9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI

9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI KONULAR DİK ÜÇGENLERDE METRİK BAĞINTILAR 1. Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı. Euclides (öklit) Bağıntısı 3. Pisagor ve öklit Bağıntıları ile İlgili Problemler ve Meslekî Uygulamaları DİK ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ORANLAR 1. 30 0, 45 0 ve 60 0 lik Açıların Trigonometrik Değerleri. Trigonometrik Oranlarla ilgili Meslekî Uygulamaları ÇOKGENLER VE TÜRLERİ 1. Çokgenler ve Dörtgenlerin Elemanları Arasındaki ilişkiler. Paralel kenarın. Eşkenar Dörtgenin, Dikdörtgenin, Karenin, Yamuğun ve Deltoidin özelikleri. Çevre, Alan Hesapları ve Meslekî Uygulamaları 3. Çember ve Çember Parçasının Çevresi, Daire ve Daire Diliminin Alanı ve Meslekî Uygulamaları 4. Düzgün Beşgenin Çevresi, Alanı ve Meslekî Uygulamaları 5. Özet 6. Değerlendirme Soruları

BU ÜNİTEYE NEDEN ÇALIŞMALIYIZ? Bu bölümü çalıştığınızda; Pisagor bağıntısını bilecek, Öklit bağıntısını kavrayacak, Trigonometri oranları kavrayarak bu bilgileri mesleğinizde kullanarak Kare, dikdörtgen, paralelkenar, Yamuk, Deltoidin özelikleri. Çevre, Alan Hesaplarını yapabilecek, Çember ve Çember Parçasının Çevresi, Daire ve Daire Diliminin Alan Hesaplarını yapabilecek, Düzgün Beşgenin Çevresini ve Alanını hesaplayabilecek, Düzgün Altıgenin Çevresini ve Alanını hesaplayabileceksiniz.

BU ÜNİTEYE NASIL ÇALIŞMALIYIZ? Örnekleri dikkatle okuyunuz. Örnek soruları kitaba bakmadan çözmeye çalışınız. Anlamadan bir başka bölüme geçmeyiniz. Ünitenin sonundaki testte kendinizi deneyiniz, başarısız iseniz başarısız olduğunuz bölümleri tekrar gözden geçiriniz. Bu konular ile ilgili Matematik kitaplarından yararlanabilirsiniz.

9.1 DİK ÜÇGENLERDE GEOMETRİK BAĞINTILAR 9.1.1 Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı Bir açısı dik olan üçgene, dik üçgen denir. Not: Bir dik üçgende dik açının karşısı hipotenüs olarak adlandırılır. s ( A ) = 900, c,b dik kenarlar, a hipotenüs. A açısı dik açı, kenar uzunlukları 3, 4, 5, birim uzunluk olan ABC dik üçgeni çizelim. Bu dik üçgenin kenarları üzerine, aşağıda olduğu gibi birer kare çizelim. Dik kenarların üzerine çizilen karelerin alanları toplamının, hipotenüs üzerine çizilen karenin alanına eşit olduğunu görürüz. Üçgenin kenarları üzerine çizilen karelerin alanları: a = 5 birim b = 4 birim c=3 birim a = 5.5 b = 4.4 c = 3.3 a=5 birimkaredir b=16 birimkaredir c=9 birim karedir Böylece, 5 = 16 + 9 bulunur. Yani a = b + c Bu bağıntıya Pisagor Bağıntısı denir. Bir dik üçgende, dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. 15

ÖRNEK: Birdik üçgende dik kenarları 5 cm. ve 1 cm. dir. hipotenüsün uzunluğunu bulunuz? a = 5 cm. b = 1 cm. c =? cm. c = a + b c = 5 + 1 c = 5 + 144 c = 169 c = 13 cm 9.1. Euclides (Öklit) Bağıntısı a = p + k Yükseklik Bağıntısı Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, yüksekliğin hipotenüsten ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. s(â) = 90 ve [AH] [BC] dir. s(ahb) = s(ahc) = 90 dir. (Çizimden) s(abc) = x ise s(bah) = s(acb) = 90 - x olur. s(cah) = 90 - ( 90 - x ) = 90-90 + x = x olur. Buna Göre A.A.A. benzerlik kuralından, Benzer üçgenlerde, eş açıların karşılarındaki kenarlar orantılıdır. 153

HB HA ni ele alalım. HA = HC ise HA = HB. HC h = p. k Dik Kenar Bağıntısı Bir dik üçgende, dik kenarlarının her birinin uzunluğunu karesi, bu dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüs uzunluğunun çarpımına eşittir. 9.1.3 Dik Üçgenlerde Trigonometrik Oranlar Dik üçgenlerde açılar ve kenarlar ile ilgili bazı bağıntılar vardır. Dar açılar bilindiğinde kenar uzunluklarının bir kısmının uzunluğu biliniyorsa, bazı bilinmeyen kenar uzunlukları hesaplanabilir. ABC dik üçgeninde θ açısının karşısındaki dik kenar b, komşu dik kenarı a, hipotenüs c dir. 154

Dik üçgenlerde; bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun hipotenüsünün uzunluğuna oranına, o dar açının sinüsü denir. Dik üçgenlerde; bir açının bitişiğindeki( komşu ) dik kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına, o dar açının sinüsü denir. Dik üçgenlerde; bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun bitişiğindeki ( komşu ) dik kenar uzunluğuna oranına, o dar açının tanjantı denir. Dik üçgenlerde; bir dar açının bitişiğindeki ( komşu ) dik kenar uzunluğunun oranına, o dar açının kotanjantı denir. 155

ÖRNEKLER: 1) Aşağıdaki üçgende cotθ, tanθ ve X değerlerini bulalım. A 5 = 4 + X t 5 = 16 + X 5-16 = X 9 = X X = 3 5 4 B θ x C ) Aşağıdaki üçgende cosθ, sinθ ve X değerlerini bulalım. A X 6 B θ 8 C 156

300 ve 600 lik açıların trigonometrik değerleri AHC dik üçgeninde Tümler iki açıdan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tanjantı diğerinin kotanjantına eşittir. 45 0 lik açının trigonometrik değerleri 157

ÖRNEKLER: Trigonometrik oranlarla ilgili mesleki uygulamalar ÖRNEKLER: A 10m Yanda bir elektrik direği görülmekte dir. Bu direğin lambasını değiştirmek amacıyla 10m boyunda bir merdiven direğe dayanıyor. Merdiven yerle 30 0 lik bir açı yaptığına göre, direğin boyu ne kadardır? 9. ÇOKGENLER VE TÜRLERİ 9..1 Çokgenler ve Dörtgenlerin Elemanları Arasındaki İlişkiler Bir doğru üzerinde bulunmayan, T den daha fazla noktanın birleştirilmesiyle meydana gelen doğru parçalarının oluşturduğu kapalı şekillerdir. Kısaca çokgen; en az üç kenarlı olan şekillerdir. Üçgeni daha önce gördünüz, şimdi dörtgenleri, beşgenleri ve altıgenleri göreceksiniz. Bütün kenarları ve açıları eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir. Eşkenar dörtgen, kare, düzgün beşgen, düzgün altıgen gibi... 158

Çokgenlerin iç açılarının toplamı Çokgenlerinin kenar sayısına n dersek, bu takdirde iç açılarının toplamını; ( n - ) x 180 formülü ile hesaplarız. ÖRNEKLER: Üçgenin iç açıları toplamı : ( n - ) x 180 = ( 3 - ) x 180 = 1 x 180 = 180 derece bulunur. Dörtgenlerin iç açıları toplamı: ( n - ) x 180 = ( 4 - ) x 180 = x 180 = 360 derece bulunur. Beşgenlerin iç açıları toplamı: ( n - ) x 180 = ( 5 - ) x 180 =3 x 180 = 540 derece bulunur. Altıgenlerin iç açıları toplamı: ( n - ) x 180 = ( 6 - ) x 180 = 4 x 180 = 70 derece bulunur. 9..1.1 Üçgen Üçgenin çevresi; Üç kenar uzunluğunun toplamıdır. Ç = a + b + c Üçgenin alanı bulunurken bir kenar uzunluğu ile bu kenara ait yükseklik çarpılır. Çarpım ikiye bölünür. A h B H C A = axh a 159

ÖRNEK: A c h b b = a + c b = 4 + 3 b = 16+9 b = 5 b = 5 cm A = axh A = 3x4 A = A = 6cm 1 B a C Çevre= a + b + c Ç= 3 + 4 + 5 Ç = 1cm 9..1. Paralel Kenar Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları paralel olan dörtgenlere paralelkenar denir. Paralelkenarın Çevresi Kısa kenarı ile uzun kenarı toplamının iki katına eşittir. Ç = ( a + b ) Paralelkenarın Alanı Bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir. A = a x h a veya A = b x h b ÖRNEK: Bir paralelkenarın uzun kenarı 8 cm. ve bu kenara ait yükseklik 5 cm. dir. Bu paralelkenarın alanını bulunuz? a=8 cm. h a = 5 cm. A= a. h a A = 8. 5 = 40 cm dir. 160

9..1.3 Eşkenar Dörtgen Dört kenar uzunlukları birbirine eşit ve karşılıklı açılarının ölçümü eşit olan dörtgene eşkenar dörtgen denir. AB = BC = CD = DA = a e f Köşegenler birbirine diktir. Eşkenar Dörtgenin Çevresi: Bir kenarı 4 ile çarpılır. Ç = 4. a Eşkenar Dörtgenin Alanı 1) Köşegenleri verilmiş ise: exf Köşegen uzunlukları çarpılır, ikiye bölünür. A= ) Bir kenarı ve bu kenara ait yükseklik verilmiş ise: Paralelkenar gibi bu kenar ile bu kenara ait yükseklik çarpılır. A=a.h a ÖRNEK: Köşegen uzunlukları 6 ve 10 cm. olan eşkenar dörtgenin alanı bulunuz. e= 6 cm. f= 10 cm. exf 6x10 60 A= A= = = 30 9..1.4 Dikdörtgen Karşılıklı kenarları birbirine eşit ve paralel, açıları 90 olan dörtgenlere dikdörtgen denir. Bir dikdörtgenin köşegen uzunlukları birbirine eşittir. Birbirlerini ortalarlar. 161

Dikdörtgenin Çevresi: Kısa kenarı ile uzun kenarı toplanır, iki katı alınır. Ç= a+b+c+d a = c ve b = d olduğundan Ç= a+b = (a+b) ÖRNEK: Kısa kenarı 7 cm. ve uzun kenarı 11 cm olan dikdörtgenin çevresini hesaplayı- Ç= ( a+b ) = ( 7+11 ) =. 18 = 36 cm. dir. Dikdörtgenin Alanı : Kısa kenarı ile uzun kenarı çarpılır. A = a. b ÖRNEK: Kısa kenarı 5 cm ve uzun kenarı 9 cm olan dikdörtgenin alanını hesaplayınız? A = a.b = 5.9 = 45 cm nız? 9..1.5 Kare Kenarları birbirine eşit ve açıları 90 0 olan dörtgene kare denir. Köşegenleri eşit ve dik olarak birbirini ortalar, köşegenler açıortaydır. dir? Karenin Çevresi: Karenin dört kenarı da birbirine eşit olduğundan C=4.a olur. ÖRNEK: Bir kenarı 35 cm. olan kare biçimindeki bir elektrik panosunun çevresi kaç cm Ç = 4.a = 4. 35 = 140 cm. 16

Karenin Alanı: Bir kenarının karesine eşittir. A= a ÖRNEK: Bir kenarı 35 cm. olan bir elektrik panosunun alanı kaç cm dir? A = a = 35 = 15 cm 9..1.6 Yamuk Yalnız karşılıklı iki kenarı birbirine paralel olan dörtgenlere yamuk denir. Yamuğun Çevresi: Ç= a + b + c + d Yamuğun Alanı: Alt ve üst tabanları (paralel kenarları) toplamının, yükseklik ile çarpımının yarısına eşittir 9..1.7 Deltoid Tabanları eşit olan iki ikizkenar üçgenin, tepe noktaları farklı kalacak şekilde eş tabanların çakıştırılması ile oluşan dörtgene deltoid denir. AB = BC AD = DC e f Deltoidin Çevresi: Ç = a + b + c + d Deltoidin alanı: Eşkenar dörtgen gibi, Köşegen uzunlukları çarpılır, ikiye bölünür. A = exf 9..1.8 Düzgün Beşgen Beş kenarı da birbirine eşit olan beşgenlere düzgün beşgen denir. 5 kenarı, 5 köşesi, 5 açısı vardır. İç açıları toplamı 540 0 dir. Bir açının ölçümü 108 0 dir. 163

Düzgün Beşgenin Çevresi: Ç=5.a Düzgün Beşgenin Alanı: axh A = 5. AB = BC = CD = DE = EA = a ÖRNEK: Aşağıdaki düzgün beşgende, AB =8cm, OH = 6cm olduğuna göre düzgün beşgenin çevresini ve alanını bulunuz? Ç = 5.a = 5. 8 = 40 cm A = 5. axh = 5. 8x6 = 5. A = 5.4 = 10 cm 48 9..1.9 Düzgün Altıgen Altı kenarı da birbirine eşit olan altıgenlere düzgün altıgen denir. 6 kenarı, 6 köşesi, 6 açısı vardır. iç açıları toplamı 70 0 dir. Bir açısının değeri 10 0 dir. Düzgün Altıgenin Çevresi: Ç=6.a Düzgün Altıgenin Alanı: A = 6. axh AB = BC = CD = DE = EF = FA = a 164

9.3 ÇEMBER VE DAİRE 9.3.1 Çember Bir O noktasından r kadar uzaklıktaki noktaların birleşim kümesine çember denir. OA = r (yarıçap) BA = R = r (çap) O noktasına çemberin merkezi, r ye çemberin yarıçapı, çemberin üzerindeki iki noktayı birleştiren doğruya kiriş, merkezden geçen kirişe çap denir. Çemberin Düzlemde Ayırdığı Bölgeler Çember düzlemi iki bölgeye ayırır. 1) Çemberin iç bölgesi (O noktası çemberin iç bölgesindedir.) ) Çemberin dış bölgesi (B noktası çemberin dış bölgesidir) 9.3. Daire Çemberin iç bölgesi ile çemberin kendisinin birleşimine daire denir. Dairenin Çevresi Herhangi bir Dairenin Çevresini çapına böldüğümüzde 3,14... gibi bir sayı bulunur. Bu sayı bütün dairelerde aynı işlem yapıldığında aynı çıkmaktadır. Bu sayıya matematikte Pi sayısı denir ve ( π ) işareti ile gösterilir. Ç = r. π 165

Dairenin Alanı Yarıçapın karesi ile π sayısı çarpılır. A = π. r Elektrik tesisatçılığında kullanılan iletkenlerin kesitleri genellikle daire şeklindedir. İletkenin kesiti denince, o kesitteki dairenin alanı anlaşılır. (r iletkenin yarıçapı) ÖRNEK: Yarıçapı 10 cm olan dairenin çevresini ve alanını bulunuz? r = 10 cm Ç= r.π Ç =.10.3.14 Ç = 6,8cm π = 3,14 A=π.r A=3,14.10 A=314 cm 9.4 PARALEL KENARIN, EŞKENAR DÖRTGENİN, DİKDÖRTGENİN, KARENİN, YAMUĞUN, DAİRENİN VE DELTOİDİN ÇEVRE, ALAN HESAPLARI VE MESLEKİ UYGULAMALARI 1) Bir düzgün beşgen ile düzgün altıgenin çevreleri ölçümü eşittir. Düzgün beşgenin bir kenarı 18 cm olduğuna göre düzgün altıgenin bir kenarı kaç cm. dir? Ç = 5. a Ç = 5. 18 Ç = 90 cm (Beşgenin çevresi) Ç = 6. a 90 = 6. a a= 15 cm. (Beşgen ile altıgenin çevreleri eşit) ) Aşağıda görüldüğü gibi dikdörtgen şeklindeki bir odanın tavanının tam orta noktasına bir hat çekilecektir. A köşesinden O noktasına kaç metre iletken gider? OKA Dik üçgeninde: OK uzunluğu 3 m. ve AK uzunluğu 4 m. dir. (Köşegenler birbirini orta noktada keser) 166

OA = AK + OK (pisagor) OA = 3 + 4 OA = 9 + 16 OA = 5 OA = 5 m 3) Bir kenarı 0,5 metre olan kare şeklindeki elektrik kumanda tablosunun alanı ne kadardır? A = a A= 0,5 A= 0,5 m dir. 4) Boyu 840 mm. olan 5 ohm direncindeki bakır bir iletkenin kesiti kaç mm dir? ( ρ = 0,0178) 167

ÖZET Pisagor Bağıntısı: Bir dik üçgende, dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. Öklit in Yükseklik Bağıntısı: Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, yüksekliğin hipotenüsten ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. Öklit in Dik Kenar Bağıntısı: Bir dik üçgende, dik kenarlarının her birinin uzunluğunun karesi, bu dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün uzunluğunun çarpımına eşittir. Trigonometrik fonksiyonlardan; Sinüs, Kosinüs, Tanjant, Kotanjant, Sekant, Kosekant ın nasıl hesaplandığını öğrendik. 30, 45 ve 60 derecelik açıların Trigonometrik oranlarını öğrendik. Çokgenler ve Dörtgenlerin Elemanları Arasındaki ilişkilerde; Paralel kenarın, Eşkenar Dörtgenin, Dikdörtgenin, Karenin, Yamuğun ve Deltoidin özelikleri, Çevre, Alan Hesaplarını öğrendik. 168

DEĞERLENDİRME SORULARI 1. Aşağıdakilerden hangisi trigonometrik oran değildir? a. Sinüs b. Kelvin c. Kosinüs d. Tanjant. Aşağıdakilerden hangisi diğerlerinden farklıdır? (Kenar sayısı yönünden) a. Üçgen b. Kare c. Dikdörtgen d. Yamuk 3. Yarıçapı 10 cm. olan bir dairenin alanını bulunuz? (π = 3,14) a. 31,8 b. 31,8 c. 6,56 d. 314 4. Yandaki şekilde görüldüğü gibi 5 metre uzunluğundaki bir merdiven ile bir elektrik direğinin tepesine ulaşılıyor. Merdiven ayağının direğe uzaklığı 3 metre olduğuna göre, direğin boyunu bulunuz? a. 3 b. 3,5 c. 4,5 d. 4 5. Eni 3 metre olan bir dikdörtgenin alanı 15 m dir. Bu dikdörtgenin boyu aşağıdakilerden hangisidir? a. 4m b. 5m c. 7m d. 1m 169

6. Alanı 36 m olan kare şeklindeki bir odanın bir kenarı boyunca iletken hat çekilecektir. Bu hat için kaç metre iletken gereklidir? a. 6 b. 9 c. 18 d. 4 7. Bir kablonun çapı mikrometre ile mm. Olarak ölçülmüştür. Kesiti kaç mm dir? (π = 3 alınız) a. 0,03 b. 0,3 c. 3 d. 30 8. Uzun kenarı 40 cm, kısa kenarı 30 cm olan dikdörtgen saçtan yapılmış bir dağıtım tablosunun yüzeyi kaç santimetre karedir? a. 10 b. 100 c. 40 d. 400 9. Eni 4 m. Boyu 3m. olan dükkanımızın vitrinine cam takılacaktır. Camın m si 10 TL olduğuna göre vitrin camı kaç liraya takılır? a. 10 TL b. 150 TL c. 180 TL d. 40 TL 10. Eşkenar dörtgen şeklinde bir halının köşegenleri 8m ve 6 m dir. Bu halının kapladığı alan kaç m dir? a. 4 b. 36 c. 48 d. 64 170

11. Bir paralelkenarın açılarından biri n, diğeri n dir. Bu paralelkenarın büyük açısı kaç derecedir? a. 180 0 b. 10 0 c. 90 0 d. 60 0 1. Yandaki şekilde taralı bölgenin alanı 3 cm dir. Bu eşkenar dörtgenin küçük köşegeni 4 cm ise büyük köşegenini bulunuz? a. b. 3 c. 4 d. 6 13. Çevresinin uzunluğu 19, metre olan dikdörtgen şeklindeki bir odanın kısa kenarı uzun kenarının yarısı uzunluğundadır. Bu odanın uzun kenarı aşağıdakilerden hangisidir? a. 3,6 b. 4,8 c. 6,4 d. 7,6 14. Bir odanın aydınlatılmasında taban alanının 1 m si için 10 Watt gücünde lamba gereklidir. Eni 3 metre, boyu 5 metre olan bir oda için kaç Wattlık ampul gereklidir? a. 60 b. 75 c. 100 d. 150 171