GENİŞLETİLMİŞ GERÇEL SAYILARDA LİMİT R = Q I küsin Rl Sayılar Küsi dniliyor. Rl Sayılar Küsid; = Tanısız v = olduğunu biliyorduk. -- R = R { -, + } gnişltiliş grçl sayılar küsind: li = -, - = -, li = + v + = + - + li =, =, li = v - - + = + f fonksiyonun a noktasında liiti d olası dk ; li f = li f = d a- a + li f = d a olası dktir. Yani ; b = c = d f fonksiyonun a noktasında liiti d olaası dk ; li f li f d li f d olası dktir. Yani ; a- a + a b c d li f liiti a noktasında yoktur. a LİMİTTE BİLİNMESİ GEREKEN TEOREMLER c R olak üzr ; li c = c a li f = li f a a li f() c R olak üzr ; li c f = c a a n çift doğal sayı olak üzr ; f için : li n f() = n li f() a a n tk doğal sayı olak üzr ; li n f() = n li f() a a li log f = log li f a b b a SOLDAN LİMİT: li f = b a - SAĞDAN LİMİT: li f = c a +
SIKIŞTIRMA (SANDVİÇ TEOREMİ ) R 'dn R'y f,g,h fonksiyonları vriliyor. R için f g h v li f = li h = b oluyorsa ; a a li g = b olacağı aşikardır. a Doyurucu Örnk : li.sin kaçtır?.sin -.sin Sandviç torin gör ; li = li.sin a a li = li.sin = -- - = önrsinin doğruluğunu ispatlayınız. li İspat : - - - li = = = L'hospital uygulanırsa, - - li = li = = li = TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN ÖRNEKLENDİRME LİMİTLERİ : sin sina a sina li sin = sina li = li = li = li = a a a a sin sinb b sin li cos = cosa a cosa li tan = tana a sina li cot = cota a tan sin a sina a li = li = li = li = 3 3 sina tanb b
-3- sin - li sin + tan - cot + li - li sin 6 - li sin - ifadnin dğri kaçtır? li sin + tan - cot = li sin + li tan - li cot 6 6 6 6 O O O = sin3 + tan3 - cot6 = O O = + cot6 - cot6 sin sin sin li = li = li sin sin sin sin. sin li = sin sin li. li =. =
- li = - - + - li = li = li. li + sin - sin - sin - =. + =. = sin - li sin + tan - cot + li - li sin +- 6 = - li sin - = = 4-4- b li a +b+c = a li + + + a b li a +b+c = - a li + - - a Doyurucu Örnk : li - -4+5 ifadsinin dğri kaçtır? + li - -4+5 = - blirsizliği söz konusu. + + olduğu için: 4 li - -4+5 = li -. - + + = li -. - + = li -+ + = li + =
Doyurucu Örnk : li 6-8+9-6 +4-7 ifadsinin dğri kaçtır? - li 6-8+9-6 +4-7 = - blirsizliği söz konusu. - + olduğu için: li 6-8+9-6 +4-7 = li 6-8+9 - li 6 +4-7 - - - 8 8 li 6-8+9 = - 6 - = -4 - = -4 + - 3 3 8 4 li 6 +4-7= - 6 - = -4 + = -4 - - 3 3 Yani, li 6-8+9-6 +4-7 = -4 + - -4 - = -4 + + 4 + - -5- = 3 TEOREM : - < a < için li a = +
BELİRSİZLİĞİ v li u.v li u =, li v = olak üzr, li +u = 'dir. Doyurucu Örnk : + - li ifadsinin dğri kaçtır? + + + - li = + + olduğuna gör, - 3 3 = - şklin çvrilir.daha sonra, u = - + + + v v =+ şklin dönüştürülür. -3-3-6 li u.v = li.+ = li = -3 + + Aşikardır ki ; + + - li u.v - li = li = + + + -3 + -6- f() li = halini aldığı zaan, pay v payda çarpanlara ayrılır.ortak çarpan yok a g() dilrk blirsizlik gidrilir.sonra liit alınır. İfad köklü is, köklü kısıların şlniklri il ksir gnişltilir.köktn kurtulan kısı çarpanlara ayrılır.sadlştir yapılıp liit alınır. Türv konusu inclndiğind L'hospital kuralıylada liit hsaplanır. a li = halini aldığı zaan, bn n a a a li = li = li -n n n burada üç duru söz konusudur. b bn bn n.durum: a =n li a = b n n bn
-7-.DURUM: a <n li = bn n 3.DURUM: a >n li = + vya - bn n Liit hsaplarında li f() - g() = - vya li f() - g() = - il karşılanabilir. - için ksin bir şy söylndiğindn - blirsiz bir ifaddir. Bu blirsizlik gnllikl ya da blirsizliklrindn birin dönüştürdüktn sonra liit hsaplanır. a için a = - - a = - a = = = a = a a 5 li 4- - 4 ifadnin dğri kaçtır? 5 5 5 5 li = = li = - 4- - 4 4-4 4- - 4 a a,a R için = TANIMSIZ olduğunu biliyoruz. 4 - < 4-4 < dk ki ; - 4 farkı çok küçük bir ngatif sayıdır. 5 5 5 Bu ndnl li - = = - = - olacağı aşikardır. 4-4 4-4
f = -3. +4 fonksiyonu vriliyor. Buna gör ; f() fonksiyonunun = 3 noktasındaki soldan liiti kaçtır? 3-3 = için Kritik nokta 3 olduğu aşikardır. -8- fonksiyonu vriliyor. li -+3. +4 = li -+3. li +4 - - - = -3+3. 3 +4 f = -+3. +4 3 3 3 =. 9+4 =.3 = 4 - li sin ifadnin dğri kaçtır?
-9- - - li = li = blirsizliği var. sin sin olduğunda - dır. - = y alınırsa = + y v için y olacağı aşikardır. - y y y li = li = li = - li sin sin + y - siny siny Yani, - li = - sin 5 sin - sin3 li 3-3 ifadnin dğri kaçtır? sin - sin3 sin3 - sin3 li = li = blirsizliği var. 3-3 3 3-3 - 3 + 3 sin - sin3 =.sin.cos 'dn yararlanarak vriln ifadnin liiti hsaplanaya çalışılır. -3 +3-3.sin.cos.sin sin - sin3 +3 li = li = li. li cos 3-3 3-3 3-3 3 ayrıca, - 3 = t alınırsa 3 için - 3 t olacağı aşikardır. Buna gör ; sin - sin3 li 3-3 -3 t sin sin +3 +3 =. li. li cos =. li. li cos 3-3 3 t t 3 3+3 =..cos = cos3
6 -- Yandaki şkild f() parçalı fonksiyonun grafiği vriliştir. Buna gör ; 'in -,, v noktalarındaki var olan liitlrinin çarpıı kaçtır? li f = - - v li f = - + Aşikardır ki ; li f = li f = li f = - - - + - li f = 5 - v li f = 7 + Aşikardır ki ; li f li f li f = YOKTUR - +
-- li f = 5 - v li f = 5 + Aşikardır ki ; li f = li f = 5 li f = 5 - + li f = - v li f = + Aşikardır ki ; li f = li f = li f = - +