9. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

Transkript

1 SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni

2 1. ÜNİTE: TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ Nokta: Herhangi bir büyüklüğü olmayan ve yer belirten geometrik terimdir. Noktanın eni boyu ve yüksekliği yoktur. Büyük harflerle isimlendirilir. A noktası, biçiminde gösterilir. Doğru: Düz ve uzunluğu sürekli iki yöne sınırsız uzatılabilen, kalınlığı bulunmayan geometrik terimdir. Doğrular, üzerinde bulunan iki nokta ile ya da seçilen küçük harflerle ifade edilir. (AB doğrusu) (l doğrusu) Nokta olarak iz, doğru olarak düz çizgi modeli kullanılır. Yukarıdaki şekilde AB doğrusunun A noktasından başlayan ve B noktasından geçecek şekilde sürekli uzatılan parçasının belirttiği ışını [AB ile gösterir, bu simgeli yazılışı da AB ışını diyerek okuruz. Işının sözü edilen yanda sınırsız uzatılabildiğine ve yönlü olduğuna dikkat ediniz. Düzlem: Uzunluğu ve genişliği, düz ve sınırsız genişletilebilen fakat kalınlığı bulunmayan geometrik terim olarak ele alınır. Bir düzlemi yukarıda görüldüğü gibi paralelkenarsal bölge ile modeller ve büyük harfle adlandırırız. Bu şekilde E düzlemini görüyoruz. E harfi düzlem gösteriyorsa bunu (E) şeklinde yazar ve E düzlemi diyerek okuruz. Farklı iki noktadan bir doğru geçer Bir doğru üzerinde en az iki nokta ve dışında en az bir nokta vardır. Doğrusal noktalar: Aynı doğru üzerinde bulunan noktalara doğrusal (doğrudaş) noktalar denir. Yukarıdaki şekilde A, B, C, D noktaları d doğrusunun noktalarıdır. Tanıma göre bu noktalar doğrudaş noktalardır. Bir düzlemin kalınlığının olmadığını, uzunluğunun ve genişliğinin düz sınırsız artırılabileceğini düşünmelisiniz (yukarıdaki şekil). Öyleyse iki noktası bir düzlemde olan doğrunun her noktası bu düzlemdedir. Doğru parçası: Bir AB doğrusu verilmiş olsun. A ve B noktaları ile doğrunun bu iki nokta arasında kalan parçasına doğru parçası denir ve [AB] ile gösterilir. (AB) AB doğru parçasının iç noktaları [AB) AB doğru parçasından B çıkarılmış (AB] AB doğru parçasından A çıkarılmış Işın: Bir doğrunun belirli bir noktasından başlayan ve bu noktanın sürekli aynı yanına uzatılan parçasına ışın adı verilir. Yukarıdaki şekilde A ve B noktaları P düzleminin noktaları ise AB doğrusu P düzleminde olan bir doğrudur. Yani, bu şekildeki K ve L noktaları da P düzleminin noktalarıdır. Benzer şekilde CD doğrusu da P düzleminin bir doğrusu olur. Bu nedenle M, N (P) dir. Herhangi üçü doğrusal olmayan n tane nokta C(n,3) kadar düzlem gösterir. Herhangi üçü doğrusal olmayan n noktadan C(n,2) kadar doğru geçer. n tane doğru en fazla, C(n,2) noktada kesişir. Bir düzlem içindeki farklı n tane doğru, bu 1

3 düzlemi en az n+1 bölgeye, en çok bölgeye ayırır. Uzay: Tüm noktalar kümesine uzay denir. Tüm noktalar kümesi olarak düşünebileceğimiz uzayı; genişliği, uzunluğu ve yüksekliği sınırsız büyütülebilen geometrik terim olarak algılamalıyız. Eş doğru parçası: Uzunluğu eşit olan doğru parçalarına eş doğru parçaları denir. AB = CD ise bu tanıma göre [AB] ile [CD] doğru parçaları eştir. Bu iki doğru parçasının eşliğini simgesel olarak [AB] [CD] şeklinde yazar ve AB doğru parçası eş CD doğru parçası diyerek okuruz. Yönlü doğru parçaları A da başlayan B de biten doğrusal hareketi ile gösterir, bu simgeli yazılışı da AB yönlü doğru parçası diyerek okuruz. A ya başlangıç, B ye bitiş noktası denir (aşağıdaki şekil). Uzayı modellerken bu tür prizmalardan yararlanabiliriz. Bir prizma ile modellediğimiz uzayı E 3 ile gösterelim. Bu yazımda üsteki 3 sayısı; genişlik, uzunluk ve yükseklik (derinlik) boyutlarını çağrıştıran simge olarak kullanılır. Koordinat doğrusu: Gerçek sayıların, bir doğrunun noktaları ile bire bir eşlenmesi ile oluşturulan sayı doğrusuna koordinat doğrusu, 0 sayısına karşılık gelen noktaya da başlangıç noktası (orijin) denir. Başlangıç noktasının bir tarafı pozitif diğer tarafı negatif yön olarak alınır. Herhangi bir noktaya karşılık gelen gerçek sayıya bu noktanın koordinatı adı verilir. Sayı doğrusunun iki noktası A(a) ve B(b) olsun. a < b ise na pozitif yönlü doğru parçası, a > b ise na negatif yönlü doğru parçası deriz (aşağıdaki şekiller). Eş yönlü doğru parçaları: Uzunluğu ve yönü aynı olan yönlü doğru parçalarına eş yönlü doğru parçaları denir. ile eş yönlü doğru parçaları ise bunu şeklinde yazarız. Vektör: Buna göre, x doğrusu üzerindeki A, B, C noktaları koordinatlarıyla beraber A(-2), B(0) ve C(3) olarak ifade edilir. İki nokta arasındaki uzaklık Bir a gerçek sayısının, koordinat doğrusu üzerinde eşlendiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına a sayısının mutlak değeri denir ve a ile gösterilir. a, b R olmak üzere, i) a 0 ii) a 0 ise a =a iii) a<0 ise a =-a iv) a b = b a dır. Koordinatları A(a) ve B(b) olan iki nokta arasındaki uzaklık, d(a,b) olarak ifade edilir ve aşağıdaki gibi hesaplanır: d(a,b) = b a Yukarıdaki şekilde çizilmiş olan koordinat doğrusundaki nı düşünelim. Bu doğruda na eş olan çok sayıda yönlü doğru parçası çizilebilir. Bunların tümünü bu yönlü doğru parçalarından biri ile temsil edebiliriz. Sözü edilen yönlü doğru parçalarının kümesine vektör denir. Demek ki (AB vektörü), na (AB yönlü doğru parçasına) eş olan yönlü doğru parçalarının tümünü temsil etmektedir. Öyleyse bir vektörün uzunluğu (büyüklüğü) bu vektörün temsil ettiği yönlü doğru parçalarından birinin uzunluğudur ve ile gösterilir. 2

4 Birim vektör: Uzunluğu (büyüklüğü) 1 birim olan vektöre birim vektör denir. Düzlemde Dik Koordinat Sistemi Yer vektörü: Koordinat doğrusunun bir noktası P olsun. Başlangıç noktası orijin ve bitiş noktası P olan vektöre, P noktasının yer vektörü denir. ve O orijin noktası ise ne nün yer vektörü (ya da konum vektörü) denir. yer vektörünü çoğunlukla şeklinde yazacağız. İki Vektörün Toplamı Aşağıdaki iki şekilde de orijin O noktası, P(a), Q(b) ve R(a + b) dir. O noktasında dik kesişen iki koordinat doğrusunun oluşturduğu yapıya dik koordinat sistemi, bu sistemin belirttiği düzleme analitik düzlem ve O noktasına da orijin denir. Koordinat sistemini oluşturan doğrulardan yatay olanına x ekseni (apsisler ekseni) düşey olanına y ekseni (ordinatlar ekseni) adı verilir. Bu şekillerdeki ne ile nün toplamı denir ve ya da yazılır. İki Vektörün Bir Gerçek Sayı İle Çarpımı P(a), k R ve R(k.a) ise ne nün k sayısı ile çarpımı denir ve yazılır. Aşağıdaki sayı doğrusundaki örnekleri inceleyiniz. Bu şekildeki vektörler konum vektörlerdir. İki Vektörün Farkı ( ) toplamına P ile Q nün farkı denir. ( ) işlemi şeklinde yazılır. A(x,y) gösteriminde, x, A noktasının apsisini; y, A noktasının ordinatı belirtir. (x,y) ise A noktasının koordinatları olarak adlandırılır. Koordinat sisteminde x ekseninin üzerindeki noktaların ordinatları sıfırdır. (x,0) Koordinat sisteminde y ekseninin üzerindeki noktaların apsisleri sıfırdır. (0,y) Bir Doğru Parçasını Verilen Oranda Bölen Noktalar ( ) ( ) doğrusal noktalar olsun. ise C noktası [AB] nı k oranında bölen noktadır. Eğer C noktası A ile B arasında ise bu nokta [AB] nı içten, diğer durumlarda dıştan bölen noktadır. C noktası [AB] nı k oranında içten bölüyorsa koordinatları ( ), dıştan bölüyorsa ( ) şeklindedir. k=1 ise C orta noktadır ( ) Koordinat sistemi analitik düzlemi dört bölgeye ayırır. Koordinat sistemi {0, e 1, e 2 } ile de gösterilir. Bir Doğru Parçasını Verilen Oranda Bölen Noktalar A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ) ve C doğrusal noktalar olsun. C noktası [AB] nı k oranında içten bölüyorsa koordinatları ( ), dıştan bölüyorsa 3

5 ( ) şeklindedir. İçten bölen nokta için k=1 ise C orta noktadır ( ) Analitik Düzlemde Vektörler İki Vektörün Toplamı A(x 1,y 1 ) ve B(x 2,y 2 ) olmak üzere yönlü doğru parçası, bileşenleri olan (x 2 x 1,y 2 y 1 )ikilisi ile ifade edilir. Bileşenleri aynı olan yönlü doğru parçalarının kümesine vektör, bu kümenin herhangi bir elemanına da bu vektörün doğrultusu, başlangıç noktası koordinat sisteminin orijininde olan vektörüne P noktasının yer vektörü denir. Başlangıç ve bitim noktası aynı olan vektörüne sıfır vektörü denir. Sıfır vektörü ( ) biçiminde gösterilir. Bir vektörün uzunluğu, başlangıç ve bitim noktaları arası uzaklıktır. Doğrultuları aynı olan vektörler birbirinin gerçek sayı katı cinsinden yazılabilir. Bir Vektörün Uzunluğu (Normu) Herhangi iki yer vektörü ( ) ve ( ) olsun. Bu vektörlerin bileşenlerini karşılıklı toplayarak, ( ) vektörünü elde edelim., ve vektörleri yukarıdaki şekilde çizildiği gibidir. Buradaki ne, ile nün toplamı denir ve ile gösterilir. Demek ki, ( ) dir. İki Vektörün Farkı ( ) verilmiş olsun. Bileşenleri bu vektörün bileşenlerinin -1 ile çarpımı olan vektörü ile gösterelim. Yani, ( ) olsun. Bu iki vektörün bitiş noktalarının orijine göre simetrik olduğuna dikkat ediniz. Bir vektörün uzunluğu, başlangıç ve bitim noktaları arası uzaklıktır. ( ) vektörünün uzunluğu dir. Birim Vektör Uzunluğu 1 birim olan vektöre birim vektör denir. Aşağıdaki şekilde yer vektörü olan birim vektörlerden örnekler çizilmiştir. Bunların içinde ( ) ( ) birim vektörlerini sıkça kullanırız. ile nün toplamına ile nün farkı denir. Demek ki, ( ) ve ( ) olmak üzere ( ) dir. 4

6 Vektörün Bir Gerçek Sayı İle Çarpımı ( ) ve ise k ( ) vektörüne nün k ile çarpımı denir. Özellik: 1., 2. k>0 için. ile aynı yönlü ve, 3. k<0 için. ile zıt yönlü ve, 4. k=0 için dür. Vektörlerin Toplamı ve Bir Gerçek Sayı ile Çarpımının Özellikleri ve olmak üzere; 1. Kapalılık Özelliği: Analitik düzlemdeki vektörler kümesi toplama ve bir gerçek sayı ile çarpma işlemlerine göre kapalıdır. Yani iki vektörün toplamı bir vektör, vektörün bir gerçek sayı ile çarpımı yine bir vektördür. ve dir. 2. Değişme Özelliği: olduğundan toplama işleminin değişme özelliği vardır. 3. Birleşme Özelliği: ( ) ( ) olduğundan toplama işleminin birleşme özelliği vardır. 4. Birim Eleman Özelliği: vektörü toplama işleminin birim elemanıdır. 5. Ters Eleman Özelliği: vektörünün toplama işlemine göre tersi vektörüdür. ( ) ( ) 6. Vektörlerin Gerçek Sayı İle Çarpımında Dağılma ve Birleşme Özellikleri i. Birinci Dağılma Özelliği: ( ) ii. İkinci Dağılma Özelliği: ( ) iii. Birleşme Özelliği: ( ) ( ) Açılar Açı: Başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşimine açı diyoruz. Başlangıç noktasına açının köşesi, ışınlara da açının kenarları denir. [OA ve [OB ışınları açının kenarları (kolları) Birim Çember: Düzlemde sabit bir noktadan 1 birim uzaklıkta bulunan noktaların kümesine birim çember denir. E düzleminin sabit bir noktası M olsun. Bu düzlemin M ye uzaklığı 1 birim olan noktaları, bir çember oluşturur. Bu çember E düzleminde M merkezli birim çemberdir. Bir açının ölçüsünü tanımlarken merkezi açının köşesinde olan ve bu açı ile aynı düzlemde bulunan birim çemberden yararlanacağız. AOB açısının bulunduğu düzlemde O merkezli birim çemberi çizelim. Bu çember açının kenarlarını C ve D noktalarında kesmiş olsun. Açının içinde kalan CD yayının (Bu yayı ile gösteririz.) ölçüsünü tanımlayacak ve bu ölçüye AOB açısının ölçüsü adını vereceğiz. Çember Yayının Ölçüsü AOB açısının kenarları O merkezli birim çemberi C ve D noktalarında kesmiş ise bu çemberin C ile D noktaları arasındaki yayının ölçüsüne AOB açısının ölçüsü denir. AOB açısının ölçüsünü ( ) ile gösterir, bu yazılışı AOB açısının ölçüsü diyerek okuruz. Radyan: Birim çemberin uzunluğu 1 birim olan yayının ölçüsüne 1 radyan denir. 5 Açının birim çemberi kestiği noktalar arasındaki yay uzunluğuna da açının radyan cinsinden ölçüsü adı verilir Bir çember yayının uzunluğu, radyan

7 türünden ölçüsü ile yarıçapının çarpımıdır. Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayın ölçüsü 1 radyandır. Derece: Birim çemberin çevre uzunluğunu 360 eş parçaya ayırarak her bir parçayı gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir ve 1 0 biçiminde gösterilir. tümler açılar denir. Tümler açıların her birine diğerinin tümleyeni denir. Bütünler Açılar: Ölçüleri toplamı olan iki açıya, bütünler açılar denir. Bütünler açıların her birine diğerinin bütünleyeni denir. Ters Açılar: Köşeleri ortak ve kenarları birbirine zıt ışınları olan iki açıya ters Açı denir. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. (x=z, t=y) Aynı açının derece cinsinden ölçüsü D, radyan cinsinden ölçüsü R olmak üzere, dir. Açı Çeşitleri Dar Açı: Ölçüsü 0 0 ile 90 0 arasında olan açıya dar açı denir. (0 0 < α < 90 0 ) Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar Geniş Açı: Ölçüsü 90 0 ile arasında olan açıya geniş açı denir. (90 0 < α < ) Dik Açı: Ölçüsü 90 0 olan açıya dik açı denir. (α=90 0 ) l//k ve d bu iki doğruyu kesiyorsa; Yöndeş açılar: Aynı yöne bakan açılara yöndeş açı denir. Yöndeş açıların ölçüleri eşittir. (a=e, b=f, c=m, d=n) İç-Ters açılar: İçte kalan ve ters yöne bakan açılara iç-ters açılar denir. İç-Ters açıların ölçüleri eşittir. (b=n, c=e) Doğru Açı: Ölçüsü denir. (α=180 0 ) olan açıya doğru açı Dış-Ters açılar: Dışta kalan ve ters yöne bakan açılara dış-ters açılar denir. Dış-Ters açıların ölçüleri eşittir. (a=m, d=f) Karşı Konumlu Açılar: Paralel iki doğru arasında kalan ve karşılıklı olan açılara denir. Karşı konumlu açıların toplamı 180º dir.(b+e=c+n=180º) Tam Açı: Ölçüsü olan açıya tam açı denir. (α=360 0 ) Kenarları Karşılıklı Paralel Olan Açılar Tümler Açılar: Ölçüleri toplamı 90 0 olan iki açıya, 6 Yukarıdaki şekilleri inceleyiniz. Bunlarda A ve B

8 açılarının kenarları; a da aynı yönde, b de zıt yönde, c de birer kenarlar aynı, diğer kenarlar zıt yönde paraleldir. a ve b de α = β, c de ise α + β = 180 olduğu açıktır. Demek ki; Kenarları karşılıklı olarak aynı yönde ya da zıt yönde paralel olan açılar eştir. Birer kenarları aynı, diğer kenarları zıt yönde paralel olan açılar bütünlerdir. Kenarları Karşılıklı Dik Olan Açılar Bu tip açılarda Üçgenin iç açıları toplamı 180 dir ve Dörtgenin iç açıları toplamı 360 dir özellikleri kullanılarak rahatlıkla çözülebilir. Yönlü Açı Herhangi bir açının bir kenarından diğer kenarına saat yönünün ters yönünde gidildiğinde, açı pozitif yönlü, saat yönü ile aynı yönde gidildiğinde açı negatif yönlüdür, denir. Bu durum aşağıdaki şekillerde olduğu gibi verilir: Pratik Kural 1: İki paralel doğru arasına çizilmiş aynı yöne bakan açılarla farklı yöne bakan açıları toplamı eşittir. Dar Açıların Trigonometrik Oranları [AB//[EF ise α+β=x+y dir. Pratik Kural 2: İki paralel doğru arasına çizilmiş aynı yöne bakan açıların ölçüleri toplamı (açı sayısı 1). 180 dir. Sin: Sinüs, cos: Kosinüs tan: Tanjant, cot: Kotanjant 7

9 Bir Açının Trigonometrik Değerleri Not: Formülün hatırlanması için Kosinüs ve kotanjantın Ko ile başladığını formüllerindeki Komşu dik kenar uzunluğunun pay kısmında yer aldığı hatırlanabilir. Tablo oluşturulurken aşağıdaki özelliklerin bilinmesinde fayda vardır. Tümler açıların trigonometrik oranlarında sinüsü kosinüne, tanjantı kotanjantına eşittir. a + b = 90 0 ise sina=cosb, sinb=cosa, tana=cotb, tanb=cota dır. Bir açının tanjantı o açının sinüsünün kosinüsüne oranına eşittir. Bir açının kotanjantı o açının kosinüsünün sinüsüne oranına eşittir. Bir açının tanjantı ile kotanjantının çarpımı 1 dir. (Tanjantı ile kotanjantı birbirlerinin çarpmaya göre tersleridir.) x ekseni ile pozitif yönde θ açısı yapacak biçimde birim çember üzerinde seçilen bir P(x,y) noktası için, cosθ=x ve sinθ=y olur. [OP nin x=1 doğrusu ile kesiştiği nokta T(1,t) ve y=1 doğrusu ile kesiştiği nokta K(k,1) ise tanθ = t ve cotθ = k olur. Bu yüzden x eksenine (y=0 doğrusuna) kosinüs ekseni, y eksenine (x=0 doğrusuna) sinüs ekseni, y=1 doğrusuna kotanjant ekseni, x=1 doğrusuna tanjant ekseni adı verilir. Geniş açıların trigonometrik oranları için bu açıların bütünler açılarının trigonometrik oranları bulunur. Geniş açının; Sinüs yerine bütünlerinin sinüsü, Kosinüsü yerine bütünlerinin kosinüsünün 1 katı, Tanjantı yerine bütünlerinin tanjantının 1 katı, Kotanjantı yerine bütünlerinin kotanjantının 1 katı alınır. Doğrunun Eğimi ediniz. olduğuna dikkat sin 0 cos 1 tan 0 cot Tanımsız Tanımsız Tabloda koyu gösterilen yerler ezberlenirse diğerleri özelliklerden çıkarılabilir. 0 8 Bir doğrunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantına doğrunun eğimi denir ve eğim m ile gösterilir. Vektörel olarak eğim, bir doğrunun doğrultu vektörünün eğimine bu doğrunun eğimi denir. Doğrunun, x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı θ ise eğim, m = tanθ olarak ifade edilir.

10 A(x 1,y 1 ) ve B(x 2,y 2 ) noktalarından geçen doğrunun eğimi, bu noktalarda geçen doğrultu vektörünün ordinatının apsisine oranıdır. Doğrultman vektörü: ( ) Eğimi: Doğrultman vektörü ( ) olarak verilirse eğimi olur. Doğru Denklemleri Düzlemde bir ( ) noktasından geçen ve doğrultman vektörü ( ) olan doğrunun, ( ) düzlemde herhangi bir nokta ve k parametre olmak üzere Vektörel denklemi: Parametrik denklemi: { Kapalı denklemi: Doğrultman vektörü ( ) olarak verilirse ax + by + c = 0 a, b, c R a 2 + b 2 0 şeklindedir. Özel olarak m eğimi göstermek üzere şeklinde de verilebilir. İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktalarından geçen doğrunun doğrultman vektörü ( ) olmak üzere; Vektörel denklemi: ( ) ( ) Parametrik denklemi: { ( ) Kapalı denklemi: şeklindedir. Doğrultman vektörü ( ) olarak verilirse m eğimi göstermek üzere y y 1 = m.(x x 1 ) şeklinde de verilebilir. Koordinat Eksenlerine Paralel Doğrunun Denklemleri 1. X Eksenine Paralel Doğrunun Denklemi ( ) birim vektörüdür. O halde X = (x, y) düzlemde herhangi bir nokta olmak üzere doğrunun; Vektörel denklemi: Parametrik denklemi: { Kapalı denklemi: y = y 0 şeklindedir. Bu tür denklemlerde eğim açısı 0 0, eğimi de sıfırdır. 2. Y Eksenine Paralel Doğrunun Denklemi A(x 0,y 0 ) noktasından geçen ve y eksenine paralel olan doğrunun doğrultman vektörü ( ) birim vektörüdür. O halde X = (x, y) düzlemde herhangi bir nokta olmak üzere doğrunun; Vektörel denklemi: Parametrik denklemi: { Kapalı denklemi: x = x 0 şeklindedir. Bu tür denklemlerde eğim açısı 90 0, eğimi de tanımsızdır. Birbirine Paralel Ya da Dik Olan Doğrular 1. Birbirine Paralel Olan Doğrular Birbirine paralel olan doğruların eğimleri eşittir. d 1 // d 2 m 1 = m 2 2. Birbirine Dik Olan Doğrular Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı -1 dir. d 1 d 2 m 1.m 2 = 1 A(x 0,y 0 ) noktasından geçen ve x eksenine paralel olan doğrunun doğrultman vektörü 9

11 İki Doğrunun Birbirine Göre Konumları ( ) doğruları verilsin. ( ) 1. Doğrular Kesişir. O halde doğruların eğimleri farklıdır. İki doğrunun kesim noktasının koordinatlarını bulmak için bu doğrularının denklemleri ortak çözülür. Kesim noktası her iki doğru denklemini sağlar. 2. Doğrular Paraleldir. O halde doğruların eğimleri eşittir, sabit terimleri farklıdır. 3. Doğrular Çakışıktır. O halde doğruların eğimleri ve sabit terimleri eşittir. 2. ÜNİTE: ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR 2.1. ÇOKGENLER, İÇ VE DIŞ AÇILARININ ÖLÇÜLERİ Çokgen: A 1, A 2,,A n düzlemsel farklı n tane (n 3) nokta olsun. Bunların herhangi ardışık üçü doğrusal değilse yalnız uç noktalarında kesişen [A 1, A 2 ], [A 2, A 3 ],, [A n, A 1 ] doğru parçalarının birleşimine çokgen denir. A 1, A 2,,A n noktalarına, çokgenin köşeleri; [A 1, A 2 ], [A 2, A 3 ],, [A n, A 1 ] doğru parçalarına da çokgenin kenarları denir. Formüller: n kenarlı bir konveks çokgenin; Bir köşesinden çizilen köşegenlerle çokgen (n 2) tane üçgene ayrılır. Bir köşesinden çizilen köşegenlerin sayısı (n 3) tür. ( ) Bir çokgenin köşegenlerinin sayısı dir. İç açılarının ölçüleri toplamı (n 2) Dış açılarının ölçüleri toplamı n kenarlı bir dışbükey çokgen, en az n 2 tanesi uzunluk olmak üzere, 2n 3 tane temel elemanının verilmesiyle tam olarak belirli olur. Düzgün Çokgenler Kenarları ve açıları eş olan çokgene düzgün çokgen denir. n kenarlı düzgün çokgenin; Bir dış açısının ölçüsü dir. Bir iç açısının ölçüsü veya ( ) dir. Üçgen: Üç kenarlı çokgene üçgen denir. Aşağıda verilen üçgen örneği, ABC üçgeni olarak isimlendirilir ve diye gösterilir. [AB], [BC] ve [AC] na nin kenarları; A, B ve C noktalarına da üçgenin köşeleri adı verilir. Aşağıdaki şekillerde üçgenin iç ve dış açıları gösterilmiştir. Herhangi bir üçgende bir köşedeki iç açı ile dış açı bütünlerdir. Çokgenin iç bölgesinde seçilen herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçası daima çokgenin iç bölgesinde kalıyorsa bu çokgene dışbükey (konveks) çokgen denir. Tersi oluştuğu zaman bu çokgene içbükey (konkav) çokgen denir. Dışbükey (konveks) çokgen denilince çokgen, çokgenin açıları deyimi ile bu çokgenin iç açıları kastedilir. Özellikler: 1. Herhangi bir üçgendeki iç açıların ölçüleri toplamı ve dış açıların ölçüleri toplamı dir. 2. Bir üçgenin herhangi bir dış açısının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. 10

12 İkizkenar Üçgen İki kenar uzunluğu birbirine eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. 3. Bir üçgende; iki iç açıortayın oluşturduğu açının ölçüsü, üçüncü köşedeki açının ölçüsünün yarısından fazladır. ( ) ( ) 4. Bir üçgende; iki dış açıortayın oluşturduğu açının ölçüsü, üçüncü köşedeki açının ölçüsünün yarısının tümleridir. Özellikler: 1. İkizkenar üçgende taban açılarının ölçüleri birbirine eşittir. 2. ( Üçgeni): Bu ikizkenar üçgende 120 'lik açının karşısındaki kenar uzunluğu 30 'lik açının karşısındaki kenar uzunluğunun katıdır. ( ) ( ) 5. Bir üçgende; komşu olmayan bir iç açı ve bir dış açının açıortaylarının oluşturduğu açının ölçüsü, üçüncü köşedeki açının ölçüsünün yarısına eşittir. 3. İkizkenar üçgende taban üzerinden alınan bir noktadan eşit kenarlara indirilen dikmelerin toplamı eşit kenarlara ait bir yüksekliğe eşittir. ( ) ( ) 6. Aşağıdaki şekle göre α=a+b+c dir. 4. İkizkenar üçgenin tabanının uzantısı üzerinde alınan bir noktadan, üçgenin eşit kenarlarına inilen dikmelerin uzunlukları farkının mutlak değeri eşit kenara ait bir yüksekliğe eşittir. 7. Yıldızılın iç açı ölçüleri toplamı dir. 5. İkizkenar üçgende taban üzerinden alınan bir noktadan eş kenarlara çizilen paralel doğru parçalarının uzunlukları toplamı eş kenarların birinin uzunluğuna eşittir. 11

13 3. Bir üçgende aynı doğru parçası hem açıortay hem de kenarortay oluyorsa bu üçgen ikizkenar üçgendir. 6. İkizkenar üçgende taban uzantısı üzerinden alınan bir noktadan kenarlara çizilen paralel doğru parçalarının mutlak farkı, eşit kenar uzunluklarından birine eşittir. Eşkenar Üçgen Tüm kenarları eş olan üçgene eşkenar üçgen denir. Eşkenar üçgende; 1. İç açılar birbirine eşit ve ölçüleri 60 dir. 7. İkizkenar üçgende eş kenarlara ait kenarortaylar, açıortaylar ve yükseklikler eştir. 8. İkizkenar üçgende tepe açısına ait kenarortay, açıortay ve yükseklik eştir. 2. Kenarortaylar, iç açıortaylar ve yükseklikler birbirine eştir. Sonuçlar: 1. Bir üçgende aynı doğru parçası hem yükseklik hem kenarortay olursa bu üçgen ikizkenar üçgendir. 3. ABC eşkenar üçgeninin içinde herhangi bir nokta P olsun [DP]//[BC], [EP]//[AC], [FP]//[AB] ise dır. 2. Bir üçgende aynı doğru parçası hem yükseklik hem de açıortay oluyorsa bu üçgen ikizkenar üçgendir. 4. ABC eşkenar üçgeninin içinde herhangi bir nokta P olsun. [AH] [BC], [PD] [AB], [PE] [BC], [PF] [AC] ise dır Şekilde ABC eşkenar üçgen; [PF] // [AC], [PD] // [BC], [PE] // [AB] ise dir.

14 6. ABC eşkenar üçgen [PD] [BC], [PE] [AB], [PF] [AC] ise dir. 5. ( Üçgeni): İkizkenar dik üçgende hipotenüs uzunluğu bir dik kenar uzunluğunun katıdır. Dik Üçgen Bir açısının ölçüsü 90 olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90 nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır. 6. ( Üçgeni): Bu üçgende 75 'lik açının karşısındaki kenar uzunluğu 15 'lik açının karşısındaki kenar uzunluğunun katı, hipotenüs uzunluğu ise katıdır. Ayrıca hipotenüse ait yükseklik hipotenüsün dörtte biridir. Özellikler: 1. Pisagor teoremi: Bir dik üçgende; dik kenar uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir. 2. (Muhteşem Üçlü): Bir dik üçgende; hipotenüse ait kenarortay hipotenüsü kendisine eş uzunlukta iki parçaya böler. Dörtgen ve Açıları Bir dörtgende; Açıların ölçüleri toplamı 360 dir. Dış açıların ölçüleri toplamı 360 dir. Kare 3. Bazı dik üçgen çeşitleri şunlardır. (3-4-5), ( ), ( ), ( ) 4. ( Üçgeni): Bir dik üçgende; 30 lik açının karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısı, 60 lik açının karşısındaki kenar uzunluğu 30 lik açının karşısındaki kenar uzunluğunun katıdır. 13 Karenin her bir iç açısı ve her bir dış açısının ölçüsü dir.

15 Karede köşegenlerin uzunlukları eşit ve köşegenler birbirine diktir. Bir açısı 90 olan yamuğa dik yamuk denir. Eşkenar Dörtgen Karşılıklı kenarları paralel ve tüm kenarları eşit olan dörtgene eşkenar dörtgen denir. İkizkenar Yamuk Dik Yamuk Karşılıklı açılar eştir. Açıların ölçüleri toplamı 360 dir. Bir köşedeki dış açı komşu köşelerden birindeki (iç) açıya eştir. Dikdörtgen Açıları dik açı olan dörtgene dikdörtgen denir. İkizkenar yamukta; 1. Açıların ölçüleri toplamı 360 dir. 2. Dış açıların ölçüleri toplamı 360 dir. 3. Paralel olan iki kenardan her birinin uçlarındaki açılar (taban açıları) eştir. 4. Eş olan iki kenardan her birinin uçlarındaki açılar bütünlerdir. Bir dik yamukta; 1. İki komşu açı dik açı, diğer iki açı dik açı değildir. 2. Açıların ölçüleri toplamı 360 dir. 3. Dış açıların ölçüleri toplamı 360 dir. Düzgün Beşgen Beş kenarlı düzgün çokgene düzgün beşgen denir. Bir dikdörtgenin; İç ve dış açılarından her biri dik açıdır. Açılarının ölçüleri toplamı 360 dir. Dış açılarının ölçüleri toplamı 360 dir. Paralelkenar Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir. Düzgün beşgende; Dış açılar eştir ve her birinin ölçüsü 72 dir. İç açılar eştir ve her birinin ölçüsü 108 dir. Düzgün Altıgen Altı kenarlı düzgün çokgene düzgün altıgen denir. Bir paralelkenarda; Karşılıklı açılar eştir. Açıların ölçüleri toplamı 360 dir. Dış açıların ölçüleri toplamı 360 dir. İkizkenar Yamuk Dik Yamuk İki kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir. Paralel olan kenarlara yamuğun tabanları adı verilir. Karşılıklı iki kenarı eş olan yamuğa ikizkenar yamuk denir. Düzgün altıgende; Dış açılar eştir ve her birinin ölçüsü 60 dir. İç açılar eştir ve her birinin ölçüsü 120 dir. 14

16 Beşgen Altıgen İç Açılarının Ölçüleri Toplamı İç Açı Ölçüsü Dış Açı Ölçüsü Çokgenlerin Çevre Uzunlukları ve Çokgensel Bölgelerin Alanları Bir çokgenin sınırladığı bölgeye çokgensel bölge adı verilir. Söz gelimi üçgenle sınırlı bölgeye üçgensel bölge, kare ile sınırlı bölgeye karesel bölge vb. deriz. Buradaki çokgensel bölge deyimi ile çokgen ve içinin birleşimini anlamalıyız. Konularımızı işlerken çokgensel bölgenin alanı terimi yerine çokgenin alanı terimini kullandığımız da olur. Örneğin paralelkenarsal bölgenin alanı yerine paralelkenarın alanı da deriz. Benzer şekilde çevre uzunluğu yerine kısaca çevresi terimini de kullanırız. Söz gelimi karenin çevre uzunluğu yerine sadece karenin çevresi deriz. Karenin Çevresi ve Alanı Karenin çevresinin uzunluğu bir kenar uzunluğunun 4 katıdır. Karenin alanı bir kenar uzunluğunun karesidir. Şekildeki ABCD karesinin bir kenarı a ise; Çevre (ABCD) = 4a ve Alan (ABCD) = dir. Dikdörtgenin Çevresi ve Alanı Bir dikdörtgenin çevre uzunluğu, iki komşu kenarının uzunlukları toplamının 2 katıdır. Bir dikdörtgenin alanı iki komşu kenarının uzunlukları çarpımıdır. Şekildeki dikdörtgenin iki komşu kenarının uzunlukları a ve b dir. Bu dikdörtgenin; Çevresinin uzunluğu 2(a+b), Alanı a.b dir. Üçgenin Çevresi ve Alanı Bir üçgenin çevresi, üç kenar uzunluğunun toplamıdır. Şekildeki üçgenin çevresinin uzunluğu Çevre (ABC)=a+b+c dir. Bir üçgenin alanı, kenarlarından birinin uzunluğu ile bu kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir. Bir dik üçgenin alanı; dik kenar uzunluklarının çarpımının yarısıdır. A(ABC)= Bir eşkenar üçgenin alanı; bir kenar uzunluğunun karesinin katıdır. A(ABC)= Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgenin Çevresi ve Alanı Paralelkenarın ve eşkenar dörtgenin; Çevresi, iki komşu kenarın uzunlukları toplamının 2 katıdır. Alanı, bir kenarı ile bu kenara ait yüksekliğinin çarpımıdır. Dik Yamuğun ve İkizkenar Yamuğun Çevresi ve Alanı Dik veya ikizkenar yamuğun; Çevresi, kenar uzunluklarının toplamıdır. Alanı, tabanlar toplamı ile yükseklik çarpımının yarısıdır. 15

17 ABC ve DEF üçgenleri eş üçgenlerdir. Üçgenlerde Kenar Kenar Kenar (KKK) Eşliği İki üçgenden birinin kenarları diğerinin kenarlarına eş ise bu iki üçgen eştir. Düzgün Beşgenin Çevresi ve Alanı Apotem: Düzgün bir çokgenin merkezinin, herhangi bir kenarından olan uzaklığına apotem denir. Bir düzgün beşgenin; Çevresi bir kenar uzunluğunun 5 katıdır. Alanı ise çevresi ile apotemin çarpımının yarısıdır. Şekildeki düzgün beşgenin çevresinin uzunluğu Çevre (ABC)=5a Alanı; ( ) Düzgün Altıgenin Çevresi ve Alanı Bir düzgün altıgenin; Çevresi bir kenarının uzunluğunun 6 katı Alanı ise çevresi ile apotemin çarpımının yarısıdır. Şekildeki düzgün beşgenin çevresinin uzunluğu Çevre (ABC)=5a Alanı; ( ) Üçgenlerin Eşliği İki üçgen ya da bir üçgenle kendisi arasında karşılıklı açılar ve karşılıklı kenarlar eş olacak şekilde bir eşleme kurulabilirse bu eşlemeye, eşlik; üçgenlere de eş üçgenler denir. } 16 Üçgenlerde Açı Kenar Açı (AKA) Eşliği İki üçgenin ikişer açısı ile bu açılarla ortak olan kenarları eş olan üçgenler eştir. Üçgenlerde Kenar Açı Kenar (KAK) Eşliği İki üçgenden birinin iki kenarı ile bu kenarların belirttiği açı, diğer üçgende bunlara karşılık olan elemanlara eş ise bu iki üçgen eştir. Düzlemde Dönüşümler Düzgün Çokgenlerin Simetri Eksenleri Düzlemsel şekli bu düzlemdeki bir doğru iki parçaya ayırmış olsun. Şekil bu doğru etrafında katlandığında parçaların ikisi de üst üste çakışırsa doğruya şeklin yansıma simetri ekseni veya kısaca simetri ekseni denir. Düzgün çokgenlerin kenar sayısı kadar yansıma simetri ekseni vardır. Noktaya Göre Dönme (Merkezi Dönme) Bir şeklin verilen bir nokta etrafında saatin dönme yönü veya tersine döndürülmesine dönme denir. Dönme, uzayda sabit bir nokta etrafında bir cismin hareketini tanımlayan bir dönüşümdür ve bir nesneyi çevirmek anlamına gelir. Her dönmenin bir merkezi ve bir açısı vardır. Bir şekil, bir nokta etrafında döndürüldüğünde o nokta dönme hareketinin merkezi olur. Dönme hareketinde, dönme merkezine bağlı olarak şeklin yeri ve yönü değişmektedir. Şeklin

18 büyüklüğünde bir değişiklik olmamaktadır. Bir köşesinin koordinatları A(a,b) olan bir şekil orijin etrafında 180 derece döndürülürse A noktasına karşılık gelen noktasının koordinatları ; ( ) dır. Bir köşesinin koordinatları A(a,b) olan bir şekil orijin etrafında saat yönünde 90 derece döndürülürse A noktasına karşılık gelen A noktasının koordinatları ; ( ) dır. Bir köşesinin koordinatları A(a,b) olan bir şekil orijin etrafında saat yönün tersine 90 derece döndürülürse A noktasına karşılık gelen noktasının koordinatları ; ( ) dır. Dönme Simetrisi Bir şekil kendi merkezi etrafında döndürüldüğünde bir tam tur atmadan en az bir kez kendisi ile çakışıyorsa, bu şekil dönme simetrisine sahiptir. Şekil merkezi etrafında döndürülürken kendisi ile çakışan en küçük dönme açısına en küçük dönme simetri açısı denir. Düzgün çokgenlerde; dönme simetri sayısı çokgenin kenar sayısına eşittir. Bir düzgün çokgenin sahip olduğu en küçük dönme simetri açısı 360 derecenin dönme simetri sayısına bölünmesi ile bulunur. Öteleme Bir nesnenin bir yerden başka bir yere belirli bir doğrultu ve yönde (sağ, sol, yukarı, aşağı, çapraz) yaptığı kayma hareketine öteleme denir. Öteleme hareketi sonunda nesnenin geldiği yer, görüntüsüdür. Ötelemede şeklin duruşu, biçimi ve boyutları değişmez. Bir şeklin kendisi ile öteleme altındaki görüntüsü eş ve simetriktir. Yansıma Şeklin yansımasını bulmak için doğruya (simetri eksenine) göre simetrisini buluruz. Şeklin yansımasının biçimi ve boyutu şekil ile aynıdır. Yansımasında sadece şeklin yönü ters çevrilmiş ve yeri değişmiştir. Ayna simetrisi, doğru simetrisi ve yansıma aynı şeylerdir. Yani biz bir şeklin aynadaki görüntüsünü aldığımızda aynı zamanda doğruya göre simetrisini almış veya yansıma altındaki görüntüsünü çizmiş oluruz. Doğruya göre simetride, şekil simetri doğrusuna göre katlanmış ve yön değiştirmiştir. Öteleme simetrisinde ise şekil belirli birim yol alarak yer değiştirmiş fakat yön değiştirmemiştir. Ötelemeli Yansıma Bir şeklin, bir doğru boyunca önce yansıtılıp ötelenmesi veya önce ötelenip yansıtılmasına ötelemeli yansıma denir. Bu ikisi arasında herhangi bir fark yoktur, iki durum uygulandığında da şekiller aynı yerde ve aynı konumda olur. Ötelemeli yansımada hiçbir nokta ve yansıma doğrusundan başka hiçbir doğru sabit kalmaz. Çokgenlerle Kaplama (Süsleme) Süslemelerde uygun çokgensel bölgelerin modelleri kullanılır. Model oluşturmada ve bu modelle yapılacak süslemedeki şekiller ötelenir. Süsleme yapılırken çokgenler arasında boşluk kalmamalıdır. Süsleme yapabilmek için her bir köşede oluşan toplam açı 360 olmalıdır. Değişik düzgün çokgenler kullanılarak süsleme yapılabildiği gibi sadece tek tip düzgün çokgen kullanarak da süsleme yapılabilir. Düzgün Kaplama Bir düzlemsel bölgenin, bir figür kullanılarak boşluk kalmayacak ve figürler çakışmayacak şekilde dönüşümler (yansıma, dönme, öteleme ve ötelemeli yansıma) yardımıyla örtülmesine düzgün kaplama denir. Yarı Düzgün Kaplama Bir düzlemsel bölgenin, birden fazla figür kullanılarak boşluk kalmayacak ve figürler çakışmayacak şekilde dönüşümler (yansıma, dönme, öteleme ve ötelemeli yansıma) yardımıyla örtülmesine yarı düzgün kaplama denir. Üçgenlerin Benzerliği İki üçgen arasında kurulan bir eşlemede; 1. Karşılıklı açılar eş, 2. Karşılıklı kenarların uzunlukları orantılı ise bu üçgenlere benzer üçgenler denir. Benzer iki üçgende karşılıklı iki kenarın uzunlukları oranına benzerlik oranı adı verilir. 17

19 Temel Orantı Teoremi Üçgende bir kenara paralel olan doğru diğer iki kenarı köşeden farklı noktalarda keserse kenarlardan biri üzerindeki iki parçanın oranı, diğeri üzerinde bunların karşılığı olan iki parçanın oranına eşittir. [DE] [BC] ise Temel orantı teoreminin karşıtı da doğrudur. ise [DE] [BC] dir. Benzer Üçgenlerde Alanların Oranı Benzer üçgenlerde benzerlik oranının karesi alanların oranına eşittir. ( ) ( ) I. Tales Teoremi Bir paralel doğru demetinin, bunları kesen iki doğru üzerinde ayırdığı karşılıklı doğru parçalarının uzunlukları orantılıdır. Üçgenlerde Kenar Kenar Kenar (KKK) Benzerliği İki üçgende karşılıklı kenarlar orantılı ise bu üçgenler benzerdir. } II. Tales Teoremi Kesişen iki doğru; paralel iki doğru ile kesildiğinde oluşan üçgenlerin karşılıklı kenarlarının uzunlukları orantılıdır. Üçgenlerde Kenar Açı Kenar (KAK) Benzerliği İki üçgende karşılıklı ikişer kenar orantılı ve bu kenarların belirttiği açılar eş ise üçgenler benzerdir. } Üçgenlerde Açı Açı (AA) Benzerliği İki üçgen arasında yapılan eşlemede karşılıklı açılar eş ise bu iki üçgen benzerdir. Sonuçlar: 1. Bir takım paralel doğrular bir kesen üzerinde eş parçalar ayırırsa her kesen üzerinde de eş parçalar ayırır. 2. Bir üçgende, iki kenarın orta noktasını birleştiren doğru parçası, üçüncü kenara paralel ve onun yarısı uzunluğundadır. } 18

20 Dik Üçgende Öklid (Eucleides) Bağıntıları yapılır. Genel olarak a, b, c, h, p ve k gerçek sayılar, ( ) olmak üzere kenar uzunlukları yukarıdaki şekilde verilen dik üçgende, dir. Bu bağıntıları bulan kişi Euclides (Öklid) olduğu için Öklid Bağıntıları olarak isimlendirilir. Fraktal Fraktal parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Latince fractuuss kelimesinden gelmiştir. İlk olarak 1975'de Polonya asıllı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından ortaya atıldığı varsayılır. Kendi kendini tekrar eden ama sonsuza kadar küçülen şekilleri, kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününü inceler. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza kadar sürebilir; tam tersi de her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, gene cismin bütününe benzemesi olayıdır. Eğrelti otu, kar taneleri, brokoli ve galaksilerin yapısı örnek olarak verilebilir. B. Çok Küplü Yapıların Dik Görüntü (Otografik) Çizimleri Üç boyutlu yapılara tek bir yönden bakarak görünümlerin iki boyutlu çizilmesine dik görüntü (ortografik) çizimi denir. Bu çizimde yapının iki boyutlu görüntüsüne ortografik izdüşüm adı verilir. İzdüşüm çiziminde farklı düzlemler düz bir çizgi ile gösterilir. Görünmeyen farklı düzlemler ise kesik bir çizgi ile gösterilir. Önden Görünümün Çizilmesi Yukarıdaki şekilde verilen çok küplü cisme dikkat ediniz. Bu cismin önden görünümü aşağıdaki gibidir. 3. ÜNİTE: DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER Birim Küplerle Oluşturulan Yapıların İzometrik ve Dik Görüntü (Otografik) Çizimleri A. Çok Küplü Yapıların izometrik Çizimi Yapıların veya 3 boyutlu cisimlerin kâğıt üzerindeki çizimlerinde, kenarlarını taşıyan ışınlar daima paralel görünüyorsa bu çizime izometrik çizim, kesişir gibi görünüyorsa bu çizime perspektif çizim adı verilir. İzometrik çizimde perspektif dikkate alınmaz. Çizim bir bütün olarak yatay doğrultu ile 30 lik açı yapan izometrik kâğıtlar kullanılarak Önden görünümün; cismin ön yüzüne paralel düzlemdeki dik iz düşümü olduğuna dikkat ediniz. Bu çizimde cismin genişliği ve yüksekliği değişmez. Sağdan (veya Soldan) Görünümün Çizilmesi Yukarıda önden görünümünü çizdiğimiz cismin bu kez sağdan görünümünü çizelim. Bu çizim aşağıda yapıldığı gibidir. 19

21 Cismin sağdan görünümü şeklindedir. Bundaki kesik çizgi arka planda kalan görünmeyen yüzün (düzlemin) ayrıtıdır. Bu çizimde de genişliğin ve yüksekliğin değişmediğine dikkat ediniz. Bu cismin soldan görünümü de şeklinde olur. Üstten Görünümün Çizilmesi Aynı cismin bu kez üstten görünümünü çizelim. Bu çizim aşağıda verilen şekildeki gibidir. 1. Önce önden görünümü izometrik kâğıda çizelim. 2. Sağdan görünümü de izometrik kâğıda yerleştirerek cisme derinliğini verecek olan paralel çizgileri çizelim (aşağıda bulunan ortadaki şekil). 3. Üstten görünüşü de izometrik kâğıda aktararak fazla çizgileri silelim (alttaki şekil). Böylece çizimi tamamlamış oluruz. Verilen cismin üstten görünümü aşağıdaki şekilde görüldüğü gibidir. Üstten görünümün, çok küplü yapının yatay düzlem üzerindeki dik iz düşümü olduğuna dikkat ediniz. Bu çizimde yapının uzunluğu ve genişliği değişmez. Prizma ve Piramit C. Dik Görüntü (Otografik) Çizimleri Verilen Yapıların İzometrik Çizimleri İzometrik çizimi verilen yapıların dik görüntü (ortografik) çizimlerini yaptık. Şimdi de dik görüntü çizimleri verilen bir yapının izometrik çizimini yapalım. Çok küplü bir yapının aşağıdaki dik görünümleri verilmiş olsun. Buna göre sözü edilen çok küplü yapıyı izometrik kâğıda çizelim. Prizma Düzlemsel bir çokgen ile bu çokgenin bulunduğu düzlemde olmayan bir l doğrusu verilmiş olsun. Çokgenin noktalarından geçen ve l ye paralel olan doğrular bir yüzey oluşturur. Bu yüzeye prizmatik yüzey, l doğrusuna da bu yüzeyin ana doğrusu denir (yandaki şekil). Prizmatik yüzeyin belirlediği uzay parçasına prizmatik bölge, paralel iki düzlemin prizmatik bölgeden ayırdığı kapalı parçaya prizma, prizmatik yüzeyin bu iki düzlem arasında kalan parçasına prizmanın yanal yüzeyi ya da yan yüzeyi denir. Prizmanın altını ve üstünü oluşturan (eş) çokgensel bölgelere prizmanın tabanları, bu çokgenlerin kenarlarına prizmanın taban ayrıtları, tabanların karşılıklı köşe noktalarını birleştiren doğru parçalarına yanal ayrıtlar denir. İki kenarı taban ayrıtı iki kenarı da yanal ayrıt olan paralelkenarsal 20

22 bölgelere yanal yüzler, iki taban arasındaki uzaklığa prizmanın yüksekliği olarak tanımlanır. Prizmada, bir yan yüzün tabanlarla ortak olan karşılıklı kenarlarının paralel ve eş olduğunu biliyoruz. Öyleyse bu yan yüz, karşılıklı iki kenarı paralel ve eş olduğundan paralelkenardır (Paralelkenarsal bölge yerine sadece paralelkenar diyelim.). Demek ki prizmalarda yan yüzler paralelkenardır. Prizmanın yanal ayrıtları taban düzlemine dik ise bu paralelkenarlar dikdörtgen olur. Böyle prizmalara dik prizmalar denir. Dik olmayan prizmalar da eğik prizmalardır. Prizmalar, tabanlarındaki çokgenlerle adlandırılır: üçgen prizma, dörtgen prizma gibi. Cisim köşegeni: Uçları prizmanın iki köşesi olan doğru parçası; bu prizmanın yüzeylerinden herhangi birinde değilse buna, prizmanın cisim köşegeni denir. Şekilde d cisim köşegenidir. Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegenlerinden birinin uzunluğu, bu prizma ayrıtlarının kareleri toplamının kareköküdür. Küpte; cisim köşegeninin uzunluğu, bir kenar uzunluğunun (ayrıtın) katıdır. Piramit Tabanı düzgün çokgen olan dik prizmaya düzgün prizma, bu düzgün çokgen kare ise kare dik prizma; tabanı paralelkenar olan prizmaya da paralel yüz adı verilir. Eğer paralel yüz dik prizma ise buna dik paralel yüz denir. Dikdörtgenler Prizması ve Küp Bütün yüzleri dikdörtgen olan prizmaya dikdörtgenler prizması; bütün ayrıtları birbirine eşit olan dikdörtgenler prizmasına da küp denir. 21 Bir çokgen ile bu çokgenin düzleminde olmayan sabit bir T noktası verilmiş olsun. T den ve çokgenin bir noktasından geçen doğruların birleşimi olan yüzeye piramidal yüzey denir. Pramidal yüzeyin uzaydan ayırdığı bölgeye de piramidal bölge adı verilir. Bir çokgen ile T noktası piramidal bölge belirlemiş olsun. Pramidal bölgenin çokgen düzlemine paralel olan bir düzlemle T noktası arasında kalan kapalı parçasına piramit, piramidal yüzeyin bu düzlemle T arasındaki parçasına da piramit yüzeyi ya da piramidin yanal yüzeyi diyoruz. T noktasına piramidin tepe noktası, çokgensel bölgeye de piramidin tabanı adı verilir. Bu tanıma göre bir ucu piramidin tepe noktası diğer ucu tabanın bir noktası olan doğru parçası piramidin alt kümesidir. Diğer bir deyişle, bu doğru parçalarının birleşimi piramidi oluşturur. Piramidin tepe noktasını tabanın köşeleri ile birleştiren doğru parçalarına yanal ayrıtlar, tepe noktanın taban düzlemine uzaklığına piramidin yüksekliği denir (üstte bulunan sağdaki şekilde [TH] ).

23 Piramitler de prizmalar gibi tabanındaki çokgenle adlandırılır: üçgen piramit, dörtgen piramit gibi. Tepe noktadan taban ayrıtlarına inilen dikmeler yan yüzlerin yükseklikleridir. Üstte bulunan sağdaki şekilde [TK] yan yüzlerden birinin yüksekliğidir. çizerken taban ve yan yüzlerin hangi çokgen olduğuna, hangi ayrıtların eş olduğuna dikkat etmeliyiz. Yapılan çizime verilen cismin açınımı deriz. Bir cismin açınımı kenar çizgileri boyunca kesilerek çıkarılır ve kesilmemiş ayrıtları boyunca katlanırsa bu cisim elde edilir. Yukarıdaki şekilde (T, ABC) üçgen piramidi verilmiştir. ABC üçgeninin ağırlık merkezi G ve bu piramidin yüksekliği [TG] dır. Bir piramitte tepe noktası ile tabanın ağırlık merkezinden geçen doğru taban düzlemine dik ise bu piramide dik piramit denir. Demek ki yandaki şekilde verilen (T, ABC) üçgen dik piramittir. Bir düzgün çokgenin köşeleri çembersel noktalardır. Bu çemberin merkezi, düzgün çokgenin ağırlık merkezidir. Demek ki düzgün dik piramitte yükseklik ayağı, tabanın çevrel çemberinin merkezidir. Dik Prizmaların Alanı Bir dik prizmanın; 1. Yanal alanı taban çevresi ile yüksekliğinin çarpımına, 2. Bütün alanı taban alanının 2 katı ile yanal alanının toplamına eşittir. Düzgün piramit: Tabanı düzgün çokgensel bölge olan dik piramide düzgün piramit denir. Düzgün dörtyüzlü: Bütün yüzleri eşkenar üçgen olan piramide düzgün dörtyüzlü denir. Düzgün sekizyüzlü: Taban ayrıtları eşit olan iki kare piramidin tabanlarının çakıştırılmasıyla oluşan cisimdir. Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar üçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir. Küpün alanı; bir yüzünün alanının altı katıdır. Prizma ve Piramitlerin Açınımları Bir prizmanın ya da piramidin taban ve yan yüzlerini bir düzlemde birbirlerine bitişik konumda 22

24 Dik Düzgün Piramitlerin Alanı Bir düzgün piramidin; 1. Yanal alanı, taban çevresi ile tepe noktanın taban ayrıtlarından birine uzaklığının (yan yüz yüksekliği) çarpımının yarısına eşittir. 2. Bütün alanı, taban alanı ile yanal alanının toplamıdır. Dik Düzgün Piramitlerin Hacmi Bir piramidin hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte biridir. Düzgün dörtyüzlünün hacmi; Düzgün dörtyüzlünün alanı; Düzgün sekizyüzlünün hacmi; Düzgün sekizyüzlünün alanı; Dik Prizmaların Hacmi Bir dik prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir. 3. ÜNİTE: ÇEMBER VE DAİRE A. ÇEMBERDE TEMEL TANIMLAR Sabit bir noktadan eşit uzaklıkta olan ve bu nokta ile aynı düzlemde bulunan noktaların kümesine çember denir. Bu sabit noktaya, çemberin merkezi; sabit uzaklığa da çemberin yarıçap uzunluğu adı verilir. Yukarıdaki şekilde sabit bir M noktasından eşit uzaklıkta olan ve M ile aynı düzlemde bulunan noktaların oluşturduğu şekil (çember) çizilmiştir. M noktası, bu çemberin merkezidir. Çemberin herhangi bir noktası P ise bu tanımda sözü edilen sabit uzaklık MP dur. [MP], çemberin bir yarıçapı; 23

25 bunun uzunluğu olan MP, yarıçap uzunluğudur. Konularımızı işlerken zaman zaman yarıçap uzunluğu yerine kısaca yarıçap terimini de kullanacağız. Uçları aynı bir çemberin noktaları olan doğru parçasına kiriş, merkezden geçen kirişe de çap denir. Çemberi farklı iki noktada kesen bir doğruya kesen diyoruz. Yandaki şekilde M merkezli çemberin [AB] kirişi, [CD] çapı ve EF keseni çizilmiştir. Yarıçapları eşit olan iki çember eştir. MERKEZ AÇI Köşesi çemberin merkezi olan ve çember düzleminde bulunan açıya merkez açı; çemberin, merkez açının içinde kalan yayına da bu merkez açının gördüğü yay denir. Sonuçlar: Bir çemberde: 1. Aynı yayı gören teğet-kiriş açı ve çevre açı eştir. Çevre açının veya teğet-kiriş açının ölçüsü, bu açının gördüğü yayı gören merkez açının ölçüsünün yarısıdır. 2. Aynı yayı gören çevre açılar eştir. Bir çemberde ya da eş iki çemberde ölçüleri eşit olan yaylara eş yaylar denir. ÇEVRE AÇI Bir çemberin farklı üç noktası A, B ve C ise ABC açısına çevre açı; B noktasından geçmeyen AC yayına da bu çevre açının gördüğü yay denir. Çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir. 3. Çapı gören çevre açı dik açıdır. 4. Bir çemberde eş kirişleri eş yaylar sınırlar. TEĞET-KİRİŞ AÇI: Köşesi çemberin üzerinde bir kenarı çemberin teğeti diğer kenarı çemberin kirişi olan açıya teğet - kiriş açı denir. Teğet - kiriş açı gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir. 5. Paralel kirişler arasında kalan yayların ölçüleri ve uzunlukları eşittir. 24

26 KİRİŞLER DÖRTGENİ Köşeleri aynı çember üzerinde olan dörtgene kirişler dörtgeni denir. Özellikleri: 1. Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamı 180 dir. 2. ABCD kirişler dörtgeninde a, b, c, d kenar uzunlukları, köşegen uzunlukları e ve f olmak üzere; Yarıçapı r br olan dairenin alanı dir. Şekilde verildiği gibi O merkezli r yarıçaplı daireden kesilen ve ( ) olan daire diliminin alanı, ( ) dir. Yarıçap uzunlukları farklı olan aynı merkezli ve düzlemsel iki çember verilmiş olsun. Bunlardan içtekinin dışında ve dıştakinin içinde kalan bölge ile bu iki çemberin birleşimine daire halkası denir. a.c+b.d=e.f dir. 3. Dikdörtgen, ikizkenar yamuk ve kare kirişler dörtgenidir. ÇEMBERİN UZUNLUĞU Yukarıdaki şekilde verilen O merkezli düzlemsel iki çemberden dıştakinin yarıçapı R, içtekinin yarıçapı da r ise halkanın (şekildeki taralı bölgenin) alanı ; ( ) olur. 5. ÜNİTE: DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE Yukarıdaki gibi O merkezli r br yarıçaplı bir çemberin çevre uzunluğu 2πr br dir. Ayrıca bu çember üzerindeki AXB yayını gören merkez açının ölçüsü α ise AXB yayının uzunluğu, br olur. Yukarıdaki bağıntıda 360 =2π radyan olarak alınırsa AXB yayının uzunluğu, br olur. DAİRE, DAİRE DİLİMİ VE ALANLARI DAİRE VE ALANI Çember ile aynı düzlemde bulunan ve merkeze uzaklığı yarıçaptan küçük olan noktaların bulunduğu bölgeye çemberin iç bölgesi, çember ile iç bölgesinin birleşimine de daire adı verilir. Bir dairedeki merkez açının bu daireden ayırdığı iki parçadan her birine daire dilimi denir. SİLİNDİRİK YÜZEY VE DİK DAİRESEL SİLİNDİR Düzlemsel olan kapalı bir C eğrisi ile bu düzlemi kesen bir d doğrusu düşünelim. C eğrisinin bir noktasından geçen ve d ye paralel olan doğruların oluşturduğu şekle (yüzeye) silindirik yüzey, C eğrisine bu yüzeyin dayanak eğrisi, yüzeyi oluşturan her doğruya yüzeyin ana doğrusu denir. Bir silindirik yüzeyin, uzaydan ayırdığı bölgeye silindirik bölge adı verilir. Bu bölgenin ana doğruya paralel olmayan her düzlemle ara kesiti (C eğrisi gibi) kapalı bir eğridir. Birbirlerine paralel olan ama d doğrusuna paralel olmayan iki düzlemin, bir silindirik bölgeyle ara kesitleri tabanları; bu silindirik yüzeyin söz konusu iki düzlem arasında kalan parçası da yanal yüzeyi olan cisme silindir diyoruz. Bir ana doğrunun silindirin yanal yüzeyinde kalan parçasına silindirin elemanı, tabanlar arasındaki uzaklığa silindirin yüksekliği; ana doğruları dayanak eğrisinin bulunduğu düzleme dik olan silindire dik silindir denir. Tabanları daire 25

27 olan silindire dairesel silindir, ana doğrusu tabana dik olan dairesel silindire de dik dairesel silindir adı verilir. Dik olmayan dairesel silindire eğik dairesel silindir denir. Dik dairesel silindirin alt ve üst tabanlarının merkezlerinden geçen doğruya silindirin ekseni adı verilir. DİK DAİRESEL SİLİNDİRİN ALANI ve diğer doğrulardan her birine konisel yüzeyin elemanı denir. T noktasına konisel yüzeyin tepe noktası ve bu noktanın ayırdığı iki konisel yüzey parçasından her birine konisel yüzeyin kanatları adı verilir (aşağıdaki 1. şekil). Dayanak eğrisi kapalı bir eğri ise konisel yüzeyin uzaydan ayırdığı bölgeye konisel bölge, bu bölgenin T noktası ile bu noktadan geçmeyen ve dayanak eğrisinin bulunduğu düzleme paralel olan bir E düzlemiyle ayrılan parçasına koni denir. Koni yüzeyi deyimini bu koninin tüm yüzeyi anlamında kullanırız. Demek ki koni, koni yüzeyi ile sınırlanan bölgedir. Koni yüzeyinin E düzleminde olan parçası koni yüzeyinin tabanı, konisel yüzeydeki parçası koni yüzeyinin yanal yüzeyidir. Koni yüzeyinin yanal yüzeyi yerine koninin yanal yüzeyi ve koni yüzeyinin tabanı yerine koni tabanı deyimlerini de kullanırız (aşağıdaki 2, 3 ve 4. şekiller). Dayanak eğrisi simetri merkezi olan kapalı eğri ise T den ve bu eğrinin simetri merkezinden geçen doğruya konisel yüzeyin ekseni; bu eksenin koninin tepe noktası (T) ile tabanı arasında kalan parçasına da koninin ekseni denir. Ekseni taban düzlemine dik olan koniye dik koni adı verilir. Tabanı daire olan dik koni de dik dairesel koni olarak tanımlanır. Tepe noktanın taban düzlemine uzaklığı koninin yüksekliğidir. Buna göre dik koninin yüksekliği ile ekseni aynı doğru parçasıdır. (aşağıdaki 5 ve 6. şekiller). Dik dairesel silindirin; 1. Yanal alanı taban çevresi ile yüksekliğinin çarpımına eşittir. 2. Bütün alanı yanal alanı ile alt ve üst taban alanlarının toplamına eşittir. DİK DAİRESEL SİLİNDİRİN HACMİ Dik dairesel silindirin hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır. DİK DAİRESEL KONİ, ALANI VE HACMİ KONİSEL YÜZEY VE DİK DAİRESEL KONİ Düzlemsel eğri ile bu eğrinin bulunduğu düzlemde olmayan sabit bir T noktası verilmiş olsun. Eğrinin değişken A noktaları için TA doğrularının birleşimine konisel yüzey, eğriye yüzeyin dayanak eğrisi, çizilen ilk doğruya konisel yüzeyin üreteci 26

28 DİK DAİRESEL KONİNİN ALANI Dik dairesel koninin; 1. Yanal alanı, taban çevresi ile yanal yüksekliği çarpımının yarısıdır. 2. Tüm alanı, yanal alanı ile taban alanının toplamıdır. KONİNİN HACMİ Bir dik dairesel koninin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte biridir. KÜRE HACMİ VE ALANI KÜRE Uzayın sabit bir O noktası verilmiş olsun. r pozitif ve sabit bir sayıyı göstermek üzere uzayın O dan r uzaklığındaki noktalarının kümesine küresel yüzey ya da küre yüzeyi, O noktasına bu küre yüzeyinin merkezi, r ye yarıçapı, küre yüzeyinin sınırladığı bölgeye de küre denir. Küre yüzeyinin kürenin merkezinden geçen bir düzlemle ara kesitine, bu kürenin bir büyük çemberi denir. Kürenin alanı, en büyük dairenin alanının 4 katıdır. Kürenin hacmi, dir. 27