DERS Belili İntegl.. Bi eği ltınd kln ln. Bi [, ] kplı lığı üzeinde süekli i onksionu veilmiş olsun ve e [, ] için olduğunu kul edelim. in giği ile ekseni sınd kln ölgenin lnı ile u deste göeeğimiz elili integl kvmı çok kındn ilişkilidi. Yeşil enkli lnın esı elili integlle pılı. Önek. in [, ] lığı üzeinde elilediği lnı için. /
.. Belili integl, Riemnn Toplmlı. Bi [, ] kplı lığı üzeinde süekli i onksionu veilmiş olsun., < < < <... < n- < n- < n k k-, k, k n k k k-, k n n- n- n n- n- n- n T n... n n n k k k toplmın i Riemnn Toplmı deni. Bud k ldn e ii sıı klşıken ki u duumd n sısı d sonsuz klşı T n Riemnn toplmının limit değeine onksionunun [, ] kplı lığı üzeinde elili integli deinite integl deni ve u integl d integlin üst sınıı integlin lt sınıı semolü ile gösteili. Riemnn Toplmı: Belili İntegl: T n... n n k k d lim k lim k T n n k L n n
Belili İnteglin Bzı Özelliklei.. Eğe e [, ] için ise, d elili integli, [, ] lığı üzeinde in giği ile ekseni sınd kln lnı vei.. d k d k. d g d d g m m. < < için d d d.. Klkülüs ün Temel Teoemiundmentl Teoem o Clulus. Bu teoem elili integl ile elisiz integl sındki ilişkii vei: Klkülüs ün Temel Teoemi. onksionu [, ] kplı lığınd süekli ve nin i tes tüevi ise, d di. Gösteim. ' d Önek.. d B C C B d
Önek. d.. d e d e ln e ln e e e ln. d? u, du d. C d du u ln ln u ln ln ln.. d ln.. Belili integlde değişken değiştime. Son öneğimizde elili integli esplken, tes tüevin, ni elisiz integlin elilen-mesinde değişken değiş-time öntemini kullndık. Bu öntemi doğudn doğu elili integl üze-inde de uguliliiz. Htt u duumd zmn kznılğı d söleneili. u g, du g d ug ; u g g ' g g ' d ' u du u g g g g g
Son öneğimizi u oll plım: d du u ln u ln ln ln.. u, du d u ; u Bşk i önek: d du 6 6 u u, du 6 d, d /6 du u ; u 9 u u. 9 8 7 9 Bşk i önek: e e d e du e e u u u e. u e, du e d, e d / du u ; u e - Ugulm. Htd televizon ünitesi üeten i işletmenin tlık mjinl kâı, YTL olk, P 6 -., içiminde veilio. Şu nd td
ünite üeten im, tlık üetimini tımk istio. Htlık üetimini 6 e çıkıs, tlık kâındki değişim ne olktı? Çözüm. Kâdki tış 6 6 P 6 P P P' d 6. d 6. 6 6 6. 6 6. 6 YTL olu. 6. 6 D öne elisiz integl esınd kullndığımız kısmî integson öntemini elili integl esplken de kullniliiz. Önek. e d u dv uv vdu e e u, dv e d du d, v e d e e. Bzı integllein esınd değişken değiştime ve kısmî integson öntemlei ilikte kullnılili. Önek. d ln ln dt t ln t dt t ln t t dt t t, dt d, d / dt t, t u ln t, dv dt du /t dt, v t t ln ln t ln t ln.
.. İntegl için otlm değe teoemi. onksionu [, ] kplı lığınd süekli ise, öle i, vdı ki di. Önek. - nin [-, ] lığı üzeinde otlm değei d d, onksionunun [, ] lığı üzeinde otlm değei vege vlue o on te intevl [, ]. 8 d
.6. ln Hesı. Bi eği ile -ekseni sınd kln ln., [, ] d, [, ] d d Bolı ln : d d d d
Önek. 6, ile veilen ölgenin lnı. Önek. -, ile veilen ölgenin lnı. 6 d. 6 6 d 8. 7
Önek. -, - ile veilen ölgenin lnı..7. İki Eği sınd Kln ln. ve g [, ] lığınd süekli onksionl, e [, ] için g olsun. Bu duumd in giği g in giğinin ukısınddı ve [, ] lığı üzeinde u iki eği sınd kln ln integl olk şöle ide edili: d d -. g d g
Önek., g -, ile veilen ölgenin lnı. d d 8. - İki eği sınd kln ln esplnıken, in giğinin i kısmı g in giğinin ukısınd, i kısmı d şğısınd olili. Bu duumd söz konusu lık lt lıkl ölüneek ln esplnı. Önek olk şğıdki şekilde gösteilen ölgenin lnın klım. g : Bolı ln g d g d
Önek. -, g -, ile veilen ölgenin lnı..8. Him Hesı, Dönel Cisimlein Hmi. Düzlemde i ölgenin -ekseni etınd döndüülmesile medn gelen ismin mi integl dımıl esplnili. d d d d 8. - - Cismin Hmi : V d V d dv d Silindiin Hmi : dv
Önek., ile veilen ölgei - ekseni etınd döndüüne medn gelen ismin mini espllım. ÖnekKüenin mi. Yıçpı iim oln küe, ıçpı iim oln i ım çemein çpı etınd döndüülmesile elde edili. Dolısıl, sözü edilen im - /, - eğisinin - ekseni etınd döndü-ülmesile elde edili. d V d. d V d. -
ÖnekKoninin mi. Tn ıçpı iim ve üksekliği iim oln koni, /, eğisinin - ekseni etınd döndüülmesile elde edili. d V / d. /
Polemle. şğıdki elili integllei esplınız. d d d ç d d e. d e 6 d d 7 g e e d. şğıdki elili integllei esplınız. e d ln d e ln d ç d d e d. e e e d. Dğ isikleti üeten i imnın ştım deptmnı, mjinl gide onksionunu, d det isiklet üetilmesi duumund, C, 9 olk elilio. isikletlik i üetim seviesinden 9 isikletlik i üetim seviesine geçilmesi duumund toplm gidede ne kd tış olğını i elili integl olk ide edip esplınız.
. şğıdki şekilde veilen lnlı elili integlle olk ide ediniz: d [, ] lığı ile gik sındki ln. [, ] lığı ile gik sındki ln. [, d] lığı ile gik sındki ln. ç [, ] lığı ile gik sındki ln. d [, d] lığı ile gik sındki ln. e [, d] lığı ile gik sındki ln.. şğıd veilen eğile ile veilen lık üzeinde çevelenmiş ölgelein lnlını ulunuz., ;, ;, ; ç e, ; d, ;. t e 8, ; t, ; g, ; 6. şğıd veilen iki eği sınd kln ölgenin lnını ulunuz.,,, ç, d, e 6, 9 7. lıştım 6 d veilen ölgelein ekseni etınd döndüülmesile elde edilen isimlein imleini ulunuz.