İNTERNET DAVRANIŞI VE NASH DENGESİ İbrahim C. Arku (iarku@gau.edu.r) Girne Amerikan Üniveriei Girne, K.K.T.C. Refik C. Arku (refik.arku@o2.com.r) Okijen Teknoloji İanbul, Türkiye Öze Yığılmaların oluşuğu ve kullanıcıların bencil biçimde en az gecikmeli yollar üzerinden meaj pakelerini ulaşırdıkları IP bazlı bilgiayar ağında (Inerne) oplam gecikmenin en az olmayacağı oraya çıkar ve ağ performanının düşmeine neden olur. Bu makalede on yıllarda bilgiayar ağları için ele alınan işbirlikiz oyunlar eoriinden Nah dengei ve anarşinin bedeli gibi kavramlar ışığında bencil kullanıcıların iş birliği yapmadan ağ kaynaklarını kullandıklarında (bencil yönlendirme) performanın Nah dengeinden ne kadar uzaklaşığı irdelenmiş ve bu yöndeki çalışmalar üzerine yorum ve öneriler unulmuşur.. Giriş John Nah 95 yıllarda ekonomide işbirlikiz oyunlarda aejiler üzerine kafa yorarken gelişirdiği eorinin 2 li yıllarda Inerne bilgiayar ağlarında uygulama alanı bulacağını her halde hiç düşünmemişi []. En nihaye o dönem oyun eoriinin (von Neumann ve Morgenern) ve bugünkü anlamda ilk bilgiayarın aarlandığı (von Neumann) yıllardı. Genel olarak oyun eorii onlu ayıda oyuncu kaılımı ile aejiler kümeinden eçilen davranışın oyuncuya geirii ile ilgilenir ve bu geiriyi ağlayan rayonel davranışın naıl olacağı oyun eoriinin emel oruunu oluşurur. Oyun eoriinde ekin rayonelik kavramı, geirii daha fazla olan ve başka bir oyuncu arafından bozulamayan raejiler kombinayonun oluşurduğu davranışın oluşurduğu duruma Nah dengei denir. Nah dengei bazı problemleri de beraberinde geirir. Örneğin oyunda hiç bir Nah dengei olmamaı, ve bazı oyunlarda birden fazla Nah dengei oluşabilmei ve birinden diğerine faydalı biçimde naıl varılacağının bilinmemei. Bu durum bize Nah dengei için algorimik fikirleri çağrışırır. Papadimiru ya göre ağlarda Nah dengeinin bulunmaının komplekliği P (polinomal) ınıfın ınırda bulunan en önemli açık problemlerdendir [2]. Inerne bandgenişliği kıymeli ve nadirdir ve bu nedenle uçan-uça akışı TCP/IP yığılma konrol prookolu ile elde edilir; eğer önceki pake dizii yerine gimişe bir birimlik arış aki durumda ekilme yarı yarıya. Bu dahiyane yönem gaye iyi çalışmaka ve kullanıcıların daha fazlaını iedikleri durumlarda bağlanıdan vazgeçmelerine neden olmamakadır. Hangi oyunun TCP/IP yığılma konrolunun Nah dengei olduğu oruu irdelenmişir [4]. Buradan Inerne e yığılma konrolu bir oyun olarak ele alınıra dengenin aarlanarak elde edilmediği faka yerine ekileşim ve çevre koşullarına ve oyuncu ayıına bağlı ürali değişen raejilere göre elde edildiği öylenebilir. Bu ie bize inerne için daha karmaşık bir dengenin öz konuu olduğunu çağrışırır. Oyunlar açıından burada birbirleri ile arışamayan oyuncular ve birbirlerinin ekiklerini yan ödemeler ile amamlarlar. İşbirlikli oyun eorii [2] n oyuncunun 2 n - eçenekli koaliayon (S) ile kaıldığı ve v(s) değerini elde eiği bir oyunu oluşurur. Burada Sraejiler kümeinin konvex olmaı Nah dengei için yeerli olduğu Nah arafından göerilmişir.
problem oplam geiri v([n]) nin n oyuncu araında naıl pay edileceğidir. Adil paylaşım daha önce avunulmuş ve irdelenmişir, örneğin Shapley değeri, pazarlık kümei, von Neumann-Morgenern çözümü gibi. Bu bakımdan Inerne BGP (Boarder Gaeway Proocol) prookolu ile binlerce büyüklü küçüklü bağımız iemler araında ekinlikle çalışan ve uçan uça akış başlaan ve onlandıran koaliyonel oyunlar eoriinin arenaıdır. Maemaikel olarak verilen n düğümlü (düğüm-bağımız iem) grafa ve F imerik rafik mariinde f ij, i kullanıcı ile j kullanıcı araındaki oplam rafik ihiyacını ve c i, i düğümün kapaieini göerin. S düğüm kümeinin bir alkümei arafından belirlenen al-grafa F mariinin elemanlarına uygun çoklu-akış ağı ve v(s) bu al-ağda maximum oplam akışı göerin. F F ağlayan, düğümler x i =Σ j f ij geirileri için bulunan opimum çözüm koaliyonel oyun v nin çekirdeğinde bulunur. Diğer bir çalışmada [3] Nah dengei ağda yönlendirme kararları ervi ağlayıcılar ve Wardrop dengei [5] ağda yönlendirme kararları büyük ölçüde kullanıcılar arafından alındığında araşırılmış ve iki paralel linken oluşan bai ağda bile bulunamaycağı göerilmişir. Ayni çalışmada bağlanılar araında band-genişliği ayni kaldığı zaman dengenin bulunmaı için var olan engellerin oradan kalkığı göerilmişir. 2. Bencil Yönlendirme Karmaşık ve çok büyük bilgiayar ağ (Inerne) işlemeinde emel problem en iyi perfomanın alınmaı için rafiğin naıl yönlendirilmei gerekiği olmuşur. Çoğu zaman opimal yönlendirme raejiinin bulunmaı imkanız olduğundan ağ kullanıcıları kendi çıkarları doğruluunda hareke emeke erbe bırakılırlar. Genel olarak çıkarları bir birleri ile çelişkili bencil ağ kullanıcılarının oluşurduğu lokal opimizayon hiç bir zaman genel (global) opimizayonu geirmez. Böylece regülayon ekikliği (kuralların yokluğu) ağ performanında düşüşü geirir. Roughgarden [3] çalışmaında işbirliğinden yokun davranış halinde olan ağ işleimi için en-köü ağ davranış performanını incelemişir. Öe arafan bencil davranış alında aminkar oyal geiriler elde eden ağ aarım ve işlemei algorimalarının analizi verilmişir.temel orun olan koordineiz geirinin fiyaı ile en iyi koordineli geiri araındaki en-köü oran için kein neice bulunmuş ve bu şekilde hangi ipen ağlar için bencil yönlendirmenin kabul edilebilirliği verilmişir. Diğer önemli oru ie ervi kalieindeki kaçınılmaz düşüşün ne kadar göz ardı edileceğidir. Cevap olarak bencil davranışa karşın iyi performan veren ağ aarımı verilebilmekedir. Benzer şekilde oplam rafiğin küçük bir kımının iyi ağ davranışı görmei için bencil ağ kullanıcıları arafından naıl yönlendirileceği verilmişir [2,3]. Ağ davranışına emel olan iki örneği burada irdeleyeceğiz. 2.. Piou Örneği (Herkein Başına Gelen Bana da Gelin) Piou 92 de Refahın Ekonomii adlı kiabında iki merkez araında birbirleri ile keişmeyen iki paralel yol üzerinde rafik akışını ele alır (bak Şekil ). A ile B nokaları araındaki yollardan bir anei geniş faka uzun (üeki yol) diğeri ie daha kıa faka dar (alaki yol). Bu durum üeki yol için abi gecikme fonkiyonu l(x)= (gecikmeiz abi zamanda B nokaına varış) ve alaki yol için üzerinden akacak rafiğe bağlı doğrual gecikme fonkiyonu l(x)=x ile göerilin. Yani üeki yolu eçenler A dan B ye her zaman aae varırken, alaki yolu eçenler rafiğin durumuna bağlı bir gecikme ile B nokaına varırlar. Eğer rafiğe çıkan ürücülerin amacı en kıa zamanda varış nokaına varmak ie (rayonel şoförün davranışı) hiç bir ürücü geniş ve uzun yolu eçmeyecek ve al yoldaki lineer gecikme ekii ile yığılmalar oluşacak ve hafif rafike yarım aae 2
alınacak yol aae alınmış olacakır. Öe arafan A nokaında rafiğin yarıını ü yola (ürcülerin iemlerinin) zorlandığı akdirde oplam varış zamanı rafiğe çıkan üm araçlar için 45 dakika olacakır. Piou örneği bize ekonominin ve oyun eoriinin çok iyi bilinen ve araşırılan şu gerçeğini vurgular: bağımız, işbirliğine yanaşmayan kurumların bencil davranışı oyal bakımdan arzulanan geiriyi vermeyebilirler. Piou örneğinden IP bazlı bilgiayar ağlarında alınacak derler vardır. Inerne prookolunun dike eiği en kıa yoldan IP pakelerinin gönderilmei her zaman en iyi neiceyi vermeyebilir. Bu nedenle on yıllarda belli ağ meriklerini ağlayan (bandgenişliği, gecikme v.. gibi) daha uzun yolu eçebilen MPLS (Çoklu Prookol Eike Anaharlama) eknolojii üzerine bir çok çalışma yapılmakadır. Lokal olarak yığılmanın az olduğu yönlere pakelerin gönderilmei ilerde dinamik olarak yığılmanın olmayacağı garaniini vermez. l( x)= Geniş ve Uzun l( x)=x Piou Örneğ i Şekil. Dar ve Kıa 2.2. Brae Paradoxu (Kaş Yapayım Derken Göz Çıkarma) Brae paradoxu kaş yapayım derken göz çıkarma deyimine uygun bir örnekir. Şekil (2a) daki ve araındaki keişmeyen P {, v, } ve P {, w, } yollarını ü yol = al yol = gözönüne alalım. Ağdaki linklerin gecikme fonkiyonları l(, v) ( x) = l( w, ) ( x) = x ve l x) = l ( x) şeklinde verilin. Bu durumda en ye doğru akacak rafiğin yarıı (, w) ( ( v, ) = P ü yol = {, v, } ve diğer yarıı ie P al yol = {, w, } yolunu ercih ederek oplam 9 dakikalık bir yolculukla daa pakeleri (veya ürücüler) w nokaına varacaklardır. Burada (,v) ve (w,) linkleri üzerinde 3 dakikalık eyaha ürei ve (v,) ve (,w) linkleri üzerinde rafiken bağımız 6 dakikalık eyaha ürei kabul edilmişir. Başarılı mühendiin aarımı ile v ve w nokaları araına l ( x) gecikmeli yeni link (yolu) ei edilince ( v, w) = en w ye en kıa gecikme bakımından yol P = {, v, w, } yolu olacağından bencil ürücüler için üm rafik bu yola yönelecek ve fazladan 3 dakika daha fazla eyaha emiş olacaklardır (Şekil 2(b)). Buradan alınacak derler : Bencil kullanıcılar öz konuu olduğu zaman işahlarını kabaracak ağa yanlış ilave aarımlar iem performanını köü yönde ekiler. 3
IP ağın aarımında lokal rafik açıından lokal opimizayonun global ekilerinin irdelenmei gerekir. Her zaman çözümü olmayan bu probleme yakınama ile yaklaşık çözümler ve imulayon ile ağın gecikme açıından en-köü davranışı hakkında bilgi edinilebilir. v l( x)=x l( x)= v l( x)=x l( x)= l( x)= l( x)= l( x)=x w l( x)= w l( x)=x (a) Brae Paradoxu (b) Şekil 2 2.3 Sackelberg Yönlendirmei (Düşünmeden Lideri Takip E) Sackelberg ekonomik oyunları genel olarak oyunculardan birinin lider eçilmei ve diğer oyuncuların liderin raejik kararlarını uygulamı ile oynanır [8], burada bilgiayar ağı açıından merkezi oorie veri akışının oplam eyaha üreini ağda en az indirgemeyi hedef alır ve bencil ağ kullanıcıları (lideri akip edenler) onu akip ederler. O halde problemin çözümü lider için en iyi arejiyi bulmaya dayanmakadır. Paralel linklerden oluşan ağlarda bile opimal Sackelberg raejiini bulmak kolay değildir (NP-hard) faka iyi performan veren yaklaşımal algorimalar vermek mümkündür. 3. İnerne e Anarşinin Bedeli İnerne e aarım, mühendilik, ve işleimden orumlu merkezi bir oorie yokur. Böyle bir oorie ola bile örneğin pake akışları için yeerli bandgenişliğini ayin eden ve aayan, kullanıcılar perfoman açıından ne kadar amin edici ervi alırlardı? O halde inernein ahipizliğinden doğal olarak oraya çıkan anarşinin bedeli nedir? Bu oru [2] da oraya aılmış ve iki düğüm araında paralel linklerden oluşan ağ yapıı için kımen cevaplanmışır. Daha genel durum ağ üzerinde pakelerin yönlendirilmei oyun-benzeri bir yaklaşımla ele alındığında, en köü Nah dengei ile opimum geirilerin oplamı araındaki oranın bulunmaı aranır. Başka deyişle eğer işbirlikçi analiz geleceğin bilinmemeinin bedelini ve üel şekilde aran kaynakların olmamaından oluşan yaklaşımal bedelini verire, IP bazlı ağlar için koordineiz kaynağın harcanmaını maximize eden kararların bedelinin bilinmei arzu edilir. Kıaca buna anarşinin bedeli diyoruz. Öncü çalışma [2] dan onra Roughgarden [3] çoklu-mal akış ağı ele alarak ağ içinde meajlarda gecikmenin linklerde yığılmalarla oranılı olduğunu, faka daima akışlarının oplam gecikmeyi azalacak şekilde göz önüne alındığında anarşinin bedelin iki olduğunu elde emişir. Bu model 4
günümüzdeki inernein çalışırılmaına pek uymayabilir. Örneğin akış en kıa yol üzerinden gidemeyebilir, yönlendiriciler lokal rafiğin durumuna göre davranırlar veya kullanıcılar gecikmelerin durumuna göre rafiklerini değişirebilirler ve ağ ağlayıcılar ağdaki ıcak-nokalardaki bandgenişliğini ipal edebilirler. 3.. Opimal Yönlendirme Ne Kadar Adil Değildir? Öncellikle akışların aanmış olduğu bir ağ, kullanıcıların eçikleri yolları değişirmek için bir dürünün olmamaı durumunda ağ Nah dengeindedir denir. Bu durum üm rafik en az gecikmeli yollar üzerinden akığı zaman oraya çıkar. Opimal akış aamaları Nah dengeinden ne kadar daha iyidir? Doğal olarak Nah dengeinde bulunan bir ağda ağın kullanıcılara davranışının daha adil buna karşın ağdaki oplam gecikmenin daha fazla olduğunu öyleyebiliriz. Ağ içinde iki düğüm araındaki akış, iki düğüm araındaki yolların akışlarının oplamına eşiir. Eğer bu oplam verilen akış hızı r ye eşie akışa olurlu denir. Verilen P yolu, f akışına göre, üzerinde gecikme yoldaki linklerin gecikmelerinin oplamına eşiir ve l ( f ) ile göerilir. Ağın durumu (N,r,l) üçlüü ile belirlenir. Nah Dengeinde Akışlar. Verilen N ağı, r akış hızı ve l gecikme fonkiyonu alında f olurlu akışı ve düğümleri araındaki her P ve P 2 yol çifi için f > P ve l P( f ) lp2( f ) vara f akışı Nah dengeidedir denir. Eğer akış Nah dengeinde ie ve düğümleri araındaki üm yolların oplam gecikmeleri birbirlerine eşi olur. Opimal Akışlar. Yukardaki Nah dengeindeki l gecikme fonkiyonu ve her e linki için x. l e ( x) in konvek olmaı koşulu aranır. O zaman marjınal fiya ) d fonkiyonu l e = ( x. l e ( x)) e göre de f ) olurlu akışı ancak ve ancak ( G, r, l ) ) dx Nah dengeinde ie opimaldir. Aşağıdaki önemli iki neice [3] de verilmişir. n () Verilen n düğüm ayıı için opimal çözümden en az 2 kez köü olan çözümü veren ( N, r, l) ağı bulunabilir. (2) N düğümlü ağa fazladan linkler ilave ederek Nah dengei akışlarındaki orak gecikmeler 2 n kez arırılabilir. Şekil 3 e köü aarlanmış ağ için Nah akışının opimal yapıdaki Nah akışlarından ne kadar farklı olabileceği örnek üzerinde göerilmişir. Şekil 3(a) daki ağ 3(b) deki ağın al-ağı olmakla birlike ve araındaki akışlardaki oplam gecikmeler iken diğerinde 4 çıkmışır. Bu ie bize (2) de verilen neicenin IP bazlı ağ aarımındaki önemini göermekedir. 4. World-Wide-Web-Grafı Yakın geçmişe yapılan çalışmalarda [9]-[2] www (world-wide-web) düğümleri dokümanlar ve dalları hyperlinkler olan yönlendirilmiş bir graf olarak ele alınmakadır. Bu 5
ipen graflara genel olarak küçük dünya grafları (Small World Graph) denmekedir ve en belirgin karakeriikleri çok büyük ayıda düğümleri ve dallarının ya manıkal veya ralanıal bir ilişkiye göre kurulmaıdır. Web grafı (www-graf) 8 milyon (her gün armaka) düğümlü (her düğüm bir web ayfaına karşı düşmek üzere) ve ayfaları birbirlerine bağlayan linklerden oluşur. Web-grafının yapıı çok iyi bilinen ragele graf modeli G n,p den farklıdır. Örneğin ragele graflarda x nci büyük düğüm-derecei polinomal cx α, c >, α > şeklinde verilir buna karşın web-graf büyük ayılar yaaına bağlı kekin Gau ahmini geçerlidir. Web-grafa düğümlerin %4 ını içeren devaa kuvveli bağlanmış (her iki düğüm araında en az bir yol bulunan, ragele grafa % veya % ile olaılıkla bağlı), al-grafları da içerebilen (ragele grafa yok) grafı göz K 3,3 önüne alırız. Web-grafın yapıı üzerine duyulan büyük ilgiye karşın amin edici neicelere henüz daha ralanmamaka veya yeni yeni oraya çıkmakadır. Modeller yüklü-kuyruk uzanılı dağılımlarla ele alındığı ve daha önceleri bu dağılımların ekonomide x nci büyük c şehir nüfuzu için ( ) veya herhangi bir ekörde x nci büyük kuruluş için x öyleyebiliriz. α cx kullanıldığını Web-grafa diğer önemli bir ölçü ie düğümün (ayfanın) giren ve çıkan dereceleri olup, burada giren-derece dökumanın ne kadar ilgi çekici olduğu ve çıkan-derece gelen ziyareçinin dikkai ile ilgilidir. Örneğin inerne e bir müzik iei (mp3 doyaların depolandığı yer) ziyareçileri ayfadan eçikleri linkler aradıkları müzik ürüne bağlıdır. Son olarak yüklüuzanılı dağılımlar www dışınında inerne al-yapıında yönlendirici ve bağımız iemlerin dağılımları için de geçerlidir. Son olarak bu bölümde web-grafında uygulamalar açıından en önemli paramere olan webgrafı çapına değineceğiz. Graflarda çap düğüm çifleri araında en kıa yolların en büyüğünün uzunluğuna denir. Barabai e.al. web-grafının üm linklerini aramak yerine web in küçük bir köşei olan nd.edu da bulunan 325727 döküman ve 46968 link (web in %.3) incelenerek ve genelleşirilerek web-grafın çapının 9 olduğu ebi edildi. Bu onuç çıkarılırken her hangi ayfadaki giren ve çıkan linklerin bulunma olaılığına dayandırılmış ve olaılıkların güç-yaaına uyduğu gözlemlenmişir ( çıkan k link için k -2.45 ve giren k link için k -2. ). Güç yaaına göre bir-iki link içeren ayfaların - link içeren ayfalara göre çok çok fazla olduğunu göerir. Web-grafın çapının bilinmei özellikle web en birşey arandığı zaman çok önemlidir. Ragele kör-arayış 4 milyon dökümanın aranmaını gerekirirken akıllı bir yaklaşımla aranan dökümana 9 link geçerek (hop) varılabilir. Burada akıllı yaklaşım örneğin çok yükek dereceli düğümlere (hop) öncelik verilmei (google.com da olduğu gibi) [6]. 6
e e 3 a c b d 2 a c b d 2 3 f f Opimal al-ağda Nah akışı Link ilaveleri onraı Nah akışı Şekil 3. 4. Sonuç Bu çalışmada on yıllarda inernein kullanıcılara genel anlamda naıl davrandığını ve her an değişen ve büyüğen yapıının naıl olduğunu irdeleyen çalışmalara değindik. Bir karmaşa gibi gözüken inernein alında işbirlikiz oyunlar eoriinden Nah dengei ile bir anlam kazandığını faka Piou örneği ve Brae çelişkii ile de dikka edilmei gereken özellikleri bulunduğunun alını çizdik. Henüz bu konudaki eoriler yerli yerine ourmuş olmadığını bir kez daha belirelim. Öe yandan inernein yapıının oldukça ağlıklı bir biçimde küçük-dünya ağları ile izah edilebileceği göerilmişir. Bu yapıyı çok iyi kullanan arama moorları aarlanmışır. İnerne yapıı içinde gizlenen onuz büyüklükeki poaniyelin daha verimli ve daha çeşili amaçlarda kullanılmaı önümüzdeki yılların hedeflerini oluşurmakadır (örneğin global işleim iemi ve inerne üzerinden parallel bilgiayar çalışırmaı gibi). 7
Kaynakça [] J.F. Nah, Equilibrium poin in N-peron game, Proc. of NAS, 95. [2] Kououpia, Papadimiriu, Wor-cae equilibria, Proc. 998 STACS. [3] T. Roughgraden, Selfih Rouing, Ph. D. Thei, Cornell Univeriy, 2. [4] E. Alman, R. El Azouzi, V. Abramov, Non-cooperaive rouing in lo nework, INRA Re. Rep. No. 445, Mar 22. [5] J.G. Wardrop, Some heoreical apec of road raffic reearch, Proc. In. Civil Eng., Par 2,, 325-378, 952. [6] www.google.com/echnology/index.hml [7] Kleinberg, Auhoriaive ource in a hyperlinked environmen, Proc. SODA, 999. [8] H. von Sackelberg, Markform und Gleichgevich, Springer-Verlag, 934, (Tranl. The Theory of he Marke Economy, 952, Oxford Univ. Pre). [9] J. Wa, S.H. Srogaz, Collecive dynamic of mall-world nework, Naure, vol. 393, June 998, 44-443. [] B. Haye, Graph Theory in Pracice: Par I, American Scieni, vol.88, Jan.- Feb. 2, 9-3. [] B. Haye, Graph Theory in Pracice: Par II, American Scieni, vol. 88, March-April 2, 4-9. 8