MALİYET TEORİSİ
2 Maliyet fonksiyonunun biçimi, üretim fonksiyonunun biçimine bağlıdır. Bir an için reçel üreticisinin, bir birim kavanoz ve bir birim meyve toplayıcısı ile bir birim çıktı elde ettiği sabit katsayılı bir üretim tekniğine sahip olduğunu varsayalım. Yani K ve L arasında ikame yoktur. Bu üretim fonksiyonu Şekil 4.1 de gösterilmiştir. Girişimci bir birimlik ürün (reçel) elde edebilmek için, hem kavanoz üretimi (sermaye malı) hem de meyve toplanmasına (işgücü) ödeme yapmak zorundadır. Bir birimlik reçel elde etmek için girdilere yapacağı ödemeleri nasıl minimize edebilir?
Şekil 4.1. Sabit Katsayılı Üretim Fonksiyonu ve Kayıts tsızlık k Eğrileri E 3 K Eşürün Eğrisi 3 3 birim reçel 2 1 0 1 2 3 2 birim reçel 1 birim reçel L
Bir birim kavanoz yapımının fırsat maliyetinin 38 $ ve 5 saatlik bir çalışma karşılığı olarak da meyve toplayıcısına 20 $ ödeme 4 yaptığını varsayalım. Girişimcinin reçeli en düşük maliyetle üretmesinin yolu, birini kavanoz yapımında, diğerini de meyve toplayıcılığında istihdam etmek ve 20 $ dan toplam 40 $ ödeme yapmasıdır. Şekil 4.2 bu durumu göstermektedir. Üretim fonksiyonu sabit katsayılı olduğunu dikkate alırsak, 1 birim reçel üretmenin maliyeti 40 $ ise, 2 birim üretmenin 2x40=80 $, X birim üretmenin de X.40 $ olduğunu söyleyebiliriz.
Şekil 4.2. Sabit Katsayılı Üretim Fonksiyonu ve Toplam Maliyet Eğrisi E 5 Toplam Maliyet 400 120 40 0 1 2 10 Reçel Miktarı
Maliyet fonksiyonu, belirli bir üretim düzeyini gerçekleştirmenin en ucuz ya da en etkin yolunu tanımlayan maliyetçıktı ilişkisidir. Dolayısıyla girişimcinin kârını maksimize etmeye ve belirli bir üretim düzeyini en az maliyetle elde etmeye çalıştığını varsayıyoruz. 6 En düşük maliyet seçeneği, etkinlik olarak tanımlanmaktadır. Bu anlamda maliyet eğrisi, her bir üretim düzeyine karşılık gelen etkin noktaların geometrik yeridir. Girişimci, veri bir üretim düzeyi için en düşük maliyeti gerçekleştireceği girdi bileşiminin arayışı içinde olacaktır.
7 Sabit katsayılı üretim fonksiyonu örneğinde reçel yapımcısı girişimci için böyle bir arayış, tek üretim olanağı nedeniyle söz konusu değildir. Girdiler arasında ikame yoktur, yani ikame esnekliği sıfırdır. Girişimci girdiler arasında ikamenin olabildiği bir üretim fonksiyonuyla çalışırsa, en düşük maliyetli girdi bileşimini belirlemeye çalışacaktır. Veri bir çıktı düzeyini en düşük maliyetle üretebilmeye olanak sağlayan girdi karmasına, optimal girdi bileşimi imi diyoruz. Optimal girdi bileşimin belirlenmesi, girişimcinin ne kadar bir girdi karması ayarlama zamanına sahip olduğuna bağlıdır.
8 Optimal girdi bileşimini belirlemede girişimcinin sahip olduğu zamanın uzunluğu önemli olduğundan, maliyet fonksiyonlarını kısa ve uzun dönem ayrımı çerçevesinde inceleyeceğiz. Uzun dönemde tüm girdiler değiştirilebildiğinden, uzun dönem maliyet fonksiyonuna bu açıda bakacağız. Kısa dönemde ise girdilerden biri (işgücü) değişkendir.
9 Reçel üreticisi girişimcinin karşısında belirli bir üretim düzeyini gerçekleştirebilmek için sonsuz sayıda üretim tekniği kullanabileceği bir teknoloji olanakları eğrisi olduğunu varsayalım. Bu durum Şekil 4.3 de gösterilmiştir. Örneğin 3 birim sermaye, 9 birim işgücü kullanarak 7 birim çıktı elde edebileceği gibi, aynı çıktıyı 2 birim sermaye, 11 birim işgücü kullanarak da üretebilir. Girişimciyi asıl ilgilendiren konu, hangi üretim tekniğini kullanırsa, 7 birim ürünü en düşük maliyetle elde edebileceğidir. Bu arayışın yanıtı, girdilerin göreli fiyatlarıdır.
10 Şekil 4.3. DışD ışbükey Eşürün Eğrileri ve Maliyetler K K 3 2 12 birim reçel 7 birim reçel 9 11 23 birim reçel L 20 A -1 E D 10 +1 C 400 B 10 20 L ( a ) ( b)
Şekil 4.3b yi dikkate alalım. 400 ile gösterilen AB doğrusunun üzerindeki tüm noktalarda girişimci hangi üretim tekniğini seçerse seçsin, 400 birimlik bir harcama yapacaktır (maliyet üstlenecektir). Dolayısıyla bu doğruyu, rk rk+wl=400 =400 denklemiyle gösterebiliriz. Burada r, sermayenin birim fiyatı yani faiz oranı; w, işgücünün birim fiyatı yani ücret oranıdır. AB doğrusuna 11 eşmaliyet doğrusu adını veriyoruz. Eşmaliyet doğrusu, girişimcinin sahip olduğu belirli miktar parayla oluşturabileceği değişik girdi bileşimlerini gösterir. Bu doğrunun eğimini iki şekilde belirleyebiliriz.
Geometrik olarak AB doğrusunun tanjantı, eğimi verecektir. Buna göre, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranını belirleriz (Şekil 4.4). 12 İkinci yöntemde eşmaliyet doğrusunun denkleminden hareket ederiz. TC = rk + wl rk = TC wl TC w K = L r r dk w = dl r
Şekil 4.4. Eşmaliyet Doğrusunun Eğiminin E Belirlenmesi 13 K 1 = K TC r TC=400 tan TC r α = = TC w w r 0 a L 1 TC = w L
Eşmaliyet doğrusunun eğimi, göreli girdi fiyatlarını ya da göreli 14 girdi maliyetini gösterir. Örneğin Şekil 4.3b de AB doğrusunun eğimi -1 dir. Yani sermaye ve işgücü girdileri eş-ölçüde göreli maliyete sahiptir. Girişimci 20 birim yerine 19 birim sermaye (bu örnekte reçel kavanozu) kullanımına geçerse (A dan D ye) 20 $ kazancı olur. Ancak işgücü girdisini 1 birim artırırsa, 20 $ harcama yapacağından, AB eşmaliyet doğrusunun üzerindeki E noktasına geçiş yapmış olur.
15 Veri bir üretim düzeyini en düşük maliyetle gerçekleştirmek için, veri üretim düzeyini gösteren eşürün eğrisine teğet olan orijine en yakın eşmaliyet doğrusunu seçmelidir. Bunu Şekil 4.5 i kullanarak açıklayalım. Şekilde dört farklı üretim düzeyi (eş ürün eğrisi) ve harcama düzeyi (eşmaliyet doğrusu) dikkate alınmıştır. Örneğin 25 birim çıktı elde edebilmek için gereken en düşük maliyet düzeyini belirlemeye çalışalım.
16 25 birim ürünü, 100 birim harcamayla elde edemeyiz. 700 birim harcama ile (α ve β noktaları) ya da 600 birim harcama ile (ε ve λ noktaları) elde etmek olanaklıdır. Ancak bunların her ikisi de en düşük maliyet düzeyleri değildir. 500 birim harcama düzeyini gösteren eşmaliyet eğrisi, en düşük harcama düzeyini göstermektedir.
Şekil 4.5. Çıktı Genişleme Çizgisi 17 K a B 5 1 0 e f y 4 20 100 500 t 600 A Çıktı Genişleme Çizgisi 50 birim çıktı 36 birim çıktı l 700 15 birim çıktı β 25 birim çıktı L
Optimal girdi kullanım düzeyi, eşmaliyet eğrisinin eşürün eğrisine teğet olduğu noktada belirlenmektedir. Yukarıdaki şekilden, optimal girdi kullanımının 5 birim sermaye, 20 birim işgücü bileşimi olduğu görülüyor. 18 Şimdi optimal girdi bileşimini matematiksel olarak görelim. Bunun için üretim düzeyi veriyken, harcama düzeyini (eşmaliyet fonksiyonunu) minimize etmeye çalışacağız. Aşağıda Lagrange fonksiyonu kurulmuş, birinci sıra koşullar elde edilerek, optimal girdi kullanım kuralı elde edilmiştir.
19 ( ) 0 ( K, L) = rk + wl +λ U U( K, L) U U = r λ = 0 r =λ K K K U U = w λ = 0 w =λ L L L w r MP L = = MP K MRTS KL λ = U U( K, L) = 0 0
20 Şimdi ekonominin tümünde tam rekabetçi piyasa varsayımı altında, örneğin yurt dışından büyük miktarda bir sermaye girişi gerçekleşirse, bozulan optimal dengenin nasıl işleyeceğine bakalım. Büyük miktarda sermaye gelişi faiz oranlarını düşürür, dolayısıyla göreli girdi fiyatları (w/r) artar. Böyle bir durumda girişimci açısından hem ikame hem de gelir etkisi oluşur. Girişimci, göreli olarak pahalılaşan işgücü yerine sermaye ikame ederek, aynı üretim düzeyini bir öncekinden daha düşük harcama ile gerçekleştirebilir. Şekil 4.6 dan da değişimi görebiliriz. r w r w r MP L L > MP K K L MP MP K w r = MP MP L K
Şekil 4.6. DışD ışsal Şokların n Firma Dengesine Etkisi 21 K A A A K 2 K 1 U 0 0 L 1 L 2 B B L
22 Yukarıda veri üretim düzeyini elde etmek için en düşük maliyet düzeyini veren girdi bileşiminin nasıl belirlendiğini gördük. Eğer her bir üretim düzeyine karşılık gelen en düşük maliyet düzeylerini koordinat eksenine işaretlersek, uzun dönem maliyet fonksiyonunun grafiğini elde ederiz. Bu eğri maliyetçıktı uzayında, üretim genişleme çizgisinin bir başka görüntüsüdür (Şekil 4.7).
Şekil 4.7. Toplam Maliyet Eğrisi E 23 Toplam Maliyet 700 t 500 f 100 y 15 25 50 q
Bir üretici kısa dönemde çalışıyorsa, üretim girdilerinden en azından biri sabit olduğundan, uzun dönemdeki gibi girdileri optimal bileşime ayarlama esnekliğine sahip değildir. Böyle bir durumda üretici, değişken girdiyi, istenilen üretim düzeyini gerçekleştirebilecek olan en az düzeyde ayarlayarak optimal girdi bileşimini belirler. Bunu Şekil 4.8 yardımıyla görebiliriz. Burada işgücü değişken, sermaye sabit girdilerdir. Bu nedenle 24 üretimde kullanılan sermaye miktarı CC yatay eğrisiyle belirtilmiştir.
Şekil 4.8. Kısa K Dönemde D Optimal Üretici Davranışı 25 K B B A A K a b c d = C C b a 200 300 400 0 100 A A B B L
26 Örneğin 100 birimlik üretim yapabilmek için kısa dönemde kullanılacak optimal girdi bileşimi a noktasıdır. Bu noktada eşmaliyet ve eşürün eğrilerinin teğet olmadıklarına dikkat ediniz. Yani uzun dönemdeki optimal girdi bileşimi denge koşulu yerine gelmemektedir. Eğer üretici uzun dönemde çalışıyor olsaydı, a noktasına karşılık gelen girdi bileşimini kullanabilecekti.
27 Bu durumda her iki girdi de değişkendir ve optimal girdi bileşim koşulu da yerine gelmektedir. Kısa dönem maliyeti genellikle uzun dönem maliyetinden yüksektir. Bu şekildeki üretici için kısa dönem maliyet fonksiyonu, her bir üretim düzeyi için katlanılan a, b, c ve d maliyet düzeyleri ile belirlenir.
Belirli bir miktar ürün elde etmek için girdilerin oranı tanımlanmışsa (sabitse), buna Leontief üretim fonksiyonu diyoruz. Örneğin 1 birim çıktı elde etmek için 1 birim sermaye ve 6 birim işgücü kullandığımızı varsayalım. Yani sermaye ve 28 işgücü 1/6 oranında kullanılmalıdır. Bu ifadeyi matematik biçimiyle şöyle yazabiliriz: 1 Q = min(1 Sermaye, İşgücü) 6
Şekil 4.8. Leontief Tipi Üretim SüreciS 29 K 3 2 1 D A E 3 Birim Çıktı C 2 Birim Çıktı B 1 Birim Çıktı 0 6 8 12 18 L
Şekil 4.8 de eşürün eğrileri Leontief tipi teknolojiyi yansıtacak 30 şekilde L biçimlidir. Bu tür bir eşürün eğrisi, belirli bir ürünü elde etmenin tek bir yolu olduğunu göstermektedir. A, C ve E noktalarındaki girdi bileşimleri, K/L=1/6 üretim tekniğinin olanaklı olduğunu, sermaye ve işgücü arasında hiçbir ikamenin bulunmadığını vurgulamaktadır. Örneğin sermaye 1 birimken işgücü kullanımını 8 birime çıkartsak, üretim miktarı değişmeyecektir. Yani 1 birimdir.
Bir başka anlatımla, Leontief tipi eşürün eğrisi boyunca marjinal teknik ikame oranı sıfırdır. İşgücü kullanımı 6 birimden 8 birime çıkmasına rağmen, işgücünün marjinal verimliliği değişmeden kalmıştır. Daha çok ürün elde etmek istiyorsak, 1/6 oranını koruyacak şekilde her iki girdiyi birlikte artırmalıyız. Bu anlamda Leontief üretim fonksiyonu, ölçeğe göre sabit getirilidir. Girdileri iki katına çıkarırsak, üretim de iki kat artmaktadır. Leontief üretim fonksiyonu, sıfır ikame esnekliğine sahiptir. Sermaye ve işgücü arasında ikame olanaksızdır. 31
Leontief üretim fonksiyonunun ne tür bir maliyet fonksiyonuna yol açtığı görebilmek için, bir önceki aşamada kullandığımız maliyet fonksiyonu oluşturma yöntemini uygularız. Bunu aşağıdaki şekil yardımıyla izleyebiliriz. Şekilde her bir üretim düzeyini elde edebilmek için gereken en düşük maliyet düzeylerini gösteren eş maliyet eğrileri, eşürün eğrilerine (A, B ve C gibi köşe noktalarında) teğet çizilmiştir. Ancak bu teğet noktalarında, temel denge koşulu sağlanamamaktadır. Temel denge koşulu şöyleydi : 32 w r MP L = = MP K MRTS KL
Şekil 4.9. Leontief Tipi Üretim Süreci S ve Maliyetler 33 K 3 2 B C 3 Birim Çıktı 2 Birim Çıktı 1 A 1 Birim Çıktı 0 6 12 18 L
A, B, C noktalarında temel denge koşulu sağlanmadığından, optimal girdi bileşimini belirleyebilmek için, A noktasının 34 solundan sağına hareket ederek MRTS değerine bakacağız. A nın solunda eşürün eğrisi dik olduğundan MRTS değeri sonsuz; sağında yatay olduğundan sıfırdır. A noktası için şu genel sonucu üretebiliriz: MRTS Anın ' Sağı w < < r MRTS Anın ' Solu
A, noktasında her girdinin birim değeri 20 $ ise, bir birim çıktı 35 elde etmenin maliyeti 6(20)+1(20)=140 dır. Dolayısıyla B noktasında da 280 birimdir. Üretim genişleme çizgisinin doğrusal, ölçeğe göre getirinin sabit olduğuna dikkat edelim. Bu nedenle, girdilerin (harcamanın) iki katına çıkarılması, üretimi de iki kat artırmaktadır. Yani Leontief üretim fonksiyonundan elde edeceğimiz maliyet fonksiyonu da doğrusaldır(şekil 4.19).
Şekil 4.10. Leontief Tipi Üretim Süreci S ve Toplam Maliyetler 36 Maliyet Maliyet Fonksiyonu 0 q
Leontief üretim fonksiyonunun, tek üretim tekniğinin kullanımına izin verdiğini gördük. Buna karşın Cobb-Douglas üretim fonksiyonu, veri üretim düzeyini elde etmek için sonsuz üretim tekniğinin kullanılabilmesine olanak sağlamaktadır. Genel olarak Cobb-Douglas üretim fonksiyonunu şöyle 37 yazabiliriz : Q = AK α L β, α> 0, β> 0 Örneğin 9 birim işgücü, 1 birim sermayeye sahipsek ve α=1/2, β=1/2, A=2 ise; 12 12 Q = 2(1) (9) = 6
Şekil 4.11. Cobb-Douglas Üretim Fonksiyonu ve Kayıts tsızlık k EğrisiE 38 K B(1,9) A(9,1) C(81,1/9) 6 Birim Çıktı 0 L
Şekil 4.11 de eşürün eğrisi Cobb-Douglas üretim fonksiyonuna 39 göre çizilmiştir. Bu eşürün eğrisi, 6 birimlik üretim miktarının sonsuz üretim tekniği, yani sermaye-işgücü bileşimi ile üretilebileceğini söylemektedir. Biz burada yalnızca üç tane örnek nokta aldık. B noktasında 1 birim işgücü, 9 birim sermaye kullanarak 6 birim ürün elde edebiliyoruz. Aynı şekilde A ve C noktalarındaki girdi bileşimlerini de kullandığımızda 6 birim üretim yapabiliriz.
Yukarıda ele aldığımız örnek Cobb-Douglas üretim fonksiyonu 40 ölçeğe göre sabit getiriye sahiptir : α+β=1. Yani girdi miktarlarını iki katına çıkarırsak, üretim de iki kat artacaktır. Cobb-Douglas üretim fonksiyonu, homotetik üretim fonksiyonlarına bir örnektir. Bir homotetik üretim fonksiyonunda girdileri l ölçüsünde artırdığımızda, üretim de l ölçüsünde artar.
41 Q = α AK L β = λ λ =λ λ * α β * α β α β Q A( K) ( L) Q AK L =λ =λ * α+β α β * α+β Q AK L Q Q Q
Şekil 4.12 de, farklı parametrelere sahip olan Cobb-Douglas 42 üretim fonksiyonları a, b, c grafiklerinde, bunlara karşılık gelen maliyet fonksiyonları da d, e, ve f grafiklerinde çizilmiştir. A grafiğinin ölçeğe göre sabit getiri, b grafiğinin artan getiri, c grafiğinin de azalan getiriye sahip olduğuna dikkat ediniz.
43 Ölçeğe göre sabit getiri durumunda girdileri (harcamayı) iki katına çıkarttığımızda, üretim de aynı ölçüde artmaktadır. Yani üretim miktarı ile maliyet arasında sabit ve doğrusal bir ilişki vardır. B grafiğinde ise üretim, girdi artışından daha hızlı arttığından, maliyetler üretim artışından yavaş gitmekte, c grafiğinde de bunun tam tersi bir durum yaşanmaktadır.
Şekil 4.12. Farklı Getiri Durumlarında Cobb- Douglas Üretim Fonksiyonu ve Toplam Maliyetler 44 K Üretim Genişleme Çizgisi K Üretim Genişleme Çizgisi K Üretim Genişleme Çizgisi 18 9 0 B A 18 9 18 (a) 36 L 18 9 0 B A 9 18 (b) 54 152.75 L 18 9 0 B A 9 18 (c) 10.3 9 17.47 L Maliyet Maliyet Maliyet 0 q 0 q (d) (e) 0 (f) q
Bir üretici niçin sermaye ve işgücünü birbirine ikame etmek ister? Bunun yanıtı, girdilerin göreli fiyatlarında yatmaktadır. Örneğin sermaye işgücüne göre daha pahalı bir girdi haline dönüşürse, üretici daha çok işgücü kullanımına yönelir. İkame esnekliği, göreli girdi fiyatlarındaki değişme karşısında, girdilerin birbirlerini ne ölçüde ikame ettiklerini gösterir. Bu 45 kavramı daha önce açıklamıştık. İkame esnekliğini şöyle gösterebiliriz : ( K L) ( K L) σ= ( wr) ( wr)
46 Bir üretici kısa dönemde hem sabit hem de değişken maliyetlere sahiptir. Sabit maliyetler, üretimin sabit girdilerinin yol açtığı maliyetlerdir ve üretim miktarından bağımsızdır. Kısa dönemde sermaye malları (binalar, makineler) sabit olduğundan, bunlara yapılan harcamalar sabit maliyetleri oluşturur.
Değişken maliyetler, üretimin değişebilen girdilerinin yol açtığı 47 maliyetlerdir ve üretim miktarının bir fonksiyonudur. Kısa dönemde işgücü değişken girdi olduğundan, işgücü kullanımı için yapılan harcamalar değişken maliyetleri oluşturur. Şekil 4.13a uzun dönemde ve 4.13b kısa dönemde üretim miktarındaki değişmeyi göstermektedir.
Şekil 4.13a. İki Girdi ve Üretim Fonksiyonu 48 q B K A L 0
Şekil 4.13b. İki Girdi ve Üretim Fonksiyonu 49 q C Sermaye veriyken toplam üretim eğrisi B A 0 L
50 Şekil 4.14 de kısa dönem toplam maliyet fonksiyonu çizilmiştir. Bu fonksiyonda sermaye miktarı sabitken, veri üretim miktarlarını elde etmenin toplam maliyeti gösterilmiştir. Üretici yalnızca sermaye malı istihdam etmişse, henüz üretim yapamayacağından, yalnızca sermaye malı harcaması kadar bir toplam maliyete katlanacaktır.
51 0A ile belirtilen bu kısma, toplam sabit maliyet diyoruz. q arttıkça, TC nin değişen kısmı da toplam değişken maliyeti göstermektedir. Buna göre kısa dönem d toplam maliyet (STC),( toplam sabit (TFC)( ) ve değişken (TVC)( ) maliyetlerin toplamıdır diyebiliriz. TC = TFC + TVC
Şekil 4.14. Toplam Maliyet Fonksiyonu 52 Toplam Maliyet (STC) TC 1 a b c d e A 0 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q
Şekil 4.15. Kısa K Dönem D Ortalama ve Marjinal Maliyetler 53 AC MC SMC SAC e d 0 q 4 q 5 q
MC ve AC eğrileri arasındaki ilişki: 54 TC = AC. q, AC = AC( q) dtc d( AC. q) dq dac = = AC + q dq dq dq dq dac MC = AC + q dq AC > 0, q > 0 ise dac dq dac dq dac dq < 0 MC < = 0 MC = > 0 MC > AC AC AC
Kısa dönem toplam maliyet fonksiyonunun her iki yanını q ile bölelim: 55 TC TFC TVC = + q q q SAC SAFC SAVC Kısa dönem ortalama maliyet, ortalama sabit maliyet ile ortalama değişken maliyetin toplamına eşittir.
Ortalama maliyet, birim ürün başına düşen maliyettir. Kısa dönem toplam maliyeti ürün miktarına bölerek, kısa dönem ortalama maliyeti elde ederiz. 56 AC = TC q AC yi grafik olarak şöyle belirleriz. Orijinden çıkan ve üretim fonksiyonunu kesen her bir doğrunun eğimi (TC/q) bize ortalama maliyeti (AC) verir. Dikkat edilirse AC, e noktasına kadar (yani q 5 üretim düzeyine kadar) azalmakta, q 5 üretim düzeyinde en düşük değerini almakta ve bundan sonra artmaktadır.
Şekil 4.16. Kısa K Dönem D Ortalama Maliyetler 57 Maliyet SAC SAVC d c b a SAFC 0 15 q
Marjinal maliyet, üretim miktarını Dq kadar artırmanın karşısında toplam maliyette meydana gelen artıştır. 58 MC TC = q Dq sonsuz küçüklükte değişime uğrarsa, marjinal maliyeti şöyle ifade etmemiz gerekir : MC TC = lim = q 0 q dtc dq
İyi huylu bir üretim fonksiyonu ile çalışılıyorsa, marjinal 59 maliyet (MC), TC nin q ya göre birinci sıra türevi alınarak belirlenir. MC yi grafik üzerinde belirlemek için, her bir üretim düzeyinde TC ye teğet olan doğrunun eğimini ölçeriz. Dikkat edilirse, bu teğetlerin eğimi önce giderek azalmakta, q 4 üretim düzeyinde en düşük değerine ulaşıp, sonrasında artmaktadır. Hem SAC hem de SMC eğrileri, U biçimli eğrilerdir.
Şimdi de toplam maliyet fonksiyonunun her iki yanının q ya 60 göre birinci sıra türevini inceleyelim : dtc dtfc dtvc = + dq dq dq dtc dq dtvc = = dq S MC TC nin ya da TVC nin q ya göre birinci sıra türevleri, kısa dönem marjinal maliyeti (SMC) verir.
Örnek firmanın kısa dönem toplam maliyet fonksiyonunun aşağıdaki gibi olduğunu düşünelim. Buradan hareketle diğer tüm maliyetleri belirleyelim ve grafikle gösterelim. 61
Şekil 4.17a. Kısa K Dönem D Toplam Maliyet 62 STC 3 2 STC q q q = 15 + 100 + 540 0 q
Şekil 4.17b. Kısa K Dönem D Ortalama Maliyet 63 3500 3000 2500 2 540 SAC = q 15q + 100 + q 2000 1500 1000 500 10 20 30 40 50 60 q
Şekil 4.17c. Kısa K Dönem D Marjinal Maliyet 64 200 SMC = q q + 2 3 30 100 150 100 50 2 4 6 8 10 12 14 q
Yukarıda üretici için kısa dönemde sermayenin sabit bir girdi 65 olduğunu gördük ve maliyet fonksiyonlarını da bu varsayım altında inceledik. Her bir sabit girdi (sermaye) düzeyi için, bir kısa dönem maliyet fonksiyonu oluşacaktır. Üretici, üretmeyi istediği her bir miktar için, toplam maliyetini en düşük kılan sermaye yatırımını ayarlayacaktır. Uzun döneme geçildiğinde, tüm girdiler değişken hale gelecektir. Aşağıdaki şekilde üç tane kısa döneme ilişkin toplam maliyet fonksiyonları çizilmiştir.
66 Birinci kısa dönemde 5, ikincisinde 10, üçüncüsünde 15 birim sermaye malı kullanılmıştır. q 1 miktar üretim düzeyine kadar 5 birim sermaye malı kullanmak, diğerlerine göre daha ucuzdur.
Şekil 4.18. Uzun Dönem D Toplam Maliyet 67 Kısa Dönem STC TC 3 TC 2 TC 1 z Uzun Dönem TC y (LTC) x 0 q 1 q 2 q
Her bir üretim düzeyi için hangi kısa dönemde (ölçekte) 68 çalışılacağı, veri üretimin en düşük maliyetle gerçekleştirildiği ölçek büyüklüğü belirlemektedir. Yukarıdaki şekilde bunu q 1 üretim düzeyine kadar birinci kısa dönemdeki ölçek büyüklüğü sağlamakta, q 1 -q 2 üretim aralığında ikinci dönem, q 2 den daha yüksekteki üretim düzeyleri için üçüncü dönemde oluşturulan ölçek büyüklüğü tüm olası dönemler içerisinde toplam maliyeti en düşük hale getirmektedir.
Her bir üretim düzeyi için toplam maliyeti en düşük kılan maliyet eğrilerini kullanırsak, Şekil 4.18 deki uzun dönem maliyet eğrisini (sarı renkli) elde etmiş oluruz. 69 Yukarıdaki yaklaşımı kullanarak, uzun dönem ortalama maliyet (LAC) eğrisini de belirleyebiliriz.
Şekil 4.19. Uzun Dönem D Ortalama Maliyet 70 SAC SAC 2 SAC 3 SAC 1 Uzun Dönem AC (LAC) 0 q 1 q 2 q
Uzun dönemde, veri bir üretim düzeyini elde etmenin toplam 71 maliyeti, kısa dönemdekinden daha büyük olamaz. Çünkü kısa dönemde kullanabilme olanağına sahip olduğumuz herhangi bir sermaye-işgücü bileşimini, uzun dönemde de kullanabiliriz. Uzun dönemde, veri bir üretim düzeyini elde etmenin toplam maliyeti, kısa dönemde aynı ürün miktarını olanaklı en düşük maliyetle elde etmektir.
72 Bu anlamda uzun dönem toplam maliyet eğrisi, her bir üretim düzeyi için tüm olası kısa dönem toplam maliyetlerinin en düşük olan değerlerinden oluşmaktadır. Şekil 4.19 da örnek olarak yalnızca üç kısa dönem incelenmiştir. Dönem sayısını artırdığımızda, LTC nin genel görüntüsü, STC ye benzeyecektir.
Uzun dönem marjinal maliyetin (LMC) türetilmesi, kısa dönem 73 marjinal maliyetin (SMC) türetilme yaklaşımıyla aynıdır. SMC, SAC yi minimum noktasında kestiği gibi, LMC de LAC yi minimum noktasında keser. Bu durum aşağıdaki şekille gösterilmiştir. Kısa dönem ortalama maliyetin uzun dönem ortalama maliyete eşit olması durumu, marjinal maliyet için de geçerlidir. Küçük üretim miktarlarında LMC, SMC den büyüktür. Büyük üretim miktarlarında ise bunun tam tersi doğrudur.
Şekil 4.19. Uzun Dönem D Marjinal Maliyet 74 Maliyet SAC 1 SAC2 SMC 1 SAC 3 SMC 2 LMC SMC 3 0 q
75 Şekil 4.20 de q 1 üretim düzeyini dikkate alalım. Bu üretim düzeyinde LAC eğrisi, SAC 1 eğrisine teğettir (A noktası). Aynı üretim düzeyinde LMC ile SMC de eşittir (A noktası). q 1 üretim düzeyinin altındaki üretim miktarlarında LAC>SAC 1 ve LMC>SMC 1 ; dir. q 1 üretim düzeyinin üzerindeki üretim miktarlarında LAC<SAC 1 ve LMC<SMC 1 dir. Uzun ve kısa dönem marjinal maliyet eğrileri arasındaki bu ilişkiyi daha iyi anlayabilmek için, aşağıdaki eşürün ve eşmaliyet eğrilerinden yararlanalım.
Şekil 4.20. Uzun Dönem D Marjinal Maliyet 76 Maliyet SAC 1 SAC 2 LAC A SMC 1 SAC 3 SMC 2 SMC 3 LMC A 0 q 1 q
Şekil 4.21 e göre üreticiyi kısa dönemde düşünelim. Üretici 77 K kadar sabit sermaye kullanarak üretim yapacaktır. Ancak işgücü miktarını artırarak, üretim miktarını artırabilir. Üretim genişleme çizgisi A D yatay çizgisidir. Üretici, miktar sermaye ve L 1 miktar işgücü kullanarak, q miktar üretim yapabilir. Bu girdi bileşimi hem kısa hem de uzun dönem optimal girdi bileşimidir. Bu noktada uzun dönem ile kısa dönemin toplam ve ortalama maliyetleri eşittir. Bu durum Şekil 4.20 de A noktasıdır. K
Üretici üretimini q düzeyinden q düzeyine çıkartmak isterse, her iki girdiyi de artırmak zorundadır. Ancak elimizde kadar sermaye olduğundan, yalnızca işgücü miktarını artırmamız K 78 gerekir. Bu durum, q düzeyinden az üretim düzeylerinde SMC nin LMC den neden küçük olduğunu açıklamaktadır. q üretim düzeyinden q * a geçersek, uzun dönemde sermaye de değişken faktör olacağından, optimal girdi bileşimi C noktasında oluşur.
79 Bu durumda 3 numaralı eşmaliyet eğrisine göre harcama yapmış oluruz. Ancak kısa dönemdeysek, sermaye sabit K olduğundan düzleminde D noktasına hareket ederiz ve 4 numaralı eşmaliyet eğrisi düzeyinde bir maliyete katlanırız. Bu nedenle, q den daha büyük üretim düzeylerinde SMC, LMC den büyüktür.
Şekil 4.21. Uzun Dönem D Marjinal Maliyet 80 K K A C D q q* q 0 L 1 L
81 Bir maliyet fonksiyonu, veri bir üretim düzeyinin en düşük maliyetle elde edilmesinin matematiksel ifadesidir. Üreticinin Cobb-Douglas tipi bir üretim fonksiyonuyla çalıştığını ve toplam sabit maliyetinin bulunmadığını varsayalım. Maliyet fonksiyonunu elde edebilmek için, üretim kısıtı altında toplam girdi harcamalarını minimize etmeye çalışırız. Bu problemi aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz : Amaç Fonksiyonu : ( K, L) ( + ) Min rk wl Kısıt t Fonksiyonu : q = AK α L β
Bu problemin Lagrange fonksiyonu şöyledir : 82 = ( rk + wl) +λ q AK α L β Birinci sıra koşullar : K L α 1 β = r λα AK L = λ = w AK L α β 1 = λβ = λ = 0 0 α 1 αak L r α βak L w β β 1 w r β = α K L λ = q AK L = 0 q = AK L α β α β
83 Birinci sıra koşulun üç denklemini kullanarak, K ve L yi çözersek: K * 1 ( α+β) ( α+β) q α w = A β r β L * 1 ( α+β) ( α+β) q β r = A α w α
Yukarıda bulduğumuz K ve L değerlerini, eşmaliyet denklemindeki yerine yazarak düzenlersek, toplam maliyet fonksiyonuna ulaşırız : 84 TC( q) = rk + wl * * 1 β 1 q α w q β r TC( q) = r w A + β r A α w ( α+β) ( α+β) ( α+β) ( α+β) α
Yukarıda bulduğumuz toplam maliyet fonksiyonu her iki girdiyi de değişken varsaydığı için, uzun dönemlidir. Şimdi de sermayeyi sabit kabul ederek (yalnızca işgücü değişken), kısa dönemdeki toplam maliyet fonksiyonunu belirleyelim. Bunun için yukarıdaki matematiksel çözümün aynısını kullanacağız. 85 Amaç Fonksiyonu : ( L) ( ) Min rk + wl Kısıt t Fonksiyonu : q = AK α L β
Bu problemin Lagrange fonksiyonu şöyledir : 86 ( ) = rk + wl +λ q AK α L β Birinci sıra koşullar : L α β 1 = λβ = w AK L 0 α β α β * q = q AK L = 0 q= AK L L = α λ AK 1 β
87 Kısa Dönem Toplam Maliyet Fonksiyonu : STC ( q) = rk + wl q STC ( q) = rk + w α AK * 1 β Sabit Maliyet Değişken Maliyet
88 Şimdi de sırasıyla kısa dönem ortalama ve marjinal maliyetleri bulalım. SAC( q) q w STC( q) rk AK = = + q q q α 1 β SAC( q) 1 β rk w β = + q 1 q β ( α AK ) SMC( q) STC q = = 1 β ( ) 1 w β q 1 q β β ( α AK )
Örnek: Optimal istihdam ve üretimin belirlenmesi. 89 Toplam sabit maliyeti TFC=85 birim olan bir firmanın elinde 1300 birim tutarında bir toplam finansman olanağı vardır. Üretim faktörlerini saat başına r=30 ve w=5 birim fiyattan istihdam eden bu firmanın üretim fonksiyonu da şöyledir: q = 4K L 0.4 0.2 TC = TFC + TVC TVC = TC + TFC = 1300 85 = 1215 TVC = rk + wl 1215 = 30K + 5L
90 [ ] = qkl (, ) +λ TVC rk wl [ ] 0.4 0.2 = 4K L +λ 1215 30K 5L K L λ 0.6 0.2 = 1.6K L 30λ = 0 = K L λ = K = L = q = 0.4 0.8 0.8 5 0 27, 81, 36 = 1215 30K 5L= 0