Kavrama Soruları Bölüm 8: Potansiel Enerji ve Enerjinin Korunumu 1- Hızı olmaan bir cismin enerjisi varmıdır? 2- Hızı olan bir cismin potansiel enerjisinden bahsedilebilir mi? 3- Hangi durumlarda bir cisim üzerine apılan iş oldan bağımsızdır? 4- Ne zaman bir sistemin toplam mekanik enerjisi korunur? 5- Sürtünme kuvvetinden başka korunumsuz kuvvet var mıdır? Konu İçeriği Sunuş 8-1 Potansiel enerji 8-2 Korunumlu ve korunumsuz kuvvetler 8-3 Korunumlu kuvvetler ve potansiel enerji 8-4 Mekanik enerjinin korunumu 8-5 Korunumsuz kuvvetlerin aptığı iş 8-6 Korunumlu kuvvet-potansiel enerji ilişkisi Sunuş Bu bölümde, önce potansiel enerji tanımlanacak, korunumlu kuvvetler ve korunumsuz kuvvetler arasındaki farka değinilecektir. Daha sonra korunumlu kuvvet ile potansiel enerji arasında nasıl bir ilişki olduğu açıklanacaktır. Fizikte önemli bir kavram olan ve problem çözmede güçlü bir öntem olan enerjinin korunumuna değinilecektir. Korunumsuz kuvvetlerin aptığı iş tanımlandıktan sonra korunumlu kuvvet potansiel enerji ilişkisi verilecektir. Bölüm 8: Potansiel Enerji ve Enerjinin Korunumu, Hazırlaan: Dr. H.Sarı Güncel: Temmuz 2008 1/7
8-1 Potansiel Enerji Potansiel enerji, etkileşmekte olan parçacıkların oluşturduğu bir sistemde parçacıkların düzenlenişlerinden (konumlarından) dolaı sahip oldukları enerji olarak tanımlanabilir. Böle sistemlere düna üzerindeki kütleli parçacık (kütle çekim), aa bağlı bir kütle (kütle-a sistemi) örnek olarak verilebilir. Önceki bölümde (Bölüm 7) bir cismin hızından dolaı sahip olduğu enerjii de Kinetik Enerji olarak tanımlamıştık. Cisimlerin kinetik enerjisi hızla orantılıdır ve bütün cisimler için anıdır. Potansiel enerjinin formu ise etkileşen sisteme bağlıdır. Örneğin kütle-a sistemi ile kütle çekim potansiel enerjileri farklı ifadelere sahiptirler. Kütle Çekim Potansiel Enerjisi: Bir cismin üzerine etkien F g =mg kütle çekim kuvvetinin büüklüğü ile cismin üksekliğinin çarpımına kütle çekimi (erçekimi) potansiel enerjisi denir ve U g ile gösterilir. W=F g. =h U g = (mg).h =0 h mg Potansiel enerjinin birimi işin birimi ile anıdır ani Joule dür. Potansiel enerji de iş ve kinetik enerji gibi skaler bir niceliktir. Kütle çekim kuvvetinin bir cisim üzerinde aptığı işi bulmaa çalışalım. İş tanımı W=F.d F= -mgĵ d=( s - i )ĵ=dĵ i s mg U i d U s W g =F.d=(-mg).( s - i ) W g =-mg.( s - i ) mg U i = İlk potansiel enerji U s = Son potansiel enerji W g =U i -U s =-(U s -U i )= - ΔU g W g = - ΔU g Ktle-çekim kuvvetin cisim üzerinde aptığı işin, sistemin kütle çekim potansiel enerjisindeki değişimin negatifine eşittir. Esneklik Potansiel Enerjisi: Bölüm 8: Potansiel Enerji ve Enerjinin Korunumu, Hazırlaan: Dr. H.Sarı Güncel: Temmuz 2008 2/7
Yaa etkien kuvvet F= -k F Burada k: a sabiti : denge noktasından ölçülen er değiştirme Blok üzerinde apılan iş: =0 s s 1 2 1 2 1 2 2 =. =. = s ( i ) = ( s i ) 2 2 2 i i W F d k d k k k Bloğun ilk konumunu =0 denge konumundan ölçer isek, esneklik potansiel enerjisini U 1 k 2 Şeklinde tanımlaabiliriz. Bu anı zamanda ada depolanan potansiel enerjie eşittir. 2 8-2 Korunumlu ve Korunumsuz Kuvvetler Sürtünme Yok Sürtünme Var i h 1 2 g 1 2 U i ΔU s U s Kütle çekim kuvvetinin aptığı iş, cismin dike olarak düşmesine (1) a da eğik bir ol (2) bounca hareket etmesine bağlı değildir, ani aldığı oldan bağımsızdır sadece iki nokta arasındaki üksekliğe (h) bağlıdır. W g =U i -U s =mg.d Kütle çekim kuvveti, a kuvveti korunumlu kuvvetlerdir. Kuvvetlerin iki önemli özelliği vardır: i) Bir kuvvetin, herhangi iki nokta arasında hareket eden bir parçacık üzerinde aptığı iş, parcacığın aldığı oldan bağımsız ise kuvvet korunumludur. Eğer ortam sürtünmeli ise cismin son konuma nasıl götürüldüğü önemlidir. Çünkü ol uzar (2. ol > 1. ol) ise sürtünme kuvvetinin apacağı iş (W s =- f k.d), d oluna bağlı olarak artar. Sürtünme kuvveti korunumsuz bir kuvvettir. Kuvvetlerin iki önemli özelliği ise: i) Bir kuvvet, kinetik ve potansiel enerjilerin toplamı olarak tanımladığımız E mekanik enerjisinde bir değişime neden olur ise, bu kuvvet korunumsuzdur. Bölüm 8: Potansiel Enerji ve Enerjinin Korunumu, Hazırlaan: Dr. H.Sarı Güncel: Temmuz 2008 3/7
ii) Kapalı bir ol bounca korunumlu kuvvetin parcacık üzerinde aptığı iş sıfırdır. 8-3 Korunumlu Kuvvetler ve Potansiel Enerji Korunumlu bir kuvvetin bir parçacık üzerine aptığı iş, parçacığın aldığı ola bağlı değildir, alnızca parçacığın ilk ve son konumuna bağlıdır. Sonuç olarak öle bir U potansiel enerji fonksionu tanımlanabilir ki korunumlu kuvvet tarafından apılan iş sistemin potansiel enerjisindeki azalmaa eşit olsun. W 8-4 Mekanik Enerjinin Korunumu k s = F. d = ΔU i s ΔU = U U F. d s Bir sistemin toplam mekanik enerjisi, kinetik ve potansiel enerjilerinin toplamı olarak tanımlanır. E=K+U E: sistemin toplam mekanik enerjisi K: Kinetik enerji U: Potansiel enerji Eğer sistemin enerjisi korunuor ise ilk (E i ) ve son (E s ) mekanik enerji birbirine eşit olacaktır. i = i E i : İlk toplam mekanik enerji E s : Son toplam mekanik enerji E i =E s K i +U i =K s +U s Örnek 8.2 Çözüm: Şekilde görülen m kütleli bir top h kadar ükseklikten bırakılmıştır. a) Hava direncini ihmal ederek, erden bir -ükseklikte iken topun süratini bulunuz. b) Top ilk h üksekliğinden bırakıldığı anda bir vi ilk süratine sahip ise, topun -deki süratini hesaplaınız. a) Top durgun olarak bırakıldığı için K i =0, U i =mgh Toplam mekanik enerji korunduğundan E i =E s K i +U i =K s +U s 0+mgh=(½)mv s 2 +mg Bölüm 8: Potansiel Enerji ve Enerjinin Korunumu, Hazırlaan: Dr. H.Sarı Güncel: Temmuz 2008 4/7
h v s 2 =2g(h-) => v s =(2g(h-)) ½ b) Top, v i ilk hıza sahip olduğu için K i =(½)mv s 2, U i =mgh K i +U i =K s +U s (½)mv i 2 +mgh=(½)mv s 2 +mg v s 2 = v i 2 +2g(h-) => v s =( v i 2 +2g(h-)) ½ Örnek 8.3 Bir sarkaç şekildeki gibi L uzunluklu hafif ipe bağlı m kütleli bir küreden oluşuor. İp, düşele θ açısı aptığında, küre durgun olarak bırakılıor. a) Küre en alt nokta olan B noktasına geldiğinde sürati ne olur? b) B noktasında iken ipteki T B gerilmesi nedir? Çözüm: A B A L θ B Lcosθ a) A =Lcosθ, U A =-mglcosθ B =L, U B =-mgl K A +U A =K B +U B 0-mgLcosθ=(½)mv 2 B -mgl v B =(2gL(1-cosθ)) ½ b) F r =T B -mg=ma r =mv B 2 /L T B =mg+2mg(1-cosθ) T B =mg(3-2cosθ) bulunur... 8-5 Korunumsuz Kuvvetlerin Yaptığı İş Bir cisme bir kuvvet ugulaarak herhangi bir üksekliğe kaldırdığımızda uguladığımız kuvvet, cisim üzerine W ug işini apar. Bu esnada kütle çekim kuvveti de kitap üzerinde W g işini apar. Kitap üzerinde apılan net iş, iş-kinetik enerji teoremi ile tanımlandığı gibi, kinetik enerjideki değişime eşittir. W ug +W g =ΔK F ug Kütle çekim kuvveti, korunumlu olduğu için Wg= - ΔU W ug =ΔK+ΔU =0 F g =mg Bu sonuç, uguladığımız kuvvetin sisteme kinetik enerji ve potansiel enerji olarak aktarıldığını gösterir. Kinetik Sürtünmei İçeren Durumlar: Bölüm 8: Potansiel Enerji ve Enerjinin Korunumu, Hazırlaan: Dr. H.Sarı Güncel: Temmuz 2008 5/7
Bir cisim d uzaklığı kadar er değiştirirse iş apan tek kuvvet kinetik sürtünme kuvvetidir. Bu kuvvet, cismi kinetik enerjisinde bir azalmaa neden olur Eğer sürtünme olmamış olsadı ΔE=0 olacaktı. ΔK sürtünme = - f k.d ΔE=ΔK+ΔU= - f k.d Örnek 8.7 Bir ouncak tüfeğin atış işleim (mekanizma) şekilde gösterildiği gibi kuvvet sabiti bilinmeen bir adan oluşmuştur. Ya 0,0120 m sıkıştırıldığında tüfek düşe olarak ateşlendiğinde 35 g lık bir mermii ateşleme öncesi konumunun üzerinde 20 m lik bir maksimum üksekliğe fırlatabilmektedir. Tüm direniş kuvvetlerini ihmal ederek a sabitini bulunuz. Çözüm: v E A =E C =0 A B =0,120 K A +U ga +U A = K C +U gc +U C 0 + 0 + (½)k 2 =0+mgh+0 k=953 N/m bulunur. 8-6 Korunumlu Kuvvetler ile Potansiel Enerji arasındaki Bağıntı Korunumlu bir kuvvet bir cisme Δ kadarlık er değiştirme aptığında, bu kuvvetin aptığı iş: W=F.Δ=-ΔU Eğer F kuvveti sonsuz küçük bir d er değiştirmesi aparsa sistemin potansiel enerjisindeki sonsuz küçük du değişimini du=-f.d olarak ifade edebiliriz. Buradan F = du d elde edilir. Bu eşitlik bize eğer potansiel enerjinin e göre er değişimini bilior isek cisme etki eden F kuvvetini bulmamızı sağlar. Örnek olarak a problemini ele alırsak; ada depo edilmiş potansiel enerji U a =(½)k 2 dir. Buradan aın ugulaacağı kuvveti ukarıdaki ifadei kullanarak bulabiliriz. Bölüm 8: Potansiel Enerji ve Enerjinin Korunumu, Hazırlaan: Dr. H.Sarı Güncel: Temmuz 2008 6/7
F du a d 1 2 = = ( k ) = k d d 2 Anı şekilde kütle çekim potansielinden U g =mg kütle çekim kuvvetini bulacak olursak F du g d = = ( mg) = mg d d elde edilir. Bölüm 8 in Sonu Kanak: Bu ders notları, R. A. Serwa ve R. J. Beichner (Çeviri Editörü: K. Çolakoğlu), Fen ve Mühendislik için FİZİK-I (Mekanik), Palme Yaıncılık, 2005. kitabından derlenmiştir. Bölüm 8: Potansiel Enerji ve Enerjinin Korunumu, Hazırlaan: Dr. H.Sarı Güncel: Temmuz 2008 7/7