KATI CİSİMLER. Aşağıdaki şekilde, ABCDEFGH tabanlı ABCDEFGHA B C D E F G H sekizgen dik prizması verilmiştir.

Transkript

1 I İSİMLR tı isimlein İsimlendiilmesi ve Özeliklei şğıdki şekilde, tnlı sekizgen dik pizmsı veilmişti. Pizml tnlındki çokgene ve diklikeğiklik duumun göe ' ' ' ' isim lıl., ' ' ' ', dikdötgenleine ynl yüzey (yn yüz), u yn yüzlei tşıyn düzlemle sistemine ise pizmtik yüzey deni. Pizmtik yüzeyin ve çokgenleiyle sınılndıılmış ölümüne sekizgen dik pizmsı şeklinde isimlendiilen I İSİM deni. Pizmtik Yüzey Yn yıt n oğu ' ' ' ' ' ' ' ' e i yn yüzün kesitine (kesişimine) yn yıt ( [ ] ve [ ] v. yn yıtldı ) ve u doğu pçsını tşıyn doğuy n doğu deni ( ve v. n doğuldı ). n doğul pizmtik yüzeylein yıtıdı. ik pizmld üst tnın dik iz düşümü lt tndı. ğik pizmld yn yüzleden i kısmı dikdötgen oliliken i kısmı d plelkendı. Yndki şekilde ke eğik pizmsı veilmişti. ve dötgenlei plelken iken ve dikdötgendi. ğe tn ke yeine plelken seçilseydi u eğik pizm Plelyüz (tüm yüzlei plelken), eğe dik (yn yüzleinin tmmı dikdötgen) olsydı ik Plelyüz dını lcktı. i pizmnın tnı düzgün çokgen ise pizmy d düzgün pizm deni

2 nı ie vey liptik ölge seçilen pizml ise silindi deni. Silindilein pizmtik yüzeyine ise silindiik yüzey deni. Yn yüzlei kesintisiz i eği yüzey olduğundn yn yıttn söz edilemez unun yeine iki tn sındki yüzey üzeinden çizileilecek en kıs doğu pçsını tşıyn doğu önem kznı: n oğu Yndki şekilde [], [] ve [] n doğudu pçlıdı. Silindi dik ise u n doğu pçlı d tnl dikti, eğik ise ynı eğimle tnlı kesecekti. i dikdötgeni i kenı etfınd tm çıyl döndüdüğümüzde oluşn cisim i silindidi ve u silindie önel Silindi deni. önel silindile dik silindidi. (,) ke dik pimidi sold veilmişti. Pimidin yüksekliği; [], kesinin ğılık mekezine ( kenin köşegenleinin kesim noktsı ) inmektedi. Soldki şekilde [] [], [] V [] n doğuldı. Pimitle de tn çokgeninin ismine göe isimlendiilile. Üçgense üçgen pimit, ymuks ymuk pimit ve eğe yüksekliği tn çokgeninin ğılık mekezine düşüyos dik pimit değilse eğik pimit deni. nı eşken üçgen ve yn yıt uzunluğu tn yıtlın eşit oln pimide ise üzgün ötyüzlü (sold) deni. üzgün ötyüzlü i dik pimitti. üm yıtlı eşit oln iki ke pimidin tn tn tes i içimde ileştiilmesiyle elde edilen cisme ise üzgün Sekizyüzlü (sğd) deni. un göe ÜP de düzgün ltıyüzlüdü. tü. ' - -

3 nı die seçilen pimide ise oni deni., tepe noktsındn inilen cisim yüksekliği eğe tn diesinin mekezine (ğılık mekezi) düşüyos dik koni düşmüyos eğik koni deni. Soldki şekilde [] ve [] n doğuldı. dik üçgeninin etfınd tm döndüülmesiyle oluşn cisme önel oni deni. önel konile dik konidi. ğe üçgeni etfınd döndüülseydi [] yıçplı [] yükseklikli i koni ile yine [] yıçplı [] yükseklikli iki dönel koniden oluşmuş i cisim elde ededik. Uzyd ( R 3 ) i noktdn eşit uzklıktki noktl kümesi i küe yüzeyidi. u yüzeyle sınılı cisim ise üedi. Söz konusu uzklık küenin yıçpıdı. i küe i düzlemle kesildiğinde kesit i diedi. = + eşitliği geçelidi. üe yüzeyinin düzlem üzeinde kln pçsın üe pğı, = e ise küe kpğının yüksekliği deni. üe kpğı ile düzlem sınd kln cisme üe Pçsı deni. ' ' i küenin plel iki düzlemle kesilmesiyle d kln yüzeye üe uşğı, u kuşk ve düzlemlele sınılı cisme ise üe ksı deni. şğıdki Şekil I [] etfınd 180 0, Şekil II ise [] etfınd döndüüldüğünde Şekil III elde edili. ud [] çptı. Şekil I Şekil II Şekil III - 3 -

4 Ο Ölçek çısı oln iki düzlem mekezli küenin [] çpı üzeinde şekildeki gii kesiştiğinde u iki düzlem ve küe yüzeyiyle sınılı cisme üe ilimi deni. üe diliminin [] etfınd tm çıyl döndüülmesiyle 360 o kd döndüülmesi sınd fk yoktu; iki duumd d ynı küe elde edili. Β tı isimlein cim ve Yüzey lnlının esplnmsı Pizmlın cimlei üm pizmlın ve silindilein cimlei tn lnı ile yüksekliğin çpımın eşitti. Pimitlein cimlei üm pimitlein ve konilein cimlei tn lnı ile yüksekliğin çpımının üçte iidi

5 cim ve ln omüllei klı yıtlı, ve c oln dikdötgenle pizmsının cmi V =..c tüm yüzey lnı ise S = (+c+c) i küpün (tüm yıtlı eşit oln dikdötgenle pizmsı) cmi V = 3 lnı ise S = 6 i dikdötgen eğik pizmnın fklı yıtlı, ve c ise cmi V =..c.sin (ud yıtlı dikdötgen tn ise c.sin d cismin yüksekliğidi) ve lnı S= (+c+c.sin) csin ' ' ' ' c n yıtlı, n doğulı oln ke dik pimidin cmi V = 3 ud = olduğundn = ulunu. / / / Ynl yüzeyin lnı S = 4( /)= üzgün dötyüzlünün i yıtı ise cmi V = tne eşken üçgenden oluştuğundn S = ulunu. lnı ise döt n yıçpı, i n doğusu oln i koninin cmi V = π 3 di. ud yüksekliğin kesi; = di. Yıçpı oln küenin cmi V = S = 4π di. 4 π 3 yüzey lnı ise 3-5 -

6 tı isimlein ÇINIMLRI ik Pizml ' ' ' ' ' ' Soldki dikdötgenle pizmsının çınımı sğddı. pklın [] ve [ ] üzeine konmsı zounlu değildi. nck ii mutlk doğusu üzeinde diğeiyse mutlk doğusu üzeinde olmlıdı. ' ' ' ' ' nı dötgen oln tüm pizmlın çınımı yukıdki şekildedi. n plelken, ymuk vey engi i dötgen olduğund ve kpklı d değişi nck dötgeni yine i dikdötgendi. nın üçgen vey engi i çokgen olmsı duumund tnın ken syısı kd dikdötgen ynyn dizilecekti. ğik Pizml Soldki eğik dikdötgen pizmnın çınımı sğddı. nı dötgenden fklı olduğund (üçgen, eşgen v.) tnın ken syısı kd dikdötgen ve plelken ynyn dizilecekti. ' ' ' ' ' ' nlı ve yn yüzlei plelken oln pizmy Plelyüz demiştik. Plelyüzün çınımı i eğik pizmdn fksızdı. ' ' ' ' ' - 6 -

7 Silindile 1 ik silindiin çınımınd iki eş die ve i kenı u dienin çevesi kd diğe kenı cismin yüksekliği kd oln i dikdötgen ulunu. = π = = = 1 öylece silindiin ynl lnı S = π. ulunu. ud cisim yüksekliği, dik silindide kdken eğik silindide.sin kddı. Pimitle Soldki pimidin çınımı sğddı. ' ' onile ' ' esik pimitte pizmldki gii lt ve üst kpk söz konusudu. ' ' ' ' ' ' ' onilein yn yüzlei ie die dilimidi. ie dilimini sınılyn yyın uzunluğu ise tn çevesidi. [] ve [] u dilimin yıçpıdı, dolyısıyl = π = π 360 olu ki udn = R elde edili. 360 π - 7 -

8 Ynl ln üçgen gii dvnk lnı ulunili (ie dilimine üçgen gii dvnk lnı ulunili). = πr(/360 o ) üçgenin tnı, [] ( = = R ) de u üçgenin yüksekliği olk lındığınd üçgenin ln fomülünden ()= πr (/360 o ) ulunu ki zten u ulduğumuz die diliminin lnıdı; nck = π di de. olyısıyl üçgenin ln fomülünü uygulsk ()= πr uluncktı. u fomülde nin R tüünden eşitini koysk ilk fomülü elde edeiz: ()= πr (/360 o ). 1 1 esik koni de kesik pimit gii iiine plel iki kpk söz konusudu. u kpklı tn kul eden iki koninin cimlei fkı kesik koninin cmidi. ud = π 1 ve = π şeklindedi. 1 1 esik koninin ynl yüzeyi iden fzl yöntemle ulunili. unldn ilki, iki koninin ynl yüzey lnlı fkını lmktı. esik koninin ynl yüzeyi lk dilimidi; 1 y d lk dilimine ymuk gii dvnk lnı esplnili; 360 S = π( R R ) π + π R R S = ( )( ) 1 1 = π( + )( R R ) 1 1 ud = R 1 ve = R di. = R,i = 1, eşitliğinden İ İ i yukıdki fomülde yeine kons i evvelki (lk 360 dilimi fomülü) fomül elde edili. sitçe; ynl ln esınd geçeli oln tn çevesi x ynl yükseklik fomülü koni ve kesik konide de geçelidi

9 Yüzeydeki eketli Yüzey oyunc eket eden i eketli (kınc, öümcek, şt v.) en kıs yolu lıken tıpkı izim dünynın eğimine-eğiliğine kmksızın dosdoğu gitmemiz gii i doğu üzeinde eket ede, i eği y d ikç doğu pçsındn oluşn i sistemde değil. Pizml: ' ' ' ' Soldki şekilde dn ne pizmnın yüzeyi üzeinden en kıs yoldn giden i eketlinin [ ] üzeindeki noktsın uğyk + ' kd yol ldığı göülüyo. Sğdki çınımınd ise slınd u yolun doğusl ve ' = + ' şeklinde esplnileceği göülüyo. ' ' ' ' ' ' ' Silindile: Soldki şekilde noktsındki kınc! silindiin yüzeyi üzeinde iki tu tk noktsın vıyo. ıncnın mcelı i seyt yptığını snsk ynılıız. şğıd kıncnın izlediği yol itsının i dikdötgenin ( dikdötgeni) köşegeni olduğunu göeiliiz. olyısıyl u yol d pisgo ğıntısı ydımıyl esplnili. i eketli i cismin yüzeyi üzeinde iden fzl tu ttığınd, tu tıln yüzeyi, tu syısı kd peşpeşe çizmeliyiz. u seeple yukıd silindiin ynl yüzeyi iki kez çizilmişti

10 onile: onilein çınımının i die dilimi ve i dieden iet olduğundn söz etmiştik. Soldki şekilde noktsındn şlyıp tm tul noktsın ulşn i eketlinin çizdiği yol sğddı. u yolun esını ceisel olk şu şekilde ypiliiz. ie diliminin yıçpı R, tn diesinin yıçpı ve (die diliminin çısı) çısı olsun. = 360, = = R olduğundn,, cosinüs teoeminden şğıdki gii R esplnı (tii ki kosinüs teoeminden değil, dik üçgenden esplmk d doğu olcktı. ud -çısının elisizliği üzeine işlem ypılmıştı.şğıdki önekte üçgeniyle u yolun sitce ulunduğu göülü). = R + R R 5R R cos = R cos 4 Öneğin, = 8cm, = cm ve = 3 olmk üzee noktsındn koni yüzeyince eket edip noktsın vn i eketlinin lcğı en kıs yolu esp edelim. 6 8 Önce çınımı çizdiğimizde ulcğımız die diliminin kç deecelik i dilim olduğunu ulmlıyız. n diesinin çevesi π=4π cm ynı zmnd die diliminin yyın, π8(/360 o ), eşitti. 4π = π8(/360 o ) olduğundn = 90 o ulunu. 6 6 öylece sğdki şekli elde edeiz. udn nın 10 cm olduğu kolyc göülü

11 Pimitle: Sold noktsındn [] nin ot noktsı y düzgün ke pimidin ynl yüzeyi üzeinden giden i eketlinin en kıs yolu çizilmişti. u pimidin çınımı şğıdki giidi. ud = 30 o ve = 6 cm seçesek = 3 5 cm olcktı. üzgün sekizgen dik pimitte = 6 cm, = m( ˆ ) =15 olduğund şğıdki gii i eketli en kıs yoldn noktsındn noktsın ulşsın. u yolu esplylım: Τ 10 o Β ismin çınımını yptığımızd üçgeninin kenını esplyiliiz. u esı ypken osinüs eoemi kullnileceğimiz gii dik üçgenden de ylniliiz o 6 10 o