1.1 Yapı Dinamiğine Giriş Yapı Dinamiği, dinamik yükler etkisindeki yapı sistemlerinin dinamik analizini konu almaktadır. Dinamik yük, genliği, doğrultusu ve etkime noktası zamana bağlı olarak değişen yüklemedir. P(t) t Analiz sonucu belirlenen, zamana bağlı yapısal tepki değerleri de dinamik tepkiyi teşkil etmektedir.
1.1 Yapı Dinamiğine Giriş Yapı dinamiği problemi, statik problemden iki açıdan önemli farklılıklar göstermektedir: Etkiyen kuvvetin zamana bağlı olarak değişmesi İvmenin etkisi Klasik statik yöntemde: ku=p Zamana bağlı değişim için aşağıdaki eşitlik kullanılarak u(t) belirlenebilir mi? ku(t)=p(t)
1.1 Yapı Dinamiğine Giriş Zamana bağlı tepki değerleri yerine, tasarımcılar genellikle maksimum tepki değerlerini bilmek isterler (u max ). Ancak, problemin dinamik karakterde olması durumunda ku(t)=p(t) eşitliğini kullanmak doğru olmaz. u(t) yerdeğiştirmesi için ku(t)=p(t) eşitliği kullanılacak olursa, basit bir cebrik denklem ortaya çıkacaktır. Hatta, doğrudam maksimum yerdeğiştirme değeri dahi bu denklem ile kolaylıkla belirlenebilir. u max için yukarıdaki denklem yazılacak olursa: ku max =P max
1.1 Yapı Dinamiğine Giriş ku max =P max Bu durumda yapılması gereken, yüklemenin maksimum değerini belirleyip, yukarıdaki statik denklemde yerine yazmak ve u max için çözümlemektir. Ancak, dinamik problem statik problemden farklı bir karakterdedir. Newton un ikinci kanununa göre, Bir yapıya etkiyen net kuvvet, yapının ivmesi ile orantılıdır. p( t) d dt ( m du ) dt m d 2 dt u 2
1.1 Yapı Dinamiğine Giriş Bir başka ifade ile, bir cisme etki eden net kuvvetin, meydana getirdiği ivmeye oranı sabit olup, kütleye eşittir. Kütlenin ivmeyle çarpımına eşit olan net kuvvet atalet kuvveti olarak tanımlanıp, dinamik denge denkleminin statik denge denkleminden olan farklılığını yansıtmaktadır. Atalet kuvveti, sisteme etki eden net kuvvete ters yönde ortaya çıkmaktadır. p( t) 2 d u m 2 dt Net Kuvvet = Atalet Kuvveti
1.1 Yapı Dinamiğine Giriş Şekil (a) da statik yük etkisindeki konsol bir kiriş görülmektedir. Kirişte oluşacak deformasyon ve iç kuvvetler, doğrudan statik yüke (P) bağlıdır. Diğer taraftan Şekil (b) de aynı konsol kiriş zamanla değişen bir yük (P(t)) etkisindedir. Şekilde görüleceği gibi, kirişin ivmesi yayılı atalet kuvvetinin ortaya çıkmasına neden olmuştur. Atalet kuvvetinin yapıdaki deformasyon ve iç kuvvetlere önemli bir katkısının olması durumunda, problemin dinamik olarak ele alınması gerekmektedir. (a) Statik Yük ve (b) Dinamik Yük, etkisindeki konsol kiriş
1.1 Yapı Dinamiğine Giriş Statik durumda, yüklemenin sonsuz yavaş bir şekilde gerçekleştiği kabul edilmektedir. Dolayısıyla, ortaya çıkan ivme çok küçük olduğundan ihmal edilmektedir. Ancak, yükleme yeterince hızlı bir şekilde yapılırsa, atalet kuvveti diğer kuvvetlerle karşılaştırılabilecek boyutlarda olmakta ve dolayısıyla denge denkleminde dikkate alınması gerekmektedir. Bu bakımdan, ivmeden dolayı ortaya çıkacak atalet kuvveti dinamik durumda dikkate alınmalıdır.
1.2 Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi Hesaplama aşamasında, gerçek sistemle eşdeğer olacak, ancak aynı zamanda da matematik olarak daha kolay analiz edilebilecek basitleştirilmiş bir model oluşturulmalıdır. Bu şekilde elde edilecek, yapı sisteminin basitleştirilmiş modeli analitik model olarak tanımlanmaktadır. Analitik model için iki temel modellemeden bahsedilebilir: Sürekli Model (m(x), EI(x), C(x)) Ayrık-Parametreli (Toplu Kütleli) Model (Mi, Ki, Ci) Yapı sistemlerinin dinamik karakteristikleri, rijitlik, kütle ve sönüm ile tanımlanmaktadır.
1.2 Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi Şekil. Konsol kirişe ait analitik modeller: (a) Yayılı-kütleli konsol kiriş, sürekli model (b) Tek serbestlik dereceli model, ayrık-parametreli model (c) Üç serbestlik dereceli model, daha incelikli ayrık-parametreli model
1.2 Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi Atalet kuvvetlerinin etkisini yansıtabilmek için dikkate alınması gereken yerdeğiştirme parametre sayısı, serbestlik derecesi (degrees of freedom, DOF) olarak tanımlanmaktadır. Bu bakımdan, sürekli model sonsuz serbestlik derecesine sahiptir. Ancak, Şekil b ve c, sonlu sayıda serbestlik dereceli sistemleri içermektedir. Şekilde gösterilen ayrık-parametreli modeller, sistemin kütlesi az sayıdaki noktasal kütle ile gösterildiğinden, toplu kütleli sistem olarak tanımlanmaktadır.
1.2 Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi Ayrık ve sürekli sistemler: Tek serbestlik dereceli sistem (SDOF) system : n=1 Çok serbestlik dereceli sistem (MDOF) system:1<n< Sürekli sistem : n=
1.2 Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi Analitik modelleme için diğer bir örnek olarak, Şekilde gösterilen ayaklı su deposu ele alınmıştır. Tepe noktasından uygulanacak yatay bir kuvvet veya depremden kaynaklanacak yatay bir kuvvet için, bu sistemin titreşim durumunun belirlenmesi hedeflenmiştir. Su tankının dolu olması durumunda kullanılabilecek analitik model Şekilde ayrıca gösterilmiştir. Dolu bir depoda suyun çalkalanma etkisi ortaya çıkmayacağından, kütle kule tepesinde toplanırken (m), göreceli olarak narin kuleler kütlesiz olarak modellenmiştir. Su tankını destekleyen konsol kule yapıya yatay rijitlik (k) kazandırmaktadır.
1.2 Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi
1.2 Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi Yapı sistemine ait analitik model oluşturulduktan sonra, Newton Kanunları ve gerilme-şekildeğiştirme bağıntıları gibi fiziki kurallar uygulanarak, analitik modeli matematik bir dil ile tanımlayan diferansiyel denklemler elde edilir. Sürekli model, kısmi türevli diferansiyel denklemlerin ortaya çıkmasına neden olurken, ayrıkparametreli model adi diferansiyel denklemler ortaya çıkarmaktadır. Böylece elde edilen diferansiyel denklem takımı yapı sistemine ait matematik model olarak tanımlanmaktadır. Kısaca, analitik model üzerinde yazılan hareket denklemi matematik model olarak ifade edilmektedir. Matematik model formüle edildikten sonra dinamik analizdeki bir sonraki adım, dinamik tepkilerin belirlenmesi için diferansiyel denklemlerin çözümünü içermektedir.
1.2 Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi Dinamik çözümleme üş genel aşamadan oluşmaktadır: analitik modelin belirlenmesi analitik modele karşılık gelen matematik modelin belirlenmesi dinamik tepki için diferansiyel denklem çözümü Yapı Dinamiği dersi kapsamında, yapı sistemlerinin dinamik incelenmesi aşamasında, yukarıda belirtilen ikinci ve üçüncü aşamalar üzerinde durulacaktır.
1.2 Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi Sürekli Model Sürekli sistem (sonsuz-dof sistem) Kısmi türevli diferansiyel denklemler Sürekli parametreler, EI(x), m(x) Gerçekçi Analizi zor Ayrık-Parametreli Model Toplu kütleli sistem Adi diferansiyel denklemler Toplu parametreler, M i İdealize edilmiş Analizi kolay Yaklaşık x 2 2 2 2 ( u u EI ( x) ) m( x) 2 x t 2 p( x, t) 2 d u m 2 dt ku p( t) P.D.E. O.D.E.
1.3 Kütle-Yay-Sönümleyici Sistemi Karmaşık sistemleri incelemeden önce, en basit titreşim hareketini yapan, en basit yapı sistem modelini ele alalım. Kütle (m): Yapının kütlesini ve atalet özelliklerini yansıtmaktadır. Yay (k): Yapının elastik kuvvetini ve potansiyel enerji kapasitesini göstermektedir. Sönüm(c): Yapının sürtünme özelliklerini ve enerji kaybını temsil etmektedir. Kuvvet (p(t)): Yapı sistemine etki eden dış kuvveti göstermektedir.
2. Tek-Serbestlik-Dereceli-Sistemler (SDOF) Kütlelerin ilk konumlarına göre göreceli olarak yapmış oldukları deplasmanları tanımlamak için gerekli olan bağımsız yerdeğiştirme sayısı dinamik analiz için serbestlik derecesi olarak tanımlanmaktadır. Aşağıdaki basit çerçeve sistemi, zamana bağlı olarak değişen yük etkisindeki tek serbestlik dereceli (SDOF) kütle-yay-sönümleyici model olarak idealize edilmiştir. u(t) fonksiyonu p(t) kuvveti etkisindeki sistemin yerdeğiştirme tepkisini göstermektedir. Figure. p(t) dış kuvveti etkisindeki tek serbestlik dereceli sistem
2. Tek-Serbestlik-Dereceli-Sistemler (SDOF) Yapılan idealleştirme çerçevesinde, yapının tüm kütlelerinin tek bir noktada toplandığı ve kiriş rijit olarak kalırken, tüm deformasyonun kolonlarda oluştuğu kabul edilmektedir. Kütlesiz kolonlar, sisteme rijitlik kazandırmaktadır. Ayrıca, lineer dinamik analize olanak vermesi nedeniyle, sönümün viskoz sönüm olarak ele alınması yaygın olarak tercih edilen bir yöntemdir.
2.1. Hareket Denklemi için Dinamik Denge (D Alambert İlkesi) Bu prensibe göre, atalet kuvveti olarak bilinen hayali bir kuvvetin dış kuvvetlere ilave edilmesiyle, dikkate alınan sistem dinamik denge konumuna ulaşmış olur. Şekil. SDOF sistem için analitik model (mekanik sistem) Bilindiği gibi yapı sistemlerinin çözümünde, sistemin serbest cisim diyagramı çizilir ve denge denklemi yazılır. Aslında, D Alambert ilkesi de aynı prensibe sahip olup, tek fark dinamik denge denkleminin yazılmasıdır.
2.1. Hareket Denklemi için Dinamik Denge (D Alambert İlkesi) Serbest Cisim Diyagramı p(t) f I (t) f D (t) f S (t) : dış kuvvet : atalet kuvveti : sönüm kuvveti : yay (rijitlik) kuvveti Yay k rijitliğine sahip lineer bir yay olup, rijitlik kuvveti olarak bilinen ku kuvvetini ortaya çıkarmaktadır. f S 1 k f S (t)=ku(t) (2.1.1) u
2.1. Hareket Denklemi için Dinamik Denge (D Alambert İlkesi) Sönümleyici, viskoz türde bir sönümleyici olup, olmaktadır. f D du burada u (velocity ) (2.1.2) dt (t) cu(t) f D cu sönüm kuvvetine neden 1 c Bir kütlenin sıvı içindeki hareketine karşı oluşacak tepkiye benzer biçimde, sönüm kuvvetini kütlenin hızıyla orantılı olarak kabul eden viskoz sönüm modeli, doğrusal modele olanak sağladığı için dinamik hesaplarda en sık kullanılan sönüm modelidir
2.1. Hareket Denklemi için Dinamik Denge (D Alambert İlkesi) Atalet kuvveti kütle ile ivmenin çarpımına eşittir ve sistemin hareket yönüne ters yönde etkimektedir. 2 d u f I (t) mü(t) burada ü ( accelerati on) 2 (2.1.3) dt Bu durumda, hareket denklemi bu kuvvetlerin dengesinin ifade edilmesinden ibarettir. f I (t) f (t) f (t) p(t) (2.1.4) S D (2.1.1-2.1.3) denklemleri, (2.1.4) denkleminde yerine yazılırsa, tek serbestlik dereceli sistemin hareket denklemi elde edilir. mü cu ku p(t) (2.1.5)
2.2. Hareket Denklemi için Newton un İkinci Hareket Kanunu Serbest Cisim Diyagramı Net kuvvet (p(t)- f S (t)- f D (t)) olduğuna göre, Newton un ikinci hareket kanunu yazılacak olursa, p(t)- f S (t) f (t) D mü (2.2.1) mü cu ku p(t) (2.2.2)
2.2. Hareket Denklemi için Newton un İkinci Hareket Kanunu mü cu ku p(t) Elde edilen hareket denklemi, sabit katsayılı ikinci dereceden lineer bir diferansiyel denklemdir. Statik problemin çözümü bilindiği gibi cebrik bir denklem yazılmaktadır. Ancak, dinamik yük etkisindeki bir sistemin çözümünde söz konusu cebrik denklem, ikinci dereceden bir diferansiyel denkleme dönüşmektedir. İkinci dereceden diferansiyel denklem çözümünün, statik problemin cebrik denkleminin çözümünden daha karmaşık olduğu bilinen bir gerçektir.
Sistemde kolonların eksenel rijitliği sonsuz iken, kiriş eksenel ve eğilme rijitlikleri sonsuzdur. Kiriş tamamen rijit ve kolonlar eksenel olarak rijit olduğundan, sisteme düşey ağırlık kuvvetlerinin etkimesi durumunda, söz konusu kuvvetler doğrudan tabana aktarılacaktır. Bu durumda, yapıda yerdeğiştirme oluşturacak tek yükleme durumu, yatay yükleme durumudur. Sistemin yatay rijitliği, tamamen eğilme etkisindeki kolonların rijitliği ile sağlanmaktadır. Tek Serbestlik Dereceli Sistemin Hareket Denklemi Tek serbestlik dereceli sistemin hareket denkleminin elde edilmesi için aşağıdaki çerçeve sistem ele alınsın.
Mukavemet bilgileri ışığında; Şekil. Dört kolona oturan rijit platform (a) Sistem (b) Deplasman yapmış kolona etkiyen kuvvetler (c) Kütleye etkiyen yatay kuvvetler
Tek Serbestlik Dereceli Sistemin Hareket Denklemi Kütleye ait serbest cisim diyagramı çizilir ve herhangi bir t anında rijit kütleye etkiyen kuvvetler gösterilirse, Net kuvvet (p(t)- f S (t)- f D (t)) olduğuna göre, Newton un ikinci hareket kanunu yazılırsa, 12EI 12EI p(t) - u u f D (t) mü 3 3 (2.2.4) L L Sönüm kuvveti de f D (t) cu(t) dahil edilirse 24EI mü cu u p(t) 3 (2.2.5) L
Tek Serbestlik Dereceli Sistemin Hareket Denklemi k 24EI 3 L olduğuna göre, hareket denklemi mü cu ku p(t) (2.2.6)
Yay Rijitlikleri Kolonlarda gösterilen k 1 ve k 2 rijitlikleri, her bir kolonun u ile gösterilen serbestlik yönünde harekete karşı direncini temsil etmektedir. Eğer her iki kolonun da aynı anda aynı yatay ötelenmeyi yapacağı varsayılırsa, sistemin toplam rijitliği k=k 1 +k 2 olur. Bir yapı içinde bulunabilecek değişik elemanları yansıtmak için, gerekirse modelde birden fazla yay da kullanılabilir. Gerçek yapılardaki kiriş gibi elemanların rijitliği de kullanılan malzemeye bağlı olarak statik hesap yöntemleri ile hesaplanır. Birden fazla yay veya yapı elemanının bulunduğu daha karmaşık sistemlerde modelin rijitliğini tek bir sabitle belirtmek için, eşdeğer yay sabiti denen ke oluşturulabilir (Tablo 2.2.1-2.2.2).
Yay Rijitlikleri Sistem (Model) Eşdeğer Yay Sabiti k e k k e n 1 i 1 k i n k e k i i 1 Tablo 2.2.1 Çeşitli yay sistemleri için eşdeğer yay sabitleri
Eşdeğer Yay Sabitleri Sistem (Model) Eşdeğer Yay Sabiti 3 PL 48EI 1 P k 48EI k 3 L k e 3EI k e 3 L Tablo. Yapı modellerinde kullanılan bazı doğrusal-elastik elemanların eşdeğer yay sabitleri
2.3. Hareket Denklemi: Ağırlık Kuvvetleri
2.3. Hareket Denklemi: Ağırlık Kuvvetleri Serbestlik derecesi doğrultusunda ağırlık kuvvetleri elde etmek için, yaykütle sisteminin 90 döndürülmesiyle elde edilen yukarıdaki sistem ele alınsın. Rijit kütlenin ağırlığı W, (2.2.6) denkleminin sağ tarafına eklenirse; f I (t) f S (t) f D (t) p(t) W (2.3.1) mü t ( t) cu ( t) ku ( t) p(t) t t W (2.3.2) Toplam yerdeğiştirme u t, W ağırlığından ortaya çıkan u st statik yerdeğiştirmesi ile, dinamik kuvvetin neden olduğu u yerdeğiştirmesinin toplamına eşit olması durumunda, u t ( t) u(t) u u t ( t) u (t) u t ( t) u (t) (2.3.3) st
2.3. Hareket Denklemi: Ağırlık Kuvvetleri Elastik kuvvet, f S (t) ku t (t) ku st ku( t) (2.3.4) (2.3.3) ve (2.3.4) denklemleri, (2.3.2) denkleminde yerine yazılırsa, mü( t) cu ( t) ku ku( t) p(t) W st (2.3.5) ku st =W, olduğuna göre mü( t) cu ( t) ku( t) p(t) (2.3.6) Statik denge konumunun esas alınarak yazılması durumunda, lineer elastik bir sistemin hareket denklemi, ağırlık kuvvetlerinden etkilenmeyecektir.
Örnek: Konsol bir kiriş ucundaki yaya asılı w ağırlığının hareket denklemini elde ediniz. Yayın ve kirişin kütlesini ihmal ediniz. E=204000 N/mm 2. Fig. (a) Sistem; (b) deforme olmamış, deforme olmuş, ve statik denge konumları; (c) serbest-cisim diyagramı; (d) yay ve kiriş kuvvetleri
2.4. Hareket Denklemi: Deprem Etkisi Şekilde görüldüğü gibi yapı sistemine doğrudan etkiyen bir dış kuvvet bulunmamaktadır. Yapıdaki yerdeğiştirme ve gerilmeler, deprem nedeniyle mesnet noktalarının hareketinden kaynaklanmaktadır. Burada sabit referans eksene göre u g (t) rölatif yer hareketi ile tanımlanan deprem hareketinin sadece yatay bileşeni dikkate alınacaktır. Mesnet hareketinin tek serbestlik dereceli sistemin dengesine etkisi: (a) sistemin hareketi; (b) denge kuvvetleri
2.4. Hareket Denklemi: Deprem Etkisi Burada, kirişin rijit olduğu ve hareket eden tüm kütleyi içerdiği kabul edilirken, düşey kolonlar kütlesiz ve eksenel olarak rijit kabul edilmektedir. Her bir kolonun eğilme rijitliği k/2 olarak tanımlanırken, kütlenin tek bir serbestlik derecesi,u(t), söz konusu olmaktadır. Bunun yanında, c sönümleyicisi de serbestlik derecesi doğrultusunda harekete ters yönde ve hızla orantılı olan bir direnç oluşturmaktadır. Rijit bir temel için sistemin tabanındaki yerdeğiştirme u g (t) olarak tanımlanırken, söz konusu yerdeğiştirme tabliye hizasında toplanan kütlenin tabana göre rölatif yerdeğiştirme u(t) yapmasında neden olmaktadır.
2.4. Hareket Denklemi: Deprem Etkisi Tabliye hizasında toplam yerdeğiştirme, u t ( t) u ( t) u( t) (2.4.1) g Kütlenin serbest cisim diyagramı dikkate alınırsa, f (t) f (t) f (t) 0 (2.4.2) I S D Elastik ve sönüm kuvvetleri (2.1.1) ve (2.1.2) denklemleri ile verilirken, atalet kuvveti, toplam ivmeye bağlı olarak aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır. t f (t) mü (t) (2.4.3) I Bu ifadeler, (2.4.2) denkleminde yerine yazılırsa,
2.4. Hareket Denklemi: Deprem Etkisi mü t ( t) cu ( t) ku( t) 0 (2.4.4) t ü ( t) ü( t) ü ( t) g (2.4.5) olduğuna göre, (2.4.5) ifadesi (2.4.4) denkleminde yerine yazılırsa, mü( t) mü ( t) cu g ( t) ku( t) 0 (2.4.6) ü g (t) eşitliğin sağ tarafına atılarak, deprem hareketi etkisindeki tek serbestlik dereceli bir sistemin hareket denklemi elde edilir. mü( t) cu ( t) ku( t) p ( t) (2.4.7) eff p eff ( t) mü ( t) (2.4.8) g
2.4. Hareket Denklemi: Deprem Etkisi p eff (t), deprem hareketinin yapı üzerindeki etkisine eşdeğer olan, etkin sismik kuvveti ifade etmektedir. Başka bir ifade ile, ü g (t) yer hareketi etkisindeki yapı sisteminin u(t) yerdeğiştirmesi, zemine ankastre ve kütle ile yer hareket ivmesinin çarpımına eşit ve ters yönde uygulanan dış kuvvet etkisindeki aynı yapı sisteminin yerdeğiştirmesi ile aynı olacaktır.