Örnek 3-9*: 5 mm çapında çok uzun bir çubuğun bir ucu T b =100 C sabit sıcaklıkta tutulmaktadır. Çubuğun yüzeyi T =25 C de ve ısı transfer katsayısı (h) 100 W/m 2 K olan çevresindeki hava (air) ile temastadır. 1. Farklı malzemelerden imal edilen çubuklardaki sıcaklık dağılımlarını bulunuz ve karşılaştırınız: Saf bakır (k=398 W/m K), 2024 alüminyum alaşım (k=180 W/m K) ve AISI 316 paslanmaz çelikten (k=14 W/m K) 2. Sonsuz uzunluk kabul edilebilmesi için çubuklar ne kadar uzunlukta olmalıdır? Resim 1 Kabuller: 1. Kararlı hal 2. Çubuk boyunca bir boyutlu iletim 3. Sabit özellikler 4. Işınım (radiation) ile ısı transferi ihmal 5. Isı transfer katsayısı sabit 6. Sonsuz uzunlukta çubuk *Bergman, T. L., Lavine, A. S., Incropera, F. P., Dewitt, D. P. (2011), Fundamentals of Heat and Mass Transfer (7th ed.): Chapter 3, USA: John Wiley & Sons, Inc. 2
ÇÖZÜM: 1. Excel ve Formül kullanarak sıcaklık dağılımının elde edilmesi ve grafiğe dökülmesi: h p x T(x) = T + (T b T ) k A c DDDDDDD 3. 88 Denklem 3.84 te görüldüğü üzere Sıcaklık (T) çubuk boyunun (x) bir fonksiyonu olarak verilmiştir. Bu denkleme göre bağımlı değişken sıcaklık ve tek bağımsız değişken ise çubuğun pozitif x ekseni boyunca uzunluğudur. Boş bir Excel çalışma sayfası açılır ve denklemde kullanılacak olan sabitler sayfanın bir noktasına yazılır. Dikkat edilecek olunursa ikinci satır boyunca H ile N sütunları arasında kullanacağımız sabitlerin kısaltmaları, üçüncü satırda aynı sabilerin değerleri, altıncı satır boyunca da bu sabitlerin birimleri yazılmıştır. Her bir farklı çubuk malzemesi için ısı iletim katsayıları (k) farklı olacağı için dört ve beşinci satırların L sütununa iki adet daha k değeri girilmiştir. Bu noktada kısaltmaları belirtmek gerekli (Resim 2): Resim 2 T : Havanın sıcaklığı T b :Çubuğun ısıtılan kısmının sıcaklığı h: Isı transfer katsayısı p: perimeter (çubuğun çevresi) k: Isı iletim katsayısı Dia: diameter (çubuğun çapı) A c : Cross sectional area (Çubuğun kesit alanı) 3
Şimdi A sütununu bağımsız değişken x in değişen değerlerini girmek için kullanacağız. Çubuğun boyunu pratikte sonsuz olarak kabul edemeyeceğimize göre L=500 mm olarak alalım ve x değerlerini sıfırdan itibaren 10 mm aralıklarla 500 mm ye kadar alalım. Bunu Excel de otomatik yapmak için öncelikle A sütununun ilk iki satırını 0 ve 0,01 değerleri girilir (Resim 3a). Daha sonra bu iki değerin olduğu iki hücre farenin sol tuşuna parmağımız basık kalır ve aynı anda ikisi de seçilir (Resim 3b). Seçimden sonra seçim çizgilerinin sağ-alt tarafında kalan siyah nokta üzerine fare getirilince kursör (farenin gösterdiği şekil) siyah bir artı işaretine dönüşür. Dönüştüğü noktada sol tuşa elimiz basık kalacak şekilde aşağıya doğru fareyi çektiğimiz zaman x değerlerinin otomatik olarak vermiş olduğumuz aralık miktarınca arttığı görülür ve x değeri 0,5 olana kadar fare aşağı çekilir (Resim 3c): (a) (b) (c) Resim 3 Şimdi denklemi B3 hücresinden başlayarak yazalım. B3 hücresi çift tıklanır ve = (eşittir) sembolü yazılır. Bu sembol kullanıcının hücre içerisine formül yazacağını Excel e anlatır. B3 hücresine aşağıdaki formül yazılır (Resim 4): =$H$3+($I$3-$H$3)*ÜS(-A3*KAREKÖK($J$3*$K$3/$L$3/$M$3)) Resim 4 4
Bu formülde kullanılan harfler sütunları, rakamlar ise satırları belirtir ki anlaşılacağı üzere her bir hücre (ya da kutucuk) bir harf ve rakamla belirtilir. Harfler ve rakamlar arasındaki dolar ($) işaretleri önüne gelen harfin ve rakamın formül kopyalanıp başka bir yere yapıştırıldığında değişmeyeceğini sağlar. Aksi takdirde Excel otomatik olarak kopyalanıp başka bir yere yapıştırılan bir formüldeki dolar ($) işareti ile sabitlenmeyen hücreleri değiştirecektir. Bu Excel formülünde dolar işareti kullanılmayan tek hücre x değerlerinin başlangıç hücresi olan A3 hücresidir. Burada dolar işareti kullanılmamasının sebebi, formül aşağıya doğru Resim 2 de anlatıldığına benzer bir şekilde kaydırılarak kopyalandığında değişecek değerin sadece x değerleri olmasını sağlamaktır (Şekil 3). Bu Excel formülünde ÜS( ) komutu parantez içerisindeki değerleri e üssü olarak hesaplanması için, KAREKÖK ( ) komutu ise parantez içerisindeki değerlerin karekökünü almak için kullanılmıştır. B3 hücresinden aşağıya doğru aynı sütun üzerinde inildikçe k=398 W/m K olan saf bakır çubuk boyunca sıcaklık değişimi Denklem 3.84 kullanılarak elde edilmiş olunacaktır. Diğer ısı iletim katsayıları için Excel formülündeki ısı iletim katsayısına denk gelen hücre değiştirilmelidir ($L$3 $L$4 ve $L$5) (Resim 5). Resim 5 Böylelikle Denklem 3.84 kullanılarak farklı ısı iletim katsayılarına sahip çubuklar üzerindeki sıcaklık dağılımlarını Excel yardımı ile elde etmiş olduk. Bu değerleri grafiğe dökmek için farenin sol tuşundan elimizi kaldırmadan A3 hücresinden başlayarak aşağıya kadar A53 hücresi de dahil olacak şekilde ve sağa doğru B, C ve D sütunlarının aynı satırlarını da aynı anda seçelim (Resim 6). Geçerli seçimi bozmadan yukarıdaki Ekle sekmesinden Grafikler Dağıtım grafiğini seçelim (Resim 7). Eğer yukarıdaki adımları doğru uygularsak Resim 8 deki gibi bir grafik elde etmiş oluruz. 5
Resim 6 Resim 7 Resim 8 6