İLKÖĞRETİM MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

ÖABT 05 Soruları aalaan omison tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Editör: Doç. Dr. Haan Efe Konu Anlatımı Özgün Sorular Arıntılı Çözümler Test Stratejileri Çımış Sorular

Editör: Doç. Dr. Haan Efe ÖABT İlöğretim Matemati Öğretmenliği Analiz-Diferansiel Denlemler ISBN 978-605-364-967-0 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu azarlarına aittir. Pegem Aademi Bu itabın basım, aın ve satış haları Pegem Aademi Ya. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan uruluşun izni alınmadan itabın tümü a da bölümleri, apa tasarımı; meani, eletroni, fotoopi, maneti, aıt a da başa öntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu itap T.C. Kültür Baanlığı bandrolü ile satılmatadır. Ouucularımızın bandrolü olmaan itaplar haında aınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz aınları satın almamasını dilioruz..bası: Şubat 05, Anara Proje-Yaın Yönetmeni: Aşegül Eroğlu Dizgi-Grafi Tasarım: Gülnur Öcalan Türçe Redasion: Elif Külah Bengisu İiiş Kapa Tasarımı: Gürsel Avcı Bası: Arıntı Basım Yaın ve Matbaacılı Ltd. Şti İvedi Organize Sanai 8. Cadde 770. Soa No: 05/A Yenimahalle/ANKARA (03-394 55 90) Yaıncı Sertifia No: 4749 Matbaa Sertifia No: 3987 İletişim Karanfil Soa No: 45 Kızıla / ANKARA Yaınevi: 03 430 67 50-430 67 5 Yaınevi Belgeç: 03 435 44 60 Dağıtım: 03 434 54 4-434 54 08 Dağıtım Belgeç: 03 43 37 38 Hazırlı Kursları: 03 49 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net

ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Adaları, ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ onu anlatımlı setimiz dört itap hâlinde düzenlenmiştir. "İlöğretim Matemati Öğretmenliği. Kitap" adlı aınımız Analiz ve Diferansiel Denlemler bölümünü apsamatadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) İlöğretim Matemati Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi apsamındai soruları çözme için gereli bilgi, beceri ve tenileri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adalarımıza ılavuz olara hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav apsamındai temel alanlarda apsamlı alanazın taraması apılmış, bu itabın gere ÖABT'de gerese gelecetei mesle haatınızda ihtiacınızı masimum derecede arşılaaca bir başucu itabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detalı, güncel ve anlaşılır bir dilde azılan onu anlatımları, çımış sorular ve detalı açılamalarıla destelenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına ugun, çözümlü test sorularıla peiştirilmiştir. Arıca onu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tenilerine e olara uarı utucularıla da önemli onulara diat çeilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu itapla ilgili görüş ve önerilerinizi pegem@pegem.net adresini ullanara bizimle palaşabilirsiniz. Kitabımızın hazırlanmasında emeği geçen Saın Kerem Köer, Firet Heme, Aşegül Eroğlu ve Dizgicimiz Gülnur Öcalan'a teşeürü bir borç biliriz. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine atıda bulunabilme ümidile... Başarılar...

MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmata ve Matemati Öğretmeni Adalarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Ugulamalı Matemati) ile Alan Eğitimi alanlarındai bilgi ve becerilerini ölçmei hedeflemetedir. Öğretmenli Alan Bilgisi Testinde çıan sorular, Matemati Öğretmenli Lisans Programlarında verilen aademi disiplinlere paralel olara hazırlanmatadır. Sınavdai Alan-Soru dağılımı aşağıdai tabloda belirtilmiştir. Genel Yüzde Yalaşı Yüzde Soru Numarası Alan Bilgisi Testi % 80-40 a. Analiz b. Cebir c. Geometri d. Ugulamalı Matemati % 8 % 8 % 8 % 6 Alan Eğitimi Testi % 0 4-50 Genel Kültür, Genel Yetene ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza e olara gireceğiniz Öğretmenli Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 03-04 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde apılabilece olası değişilileri ÖSYM'nin web sitesinden taip edebilirsiniz.

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...v. KISIM. BÖLÜM: ANALİZE GİRİŞ Saılar...5 Doğal Saılar...5 Rasonel Saılar...5 Tümevarım Yöntemi...5 Lineer (Doğrusal) Nota Kümeleri...6 Mutla Değer...7 Komşulu...7 Yığılma Notası...7 Tam Değer...8 Fonsionlar...8 Bazı Özel Fonsionlar...9 Fonsionun Grafiği...0 Trigonometri... Bazı Trigonometri Değerler... Bazı Trigonometri Bağıntılar... Üstel ve Logaritmi Fonsionlar...4 Hiperboli Fonsionlar...5. BÖLÜM: LİMİT Limit...7 Bir Fonsionun Limiti...9 Te Yönlü Limitler... Sürelili... Bazı Süreli Fonsion Örneleri... Süresizli Çeşitleri... Süreli Fonsionların Özellileri... Düzgün Sürelili...3 3. BÖLÜM: TÜREV Türev...7 Türev Almada Genel Kurallar...7 Trigonometri Fonsionların Türevi...8 Ters Fonsionun Türevi...8 Logaritma Fonsionunun Türevi...9 Üstel Fonsionunun Türevi...30 Logaritmi Türev Alma...30 Hiperboli Fonsionların Türevi...30

vi Parametri Fonsionlar Türevi...30 Kapalı Fonsionların Türevi...3 Yüse Mertebeden Türevler...3 Türevin Geometri Anlamı...3 Türevle İlgili Teoremler...33 Belirsiz Şeiller...37 Diferansieller...38 Eğri Çizimleri...40 Düşe Asimptot...40 Yata Asimptot...4 Eğri vea Eği Asimptot...4 4. BÖLÜM: İNTEGRAL Belirsiz İntegral...45 Bazı Fonsionların İntegralleri...45 İntegral Alma Yöntemleri...45 Değişen Değiştirme...45 Kısmi İntegrason Yöntemi...49 İndirgenme Bağıntıları...50 Rasonel Fonsionların İntegrali...54 Trigonometri Fonsionların İntegrali...56 Binom İntegralleri...6 Çözümlü Sorular...6 Belirli İntegral...65 İntegralde Alan Hesabı...66 İntegralde Hacim Hesabı...69 Eğri Uzunluğunun Hesabı...7 Dönel Yüzein Alanı...7 5. BÖLÜM: GENELLEŞTİRİLMİŞ İNTEGRALLER Genelleştirilmiş İntegraller...77 I. Çeşit...77 Kararlaştırma Testi...77 Kararlaştırma Testinin Limit Formu...77. Çeşit...78 Kutupsal Koordinatlar...79 Kutupsal Koordinatlarda Eğri Çizimi...8 Gül Eğrilerinin Çizimi...84 Kutupsal Koordinatlarda Alan Hesabı...85 Seriler...85 Geometri Seri...86 Seriler İçin Yaınsalı Testleri...87

vii İntegral Testi...87 Oran Testi...88 Kö Testi...88 Limit Testi...89 Alterne Serileri...89 Kuvvet Serileri...90 Fonsionların Serie Açılması...9 Analiz Ugulama...9 Fonsion Dizi ve Serileri...95 Düzgün Yaınsalı ve İntegral...97 Düzgün Yaınsalı ve Türev...97 Fonsion Serilerinin Düzgün Yaınsalığı...98 6. BÖLÜM: n - BOYUTLU UZAY n - Boutlu Uza...05 R n in Topolojisi...06 Vetör Değerli Fonsionlar...09 Vetör Değerli Fonsionların Limit ve Süreliliği... 0 R n de Eğriler... Vetör Değerli Fonsionların Türev ve İntegralleri... Eğri Uzunluğu... 4 Ço Değişenli Fonsionlar... 6 Ço Değişenli Fonsionlarda Limit... 8 Sürelili...0 Kısmi Türevler... Yüse Mertebeden Kısmi Türevler...3 Zincir Kuralı...4 Yönlü Türevler...6 Kapalı Fonsionların Türevi...7 Normal Doğrusunun Denlemini Bulma...30 Masimum ve Minimum...30 Yan Şartlı Estremumlar...33 Bölge Dönüşümleri...36 Fonsionel Bağımlılı...38 Saler ve Vetör Alanları...39 Ço Katlı İntegraller...43 İi Katlı İntegralin Hesabı...45 İntegral İşareti Altında Türev Alma...46 İi Katlı İntegrallerde Değişen Değiştirme...50 İi Katlı İntegrallerin Ugulamaları...54 Çözümlü Test...59 Çözümler...6 Çözümlü Test...64 Çözümler...66 Çözümlü Test 3...68

viii Çözümler...70 Çözümlü Test 4...73 Çözümler...75 Çözümlü Test 5...77 Çözümler...79 Çözümlü Test 6...8 Çözümler...83 Çözümlü Test 7...86 Çözümler...88 Çözümlü Test 8...90 Çözümler...9 Çözümlü Test 9...95 Çözümler...98 Çözümlü Test 0...0 Çözümler...04 Çözümlü Test...07 Çözümler...09 Çözümlü Test... Çözümler...4 Çözümlü Test 3...7 Çözümler...0 Çözümlü Test 4...3 Çözümler...6 Çözümlü Test 5...9 Çözümler...3 Çözümlü Test 6...34 Çözümler...36 Çözümlü Test 7...4 Çözümler...43 Çözümlü Test 8...45 Çözümler...47 Çözümlü Test 9...49 Çözümler...5 Çözümlü Test 0...55 Çözümler...59

i. KISIM. BÖLÜM: DİFERANSİYEL DENKLEMLER Diferansiel Denlemler...7 Giriş...7 Diferansiel Denlemlerin Çözümü...7 Genel ve Özel Çözümler...73 Bir Eğri Ailesinin Diferansiel Denleminin Oluşturulması...75. BÖLÜM: DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER Değişenlerine Arılabilir Denlemler...79 Değişenlerine Arılabilir Hâle Getirilebilen Denlemler...80 Homojen Diferansiel Denlemler...8 Homojen Diferansiel Denlemlerin Çözümü...8 Homojen Hâle Dönüştürülebilir Diferansiel Denlemler...8 Tam Diferansiel Denlemler...84 İntegrason Çarpanı Yardımı ile Diferansiel Denlem Çözümü...86 Lineer Denlemler...88 Lineer Diferansiel Denlemin Çözüm Yöntemi...88 Bernoulli Denlemleri...90 Riccati Denlemi...9 3. BÖLÜM: BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Birinci Mertebeden n. Dereceden Diferansiel Denlemler...95 Türeve, 'e vea 'e Göre Çözülebilen Denlemler...95 Türeve Göre Çözülebilen Denlemler...95 'e Göre Çözülebilen Denlemler...96 'e Göre Çözülebilen Denlemler...96 Clairaut Denlemi...97 Lagrange Denlemi...98 İndirgenebilir İinci Mertebeden Diferansiel Denlemler...99 4. BÖLÜM: YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER Yüse Mertebeden Lineer Diferansiel Denlemler...303 Mertebe İndirgeme...304 Sabit Katsaılı Denlemler...305 Farlı Reel Köler...305 Katlı Reel Köler...306 Komples Kö...306

Homojen Olmaan (. Yanlı) Lineer Diferansiel Denlemler...309 Belirsiz Katsaılar Yöntemi...309 Parametrelerin Değişim Yöntemi...33 Cauch-Euler Denlemi...35 Çözümlü Test...37 Çözümler...39 Çözümlü Test...33 Çözümler...36 Çözümlü Test 3...330 Çözümler...333 Çözümlü Test 4...337 Çözümler...340 Çözümlü Test 5...344 Çözümler...347

. KISIM

5 SAYILAR denir. ümesi denir. Z = &...,, 0,,,... 4444 3 \ 0 + Z Z = N + = Z, $ 0., Z p, q Z ve q m, n - - Q p ' : pq, d Zq,! 0 q m Z için m m Q! Z Q I I Q = R Teorem: D D D ien + Sonuç: D = {n denir. n N için; 3 n+ n+ - 3.+ + = 3 4 - - n = için; 3.+ + = 7.p p n = + için; 3 ++ = 7.p 3 +4 + = 3 +. 9 +. = 3 + +. = 7. 3 + +. 3 +. + = 7. 3 + +. ( 3 + + ) 44 444 43 7p = 7. 3 + +. 7. p = 7.( 3 + + p) = 7p' 444444 3 p' d Z n N ve n H n < n! 3 5 < 5! 3 4 < 5! - - n = için; 3 n = + için; 3 + 3 N ve p p pp ( ).( p )...( p + ) e o =!. 3 c 3 mc m. c m. c m 6 3 f p = = = = = 3! 6 6 6 6 3

6 n n.( n )...( n + ) n! b l= =! ( n )!.! n n b l b l 0 n n n b l= b l n n n n + b l+ b l= c m { { G G { > n ien b n l 0 { G {: < < } = R R n N a b n n. a n n. a n n n. b.... ab. n ` + j = e o + e o + + e o + e o. 0 n n b n - (m Z ise m + =. a. a + c m + c m. b +... + c m. ab. + 0 c m.... I b ^ h n = + için; + = +. a + c m + + c m. a+. b+... 0 +. ab. + + c m + + c m. b+...( II) + + - ^ I h = c m. a. ^ a + b h + c m. a. b. ^ a + b h +... + 0 c m. ab..( a+ b) + c m.. b ^ a + b h = c m. a + + c m a. b + c m. a. b + c m. a. b +... 0 0. a. b. ab.... b a c m + c m + c m + c m b + Her A için H A için G Asiom: - n = için; g A

7 B = { : r Q, r > 0} r denir. denir.. A için #. > 0 için +. A için $ b. > 0 için < b dir. aa ; $ 0 de a = ) aa ; 0 a $ 0 a = 0 + a = 0 a = a R ve f K = { d R: a f} = `a f, a + fj f K 44444444443 a f a a+f A f, f f > 0, A «f f G O K G O K a G b 3 & a a G b ab. a. b G b A ' : n n d N a b a, (b b Teorem: Teorem: R. O K G G O K. OK K ObKO G O K G K K + KbK O K G b b G G b O K $ b $ b G b Sonuç: n O n O G O K + O K +... O n K - - limsupa vea lim A, liminfa vea lim A

8 Fonsion. A = {( ) n : n N} olsun. limsupa = liminfa =. B = {sinn: n N} olsun lim B = lim B = Tam Değer Bir a R nin tam değeri die a dan büü olmaan en büü tam saıa denir ve " a, ile gösterilir. Buna göre, " π, = 4, " e, = dir.. R için H ",. R için = ", + t; olaca şeilde t [0, ) vardır. 3. m Z için " m, = m dir. 4. a, b R için $ a+ b. $ $ a. + $ b. dır. A ve B ii üme f A dan B e bir bağıntı olsun (f AXB).. A için (, ) f olaca şeilde B var ve. (, ) f ve (, z) f ien = z ise f e A dan B e bir fonsion denir. f f:a B ve A B biçiminde gösterilir. Buradan A a f nin tanım ümesi B e değer ümesi denir. fa : " B " = f`j Tanımından f nin A dan B e bir fonsion olması için A nın bir elemanı B de birden ço elemanla eşleşmemelidir. Tanım: ' = denlemini çözelim. # i. G & 0 G & 0 ii. & > & Ç.K = (, ) FONKSİYONLAR (, ) = {{}, {, }} ümesine bir ile nin sıralı iilisi denir. (, ) (, ), ( = ) (, ) = (u, v) = u, = v dir. Örne A B herhangi ii üme olma üzere; AXB = {(a, b) : a A, b B} dir. H AXB BXA (A B) H AX = H AXB nin her bir alt ümesine A dan B e bir bağıntı denir. H AXA nın her bir alt ümesine A da bir bağıntı denir. f, g: A B ii fonsion olsun. A için f() = g() ise f ve g fonsionlarına eşit fonsionlar denir ve f = g ile gösterilir. f, g : R R f() = ; g() = ( ). ( + ) olma üzere, f = g dır. H f() = 0 eşitliğini sağlaan değerlerine f nin sıfırları (öleri) denir. Tanım: f, g : A B ii fonsion olsun. (f " g) () = f() " g() (f. g) () = f(). g() (f/g) () = f() / g() ; g() 0 (c. f) () = c. f(), c R şelinde tanımlanır. Tanım: f : X Y bir fonsion ve A X, B Y olsun. f(a) = {f() A} ümesine A nın f altındai görüntüsü ve f (B) = { X : f() B} ümesine B nin f altındai ters görüntüsü denir.

9 H Ters fonsion olmadan da ters görüntü olabilir. Teorem: f : X Y bir fonsion A, B X olsun. Bu durumda, a) A B f(a) f(b) b) f(a B) = f(a) f(b) c) f(a B) f(a) f(b) Teorem: f : X Y bir fonsion E, F Y olsun. a) E F f (E) f (F) b) f (E F) = f (E) f (F) c) f (E F) = f (E) f (F) d) f (E =F) = f (E) = f (F) e) f (F t ) = (f (F)) t (F t : F nin tümleeni) f) f ( ) = Bazı Özel Fonsionlar Tanım: f : A R R biçimindei fonsiona reel değişenli ve reel değerli fonsion denir. Eğer; f: A B fonsionu, A için f() = c (c: sabit) ise f e sabit fonsion denir. Eğer ; f(a) = B ise f e örten fonsion denir. Buna göre, f örtendir B için f() = olaca şeilde en az bir A vardır. Örten olmaan fonsiona içine fonsion denir. Yani f(a) B dir. f: R [0, ), f() = örten olduğunu gösteriniz. [0, ) için; = = " R olduğu için f örtendir. Özdeşli (Birim) Fonsionu f: A A A için f() = ise f e birim fonsion denir. I A ile gösterilir. Bileşe Fonsion f: A B, g: B C fonsionları verilior. g fonsionu f(a) nın her bir = f() elemanını C nin bir z = g (f()) e dönüştürür. Bölece A nın her bir elemanını C nin bir z = g(f()) elemanına dönüştüren eni bir fonsion elde edilmiş olur. Bu fonsiona f ile g nin bileşesi denir ve gof ile gösterilir. Buna göre (gof) () = g (f()) olur. g f olma üzere genelde gof fog dir. Tanım: f : A Æ B bir fonsion olsun. f bire birdir, A ] ise f ()] f()" f bire birdir, A f() = f() = f : (, 0] [0, ), f() = fonsionunun : ve örten olduğunu gösterelim. li;, (,0] olsun f( ) = f( ) & = & = & f, : dir. örtenli : f örtendir [0, ) için f() = olaca şeilde en az bir (, 0] vardır. f() = = = (, 0] olup bölece f örtendir. Ters Fonsion f: R R, f() = + örten olduğunu gösteriniz. R için; + = = = d R olduğu için f örtendir. f : X Y bire bir ve örten olsun eğer (fog)() = ve (gof)() = ise g e f nin tersi denir ve g = f ile gösterilir. fof = I Y f o f = I X olur.

0 : f: ^ 3, 0@ 60, 3h, f() = örten f () = = & = & f () = R G G f A} - 3 : - 3 3 3 3 = 0 3 = 3 f() = 3 : fa : B ise A c B örten S Q vea S {,,..., n}, n N ümesine denir. NOT R Z ; f ( ) 0 ] [ 0; f ( ) = 0 ] ; f ( ) 0 \ n o n n p : R Æ R n n o - o o o o m p () f () q () denir. O Tf $ d R ; q()! 0..

Tam Değer Fonsionu f() = $. fonsionunun esas periodunu bulalım. m Z + için f( + m) = + m " + m, f : A R R f() = $. biçiminde tanımlı fonsiona tam değer fonsionu denir. = + m ", m = f() olup m Z + lerin en üçüğü olduğundan esas periodu dir. Mutla Değer Fonsionu Tanım: f : A R Æ R bir fonsion olsun. f (); f ( ) H 0 f () = f () = * f (); f ( ) 0 biçiminde tanımlanan OfO fonsionuna f nin mutla değer fonsionu adı verilir. G OfO = {(, f()) : A} f () = ' eşitliği ile verilen f:[,] R fonsionunun grafiğini çizelim. [,) aralığında ifadesinin bir tamsaı olması için in vea olması gereir. O halde inceleme [, ), [, ] aralılarında apılacatır. i. # < ' = ii. # < & ) 3= olur. = için f() = 0 dır. = {(, f()) : A, f() H 0} {(, f()) : A, f() < 0} O Yani OfO nin grafiğini çizme için;. f() in grafiği çizilir.. eseninin altında alan ısmın esenine göre simetriği alınır. β= $ ^, h: = +. R bağıntısının grafiğini çiziniz. i. H 0 ve H 0 = + = ii. < 0 ve H 0 = + = iii. < 0 ve < 0 = + = + iv. H 0 < ve < 0 = + = + f: [, ] R, f() = ", fonsionunun grafiğini çizelim. i. # < için; ", = & ", = ; f ( ) = + ii. # < 0 için ; ", = & ", = ; f ( ) = + iii. 0 # < için ; ", = 0 & ", = 0 ; f ( ) = iv. # < için ; ", = & ", = ; f ( ) = v. = için ; f() = 0 O O

$. i. 0 # 0 # ii. # ", = iii. # ", = iv. v. 0 için f ^ h ", 0 O R R, E, E ve -, E ve -, E ve #, E ve $ O O. A B B O r = 45 4 A t P 30 30 3 60 60 H C br C sin0 = 0 cosπ = cos 90 = 0 sinπ = sin 90 = π π sin = cos = = 4 4 π π tan = cot = 4 4 π π cos = sin = 3 6 π π tan = 3 ; tan = 3 6 3 π π sin = cos = 3 6 π π cot = ; cot = 3 5 6 A için - - Derece Radan = 80 π 3 sin = O O

3 sin = sin tan+ tan tan tan. tan tan = sin fonsionunu sin : R $ 8, B : $ sin = = f( ) O r r 3r r π π sin : :, D $ 6, @ & f () = Arcsin : = Arccos + = cos 0# # r, - # # $ : r, r D π c m= 3 3 π & ^ h ; d Z0 $ R? d π n= 4 π π = sin & = 6 - r 3r r r O r r 3r r sin cos - r O 3r r O r 3r r