ELEKTROSTATİK (II) Giriş

Transkript

1 Elektomnyetik Teoi Bh 5-6 önemi ELEKTROTATİK (II) Giiş Bundn önceki bölümde yük dğılımı bilindiğinde elektik lnın Coulomb yssı kullnılk nsıl hesp edileceği üeine konuştuk. Htılycğını gibi Coulomb yssını uygulken integl lınmsı geekiyo. Elektik ln sdece Coulomb yssı kullnılk hesp edilme. Guss yssı kullnılk t hesplnbili. Guss yssını uygulybilmek için kplı bi yüey olmsı geeki. Coulomb yssı en genel elektik ln hesplm yöntemidi. Guss yssınd ise ilgilenilen poblem simeti öelliği tşıyos öneğin silindi, küe b. gibi, bu duumd Guss yssını uygulyk elektik ln hesbı Coulomb yssın göe çok kolydı. iğe bi elektik ln hesplm yöntemi potnsiyelin tüeini lmktı. Coulomb yssı nd integl lmk yeine potnsiyelin tüeini lk elektik ln hesp etmek dh kolydı. Akı Akı bütün ektölein otk öelliğidi. Akı kmını nlybilmek için elektik lndn önce bi kışkn it kıyı inceleyelim. Şekil 1 deki gibi bi nehi düşünelim. Nehide su hıını ile gösteelim, kn suyun içinde üç fklı ln olsun. 1. yüey suyun kış yönüne tm olk dikti. Bu duumd kesit lnı e yüeyin skle çpımı bie kı miktını ei. Ayıc bu ifdeyi yoğunlukl çpmmı geeki. Bu duumd 1. yüey için kı ψ = = = cosθ = cos = 1. yüey için kı ψ = = = cosθ. yüey için ψ = = = cosθ = cos9 = olk bulunu. 1. yüey için kı en büyük değeini lıken. yüey için sıfı olmktdı. Bu çıklmldn son bu düşünceye plel olk elektik lnı düşünebilii. Akışknın kış çigileini, elektik ln kuet çigilei ile ye değiştiisek incelemenin gei kln kısmınd ynı yöntem uygulnbili. Bud elektik ln içinde kplı yüeylele ilgileneceği, çünkü Guss yssı sdece kplı yüeylee uygulnbili. KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit 1

2 Elektomnyetik Teoi Bh 5-6 önemi kışknın hıı 1 θ Şekil 1. Klı dügün sıkıştıılm bi kışkn içine yeleştiilmiş üç yüey. Elektik kışı Elektik ln çigilei kplı bi ln doğu giiyos kı negtifti. Kplı lndn çıkıyos kı poitifti. Şekil de eilen eşit poitif e negtif yükleden dolyı oluşn elektik ln çigilei içeisinde döt fklı yüey gösteilmişti. Bu yüeyle için kıl şu şekildedi: A1 yüeyi için kı poitif, A yüeyi için negtif, A e A4 yüeylei için kı sıfıdı. A e A4 yüeyleinde kı sıfı olmsın kşın fklı duumldı. A de yüey içinde yük yoktu, fkt A4 yüeyinin içinde toplm yük sıfıdı. Eğe yükle eşit olmsydı A4 yüeyi için kı sıfıdn fklı değe olcktı. + (poitif) A1 A4 A - (negtif) A Şekil. İki eşit tes işetli yükleden dolyı oluşn elektik ln çigilei. KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit

3 Elektomnyetik Teoi Bh 5-6 önemi Guss Yssı Guss yssı, Coulomb yssının bi bşk şekilde ifde edilişidi. Elektomnyetimnın temel yslındn bii oln Guss yssı elektik kısı ile ifde edili. Elektik ln fomülü pemitiite sbitine bğlı olk yılı. Pemitiite sbiti otm bğlı bi değedi. Boşluktn fklı duumld fklı değe lı. Ptik olsun diye yeni bi ektöü tnımlnı. Bu ektö ileyen şekilde = ε E (1) yılı. Bud E elektik ln e ε pemitiite sbitidi. ye elektik kı yoğunluğu deni. Biimi coulombs / ln ( C ) m di. Elektik kısı cinsinden hesplnbili. Guss yssın göe hehngi bi kplı yüey boyunc toplm elektik kı, bu kplı yüeyin oluştuduğu hcim içindeki toplm yüke eşitti. Guss yssının integl biçimi ψ ψ = Q kplı _ ln = dψ =.d toplm yük Q = d = Q =.d d () şeklindedi. Htılncğı gibi dh önceki deslede ln integlini hcme eşitleyen integle diejns teoemi dı ltınd gömüştük. Bu ifdeye göe Guss yssı e diejns teoemlei ynıdı. iejns teoeminden bildiğimi gibi () ifdesi tüe fomüllei şeklinde de d = V d = () yılbili. () ey () denklemlei döt Mxwell denklemleinden sdece biisidi. Guss Yssı Uygulmlı Guss yssı nı kplı yüeylee uygulnmsını öneklele göelim. ısıyl ilk önce nokt yük, çigisel yük, lnsl yük e hcimsel yük yoğunluklı hesplncktı. KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit

4 Elektomnyetik Teoi Bh 5-6 önemi Nokt yük Nokt yük kynğın Guss yssını uygulylım. Şekil deki gibi bi nokt kynğı oijinde bulunsun. ektöünü P noktsınd hesplylım. Bud Guss yüeyi küe yüeyi olup P noktsınd yıçplı küenin yüeyinde ye lmktdı. x P. Q y Guss yüeyi Şekil. Nokt yük kynğı e Guss yüeyi. () denklemini kullnk e küe yüeyinin lnı yeine yılıs Q =.d = d = 4π elde edili. İşlemlee dem edili e elektik ln = ε E olduğu htılnıs P noktsındki Q Q = = (4) 4π 4π E Q Q = E = (5) 4 πε 4πε şeklinde yılı. Htılycğını gibi (5) denklemini Coulomb yssı kullnk ymıştık. Bu bğıntı Guss yssı uygulnk t yılbileceğini gödük. KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit 4

5 Elektomnyetik Teoi Bh 5-6 önemi Küe yüeyi π 4 π de d = dφ sinθdθ integli lınk t bulunbili. φ = π θ = Bu bğıntıyı dh önceki desleimide küesel koodintld ln elemnı olk gömüştük. Tek düe (homojen) sonsu çigi yük Şekil 4 deki gibi ekseni boyunc unn sonsu uunluktki tek düe (homojen) yük yoğunluğu oln telin P noktsınd oluştucğı elektik lnı hesplylım. Bu duumd poblem için Guss yüeyi Şekil 4 deki gibi bi silindi olbili. Bu duumd Guss yssı nı şğıdki biçimde uygulybilii. L C/m d l d P d Guss yüeyi y x Şekil 4. onsu uunlukt tek düe çigisel yük yoğunluğu. Q = l =.d = d = πl L l L L = = πl π L = (6) π L E = (7) πε KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit 5

6 Elektomnyetik Teoi Bh 5-6 önemi ilindiin yn yüleinden E ey ye bi ktkı yoktu. Z bileşen sıfıdı. ektöü e yüey nomllei sınd 9 deecelik çı dı. kle çpımdn dolyı silindiin lt e üst tbnlındn ey E ye bi ktkı yoktu. Htılycğını gibi, (7) ifdesini Coulomb yssı yl hesp etmiştik e işlemle çok uundu e integl lmmı geekmişti. Aynı poblem Guss yssı uygulnk bsit bi şekilde hesp edildi. Tek düe (homojen) sonsu leh yük h önce Coulomb yssı ile çödüğümü diğe bi önek leh şeklinde bi homojen yük yoğunluğuydu. Bud sdece dügün leh bulunmkt e bu nedenle dügün bi elektik ln dı. Önceki iki öneğe bene şekilde uygun Guss yüeyi seçelim e poblemi çömeye çlışlım. Şekil 5 de göe poblemin gösteilmişti. s C/m P y A lnı x Guss yüeyi Şekil 5. onsu leh dügün yük = düleminde unmktdı. Q = A = d = d + d lt üst A = ( A + A) = = KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit 6

7 Elektomnyetik Teoi Bh 5-6 önemi E = ε Homojen yüklü küe Şekil 6 d ki gibi homojen yüklü küe düşünelim. Bu küenin içinde e küe dışınd elektik lnı Guss yssı ydımıyl hesplylım. C/m Guss yüeyi () (b) Şekil 6. Homojen yüklü küe.() Guss yüeyi küe içinde (b) Guss yüeyi küe dışınd. İlk önce Şekil 6 () ki duumu inceleyelim. Bu duumd dı. Bu duumd toplm yük küenin hcmiyle yük yoğunluğunun çpımın eşitti. Toplm yük π π φ = θ = = Q = d = d = şeklinde bulunu. Akı ise 4 sinθddθdφ = π (8) π π φ = θ = ψ = d = d = sinθdθdφ = 4π (9) biçiminde bulunu. Guss yssı geeği yüeyden geçen toplm kı, kplı yüey içindeki toplm yüke eşit olcğındn (8) e (9) ifdelei bibileine eşitleneek Q =ψ 4 π = 4π = = < KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit 7

8 Elektomnyetik Teoi Bh 5-6 önemi ey olk bulunu. E ε = < (1) Bene şekilde için elektik lnı hesplylım. π π φ = θ = = Q = d = d = π π φ = θ = ψ = d = d = 4 sinθddθdφ = π sinθdθdφ = 4π Yük e kıyı bibileine eşitleyelim, bu duumd Q =ψ 4 π = 4π = = E = (11) ε olk bulunu. Şimdi bu sonuçl syısl bi önek eeek elektik lnın değişimine bklım. yısl önek: (1) e (11) bğıntılını kullnk elektik lnı küe içinde e dışınd hesp edini e 1 gfiğini çiini? (=1 m, =-1 m, ε = F/m, = C/m ) çöüm: E ε = < KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit 8

9 Elektomnyetik Teoi Bh 5-6 önemi E = ε bğıntılı kullnk poblem çöülebili. Bunun için şğıdki Mtlb pogmı kullnılbili. Pogm elektik lnın ye bğlı değişim gfiğini emektedi. close ll cle ll epsilon_=8.854e-1; =input(' değeini giini') =:1:1; ho_=1.e-9; [n,m]=sie(); fo ii=1:m if (ii) >= E(ii)=(***ho_)/(*(ii)*(ii)); else E(ii)=((ii)*ho_)/(); end end plot(,e) title('yüklü küe içinde e disind elektik ln') xlbel(' (m)') ylbel('e (V/m)') gid Şekil 7. Küe mekeinden belili bi uklığ kd elektik lnın değişimi. KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit 9

10 Elektomnyetik Teoi Bh 5-6 önemi Şekil 7 den nlşılcğı üee elektik ln küenin mekeinden yüeyine kd doğusl olk tmkt hemen küenin dışınd elektik ln üstel olk lmktdı. Küenin yıçpı 1 m di. Öde Şekil 8. deki gibi dügün bi elektik ln içeisinde silindi biçiminde bi kplı yüey eilmişti. (Elektik lnın yönü soldn sğ doğu şekilde gösteildiği gibidi.). ilindiin ekseni ile elektik ln ynı doğultud eilmişti. Kplı yüeyden geçen toplm kıyı hesp edini? E Şekil 8. ügün bi elektik ln içinde silindi biçiminde kplı Guss yüeyi. KAYNAK Edministe, Jeseph A., 199, Electomgnetics, chum s outlines diku, M. N. O., 1995, Elements of Electomgnetics, Oxfod Uniesity Pess, 81 syf. KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit 1