SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1
Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin dağılışıdır.bekleme kuyruğu sorunlarını çözmede kullanılır. Örnek: Bir bankada veznede yapılan işlemler arasındaki geçen süre, Bir taksi durağına gelen bekleyen müşteriler arasındaki süre, Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların arasındaki geçen süre, Bir kumaşta iki adet dokuma hatası arasındaki uzunluk (metre). 2
Belirli bir zaman aralığında mağazaya gelen müşteri sayılarının dağılışı Poisson Dağılımına uygundur. Bu müşterilerin mağazaya varış zamanları arasındaki geçen sürenin dağılımı da Üstel Dağılıma uyacaktır. Üstel Dağılımın parametresi a olmak üzere Üstel ve Poisson Dağılımlarının parametreleri arasında şu şekilde bir ilişki vardır. 1 a 3
Üstel Dağılımın Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu m:iki durumun gözlenmesi için gereken ortalama süre x : iki durum arasında veya ilk durumun ortaya çıkması gereken süre ya da uzaklık. f x ax a e, x 0 a 0 0 diger durumlarda f(x) e, üstel dağılım; x e üstel dağılan değişken denir.üstel dağılımın parametresi a dır. 4
Frekans Üstel Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı Ortalama Varyans m m 2 1 a 1 a 2 200 100 0 b = 10 parametreli bir populasyondan alınan n = 1000 hacimlik bir örnek için oluşturulan histogram. 0 10 20 30 40 X 50 60 70 80 5
Örnek: P( X x) 1e ax P( X x) 1 (1 e ax ) e ax Bir kitaplığın danışma masasında kullanıcılara hizmeti 5dk. ortalama süre ile üstel dağılmaktadır. Bir kullanıcıya verilen hizmetin 10dk. dan uzun sürme olasılığı nedir? 1 1 P(X>10)=? m 5 a ax ax P( X x) 1 (1 e ) e e e 2 0.1233 m 5 1.10 5
Örnek: Bir servis istasyonuna her 20dk. da ortalama 4 araç gelmektedir. Servise arka arkaya gelen iki araç arasındaki zaman aralığının en çok 4 dk.olma olasılığı nedir? P( X 4) 1e ax 20dk. da 1dk. da ort. 4 araç x a 4 1 20 5 ax P( X 4) 1 e 1 e 1 0.4493 0.55 1.4 5
NORMAL DAĞILIM 8
Sürekli ve kesikli şans değişkenlerinin dağılımları birlikte ele alındığında istatistikte en önemli dağılım Normal dağılımdır. Normal dağılım ilk olarak 1733 te Moivre tarafından p başarı olasılığı değişmemek koşulu ile binom dağılımının limit şekli olarak elde edilmiştir. 1774 te Laplace hipergeometrik dağılımını limit şekli olarak elde ettikten sonra 19. yüzyılın ilk yıllarında Gauss 'un katkılarıyla da normal dağılım istatistikte yerini almıştır. 9
Normal dağılımın ilk uygulamaları doğada gerçekleşen olaylara karşı başarılı bir biçimde uyum göstermiştir. Dağılımın göstermiş olduğu bu uygunluk adının Normal Dağılım olması sonucunu doğurmuştur. İstatistiksel yorumlamanın temelini oluşturan Normal Dağılım, bir çok rassal süreçlerin dağılımı olarak karşımıza çıkmaktadır. Normal dağılımı kullanmanın en önemli nedenlerinden biri de bazı varsayımların gerçekleşmesi halinde kesikli ve sürekli bir çok şans değişkeninin dağılımının normal dağılıma yaklaşım göstermesidir. 10
Normal Dağılımın Özellikleri Çan eğrisi şeklindedir. Normal dağılımın moment çarpıklık katsayısı a 3 =0 dır. Yani normal dağılım simetriktir. Basıklık katsayısı a 4 =3 dür. Diğer tüm dağılımların basıklık ölçüsü bu katsayı ile karşılaştırılır. Normal dağılım eğrisi aşağıdaki fonksiyonla temsil edilir: f ( x) 1 e 2 0 1 2 2 xm, x, diger yerlerde 3,14159... e = 2,71828 = populasyon standart sapması m = populasyon ortalaması 11
f(x ) Ortalama=Mod=Medyan x Parametreleri: E(x) m Var ( x) 2 12
Normal eğri altındaki alan 1 e eşittir. Normal dağılımda herhangi bir X sürekli değişkeninin nokta tahmin sıfırdır. Çünkü normal eğri altında sonsuz sayıda X noktaları vardır. Bu yüzden ancak herhangi bir X değerinin X 1 ile X 2 arasında bulunma olasılığı hesaplanabilir. Bunun için foknsiyonun X 1 den X 2 ye integre edilmesi gerekir. Anakütle ortalaması ve standart sapması farklı olduğu her problem için ayrı bir integrasyon işlemini uygulamak gerekir. Normal dağılım ortalama ve standart sapma parametrelerinin değişimi sonucu birbirinden farklı yapılar gösterir. Bu tür problemlerde kullanılmak üzere standart bir fonksiyon geliştirilmiştir.
Normal Dağılımda Olasılık Hesabı f(x ) Olasılık eğri altında kalan alana eşittir!!!! P( c x d) f ( x) dx d c? c d x ÖNEMLİ!!! P( x ) f ( x) dx 1 14
Standart Normal Dağılım Olasılık hesaplamasındaki zorluktan dolayı normal dağılış gösteren şans değişkeni standart normal dağlıma dönüştürülür. Böylece tek bir olasılık tablosu kullanarak normal dağılış ile ilgili olasılık hesaplamaları yapılmış olur. Standart normal dağılımda ortalama 0, varyans ise 1 değerini alır. Standart normal değişken z ile gösterilir. 15
Standart Normal Şans Değişkeni z x m X ~ N ( m, 2 ) Z ~ N ( 0, 1) f(x ) f(z ) 1 m x m 0 z 16
17
Olasılığın Elde Edilmesi Standart Normal Olasılık Tablosu (Kısmen) Z.00.01.02 0.0.0000.0040.0080 0.1.0398.0438.0478 Z = 1 0.0478 0.2.0793.0832.0871 0.3.1179.1217.1255 Olasılıklar m Z = 0 0.12 Z
Parametre Değişikliklerinin Dağılımın Şekli Üzerindeki Etkisi A f(x ) C B x m A m B m C 2 A 2 B 2 C 19
Standart Normal Dağılım Tablosunu Kullanarak Olasılık Hesaplama f(z ) P( 0 z 1)? 0 1 z P(0 z1) 0.3413 20
f(z ) P( z 1)? 0 1 z 1 P(0 z1) 0.50 0.3413 0.1587 21
SİMETRİKLİK ÖZELLİĞİNDEN DOLAYI 0 DAN EŞİT UZAKLIKTAKİ Z DEĞERLERİNİN 0 İLE ARASINDAKİ KALAN ALANLARININ DEĞERLERİ BİRBİRİNE EŞİTTİR. P( 0 z a) P( a z 0) f(z ) -a 0 a z 22
f(z ) P( 1 z 1)? -1 0 1 z P( 1 z 1) P( 1 z 0) P(0 z 1) 2* P(0 z1) 2(0.3413) 0.6826 23
P( 1.56 z 0.95)? f(z ) -1,56-0,95 0 z P( 1.56 z 0.95) P( 1.56 z 0) P( 0.56 z 0) 0.4406 0.3289 0.1117 24
25 Normal Dağılımın Standart Normal Dağılım Dönüşümü? ) ( b X a P X ~ N ( m, 2 ) Z ~ N ( 0, 1) ) ( ) ( a z b z z P b x a P b X a P m m m f(x ) x f(z ) z m a b 0 z a z b
Örnek P(3.8 X 5) =? Z X m 3.85 0.12 Normal Dağılım = 10 10 Standart Normal Dağılım Z = 1 0.0478 3.8 m = 5 X -0.12 m Z = 0 Z
Örnek P(2.9 X 7.1) =? Z X m 2. 9 5 10. 21 Normal Dağılım Z X m 7. 1 5 10. 21 Standart Normal Dağılım = 10 Z = 1.1664.0832.0832 2.9 5 7.1 X -.21 0.21 Z
Örnek P(X 8) =? Normal Dağılım Z X m 8 5 10. 30 Standart Normal Dağılım = 10 Z = 1.5000.1179.3821 m = 5 8 X m Z = 0.30 Z
Örnek Normal Dağılım = 10 P(7.1 X 8) =? Z Z X m X m 7. 1 5 10 8 5 10. 21. 30 Standart Normal Dağılım Z = 1.1179.0832.0347 m = 5 7.1 8 X m z = 0.21.30 Z =0.1179-0.0832=0.0347
Örnek: Bir işletmede üretilen vidaların çaplarının uzunluğunun, ortalaması 10 mm ve standart sapması 2 mm olan normal dağılıma uygun olduğu bilinmektedir. Buna göre rasgele seçilen bir vidanın uzunluğunun 8.9mm den az olmasının olasılığını hesaplayınız. PX ( 8.9)? X ~ N ( 10, 4 ) m 10mm 2mm x m 8.9 10 P( X 8.9) P P( z 0.55) 2 f(z ) Pz ( 0.55) 0.5 0.2088 0.2912-0,55 0 z 30
Normal Dağılım Düşünce Alıştırması General Electric için Kalite Kontrol uzmanı olarak çalışıyorsunuz. Bir ampulün ömrü m = 2000 saat, = 200 saat olan Normal dağılım göstermektedir. Bir ampulün A. 2000 & 2400 saat arası dayanma B. 1470 saatten az dayanma olasılığı nedir?
200 Çözüm A) P(2000 X 2400) =? m 2000 Normal Dağılım Z X m 2400 2000 200 2. 0 Standart Normal Dağılım = 200 Z = 1.4772 m = 2000 2400 X m Z = 0 2.0 Z
Çözüm B) P(X 1470) =? Z X m 1470 2000 200 2. 65 Normal Dağılım = 200 Standart Normal Dağılım Z = 1 1470 m = 2000 X.0040.5000.4960-2.65 m Z = 0 Z
Bilinen Olasılıklar İçin Z Değerlerinin Bulunması P(Z) = 0.1217 ise Z nedir?.1217 Z = 1 Standart Normal olasılık Tablosu (Kısmen).01 Z.00 0.2 0.0.0000.0040.0080 0.1.0398.0438.0478 m Z = 0.31 Z 0.2.0793.0832.0871 0.3.1217.1179.1255
Bilinen Olasılıklar İçin X Değerlerinin Bulunması Normal Dağılım = 10 Standart Normal Dağılım Z = 1.1217.1217 m = 5? X m Z = 0.31 Z X mz 5(0.31)10 8.1