin B = 1.72 10 ;3 A m 2 0.350 T τ = 6.02 10 ;4 N m

39/39 Örnek 29.15 0. 0500 m yarı çapındaki dairesel bir bobin, 30 sarıma sahip olup, yatay düzlemde bulunmaktadır. Bu bobin saatin tersi yönünde 5. 00 A akım taşımaktadır. Bobin, büyüklüğü 1. 20 T olan sağa doğru yönelmiş düzgün bir manyetik alan içerisine konmuştur. Manyetik momentin ve bobin üzerine uygulanan torkun büyüklüğünü bulunuz. μ Bobin = NIA = 30 5.00 A π 0.0500 m 2 μ Bobin = 1.18 A m 2 τ = μ Bobin B sin θ = 1.18 A m 2 1.20 T sin 90 τ = 1.41 N m