Belirsiz İntegral İntegral Alma Yöntemleri Değişken Değiştirme Yöntemi

Transkript

1 Belisiz İntegl... İntegl Alm Yöntemlei... Değişken Değiştime Yöntemi... d c Biçimindeki İnteglle... 9 A B d Biçimindeki integlle... c Kesili Fonksionlın İntegli... 8 Tigonometik Fonksionlın İntegli... Pçlı (Kısmi) İntegl... Riemnn Toplmı Olk Belili İntegl... Belili İntegl... 9 Tek ve Çift Fonksionlın Simetik Alıkt İntegli... 7 İntegl İşeti Altınd Tüev (Leinitz Kulı)... 7 Mutlk Değe İçeen İfdelein İntegli... 7 Düzlemsel Bölgelein Alnlı... 8 Hcim Hesplı Heket Polemlei f() d e c g() f()... n n n

2 KAVRAMSAL ADIM Tes Tüevle Bi fonksionun tüevinin nsıl uluncğını öğendiniz. Anck içok polem tüevi ilinen fonksionun kendisinin ulunmsını geektii. Bi F() fonksionunu, tüevi oln f fonksionundn ulmk istiouz. Böle i F fonksionu vs F e f nin tes tüevi f nin tüm tes tüevleinin kümesine f nin elisiz integli deni. ETKİNLİK f() sin in F() eşitliğini sğln i tes tüevini (elisiz integlini) ullım. "Hngi fonksionun tüevi sin?" sousunu somlıız. evımız F() cos di. F() & cos olup F() cos ulunu. ETKİNLİK A(, ) noktsındn geçen ve (, ) noktsındki eğimi oln eğinin denklemini ullım. Polemde veilen eğinin fonksionu f() olsun. Polemden f'() ve f() eşitlikleini ziliiz. f'() & f() BELİRSİZ TANIM F() tüevli i fonksion ve F() ile f() sınd F'() f() ilişkisi vs, f() fonksionun F() fonksionunun tüevi deni. F'() f() ise fd ( ) F ( ) zılı. Bud f()'e integnt, F()'e f() fonksionunun integli, 'e de integl siti deni. f() elli iken F()'i ulm işlemine integl lm işlemi, F() ifdesine f() fonksionunun elisiz integli deni. Aşğıd zı fonksionl ve integllei veilmişti. İntegllein doğu olduğunu gömek için sğ tftki fonksionlın tüevleini lk sold nı stıd ulunn fonksionl kşılştıınız. Fonksion cos e sin.cos tn ntegl ln sin ln( ) e ( ) sin ln(cos) ÜNİTE İNTGERAL ve f() ise & tü. O hlde f() ulunu. ln( )

3 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM TEMEL FORMÜLLERİ Difeensiel hespt, tüev lmk için genel kull vdı. Fkt integl hespt, i ifdenin integlini ulmd genel i kul oktu. He integl polemi özel i işlemi geektii. İnteglleme slınd deneme tüünden i işlemdi. İntegl polemleinde, sonuc dh çuk ulşmk mcıl i dizi integl fomüllei hzılnmıştı. Bu fomüllee temel integl fomüllei deni. İntegllemede kollık sğldıklındn u fomülle şğıd veilmişti. ve c sit sıl ve u, in i fonksionu olmk üzee, du u un undu ; n n eudu eu u udu ;! R \ {, } ln du ln u, u > ise u * ln( u), u< ise sin udu cos u cos udu sin u tn udu lncos u lnsec u cot udu lnsin u lncosec u sec udu ln( sec u tn u) BELİRSİZ ÖZELLİKLERİ i. F'() f() fd ( ) F ( ) tnımındn ii. du u ln u u lınıs, ; u< du sec ; u u u u> du tn u u du ln( u u ) u du ln( u u ) ; u> u u du u u u sin u du u! u!! ln( u u! ) _ fd ( ) i' ( F ( ) )' & F'( ) f ( ) fd ( ) F ( ) ti. eşitliğinin he iki nının difensieli d_ f( ) di d(f() ) df() F'()d f()d olup d8 fd ( ) B fd ( ) elde edili.. cosec udu ln( cosec u cot u) iii. df( ) F'( ) d F( ) di.. sec udu tn u iv. ^f ( )" g ( )"... hd fd ( ) " gd ( ) "... di.. cosec udu cot u v.! R, fd ( ) fd ( ) ti.. sec u. tn udu sec u vi. fd ( ) F ( ) ise. cosec u. cot udu cosec u ) fd ( ) F ( ). du u u sin cos ( > ve u < ) u 7. du u ln u u ; u> ) c) f ( d ) F ( ) f ( d ) F ( )

4 . Aşğıdki işlemlei inceleiniz. ( )( ) m) d d ( ) ) ) c) d) e) ( ) d c m d / d / d d d d d / d d d / d d. / ( ) d ( ) d d d ( ) d d d d UYGULAMA ADIMI n) o) p) ( d ) d d / d / e e e d d e d e e e ed e d e e ( ) d ( ) d ( )( ) d ( ( ) ) d d ( ) d d ( ) ) d _ i_ id ( ) d d. 8 UYARI n > olmk ü zee, d d / n n n d / n n n n n n ÜNİTE İNTGERAL f) ( )( ) d d ( ) ( ) d. Aşğıdki işlemlei inceleiniz. ) ) d d ( ) d 8 sin( tn d ) B' sin( tn ) k) d d d l ln c) d sin d sin d l) ed e / d ed e d) e) d( ln ) ln : d ( ) D d ( ) d ( ) d 7

5 ÜNİTE UYGULAMA ADIMI. ( ) d in eşiti nedi? 7. f'() 8 X ve f( ) ise, f() kçtı? ( ) d d d d d f'( ) d ( 8 ) d... f ( ) 8.. di. f() X X f() olu.. ( ) d in eşiti nedi? ( ) d / ( ) d. f'( ) d integlini ulunuz. df ^ ( ) h f'( d ) kd 7 d d olduğundn f'( ) d d( f( ) ) f( ) ulunu. ( dielim.) f( ) ise f( ) ( ) ( ) ( ) ulunu. f() olup f().. 8 olu. 8. f.'( d ) ve f( ) olduğun göe, f() kçtı? f.'( ) d llım. f.'( ) f p' &.f'()..f'() & f'() & f() ( ) d & f(). eşitliğinde he iki tfın tüevini. f''( ) d integlini ulunuz. ( ) f( ) & f( ).( ) df ^ '( ) h f''( d ) olduğundn f''( ) d d^f'( ) h f'( ) ulunu. & f ( ) ise f( ) olu. ulunu. 8

6 9. f''() olmk üzee, f() eğisi doğusun T(, ) noktsınd teğet olduğun göe, f() fonksionunu ulunuz. f''() ise ntegli lınıs eşitliğinde he iki nın i Eğinin T(, ) noktsındki teğeti olup teğetin eğimi O hlde f'( ) tü. ( ) f'( ) ( ) O hlde f'() lınıs d f '( ) d d f '( ) l d ^ h d d f'( ) m tü. & f'( ) d c md f ( ) olu. olup he iki tfın integli ve eği T(, ) noktsındn UYGULAMA ADIMI. f() fonksionunun hehngi i T(, ) noktsındki teğetinin eğimi m ve f( ) olduğun göe, f() kçtı? T(, ) noktsındki teğetin eğimi m ise f'() di. f'( ) d f( ) olup d f( ) f( ) ise f( ) ( ) f() f() f() & di. f() ise f() ulunu.. f: R R, f() fonksionu için f''() ve f() in T(, ) noktsındki teğetinin eğimi olduğun göe, f() kçtı? f''( ) d df'( ) f'( ) olup f'() d di. f nin T(, ) noktsındki teğetinin eğimi ise f'() tü. ÜNİTE İNTGERAL geçtiğinden ( ) f( ) & ( ).( ) O hlde f() di. ulunu. f'() f'(). & f'( ) d f( ) tü. ( ) d f( ) & f( ) ve f() eğisi T(, ) noktsındn geçtiğinden f() di. f().(). & di. O hlde f() ise f().. ulunu. 9

7 ÜNİTE. Aşğıdki integllei hesplınız. ) d d) d ) c) d e) d ed f) d PEKİŞTİRME ADIMI. ^ hd integlinin eşiti nedi?. Aşğıdki integllei hesplınız. ) d d) ( ) d. d integlinin eşiti nedi? ) d e) ^ hd c) d f) ^ d h Aşğıdki integllei hesplınız. ) d d c) n d ) c d d) d m. d nd integlinin eşiti nedi?

8 7. d integlinin eşiti nedi? PEKİŞTİRME ADIMI. d^, n h integlinin eşiti nedi? ÜNİTE İNTGERAL 8. ^e, nhd integlinin eşiti nedi?. e. ^ e, nhd integlinin eşiti nedi? n e 9. ^e cos sin hd integlinin eşiti nedi?. c integlinin eşiti nedi? m d e sin cos, n

9 ÜNİTE. ( cos ) d integlinin eşiti nedi? PEKİŞTİRME ADIMI m. f ( ) d olmk üzee f fonksionunun gfiğine psisli noktdn çizilen teğetin denklemi, doğusun plel olduğun göe, m kçtı? sin. f'() 7 ve f( ) olduğun göe, f() kçtı? 7. f() eğisinin eel ekstemum noktlındn ii K(, ) noktsıdı. f''() olduğun göe, f( ) kçtı? 9 f ( ). d olduğun göe, f() kçtı? 8. f: R R, f() fonksionund f'() ve f() olduğun göe, f(7) kçtı?

10 . d integlinin değei nedi? ALIŞTIRMALAR. d integlinin değei nedi? ÜNİTE. ^ hd integlinin değei nedi?. ( cos sin ) d integlinin değei nedi? İNTGERAL. d integlinin değei nedi?. c integlinin değei nedi? d m. sin d integlinin değei nedi? 7. ^ hd integlinin değei nedi? 8. tn d integlinin değei nedi?. cos cos d integlinin değei nedi?. ( ) d integlinin değei nedi?. ( ) d integlinin değei nedi?. ( cos ) d integlinin değei nedi? 7. d integlinin değei nedi? 8. integlinin değei nedi? d 9. d integlinin değei nedi? 9. cot d integlinin değei nedi?. c integlinin değei nedi? cos m d. d integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?

11 ÜNİTE. e ne c, m d integlinin değei nedi?. e d integlinin değei nedi? ALIŞTIRMALAR. t dt integlinin değei nedi?. ^e e hd integlinin değei nedi?. csin integlinin değei nedi? sin m d. e d integlinin değei nedi?. sin( ) d integlinin değei nedi? 8. d integlinin değei nedi?. log 9 d integlinin değei nedi?. log d integlinin değei nedi?. ^log log8hd integlinin değei nedi? t 7. t f dt integlinin değei nedi? p 7. integlinin değei nedi? t sin. cos d t ( t ) dt 8. integlinin değei nedi? t 9. d integlinin değei nedi? 9. z d dz integlinin değei nedi? z n z. d integlinin değei nedi?. dz z integlinin değei nedi?. t t dt integlinin değei nedi? t. d integlinin değei nedi?

12 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK f''( ) integlini ulunuz. f'( ) u f'() değişken değiştimesi plım ve he iki tfın difensielini llım. ALMA YÖNTEMLERİ DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ Bu öntem i ileşke fonksionun difeensielinin ulunmsı ilkesine dnı. Veilen i I fd ( ) integlinde, u(t) dönüşümü pılıs d u'(t)dt olu. Bud u(t) süekli i fonksion ve tnımlı olduğu lıkt u'(t) tüevi vdı. ÜNİTE İNTGERAL du d(f'()) du f''()d olu. du E f''( ) d du f'( ) u X u,n u u f'() eine zılk &, n f'( ) ETKİNLİK ulunu. d ) integlini hesplınız. sin ) d integlini hesplınız. cos u(t) için f() f(u(t)) olup integl, I fut ( ( )). u'( tdt ) içimini lı. Bu önteme değişken değiştime ve eine kom öntemi deni. Değişken değiştime pılıp integl hesplndıktn son sonuç ilk değişken tüünden zılmlıdı. Bu öntemde önemli oln nei eni değişken olk gösteeceğimizi ilmekti. Dönüşüm ugun pıldığı süece veilen i elisiz integl kolc hesplncktı. ÖRNEK n I f ( )@. f'( d ) ÇÖZÜM integlinin değeini ullım. u f() değişken değiştime işlemi pılı. Difeensiel lınıs du f'()d olu. O hlde un n f ( )@. f'( d ) undu n n n f ( )@ f ( )@. f'( d ) n UYARI ulunu. ve u f() zılk, Belisiz integlde değişken değiştime öntemi ugulndıktn son sonucun ilk değişken tüünden zılmsı geeki. ÖRNEK cos c) integlini hesplınız. sin d d, n ÇÖZÜM olduğunu gösteelim. u denili ve iki tfın difensielini lısk du d( ) du du.d & d olu. d du, u n u, n ulunu.

13 ÜNİTE. I ( ). d integlini hesplınız. t denilise d( ) dt & d dt olu. UYGULAMA ADIMI. I. e d integlini hesplınız. Bud t denilise d( ) dt & d dt olu. t I ( ). d tdt d dt olup t eine zılıs, ( ) ( ) I d elde edili.. ln I d integlini hesplınız., n t dönüşümü pılıs d d(, n) dt & dt olu., n t I d t dt t, n zılıs,, n, n I d olk ulunu. e d e dt I t edt t t zılıs e t e d e I olk ulunu.. d I e integlini hesplınız. Bu integlde p ve pdı e ile çpsk değişken değiştime dh kol olcktı. e e e olup. e I e integlini hesplınız. t e zılıs dt d( e ) & dt e d olu. d e I integlinde e d e t e denilise dt d(e ) & dt e d ve e d dt di. d e dt I d olup e e t n t, e d dt olup t e zılıp e t n t, e I d n e elde edili. e, t e zıldığınd d I n e e, elde edili.

14 . I esin. sin d integlini hesplınız. t sin dielim. dt d(sin ) & dt sin.cosd UYGULAMA ADIMI 9. I sin. cos d integlini hesplınız. t sin dielim. dt d(sin) & dt cosd ÜNİTE İNTGERAL & dt sind t sin olduğundn olu. I esin sin d etdt et ve elde edili. 7. I cos. sin d integlini hesplınız. t cos olup I esin. sin d esin & dt d(cos) & dt sind & dt sind t I cos. sin d tdt cos I cossin d di. ve t I sin. cos d tdt t sin Bu integlde t cos dönüşümü pılk d sonuc ulşılili.. I d integlini hesplınız. t dielim. dt d( ) & dt d olu. dt & d elde edili. d. I integlini hesplınız. sin & I sin. cos d dt I d t, n t I, n 8. sin I d ecos integlini hesplınız. t cos & dt sind dt dt sin d olu. Ve integl I et Bu integli. önekte çözdüğümüzden I [, n e t ] ve içimini lı. Veilen integl d I içiminde zılıp t dönüşümü ( ) pılıs, d( dt ) dt & d dt ve d olu. dt I d t Bu son integl,. fomülde u t, lınıp I, nt ^ th t cos & I, n e cos elde edili. I, n ^ h olk ulunu. 7

15 ÜNİTE sin. I d integlini hesplınız. Veilen integli I içiminde ziliiz. t sin dt d(sin d & ) & dt olu. ulunu. sin. I d integlini hesplınız. sin d sin I d t dt t / dt t / I ( sin ) d t & d( ) dt & dt di. d & dt sin I d sin tdt sin tdt cost cos olu. UYGULAMA ADIMI I integlinde u & du d d I du u du u u u u & I cos I d ( cos )' d t cos & dt integlinde ( cos ) & I ve olmk üzee, & du d olduğundn d t I tdt, t cos cos I I I d di. cos c m I d integlini hesplınız. di. elde edili. t dönüşümü psk. cos I d integlini hesplınız. Önce integli iki pç ılım. cos cos I d d d t & t & d d(t ) & d tdt di. I ( t ). t.. tdt ( t 8t ) dt tdt 8 tdt t t 8 t olup I d cos I d ve I d 8 ( ) ( ) elde edili. 8

16 sin t. I dt integlini hesplınız. cost u cost & du sintdt & du sintdt sin t du I dt cos t u du u tn u UYGULAMA ADIMI d 9. I integlini hesplınız.., n, n u, n& du d d du I sec u n,, n u u sec (, n) di. ÜNİTE İNTGERAL cos t tn l olu. sec 7. I d integlini hesplınız. 9 tn u tn & du sec d sec du du I d 9 tn 9 u u u & sin sin ( tn ) di. dz. I integlini hesplınız. z, nz t, nz & dt z dz dz dt I t / dt t z, nz t I, nz olu.. I sin integlini hesplınız. d u & du d du & d I sinudu cosu I cos ulunu. n 8. I d integlini hesplınız. (n N ) n t n & dt nn d & dt n n d I n dt d n n t n, nt ^ t h n, n ^ n n h olu.. I sin d integlini hesplınız. u & du d & du d I sin d sin udu cos u cos di. 9

17 ÜNİTE UYGULAMA ADIMI. I ^tn tn hd integlini hesplınız.. I tn. sec d integlini hesplınız. I ^tn tn hd tn ^tn hd u tn & du sec d (tn )d u I tn( tn ) d udu tn di. I tn. sec. d tn ( tn ) sec d u tn & du sec d I u ( u ) du ( u u ) du u u I tn tn I ulunu.. I sin. cos d integlini hesplınız. I sin. cos d sin. sin. cos. cos d sin. sin.( sin) cos d u sin & du cosd I u. u ( u ) du ( u u ) du u u 7 I 7 sin sin7 I di. 7 cos cos cos I d d cos cos cos ( sin) d sin cos I d d d sin sin cos d cot sin \ I cos du u sin I sin d u u sin du cosd I I cot I cot ulunu. sin e 7. I d integlini hesplınız. e e e. ed ( e). ed d e e e u e X & du e d ve e u ( u ) u u I du du u u / u / / du u du u / du cos. I d integlini hesplınız. cos u /. u / u I ( e ) / ( e ) / e di. cos cos cos cos. cos cos cos 8. tn I d integlini hesplınız. u tn & du d tn u ( tn ) I d udu di. 9. sin I d cos integlini hesplınız. u cos & du sin d sin du I d tn u ( cos) u I tn ( cos) ulunu.

18 UYGULAMA ADIMI. I sin( cos). sin d integlini hesplınız., n. I d integlini hesplınız. u cos & du sin d d I sin( cos) sin d, n u & sin udu du cosu cos(cos ) ulunu. I, n d u du u / du &. u / (, n) / ulunu.. I cos( csin ) d integlini hesplınız. ÜNİTE İNTGERAL u csin & sinu d cosu du olu.. I e ( ) d integlini hesplınız. cot. I d integlini hesplınız., nsin cos u. cos udu cosudu ve cos cos u u olduğundn cos u, nsin & du d cot d sin cos udu du cos u du cot I d du nsin u, n u, u I. sin u I, n, n sin ulunu. u csin & I csin sin( csin ) di.. I d integlini hesplınız. t & t & t & d tdt I d ( t ). t. tdt du u & du ( ) d & ( ) d t( t t) dt e ( ) d eu du ( t t t) dt I eudu t t7 I c t m eu e & 7 ulunu. 7 I ^ h ^ h ^ h G di. 7 ( ) d. I integlini hesplınız. u & du ( )d du ( ) d & du ( ) d ( ) d du I u / du u. u / ( ) / 8 olu. 7. I ( cos) sin d integlini hesplınız. cos I 8 ^ h B sin d sin d ( cos). sin d I sin d, I ( cos) sin d du I için u & d du & d

19 ÜNİTE I sin d sin udu cos u I cos I ( cos) sin d için t cos & dt cos.( sin)d & dt sin d cos t I ^ h sin d tdt ( cos) cos8 I cos8 I I I & I cos ulunu. UYGULAMA ADIMI. d I ( ) integlini hesplınız. t & d dt t d t t I dt dt ( ) t t c t m u t & du tdt & du tdt t du I dt t u n u, I, n t, n 8. I sinn. sin d integlini hesplınız. (n N ). d integlini hesplınız. I sinn. sin d ( sin) n. sin d u sin t & d tdt & du sin.cosd sind d tdt ( t ) un I dt I sinn. sin d un. du t t n ( sin) n I dt dt t, n t t & I ulunu. n, n di. di. 9. I d integlini hesplınız. t & t & t & d tdt t t t I t. tdt ( t ) dt I ( ) ( ) ulunu.. tn I d, n( cos ) integlini hesplınız. u, n( cos ) & du tn d du u I. tn u n cos tn c, m di.

20 , n, n. I d integlini hesplınız. 8 u, n & du d, n, n I d ^u uhdu 8 8 u u. l 8, n, n, n, n 8, n, n, n I c, n m 8, n ulunu.. I d integlini hesplınız. d d I d d I I I I d u du & du d & d du u u d I sin ( ) I sin ulunu. UYGULAMA ADIMI cos sin. I d integlini hesplınız. cos sin u cos sin & du ( sin cos)d cos sin I d du cos sin u, n u I,n cos sin 7. I sec d integlini hesplınız. u & du d & du d cos sec udu cos u du u I du cosu cos u dt du sin & I u t t sin u & dt cos udu t sin I., n, n t sin di. ^, n, nh 8. d integlinde e t dönüşümü pılıs hngi integl elde edili? et & d etdt et & t, n eine zılıs ^t thetdt t t dt ulunu. et ^ h di. ÜNİTE İNTGERAL d. I integlini hesplınız. ( ) t & d tdt tdt dt I tn t tt ( ) t I tn di. 9. d integlinde u dönüşümü pılıs hngi integl elde edili? u ise du d du d & d udu olu. u u ulunu.. u( u) udu du u u

21 ÜNİTE. f''( ). f'( ) d integlinin eşiti nedi? PEKİŞTİRME ADIMI. ( ) ^ 7h d integlini hesplınız. [ f ( )] ^ 7 h 7 f''( ). d integlinin eşiti nedi? f'( ). ed integlini hesplınız. ln f'() e/. d integlini hesplınız. 7. sin( ) d integlini hesplınız. e e / cos( ). d integlini hesplınız. 8. cos( ) d integlini hesplınız. sin( )

22 9. d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. cos d integlini hesplınız. sin ÜNİTE İNTGERAL ( ) l, n sin. d integlini hesplınız.. tn d integlini hesplınız., n sin. d integlini hesplınız.. d integlini hesplınız. n, 7 sin, n 7 sin n cos, n, n. ( e ). ed integlini hesplınız.. e. sin e d integlini hesplınız. ( e ) cose

23 ÜNİTE 7. tn. sec d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. d integlini hesplınız. tn sin. integlini hesplınız. etn 8. ( d ) d integlini hesplınız. cos e tn 9. d integlini hesplınız.. cos e (, n). e d integlini hesplınız. tn(, n) ( ), n e. d integlini hesplınız., n( sin ). tn d integlini hesplınız. sin, n( sin )

24 . e. d integlinin değei nedi?. 98( 9) d integlinin değei nedi? ALIŞTIRMALAR. d integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi? ÜNİTE İNTGERAL. d integlinin değei nedi?. ^ hd integlinin değei nedi?. sin d integlinin değei nedi? 8. sin. cos d integlinin değei nedi?. sin d integlinin değei nedi?. sin. cos d integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?. e. ed integlinin değei nedi?. f ( ). f'( d ) integlinin değei nedi? sin(,n),n 7. integlinin değei nedi? 7. d integlinin değei nedi? d 8. etn ed integlinin değei nedi? 9. esin.cosd integlinin değei nedi? 9., n d integlinin değei nedi?. d, n. integlinin değei nedi?. c, n, n m d integlinin değei nedi? 7

25 ÜNİTE. ctn d integlinin değei nedi?. ( csin ) d integlinin değei nedi? ALIŞTIRMALAR. d, n integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?. cot n, ( sin d ) integlinin değei nedi?. sin integlinin değei nedi? d. tn d integlinin değei nedi? e. d integlinin değei nedi?. tn( sin ) cos d değei nedi?. esin.sind integlinin değei nedi?. ecos sin d integlinin değei nedi? ( c cot ) 7. d integlinin değei nedi? tn (,n). d integlinin değei nedi?, n, n 7. f p d integlinin değei nedi? ctn( sin ). cos 8. d integlinin değei nedi? sin 8. f'( sin ). f( sin ) cos d integlinin değei nedi? 9., n ( cos ) tn d integlinin değei nedi? 9., n ld integlinin değei nedi?. sin.sind integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?. cos. sin d integlini hesplınız. 8

26 KAVRAMSAL ADIM I. d BİÇİMİNDEKİ LER c Δ c olmk üzee, u tü integlle, Δ nın işetine göe inceleni.. Duum: Δ < olsun. Bu duumd c (m n) p giidi. O hlde d d d c ( m n) p p m n p l olu. Son integle dikkt edildiğinde integnt, ctnjnt'lı i ifdenin tüevine enzemektedi. O hlde m n u p elde edili.. Duum: değişken değiştimesi pılıs, ctnjnt'lı i sonuç Δ olsun. Bu duumd c (m n) giidi. O hlde integl d d I c ( m n) ( m n) d olup u m n denilise du md & d m du olu.. u. m du m u I. m u A B ( m n p)( m n p) m n p m n p içiminde sit kesilee ılıs d A B ( m n p)( m n p) m n p d m n p d I I I I integlinde u m n p denilise du md integlinde v m n p denilise ETKİNLİK dv md & d & d m dv m du d c m A du u m B dv v m A B, nu m, nv olup eine zılıs m A, nm ( n p) m B, nm ( n p) I d 8 u & d du integlini ulunuz. olu. I d d 8 ( ) 9 ulunu. olu. ÜNİTE İNTGERAL u m n. & I m ( m n) ulunu.. du 9u 9. Duum Δ > olsun. Bu duumd c (m n) p (m n p)(m n p) olup eine zılıs, d d olu. c ( m n p)( m n p) u du. n, u u, n, n di. 9

27 ÜNİTE d. I integlini hesplınız. 9 9 ifdesinde Δ < olup 9 ( ) tü. O hlde d d I 9 ( ) d d olup ( ) ; E l u denilise du d & d du olu. d. du du u u l ctn u u ctn & I l ulunu. d. I integlini hesplınız. ifdesinde Δ < olduğundn. önekte olduğu gii integntın pdsı iki ke içimine getiili. Bun göe l olduğundn d d I l d R V S l W S W S W T X d R V S W S W S W T X d ; l E UYGULAMA ADIMI u l denilise du d d olup ulunu. cos d. I integlini hesplınız. sin sin du du I ctn u ve u u l zılıs d I ctn ; l E Önce t sin değişken değiştimesi pılıs dt cosd olu. O hlde integl dt I içimine dönüşü. t t t t ifdesinde Δ 9 7 < olduğundn t t t 7 t l ; t l E zılıs dt dt I t R 7 t V ; l E S l W 7 S W 7 S W T X. dt 7 J N t K O K O K 7 O L P 8 dt integlinde denilise 7 ; t l u t l 7 7 E 7 du dt & dt du 7 I u du 7 olu. ctnu u t l ve t sin 7 u sin l 7 zılıs I ctn; sin l 7 7 E olduğundn elde edili.

28 d. I integlini hesplınız. X ifdesinde Δ olduğundn ( ) d d I ( ) di. Yeine zılıs di. v denilise dv d olup dv v I v dv v v v I zılıs ulunu. e. d integlini hesplınız. e e 9 Önce t e değişken değişimi pılıs dt e d dt t t 9 olduğundn integl içimine dönüşü. t t 9 ifdesinde Δ olduğundn t t 9 (t ) t e zılıs di. Yeine zılıs dt dt ( t ) t dt t 9 ( t ) t ed e e 9 e ulunu. UYGULAMA ADIMI A B ( )( 7) 7 den A ( 7) B ( ) ( )( 7) ( )( 7) A( 7) B( ) olu. 7 için B & B için O hlde A & A olu. d A B d d d d 7, n, n 7 7, n ulunu. 7. d integlini hesplınız. 7 7 ifdesinde Δ 9 8 > olduğundn 7 ( )( ) di. O hlde A B 7 A( ) B( ) 7 7 A( ) B( ) zılıs. B & B zılıs.a & A ulunu. O hlde, ÜNİTE İNTGERAL. d I 8 7 integlini hesplınız. 8 7 integlinde Δ 8 > olduğundn 8 7 ( )( 7) di. d Ad Bd 7 d d., n., n d n di., 7

29 ÜNİTE. d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. d integlini hesplınız. ( ) 9 ctn( ) ctn l. d integlini hesplınız. d. integlini hesplınız. ctn k ctn kl d integlini hesplınız.. d integlini hesplınız. ctn( 7), n

30 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK II. ^A Bhd c BİÇİMİNDEKİ LER ÜNİTE d ulunu. integlini hesplınız. d d d d f. p d d, n ( ) d f p, n ( ), n ( ). d c m d c m, n ( ) ctn Bu tü integllede de Δ c nin işetine kılk çözüme gidili.. Duum: Δ < olsun. Bu duumd c nin tüevi oln ifdesi pınd oluştuulu. Bunun için sısıl kesin pı A pntezine lını, ile çpılı ölünü, son d ekleni çıkılı. Yni; B A B I d A A d c c B A A d c B A A d c A A B d A d c c A A d, n c B l c olu. Son integl I. gupt incelediğimiz tüdendi. Duum: Δ olsun. Bu duumd kesin pdsı tmkedi. Yni, İNTGERAL ETKİNLİK dinteglini hesplınız. c (m n) giidi. Bu duumd integnt, A B A B P Q içiminde sit kesilee ılı. c ( m n) m n ( m n). Duum Δ > olsun. Bu duumd c (m n)( p) içiminde çpnlın ılı. Son integnt A B A B P Q c ( m n)( p) m n p içiminde sit kesilee ılk integl lını.

31 ÜNİTE. I d integlini hesplınız. ( ) ' X olduğundn kesin pınd oluştumlıız. I d d 7 I d d d, n 7 Son integldeki ifdesinde Δ 8 < olduğundn O hlde Bölece ( ) di. d d d ( ) c m G u du denilise u du d ctn u d du olu ctn di. c m I, n 7. ctn c m UYGULAMA ADIMI ulunu. Biinci integlde ( )' olduğundn I, n 9 Son integldeki ifdesinde Δ 8 < olduğundn l ; l E denilise d dı. dı. 9 d 9 d 8 R V ; l E S l W S W S W T X 9. d 8 J N K O K O K O L P 8 d ; l E u l du d & d du 8 du 8. ctn u u u l ise ve. I d integlini hesplınız. I d d 9 ctn ; l olup E 9 I, n ctn ; l E ulunu. d 9 d d

32 . I d integlini hesplınız. 8 UYGULAMA ADIMI & A. l ÜNİTE 8 ( ) olduğundn A B 8 ( ) ( ) & A & A olu. d d d İNTGERAL A ( ) B ( ) ( )., n, n A( ) B ise A B A olup polinom özdeşliğinden A, B A & B. B ulunu. O hlde; d d d ( ) ( ), n ( ) d. d integlini hesplınız. ifdesinde Δ 8 9 > olduğundn ( )( ) di. A B ( )( ) A ( ) B( ) ( )( ) ( )( ), n, n ulunu.. d integlini hesplınız. ( ).( ) olduğundn, n. A B ulunu. A ( ) B ( ) ( )( ) & A( ) B( ) tü. Budn için A.7 & A, için 7 B( 7) & B ulunu. Bölece, d c md, n, n A( ) B( ) ve, n ( ).( ) & B & B ulunu.

33 ÜNİTE. d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. d integlini hesplınız. 8, n ( ), n^ 8h ctn k ( d ). integlini hesplınız.. d integlini hesplınız., n^ h, n ctn. d integlini hesplınız. 8. d integlini hesplınız., n ctn c m

34 7. 7 d integlini hesplınız. 9 PEKİŞTİRME ADIMI. d integlini hesplınız. ÜNİTE İNTGERAL 7, n^ 9h ctn 7, n, n 8. d integlini hesplınız. 9 8, n^9 8h ctn k 9 8. integlini hesplınız. d n, n 9. d integlini hesplınız.. d integlini hesplınız., n ctn k ctn 7

35 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK I d integlini ulunuz. P deecesi pd deecesinden küçük olduğundn ölme işlemine geek oktu. d pd köklei ve olup pd ( ).( ) şeklinde çpnl ılı. A B ( )( ) den ( )A ( )B ve (A B) (A B) özdeşliği elde edili. Polinomlın eşitliğinden (Belisiz ktsıl metodu) ( ) A ( ) B ( ).( ) A B ve A B denklemlei otk çözüleek A ve B ulunu. Bölece I d d, n, n elde edili. A, B ktsılını şğıdki gii iki değişik oldn uliliiz. KESİRLİ (RASYONEL) FONKSİYONLARIN İ BASİT KESİRLERE AYIRMA YÖNTEMİ P() ve Q() ie polinom ve Q()! olmk üzee P ( ) Q ( ) içimindeki ifdelee sonel fonksion deni. Bud P ( ) d Q ( ) integlinin nsıl lıncğının kulını veeceğiz. Pın deecesinin pdnın deecesinden üük d eşit olmsı duumu: Bu tü duumld p, pd ölünü, tm kısım ılı. P ( ) K ( ) B ( ) ise Q ( ) Q ( ) P ( ) K ( ) K ( ) d ; B ( ) Ed ( ) Q ( ) Q Bd d ti. ( ) Q ( ) K ( ) d integlinde K() in deecesi (K() : kln) Q() in deecesinden küçüktü. Bud d üç duum sözkonusu Q ( ) olili. ) Q() ( )(c d)(e f)... içiminde çpnlın ılıos K ( ) M N P... Q ( ) c d e f sitlei ulunu. Sitle eine zılk integl lını. sonucu logitmlıdı. ÖRNEK d ÇÖZÜM integlini hesplınız. şeklinde zıp M, N, P... P ( ) d Q ( ) integlinin Pın deecesi pdnın deecesinden küçük olduğundn ölme işlemine geek oktu. I) ( )A ( )B idi: Şimdi pd kökleini u eşitlikte kullnlım. için. ( )A ( )B & A & A için. ( )A ( )B & B & B ( )( ) olduğundn A B zılı. A ( ) B ( ) A( ) B( ) de ise. A( ) & A ise. B & B 7 di. 7 olup 7 d d d, n 7, n di. 8 8

36 KAVRAMSAL ADIM II) ETKİNLİK P ( ) A B Q ( ) eşitliğinin iinci tfının pdsını tüevleelim. P( ) P( ) A B di. Q '( ) Q '( ) P ( ) Q'( ) tü.. A.. B. I d di. integlini ulunuz. ( ).( ) olup A B ( )( ) ( )( ).A ( )B( ). için ( )( )A.B. & A için.a.( )B. & B ÖRNEK I d ÇÖZÜM integlini hesplınız. Pın deecesi pdnın deecesine eşit olduğundn ölme işlemi pılıs,! " olduğundn A( ) B( ) zılı. &. B & B d d c m d d d A B A ( ) B ( ) &. A & A di. d d d olu. ÜNİTE İNTGERAL için 8.A.B.( ) & olup d d I d, n, n di. O hlde I d n,, n ulunu. I, n, n, n elde edili. ) Pd Q() ( ) n içiminde ise K ( ) A B D... Q ( ) ( ) ( ) n zılı. 9

37 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK 7 I d integlini ulunuz. Pın deecesi üük olduğundn pı pd öleek ulunu. 7 ÖRNEK I d integlini hesplınız. ÇÖZÜM A B ( ) 7 A( ) B( ) I d d 7 d di. Son integl önceki öntemle hesplnk I, n, n elde edili. (A ) (A B) B eşitliğinden B _ A B ` & A, olu. A O hlde I, n ETKİNLİK d I d c d m d d I d, n l, n ulunu. integlini hesplınız. c) Kesin pdsınd çpnlın ılmn (Δ < oln) c gii i ifde vs pddki u ifdee kşılık p A B çpnı geli. ÖRNEK I d integlini hesplınız. ( ) ÇÖZÜM A B ( ) zılı. A ( ) B ( ) ( ) den (A B) A eşitliğinden A B _ ` A & B di.

38 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK d sin tn t integlini hesplınız. kolım. O hlde ( d c ) d m d d n, d d ÜNİTE İNTGERAL t sin t dt d ve t d sin dt t t t dt,n t t, n tn di. Bu sonuç şğıdki içimde de zılili. sin tn cos sin sin cos sin sin ( sin ) sin cos cot sin sin, n, n ctn I, n ctn olup ulunu. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İ Tigonometik fonksionlın integlini ulmk için genel i kul oktu. Anck elli pıdki tigonometik integlle için şğıdki değişken değiştime işlemi pılı. ) Q( sin, cos ) d içimindeki integlle: Bud integli lınck fonksion sin ve cos in sonel i fonksionu ise tn t değişken değiştimesi pılı. tn t & ctn t & ctn t & d dt olu. t Bi d çısı oln dik üçgen çizilise, sin t t cos ve t sin sin. sin. cos olduğundn t t sin.. t t t cos cos. cos sin olduğundn t A B t d, n cot sin sin cos d t t t n c t m t olu. elde edili. Bu değele veilen integlde sin ve cos eine zılk t e ğlı sonel i integl elde edili. Bu integl dh önce veilen öntemle hesplndıktn son t tn zılk sonuc ulşılı.

39 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK d cos tn t olduğundn, integlini hesplınız. kolım. t dt cos, d t t d cos dt t ulunu. Bu sonuç şğıdki içimde de zılili. elde edili. dt t t t c t t mdt, n t, n t t, n t tn, n tn sin tn cos cos sin tn sin cos sin cos 7 8 ccos sin m cos sin sin cos cos cos sin sin tn cos cos d, n tn cos cos olduğundn, ÖRNEK I sin d ÇÖZÜM integlini hesplınız. tn t denilise ctn t & ctn t t d dt ve sin t t t dt t t ve t tn zılıs I ulunu. tn ) Q( tn ) d içimindeki integlle: Bu integllede tn t değişken değiştimesi pılı. tn t & ctn t dt Qt (). t ÖRNEK tn I d tn ÇÖZÜM Bud t dt dt ( t) ( t) t t d dt t tn t & ctn t olup integl olduğundn eine zılıs içiminde sonel i fonksionun integline dönüşü. & d dt t integlini hesplınız. t ( ). tdt I dt t t ( t)( t) t A Bt den ( t)( t ) t t ^ t h ( t) olu. t A At Bt Bt t ( t)( t ) ( t)( t)

40 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK cos d integlini hesplınız. cos cos d cos d cos d I cos ( sin ) sin sint t kosk cos d dt ve dt I olu. t tnu kosk, t t t (A B) t(b ) A eşitliğinden A B B, B, A A tdt t dt ( t )( t ) t f p t dt t dt dt t t t ulunu. ÜNİTE İNTGERAL cos u du cos u du t du, n t. dt ctn t I t tn u cos u cos u, n t, n t ctn t A t tn zılıs, n tn u cos u I, n tn, n tn ctn( tn ) t t t, n, n tn, n sec u B, n tn, n sec, nt t, n sec, n olu. tn, n sin sin k,( k, n ) ulunu. ETKİNLİK t d integlini hesplınız. ^ h n n ) Q( sin, cos ) d ( n! Z ) içimindeki integlle: Bu tü integllede tn t değişken değiştiimi pılı. tn t & ctnt & d dt olu. t Bi çısı oln dik üçgen çizilise; A sin cos t t t olup veilen integlde eleine zılk t e ğlı sonel i fonksionun integli elde edili. Bu integl hesplndıktn son t tn zılk sonuc ulşılı. t B t

41 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK ETKİNLİK I sin. cos d ulunu. ETKİNLİK integlini hesplınız. ÇÖZÜM sin. cos d sin. cos. cosd sin.( sin ).( cos d) u sin olsun. du cos d ti. sin. cos d u ( u ) du u u ( u u ) du sin sin sin. cos d integlini hesplınız. tn t & ctn t d dt t ve cos değelei eleine zılıs t I t dt t dt c m t t dt t dt t c m I dt t > c m H t u & du dt & dt du I integlini hesplınız. cos d du ctn u u t tn u ctn tn & I ulunu. c m IV. sinm. cosnd BİÇİMİNDEKİ LER: (m, n Z) Bud duum söz konusu olili.. m çift n tek olsun. O zmn n p içiminde zılili. Budn sin m. cos n d sin m. cos p d m p sin. cos. cos d m p sin ( sin ) cos d olu. Bu son integlde sin t denilise cosd dt olu. O hlde, m p m p sin.( sin ) cos d t.( t ) dt olu.

42 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK cos d integlini hesplınız. cos cos d ( cos ) d ( ) d ( cos cos ) d d cos d cos d d cos d d cos d 8 8. sin. sin 8 8 sin sin 8 ETKİNLİK sin. cos d integlini hesplınız. ÖRNEK I sin. cos d ÇÖZÜM Veilen integli integlini hesplınız. ulunu. içiminde zlım.. m ve n nin ikisi de negtif olmn çift sıl olsun. Öneğin, m p, n q olsun. olup pntezle çılk elde edilen integlde çift ve tek kuvvetlein ilikte ulunduğu teimlein integli. deki oldn, çift kuvvetlein ulunduğu teimlein integli de cos cos eşitliği dımı ile hesplnı. ÖRNEK ÇÖZÜM I sin. cos cos d sin.( cos ) cos d sin ^ sin h cos d t sin & dt cos d 8 I t.( t ) dt t ( t t ) dt ( t t t ) dt 9 t 7 t I t ve t sin ise sin sin sin I 7 9 sin m. cos n d sin p. cos q d I sin. cos d p q ( sin ).( cos ) d cos p cos p c m. c m d integlini hesplınız. ÜNİTE İNTGERAL I ( sin ).( cos ) d zılıs I cos cos cos c m. c m d c d m cos d d cos d 8 8. sin 8 8 sin ulunu. 8 cos d 8

43 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK sin d ETKİNLİK integlini hesplınız. sin d sin.( sin d) ( cos ).( sin d) u cos olsun du sin d sin d ( u ).( du) ulunu. sin. sin d ( u ) du u u integlini hesplınız. ti. cos cos. m ve n nin he ikisi de tek sı olsun. Bud mutlk değece küçük kuvvetli oln fonksion pçlnı. Geie kln işlemle. deki oldn südüülü. ÖRNEK sin I d cos ÇÖZÜM integlini hesplınız. Veilen integlin sin. cos d olduğu düşünülüse < olduğundn sin fonksionu pçlnı. sin. sin ( cos ) sin d d cos cos u cos & ( u ).( du) u u cos zılıs du sind olduğundn u du u ulunu. V. sinm. cosnd, cosm. cosnd BİÇİMİNDEKİ LER Bu integllei hesplmk için du u u du u du I cos cos sec sec u u u u sin m. cos n sin( m n) sin( m cos m. cos n cos( m n) cos( m sin m. sin n cos( m n) cos( m eşitliklei kullnılı. ÖRNEK I sin. cos d integlini hesplınız. ÇÖZÜM sin.cos sin( ) sin( ( sin sin ) olduğundn

44 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK cos. cos d integlini hesplınız. cos. cos cos( ) cos( I ( sin sin ) d sin d sin d. ( cos ). ( cos ) cos cos ulunu. ÜNİTE İNTGERAL fomülü ugulnk cos. cos d cos( ) cos( d cos d cos d. sin. sin sin sin ulunu. ETKİNLİK cos. cos d integlini hesplınız. ÖRNEK I sin. sin 8d integlini hesplınız. ÇÖZÜM sin.sin8 cos( ) cos( ) 8 cos cos( ( cos cos ) (cos( α) cosα) I sin. sin 8d ( cos cos ) d ( sin sin ) sin sin 8 ÖRNEK ulunu. I cos. cos d integlini hesplınız. ÇÖZÜM cos.cos cos( ) cos( ( cos 7 cos ) olduğundn eine zılıs I cos. cos d ( cos( 7 cos ) d ( sin 7 sin ) 7 sin 7 sin ulunu. 7

45 ÜNİTE. integlini hesplınız. ( ) d PEKİŞTİRME ADIMI d. n ( n> ) integlini hesplınız. ( ) d. integlini hesplınız., n ctn c m n n ( ). zılilio. ( ) ; ( ) E ( ) A B D / ( ) ( ) A, B,, D ktsılını ulunuz. özdeşliğinde A, B, D d. integlini hesplınız.. d integlini hesplınız., n, n ( ) 8

46 7. sin cos d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. sin. cos d integlini hesplınız. ÜNİTE İNTGERAL 8. cos. sin d integlini hesplınız. sin sin ( sin sin ) 8 8 d. integlini hesplınız. sin. cos sin 8, n tn cos 9. sin. cos d integlini hesplınız.. sin. cos 7 d integlini hesplınız. sin sin 8 cos cos 8 9

47 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK sec d sec sec.sec di. integlini hesplınız. sec u, sec d dv seçelim. sec.tnd du, tn v ulunu. sec d sec. tn tn. sec d PARÇALI (KISMİ) u ve v in difensielleneilen fonksionu ise u.v fonksionunun difensieli d(u.v) udv vdu olu. He iki tfın integli lınıs d( u. v) udv vdu uv. udv vdu olup ölece udv u. v vdu sec.tn sec ( sec ) d sec. tn ( sec sec ) d sec. tn ( sec sec ) d sec d sec. tn sec d sec d sec d sec tn sec d sec d [sectn,n sec tn ] ulunu. ETKİNLİK, n d ( ) integlini hesplınız. ulunu. Bu fomüle pçlı integl fomülü deni. He integl pçlı integl fomülü ile hesplnmz. Çpım içimindeki elli şlı tülein u öntemle integli ulunili. Bud önemli oln nee u, nee dv dieceğimizi kestimekti. Bu seçim pılıken şunl dikkt edilmelidi:. dv integlinden v v() fonksionu kolc ulunilmeli,. vdu integlini hesplmk udv integlini hesplmktn dh kol olmlıdı. UYARI Kollık sğlmsı kımındn şğıdkile veileili: P() i polinom olmk üzee;.. m P ( ).* sin m d cos m m u P( ), dv* sinm d cos m içimindeki integllede seçimi pılı. Zlog m _ ] csin m ] [ ccos m`. Pd ( ) içimindeki integllede ] ctn m ] \ c cot m Zlog m _ ] csin m ] u [ ccos m` dv P( ) d seçimi pılı. ] ctn m ] \ c cot m n n n., nd, n n ( n ) '. P ( ). e d e ( P ( ) P( ) P''( )...)

48 . I nd, integlini hesplınız. UYGULAMA ADIMI. I ctn d integlini hesplınız. ÜNİTE Bud u,n, dv d seçimi pılıs du O hlde olu. ulunu... d integlini hesplınız. d, v d v nd, uv. vdu., n. d, n d, n. I, n u, dv d seçimi pmk ugun olcktı. u ctn du d I uv. vdu. dv d v ulunu. e. I d integlini hesplınız. ( ) u e du ( )e d.ctn. d.ctn d I. ctn, n( ) I uv v. du e ( e ) d e I e dv d ( ) v ulunu. İNTGERAL O hlde du d, v d., n olcğındn d u. v v. du. d, n, n..., n, n, n. olu., n c, n m. I d integlini hesplınız. sin u dv sin d du d v cot I d u. v v. du sin cot cotd I cot, n sin ulunu.

49 ÜNİTE. I e.sind integlini hesplınız. u e dv sind du e d v cos I e sin d u. v v. du e cos e cos d J J e cos d integlinde de pçlı integl fomülü ugulnıs p e dt cosd dp e d t sin J p. t tdp e sin e sin d olup ukıd eine zılıs I e cos e sin e \ sin I I e ( sin cos ) e I ( sin cos ) ulunu., n 7. I d integlini hesplınız. u, n dv d du d v 9 9, I n d u. v v. du. 9 n 9, d , n I n 9 9 c, 9 m ulunu. UYGULAMA ADIMI e e 8. I c m d integlini hesplınız. I e e d d X J e J d integlinde u e dv d du e v ulunu. dielim. e e J u. v v. du d e I d J e d e e I ; d E e e d e d e I olu. 9. I e d integlini hesplınız. Pçlı integl fomülünü dh ht ugulilmek için önce t değişken değişimi plım. d tdt u t du dt I uv vdu olduğundn t I e d te dt di. dv e t dt v e t t t t t te e dt te e I. e e e ( ) ulunu.

50 . I sin(, n) d integlini hesplınız. Veilen integli sin(,n) I. d sin(,n) u dv d içiminde zlım. I d. I integlini hesplınız. ( ) Veilen integli du d v cos(, n) içiminde zlım. sin( ) I.,n d u. v v. du J cos(, n) cos (, n ) d J J cos(, n) d integlini de cos(,n) J. d içiminde zsk p cos(,n) dt d dp d t sin(, n) cos(,n) J d pt tdp J sin(, n) sin (, n ) d I I cos(, n) J I cos(, n) sin(, n) sin (, n ) d I I cos(, n) sin(, n) I sin(, n) cos(, n) UYGULAMA ADIMI J ( ) d d d ( ) ( ) J ctn J d ( ). d ( ) ugulnıs integlini u dv d ( ) du d v J I d uv vdu ( ) içiminde zıp pçlı integl fomülü d ( ) ctn ( ) d ( ) ctn ( ) ctn ctn ulunu. ( ) ÜNİTE İNTGERAL ETKİNLİK sin d integlini hesplınız. sin d integlini hesplınız.

51 ÜNİTE. cos d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI., n ( ) d integlini hesplınız.. e d integlini hesplınız. sin cos e ( ) csin. d integlini hesplınız. n, ( ) Actn Acsin. e d integlini hesplınız. cos. d integlini hesplınız. sin e e, n tn sin

52 7.,n d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI..sin d integlini hesplınız. ÜNİTE İNTGERAL 8. ( ) e d integlini hesplınız., n e ( ) sin cos 7., n ( ) d integlini hesplınız. n, ( ) 9. e d integlini hesplınız.. e cos d integlini hesplınız. e ; E 8 e ( cos sin )

53 KAVRAMSAL ADIM RİEMANN TOPLAMI OLARAK BELİRLİ f() fonksionu [, ] lığınd süekli olsun., n olmk üzee,,..., n ile [, ] lığını n eşit pç ölelim. f() eğisi,, doğulı ve ekseni sınd kln ln A dı deni ve fd ( ) A zılı. lim An( T)! lim Ü ( T) ise n " n " n f() fd ( ) integli oktu.... n n n... n n n n n di. Bi köşesi f() eğisi üzeinde ulunn ve eğinin ltınd kln şekildeki tlı dikdötgenlein lnlı toplmın lt toplm deni ve A n (T) ile gösteili. Yni A n ( T) n f ( ) n f ( )... n f ( n ) n " f ( ) f ( )... f ( n ), n / n f ( k) k dı. Bi köşesi f() eğisi üzeinde ulunn ve eğinin üstüne tşn dikdötgenlein lnlı toplmın üst toplm deni ve Ü n (T) ile gösteili. Yni, (n ) (/n) (/n) (/n) ÖRNEK d ÇÖZÜM n... (n ) n n n integlini Riemnn toplmı dımıl hesplınız. ( ) A ( T) n n n n... n n n k k ; E n n k "... ( n ), ( n ) n ( n ) n.( n )( n ). n n n n Ü ( T) n n n n... n n k k Ü n( T) n f ( ) n f ( )... n f ( n) n " f ( ) f ( )... fn ( ), n / n f ( k ) dı. k Alt ve üst toplml Riemnn toplmı deni..... ( )( ) n nn n k " n, ; E n. n n ve n ( ). n n lim A T lim. n n n n " " * Ü ( ). n n lim T lim. n n n n " " * lim A ( T) lim Ü ( T) A ise n " n n " n olduğundn, d tü.

54 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK ÜNİTE eğisi, ekseni ve doğusul sınılnn ölgenin lnını dikdötgenlein lnlı dımıl klşık olk ullım. Eğinin ltınd kln dikdötgenlei ele llım fiekil fiekil fiekil Şekil 'deki üç dikdötgenin toplm lnı; (). (). ()..( ) iimke olu. Şekil 'teki ltı dikdötgenin toplm lnı; (). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ), Pç sısı Aln hesplm iimke olu. [f() f() f()] ( ) [f() f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) ] Toplm ln,87 7,9 8,8 8,98 8,998 İNTGERAL Eğinin üstünde kln dikdötgenlei ele llım fiekil fiekil Şekil 'te üç dikdötgenin toplm lnı; (). (). ()..( ) iimke olu. 7

55 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM Şekil 'teki ltı dikdötgenin toplm lnı; ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). 9.( ),7 iimke olu. 8 8 Pç sısı He iki tlo kıldığınd pç sısı ttıkç lt ve üst dikdötgenlein lnlı toplmının 9 değeine klştığı göülmektedi. Etkinlikteki sısl işlemle şğıdki şekilde genelleştiileili. Alt ve üst dikdötgenlein lnlı toplmını ulmk için; [,] kplı lığı, < < <... < n < n olmk üzee k! ",,,..., n, için [ k, k ] içiminde n tne kplı lt lığ ölünmüştü. Δ k k k, f() n ve t k! [ k, k ] olmk üzee u lnl toplmı / ft ( k)δk k içiminde zılili. Bu toplm Riemnn toplmı deni. n n " (Δ k ) için / ft ( k)δk toplmın elili integl deni k Aln hesplm [f() f() f()].( 9) [f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f() ] ve lim / n ft ( ) Δ içiminde gösteili. n " k k d k Toplm ln,7, 9, 9, 9, ETKİNLİK,, doğulı ve ekseni ile sınılnn lnı Riemnn toplmı dımıl ulunuz. 8

56 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK e, n d Önce,nd in değeini hesplınız. integlini ullım. u, n ve dv d olsun. du d ve v d, nd u. v v. du, n.. d., n d n, e e &, nd I ( e., ne e) (., n ) ( e. e) (. ) ulunu. ETKİNLİK olu. 9 d integlini hesplınız. BELİRLİ Belili integl mtemtik içinde önemli i ee ship oln kvmldn iidi. Bi eğinin i pçsının uzunluğu, sınıldığı ln, hcim v. hespl elili integl olul kolc pılili. fd ( ) F ( ) ise fd ( ) kd elili integli deni. fd ( ) F ( ) I F ( ) F ( ) dı. olduğundn fd ( ) ( F ( ) ) ( F ( ) ) Bud integlin lt sınıı, e üst sınıı deni. BELİRLİ İN ÖZELLİKLERİ. A sit ise Af( ) d A f( ) d di.. [ f( )! g( ) "...] d f( ) d " g( ) d "... di..,, c R için < c < di.. fd ( ) dı.. c f( ) d f( ) d f( ) d c fd ( ) fd ( ) ifdesine f() fonksionunun dn e ti. ÜNİTE İNTGERAL f tek fonksiondu. ( ) 9 9 Çünkü f( ) f ( ) ( ) O hlde 9 d dı. ti.. < olmk üzee [, ] lığınd f() g() ise f( ) d g( ) d di. UYARI f() i pçlı fonksion ve f nin [, ] lığındki kitik noktlı,,..., n ise integl fd ( ) fd ( ) fd ( )... fd ( ) n içiminde hesplnı. 9

57 KAVRAMSAL ADIM TEK VE ÇİFT FONKSİYONLARIN SİMETRİK ARALIKTA İ IR olmk üzee (, ) içimindeki lıkl simetik lık deni. I. f() çift fonksion ise II. f() tek fonksion ise ÖRNEK ÇÖZÜM dı. integlini hesplınız. f() olduğundn f tek fonksiondu. O hlde ÖRNEK dı. integlinin P tüünden eşiti nedi? ÇÖZÜM fd ( ) fd ( ) fd ( ) fd ( ) tn d tn f ( ) i ç in tn( ) tn f( ) ( ) tn d / d P ise d tn tn tn çift fonksion olduğundn d tn / d P tn d tn di. İŞARETİ ALTINDA TÜREV (LEİBNİTZ KURALI) v ( ) F ( ) ftdt ( ) ise F'() f[v()] v'() f[u()].u'() ti. u ( ) ÖRNEK sin t F ( ) t dt ise F ' k ÇÖZÜM F'() ullım. sin sin( ) F'( ) ( )'.( )' ( ) ÖRNEK nedi? f ( ) e d fonksionunun psisli noktsındki teğetinin eğimi kçtı? ÇÖZÜM psisli noktdki teğetin eğimi f'() di. ÖRNEK sin sin sin. sin F' k di. f'( ) e ( ).( )' e ( ).( )' e ( ).( ) e ( ).( ) ( ) ( ) f'( ) e e di. f'( ) e e e di. f ( ) sin t dt fonksionunun psisli noktdki teğetinin denklemi nedi? ÇÖZÜM için f( ) sin t dt olu. Çünkü i elili integlde lt ve üst sını nı ise integlin değei sıfıdı. Teğetin eğimi m f'( ) olduğundn önce f'()'i ullım. f'() sin( ).( )' sin( ).( ) ' sin( ) sin f'( ) sin sin sin O hlde teğet denklemi: f( ) m( ( )) (sin).( ) (sin)( ) di. ÜNİTE İNTGERAL 7

58 . d elili integlini Riemnn Toplmı dımıl kplı lığını he lt kplı lığın uzunluğu Δ n olck şekilde n eşit pç ölelim. Bu duumd < < <... < n < n olmk üzee, n n ( k ) 7 n Alt toplm / f( k )Δ / c m n n / ( k ) k k n k 7 ( n ). n.( n ) 9( n ).( n ) c m n n n n Ü st toplm f( )Δ n k 7 n / k / k. n / k k k n k 7 n.( n )( n ) 9( n )( n ). n n ulunu. elde edili. 9( n )( n ) 9( n ) n Riemnn Toplmı n n 9( n )( n ) ( )( ) lim 9 n n & d lim n" n n" n & 9 d 9 & d 9. ( d ) integlinin değeini eği ltınd kln ln dımıl ulunuz. ( d ) d d UYGULAMA ADIMI. ( d ) integlinin değeini eği ltınd kln ln dımıl ulunuz. ( d ) d d Dikkt edilecek olus eşitliğin ikinci tfındki iinci integl şğıdki şekilde göüldüğü gii genişliği, üksekliği iim oln dikdötgenin lnı olup değei 8 iimkedi. İkinci integlde integnt simetik lıkt tek fonksion olduğundn değei sıfı olu. Budn, ( d ) 8 8 ulunu.. d integlini hespllım. d ( )' d I. d integlini hespllım. ulunu. d c m' d I ( ) ( ^ h ulunu. ÜNİTE Geometik olk ukıdki eşitliğin sğındki iinci integl şekildeki dikdötgenin lnı ve ikinci integl ise şekildeki üçgenin lnı olu. Budn,. ( d ). (,) ulunu. dt. f ( ) içimindeki f fonksionunun gfiğinin t deki teğetinin eğimi kçtı? f'( ). ( )' f'( ) teğetin eğimi f'( ) di..( ) f'( ) ( ) ulunu. 7

59 ÜNİTE 7. cos d integlini hespllım. Tüevi cos oln fonksion sin olduğundn cos d ( sin )' d d( sin ) UYGULAMA ADIMI. ( sin ) d integlini hesplınız. ( sin ) d; cos I E c cos cos m c m 8. tn d integlinin değeini ullım. fd ( ) olduğundn 9. ( tn ) d integlini hespllım. sin I / sin sin ulunu. ( tn ) d ( tn d ( tn ) d d d( tn ) d / / tn I I tn tn k k tn d ulunu. dı.. d integlini hesplınız. 8 c m c m 7 di.. / / ulunu. / 78 /. / 8 78 / 8 d 8 I 8 8 / 8 / ^ ( ) 8 h 8 8 ( ) I cos d integlini hesplınız. cos cos cos d / / I I. sin I / / eşitliği kullnılıs cos cos d d d k sin. sin k.( ) 8 8 ulunu. 7

60 d. integlini hesplınız. olduğundn ^ hd d d olu. sin. e.sind integlini hesplınız. u sin X ( ) d d / / c ( ) m I / ^ / & du sin.cosd & du sindu / / sin u u sin e sin d e du e I e I ^ h^ h sin / e e c m e e ulunu. UYGULAMA ADIMI ( e ). d integlini hesplınız. e u.e denilise du (e e )d ( )e d olu. ( e ) e du e d e u nu I n e,, I, n( e), n, n( e) ulunu. MUTLAK DEĞER İÇEREN İFADELERİN İ f ( ) d integlinin değei ulunuken, f() in (, ) lığındki işeti inceleni. f() in (, ) lığının lt lıklındki işetleine göe integl ugun pçl ılı. He pçnın elili integli ulunu. 7. d integlinin değeini ullım. olduğundn d d d ÜNİTE. e d integlini hesplınız. u & du d u u e d e d e du e I e I ( e e ) ( e ) di. ( d ) d I ulunu. I ( ) c m c m ^ h 7

61 ÜNİTE 8. d integlinin değeini ullım. UYGULAMA ADIMI. ^ hd integlinin değeini ullım. & d d d ( ) d ( ) d c m I c mi ; c. m c. me ; c. m c. me ^ h c m ^8 8h ^ h ulunu. 9. d integlinin değeini ullım. ^ hd d d d d d d ( ) d ( ) d c m c m I I I ^ h ; c. m c. me ; c. m c. me 7 ; ( ) ( ) E 7 7 ulunu. 9 d integlinin değeini ullım. & ve g (, ) ti. (, ) & > olduğundn d ( ) d c m I c. m c. m 9 9 ulunu. 9 ^ h olduğundn 9 d d / d d / 7

62 ulunu.. d integlinin değeini ullım. ( ) d ( ) d c mi c mi. > c m H > c m f c m ph & ( ) &, d ( ) d ( ) d ( ) d ulunu. c m I c m I c mi ( ) ( ) > c m c mh ; c me ; c me UYGULAMA ADIMI. ^ cos hd integlinin değeini hespllım.!, k için cos >! c, m için cos < olduğundn cos d cos d cos d ulunu. olduğundn. f ( ) ^t t hd içiminde tnımlı f() fonksionu- nun ekstemum noktlı A(, ), B(, ) ise, kçtı? f ( ) ^t t hdt cos d cos d ^ h ise ^ ). ( h f' ^h 7 olu. f() in ekstemum noktlının psislei toplmı f'() denkleminin köklei toplmı olduğundn di. 7 π π π sin I ^sin h I sin sin k ; csin sin me ^ ve 9 d I > c m H 8 9 ^ cos hd 8 f'( ) 9^h ^h' ^ h. ^h' π ÜNİTE 7

63 ÜNİTE. Şekilde f' fonksionunun gfiği veilmişti. Bun göe, f"( ) d f'( ) integlinin değei kçtı? f"( ) d f'( ) integlinde u f'( ) & du f"( ) d f"( ) du d f'( ) u, nu I f'( ), n dı. Şekilden f'( ) f'(), f'() olup olup u f'( ) &, nu, n f'( ) I, n f'( ), n f'( ) f"( ) d, n, n, n f'( ) e., n(, n) d integlinde e t dönüşümü pılıs e şğıdki integlleden hngisi elde edili? di. UYGULAMA ADIMI f' Bu son integlin sınılını ullım. Veilen integlde; lt sını: e üst sını: e Son integlde; lt sını e e t & t pıln dönüşüm: e t üst sını: e e t & t di. O hlde eni integl olu. 7. d integlinin değei kçtı? t e., ntdt d ( ) d ( ) d c m I c mi ( ). ; E c m olu. t, n t A) e ntdt B) t dt ) e t,, nt d t t e D) e, ntd E) dt, nt e, n(, n) d e integlinde e t & d e t dt olu. e n( n) d n( ne t t,,,, ). e dt e 8. f(), g(), f().g() olduğun göe, f'( ). g( ) d f( ). g'( ) d f(), g(), f().g() f'( ) g( ) d f( ). g'( ) d f( ). g( ) I integlinin değei kçtı? e t, ntdt olu. f().g() f().g(). 7

64 , n, n 9. integlinin değei kçtı? u, n & u, n d du e & u, ne di. Yni ulunu.. I sin ( cos ) sin d integlinin değei kçtı? u cos & u cos du cos( sin)d du sin d olu. e, n, n d ^ u u h du olu. olduğundn udu u c u m I 7 c m udu & u cos I sin ( cos ) sin d sin u du sin u du cos sin & I c. sin m I sin cos I d ulunu. UYGULAMA ADIMI. I sin. cos d ^ h integlinin değei kçtı? u sinπ du π.cosπ d du cos d & u & u csin. I d integlinin değei kçtı? u csin & u csin & u I sin ( ). cos d u u du. I > c m H c m du d & u csin I csin d u u du u I ; k E ulunu. ÜNİTE, n. ( e e ) d integlinin değei kçtı?, n, n, n ^ e e h d ce e m I, n, n, n, n, n, n ce e m ce e m e ^e h c m 8 e e ulunu d cos integlinin değei kçtı? u tn & ctn u / & u d u du u & u sin, cos u u u u 77

65 ÜNİTE cos cos. k cos cos. cos. olu. u d. du cos ( u )( u ) olduğundn Son integlde u tni dönüşümü pılıs du sec i di u & tn i & i ve integl ulunu. e, n. d integlinde e t dönüşümü pılıs hngi, n integl elde edili? e t & d e t dt & e t & t e & e t e & t di. O hlde du olu. ( u ) u & tn i & i. sec idi sec idi I ( tn i) ( sec i) d sec i i.cos idi cos i. c mdi / i ; sinie. 8 c k e t, n ^, ne h d t. e dt n t, ^, ne h m t t f pedt integli elde edili. t UYGULAMA ADIMI d. integlinde cos dönüşümü pılıs hngi integl elde edili? integli elde edili. 7. f() fonksionunun ve psisli noktlındki teğetleinin eğim çılı sısıl ve di. 8. cosα & cosα & d sinα dα & cos & olup d sin d sin d cos. cos cos. sin Bun göe, d cos ^f'( ) h f"( ) d integlinin değei kçtı? psisli noktsındki teğetinin eğim çısı ise f'( ) tn tü. psisli noktsındki teğetinin eğim çısı ise f'() tn tü. O hlde ^ f'( ) h. ^ f'( ) h ' d olduğundn u f'() & du f"() d ti. ['( )] u du u I f I 9^ h ^ h ^ h ulunu. Z, < ise ] f ( ) [, < ise ], < ise \ fonksionu için fd ( )? f( ) d d ( ) d d I I I [ ( )]. ( ).( ) 8 dı. 78

66 . d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. f() olmk üzee, f ( ) d integlini hesplınız. ÜNİTE. d integlini hesplınız.. f() olmk üzee, f ( ). df ^ ( ) h integlini hesplınız. 8 d. integlini hesplınız. e., nd ^, n h integlini hesplınız.,n 79

67 ÜNİTE, e n 7. d, n integlini hesplınız. e ^ h PEKİŞTİRME ADIMI d. integlini hesplınız. 8. cos d integlini hesplınız. e e. sin d integlini hesplınız. k 9. sin d integlini hesplınız.. d integlini hesplınız., n 8

68 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK polü ile 8 doğusunun sınıldığı ölgenin lnı k iimke ise, "k" sısı kçtı? & ve & 'di. Bdn DÜZLEMSEL BÖLGELERİN ALANLARI. f: [, ] IR fonksionu için [, ] lığınd f() ise f() eğisi ve doğulı ile ekseni sınd kln düzlemsel ölgenin lnı f() A A f( ) d ti. ÜNİTE ( ), ulunu. S ( ) ; E I S ( 9 9 9) S 9 iimke 8 k & 8k & k ulunu. ETKİNLİK polü ile doğusu sınd kln ölgenin lnını ulunuz.. [, ] lığınd f() ise f() eğisi ve doğulı ve ekseni sınd kln düzlemsel ölgenin lnı A f( ) d ti.. f: [, ] IR fonksionu [, ] lığınd işet değiştiios, f() eğisi, ve doğulı ile ekseni tfındn sınılnn düzlemsel ölgelein lnlı A, A, A ise A A A f( ) d ti. fd ( ) A A A tü.. f() ve g() eğilei ile ve doğulının sınıldığı tlı ln A dielim. Tlı ölgede üst ucu g(), lt ucu f() eğilei üzeinde ulunn KL şeidini çizelim. KL şeidi kendine plel olk kdıılıp ölgei tdığınd üst ucu hep g() üzeinde, lt ucu hep f() üzeinde klıos ölgenin lnı A " g( ) f( ), d olu. A f() A f() A A K g() f() L. f(), g() eğilei ile ve doğulının sınıldığı ln A dielim. Tlı ölge içinde uçlı f(), g() eğilei üzeinde oln ve eksenine plel oln KL şeidini çizelim. Bu şeit kendisine plel olk kdııldığınd sol ucu hep f() eğisi üzeinde, sğ ucu hep g() eğisi üzeinde klıos tlı ln f() K L g() A " g( ) f( ), d di. 8

69 KAVRAMSAL ADIM ÜNİTE ETKİNLİK ve doğulı ile f() sin g() cos eğilei sınd kln lnı ulunuz. S ( sin cos ) d cos S f p f p S ETKİNLİK π ulunu. ve pollei sınd kln ölgenin lnını ulunuz. π g()cos f()sin ÖRNEK Şekilde polünün i pçsı çizilmişti. Tlı ln kç iimkedi? ÇÖZÜM Alnı ulunck ölgede eksenine plel i şeit çizelim. Bu şeit kendisine plel olk kdııldığınd üst ucu hep polü üzeinde, lt ucu d hep ( ekseni) üzeinde olu. O hlde tlı ln 7 A ^ h d c m 9 iimkedi. I ÖRNEK Şekilde veilenlee göe, tlı ln kç iimkedi? ÇÖZÜM e eğisi eksenini için e ' de kese. Tlı lnı iki pç ıısk. Aln c e dm c m ( üçgenin ln ) e I e e e ÖRNEK iimkedi. Şekilde veilenlee göe, tlı ln kç iimkedi? ÇÖZÜM e Tlı lnı şekildeki gii A ve B die ikie ılım. K noktsının odintı olup A öl- gesinin lnı; c m. A iimke (muğun lnı) e e B d, n I, ne, n iimke olup tlı ln A e K(,) B e e 9 A B iimkedi. 8

70 . eğisi ile doğusu sınd kln ölgenin lnı kç iimkedi? UYGULAMA ADIMI. f: IR IR, f() fonksionunun gfiği şekilde veilmişti. S iimke S iimke olduğun göe, S S f() ÜNİTE Tlı ln, ile, doğulı sınd kln ölge olduğundn. Şekildeki tlı ln Aln d ( ) d c m I iimkedi. iimke ise kçtı? polünün simeti ekseni doğusu ( ekseni) olduğundn lnl simetikti. için ( ) olduğundn doğunun denklemi, di. O hlde ( ) ( d ( ) ( d ( ) d c mi c m & & 8 & di. I integlinin değei kçtı? Pçlı integl fomülü kullnılıs, u du d dv f'()d v f() I uv. vdu. f. ( ) I fd ( ).f().f( ) S S I uv. vdu f. ( ) I fd ( ).f().f() S ( ).( ) S 8 olup I I I 8 olu.. Şekildeki tlı ln kç iimkedi? f. '( d ) & & A & B & Tlı ln AAOB ( ) ^ hd. I f p c m iimkedi. 8

71 d integlinin değei nedi? Veilen integlin değei çemei ile doğusunun sınıldığı şekildeki tlı lndı. O hlde tlı ln, ıçpı oln dienin lnının ünden A AOB çıkılk ulunu. ^ & h. Tlı ln. π 8 (π ) olu.. Şekilde veilenlee göe, tlı ln kç iimkedi? A A^& KLOh B A B L K(,). d I B UYGULAMA ADIMI A iimkedi. 8. & ( ), olup eği ile doğu u noktld kesişile.. ölgedeki ln ile. ölgedeki ln iiine eşit (Neden?) olduğundn Tlı Aln ^ h d iimkedi. Şekilde polü ile d doğusunun kesim noktlı A(, ), B(, 8) gösteilmişti. Tlı ölgenin lnı kç iimkedi? ; E I c m. 8 A B B(,8) A(,) 7. (,) D(,) Şekilde ADB muğunun lnı S 8. iimke Şekildeki tlı ln kç iimkedi? d E Tlı ölgenin lnı ise 9 iimke ulunu. 8

72 UYGULAMA ADIMI. polü ve doğulı ve ekseni. sınd kln ölgenin lnı kç iimkedi? ÜNİTE. eğisi ve doğulı ve ekseni ile sınılnn ln kç iimkedi?. S S f() Şekilde f() fonksionu ile ekseni sınd kln tlı ölgelein lnlı S iimke ve S iimkedi. Bun göe, ) fd ( ) ) fd ( ) c) fd ( ) integlleinin değeini ulunuz., n S S f() Şekilde f() fonksionu ile ekseni sınd kln tlı ölgenin lnlı S iimke ve S iimkedi. Bun göe, ) f ( ) d ) f ( ) d c) f ( ) d integlleinin değeini ulunuz.. Anlitik düzlemde,, doğulı ve ekseni sınd kln ölgenin lnı kç iimkedi?. Şekilde tlı ölgenin lnı kç iimkedi? f() O ) ) c) 7 ) ) c) 8

73 ÜNİTE 7. UYGULAMA ADIMI 9. Anlitik düzlemde ve pollei sınd kln ölgenin lnı kç iimkedi? 8. Şekilde eğisi ile, doğulı ve ekseninin sınıldığı ölgele veilio. Bun göe, tlı ölgelein lnlı toplmı kç iimkedi? 7. Anlitik düzlemde ve pollei sınd kln ölgenin lnı kç iimkedi?. Şekildeki S ve S içinde ulunduğu ölgenin lnını göstemektedi. S S ise kçtı? S S. Anlitik düzlemde eğisi ile doğusunun sınıldığı lnlın toplmı kç iimkedi?. ^ h d integlinin değeini ulunuz. π 8

74 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK ) R çemeinin oluştuduğu küenin hcmini ulunuz. Biinci ölgedeki çeme ının O etfınd döndüülmesi ile ım küe hcmi elde edili. v R R d ( R ) d R R R O R ; R E ( R. R R ) ( ) R > H v R R & v ulunu. ), n eğisi O ekseni, ve doğulı sınd kln ölgenin sınıldığı lnın O ekseni etfınd dönmesi ile elde edilen cismin hcmini ulunuz. ln HAİM HESAPLARI DÖNEL İSİMLERİN HAİMLERİ. f() eğisi,, doğulı ve ekseni ile sınılnn şekildeki tlı ölgenin ekseni etfınd döndüülmesi ile oluşn dönel cismin hcmi şöle ulunu. ismin eksenine dik düzlemlele kesiti dim i çeme olduğundn kesitin lnı A π f ( )@ olup dönel cismin hcmi. f() eğisi, c ve d doğulı ile ekseni sınd kln şekildeki tlı ölgenin ekseni etfınd döndüülmesi ile oluşn cismin hcmi d d V d f( d di. c c V d f( d f() olk ulunu. f() ÜNİTE, n & e di. v d e. d. f() ve g() eğilei ile ve doğulı tfındn sınılnn şekildeki ölgenin ekseni etfınd döndüülmesi ile oluşn cismin hcmi V % f( g( / d ti. f() g() e ( e e ) ; E > H ulunu. 87

75 ÜNİTE. e eğisi, ve doğulı ile ekseninin sınıldığı ölgenin ekseni etfınd döndüülmesi ile oluşn cismin hcmi kç iimküptü? e UYGULAMA ADIMI d c g() f() f(), g() eğilei ile c ve d doğulının sınıldığı şekildeki lnın ekseni etfınd döndüülmesi ile oluşn cismin hcmi V d ( e ) d e d e I ( e ) iimküptü.. eğisinin ekseni ile sınıldığı ölgenin ekseni etfınd döndüülmesi ile oluşn cismin hcmi nedi?. eğisi ile doğusunun sınıldığı ölgenin ekseni etfınd döndüülmesi ile oluşn cismin hcmi nedi? V % f( g( / d 9^ h ( ) d ^ hd ; E I c m iimküptü.. >, > olmk üzee doğusu ile ekseninin sınıldığı ölgenin ekseni etfınd döndüül- mesi ile oluşn cismin hcmi iimküp ise nin tüünden eşiti nedi? d V % f( g( / d di. c (,) V d ( ) d ( 8 ) d. c m I Tlı ölgenin ekseni etfınd döndüülmesi ile oluşn cisim; tn; ıçpı, üksekliği oln konidi. O hlde. c. m iimküp olu... h.. V &. & olu. 88

76 . doğulının ekseni ve doğulı ile sınıldığı ölgenin ekseni etfınd döndüülmesi ile oluşn cismin hcmi nedi? Tlı ölgenin ekseni etfınd döndüülmesile tn ıçpı iim, üksekliği h iim oln koni oluşu. O hlde UYGULAMA ADIMI 8. e eğisi ve doğulı ve ekseni tfındn sınılnn ölgenin ekseni etfınd döndüülmesi ile oluşn cismin hcmi nedi? ÜNİTE iimküp olu.. Şekildeki tlı lnın ekseni etfınd döndüülmesi ile k oluşn cismin hcmi iimküp ise, k sısı kçtı? ulunu. 7. doğusu, ve doğulı ile ekseninin sınıldığı ölgenin ekseni etfınd döndüülmesi ile oluşn cismin hcmi nedi? Tlı ölgenin ekseni etfınd döndüülmesi ile oluşn cisim ıçpı iim, üksekliği h iim oln i konidi. O hlde;.. h Vkoni.. h.. V k V.. koni olduğundn ( k ) d k k. I & & k iimküp olu. & k Oluşn cismin hcmi V d ( e ) d e d V c e m I ^e h iimküp olu. 9. polünün ve psisli noktlı sınd kln ının O ve O etfınd döndüülmelei ile elde edilen hcimle v ve v ise, π [8 ] 8π e ^ h ulunu. v v onının değei nedi? v d d ; E I v d I d > H v 8 v 89

77 ÜNİTE. eğisi ve doğulı ile ekseninin sınıldığı ölgenin ekseni etfınd döndüülmesi ile oluşn cismin hcmi kç iimküptü? UYGULAMA ADIMI. eğisi, ve doğulı ile ekseni tfındn sınılnn ölgenin ekseni etfınd döndüülmesi ile oluşn cismin hcmi nedi? V d ^ h d d I iimküptü.. eğisi, ve doğulı ile ekseninin sınıldığı ölgenin ekseni etfınd döndüülmesi ile oluşn cismin hcmi nedi? Oluşn dönel cismin hcmi f() V d f( ) d V f( ) d.( ) d f() eğisi,, doğulı ve ekseni ile sınılnn şekildeki tlı ölgenin ekseni etfınd döndüülmesi ile oluşn cismin hcmi ti. Oluşn dönel cismin hcmi V.() f d d ( ) I ( ) iimküptü. doğusu, ve doğulı ile ekseni tfındn sınılnn ölgenin ekseni etfınd döndüülmesi ile oluşn cismin hcmi kç iimküptü? Oluşn dönel cismin hcmi V f( ) d. d V ; E I c m. I ( 8 ) 9. iimküptü. 9 iimküp olu. 9